Lezione 14

Quattordicesima Lezione
Le Equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori,
polarizzazione onde piane, onde piane in direzione
arbitraria, onde em in buoni conduttori
Riassunto della lezione precedente



Teorema di Poynting: relazioni energetiche
Condizioni al contorno per equazioni di
Maxwell
Teorema di unicità per problemi “interni”
Regime permanente armonico
Immaginiamo un semplice circuito LR, con un generatore
di corrente
R
i
i  i0 cos(t )
VR
V?

L
VL
Vogliamo calcolare la tensione misurata ai capi del
generatore
Regime permanente armonico
Legge di K. alle Maglie: V?  VR  VL

La corrente che scorre è sempre i data (Legge di K. per le
R
correnti), per cui:
i
Legge di Ohm
i  i0 cos(t )
VR
VR  iR  i0 R cos(t )
VL
V?
Relazione per gli induttori
di
VL  L   Li0sint 
dt

quindi V?  i0 R cost   Li0sint 

In generale, per un circuito lineare, a sorgenti armoniche
corrisponderanno risposte armoniche con la stessa
frequenza, con fasi diverse
V?  i0 R cost   Li0 cost   / 2
L
Regime permanente armonico: i fasori
Un espediente utile: l’uguaglianza di Eulero
e





j
 cos   jsin 
 
cos  Re e jt
Allora potremo scrivere, per esempio
 
oppure




j
(

t

)

j

j

t

2   Re  e 2 e
sint  cos(t  )  Re  e




2




REGOLA 1: In pratica, invece delle funzioni armoniche,
useremo la parte reale dell’esponenziale complesso
Il vantaggio: integrazioni e differenziazioni banali, e le
equazioni integrodifferenziali nel tempo che descrivono
circuiti con memoria, divengono algebriche
Di fatto, useremo nei conti tutto l’esponenziale,
recuperando la parte reale solo alla fine
Regime permanente armonico: i fasori
infatti



d jt
e  je jt
dt
e
jt
e jt
dt 
j
Notiamo che in qualunque operazione ci ritroviamo
exp(jt) a fattore: perché non sottintenderlo? Questa
sarà la nostra REGOLA 2: sottintendiamo l’esponenziale
nel tempo (così il tempo non compare più da nessuna
parte esplicitamente)
Quel che rimane, lo chiamiamo Fasore ed è generalmente
un numero complesso: per esempio

Il fasore corrispondente a Acos(t) è A  j 

Il fasore corrispondente a Asin(t) è Ae 2
Quindi, quando rivogliamo la grandezza nel tempo,
moltiplichiamo il fasore per exp(jt) e prendiamo la parte
reale del risultato. Vediamolo per il nostro semplicissimo
esempio
Regime permanente armonico: i fasori
In termini fasoriali la corrente che scorre nel circuito è
semplicemente i0 e
VˆR  i0 R



VˆL  ji0 L
… il cappelletto solo per ricordare che sto usando il trucco
dei fasori e che le quantità possono essere complesse.
Quindi
Vˆ?  R  jLi0
Se vogliamo recuperare l’espressione nel tempo? Semplice!


V? (t )  Re Vˆ?e jt  i0 Re R  jLcost   jsin t 
 i0 R cost   Li0sint 
Equazioni di Maxwell in regime armonico permanente
Basta rimpiazzare le derivate nel tempo con prodotti per j
  E   jB
 D  
B  0
L’equazione di Helmholtz

Diventa (nota, non
2

 E
2
  H  jD  J
1  E
c t
2
usiamo il cappelletto per
semplificare le notazioni…)
2
2 


 2E   2 E
c
La quantità /c si definisce numero d’onda, e si indica con
k; si definisce anche un vettore d’onda, come un vettore di
modulo k e direzione corrispondente al vettore di Poynting


2
 Ek E  0
2
Onde piane in regime armonico permanente


Vediamo di nuovo il caso dell’onda piana: immaginiamo di
avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla
coordinata z


x
E( z)  Ex ( z)u x
L’equazione d’onda per il campo
elettrico diventa semplicemente

2
z 2

Ex  k 2 Ex  0
z
La soluzione è una combinazione di esponenziali in k
Ex  E  e  jkz  E e jkz

Volendo recuperare l’espressione nel tempo, per esempio della
componente progressiva (assumiamo E+ reale (E0) per semplificare)
 z
Ex (t )  Re(Ex e jt )  Re(E  e j t kz  )  E0 cos   t  
 c

CVD
Polarizzazione onde piane



Fin qui abbiamo visto onde piane con una sola
componente di campo E, e che quindi oscillano sempre in
uno stesso piano: queste si dicono polarizzate linearmente
(anche ovviamente se con due componenti di campo E,
purché l’oscillazione avvenga in un piano)
Un insieme di onde piane propagantesi nella stessa
direzione, ma con orientazioni e fasi arbitrarie dei campi,
generano un’onda non polarizzata
Due onde piane, stessa freq, ma diverse ampiezze fasi ed
orientazioni (ma con relazioni prefissate) producono un’
onda polarizzata ellitticamente
Polarizzazione onde piane

Infatti, se per esempio abbiamo
  z 
  z

Ex  E1 cos   t   E y  E2 cos   t    
  v 
  v


Notiamo che, mettendoci in un punto (es z=0)
z0
E x  E1 cost 
E y  E2 cost  

Che è l’equazione parametrica di una ellisse. Se Y è /2
ed E1=E2 è proprio una circonferenza: polarizzazione
circolare
Polarizzazione onde piane

Infatti, nella polarizzazione circolare avremo
  z 
Ex  E1 cos   t  
  v 
y
t  0, z  0
x
  z 
E y   E1sin   t  
  v 
y

t
,z0
2
x
Polarizzazione onde piane

In termini di fasori avremmo (pol. Ellittica)
Ex  E1e

 jkz
E y  E 2 e  j ( kz  )
Nota: fin qui abbiamo parlato di c come velocità di fase
dell’onda em nel vuoto o in aria; il discorso resta valido in
generale con l’accorgimento di usare la giusta velocità
Polarizzazione onde piane
Polarizzazione Lineare
Polarizzazione Circolare
Onde piane in direzione arbitraria


Abbiamo introdotto le onde piane pensando ad una
propagazione lungo un asse (z)
Vediamo come generalizzare il discorso al caso un cui
compaiono tutte le variabili spaziali: facciamolo
direttamente per i fasori

E  E0e
 j kx xk y y kz z


Dove E0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma
può avere tutte le componenti
E0  E0 xu x  E0 y u y  E0 z u z
Onde piane in direzione arbitraria

L’equazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari


2
 Ek E  0
2 Ex  k 2 Ex  0
2
2Ey  k 2Ey  0
2 Ez  k 2 Ez  0

Concentriamoci sulla prima e sostituiamo l’espressione
generale per l’onda piana
 2 Ex

 2 Ex

 2 Ex
x 2
y 2
z 2
 k x 2 E0 x  k y 2 E0 x  k z 2 E0 x  k 2 E0 x
 kx2  k y2  kz 2  k 2
k  k xu x  k y u y  k z u z

 k 2 Ex  0
Cioè, il vettore d’onda k che ha
modulo k può essere diviso in 3
componenti, proprio pari a kx, ky, kz
Onde piane in direzione arbitraria

Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana
che si propaga lungo una direzione generica:

E  E0e
 j kx xk y ykz z
  E e  jk r
0
Onde piane in direzione arbitraria

In generale quindi E ed H per un’onda piana saranno
E  E0e  jkr

H  H0e
 jk r
Si possono ricavare proprietà generali sostituendo alle
equazioni di Maxwell: notate che se calcoliamo il rotore di
una quantità come quelle di sopra, il risultato sarà che
   jk 
Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una
semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la
divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di
Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si “algebrizzano”
k  E0   H 0
  E   jB
k  H 0   E0
  H  jD
Sia E che H
k  H0  0
B  0
ortogonali a k
k  E0  0
D  0

Onde piane in direzione arbitraria
k  E0   H 0
k  H 0   E0

Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H
generale: dalla prima
H0 

1

k  E0
ovvero
H(r) 

k  H0  0
k  E0  0
1

u k  E(r)
Dove  è l’impedenza d’onda del mezzo: generalizza
l’espressione già trovata!
Campo elettromagnetico nei
conduttori reali omogenei

I conduttori sono quelli per i quali si ha movimento di cariche
per un campo elettrico applicato, ovvero esiste una corrente
di conduzione che soddisfa la legge di Ohm
J  E

Per cui l’equazione di Ampère diventa (fasori)
  H  jE  E

Se il secondo termine (corrente di conduzione) domina sul
primo (corrente di spostamento) così che la corrente di
spostamento possa essere trascurata fino alle frequenze
radio più alte (non ottiche), il materiale di definisce “buon
conduttore”
Campo elettromagnetico nei conduttori reali
omogenei

Sappiamo che in un conduttore (anche reale) non vi sono cariche
libere: infatti ricordando che la divergenza di un rotore è nulla,
abbiamo dalla legge di Ampère
    H  0   j     E

Per cui

Allora, per un “buon conduttore”:
 D    0
la carica libera è zero
 vale la legge di Ohm
 corrente di spostamento trascurabile rispetto alla corrente di
conduzione, per cui

  H  E
Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei

Allora, dalla legge di Faraday
  E   jH      E   j  H

Usando la solita identità per il rotore di rotore, ricordando che
la divergenza di E è nulla (no cariche), e sostituendo
l’espressione del rotore di H
 E  jE
2

Equazione d’onda per i conduttori

Ricordando poi la legge di Ohm

Ricaviamo l’equazione per J
 2 J  jJ
J  E
Campo elettromagnetico nei conduttori reali omogenei
Il caso più semplice è quello monodimensionale: conduttore piano
di profondità infinita su cui incida un’onda piana ortogonalmente


In tal caso, J alla superficie
segue l’andamento di E (grazie
alla legge di Ohm), e vale
E
H
J( x  0)  J 0  E0  E0u z

L’equazione d’onda per E diventa
 2 Ez
x

2

z
J
 j E z  E z
2
Le cui soluzioni sono ancora una volta esponenziali
Ez  C1e x  C2ex
x
Effetto pelle
Le condizioni al contorno impongono C2=0 (o il campo
crescerebbe fino all’infinito per x crescenti) e C1=E0

Ez  E0e




x
J z  E0e
x

 2  j
1 j
Per cui, ricordando che
j
2
avremo

1 j
  1  j  f 

Ora per definizione
x
Dove  è dimensionalmente una distanza (metri) e si chiama
profondità di penetrazione
1

f
Effetto Pelle

Allora riscriviamo le nostre soluzioni in termini di tale parametro
E z  E0 e

x
e
j
x

Termine di
attenuazione


J z  E0 e

x
e
j
x

Termine di
sfasamento
Quindi, il campo penetrando si
attenua (fino a ridursi di un fattore e
per x=,circa 37%) e si sfasa
Il risultato è rigorosamente valido
solo per conduttori piani, ma
funziona in generale per valori di 
minori della curvatura della
superficie
E
H
x
J
Effetto pelle
Evoluzione temporale della soluzione calcolata
Un caso “vero”: distribuzione di
corrente su una striscia di rame di 70
micron, al variare della frequenza tra
1 e 5 GHz. Ottenuto da un metodo
rigoroso