LE FUNZIONI
CONTINUE
CAPITOLO 4. LE FUNZIONI CONTINUE E IL CALCOLO DEI LIMITI
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1. STESSO LIMITE, VALORI DIVERSI
Le due funzioni hanno lo stesso limite per x che tende a x0 = 1.
Il valore del limite è l = 2.
Nel primo caso il valore del limite coincide con quello della funzione in x0 :
Nel secondo caso il valore di f non coincide con quello del limite.
La prima funzione è continua in x = 1, la seconda è discontinua.
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f(x0) = l.
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2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA
DEFINIZIONE
Funzione continua in un punto
Siano f(x) una funzione definita in un
intervallo [a; b] e x0 un punto interno
all’intervallo. La funzione f(x) si dice
continua nel punto x0 quando esiste il
limite di f(x) per
e tale limite è
uguale al valore f(x0) della funzione
calcolata in x0 :
.
ESEMPIO
y = 1 – x4 è continua in x0 = 2,
non è continua in x0 = 1.
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Se una funzione è continua in un
punto, allora il valore del limite in quel
punto è semplicemente il valore della
funzione.
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2. LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA
DEFINIZIONE
DEFINIZIONE
f(x) è continua a destra in x0, se f(x0)
coincide con il limite destro di f(x)
per x che tende a x0 :
Funzione continua in un
intervallo
Una funzione definita in [a; b] si
dice continua nell’intervallo [a; b]
se è continua in ogni punto
dell’intervallo.
.
DEFINIZIONE
f(x) è continua a sinistra in x0, se f(x0)
coincide con il limite sinistro di f(x)
per x che tende a x0 :
.
Una funzione può essere definita
continua anche negli estremi
dell’intervallo di definizione [a; b].
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ESEMPIO
La funzione
non è continua in x0 = 1,
non è continua nell’intervallo [0;1],
ma è continua nell’intervallo [1;2].
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3. LA CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI COMPOSTE
Data una funzione composta y = g(f(x)) , si può dimostrare che,
allora anche y = g(f(x)) è continua in x0.
se f è continua in x0, e g in f(x0),
ESEMPIO
y = sen 4x è composta da
z = f(x) = 4x, continua in R,
y = g(z) = sen z, continua in R.
Anche g(f(x)) = sen 4x è continua in R.
Ad esempio,
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.
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4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
DEFINIZIONE
Teorema di Weierstrass
Se f è una funzione continua in un
intervallo limitato e chiuso [a; b],
allora essa assume, in tale intervallo,
il massimo assoluto e il minimo
assoluto.
Controesempi
Funzione continua in
]2;5[, [1;3]
tutto
nell’intervallo
intervallo
tranne
illimitato
aperto.
x = 2.
[1;
[.
Non possiede
minimo
un
Possiede
un massimo
massimo ma
assoluto
assoluto,
non un
massimo.
né un minimo assoluto.
minimo.
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4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
DEFINIZIONE
Teorema dei valori intermedi
Se f è una funzione continua in un
intervallo limitato e chiuso [a; b],
allora essa assume, almeno una
volta, tutti i valori compresi tra il
massimo e il minimo.
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4. I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
DEFINIZIONE
Teorema di esistenza degli zeri
Se f è una funzione continua in un
intervallo limitato e chiuso [a; b], e
negli estremi di tale intervallo
assume valori di segno opposto,
allora esiste almeno un punto c,
interno all’intervallo, in cui f si
annulla.
Controesempi
discontinua
Funzione continua
in tutto
nell’estremo
[–4;3]
trannesinistro
x = –1.x = 1.
Non possiede uno zero.
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5. ESERCIZI: LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA
Rappresenta le seguenti funzioni e trova eventuali punti in cui non sono continue.
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6. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
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6. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
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6. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
Stabilisci se, per le seguenti funzioni, vale il teorema di Weierstrass, nell’intervallo indicato a fianco.
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6. ESERCIZI: I TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE
Stabilisci se valgono le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri per le seguenti funzioni, negli intervalli
indicati.
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