Lezione 9

Nona Lezione
Il punto sui campi elettrici e magnetici statici
Riassunto della lezione precedente







Forza di Lorentz in alcuni casi notevoli
Forze su fili attraversati da correnti immersi in
un campo magnetico
Campo magnetico prodotto da una corrente
filiforme: Formula di Laplace
Caso particolare di corrente su filo lungo
rettilineo: legge di Biot-Savart
Flusso di B
Circuitazione di B: legge di Ampère
Legge di Ampère in forma differenziale: il
rotore
Due anni fa (parli del diavolo…)
ECCEZIONALE TEMPESTA ELETTROMAGNETCA
Rischio blackout
Boulder (Colorado). La Noaa, il centro di Boulder nel Colorado che
monitora i parametri geofisici della Terra, lancia l'allarme dopo aver
registrato, domenica, una tempesta geomagnetica del massimo grado
previsto, che potrebbe provocare seri ...
NOAA ISSUES SPACE WEATHER WARNING
May 15, 2005 — Forecasters at the NOAA Space Environment Center in Boulder, Colo.,
observed a geomagnetic storm on Sunday, May 15, which they classified as an extreme
event, measuring G-5—the highest level—on the NOAA Space Weather Scales. (Click
image for larger view of the sun from the SOHO spacecraft of the intense solar
activity taken May 15, 2005, at 7:50 a.m. EDT. Click here to view high resolution
version, which is a large file. Click here to view latest images. Please credit
“SOHO.”)
"This event registered a 9 on the K-Index, which measures the maximum deviation of the
Earth's magnetic field in a given three-hour period," said Gayle Nelson, lead operations
specialist at NOAA Space Environment Center. "The scale ranges from 0 to 9, with 9 being
the highest. This was a significant event."
Possible impacts from such a geomagnetic storm include widespread power system voltage
control problems; some grid systems may experience complete collapse or blackouts.
Transformers may experience damage. Spacecraft operations may experience extensive
surface charging; problems with orientation; uplink/downlink and tracking satellites.
Satellite navigation may be degraded for days, and low-frequency radio navigation can be
out for hours. Reports received by the NOAA Space Environment Center indicate that such
impacts have been observed in the United States.
NOAA forecasters said the probability of another major event of this type is unlikely,
however, other minor level (G-1) geomagnetic storms are possible within the next 24
hours.
Teorema di Stokes
Calcoliamo il flusso del rotore di B su una superficie
ortogonale a J e usiamo il th di Ampère in forma differenziale
 
   B  ndS  0 I


S
Ma per il th di Ampère in forma integrale
Quindi
 

 
 
  B  ndS   B  d l
S
 
 B  d l  0 I
Riassumendo: campi STATICI
 
 E  dl  0
 

 
 D   ds D  n  Q

E  0

D  
S
 
 B  d l  0 I


  B  0 J

 
 B   ds B  n  0

B  0

S
Alcune proprietà degli operatori
Vale l’identità


Rende conto del fatto che un campo a circuitazione
nulla può essere espresso come gradiente di un
potenziale scalare
Come sappiamo, il campo elettrostatico soddisfa tale
requisito; il campo magnetico (in generale) no
Vale l’identità

    0

 A  0
Il campo magnetico è solenoidale, quindi può essere
espresso come rotore di un vettore, che si definisce
potenziale vettore
Teorema di Helmholtz


Un campo vettoriale è definito se ne assegnano
divergenza e rotore
La conseguenza è che un qualunque campo
vettoriale L può essere scritto come


L      A
Qualche considerazione sull’energia

La densità di energia per un campo elettrico
è, in generale
1 
DE
2

Ovvero per mezzi lineari isotropi, quando D=eE
1 2
eE
2
Qualche considerazione sull’energia


Dimostriamolo: se portiamo una carica q2 in prossimità di una carica q1
qq
l’energia potenziale è
U 12  1 2
4e r12
se portiamo una carica q3 in prossimità delle prime due spendiamo
U13 


q1q3
q q
 2 3
4e r13 4e r23
L’energia spesa in totale è la somma, che possiamo scrivere

Il fattore 1/2 è dovuto al
qj
1
U   qi 
i j
fatto che ogni coppia
2 i
4
e
r
j
ij
appare 2 volte
In termini di potenziale
U
1
 qii
2 i

Considerando una distribuzione continua di carica, in
cui dq=dV
1
U   dV
2V
Qualche considerazione sull’energia


Ma per il teorema di Gauss

1
1
U   dV     D dV
2V
2V


Utilizzando un’identità vettoriale che abbiamo già usato








1
1
1 
  D dV     D dV   D   dV

2V
2V
2V

Sul primo termine a destra possiamo applicare il teorema della
divergenza trasformandolo
 
   D dV   D  nds


V

S
Se la superficie è una sfera di raggio che tende all’infinito tale termine tende a
zero. Infatti D decresce per una carica come r2 e il potenziale  come r; per
distribuzioni più complicate (es. dipolo) possono decrescere solo più
rapidamente; la superficie della sfera cresce invece some r2 : l’integrando va a
zero. Rimane quindi
1 
1  

CVD
U 
D  dV   D  EdV

2
2
V
V
Qualche considerazione sull’energia



Per il campo di induzione magnetica si potrebbe fare lo stesso (con
elementi di corrente al posto delle cariche) ma la dimostrazione è molto
più complicata
Il risultato generale (che verificheremo in qualche caso particolare) è
che la densità di energia è
1 
BH
2
Così che l’energia è
1  
U B   B  HdV
2V

Per mezzi lineari isotropi per cui è B=H sarà
 2
1
U B    H dV
2V
Ma cos’è H?




Il campo H, intensità di campo magnetico, era stato definito nel vuoto come


B 0  0 H 0
L’atomo, attraverso diversi contributi (spin elettronico, orbita elettronica e
spin dei nuceloni) ha un momento di dipolo magnetico
L’orientamento casuale dei dipoli, in gran parte della materia ordinaria, fa si
che l’effetto netto complessivo sia nullo; questo non accade nei materiali
magnetici
Un campo magnetico esterno produce un momento torcente, ed in alcuni
materiali i dipoli si orientano producendo un campo magnetico proprio che si
sovrappone al campo magnetico esterno
 



B  B 0  B M  0 H  0 M

Definiamo M Polarizzazione
Magnetica
Ma cos’è H?

Nei materiali lineari M è proporzionale ad H: si definisce il fattore di
proporzionalità suscettività magnetica


M  mH

Per cui in generale




B  H  0 1   m H  0 r H

r si definisce permeabilità magnetica relativa; è un numero adimensionale e
nella maggioranza dei materiali vale circa 1
Qualche esercizio: 1
Un filo rettilineo, indefinito, percorso da una corrente di intensità di
5 A è immerso in un mezzo omogeneo, isotropo ed indefinito di
permeabilità relativa r=1.05. Si calcoli l’intensità H del campo
magnetico, l’induzione magnetica e la densità di energia in un
punto distante 6 cm dal filo
Legge di Biot-Savart:
H
I
 13.26 A / m
2d
B   r 0 H  17.5 106 W / m 2
Densità di Energia:
1
W  B  H  1.16 10  4 J / m3
2
Esercizio
Trovare H al centro di una spira di corrente quadrata di lato L in
aria
Simmetria: ogni mezzo lato fornisce stesso H
Per il mezzo lato 0xL/2 formula di Laplace:
 L/2
 H'  
 L/2 1 I  
H'  
dl u
2
0 4 r




Idxu x   xu x  L / 2u y
L/2
 
0
x
4
L/2


H  8H'  8 
0
2

3
2 2
 L / 2 
4

0
x
2
I  
dl  R
3
4 r
L/2


0

IdxL / 2u z

3
2 2
 L / 2 
y

4
x
R

IdxL / 2u z
2
2 2I 
uz
L

3
2 2
 L / 2 
x
Esercizio
Due fili rettilinei, paralleli e percorsi da corrente, si attirano nel
vuoto con una forza per unità di lunghezza Fo/l=4 10-3 N/m. Con
quale forza per unità di lunghezza si attirerebbero se si
trovassero in un mezzo di permeabilità relativa r=0.9?
Sappiamo che la forza è legata a B, e che B, rispetto a Bo nel
vuoto, è tale che B=r Bo. Per cui la forza rispetto a quella nel
vuoto sarà
F
F0
 r
 3.6 mN / m
l
l
Esercizio
Nella regione 0<r<0.5 m, in coordinate cilindriche, la densità di

corrente è
2 r 
2
J  4.5 e u z
A/ m
e in qualsiasi altro punto è nulla. Trovare H con la legge di Ampère.
Scegliamo un percorso circolare per applicare il th di Ampère. Se il
percorso ha raggio ro la corrente sarà data dal flusso attraverso la
superficie del cerchio di raggio ro:
Dove ricordate che
r0
2
 
 
I   J  ndS   J  u z dS  d rdr 4.5 e 2 r rdrd è l’elemento di
 

S

1 e
2

S
 2 r0

 2r0 e  2 r0 4.5
0
0
area in coord.
cilindriche
La corrente ha simmetria cilindrica (non dipende da ) e ci
aspettiamo che H (come pure B) conservi tale simmetria
Esercizio (Continuo)
Ora, legge di Ampère sul percorso circolare di raggio ro :
 
 H  d l  H 2r 
c
I 

1 e
2

 2 r0
 2r0 e
 2 r0


 4.5
 2 r0
 2 r0 

H

1

e

2
r
e
u A / m
4.5
0
4r0

Che è la soluzione per r<0.5m
Per r da 0.5m in poi la corrente racchiusa rimane la stessa, e la si
trova sostituendo tale valore ad ro: I=1.868A
 1.868 
H
u A / m r  0.5m
2r
Esercizio
Trovare H sull’ asse di una spira di corrente circolare di raggio a



R  a u r  hu z

I  
dH 
dl  R
3
4 r




d

u


a
u

h
u
Ia

r
z

3
4
a2  h2 2


z
h
Questo per il punto evidenziato.
Simmetria: elementi di corrente diametralmente opposti
generano componenti r che si elidono: H sull’asse è solo lungo z
2
Ia 2

4
0
a

du z
2
h

3
2 2
Ia 2

2
a

uz
2
h

3
2 2
R
I dl
Esercizio
Sia assegnato il campo vettoriale


x 
A  ( y cos(ax))u x  ( y  e )u z
Trovare il rotore di A nell’origine



uy
uz 
 ux
 



 A   x
y
 z   u x  e xu y  cos( ax)u z
 y cos( ax) 0 y  e x 
   
E nell’origine:
  A  ux  u y  uz
Esercizio
Calcolare in coordinate cartesiane il rotore dell’intensità H dovuta ad un
filamento di corrente disposto lungo l’asse z, con la corrente nella direzione
di z

I 
H
u
2r
Per la legge di Biot-Savart
z
Ma vale la trasformazione di coordinate
Cilindriche->Cartesiane:

u  
y
x y
2
2

ux 
x
x y
2
2

uy
y
x
y
x
u
Esercizio (Continuo)
Calcoliamo quindi il rotore come fatto nell’es. precedente:
 
 ux
 
 H   x

y

 2
2
 x y

uy
y
x
x2  y2
 
uz 
   x 

y  


 u 0
 z    x  2



y
2 
2
2  z
 x  y 
  x y 
0

Questo non è vero nell’origine (x=0,y=0), dove sappiamo per la
legge di Ampère:
 
 H  J
Esercizio
Si calcoli l’espressione del potenziale generato da due cariche puntiformi q1 e
q2. q1=10C ed è posta in (0,0.05,0.02) m, mentre q2=- 20C ed è posta in
(0,0.05,-0.02) m. Nel piano y=0 c’è un piano perfettamente conduttore.

Applichiamo il principio delle immagini, rimpiazzando il
z
conduttore con due cariche immagine q1i e q1i
q1
z
q1
q1i
q2
q2i
qi1  q1

q2
y
qi 2  qi 2
Ricaviamo il potenziale
1  q1
q2
qi1
qi 2 
V (r ) 





4e0  r  r1 r  r2 r  ri1 r  ri 2 
y
Esercizio (continuo)

dove r  ( x, y , z )
r1  (0,0.05,0.02)
r2  (0,0.05,-0.02)
ri1  (0,-0.05,0.02)
ri 2  (0,-0.05,-0.02)

Per cui
r  r2


 x

 z  0.02  
r  r1  x   y  0.05   z  0.02 
2
2
2
  y  0.05 
2
Volendo calcolarsi E basterebbe valutare
E(r )  V (r )
2 1/ 2
2 1/ 2
Ecc.
Esercizio
L’elettrodo sferico di un generatore di Van der Graaff ha un
diametro d=2m e viene caricato con una corrente di intensità 10
A. Se l’elettrodo è inizialmente scarico, quanto tempo occorre
perché l’intensità del campo elettrico nelle immediate vicinanze
dell’elettrodo raggiunga il valore E=2.106 V/m ?
Er 
Q
4e0 r 2

it
6

2

10
V/m
2
4e0 r
4e012  2  106
t 
s  22.2 s
6
10  10
Q  it  220 C
Esercizio




Sia dato il campo H  I1e jkz z  I 2e jkz z u x
Determinare il rotore di H. Il campo può esprimersi come
gradiente di un campo scalare?



 jk z z
jk z z 
  H   jk z I1e
 I 2e
uy
Non può essere il gradiente di un campo scalare, visto che in
tal caso il rotore sarebbe nullo
Esercizio

5r 
Sia dato il campo D  2 u r
r 1
Trovare la densità di carica in coordinate sferiche
In coordinate sferiche l’operatore divergenza assume la forma


1  2
1

1 A
 A sin  
A  2
r Ar 
rsin 
rsin 
r r
Per cui





r2  3
  D  5
2
2
r 1