a(t) - Unisa Informatica

2-1
Oggi
Lunedi (2h)
Moto rettilineo :
posizione, velocità accellerazione
Moto uniforme v=cost
Moto uniformemente accelerato a=cost
rappresentazioni grafiche della cinematica
del moto rettilineo
problema 1
problema 2
problema 3
Moto Curvilineo : Posizione, Velocità
ed Accellerazione
Derivate di Vettoridipendenti dal tempo
Componenti Rettangolari della velocità
ed Accellerazione
Moto Relativo ad un sistema in
traslazione
Componenti Normali e Tangenziali
Problema 4
Problema 5
+ 1h di esercizi alla lavagna
11 - 2
• Cinematica: studio della geometria del moto. La cinematica viene utilizzata
per collegare spostamento, velocità, accelerazione, e il tempo senza far
riferimento alla causa del moto.
• Dinamica: studio delle relazioni esistenti tra le forze agenti su un corpo, la
massa del corpo, e il moto del corpo. La dinamica è usata per predire il
movimento causato dalla proposta forze o per determinare le forze necessarie
per produrre un dato movimento.
• Moto rettilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella che si
muove lungo una linea retta.
• Movimento curvilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella
che si muove lungo una linea curva in due o tre dimensioni.
11 - 3
Movimento Rettilineo (1D) : posizione, velocità ed
accelerazione
• Una particella in movimento lungo una linea
retta si dice che è in moto rettilineo.
• La coordinata x della posizione di una particella è
definita dalla misura della sua distanza da un'origine
fissa sulla linea. La coordinata x della posizione può
essere sia positiva che negativa
• Il moto di una particella è noto se la sua coordinata di
posizione x(t) è nota ad ogni valore del tempo t. Il moto
della particella può essere espresso nella forma di una
funzione del tempo, ad esempio,
x(t )  6t 2  t 3
ed in un grafico x vs. t.
Velocità media
Velocità, moto rettilineo
x(t1  t )  x(t1 )
vm 
t
x
x(t)
x(t1+ t)
velocità istantanea
x(t1+ t)
x dx
 (t ),
t 0 t
dt
x(t1+ t)
x(t1+ t)
v(t )  lim
x(t1)
t  t1
Tangente alla curva in P(t1,x(t1))
ed in un grafico x vs. t.
t1
tun
ttgrafico x vs. t.
edtin
t
2-5
Velocità media
x(t 2 )  x(t1 )
vm 
t 2  t1
vm 
x(4s)  x(2s) 32m  16m

 8m / s
4s  2s
2s
vm 
x(6s )  x(4s ) 0m  32m

 16m / s
6s  4s
2s
grafico x vs. t.
2-6
Velocità, moto rettilineo
• Consideriamo una particella che occupa la posizione
P al tempo t e successivamente si trova in P’ a t+t,
Velocità Media 
x
t
x
t 0 t
Velocità istantanea  v  lim
• Queste velocità possono essere positive o
negative. Il loro modulo (cioè la radice
quadrata del quadrato) è sempre positivo.
(speed –velocity).
• Dalla definizione di derivata
x dx

dt
t 0 t
v  lim
ad esempio
x  6t 2  t 3
dx
v
 12t  3t 2
dt
11 - 7
• Consideriamo una particella con velocità v al
tempo t e v’ al tempo t+t,
Accellerazione Media
a
m

v
t
v
t 0 t
Accellerazione Istantanea  a  lim
• L’accellerazione puo’ essere :
- Positiva se: aumenta una velocità positiva
oppure diminuisce una V negativa
- Negativa se: diminuisce una v positiva
Oppure aumenta una v negativa
• Dalla definizione di derivata
v dv d 2 x
a  lim

 2
dt dt
t 0 t
11 - 8
e.g. v  12t  3t 2
dv
a
 12  6t
dt
Spazio - tempo
x  6t 2  t 3
v
Velocità- tempo
dx
 12t  3t 2
dt
dv d 2 x
a
 2  12  6t
dt dt
• t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
Accellerazione - tempo
• t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
• t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2
11 - 9
Rappresentazione grafica della derivata temporale in cinematica
• Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è
uguale alla pendenza della x(t).
• Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla
pendenza della v(t).
11 - 10
Determinazione del moto di una particella
• Ricordate, il moto di una particella è noto se la sua posizione X è nota ad
ogni istante di tempo t.
• Tipicamente, le condizioni del moto sono specificate dal tipo di accellerazione a cui è
soggetta la particella. Visto le relazioni tramite le derivate temporali tra a , v , e x, la
determinazione della velocità e della posizione , nota l’accellerazione, richiede due
successive operazioni di integrazione nel tempo
• Tre classi di moto possono essere definite a seconda che si conosca:
- accelerazione in funzione del tempo, a = a(t)
- accelerazione in funzione del posizione, a = a(x)
- accellerazione in funzione della velocità, a = a(v)
11 - 11
Interpretrazione grafica degli integrali nel tempo
t
v(t )  v(0)   at  dt
0
t
x(t )  x(0)   vt  dt
0
DERIVATE ED INTEGRALI !!
Almeno delle funzioni elementari
• Data la curvadovete
a(t), laimpararli
variazione
in velocità
tra t1 e t2 è uguale
a fare
…SUBITO!!!
all’area sottesa dalla curva a(t) tra t1 e t2.
• Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t1 e t2 è uguale
all’area sottesa dalla curva v(t) tra t1 e t2.
11 - 12
- accellerazione in funzione del tempo, a = a(t)
dv
 at 
dt
dv  at  dt
dx
 vt 
dt
v t 
t
v0
0
0
x t 
t
t
x0
0
t
 dv   at  dt
dx  vt  dt
vt   v0   at  dt
 dx   vt  dt
xt   x0   vt  dt
0
- accellerazione in funzione della posizione, a = a(x)
v
dx
dt

dt 
a
dv
dt

av
dv
 ax 
dx
vx 
x
v dv  f x dx
dx
v
 v dv   ax dx
v0
x0
x
1
2
vx   12 v   ax dx
2
2
0
x0
11 - 13
• accellerazione in funzione della velocità,
dv
 av 
dt
v t 

v0
dv
 dt
av 
a = a(v):
v t 

v0
t
dv
  dt
av  0
dv
t
av 
dv
v
 av 
dx
xt   x0 
v dv
dx 
av 
v t 

v0
x t 
v t 
x0
v0
 dx 

v dv
av 
v dv
av 
11 - 14
Accellerazione nulla, velocità costante
MOTO UNIFORME
dv
a0
dt
vt   v0  0(t  0)  0
v(t )  v0 (velocità iniziale ) ;
dx
 vt 
dt
a=0, v=cost.
x t 
t
 dx  v  dt
dx  v0 dt
0
x0
t
0
t
xt   x0  v0  dt
0
t
x(t )  x0  v0  dt  x0  v0  dt
0
v  cos t
x0 ( posizione iniziale )
0
x(t )  x0  v0t
2 - 15
Accellerazione costante, a=cost.
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELLERATO
dv
a
dt
v t 
t
v0
0
 dv  a  dt
dv  a dt
vt   v0  a(t  0)  at
v(t )  v0  at
dx
 vt 
dt
dx  vt  dt
x t 
t
x0
0
t
 dx   vt  dt
xt   x0   vt  dt
0
t
t
t
0
0
0
x(t )  x0   (v0  at ) dt  x0  v0  dt  a  tdt
1
x(t )  x0  v0t  at 2
2
2 - 16
• accellerazione in funzione della velocità,
a = f(v)
; a=cost
Se a è costante nel tempo vuol dire che è costante anche al variare della velocità !!
xt   x0 
v t 

v0
v dv
a
1

a
v (t )
1
2
2
vdv

(
v
(
t
)

v
0)
v
a
0
1
x(t )  x(0)  (v(t ) 2  v02 )
a
2 - 17
accellerazione in funzione della posizione, a = cost
dv
av
dx
Otteniamo lo stesso risultato
1 2 2
x f  x0  (v f  v0 )
a
2 - 18
Problema
Una p.m. (palla) è lanciata con velocità
verticale vo= 10 m/s da una finestra posta
ad altezza yo = 20 m dal suolo.
Determinare:
• velocità ed altezza rispetto al suolo al
tempo t,
• La massima altezza raggiunta ed il
tempo impiegato
• Il tempo di arrivo al suolo e la
corrispondente velocità finale.
• Il moto della palla è un moto
uniformemente accellerato, con
accellerazione g=-9.81 m/s2 diretta verso il
suolo.
• Cerchiamo il tempo t al quale la velocità
è uguale a zero (tempo al quale viene
raggiunta la massima altezza) e
utilizziamolo per valutare la
corrispondente altezza massima
• Cerchiamo il tempo t al quale l’altezza
rispetto al suolo è uguale a zero (tempo
d’impatto) e utilizziamolo per calcolare la
velocità al momento dell’impatto
11 - 19
• Integriamo, per trovare v(t) ed ancora una
volta per trovare y(t).
dv
 a  9.81m s 2
dt
v t 
t
vt   v0  9.81t
 dv    9.81dt
v0
0
vt   10
dy
 v  10  9.81t
dt
y t 
t
 dy   10  9.81t dt
y0
0
m 
m
  9.81 2  t
s 
s 
y t   y0  10t  12 9.81t 2
m
 m 
yt   20 m  10 t   4.905 2 t 2
 s 
s 
11 - 20
• Troviamo t tale che, v=0
• … la corrispondente altezza ymax
vt   10
m 
m
  9.81 2  t  0
s 
s 
t  1.019s
m 2
 m 
y t   20 m  10 t   4.905 2 t
s 
 s  
m
 m

2





20
m

10
1
.
019
s

4
.
905
1
.
019
s




ymax
s2 
 s 

y
max
 25.1m
11 - 21
• Calcolare il tempo t tale che y(t)=0
• Calcolare la corrispondente velocita
m
 m 
yt   20 m  10 t   4.905 2 t 2  0
 s 
s 
t  1.243 s  privo di significato, impossibile, soluzionscartata 
t  3.28 s
vt   10
m 
m
  9.81 2  t
s 
s 
v3.28 s   10
m 
m
  9.81 2  3.28 s 
s 
s 
velocità al momento dell’impatto
v  22.2
m
s
11 - 22
• accellerazione in funzione della velocità,
a = f(v)
; a=cost
a  kv
Alla stazione ferroviaria un “freno terminale” dei
binari dei treni consiste di un pistone attaccato ad un
asse, libero dimuoversi di moto rettilineo all’interno
di un cilindro pieno di olio. All’urto con la
locomotrice in arrivo, l’asse viene spinto verso
l’interno del cilindro con velocità iniziale v0, il
pistone a sua volta, muovendosi con la stessa
velocità, comprime l’olio che può passare ma con
difficoltà verso sinistra, attraverso dei sottili fori nel
pistone consentendo l’avanzamento del cilindro ma
causando una decellerazione proporzionale alla
velocità
• Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t).
• Integrare v(t) = dx/dt per trovare x(t).
• Integrare a = v dv/dx = -kv
per trovare v(x).
Determinare v(t), x(t), e v(x).
11 - 23
SOLUZIONE:
• Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t).
dv
a
 kv
dt
ln
e
v t 
v0
v t 

v0
t
dv
 k  dt
v
0
vt   v0e
vt 

v0
• Integrare v(t) = dx/dt
dx
vt    v0 e kt
dt
x t 
t
 kt
dx

v
e
dt

0
0
0
xt  
vt 
ln
 kt
v0

kt
per trovare
x(t).
t
 1 kt 


x t  v0   e 
 k
0
v0
1  e  kt
k

11 - 24
• Integrare a = v dv/dx = -kv
per trovare v(x).
dv
a  v  kv
dx
dv  k dx
v
x
v0
0
 dv  k  dx
v  v0  kx
v  v0  kx
• Alternativamente,
con
e
Infine:
xt  

v0
1  e  kt
k

vt 
vt   v0 e kt or e kt 
v0
v  vt  

xt   0 1 
k 
v0 
v  v0  kx
11 - 25
Moto rettilineo uniforme
v=costante
a=0
dx
 v  constante
dt
x
t
x0
0
 dx  v  dt
x  x0  vt
11 - 26
Moto uniformemente accellerato
Un aparticella in moto rettilineo uniformemente accellerato
a=costante
dv
 a  constant
dt
v
t
v0
0
 dv  a  dt
v  v0  at
v  v0  at
dx
 v0  at
dt
x
t
x0
0
 dx   v0  at dt
x  x0  v0t  12 at 2
x  x0  v0t  12 at 2
dv
v  a  constant
dx
v  v  2ax  x0 
2
2
0
v
x
 v dv  a  dx
v0
1
2
v
2

 v02  ax  x0 
x0
v 2  v02
 x  x0 
2a
11 - 27
Moti di piu’ parti: moto relativo
• Consideriamo due punti materiali, A e B, che si muovono di
moto rettilineo lungo la stessa linea.
• Il tempo deve essere registrato a partire da uno stesso
istante iniziale e gli spostamenti dovrebbero essere misurati
dalla stessa origine usando la stessa direzione orientata per
indicare il verso positivo
xB A  xB  x A  posizione relativa di B
rispetto ad A
xB  x A  xB A
vB A  vB  v A  velocità relativa di B
rispetto ad A
vB  v A  vB A
a B A  a B  a A  accellerazione di B
rispetto ad A
aB  a A  aB A
11 - 28
Problema
SOLUZIONE:
• Per la palla:
Sostituire la posizione x0 e la velocità v0
iniziali e l’accellerazione costante g=9.81 m/s2 nelle equazioni generali per il
moto uniformemente accellerato .
• Per la piattaforma :
Sostituire la posizione x0 e la velocità v0
costante iniziale della pioattaforma nelle
equazioni generali per il moto uniforme.
Un palla è lanciata da yo=12m di altezza,
con vo= 18 in verso l’alto, lungo il condotto
di una piattaforma-ascensore In quello
stesso istante, la piattaforma si trova a 5 m
di altezza dal suolo e si muove vero su con
vE= 2 m/s.
Determinare (a) quando e dove la palla
colpisce la piattaforma e (b) la velocità
relativa della palla ed elevatore al contatto
• Scrivere l’equazione per la posizione relativa
della palla rispetto alla piattaforma e risolvere
imponendo che la posizione relativa sia nulla,
cioe la posizione verticale alla quale avviene
l’impatto, tempo impatto tf
• Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni
per la posizione della piataforma e la relativa
velocità della palla al momento dell’impatto
11 - 29
SOLUZIONE:
• Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 iniziali e l’accellerazione
costante g=-9.81 m/s2 nelle equazioni generali per il moto
uniformemente accellerato .
v B  v0  at  18
m 
m
  9.81 2 t
s 
s 
m
 m 
y B  y0  v0t  12 at 2  12 m  18 t   4.905 2 t 2
 s 
s 
• Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 costante iniziale
della pioattaforma nelle equazioni generali per il moto
uniforme.
vE  2
m
s
 m
y E  y0  v E t  5 m   2 t
 s
11 - 30
• Scrivere l’equazione per la posizione relativa della palla rispetto alla
piattaforma e risolvere imponendo che la posizione relativa sia nulla, cioe
la posizione verticale alla quale avviene l’impatto, tempo impatto tf


y B E  12  18t  4.905t 2  5  2t   0
t  0.39 s meaningless 
t  3.65 s
• Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni per la posizione della
piataforma e la relativa velocità della palla al momento dell’impatto
y E  5  23.65
y E  12.3 m
v B E  18  9.81t   2
 16  9.813.65
vB
E
 19.81
m
s
11 - 31
Velocità media
x(t1  t )  x(t1 )
vm 
t
x
x(t1+ t)
velocità istantanea
x(t1+ t)
x(t1+ t)
x(t1+ t)
v(t ) 
dx
(t ),
dt
t  t1
x(t1)
t1
t ttt
t
2 - 32
La derivata temporale in grafici
• Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è
uguale alla pendenza della x(t).
• Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla
pendenza della v(t).
11 - 33
lettura grafica degli integrali nel tempo
• Data la curva a(t), la variazione in velocità tra t1 e t2 è uguale
all’area sottesa dalla curva a(t) tra t1 e t2.
• Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t1 e t2 è uguale
all’area sottesa dalla curva v(t) tra t1 e t2.
11 - 34
3D
• Una particella si muove di moto curvilineo se non si muove
in modo non-rettilineo
• Vettore Posizione di una particella al tempo t è definita dal
vettore applicato nell’origine O di un sistema di riferimento
che punta nella posizione occupata dalla particella al tempo t


r dr

v  lim

dt
t 0 t
 Velocità istantanea (vettore)
s ds

dt
t 0 t
v  lim
 Intensità della velocità istantanea
(scalare)
11 - 35
2D
dv
av
dx

AB tan   BC
11 - 36
2 - 37
Motion of Several Particles:
Dependent
Motion
• Position of a particle
may depend on position of one
or more other particles.
• Position of block B depends on position of block A.
Since rope is of constant length, it follows that sum of
lengths of segments must be constant.
x A  2 x B  constant (one degree of freedom)
• Positions of three blocks are dependent.
2 x A  2 xB  xC  constant (two degrees of freedom)
• For linearly related positions, similar relations hold
between velocities and accelerations.
dx
dx A
dx
 2 B  C  0 or 2v A  2v B  vC  0
dt
dt
dt
dv
dv
dv
2 A  2 B  C  0 or 2a A  2a B  aC  0
dt
dt
dt
2
11 - 38
Sample Problem
11.5
SOLUTION:
• Define origin at upper horizontal surface
with positive displacement downward.
• Collar A has uniformly accelerated
rectilinear motion. Solve for acceleration
and time t to reach L.
• Pulley D has uniform rectilinear motion.
Pulley D is attached to a collar which
Calculate change of position at time t.
is pulled down at 3 in./s. At t = 0,
collar A starts moving down from K • Block B motion is dependent on motions
of collar A and pulley D. Write motion
with constant acceleration and zero
initial velocity. Knowing that velocity relationship and solve for change of block
B position at time t.
of collar A is 12 in./s as it passes L,
determine the change in elevation,
• Differentiate motion relation twice to
velocity, and acceleration of block B
develop equations for velocity and
when block A is at L.
acceleration of block B.
11 - 39
Sample
Problem 11.5
SOLUTION:
• Define origin at upper horizontal surface with
positive displacement downward.
• Collar A has uniformly accelerated rectilinear
motion. Solve for acceleration and time t to reach L.
v 2A  v A 02  2a A x A   x A 0 
2
 in. 
12   2a A 8 in.
 s 
aA  9
in.
s2
v A  v A 0  a At
12
in.
in.
9 2t
s
s
t  1.333 s
11 - 40
Sample
Problem
11.5
• Pulley D has uniform rectilinear motion. Calculate
change of position at time t.
x D   x D 0  v D t
 in. 
x D   x D 0   3 1.333s   4 in.
 s 
• Block B motion is dependent on motions of collar
A and pulley D. Write motion relationship and
solve for change of block B position at time t.
Total length of cable remains constant,
x A  2 x D  x B   x A 0  2 x D 0   x B 0
x A   x A 0   2xD   xD 0  xB   xB 0   0
8 in.  24 in.  x B   x B 0   0
x B   x B 0  16 in.
11 - 41
Sample Problem 11.5
• Differentiate motion relation twice to develop
equations for velocity and acceleration of block B.
x A  2 x D  x B  constant
v A  2v D  v B  0
 in.   in. 
12   2 3   v B  0
 s   s 
v B  18
in.
s
a A  2a D  a B  0
 in. 
 9 2   vB  0
 s 
in.
a B  9 2
s
11 - 42
2 - 43
Curvilinear Motion: Position, Velocity

& •Acceleration
Consider velocity v of particle at time t and velocity

v  at t + t,


v dv

a  lim

dt
t 0 t
 instantaneous acceleration (vector)
• In general, acceleration vector is not tangent to
particle path and velocity vector.
11 - 44
Derivatives
of
Vector
Functions

• Let Pu  be a vector function of scalar variable u,




dP
P
Pu  u   Pu 
 lim
 lim
du u 0 u u 0
u
• Derivative of vector sum,

 

d P  Q  dP dQ


du
du du
• Derivative of product of scalar and vector functions,



d  f P  df
dP

P f
du
du
du
• Derivative of scalar product and vector product,

 


 dQ
d P  Q  dP

Q  P
du
du
du

 



d P  Q  dP
dQ

Q  P
du
du
du
11 - 45
Rectangular Components of Velocity &
• When position vector of particle P is given by its
Acceleration
rectangular components,




r  xi  y j  zk
• Velocity vector,



 dx  dy  dz 
v  i  j  k  xi  y j  zk
dt
dt
dt



 vx i  v y j  vz k
• Acceleration vector,



 d 2 x d 2 y  d 2 z 
a  2 i  2 j  2 k  xi  y j  zk
dt
dt
dt



 ax i  a y j  az k
11 - 46
Rectangular Components of Velocity &
• Rectangular components particularly effective
Acceleration
when component accelerations can be integrated
independently, e.g., motion of a projectile,
a x  x  0
a y  y   g
a z  z  0
with initial conditions,
v x 0 , v y  , v z 0  0
x0  y 0  z 0  0
0
Integrating twice yields
v x  v x 0
x  v x 0 t
v y  v y   gt
0
y  v y  y  12 gt 2
0
vz  0
z0
• Motion in horizontal direction is uniform.
• Motion in vertical direction is uniformly accelerated.
• Motion of projectile could be replaced by two
independent rectilinear motions.
11 - 47
Motion Relative to a Frame in
• Translation
Designate one frame as the fixed frame of reference.
All other frames not rigidly attached to the fixed
reference frame are moving frames of reference.
• Position vectors for particles A and B with respect to


the fixed frame of reference Oxyz are rA and rB .

r
• Vector B A joining A and B defines the position of
B with respect to the moving frame Ax’y’z’ and

 
rB  rA  rB A
• Differentiating twice,




vB  v A  vB A vB A  velocity of B relative to A.




a B  a A  a B A a B A  acceleration of B relative
to A.
• Absolute motion of B can be obtained by combining
motion of A with relative motion of B with respect to
moving reference frame attached to A.
11 - 48
Tangential and Normal Components
• Velocity vector of particle is tangent to path of
particle. In general, acceleration vector is not.
Wish to express acceleration vector in terms of
tangential and normal components.


• et and et are tangential unit vectors for the
particle path at P and P’. When drawn with
  
respect to the same origin, et  et  et and
 is the angle between them.
et  2 sin  2 

et
sin  2  

lim
 lim
en  en
 0 
 0  2

det

en 
d
11 - 49
Tangential and Normal Components


• With the velocity vector expressed as v  vet
the particle acceleration may be written as



de dv 
de d ds
 dv dv 
a
 et  v
 et  v
dt dt
dt dt
d ds dt
but 
det 
ds
 en
 d  ds
v
d
dt
After substituting,
dv
v2
 dv  v 2 
a  et  en
at 
an 
dt

dt

• Tangential component of acceleration reflects
change of speed and normal component reflects
change of direction.
• Tangential component may be positive or
negative. Normal component always points
toward center of path curvature.
11 - 50
Tangential and Normal Components
• Relations for tangential and normal acceleration
also apply for particle moving along space curve.
 dv  v 2 
a  et  en
dt

dv
at 
dt
an 
v2

• Plane containing tangential and normal unit
vectors is called the osculating plane.
• Normal to the osculating plane is found from

 
eb  et  en

en  principalnormal

eb  binormal
• Acceleration has no component along binormal.
11 - 51
Radial and Transverse
Components
• When particle position is given in polar coordinates,
it is convenient to express velocity and acceleration
with components parallel and perpendicular to OP.


r  re r

der 
 e
d
• The particle velocity vector is

der dr 
dr 
d 
 d 
v  rer   er  r
 er  r
e
dt
dt
dt
dt
dt


 r er  r e

de

  er
d


der der d  d

 e
dt
d dt
dt


de de d
 d

  er
dt
d dt
dt
• Similarly, the particle acceleration vector is
d  
 d  dr 
a   er  r
e 
dt  dt
dt 


d 2 r  dr der dr d 
d 2 
d de
 2 er 

e  r 2 e  r
dt dt dt dt
dt dt
dt
dt


 r  r 2 er  r  2r e


11 - 52
Radial and Transverse
Components
• When particle position is given in cylindrical
coordinates, it is convenient to express the
velocity and acceleration
vectors using the unit

 
vectors eR , e , and k .
• Position vector,



r  R e R z k
• Velocity vector,


 dr  


v
 R eR  R e  z k
dt
• Acceleration vector,


 dv


2




  R eR  R  2 R  e  z k
a
 R
dt


11 - 53
Sample Problem 11.10
SOLUTION:
• Calculate tangential and normal
components of acceleration.
• Determine acceleration magnitude and
direction with respect to tangent to
curve.
A motorist is traveling on curved
section of highway at 60 mph. The
motorist applies brakes causing a
constant deceleration rate.
Knowing that after 8 s the speed has
been reduced to 45 mph, determine
the acceleration of the automobile
immediately after the brakes are
applied.
11 - 54
Sample Problem 11.10
SOLUTION:
• Calculate tangential and normal components of
acceleration.
v 66  88 ft s
ft
at 

 2.75 2
t
8s
s
an 
60 mph  88 ft/s
45 mph  66 ft/s
v2

88 ft s 2
ft

 3.10 2
2500 ft
s
• Determine acceleration magnitude and direction
with respect to tangent to curve.
ft
2
2
2
2
a

4
.
14
a  at  an   2.75  3.10
s2
  tan
1 an
at
 tan
1 3.10
2.75
  48.4
11 - 55
Sample Problem 11.12
SOLUTION:
• Evaluate time t for  = 30o.
• Evaluate radial and angular positions,
and first and second derivatives at
time t.
Rotation of the arm about O is defined
by  = 0.15t2 where  is in radians and t
in seconds. Collar B slides along the
arm such that r = 0.9 - 0.12t2 where r is
in meters.
• Calculate velocity and acceleration in
cylindrical coordinates.
• Evaluate acceleration with respect to
arm.
After the arm has rotated through 30o,
determine (a) the total velocity of the
collar, (b) the total acceleration of the
collar, and (c) the relative acceleration
of the collar with respect to the arm.
11 - 56
Sample Problem
11.12
SOLUTION:
• Evaluate time t for  = 30o.
  0.15t 2
 30  0.524 rad
t  1.869 s
• Evaluate radial and angular positions, and first
and second derivatives at time t.
r  0.9  0.12 t 2  0.481 m
dr  0.24 t  0.449 m s
dt
d 2 r  0.24 m s 2
dt 2
  0.15 t 2  0.524 rad
  0.30 t  0.561rad s
  0.30 rad s 2
11 - 57
Sample
Problem
11.12
• Calculate velocity and acceleration.
vr  r  0.449 m s
v  r  0.481m 0.561rad s   0.270 m s
v
  tan 1 
v  vr2  v2
vr
v  0.524 m s
  31.0
ar  r  r 2
 0.240 m s 2  0.481m 0.561rad s 2
 0.391m s 2
a  r  2r


 0.481m  0.3 rad s 2  2 0.449 m s 0.561rad s 
 0.359 m s 2
a  ar2  a2
a
  tan 1 
ar
a  0.531m s
  42.6
11 - 58
Sample •Problem
11.12
Evaluate acceleration with respect to arm.
Motion of collar with respect to arm is rectilinear
and defined by coordinate r.
a B OA  r  0.240 m s 2
11 - 59