a(t) - Unisa Informatica

2-1
Oggi
Lunedi (2h)
Moto rettilineo :
posizione, velocità accellerazione
Moto uniforme v=cost
Moto uniformemente accelerato a=cost
rappresentazioni grafiche della cinematica
del moto rettilineo
problema 1
problema 2
problema 3
Moto Curvilineo : Posizione, Velocità
ed Accellerazione
Derivate di Vettoridipendenti dal tempo
Componenti Rettangolari della velocità
ed Accellerazione
Moto Relativo ad un sistema in
traslazione
Componenti Normali e Tangenziali
Problema 4
Problema 5
+ 1h di esercizi alla lavagna
11 - 2
• Cinematica: studio della geometria del moto. La cinematica viene utilizzata
per collegare spostamento, velocità, accelerazione, e il tempo senza far
riferimento alla causa del moto.
• Dinamica: studio delle relazioni esistenti tra le forze agenti su un corpo, la
massa del corpo, e il moto del corpo. La dinamica è usata per predire il
movimento causato dalla proposta forze o per determinare le forze necessarie
per produrre un dato movimento.
• Moto rettilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella che si
muove lungo una linea retta.
• Movimento curvilineo: posizione, velocità e accelerazione di una particella
che si muove lungo una linea curva in due o tre dimensioni.
11 - 3
Movimento Rettilineo (1D) : posizione, velocità ed
accelerazione
• Una particella in movimento lungo una linea
retta si dice che è in moto rettilineo.
• La coordinata x della posizione di una particella è
definita dalla misura della sua distanza da un'origine
fissa sulla linea. La coordinata x della posizione può
essere sia positiva che negativa
• Il moto di una particella è noto se la sua coordinata di
posizione x(t) è nota ad ogni valore del tempo t. Il moto
della particella può essere espresso nella forma di una
funzione del tempo, ad esempio,
x(t )  6t 2  t 3
ed in un grafico x vs. t.
Velocità media
Velocità, moto rettilineo
x(t1  t )  x(t1 )
vm 
t
x
x(t)
x(t1+ t)
velocità istantanea
x(t1+ t)
x dx
 (t ),
t 0 t
dt
x(t1+ t)
x(t1+ t)
v(t )  lim
x(t1)
t  t1
Tangente alla curva in P(t1,x(t1))
ed in un grafico x vs. t.
t1
tun
ttgrafico x vs. t.
edtin
t
2-5
Velocità media
x(t 2 )  x(t1 )
vm 
t 2  t1
vm 
x(4s)  x(2s) 32m  16m

 8m / s
4s  2s
2s
vm 
x(6s )  x(4s ) 0m  32m

 16m / s
6s  4s
2s
grafico x vs. t.
2-6
Velocità, moto rettilineo
• Consideriamo una particella che occupa la posizione
P al tempo t e successivamente si trova in P’ a t+t,
Velocità Media 
x
t
x
t 0 t
Velocità istantanea  v  lim
• Queste velocità possono essere positive o
negative. Il loro modulo (cioè la radice
quadrata del quadrato) è sempre positivo.
(speed –velocity).
• Dalla definizione di derivata
x dx

dt
t 0 t
v  lim
ad esempio
x  6t 2  t 3
dx
v
 12t  3t 2
dt
11 - 7
• Consideriamo una particella con velocità v al
tempo t e v’ al tempo t+t,
Accellerazione Media
a
m

v
t
v
t 0 t
Accellerazione Istantanea  a  lim
• L’accellerazione puo’ essere :
- Positiva se: aumenta una velocità positiva
oppure diminuisce una V negativa
- Negativa se: diminuisce una v positiva
Oppure aumenta una v negativa
• Dalla definizione di derivata
v dv d 2 x
a  lim

 2
dt dt
t 0 t
11 - 8
e.g. v  12t  3t 2
dv
a
 12  6t
dt
Spazio - tempo
x  6t 2  t 3
v
Velocità- tempo
dx
 12t  3t 2
dt
dv d 2 x
a
 2  12  6t
dt dt
• t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
Accellerazione - tempo
• t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
• t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2
11 - 9
Rappresentazione grafica della derivata temporale in cinematica
• Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è
uguale alla pendenza della x(t).
• Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla
pendenza della v(t).
11 - 10
Determinazione del moto di una particella
• Ricordate, il moto di una particella è noto se la sua posizione X è nota ad
ogni istante di tempo t.
• Tipicamente, le condizioni del moto sono specificate dal tipo di accellerazione a cui è
soggetta la particella. Visto le relazioni tramite le derivate temporali tra a , v , e x, la
determinazione della velocità e della posizione , nota l’accellerazione, richiede due
successive operazioni di integrazione nel tempo
• Tre classi di moto possono essere definite a seconda che si conosca:
- accelerazione in funzione del tempo, a = a(t)
- accelerazione in funzione del posizione, a = a(x)
- accellerazione in funzione della velocità, a = a(v)
11 - 11
Interpretrazione grafica degli integrali nel tempo
t
v(t )  v(0)   at  dt
0
t
x(t )  x(0)   vt  dt
0
DERIVATE ED INTEGRALI !!
Almeno delle funzioni elementari
• Data la curvadovete
a(t), laimpararli
variazione
in velocità
tra t1 e t2 è uguale
a fare
…SUBITO!!!
all’area sottesa dalla curva a(t) tra t1 e t2.
• Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t1 e t2 è uguale
all’area sottesa dalla curva v(t) tra t1 e t2.
11 - 12
- accellerazione in funzione del tempo, a = a(t)
dv
 at 
dt
dv  at  dt
dx
 vt 
dt
v t 
t
v0
0
0
x t 
t
t
x0
0
t
 dv   at  dt
dx  vt  dt
vt   v0   at  dt
 dx   vt  dt
xt   x0   vt  dt
0
- accellerazione in funzione della posizione, a = a(x)
v
dx
dt

dt 
a
dv
dt

av
dv
 ax 
dx
vx 
x
v dv  f x dx
dx
v
 v dv   ax dx
v0
x0
x
1
2
vx   12 v   ax dx
2
2
0
x0
11 - 13
• accellerazione in funzione della velocità,
dv
 av 
dt
v t 

v0
dv
 dt
av 
a = a(v):
v t 

v0
t
dv
  dt
av  0
dv
t
av 
dv
v
 av 
dx
xt   x0 
v dv
dx 
av 
v t 

v0
x t 
v t 
x0
v0
 dx 

v dv
av 
v dv
av 
11 - 14
Accellerazione nulla, velocità costante
MOTO UNIFORME
dv
a0
dt
vt   v0  0(t  0)  0
v(t )  v0 (velocità iniziale ) ;
dx
 vt 
dt
a=0, v=cost.
x t 
t
 dx  v  dt
dx  v0 dt
0
x0
t
0
t
xt   x0  v0  dt
0
t
x(t )  x0  v0  dt  x0  v0  dt
0
v  cos t
x0 ( posizione iniziale )
0
x(t )  x0  v0t
2 - 15
Accellerazione costante, a=cost.
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELLERATO
dv
a
dt
v t 
t
v0
0
 dv  a  dt
dv  a dt
vt   v0  a(t  0)  at
v(t )  v0  at
dx
 vt 
dt
dx  vt  dt
x t 
t
x0
0
t
 dx   vt  dt
xt   x0   vt  dt
0
t
t
t
0
0
0
x(t )  x0   (v0  at ) dt  x0  v0  dt  a  tdt
1
x(t )  x0  v0t  at 2
2
2 - 16
• accellerazione in funzione della velocità,
a = f(v)
; a=cost
Se a è costante nel tempo vuol dire che è costante anche al variare della velocità !!
xt   x0 
v t 

v0
v dv
a
1

a
v (t )
1
2
2
vdv

(
v
(
t
)

v
0)
v
a
0
1
x(t )  x(0)  (v(t ) 2  v02 )
a
2 - 17
accellerazione in funzione della posizione, a = cost
dv
av
dx
Otteniamo lo stesso risultato
1 2 2
x f  x0  (v f  v0 )
a
2 - 18
Problema
Una p.m. (palla) è lanciata con velocità
verticale vo= 10 m/s da una finestra posta
ad altezza yo = 20 m dal suolo.
Determinare:
• velocità ed altezza rispetto al suolo al
tempo t,
• La massima altezza raggiunta ed il
tempo impiegato
• Il tempo di arrivo al suolo e la
corrispondente velocità finale.
• Il moto della palla è un moto
uniformemente accellerato, con
accellerazione g=-9.81 m/s2 diretta verso il
suolo.
• Cerchiamo il tempo t al quale la velocità
è uguale a zero (tempo al quale viene
raggiunta la massima altezza) e
utilizziamolo per valutare la
corrispondente altezza massima
• Cerchiamo il tempo t al quale l’altezza
rispetto al suolo è uguale a zero (tempo
d’impatto) e utilizziamolo per calcolare la
velocità al momento dell’impatto
11 - 19
• Integriamo, per trovare v(t) ed ancora una
volta per trovare y(t).
dv
 a  9.81m s 2
dt
v t 
t
vt   v0  9.81t
 dv    9.81dt
v0
0
vt   10
dy
 v  10  9.81t
dt
y t 
t
 dy   10  9.81t dt
y0
0
m 
m
  9.81 2  t
s 
s 
y t   y0  10t  12 9.81t 2
m
 m 
yt   20 m  10 t   4.905 2 t 2
 s 
s 
11 - 20
• Troviamo t tale che, v=0
• … la corrispondente altezza ymax
vt   10
m 
m
  9.81 2  t  0
s 
s 
t  1.019s
m 2
 m 
y t   20 m  10 t   4.905 2 t
s 
 s  
m
 m

2





20
m

10
1
.
019
s

4
.
905
1
.
019
s




ymax
s2 
 s 

y
max
 25.1m
11 - 21
• Calcolare il tempo t tale che y(t)=0
• Calcolare la corrispondente velocita
m
 m 
yt   20 m  10 t   4.905 2 t 2  0
 s 
s 
t  1.243 s  privo di significato, impossibile, soluzionscartata 
t  3.28 s
vt   10
m 
m
  9.81 2  t
s 
s 
v3.28 s   10
m 
m
  9.81 2  3.28 s 
s 
s 
velocità al momento dell’impatto
v  22.2
m
s
11 - 22
• accellerazione in funzione della velocità,
a = f(v)
; a=cost
a  kv
Alla stazione ferroviaria un “freno terminale” dei
binari dei treni consiste di un pistone attaccato ad un
asse, libero dimuoversi di moto rettilineo all’interno
di un cilindro pieno di olio. All’urto con la
locomotrice in arrivo, l’asse viene spinto verso
l’interno del cilindro con velocità iniziale v0, il
pistone a sua volta, muovendosi con la stessa
velocità, comprime l’olio che può passare ma con
difficoltà verso sinistra, attraverso dei sottili fori nel
pistone consentendo l’avanzamento del cilindro ma
causando una decellerazione proporzionale alla
velocità
• Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t).
• Integrare v(t) = dx/dt per trovare x(t).
• Integrare a = v dv/dx = -kv
per trovare v(x).
Determinare v(t), x(t), e v(x).
11 - 23
SOLUZIONE:
• Integrare a = dv/dt = -kv per trovare v(t).
dv
a
 kv
dt
ln
e
v t 
v0
v t 

v0
t
dv
 k  dt
v
0
vt   v0e
vt 

v0
• Integrare v(t) = dx/dt
dx
vt    v0 e kt
dt
x t 
t
 kt
dx

v
e
dt

0
0
0
xt  
vt 
ln
 kt
v0

kt
per trovare
x(t).
t
 1 kt 


x t  v0   e 
 k
0
v0
1  e  kt
k

11 - 24
• Integrare a = v dv/dx = -kv
per trovare v(x).
dv
a  v  kv
dx
dv  k dx
v
x
v0
0
 dv  k  dx
v  v0  kx
v  v0  kx
• Alternativamente,
con
e
Infine:
xt  

v0
1  e  kt
k

vt 
vt   v0 e kt or e kt 
v0
v  vt  

xt   0 1 
k 
v0 
v  v0  kx
11 - 25
Moto rettilineo uniforme
v=costante
a=0
dx
 v  constante
dt
x
t
x0
0
 dx  v  dt
x  x0  vt
11 - 26
Moto uniformemente accellerato
Un aparticella in moto rettilineo uniformemente accellerato
a=costante
dv
 a  constant
dt
v
t
v0
0
 dv  a  dt
v  v0  at
v  v0  at
dx
 v0  at
dt
x
t
x0
0
 dx   v0  at dt
x  x0  v0t  12 at 2
x  x0  v0t  12 at 2
dv
v  a  constant
dx
v  v  2ax  x0 
2
2
0
v
x
 v dv  a  dx
v0
1
2
v
2

 v02  ax  x0 
x0
v 2  v02
 x  x0 
2a
11 - 27
Moti di piu’ parti: moto relativo
• Consideriamo due punti materiali, A e B, che si muovono di
moto rettilineo lungo la stessa linea.
• Il tempo deve essere registrato a partire da uno stesso
istante iniziale e gli spostamenti dovrebbero essere misurati
dalla stessa origine usando la stessa direzione orientata per
indicare il verso positivo
xB A  xB  x A  posizione relativa di B
rispetto ad A
xB  x A  xB A
vB A  vB  v A  velocità relativa di B
rispetto ad A
vB  v A  vB A
a B A  a B  a A  accellerazione di B
rispetto ad A
aB  a A  aB A
11 - 28
Problema
SOLUZIONE:
• Per la palla:
Sostituire la posizione x0 e la velocità v0
iniziali e l’accellerazione costante g=9.81 m/s2 nelle equazioni generali per il
moto uniformemente accellerato .
• Per la piattaforma :
Sostituire la posizione x0 e la velocità v0
costante iniziale della pioattaforma nelle
equazioni generali per il moto uniforme.
Un palla è lanciata da yo=12m di altezza,
con vo= 18 m/s verso l’alto, lungo il
condotto di una piattaforma-ascensore. In
quello stesso istante, la piattaforma si trova
a 5 m di altezza dal suolo e si muove vero su
con vE= 2 m/s.
Determinare (a) quando e dove la palla
colpisce la piattaforma e (b) la velocità
relativa della palla ed elevatore al contatto
• Scrivere l’equazione per la posizione relativa
della palla rispetto alla piattaforma e risolvere
imponendo che la posizione relativa sia nulla,
cioe la posizione verticale alla quale avviene
l’impatto, tempo impatto tf
• Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni
per la posizione della piataforma e la relativa
velocità della palla al momento dell’impatto
11 - 29
SOLUZIONE:
• Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 iniziali e l’accellerazione
costante g=-9.81 m/s2 nelle equazioni generali per il moto
uniformemente accellerato .
v B  v0  at  18
m 
m
  9.81 2 t
s 
s 
m
 m 
y B  y0  v0t  12 at 2  12 m  18 t   4.905 2 t 2
 s 
s 
• Sostituire la posizione x0 e la velocità v0 costante iniziale
della pioattaforma nelle equazioni generali per il moto
uniforme.
vE  2
m
s
 m
y E  y0  v E t  5 m   2 t
 s
11 - 30
• Scrivere l’equazione per la posizione relativa della palla rispetto alla
piattaforma e risolvere imponendo che la posizione relativa sia nulla, cioe
la posizione verticale alla quale avviene l’impatto, tempo impatto tf


y B E  12  18t  4.905t 2  5  2t   0
t  0.39 s meaningless 
t  3.65 s
• Sostituite il tempo di impatto nelle equazioni per la posizione della
piataforma e la relativa velocità della palla al momento dell’impatto
y E  5  23.65
y E  12.3 m
v B E  18  9.81t   2
 16  9.813.65
vB
E
 19.81
m
s
11 - 31
La derivata temporale in grafici
• Data una equazione oraria x(t), la curva v(t) è
uguale alla pendenza della x(t).
• Data la curva v(t) , la curva a(t) è uguale alla
pendenza della v(t).
11 - 32
lettura grafica degli integrali nel tempo
• Data la curva a(t), la variazione in velocità tra t1 e t2 è uguale
all’area sottesa dalla curva a(t) tra t1 e t2.
• Data la curva v(t), la variazione in posizione tra t1 e t2 è uguale
all’area sottesa dalla curva v(t) tra t1 e t2.
11 - 33
•Sistemi di più punti materiali : Moto Reletivo
• Particelle (punti materiali, p.m.) che si muovono lungo la
stessa linea.
• Dopo aver definito un sistema di riferimento comune con la
stessa origine e direzione per gli spostamenti e lo stesso
istante di tempo iniziale, possiamo scrivere
xB A  xB  x A 
Posizione relativa di B rispetto ad A
xB  x A  xB A
vB A  vB  v A 
Velocità relativa di B rispetto ad A
vB  v A  vB A
aB A  aB  a A 
aB  a A  aB A
11 - 34
Accellerazione relativa di B rispetto ad A
Sistemi di più punti materiali (o di piu’ parti)
• La posizione di un p.m. può dipendere dalla posizione degli
altri p.m
• Ad esempio la posizione del blocco B dipende dalla posizione
di A. Poichè la fune ha lunghezza costante ne segue che deve
essere costante la somma dei segmenti
x A  2 x B  const (1 grado di libertà)
• la posizione dei tre bocchi è dipendente
2 x A  2 xB  xC  const (2 gradi di libertà)
• Relazioni simili valgono per le velocità e le accellerazioni
dx
dx A
dx
 2 B  C  0 or 2v A  2v B  vC  0
dt
dt
dt
dv
dv
dv
2 A  2 B  C  0 or 2a A  2a B  aC  0
dt
dt
dt
2
11 - 35
Problema 5
• Definire l’origine alla superficie orizzontale
superiore con direzione positiva per gli spostamenti
verso il basso.
• A ha un moto rettilineo uniformemente accellerato.
Usiamolo per trovare l’accellerazione ed il tempo t*
per raggiungere L.
• D ha un moto rettilineo uniforme; calcoliamo il
cambiamento di posizione al tempo t*
La puleggia D che può scorrere verticalmente
lungo l’asse viene messa in movimento verso
il basso con vD =3m/s a t = 0.
• Il moto di B dipende dai moti di A e di D.
Conseguentemente il manicotto A inizia a
Scrivere le relazioni di moto relativo per trovare lo
muoversi dalla posizione K con accellerazione
spostamento di B al tempo t*. Diffrenziatele per
costante e zero velocità iniziale. Sappiamo
trovare velocità ed accellerazione di B
inoltre che la velocità di A è 12 m/s non appena
passa L. Determinare il cambiamento in
altezza, velocità ed accellerazione del blocco B
quando A è alla posizione L.
11 - 36
• Definire l’origine alla superficie orizzontale superiore con
direzione positiva per gli spostamenti verso il basso.
• A ha un moto rettilineo unif. acc. Possiamo ricavare
l’accellerazione ed il tempo t* per rraggiungere L.
8m
v A2  v A 0  2a A x A   x A 0 
2
2
12m/s
 m
12   2a A 8 m 
 s
aA  9
m
s2
v A  v A 0  a At
12
m
m
 9 2 t*
s
s
t *  1.333 s
11 - 37
• La puleggia D ha un moto rettilineo uniforme,
calcoliamo il cambiamento di posizione al tempo t*
xD  xD 0  vD t *
 m


xD  xD 0   3 1.333 s   4 m
 s
3m/s
• Block B motion is dependent on motions of collar
A and pulley D. Write motion relationship and
solve for change of block B position at time t.
Total length of cable remains constant,
x A  2 xD  xB  x A 0  2xD 0  xB 0
xA  xA 0  2xD  xD 0  xB  xB 0   0
8 m  24 m  xB  xB 0   0
xB  xB 0  16 m
11 - 38
• Diffrenziate 2 volte per trovare rispettivamente velocità ed
accellerazione di B
• .
x A  2 xD  xB  const
v A  2vD  vB  0
 m  m
12   2 3   vB  0
 s  s
a A  2a D  a B  0
 m
 9 2   vB  0
 s 
m
vB  18
s
m
aB  9 2
s
11 - 39
Moto curvilineo: posizione
• Un p.m. che non si muove in linea retta si dice che si muove di moto
curvilineo

• Il vettore posizione del p.m. r al tempo t è
definito come il vettore tra l’origine O di un
sistema fisso di riferimento e la posizione
occupata dal p.m
• al tempo t+t il p.m. si sposta nella posizione P’,
percorrendo l’arco di curva s.
s=spazio percorso

•Sia r ' il vettore posizione del p.m. in P’

•Il vettore spostamento  r è definito come:
   

r  r 'r  r (t  t )  r (t )
Moto curvilineo: velocità
• Un p.m. che non si muove in linea retta si dice che si muove di moto
curvilineo
• Il vettore posizione del p.m. al tempo t è definito come il vettore tra
l’origine O di un sistema fisso di riferimento e la posizione occupata
dal p.m
• Definiamo la velocità media (vettore) del p.m. che occupa la
posizione P al tempo t e P’ a t + t,


r
vm 
t
Velocità istantanea (vettore)



r dr
v  lim

t 0 t
dt

s ds

t 0 t
dt
v  lim
Velocità istantanea (scalare)
11 - 41

dr ds

v
dt
dt
Moto curvilineo: accellerazione

• Consideriamo la velocità di un p.m. v al tempo t e la sua

v
t + t :


v dv

a  lim

dt
t 0 t
velocità
a
 accellerazione Istantanea (vettore)
• In generale, il vettore accelerazione non è tangente al
percorso della particella e quindi non è parallelo al vettore
velocità.
11 - 42
Derivate di funzioni vettoriali

P u 

Qu 
e
sono vettori e funzioni della variabile continua u
• Derivata della somma di due vettori

 

d P  Q  dP dQ


du
du du
• Derivata del prodotto con uno scalare f



d  f P  df
dP

P f
du
du
du
• Derivata del prodotto scalare



 



d P  Q dP
dQ

Q  P 
du
du
du
La derivata è tangente alla curva !
11 - 43
Componenti lungo gli assi cartesiani
• La posizione P di un p.m. in un riferimento
cartesiano è data da:




r  xi  y j  zk
• Vettore velocità ,
 dx  dy  dz 
v i  j k
dt
dt
dt



 vx i  v y j  vz k
• Vettore accellerazione
 d 2x  d 2 y  d 2z 
a 2 i  2 j 2k 
dt
dt
dt



 ax i  a y j  az k
dvx  dv y  dvz 
i  2 j  2k
dt 2
dt
dt
11 - 44
Esempio 2D
• il moto si puo’ scomporre in tre moti indipendenti sugli assi
cartesiani (mi sapete dire quando non è possibile?)
dvx d 2 x
ax 
 2 0
dt
dt
d2y
ay 
 2  g
dt
dt
dv y
Con condizioni iniziali
x0  y 0  z 0  0
dvz d 2 z
az 

0
dt dt 2
v x 0 , v y 0 , v z 0  0
Integrando due volte
v x  v x 0
x  v x 0 t
v y  v y   gt
0
y  v y  y  12 gt 2
0
vz  0
z0
• Il moto nella direzione orizzontale x è uniforme
• Il moto nella direzione verticale y è uniformemente accellerato
• Il moto del p.m. può essere scomposto in due moti rettilinei
indipendenti
11 - 45
Applicazione:moto del proiettile
[qualunque oggetto lanciato in aria]
Ipotesi:
1.
accelerazione di gravità g costante
2.
resistenza dell’aria trascurabile
Il moto orizzontale e verticale sono indipendenti
la traiettoria è sempre una parabola [dimostrare]
applico le equazioni della cinematica monodimensionale:
1. moto rettilineo orizzontale (x): uniforme
2. moto rettilineo verticale (y) : uniformenmente accellerato (caduta di un grave)
x
vx  vx 0
x  vx 0 t
y
z
v y  v y 0  gt
vz  0
y  v y 0 y  12 gt 2
z0
2 - 46
Applicazione:moto del proiettile
2 - 47
2 - 48
2 - 49
2 - 50
?
?
?
2 - 51
Luce stroboscopica : flash ad intervalli uguali t
2 - 52
Moto relativo ad un sistema di riferimento in movimento relativo uniforme
• Consideriamo un sistema fisso di riferimento O(xyz) ed uno mobile
A(x’y’z’) che al più trasla rispetto al prima con velocità costante .
• I vettori posizione per i p.m. A e B rispetto al sistema fisso Oxyz sono :
 
rA e rB .

rB A che unisce
• Il vettore
A e B definisce la posizione di B
rispetto al sistema di riferimento mobile Ax’y’z’. Risulta:

 
rB  rA  rB A
• Si ottiene:



vB  v A  vB A



a B  a A  aB A

vB A  Velocità di B rispetto ad A.

a B A  Accellerazione di B rispetto ad A.
• Il moto “assoluto di B può essere ricavato combinando il moto di
A con il moto relativo di B rispetto al sistema di riferimento
mobile attaccato ad A.
11 - 53
Componenti tangenziale e normale
• La velocità è un vettore sempre tangente alla traettoria del
p.m. In genere, l’accellerazione non lo è ! E’ conveniente
esprimere il vettore accellerazione in termini di componenti
tangenziali e normali (ortogonali alla direzione del moto
cioe’ alla tangente)


• Siano
et ed et i versori tangenti alla traettoria in P e
P’. Riportiamoli sull’origine e chimiamo l’angolo
tra diloro 

et  et  et
et  2 sin  2 


et
sin  2  
lim
 lim
en  en
 0 
 0
 2




det
en 
; en  et
d
traettoria
/2
Non fate confusione, questa non è la taettoria
s   ;


s
Ad esempio:
Circonferenza cerchio di raggio ?
s     * 2
360  2 rad
+

 det
 
en 
; en  et
d
=



det
det d ds
1

 en 
*v
dt
d ds dt

Componenti tangenziale e normale dell’accellerazione


• Esprimendo la velocità come : v  vet
l’accellerazione della p.m. può essere scritta come :



 dv dv 
det dv 
det d ds
a
 et  v
 et  v
dt dt
dt dt
d ds dt
ma
ma

det 
 d  ds  ds  v

e
da
 n at et  an en dt
Sostituendo
 dv  v 2 
a  et  en
dt

dv
at 
dt
an 
v2

• La componente tangenziale dell’accellerazione riflette il
cambio di intensità della velocità (velocità scalare) mente la
componente normale riflette il cambio di direzione del
moto.
• La componente tangenziale può essere positiva o negativa.
La componente normale punta sempre verso il centro della
curvatura.
Problema
• Calcolare le componenti tangenziali e normali
dell’accellerazione.
vA=60 Km/h
250 m
• Determinare il modulo dell’accellerazione e la
direzione rispetto alla tangente alla curva.
Una automobile compie una curva a 60 km/h. Il
guidatore frena causando una decellerazione
uniforme
Sapendo che dopo t = 8 s la velocità è stata ridotta
a v2=45 Km/h, determinare l’accellerazione un
attimo prima di frenare
11 - 57
Problema
0.5 m/s2
• Calcolate le comp. tangenziale e normale dell’accellerazione
di una p.m.
at 
v 45  60Km / h
15 1000 m

 *
 0.50 sm2
t
8s
8 s 3600 s
v12 60 Km h 
m
an  
 1.10 2

0.25 Km
s
2
1.1 m/s2
v1  60 Km/h
v2  45 Km/h
• Determinare il modulo dell’accellerazione e la direzione
rispetto alla tangente alla curva.
a  at2  an2 
  tan 1
 0.52  1.12
an
1.1
 tan 1
at
0.5
a  1.21
m
s2
  65.5
Problema
• Valutare t* per  = 30o.
• Calcolare la posirione radiale (r) ed angolare
(, e le due derivate, prima (velocità) e
seconda (accellerazine), rispetto al tempo a
t=t*.
Il braccio meccanico ruota attorno al punto fisso O con
legge orararia  = 0.15t2 dove  è in radianti e t in
secondi. Il collare B scorre lungo il braccio secondo la
seguente legge orarria r = 0.9 - 0.12t2 dove r è espresso
in metri.
Dopo che il braccio ha ruotato di 30° , determinare (a)
la velocità totale del collare, (b) l’accellerazione totale
del collare (c) l’accellerazione relativa del collare
rispetto al braccio.
• Calcolare la velocità ed accellerazione in
coordinate cilindriche
• Calcolare l’accellerazione del collare rispetto al
braccio
11 - 59
• Valutare t* per  = 30o.
  0.15t 2
 30  0.524 rad
t  1.869 s
• Calcolare la posirione radiale (r) ed angolare (, e le due
derivate, prima (velocità) e seconda (accellerazi0ne), rispetto
al tempo a t=t*.
r  0.9  0.12 t 2  0.481 m
vr  dr  0.24 t  0.449 m s
dt
2
ar  d 2r  0.24 m s 2
dt
  0.15 t 2
d
30  0.524 rad
 0.30 t  0.561 rad s
dt
d 2
 0.30 rad s 2
2
dt
11 - 60
• Calcolo per velocità ed accelerazione.
vr  0.449 m s
d
 0.481 m 0.561 rad s   0.270 m s
dt
v
v  vr2  v2
  tan 1 
vr
v  r
v  0.524 m s
d 2 r  d 
ar  2  r 

dt
 dt 
  31.0
2
 0.240 m s 2  0.481 m 0.561 rad s 
2
 0.391 m s 2
d 2
dr d
a  r 2  2
dt
dt dt
 0.481 m  0.3 rad s 2  2 0.449 m s 0.561 rad s 


 0.359 m s 2
a  ar2  a2
  tan 1
a
ar
a  0.531m s
  42.6
• Calcolare l’accellerazione del collare rispetto al
braccio
aB / OA  r  0.240 m s 2
11 - 62