Diapositiva 1 - Dipartimento di Matematica

MODELLO DI DIFFUSIONE
DI UNA MALATTIA INFETTIVA
Modello di Bernoulli (1760)
Introdotto per valutare l’efficacia dell’inoculazione come protezione del vaiolo
• Due popolazioni all’inizio identiche:
x(t )
•
x(t )
•
 (t )
 (t )
con
x(0)   (0)
sopravvissuti al tempo t di una popolazione che non subisce
contatto con il virus
sopravvissuti al tempo t di una popolazione che viene
in contatto con il virus
Lucia Della Croce – Matematica applicata
alla Biologia
Problema
Confronto dei sopravvissuti nelle due popolazioni
studio della funzione:
g (t ) 
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applicata alla Biologia
 (t )
x (t )
IPOTESI
1.
del modello di Bernoulli
La popolazione
di mortalità
x(t ) diminuisce solo in base al tasso naturale
dx(t )
   x(t )
dt
2.
 tasso di mortalità
naturale
Un individuo infettato ha solo due possibilità:
muore o si immunizza
 (t )  S (t )  R(t )
I sopravvissuti della popolazione infettata sono formati dagli individui
Suscettibili ( cioè quegli individui che possono essere infettati ) e da quelli
già immunizzati ( Rimossi)
In questo modello non si considerano gli Infettivi, cioè quegli individui in
grado di diffondere l’infezione.
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alla Biologia
3.
4.
La proporzione di individui che hanno contratto il vaiolo e non muoio
ma si immunizzano è costante (1   )
Il numero di individui colpiti dal vaiolo è proporzionale ai Suscettibili
v(t )   S (t )
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applicata alla Biologia

Velocità di infezione
Studio della popolazione
 (t )
(sopravvissuti tra gli infettati)
 (t )  S (t )  R(t )
S (t )
diminuisce per morte naturale e per infezione secondo l’ipotesi 3
dS (t )
   S (t )   S (t )
dt
morte naturale
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applicata alla Biologia
infezione
R (t )
diminuisce per morte naturale e aumenta secondo l’ipotesi 2
dR(t )
   R(t )  (1   )  S (t )
dt
morte naturale
Sommando
si sono ammalati
frazione di ammalati
che non sono morti ma immunizzati
d (t ) dS (t ) dR(t )


dt
dt
dt
   S (t )   S (t )   R(t )   S (t )   S (t ) 
  S (t )  R(t )    S (t )
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 (t )
segue la legge:
numero di individui che pur
essendo venuti in contatto
con il virus sono sopravvissuti
d (t )
   (t )   S (t )
dt
E’ possibile ora eseguire il confronto tra le due popolazioni,
cioè è possibile studiare la funzione:
g (t ) 
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 (t )
x (t )
Per trovare l’espressione della funzione :
g (t ) 
 (t )
x (t )
ricaviamo l’equazione differenziale di cui essa è soluzione.
Per confrontare i sopravvissuti non infetti con i sopravvissuti venuti
in contatto con il virus, studiamo come varia nel tempo il loro
rapporto :
dg (t )
dt
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dg (t ) d   (t ) 
 

dt
dt  x(t ) 
d (t )
dx(t )
x(t )
  (t )
dt
dt 
x2
  (t ) x(t )  S (t ) x(t )  x(t ) (t )



2
2
2
x (t )
x (t )
x (t )
S (t )
 (t ) S (t )
S (t )


 
 
  g (t )
x(t )
x(t )
x(t )
x(t )  (t )
 (t )
 (t )
 (t )
dg (t )
S (t )
  g (t )
dt
 (t )
S (t )
Se si riuscisse ad esplicitare il termine
 (t )
lineare a variabili separabili …
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si ridurrebbe ad una equazione differenziale
Studio del termine
S (t )
 (t )
proporzione di individui ancora
viventi
che non hanno contratto il
virus
E’ tecnicamente più conveniente valutare il reciproco:
f (t ) 
 (t )
S (t )
d (t ) dS (t )
S (t )

 (t )
1 d (t )  (t ) dS (t )
df (t )
dt
dt



2
S (t ) dt
S (t ) 2 dt
dt
S (t )
  (t )   S (t )
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alla Biologia
  S (t )   S (t )

 (t )
S (t )
  
 (t )
S (t )

 (t )
S (t )
f (t )
  f (t )  
In conclusione:
df (t )
  f (t )  
dt
S (0)   (0)
f (0)  1
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f (0)  1
all’inizio tutta la popolazione che
viene in contatto col virus è
suscettibile di ammalarsi
f (t )  (1   ) e  
t
Ricordando che
f (t ) 
 (t )
S (t )
S (t )
1

t
 (t )   (1   )e
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Calcolo di
g (t ) 
 (t )
x(t )
dg (t )
S (t )
  g (t )
dt
 (t )
1
f (t )
1
  g (t )
t
  (1   )e
dg (t )


g (t )
t
dt
  (1   )e
g (o )  1
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eq. differenziale
lineare
Risolvendo:
g (t )  (1   )   e
Previsione del modello
• non dipende da
tasso di mortalità
1.2
(t)/x(t)
beta  0.6
0.8

• dipende da  ,  cioè dal
potere di immunizzazione e
dalla velocità d’infezione
  0.7
1
t
0.6
Il modello prevede che il rapporto
tra i sopravvissuti nelle due
popolazioni si stabilizzi al valore
0.4
1-
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
10
tempo
Il tempo impiegato per stabilizzarsi dipende da
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