formula formula consideri

Reti di TLC
Esercitazione 3
Ing. Mauro Femminella
[email protected]
http://conan.diei.unipg.it/Corso Reti/
University of Perugia
Sistemi di servizio
1
1
2 .
.
.
n
L
sorgenti di traffico fila d’attesa
2
.
.
.
m
servizio
» Il sistema viene descritto attraverso variabili aleatorie quali:
»
»
»
»
»
»
University of Perugia
k = numero di utenti nel sistema
l = numero di utenti nella sola fila d’attesa
h = numero di serventi contemporaneamente occupati
x = tempo di servizio
s = tempo di permanenza nel sistema (tempo di coda o di ritardo)
w = tempo di permanenza nella fila d’attesa
Sistemi di servizio
· La variabile aleatoria k viene caratterizzata
attraverso la sua probabilità limite
pk= pk=probabilità che in un generico istante di
osservazione in regime permanente siano presenti k utenti
all’interno del sistema
University of Perugia
Parametri prestazionali
» Probabilità di sistema bloccato (m serventi)
S p  Prk = L + m  pLm
» Probabilità di rifiuto
» r.s.o.  richiesta di servizio offerto
Pr r.s.o/sist ema bloccato  p
 p  Pr sistema bloccato/r.s.o   S p

Pr r.s.o 
0
» Probabilità di servizio bloccato (m serventi)
S r  Prk  m
» Probabilità di ritardo
» r.s.a.  richiesta di servizio attesa
 r  Prservizio bloccato/r.s.a   S r
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Prr.s.a/serv izio bloccato sr

Prr.s.a 
s
Sistemi a coda monoserverte (L=)
· La richiesta in arrivo è servita se trova il
servente
disponibile, altrimenti viene inserita in fila d’attesa.
· Tali sistemi hanno rilevante interesse nello studio
delle reti a pacchetto.
1
2 .
.
n .
sorgenti di
traffico
University of Perugia
1
fila d’attesa
servizio
Sistema a coda M/M/1//
· Ipotesi:
» tempi di interarrivo i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa di
parametro l (ingresso di Poisson);
» tempi di servizio i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa di
parametro m;
» processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti.
» singolo servente;
» un numero comunque elevato di utenti possono trovare posto nella
fila d’attesa.
· Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di
·
Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,1,…}
Il processo di coda K(t) è ergodico se l/µ<1
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Evoluzione temporale
ingresso
servizio
nascite
morti
k(t)
4
3
2
1
0
t
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Frequenze di transizione di stato
lk  l
per k 0
frequenza di nascita
mk  m
per k 1
frequenza di morte
l
l
0
1
m
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l
...
2
m
l
m
l
k+1
k
m
l
m
m
Probabilità limite di stato (1)
· Per l’equilibrio dei flussi si ha:
lpk  mpk 1
pk 1
per k0
l
ll
l
 pk 
pk 1  ...   
m
mm
m
k 1
p0
posto r=l/m per r<1 si ha l’equazione di congruenza



pk 
k 0
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
k 0
r  p0 1
k
p0  1  r
Già noto dal Teorema di Little
Probabilità limite di stato (2)
· Quindi la probabilità di avere k utenti nel sistema è
pk  PrK  k   (1  r ) r
per k=0, 1, ...
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k
Probabilità limite di stato (3)
· Il numero medio di utenti nel sistema è

E[ K ]  k 


k  pk 
k 0
 ( 1  r )r

 kr


k ( 1  r )r k  ( 1  r )
k 0
k 1
 ( 1  r )r
k 0

kr k 
k 0

 kr
k 1
k 1
 
 ( 1  r )r 
 r



r 

k 0


k
  1 
r


 ( 1  r )r 


 r 1  r  1  r
· Il tempo di permanenza medio è (Teorema di Little)
T
k
l
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
r
l( 1  r )

1/ m
1

(1 r ) m  l
Probabilità limite di stato (3)
Probabilità limite di stato pk
0.12
r=0.9
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
k
La distribuzione è di tipo geometrico con parametro r
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Parametri prestazionali
· In condizioni di equilibrio statistico l’intensità
media di traffico smaltito As coincide con l’intensità
di traffico offerto Ao
As  Ao  r  1  p0
· La probabilità di servizio bloccato Sr coincide con la
probabilità di ritardo r
S r   r  Ao  r
r = prob. che il servente sia occupato = la percentuale
temporale di occupazione del servente = la prob. che una
richiesta in arrivo sia costretta ad attendere in coda
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Distribuzioni in equilibrio statistico
· l= lunghezza della fila d’attesa=numero di utenti
nella fila d’attesa

( 1  r )  r( 1  r )  1  r 2 j  0
Prl  j  
j 1

(
)
1

r

r
j 1

r2
l
1 r
· h=numero di serventi impegnati
1  r
Prh  j  
r
j 0
j 1
hr
· il numero medio di utenti all’interno del sistema è
quindi
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k l h 
r
1 r
Tempi di attesa
· Si assume la disciplina di coda di tipo FIFO, la
distribuzione del tempo di attesa e’:
Fw (t )  Pr (w  t )  1  r  e
(1 r )m t
r 1
W 
m 1 r
· Detto inoltre wr l’ r-percentile del tempo di attesa
(cioè quel valore che non è superato per una
percentuale di tempo uguale a r)
r
Pr (w  wr ) 
100
University of Perugia
 100 r 
wr  ln

r  100  r 
W
Tempi di coda (1)
· La distribuzione del tempo di coda è
Fs (t )  Pr (s  t )  1  e
(1 r )m t
1
1
1
T

w
m  (1  r ) m  l
m
· detto inoltre sr il percentile r% del tempo di coda
r
Pr (s  sr ) 
100
University of Perugia
 ln(1  r / 100)
sr  T
1 r
Tempi di coda (2)
Distribuzione del tempo di coda
1
m=0.5
0.9
r=0.6
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
Tempo
University of Perugia
10
12
14
16
Tempi di coda (3)
Tempo medio di coda
60
m=0.2
50
40
30
20
10
1/m
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Intensità media di traffico (Erl)
Al crescere dell’intensità di traffico il tempo di coda tende all’infinito
University of Perugia
Modellizzazione di un multiplatore a pacchetto
· Ipotesi:
» I flussi di pacchetti prodotti dalle sorgenti sono
rappresentabili mediante processi di Poisson
» I flussi di pacchetti emessi dalle sorgenti sono
indipendenti tra loro;
» Le lunghezze dei pacchetti hanno distribuzione
esponenziale negativa e sono indipendenti tra loro;
» Il processo di ingresso complessivo è indipendente
dal processo di servizio
1
2
University of Perugia
k
Canale di uscita
Sistemi a coda multiservente
· La richiesta in arrivo è servita subito se trova
almeno una risorsa (servente) disponibile, altrimenti
è rifiutata.
· Tali sistemi hanno rilevante interesse nello studio
delle reti telefoniche.
1
1
2 .
.
n .
University of Perugia
sorgenti di
traffico
2
.
.
.
S
Modelli per sistemi di commutazione telefonici
· Le sorgenti di traffico telefonico presentano
·
·
richieste di connessione (tentativi di chiamata).
Il servente del sistema di commutazione (indicato
con il termine generico di giunzione) esplica le
funzioni necessarie a supportare la chiamata.
Si indica con il termine congestione la condizione in
cui si trova il sistema di commutazione quando, al
presentarsi di un tentativo di chiamata, non è in
grado di effettuare la connessione.
sorgenti di traffico
telefonico
University of Perugia
risorse del sistema
di commutazione
Sistema a coda M/M/m/0/
· Ipotesi:
» tempi di interarrivo i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa (l);
» tempi di servizio i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa (m);
» processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti.
» m serventi, statisticamente identici ed indipendenti;
» capacità nulla della fila d’attesa.
· Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di
·
Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,…, m}.
Il processo di coda K(t) è ergodico per ogni valore positivo di l
e µ (coda a perdita)
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Evoluzione temporale
· Il numero di utenti nel sistema coincide con il
numero di serventi contemporaneamente occupati
ingresso
3
2
1
servizio
nascite
morti
K(t)
3
2
1
0
University of Perugia
t
Frequenze di transizione di stato
· lkl
· mkkm
per 0k  m-1 frequenza di nascita
per 1  k  m frequenza di morte
l
0
l
1
m
University of Perugia
l
...
2
2m
3m
l
l
m
m-1
(m-1)m
mm
Probabilità limite di stato
· Per l’ equilibrio dei flussi si ha (come nel caso M/M/1):
»
per 1  k  m
lk 1 pk 1  m k pk
lk 1
lk 1 lk 2
pk 
pk 1 
pk 2  ... 
mk
m k m k 1
m
» inoltre  p j  1 da cui
j 0
k 1

lk
p0
m k 1
j 0
m
j
l 1
p0   p j  p0    
p0 1
j 1
j 1  m  j!
m
» posto A0=l/m: traffico offerto al sistema, risulta
j

l 1
j 1
 p j  p0  
 p0 Ao


j!

 m  j!

1
1
pk  
p 

j
m
 0
m
l 1

( Ao ) j 1
 

j!
m  j! j 0

j 0


University of Perugia

0 jm
j 0
1
Ao
k!
k
pk 
m
1
 Ao
j!
j 0
j
Probabilità di congestione di chiamata
· Nel caso di processo di ingresso di Poisson, dato che la
probabilità di r.s.o. é indipendente dallo stato, si ha:
p
lm
 Sp
 Sp
o
· Nel caso di sistema a coda M/M/m/
1
Ao
m!
 p  Sp  m
j 1
A
 o
j!
j 0
m
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FORMULA B
DI ERLANG
Formula B di Erlang
· L’espressione della probabilità di sistema bloccato e
·
di rifiuto per un sistema a coda M/M/m a perdita in
senso stretto é denominata anche funzione di Erlang
del 1° tipo di ordine m e di argomento Ao
Gode inoltre della proprietà di calcolo di tipo
ricorsivo, infatti:
1
Ao E1,m1 ( Ao )
m
!
E1,m ( Ao ) 

m
m  Ao E1,m1 ( Ao )
j 1
 Ao
j!
j 0
Ao m
» con il primo elemento pari a: E1,1 ( Ao ) 
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Ao
1  Ao
Formula B di Erlang
· La grande importanza della formula B di Erlang
risiede anche nel fatto che essa risulta valida
qualsiasi sia la distribuzione dei tempi di servizio
(ferma restando l’ipotesi di i.i.d).
· In condizioni di equilibrio statistico la distribuzione
del numero di utenti nel sistema è funzione del solo
tempo medio di servizio 1/m e non della
distribuzione del tempo di servizio stesso
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Parametri prestazionali
· Intensità media di traffico smaltito As, che rappresenta il
numero medio di serventi contemporaneamente
occupati, dipende da Ao e dal numero di serventi m:
As   kpk  Ao 1  E1,m ( Ao )
m
k 1
· Intensità media di traffico rifiutato:
Ap  Ao  As  Ao E1,m ( Ao )
· Coefficiente di utilizzazione del servente:
As Ao

r

1  E1,m ( Ao )
m
m
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Probabilità di rifiuto in funzione di m
· La probabilità di rifiuto, a parità di A0, decresce al
crescere del numero di serventi m
1
Probabilità di rifiuto
0.9
0.8
Ao=50
0.7
0.6
Ao=40
0.5
0.4
Ao=30
0.3
0.2
Ao=10
Ao=1
Ao=20
0.1
0 0
University of Perugia
5
10
15
20
Numero di serventi m
25
30
Dimensionamento di m in funzione di p
· La probabilità di rifiuto è, a parità di m, una
funzione monotona crescente di A0
Numero di serventi m
30
25
p=0.01
20
p=0. 1
15
10
5
00
University of Perugia
5
10
15
20
25
Intensità media di traffico offerto A0 (Erl)
30
Probabilità di rifiuto in funzione di A0
1
0.9
m=1
Probabilità di rifiuto
0.8
m=2
0.7
m=3
m=4
0.6
m=5
m=6
m=7
m=8
m=9
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
University of Perugia
0
2
4
6
8
10
12
Intensità media di traffico offerto A0 (Erl)
14
16
r in funzione di A0 (1)
Probabilità di rifiuto
 p= 0.1
100
0.7
10
0.6
0.5
0.4
1
0.3
0.2
0.1
0.1
0
0
5
10
15
20
Intensità media di traffico offerto Ao (Erl)
University of Perugia
25
30
(scala logaritmica)
0.8
Numero di serventi
Coefficiente di utilizzazione
0.9
r in funzione di A0 (2)
» A parità di congestione di chiamata, sistemi con elevato numero di
serventi presentano, in condizioni di equilibrio statistico, un
rendimento MIGLIORE rispetto a sistemi con pochi serventi.
Probabilità di rifiuto p=0.01
100
25
0.6
0.5
0.4
10
0.3
0.2
0.1
0
0
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16
5
10
15
20
Intensità media di traffico offerto Ao (Erl)
1
25
(scala logaritmica)
0.7
Numero serventi
Coefficiente di utilizzazione
0.8
Esempio numerico 1
» Traffico offerto ad una linea telefonica Ao=100 Erl
» Tale traffico viene offerto ad un unico fascio di circuiti in modo tale
che la probabilità di rifiuto rimanga sotto l’1%
E1,m ( A0 )  0.01
m=117
» Si supponga ora di ripartire tale traffico uniformemente su n fasci
con n=2, 4, 10 ,25, 50, 100
» Si può notare come all’aumentare di n aumenta il numero di fasci
necessari e diminuisce il r di ogni singolo fascio
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n
1
2
4
10
25
50
100
Aoi=(Ao/n) mi m=mi*n
p
r
effettivo
100
117
117
0.0098 0.8463
50
64
128
0.0084 0.7747
25
36
144
0.0080 0.6889
10
18
180
0.0071 0.5516
4
10
250
0.0053 0.3979
2
7
350
0.0034 0.2847
1
5
500
0.0031 0.1994
B di Erlang: dimensionamento del sistema
· Dimensionamento del sistema: stimato il traffico
offerto A0 e fissato il valore massimo per la
probabilità di congestione di chiamata max,
determinare m:
» trovare il più piccolo valore di m tale per cui
E1,m ( Ao )   m ax
» tale valore può essere facilmente determinato per tentativi
a partire da m=1
» il valore effettivo della congestione di chiamata potrà
risultare inferiore a max
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B di Erlang: valutazione delle prestazioni
· Valutazione delle prestazioni: dato il numero dei
serventi ed il traffico offerto, determinare la
probabilità di di congestione di chiamata:
» Va notato che solitamente è noto il traffico smaltito As* e il
numero di serventi m da cui si può stimare A0 attraverso
la relazione seguente


Ao 1  E1,m ( Ao )  A*s
» Una volta calcolato A0 si calcola la probabilità di
congestione di chiamata
 p  E1,m ( Ao )
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Esempio numerico 2 (1)
» Si consideri un centralino telefonico automatico (PABX) di una
grande azienda. Il centralino è collegato alla rete telefonica nazionale
(RTN) tramite un certo numero di linee bidirezionali.
» Si consideri inoltre che:
» nell’ora di punta gli utenti attestati al centralino formulano mediamente 140 chiamate dirette
verso la RTN;
» nell’ora di punta il numero di chiamate provenienti dalla RTN e dirette verso gli utenti del PABX è
mediamente 180;
» il flusso delle chiamate sia entranti che uscenti è Poissoniano;
» la distribuzione di probabilità delle durate delle conversazioni è di tipo esponenziale negativo con
valor medio pari a 3 minuti;
» la modularità delle linee è pari a 4, ovvero si possono inserire linee solo a gruppi di 4;
» il PABX è del tipo a perdita pura.
» Si determini il numero di linee necessario a garantire un servizio con
congestione di chiamata non superiore all’1%.
» Calcolare inoltre la frequenza massima delle chiamate consentita
nell’ora di punta.
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Esempio numerico 2 (2)
· Il PABX può essere modellato con un sistema a coda
·
del tipo M/M/m in cui m è il numero di linee tra
PABX e RTN
Si calcola il traffico globale offerto. Questo è pari
alla somma del traffico uscente
140
Au 
3  7 Erl
60
· e del traffico entrante
180
Ae 
3  9 Erl
60
· quindi
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Ao  Au  Ae  16 Erl
Esempio numerico 2 (3)
· Per calcolare il numero di linee necessario a
garantire una probabilità di congestione di
chiamata minore dello 0.01 va calcolato il più
piccolo m tale per cui
E1,m ( Ao )  0.01
· Si ottiene in tal caso m=25
· A causa del vincolo sulla modularità il numero di
·
linee da inserire sarà pari quindi a m=28
Dato tale numero di linee la congestione di chiamata
sarà notevolmente inferiore a quella richiesta infatti
 p ,effettivo  E1,28 (16 )  0.0019
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Esempio numerico 2 (4)
· Per determinare la frequenza massima delle
chiamate consentita nell’ora di punta si calcola
prima il valore di A0,max tale per cui
E1,28 ( Ao m ax)  0.01
· da cui si ricava A0,max = 18.64
· per cui
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60
lm ax  Ao m ax
 373 chiamate / ora
3
Esempio numerico 3 (1)
· Si consideri il
PABX dell’esempio 1 dimensionato
con 28 linee bidirezionali che lo connettono alla Rete
Telefonica Nazionale.
· A distanza di tempo dalla sua installazione si vuole
valutare la qualità di servizio offerta sapendo che a
seguito di una campagna di misure si è riscontrato,
nell’ora di punta, un valore di intensità media di
traffico smaltito pari a circa 20.42 Erl.
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Esempio numerico 3 (2)
· Dato il traffico smaltito misurato si può ricavare il traffico
offerto al sistema risolvendo l’equazione
» da cui si ha
Ao (1  E1,28 ( Ao ))  20.42
Ao  21 Erl
· Per quanto riguarda il valore di congestione di chiamata, si ha
E1,28 (21)  0.0277
· Il PABX non è più in grado di rispettare il vincolo sul grado di
servizio. Le prestazioni sono variate, ad esempio, per un
leggero incremento dell’utenza. Bisognerà quindi
ridimensionare il numero di linee per riportare la probabilità
di rifiuto sotto la soglia dello 0.01
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