cadute di tensione

Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2009/10
Valutazione delle cadute
di tensione nelle travi in
c.a.p
Bozza del 25/05/2010
a cura di Enzo Martinelli
Materiali
Post-teso: cavi M5 da Brevetto Morandi
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2009/10
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2009/10
Esempio Numerico
Scelta della sezione
Caratteristiche geometriche
L=
g'=
32
3.00
m
kN/m2
p=
i=
20
2.50
kN/m
m
Scelta della sezione
h=L/16=
2.00
m
h=
220
cm
Si adotta il profilo "Alfa 220 n 18" con le seguenti caratteristiche:
Bozza del 25/05/2010
Bi
S
BS
Peso
Cassero
[mm]
720
[mm]
180
[mm]
1020
[kN/m]
16.320
[m2/m]
6.0966
Area
YG
J
WS
Wi
[mm2]
652800
[mm]
1090
[mm4]
4.16E+11
[mm3]
3.75E+08
[mm3]
3.82E+08
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2009/10
Esempio Numerico
Scelta della sezione: estratto del sagomario
Bozza del 25/05/2010
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2009/10
Esempio Numerico
Analisi dei carichi
(a metro lineare di trave)
Peso proprio:
g=
16.32 kN/m
Sovraccarico fisso:
g'=
7.50 kN/m
Sovraccarico acc.:
p=
20 kN/m
q=
43.82 kN/m
Caratteristiche dei materiali
Bozza del 25/05/2010
Rck=
50 MPa
fptk=
1900 MPa
fck=
40 MPa
s S0=
1425 MPa
Ec=
33346 MPa
EP=
200000 MPa
s c0=
28.00 MPa
s spi<s S0=
1200 MPa
s c0t=
4.00 MPa
s sp<s S1=
1000 MPa
s c1=
24.00 MPa
s c1t=
3.00 MPa
n= 6.00
b= 1.3
a cura di Enzo Martinelli
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Anno Accademico 2009/10
Esempio Numerico
Progetto dell'azione di precompressione N
Mg+g'=
3048.96 kNm
Mmax=
5608.96 kNm
fissato e=
Mmin=
950
2088.96 kNm
mm
N 1=
6402.81 kN
N 3=
2909.28 kN
N 2=
7341.89 kN
N 4=
-9005.04 kN
N3'=
3655.25 kN
N 0=
4752
kN
AP=
3.96
cm2
Scelta del cavi tipo M5 (da "Brevetto Morandi")
Tipo
Bozza del 25/05/2010
n°
portata unit
[kN]
M5/16
2
1783.7
M5/12
1
1337.8
Portata complessiva[kN]=
portata
A
[kN]
3567.4
1337.8
4905.2
[cm2]
1486.417
1114.833
ec,i
[cm]
990
890
962.73 a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2009/10
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TRAVE POST-TESA
Perdite di tensione dovute all’attrito cavo-guaina
Valutiamo la pressione che il cavo esercita sulla superficie interna della guaina. Prendendo
in considerazione un tronco infinitesimo di cavo con raggio di curvatura r, l’equilibrio alla
traslazione in direzione normale all’asse del cavo, tenendo conto che l’angolo d è
infinitesimo, e trascurando pertanto l’infinitesimo di ordine superiore dN d, vale
pn r (2 d)  2 N d
pn 
N
r
pt  f  pn  f 
Dall’equilibrio alla traslazione in direzione parallela all’asse del cavo:
N  pt r d  (N  dN)
dN
 f d
N
N
r
N  N0  e f
La Normativa Italiana prescrive una relazione lineare
per la valutazione delle cadute di tensione istantanee:
N0,B  N0,A 1  f(  z)
0.3 cavo - guaina
f
0.5 cavo - cls
  0.01 rad/m
d
r
N
N+dN
pn
pt
Bozza del 25/05/2010
a cura di Enzo Martinelli
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TRAVE POST-TESA
Perdite di tensione per attrito: formula EC2
Pmax-DP
0.005  k  0.01
rad/m
Pmax
x
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TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO
- esempio numerico -
Bozza del 25/05/2010
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2009/10
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
1
TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO
- esempio numerico 2
3
N0,i
sez
4
cavo
xi
yi
ei
tgi
i
seni
cosi
N0i
2
1
1
2
3
[cm]
1600
1600
1600
[cm]
140.00
110.00
80.00
[cm]
-31.00
-1.00
29.00
0.1500
0.1250
0.0875
0.1489
0.1244
0.0873
0.1483
0.1240
0.0872
0.9889
0.9923
0.9962
2
1
2
3
1500
1500
1500
125.47
97.89
71.52
-16.47
11.11
37.48
0.1406
0.1172
0.0820
0.1397
0.1167
0.0818
0.1393
0.1164
0.0818
0.9903
0.9932
0.9967
3
1
2
3
1400
1400
1400
111.88
86.56
63.59
-2.88
22.44
45.41
0.1313
0.1094
0.0766
0.1305
0.1089
0.0764
0.1301
0.1087
0.0763
0.9915
0.9941
0.9971
4
1
2
3
700
700
700
42.97
29.14
23.40
66.03
79.86
85.60
0.0656
0.0547
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.9979
0.9985
0.9993
5
1
2
3
0
0
0
20.00
10.00
10.00
89.00
99.00
99.00
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000
1.0000
1.0000
Bozza del 25/05/2010
s spi(i)
5
Ni
[kg/cm ]
[kg]
[kg]
12000 133780 132300
12000 178370 176993
12000 178370 177691
Ti
[kg]
19845
22124
15548
N0,i ( j)   spi( j)  Ap ( j)
Ni ( j)  N0,i ( j)  cos i
Ti ( j)  N0,i ( j)  sin i  N0,i ( j)  i
a cura di Enzo Martinelli
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Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
1
TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO
- esempio numerico 2
3
4
sez
cavo
xi
yi
ei
tgi
i
seni
cosi
s spi(i)
5
N0i
Ni
Ti
2
1
1
2
3
[cm]
1600
1600
1600
[cm]
140.00
110.00
80.00
[cm]
-31.00
-1.00
29.00
0.1500
0.1250
0.0875
0.1489
0.1244
0.0873
0.1483
0.1240
0.0872
0.9889
0.9923
0.9962
2
1
2
3
1500
1500
1500
125.47
97.89
71.52
-16.47
11.11
37.48
0.1406
0.1172
0.0820
0.1397
0.1167
0.0818
0.1393
0.1164
0.0818
0.9903
0.9932
0.9967
11963
11969
11977
133412 132112
177958 176748
178079 177483
18578
20713
14559
3
1
2
3
1400
1400
1400
111.88
86.56
63.59
-2.88
22.44
45.41
0.1313
0.1094
0.0766
0.1305
0.1089
0.0764
0.1301
0.1087
0.0763
0.9915
0.9941
0.9971
11927
11937
11954
133043 131912
177546 176494
177789 177270
17313
19304
13572
4
1
2
3
700
700
700
42.97
29.14
23.40
66.03
79.86
85.60
0.0656
0.0547
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.9979
0.9985
0.9993
(2)
(1)
11718
  spi174393
 1 9537
 f   (2)   (1)    z 
174653
spi
1
2
3
0
0
0
20.00
10.00
10.00
89.00
99.00
99.00
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000
1.0000
1.0000
5
Bozza del 25/05/2010
[kg/cm ]
[kg]
[kg]
12000 133780 132300
12000 178370 176993
12000 178370 177691
11669

130450 130170
[kg]
19845
22124
15548
8542
Sezione n.2


1200  1  f  0.1489  0.1397  0.01  z  
11792
175754 175626
1196
MPa171791
11501 .3
171791
11415
127885 127885
11632
173737 173737
6723
0
0
0
a cura di Enzo Martinelli
Anno Accademico 2009/10
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
1
TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO
- esempio numerico 2
3
4
sez
cavo
xi
yi
ei
tgi
i
seni
cosi
s spi(i)
5
N0i
Ni
2
Ti
N0
e0
y
[kg]
19845
22124
15548
[kg]
[cm]
[cm]
486984
1.80
107.20
1
1
2
3
[cm]
1600
1600
1600
[cm]
140.00
110.00
80.00
[cm]
-31.00
-1.00
29.00
0.1500
0.1250
0
0.0875
0.1489 0.1483
( j)
0.1244
j 00.1240
0.0873 0.0872
N N
2
1
2
3
1500
1500
1500
125.47
97.89
71.52
-16.47
11.11
37.48
0.1406
0.1172
0.0820
0.1397 0.1393 0.9903
0.1167 0.1164
0.9932
( j)
( j)
0.0818
0.0818
00.9967
j 0
N
11963
11969
11977
133412 132112
177958 176748
178079 177483
18578
20713
14559
486343
13.24
95.76
3
1
2
3
1400
1400
1400
111.88
86.56
63.59
-2.88
22.44
45.41
0.1313
0.1094
0.0766
( j) 0.9915
0.1305 0.1301
0
0.1089 j0.1087
0.9941
0.0764 0.0763 0.9971
11927
11937
11954
133043 131912
177546 176494
177789 177270
17313
19304
13572
485676
23.95
85.05
700
700
700
42.97
29.14
23.40
66.03
79.86
85.60
0.0656
0.0655
0.0655
4
1
2
3
y0.0547
 yG0.0546
0.0546
,i  e0
8542
9537
6723
30.79
0.0383
130450 130170
174653 174393
175754 175626
78.21
0.0383
11669
11718
11792
480188
0.0383
0.9979
0.9985
0.9993
1
2
3
0
0
0
20.00
10.00
10.00
89.00
99.00
99.00
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000
1.0000
1.0000
11415
11501
11632
127885 127885
171791 171791
173737 173737
0
0
0
473413
96.30
12.70
5
Bozza del 25/05/2010
e0 
0.9889
0.9923
0.9962
e
N
[kg/cm ]
[kg]
[kg]
12000 133780 132300
12000 178370 176993
12000 178370 177691
a cura di Enzo Martinelli
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Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
secondo il D.M. 9 Gennaio 1996
Effetti del ritiro del calcestruzzo
r  0.00030
(applicazione prima di 14 gg)
valori della
deformazione
r  0.00025
Dr  0.00025  195.000  48.8
[MPa]
Dr  0.00030  195.000  58.5
[MPa]
Ec  9500  fck  8
[MPa]
(applicazione dopo i 14 gg)
1/3
Effetti del fluage del calcestruzzo


c,i
La fibra di calcestruzzo posta a distanza
2.3   e,i  2.3  E
c
ei dal baricentro (ed in corrispondenza  v,i     e,i  
 c,i
del j-esimo trefolo/cavo è sottoposta
2.0   e,i  2.0 

Ec
alla seguente tensione per effetto dei
carichi permanenti:
 c,i
N0 N0  e  ei M *  ei



A
I
I
Bozza del 25/05/2010
Dv,i  Ep   v,i  n    c,i
a cura di Enzo Martinelli
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CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
secondo il D.M. 9 Gennaio 1996
Effetti del rilassamento dell’acciaio
Se l’armatura da pretensione viene inizialmente
sollecitata a livelli superiori al 50% della
tensione di rottura (sspi >0.5fptk), si osserva che,
a deformazione imposta costante, la tensione si
riduce nel tempo.
2
D ril
  spi

 16  
 0.5   D r
 fptk



Per la contemporanea presenza di ritiro e fluage
le armature di precompressione non hanno una
deformazione imposta costante; pertanto la
caduta di tensione per rilassamento risulta
minore e valutabile come segue:

( D r  D v ) 
Dril  1  2.5
  D ril
 spi


Tipo di armatura
fili trafilati
D r
0.15 spi
Trecce
0.20 spi
Trefoli
 s pi
0.18
barre laminate
 s pi
0.12
Armature post-tese: spi va considerato al netto delle cadute per attrito;
Armature pre-tese: spi è depurata delle cadute per def. elastica (tensione al disarmo);
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a cura di Enzo Martinelli
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CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
- esempio numerico: sezione di mezzeria N   N( j) 3767 kN
n=

r=
=
EP=
5.79
0.0003
2.3
2
2000000 kg/cm
Cavo n°1:
e1 =
(1)
s spi =
s c=
Ds r(1)=
Ds f(1)=
Ds ril(1)=
Ds ril'
(1)
=
j
89.00 cm
Cavo n°2:
1141.53 MPa
e2 =
10.98 MPa
(2)
60.00 MPa s spi =
s c=
146.23 MPa
(2)
33.41 MPa Ds r =
(2)
18.32 MPa Ds f =
Ds ril(2)=
Ds ril' (2)=
99.00 cmAP(1)=
1150.12 MPa
Ds sp(1)=
β
N0 4843

 1.29
N 3767
2
11.15 cm
224.55 MPa
(2)
11.40 MPa
s sp(1)=
916.98 MPa AP =
(2)
60.00 MPa
N(1)= 1022.28 kN Ds sp =
Cavo
n°3:MPa
s sp(2)=
151.86
e3=MPa 99.00 cm
N(2)=
36.74
(3)
s spi =MPa1163.17 MPa
19.82
2
14.86 cm
231.68 MPa
918.44 MPa
1365.18 kN
s c=
11.40 MPa
AP(3)=
Ds r(3)=
60.00 MPa
Ds sp(3)=
(3)
151.86 MPa
(3)
42.17 MPa
Ds f =
Ds ril =
(3)
Dr  0.00030  200000Dsril' 60
= .0 MPa
22.97 MPa
(3)
s sp =
N(3)=
2
14.86 cm
234.83 MPa
928.34 MPa
1379.91 kN
Δσv(1)  5.79  2.3  10.98  146.23 MPa
Bozza del 25/05/2010
2
 1141.53

 16  
 0.5   0.18  1141.53  33.41 MPa
 1900

60.0  146.23 

Δσril'(1)   1  2.5 
  33.41  18.32 MPa
1141.52


N(1)  1115  1141.53  60.00  146.23  18.32  1022.28 kN
Δσril(1)
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2009/10
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008: Calcestruzzo - Ritiro
cs   cd   ca
ca,
fck  10
 2.5 
1000000
Esempio
cd,  k h c0
fck=40.0 MPa;
Ac=1500 cm2;
u=100 cm.
h 0  300 mm
h0 
2Ac
u
0.75  0.38
cd,  
 0.000285
1000
40  10
ca,  2.5 
 0.0000750
1000000
ca,  0.000350
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2009/10
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008: Calcestruzzo - Viscosità
Bozza del 25/05/2010
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2009/10
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008: Rilassamento
0.25
Classe 1
0.20
t=500000 h
Classe 2
Dpr/pi
Classe 3
0.15
0.10
0.05
0.00
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
m
Bozza del 25/05/2010
a cura di Enzo Martinelli
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
Anno Accademico 2009/10
CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI
Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008 – EC2
Caduta di tensione per
effetti differiti nel
generico cavo o trefolo
c,Qp, i
N0 N0  e  e i



A
IG
Eccentricità del
cavo risultante
Contributo
del Ritiro
M Qp  e i
IG
Eccentricità del cavo
i-esimo di cui si valuta
la caduta di tensione
Contributo del
Rilassamento
E cm
f 
 22000  ck 
 10 
E p  195000 MPa
Contributo
della Viscosità
0.3
zcp
Anno Accademico 2009/10
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
APPLICAZIONE NUMERICA
M5/12
e1 =
spi(1)=
M5/16
890
mm
e2 =
1141.53
MPa
spi(2)=
M5/16
990
mm
1150.12
MPa
10.98
0.00035
0.605
2.50
29.47
2.1
195000
40
35220
MPa
e2 =
990
mm
spi(2)=
1163.17
MPa
10.98
0.00035
0.612
2.50
30.73
2.1
195000
40
35220
MPa
MPa
MPa
MPa
c,Qp =
cs=
m=
m1000=
Dpr=
f(t,t0)=
Ep =
fck=
Ecm=
c,Qp =
cs=
m=
m1000=
Dpr=
f(t,t0)=
Ep =
fck=
Ecm=
10.98
0.00035
0.601
2.50
28.67
2.1
195000
40
35220
MPa
MPa
MPa
MPa
c,Qp =
cs=
m=
m1000=
Dpr=
f(t,t0)=
Ep =
fck=
Ecm=
Ap=
1114.8
mm2
Ap=
1486.4
mm2
Ap=
1486.4
mm2
Ac=
652800
mm2
Ac=
652800
mm2
Ac=
652800
mm2
(1)
MPa
4
Ic= 4.16E+11 mm
zcp= 962.99 mm
Dp,c+s,r= 206.03 MPa
(2)
MPa
4
Ic= 4.16E+11 mm
zcp= 962.99 mm
Dp,c+s,r= 202.68 MPa
(2)
MPa
MPa
MPa
MPa
4
Ic= 4.16E+11 mm
zcp= 962.99 mm
Dp,c+s,r= 203.61 MPa
N(1)=
1042.89
kN
N(2)=
1408.28
kN
N(2)=
1426.29
kN
N(1)DM96=
1022.28
kN
N(2)DM96=
1365.18
kN
N(2)DM96=
1379.91
kN
2.02%
Bozza del 25/05/2010
3.16%
3.36%
Anno Accademico 2009/10
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
RISULTATI NUMERICI (D.M. 96)
- Cadute di tensione istantanee sez
cavo
xi
yi
ei
[cm]
[cm]
[cm]
tgi
i
seni
cosi
s spi(i)
N0i
2
N0icosi
N0isini
N0
e0
y
1
1
2
3
1600
1600
1600
140.00
110.00
80.00
-31.00
-1.00
29.00
0.1500
0.1250
0.0875
0.1489
0.1244
0.0873
0.1483
0.1240
0.0872
[kg]
[kg/cm ]
0.9889 12000 133780
0.9923 12000 178370
0.9962 12000 178370
2
1
2
3
1500
1500
1500
125.47
97.89
71.52
-16.47
11.11
37.48
0.1406
0.1172
0.0820
0.1397
0.1167
0.0818
0.1393
0.1164
0.0818
0.9903 11963.3 133371
0.9932 11968.7 177904
0.9967 11976.9 178026
132072
176695
177430
18573
20706
14555
486197
13.24
95.76
3
1
2
3
1400
1400
1400
111.88
86.56
63.59
-2.88
22.44
45.41
0.1313
0.1094
0.0766
0.1305
0.1089
0.0764
0.1301
0.1087
0.0763
0.9915 11926.7 132963
0.9941 11937.4 177439
0.9971 11953.7 177682
131832
176388
177164
17303
19292
13564
485384
23.95
85.05
4
1
2
3
700
700
700
42.97
29.14
23.40
66.03
79.86
85.60
0.0656
0.0547
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.0655
0.0546
0.0383
0.9979 11669.2 130092
0.9985 11717.8 174176
0.9993 11791.8 175276
129813
173916
175147
8519
9511
6705
478876
78.21
30.79
5
1
2
3
0
0
0
20.00
10.00
10.00
89.00
99.00
99.00
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
1.0000 11415.3 127261
1.0000 11501.2 170955
1.0000 11631.7 172896
127261
170955
172896
0
0
0
471112
96.30
12.70
Bozza del 25/05/2010
[kg]
[kg]
[kg]
[cm]
[cm]
132300
176993
177691
19845
22124
15548
486984
1.80
107.20
Anno Accademico 2009/10
Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni
RISULTATI NUMERICI (D.M. 96)
- Cadute di tensione per effetti differiti M*
[kgcm]
s c(i)
Ds r(i)
2
Ds v(i)
2
Ds ril(i)
2
2
Ds ril'(i)
2
Ds diff(i)
2
s sp(i)
2
Ni
Nicosi
Nisini
N0
e0
y
[kg]
[kg]
[kg]
[kg]
[cm]
[cm]

[kg/cm ]
73.95
74.58
75.21
[kg/cm ]
600.00
600.00
600.00
[kg/cm ]
985.24
993.65
1002.05
[kg/cm ]
598.34
598.34
598.34
[kg/cm ]
400.73
399.68
398.64
[kg/cm ]
1985.97
1993.33
2000.69
[kg/cm ]
10014.03
10006.67
9999.31
111639.7 110405
148740.8 147095
148631.4 146987
16561
18449
12956
404487
1.71
107.29
1.20
3366600
73.26
75.30
77.25
600.00
600.00
600.00
976.12
1003.25
1029.19
579.15
581.92
586.18
388.40
387.04
386.84
1964.52
1990.29
2016.02
9998.83
9978.39
9960.83
111470.3 110384
148320.4 147312
148059.5 147564
15523
17263
12105
405260
13.20
95.80
1.20
6516000
74.00
77.11
79.93
600.00
600.00
600.00
985.96
1027.37
1064.94
560.33
565.78
574.17
374.06
372.95
374.24
1960.02
2000.32
2039.19
9966.71
9937.07
9914.55
111112.2 110167
147706.3 146831
147371.5 146941
14459
16060
11250
403939
23.89
85.11
1.21
22480200
97.13
102.11
104.17
600.00
600.00
600.00
1294.08
1360.41
1387.95
438.05
459.82
494.11
260.30
267.50
285.86
2154.38
2227.91
2273.81
9514.82
9489.93
9518.01
106074.4 105847
141059.8 140849
141477.2 141374
6946
7703
5412
388070
78.18
30.82
1.25
27801600
109.75
113.98
113.98
600.00
600.00
600.00
1462.32
1518.59
1518.59
334.07
367.45
421.68
183.19
198.23
229.67
2245.50
2316.82
2348.25
9169.78
9184.35
9283.44
102227.8 102228
136517.8 136518
137990.7 137991
0
0
0
376736
96.29
12.71
1.29
0
Bozza del 25/05/2010