CINEMATICA
Moti non unidimensionali
Grandezze scalari e grandezze vettoriali
Grandezze scalari
misura (valore numerico + unità di misura)
Esempi: lunghezza, tempo, massa, temperatura
Grandezze vettoriali
o vettori
misura (detta anche intensità o modulo)
direzione
verso
Esempio: posizione di un punto materiale
in un certo istante rispetto ad
un punto fisso O
z
A
A
O
A’
x
A
y
Rappresentazione dei vettori
I vettori sono rappresentati da segmenti orientati aventi direzione e verso
della grandezza vettoriale rappresentata e lunghezza proporzionale al
modulo rispetto ad una scala di misura fissata ad arbitrio
I vettori di modulo unitario si dicono versori
r
a 4u
I vettori si possono indicare in diversi modi:
• una lettera sormontata da una freccia
• gli estremi del segmento sormontati da una freccia
• una lettera in grassetto
Operazioni elementari con i vettori - i metodi grafici B
Somma
b
a
a
a
C
A
b
b
ab
ab
D
Metodo punta-coda
Metodo del parallelogramma
Il vettore somma ha come
primo estremo la coda di a e
come secondo estremo la
punta di b
Il vettore somma è
rappresentato dal segmento
orientato AC del
parallelogramma
È importante osservare che
IN GENERALE il modulo del vettore somma NON è uguale alla somma dei
moduli dei vettori addendi, si può solo dire che è sempre minore o uguale
alla somma dei moduli dei vettori addendi e maggiore o uguale alla loro
differenza
Differenza
B
-b
a
a b
b
a
a b
A
a
b
C
D
Metodo punta-coda
Metodo del parallelogramma
Il vettore differenza ha come
primo estremo la coda di a e
come secondo estremo la
punta di -b
Il vettore differenza è
rappresentato dal segmento
orientato DB del
parallelogramma
Prodotto di un vettore a con uno scalare m
Esempio:
a
2a
il vettore “ma” ha la stessa direzione di a, lo stesso verso di a o quello
opposto a seconda che m sia positivo o negativo e modulo uguale al
prodotto tra il numero m in valore assoluto e il modulo di a
Rappresentazione cartesiana di un vettore
y
a ax ay axi ay j
A
ay
j
0
• i e j sono i versori degli assi x e y
• ax e ay sono le componenti cartesiane
del vettore a :
a
i
ax
x
a x a cosα
a y a sinα
• α è l’angolo che il vettore forma con
l’asse x
Note le componenti di un vettore è sempre possibile
Ricavarne il modulo:
a a 2x a 2y
Determinare l’angolo α:
a arctg
ay
ax
Il vettore spostamento
A
Si definisce vettore spostamento la differenza tra
la posizione finale e la posizione iniziale
Δs r2 r1
Δs
r1
B
r2
0
In generale lo spostamento non coincide con lo spazio percorso
B
A
lo spazio percorso è una grandezza
scalare corrispondente alla lunghezza
del percorso compiuto tra la posizione
iniziale e finale,
a differenti percorsi
può
corrispondere
lo
stesso
spostamento
Lo spostamento coincide con lo spazio percorso
solo se il moto è rettilineo
Il vettore velocità
Nello studio di un moto curvilineo bisogna tenere conto del fatto che in ogni
istante la direzione puo essere diversa, è necessario quindi introdurre la
velocità come vettore
Sia Δs lo spostamento di un corpo nell’intervallo di tempo Δt
s
vm
t
Il vettore velocità media ha stessa direzione e stesso
verso di Δs e modulo pari a quello di Δs diviso per Δt
sBΔsB B
Δ
B
Δ
s
ΔAs
r r
B
r22 2
r2
r1
0
s
v lim
t 0 t
Il vettore velocità istantanea varia istante per istante
e ha la stessa direzione della tangente alla traiettoria
nella posizione occupata dal corpo nell’istante
considerato (velocità tangenziale)
Il vettore accelerazione
Sia Δv la variazione di velocità di un corpo nell’intervallo di tempo Δt
v
am
t
Il vettore accelerazione media ha stessa direzione e
stesso verso di Δv e modulo pari a quello di Δv diviso
per Δt
v
a lim
t 0 t
Il vettore accelerazione istantanea varia istante
per istante.
Se il moto è curvilineo uniforme l’accelerazione
istantanea è una accelerazione centripeta, diretta
perpendicolarmente alla traiettoria
Il moto di un proiettile
Qualunque corpo lanciato lungo una certa direzione segue un moto
curvilineo in due dimensioni detto moto di un proiettile
Lancio diretto orizzontalmente
y
Mentre il corpo si muove
orizzontalmente, è soggetto
per effetto della gravità ad
un moto verticale
x
Sperimentalmente si può evidenziare che:
Il moto orizzontale e quello verticale sono indipendenti e non si
influenzano a vicenda
Il moto orizzontale è rettilineo uniforme
Il moto verticale è rettilineo uniformemente accelerato
Il moto di un proiettile
Se v0 è la velocità di lancio, all’istante iniziale t0=0 si ha:
v x 0 v0
v y 0 0
mentre in un generico istante t successivo a t0 si ha:
v x v 0
v y gt
Da cui si ottiene
y
e
x v0 t
1 2
y
gt
2
1 g 2
x , posto
2
2 v0
1 g
k
2 v02
si ha
y kx2
L’ equazione che descrive la traiettoria del moto è l’equazione di una
parabola simmetrica rispetto alla verticale passante per il punto di lancio
Il moto di un proiettile
Lancio diretto secondo un angolo θ qualsiasi
se v0 è la velocità di lancio,
all’istante iniziale t0=0 si ha:
40
35
vx 0 v0 cos
v y 0 v0 sin
30
25
mentre in un successivo
istante t si ha:
20
15
vx vx 0
v y v y 0 gt
10
5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
x v x 0t
1 2
y
v
t
gt
y0
2
200
L’equazione della traiettoria e’ una parabola
con l’asse di simmetria spostato rispetto alla
verticale passante per il punto di lancio
y vy0
x
1 x2
g 2
vx 0 2 vx 0
Il moto di un proiettile
Si definisce gittata (R) la massima distanza raggiunta in direzione orizzontale
R xmax v x t v dove tv è il tempo di volo del proiettile
Come si può ottenere la massima gittata possibile?
2v sin
R xmax v x t v R v0 cos 0
g
R v02
sin 2
g
La gittata massima si ha in corrispondenza di sin 2θ = 1, cioè θ = 45º
Rmax
v02
g
Il moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme è il moto di un punto materiale P che descrive una
circonferenza con velocità di modulo costante
P(t)
θ0
o
P
θ
r
R
r0
Siano r0 il vettore posizione iniziale di P
θ0 l’angolo che r0 forma con l’asse x
r il vettore posizione finale di P
θ l’angolo che r forma con l’asse x
Il vettore spostamento angolare è definito dalla differenza:
0
Il vettore velocità angolare media è definito dal rapporto:
t
essendo il moto uniforme la velocità angolare istantanea
è, in ogni
istante, uguale alla velocità angolare media: i
Il moto circolare uniforme
P
o
Δθ
R
P0
Tra il modulo dello spostamento angolare Δθ e il
cammino Δl percorso dal punto materiale sulla
circonferenza di raggio R, ovvero la lunghezza dell’arco
di circonferenza corrispondente, esiste la relazione:
l R
Da questa relazione è possibile ricavare la relazione tra il modulo della
velocità angolare ω e il modulo della velocità tangenziale vt, infatti:
l R R t
l v t t
vt R
IMPORTANTE
Questa relazione vale solo tra i moduli dei vettori ma non tra i vettori stessi e
in generale esprime la relazione tra velocita angolare istantanea e velocita
tangenziale istantanea in un moto curvilineo qualsiasi
Il moto circolare uniforme
In ogni intervallo di tempo Δt il modulo della velocità
tangenziale è costante, ma direzione e verso cambiano
P
o
Δθ
R
Quando Δt → 0
inoltre
P0
quindi
è sempre presente una variazione di velocità
Δvt e di conseguenza una accelerazione
v
t
L’accelerazione media è definita dal rapporto a
t
Δvt è diretta esattamente verso il centro della
circonferenza e si parla di accelerazione centripeta ac
2
v t s v t t
v t v t
ac
R 2
vt
R
R
t
R
Il moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme è un moto periodico in quanto si ripete ciclicamente,
con le stesse caratteristiche, lungo la stessa traiettoria, dopo intervalli di
tempo uguali
Periodo(T): il tempo per completare un intero ciclo del
P(t)
moto dopo il quale il moto riassume le
P
θ
r
stesse proprietà
r
θ0
o
R
0
Frequenza(ν): il numero di cicli compiuti nell’unita di
tempo, è legata al periodo dalla relazione:
1
T
Nel moto circolare uniforme:
il periodo corrisponde al tempo che impiega il punto per compiere un
intero giro
la frequenza corrisponde al numero di giri che il punto compie in un
secondo ed è legata alla velocità angolare ω dalla relazione:
vt
2R
R 2
T
Il moto armonico
Il moto armonico è il moto di un punto materiale che oscilla attorno ad una
posizione di equilibrio ed è un altro esempio di moto periodico
y
Spostamento o la distanza dalla posizione di equilibrio,
elongazione: può essere una quantità positiva o
negativa
P
B
o
R
A
x
Ampiezza (A):
Il valore assoluto dello spostamento
massimo dalla posizione di
equilibrio
Nel moto armonico:
il periodo corrisponde al tempo che impiega il punto per compiere
un’oscillazione completa
la frequenza corrisponde al numero di oscillazioni che il punto
compie in un secondo
Il moto armonico
È il moto della proiezione su uno degli assi di un punto P che si muove di
moto circolare uniforme
Se si considera la proiezione orizzontale, si ha:
y
x R cos t
x è l’elongazione al tempo t
dove
P
r
ω è detta pulsazione del moto armonico
ωt
o
B
Q A
R
ωt è la fase al tempo t
x (t)
• t=0
→ x=R
R
• t = T/4 → x = 0
• t = T/2 → x = -R
• t = 3T/4 → x = 0
• t=T
→ x=R
t
0
-R
T/4
T/2
3T/4
T
x
Il moto armonico
Se v t R è la velocità tangenziale del punto che si muove
di moto circolare uniforme, la velocità del punto che si
muove di moto armonico sarà la proiezione del vettore
vt sull’asse x:
y
vt
P
r
ωt
v v t sin t R sin t
B
o
R
v tx Q A
v (t)
• t=0
→ v=0
ωR
• t = T/4 → v = -ωR
• t = T/2 → v = 0
t
0
• t = 3T/4 → v = +ωR
• t=T
→ v=0
-ωR
T/4
T/4
T/2T/2
3T/4
3T/4
T
T
x
Il moto armonico
Se ac R 2 è l’accelerazione centripeta del punto che si
muove di moto circolare uniforme, l’accelerazione del
punto che si muove di moto armonico sarà la proiezione
del vettore a csull’asse x:
y
a
a ac cos t R 2 cos t
ωt
B
Oppure, essendo
P
R
axQ
o
A
x R cos t : a 2 x
a (t)
• t=0
→ a = -ω2R
ω2R
• t = T/4 → a = 0
• t = T/2 → a = ω2R
0
• t = 3T/4 → a = 0
• t=T
→ a = -ω2R
-ω2R
t
T/4
T/2
3T/4
T
Limiti della cinematica classica
Il moto e’ relativo all’osservatore, variando l’osservatore cambiano le
caratteristiche del moto:
Limiti della cinematica classica
s0
s '
s s 's0
s s s0
s s 's0
'
t t
t
v v 'v0
Limiti della cinematica classica
