Probabilita` -Variabili aleatorie

Sessione Live 2
Definizione di probabilità,
calcolo combinatorio,
indipendenza, th. Di Bayes,
variabili aleatorie e momenti.
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizio 1: testo
Un esperimento consiste nel lancio di due monete.
Descrivete:
1) lo spazio degli eventi elementari Ω associato all'esperimento;
2) la classe degli eventi A;
3) l'evento E=``si ottiene almeno una volta testa'';
4) rappresentare Ω ed E con un diagramma di Venn.
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizio 1: soluzione punto 1
1) Lo spazio Ω è composto dagli eventi elementari :

ω_1={(T,T)}= testa in entrambi i lanci

ω_2={(T,C)}= testa nel primo lancio, croce nel secondo

ω3={(C,T)}= croce nel primo lancio, testa nel secondo

ω_4={(C,C)}= croce in entrambi i lanci
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizio 1: soluzione punto 2
2) Poiché Ω è finito, la classe degli eventi può essere la classe di tutti i
sottoinsiemi di Ω; quindi A comprende tutti i sottoinsiemi di Ω formati
da un solo elemento, tutti i sottoinsiemi di due elementi, tutti quelli di
tre, l'insieme Ω (evento certo), e l'insieme
(evento impossibile).

Provate a scriverlo !
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Esercizio 1: soluzione punto 3 e 4
3) Abbiamo che E={ω_1, ω _2, ω _3}.
4)
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Esercizio 2: testo e soluzione
Presso la cassa di un bar ci sono 30 boeri, due dei quali contengono un
buono per un nuovo boero. Qual è la probabilità di mangiare 3 boeri
comprandone uno solo?
SOLUZIONE




A=``il primo boero contiene il buono'',
B=``il secondo boero contiene il buono''.
La probabilità cercata è P(A∩B), cioè la probabilità che entrambi i boeri
contengano il buono:
P(A ∩B)=P(A)P(B|A)=2/30*1/29=0.0023
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizio 3: testo
Si consideri un mazzo di 26 carte costituito dalle 13 carte di cuori e dalle
13 di fiori. Si scelgono a caso 5 carte senza reimmissione:
1.
2.
3.
calcolare la probabilità che le 5 carte siano tutte di cuori;
calcolare la probabilità che le 5 carte siano tutte dello stesso seme.
calcolare la probabilità che 3 carte siano di un seme e 2 dell'altro
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizio 3: soluzione
1. Il mazzo è diviso per semi, con 13 carte per seme; si pescano 5 carte
da 26, quindi:
2. prima il seme era fissato, ora no. Che differenza c‘è?
3. di nuovo, i semi non sono fissati...
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizio 4: testo
Peschiamo (in blocco) due carte da un mazzo di carte napoletane.
1. Qual è la probabilità che la seconda carta pescata sia di bastoni?
2. Qual è la probabilità che la prima carta pescata fosse di bastoni se è di
bastoni la seconda?
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizio 4: soluzione
Sia l'evento B_i=``la i-esima carte pescata è di bastoni'', con i=1,2.
Si calcola facilmente la probabilità che la prima carta pescata sia di
bastoni:
P(B_1)=10/40=0.25
Non sappiamo subito, al contrario, calcolare la probabilità che la
seconda sia di bastoni: in prima battuta risponderemmo infatti dipende:
dipende dal risultato della prima estrazione.
Se la prima carta è di bastoni, allora la probabilità che lo sia anche la
seconda è P(B_2|B_1)=9/39 e, allo stesso modo P(B_2|B_1c)=10/39.
Possiamo allora calcolare la probabilità richiesta con la legge delle
probabilità totali, ottenendo
2)
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Esercizio 5: testo e soluzione
E’ noto che i gemelli possono essere dei veri gemelli, e in questo caso
sono dello stesso sesso, o degli pseudo-gemelli, e in tal caso è 1/2 la
probabilità che siano dello stesso sesso. Sia p la probabilità che due
gemelli siano veri gemelli. Determinare
1. la probabilità che due gemelli siano veri gemelli sapendo che sono dello
stesso sesso;
2. probabilità che due gemelli siano di sesso diverso?
SVOLGIMENTO
Siano gli eventi V=``i due gemelli sono veri gemelli‘ S=``i due gemelli sono
dello stesso sesso'‘
1)
2)
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Esercizio 6: testo e soluzione
Si effettuano due estrazioni con reimmissione da un'urna che contiene 100
palline numerate da 1 a 100. Siano A_1=``la prima pallina estratta è
pari'', A_2=``la seconda pallina estratta è pari'', B=``una sola pallina
estratta è pari''. Gli eventi A_1, A_2 sono indipendenti.
E gli eventi A_2, B? E A_1, B? I tre eventi A_1, A_2, B sono indipendenti?
SVOLGIMENTO
Le possibili coppie di risultati delle due estrazioni dall'urna sono
Poiché le estrazioni sono effettuate con reimmissione e nell'urna vi è un
ugual numero di pari e dispari (50) allora tutte le coppie hanno uguale
probabilità uguale ad 1/4. Inoltre:
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Esercizio 6: soluzione
Ma
pertanto gli eventi A_1, A_2, B sono indipendenti a coppie ma non
ndipendenti
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Esercizio 7: esempio affidabilità
Sia un sistema idraulico fatto da due condotte che portano acqua da un
punto A ad un punto B. Supponiamo che la condotta 1 non sia interrotta
con probabilità p_1, e la condotta 2 non sia interrotta con probabilità
p_2. Qual è la probabilità che l'acqua possa arrivare da A a B?
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Esercizio 7: soluzione
Siano gli eventi
R_1=“la condotta 1 non è interrotta”,
R_2=“la condotta 2 non è interrotta”.
Se R_1, R_2 fossero incompatibili,
P(R_1 ∩ R_2)=0,
ma non è ragionevole che lo siano. E’ invece ragionevole pensare che
siano indipendenti, cioé
P(R_1 ∩ R_2)=P(R_1)P(R_2).
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Esercizio 7: soluzione

Caso a: condotte in parallelo.
Si va da A a B se è vero l'evento R_1∩R_2. Per la legge di De Morgan
vale

Caso b: condotte in serie
mantenendo l'ipotesi di indipendenza, perché l'acqua possa arrivare da
A a B, dovrebbe in ogni caso valere che
Dal momento che
minore se le condotte sono in serie
SL2 - Dr Marta Giorgetti
la probabilità che l'acqua arrivi è
Esercizio 8: testo e svolgimento
Nella ditta XYZ ogni pratica viene sbrogliata da un impiegato e deve
essere vista dal capo ufficio; gli impiegati sono 5 ed il capo ufficio è 1.
Per motivi di lavoro, però, ogni impiegato è presente in sede solo il 60%
del tempo, mentre il capo ufficio è presente l'80% del tempo. Calcolare
l'affidabilità del sistema.
SVOLGIMENTO
La probabilità richiesta è in realtà la probabilità che una pratica venga
conclusa. Gli impiegati rappresentano un sistema di 5 elementi in
parallelo, ognuno con affidabilità a_l=0.6; nel complesso, quindi, essi
rappresentano un elemento di affidabilità
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Esercizio 8: svolgimento
Tutto il sistema ufficio si riduce al grafico
da cui si ricava (a_C= affidabilità del capo ufficio=0.8)
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Richiami di teoria 1: media e varianza di una v.a.

Media di una v.a. o Valore atteso: sia X una v.a. (dotata di punti di
massa xj e legge pX(x) se discreta, di funzione di densità fX(x) se
continua). La media, o valore atteso, E[X], è data da:
E [ X ]   X   x j p X x j , se X è discreta,
j
E[ X ]   X 

 xf X x dx, se X è continua

a patto che queste quantità esistano;
 Varianza di una v.a.: sia X una v.a. di media X; la varianza di X, indicata
con 2X, o Var(X) è data da:
 2 X   x j   X  p X x j ,
2
se X è discreta,
j


2
X

2


x


f X x dx,
X


se queste quantità sono definite.
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se X è continua
Richiami di teoria 2: mediana, quantili e percentili

Data la funzione di ripartizione FX di una v.a. X la mediana è il minimo
valore m tale che
FX m   P  X  m   1/ 2 cioè m  inf  : FX    1/ 2

Analogamente si dice quantile q-esimo (0<q<1) della FX di una v.a. X il
minimo valore q tale che
FX    P X     q cioè q  inf : FX    q 


Se q viene espresso con una percentuale invece che con un numero q,
viene definito 100q-esimo percentile.
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Richiami di teoria 3: momenti

Data una v.a. X, il suo momento di ordine k, ’k è definito come media
della sua potenza k-esima (se esiste):
 k  E[ x k ]

Analogamente il momento centrale di ordine k, k è definito come
 k  E[( X   X ) ]
k

La funzione generatrice dei momenti di X è il valore atteso, se esiste,
della v.a. e tX (trasformata di Laplace); quindi:
mt  


tx
 e f x dx,
se X è continua,

mt    e txi p X xi , se X è discreta.
i
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Esercizio 1: testo

Quattro autobus portano 148 studenti allo stadio di football; gli autobus
portano rispettivamente 40, 33, 25 e 50 studenti. Scegliamo a caso uno
degli studenti, e denotiamo con X il numero degli studenti che hanno
viaggiato sull’autobus dello studente scelto a caso. Scegliamo a caso
ora uno dei conducenti dei bus e denotiamo con Y il numero degli
studenti che hanno viaggiato sul suo autobus.
1. Quale tra E[X] ed E[Y] pensate sia più grande? Perché?
2. Si calcolino E[X] ed E[Y]
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Esercizio 1- Soluzione
1.
2.
A voi: proposte?
Che valori può assumere la variabile X?
40
33

X 
25
50
p  40148
p  33148
p  25148
p  50148
Quindi siamo capaci di calcolare la sua media:
40
33
25
50
E  X   40
 33
 25
 50
 39.284
148
148
148
148
Un discorso analogo vale per Y:
40 p 

33 p 
Y  
25 p 

50 p 
SL2 - Dr Marta Giorgetti
1
1
1
1
4
4
4
4
Esercizio 1- Soluzione
Sono quindi in grado di calcolare anche la media di Y:
1
1
1
1 148
E Y   40  33  25  50 
 37.
4
4
4
4
4
Le due variabili assumono valori identici ma con differenti probabilità.

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Esercizio 2: testo e soluzione del punti 1

Sia X una variabile aleatoria tale per cui E(X)=1, e Var(X)=5.
Si calcoli:
1. E [(2+X)2];
2. Var(4+3X);
SVOLGIMENTO

 

 
E 2  X   E 4  4 X  X 2  4  4E X   E X 2
Calcoliamo la media:
2
Ci manca E[X2], ma possiamo ottenerlo con la formula
 
 
Var  X   E X 2  E  X   E X 2  5  1  6
Si ottiene perciò E[2  X
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2
2 ] 
4  4 1  6  14
Esercizio 2: testo e soluzione del punto2
E la varianza, sarà
Var4  3X   0  Var3X   9Var X   45.
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Esercizio 3: testo

Da un mazzo di 52 carte se ne estraggono 5. Sia X la v.a. che conta il
numero di assi contenuti nelle 5 carte. Dire quali sono le determinazioni
di X ed indicare la sua funzione di densità discreta.
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Esercizio 3- Soluzione

Tra le 5 carte pescate si possono presentare 0, 1, 2, 3 oppure 4 assi.
Con quale probabilità?
X 0
X 1
X 2
X 3
X 4

4 48 
  
0  5 
p  52   0.658;
 
 5 
4 48 
  
1  4 
p  52   0.298;
 
 5 
4 48 
  
2  3 
p  52   0.0398;
 
 5 
p  0.00174;
p  1.847 10 5
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizio 3- Soluzione

Tali probabilità rappresentano la densità discreta della variabile X. Si possono
allora disegnare i grafici della densità discreta pX(x) e della funzione di
ripartizione FX(x):
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizio 4: testo e soluzione

Sia F(x) una funzione di ripartizione; dire se sono vere o false le
seguenti:
lim F x   0
F
x 
lim F x   1
V
x 
lim F x   
F
lim F x  
F
x 
x 
1
2
lim F x   0
V
x 
x 1,x 2 ,x 1  x 2  F x 1  F x 2 
F
x 1,x 2 F x 1  x 2   F x 1  F x 2 
F
x, lim F x  h   F x 
V
 , 0    1, lim F x   
V
h 0

x 
 , 0    1, lim F x   
x 
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F
Esempio

Si tirano due dadi indipendenti e non truccati, e si denota con la lettera X la v.a.
definita dalla loro somma. Ricaviamo la densità discreta di X:
P  X  2  P 1,1 
1 ;
36
P  X  3   P 1,2, 2,1  2 36 ;
P  X  4   P 1,3 , 2,2, 3,1  3 36 ;

P  X  7   P 1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2, 6,1  6 36 ;

P  X  12  P 6,6  
1 ;
36
X assume tutti i valori interi da 2 a 12, con probabilità specificate dalle equazioni
precedenti; poiché X deve necessariamente assumere uno di questi valori,
segue che se S  12
X  i  varrà che
i 2


P S   P i 2 X  i   i 2 P  X  i   1.
12
SL2 - Dr Marta Giorgetti
12
Esercizio 5: testo e soluzione


Sia FX t   (3t 2  2t 3 )I [0,1] t  I [1, ] t  , dove IA(t) è la funzione
indicatrice dell’insieme A, la f.d.r. di una v.a. X :
1. Considerando che il grafico di FX(t) è il seguente, dire quali delle
seguenti sono vere e quali false:
P X  1  1
V
P X  0  0
V
P X 
  12
P 0  X  12  0
P 5  X  8  1

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1
F
2
F
V
Esercizio 6: testo

Una v.a. continua ha densità
kx 0  x  4
f x   
altrove
0
Determinare la costante di normalizzazione k, e poi calcolare P X  2.
Calcolare inoltre il valore atteso e la mediana di X.

SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizio 6- Soluzione


k deve essere tale che
 f x dx  1
perciò

4
 kxdx  k
0
2 4
x
2
0
1
 8k  1, cioè k  .
8
Inoltre
2
1
1
P  X  2   xdx  .
4
08
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizio 6- Soluzione

Calcoliamo il valore atteso:
4
1
1 x3
8
E  X    x xdx 
 .
8 3 0 3
0 8
4

Poiché X è continua, la mediana è il valore m tale che F m  0.5 .
Per 0  x  4 si ha:
x

1
1 2
F x    tdt 
x ,
16

08
e perciò la mediana deve soddisfare
1 2
F m  
m  0.5, da cui m  8.
16
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Esercizio 7: testo

Sia X una v.a. con densità
f x   e x , 0  x  1.
Calcolare la funzione generatrice dei momenti di X ed impiegarla per
determinarne
il valore atteso e la varianza. Verificare poi il risultato con
il calcolo diretto.
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizio 7- Soluzione

La funzione generatrice dei momenti di X è data da
 
mt   E etX
t 1 x
1
e
tx  x
  e e dx 
t 1
0
1
0
et 1  1

t 1
da cui
EX  
2
d

d
2
d
mt   1  , Var  X   2 mt    mt    
dt
e
dt
t 0
t 0 
 dt
t 0
2
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizi per voi


La funzione
3 x 2 0  x  1
f x   
altrove
 0
è una funzione di densità? Se lo è, calcolatene la corrispondente
funzione di ripartizione.
Determinare la mediana ed il terzo quartile delle variabili aleatorie
definite dalle seguenti funzioni di densità:
f x   e x , x  0;
f x   1, 0  x  1.


Determinare il k-esimo quantile mp ( con p  k 100 ) in funzione di p, per
la variabile aleatoria di densità

f x   2e 2x , x  0.

Sapendo che E X   2, E X 2  8, calcolare
 

E 2  4 X  , e E[ X 2   X  1 ].
2

SL2 - Dr Marta Giorgetti
2
Esercizi da risolvere
Per migliorare il rendimento dell'ufficio il proprietario della XYZ promuove
un impiegato al ruolo di vice-capo ufficio: senza modificare il suo lavoro
esterno, quando si trova in sede può vistare le pratiche sbrigate dagli
altri impiegati. Risulta conveniente questa modifica dell'organico?
[sì]
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizi da risolvere
1.
Mostrate che dati due eventi A e B vale
2.
Si supponga di osservare la quotazione di due titoli X ed Y all'inizio ed
alla fine del mese. Siano A e B rispettivamente gli eventi ``la quotazione
di X ha registrato un rialzo (nel mese)'', e ``la quotazione di Y ha
registrato un rialzo (nel mese)''. Sapendo che
Valutare la probabilità
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizi da risolvere
3. E’ più probabile ottenere un "6" in tre lanci di un dado equilibrato oppure
due "6" in sei lanci?
[Sol: un 6 in 3 lanci]
4.
Sia M l'evento "il paziente è ammalato", + e - gli eventi "il test è
positivo", "il test è negativo". Siano inoltre P(M)=0.01, P(+|M)=0.99,
P(-|Mc)=0.04.
Determinare P(M|+).
[Sol: 0.2]
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizi da risolvere
5) Un sistema è composto da n macchine che lavorano in parallelo. Si
supponga con probabilità p che una specifica macchina si guasti
nell'intervallo [0,T] non dipenda dalla macchina presa in considerazione
e che le rotture siano indipendenti. Determinare la probabilità che una
prefissata macchina sia guasta al tempo T, nell'ipotesi che il sistema sia
in funzione a quell'istante.
6) Un mazzo da 36 carte è diviso in due mazzi da 18 carte ciascuno. Qual
è la probabilità che i due mazzi abbiano lo stesso numero disemi rossi e
neri?
[Sol: 0.26]
SL2 - Dr Marta Giorgetti
Esercizi da risolvere
7) L'urna I contiene due palline bianche e una nera; l'urna II contiene una
pallina bianche e cinque nere. Una pallina viene estratta dall'urna I e,
senza guardarla, posta nell'urna II. Una pallina viene estratta dell'urna II
ed è bianca. Qual è la probabilità chela pallina trasferita sia stata
bianca?
[Sol: 4/5]
8) Tre addetti, indipendentemente l'uno dall'altro sono intenti a decifrare un
messaggio cifrato. Le loro probabilità di riuscire a farlo sono
rispettivamente 1/10, 1/3, 1/2. Qual è la probabilità che il messaggio
venga decifrato?
[Sol: 7/10]
SL2 - Dr Marta Giorgetti