strutture algebriche - Dipartimento di Matematica
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Prentazione del modulo di: Elementi di Algebra d.p.d.v.s. Libero Verardi 04/06/2017 Introduzione 1 REPETITA JUVANT 04/06/2017 Sono Libero Verardi, professore associato di Algebra. E.mail: [email protected] Tel: 051 2094473 Studio: D10 Sito Internet: www.dm.unibo.it/~verardi Ricevimento: mercoledì ore 11-12 e giovedì ore 11-12 o su appuntamento. Introduzione 2 CONTENUTI DEL MODULO 04/06/2017 STRUTTURE ALGEBRICHE. INSIEMI NUMERICI. GEOMETRIA ANALITICA. POLINOMI E LORO RADICI. APPLICAZIONI DELL’ALGEBRA. …. Introduzione 3 Domande a ruota libera: 04/06/2017 Perché questi argomenti? C’è un filo conduttore? Quali sono gli obiettivi? Ci servirà tutto ciò per il futuro insegnamento? Ci potrà servire il laboratorio? Quali sono le nozioni principali? Ci saranno i seminari? Introduzione 4 Provo a rispondere: Il modulo si chiama “Elementi di Algebra da un punto di vista superiore”. L’Algebra ha come scopi: generalizzare, unificare e risolvere. Ossia, in altre parole: Calcolo letterale, strutture algebriche, equazioni algebriche. 04/06/2017 Introduzione 5 STRUTTURE ALGEBRICHE 04/06/2017 Non sono quasi più oggetto d’insegnamento scolastico, nonostante i programmi le abbiano previste finora. Però vorrei ripassarle insieme a voi come premessa agli altri argomenti. Inoltre, ricordo che sono nate per studiare la risoluzione delle equazioni algebriche. Introduzione 6 Un punto di vista globale 04/06/2017 Le strutture algebriche si possono studiare in modo unitario. Inoltre, si accompagnano con relazioni compatibili con le operazioni. Importante è poi vedere come una struttura operi su un insieme o su un’altra struttura. C’è quindi modo di rivedere da un altro punto di vista argomenti già noti. Introduzione 7 Insiemi numerici 04/06/2017 Visti alle elementari, alle medie, alle superiori, nel triennio, forse anche nel corso di Storia della Matematica. Non basta? Perché anche qui? Perché vorrei presentarvi i numeri da vari punti di vista: nei vari livelli scolastici i numeri si insegnano via via in modi concettualmente diversi. Introduzione 8 GEOMETRIA ANALITICA 04/06/2017 Questo modulo si salda col precedente attraverso la Geometria Analitica. Per questo serve il campo ordinato reale. Sdoppieremo il punto di vista in cui collocarci: il piano cartesiano oppure lo spazio R2. Introduzione 9 Un argomento particolare: le coniche Decideremo di esplorarle più o meno a fondo a seconda delle conoscenze dei presenti. Possiamo trattarle dal punto di vista della Geometria Analitica, ma si comprendono più a fondo dal punto di vista proiettivo o affine. Per questo però servirebbero le matrici, con le loro proprietà: operazioni, rango, autovalori, determinante… 04/06/2017 Introduzione 10 POLINOMI ED EQUAZIONI Il calcolo letterale si può affrontare da vari punti di vista. In particolare, i polinomi si possono presentare agli allievi con almeno una trentina di approcci diversi. A me piace usare il punto di vista dell’Analisi Matematica: sono funzioni derivabili, dotate di operazioni, di grafico, di interpretazione geometrica delle radici. 04/06/2017 Introduzione 11 Risolvere le equazioni 04/06/2017 L’uso del calcolo letterale consente di esprimere le incognite o altri dati con lettere, trovare formule risolutive generali o dimostrare che non esistono formule ed è meglio passare al calcolo numerico. La Teoria di Galois ci consentirebbe di decidere se una equazione ha o no una formula risolutiva e anche di trovarla. Però è complessa e richiede molti prerequisiti su gruppi, reticoli e campi. Introduzione 12 Conclusione: 04/06/2017 Ognuno degli argomenti elencati coinvolge strumenti tratti dai vari settori della Matematica. Molti di essi sono difficili da comprendere, richiedono prerequisiti, collegamenti, apertura mentale. Ma sono materia d’insegnamento nella scuola secondaria. Ossia, in qualche forma li dovrete insegnare! Introduzione 13 Seminari: Anche questo modulo prevede lo svolgimento di seminari, col solito bonus di un punto sul voto del modulo a chi li terrà bene. A differenza del modulo di Geometria, lo scopo stavolta è impegnare gruppi di due o tre allievi a preparare insieme 45 MINUTI DI LEZIONE ED ESERCIZI su argomenti da concordare. Non sarà sempre facile coordinare le lezioni coi seminari, ma stavolta sarà più necessario. . 04/06/2017 Introduzione 14 ELENCO DEI SEMINARI PROPOSTI NEL 2014/15 04/06/2017 Simmetrie di una figura piana. Esercizi: il gruppo di un poligono regolare e di una retta. Numeri primi e divisibilità. Esercizi: numeri primi particolari, MCD ed mcm. I numeri razionali relativi ed i numeri decimali periodici. Esercizi: progressioni geometriche Lo spazio R2 come modello del piano euclideo. Esercizi: area di un triangolo, angoli. La parabola. Esercizi: le tangenti alla parabola da un punto, fasci di parabole. L’iperbole e i suoi asintoti. Esercizi: funzioni il cui grafico è riconducibile ad una iperbole Introduzione 15 Seguito elenco seminari: 04/06/2017 L’ellisse. Esercizi: eccentricità, diametri. Generatori. Esercizi: il sottoanello ed il sottocampo generati da un elemento. Estensioni algebriche di Q. Esercizi sui radicali. Equazioni algebriche di grado superiore al secondo. Esercizi su qualche tipo di equazioni. Disequazioni. Esercizi sulle disequazioni algebriche. Applicazioni dei polinomi ad altre discipline. Esercizi Il laboratorio di Matematica. Esercizi: costruzioni di coniche con Geogebra. Introduzione 16 Spazio per domande 04/06/2017 Introduzione 17 Come sarà l’esame? Due domande su argomenti del corso e dei seminari, ed un esercizio preliminare. Mentre interrogo un candidato, il successivo svolge l’esercizio su un foglio, che poi controlleremo insieme durante l’esame. 04/06/2017 Introduzione 18 Esempio d’esame 04/06/2017 Introduzione 19 NOTA FINALE: Il voto di Elementi di Algebra, eventualmente aumentato col punto di bonus del seminario, farà media aritmetica col voto di Elementi di Geometria, per ottenere il voto finale e i 12 crediti. Ciò vale almeno fino all’appello di settembre 2015. 04/06/2017 Introduzione 20
