INSIEMI E LOGICA

INSIEMI E LOGICA
PARTE TERZA
OPERAZIONI CON LE
PROPOSIZIONI
IMPLICAZIONE MATERIALE O
CONDIZIONALE
• Si definisce implicazione
materiale o condizionale
di due proposizioni p e q
e si indica con
p
V
V
pq
F
• (si legge «se p allora q» o F
«p implica q») la
proposizione che è falsa
nel caso p sia vera e q
sia falsa ed è vera negli
altri casi.
q
V
F
V
F
pq
V
F
V
V
OSSERVAZIONE
• Il calcolo degli enunciati prescinde dal significato delle singole
proposizioni e perciò dobbiamo considerare vera l'implicazione tutte
le volte che così afferma la sua tavola di verità, anche se gli
enunciati p e q non sono legati da un rapporto di causa-effetto o
addirittura sono disomogenei. E questo il motivo degli apparenti
«paradossi dell'implicazione materiale», di cui diamo un eloquente
esempio.
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•
•
Si considerino, per esempio, le proposizioni
p: Caserta è la capitale della Francia
q: 12 è un numero primo.
La proposizione condizionale è
p  q : se Caserta fosse la capitale della Francia, allora 12
sarebbe un numero primo
• ed è vera in quanto p e q sono entrambe false.
Implicazione contraria inversa o
contronominale
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Data un'implicazione
a b
l'implicazione a  b
si dice contraria di a  b
l'implicazione b  a
si dice inversa
l'implicazione b  a
si dice contronominale
In questo contesto, a  b
è anche detta implicazione
diretta.
Come vedremo dalla verità
dell'implicazione diretta discende
la verità della contronominale e
viceversa, ma non si può
affermare la verità delle
implicazioni contraria e inversa.
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Consideriamo l'implicazione
se Tom è un gatto, allora Tom è un
felino.
La sua contraria è
se Tom non è un gatto, allora Tom
non è un felino.
La sua inversa è
se Tom è un felino, allora Tom è
un gatto.
La sua contronominale è
se Tom non è un felino, allora Tom
non è un gatto.
Come si può notare, l'implicazione
diretta è vera e così pure la sua
contronominale; nulla si può
invece dire della sua contraria e
della sua inversa.
Copimplicazione materiale o
bicondizionale
• Si definisce
coimplicazione materiale
o bicondizionale di due
proposizioni p e q e
• si indica con
pq
• (si legge «p se e solo se
q» o «p coimplica q») la
proposizione che è vera
quando p e q hanno lo
stesso valore di verità e
falsa in caso contrario.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
V
F
F
V
ESEMPIO
Consideriamo le proposizioni
p: 7 è un numero primo (vera)
q: il quadrato è un poligono (vera)
r: il Po è una montagna (falsa)
s: 8 è multiplo di 5 (falsa).
Formule proposizionali
•
•
•
Gli enunciati semplici, privi di
connettivi logici, si chiamano anche
enunciati atomici. Per indicarli,
useremo lettere corsive minuscole (a,
b, e, ..., p, q, r, ...) che chiameremo
lettere enunciative.
Abbiamo visto come si possono
combinare uno o due enunciati
atomici, mediante l'operatore
negazione e i connettivi logici, per
ottenere altri enunciati
Possiamo nuovamente combinare gli
enunciati così ottenuti per ricavare
degli enunciati ancora più complessi;
chiameremo formule enunciative o
formule proposizionali gli enunciati
così ottenuti.
Osservazione: si noti che se la
formula enunciativa contiene n
lettere la relativa tabella avrà 2n
righe
•
•
Possiamo calcolare il valore di verità di
una formula enunciativa una volta che
siano noti i valori di verità delle lettere
enunciative che la compongono.
Calcolare il valore di verità della
formula proposizionale
a  b  a  b
•
•
in corrispondenza dei valori a = F e
b = V.
•
a ogni assegnazione di valori di verità
alle lettere enunciative che
compongono una formula, corrisponde
un valore di verità per la formula
enunciativa stessa. Perciò diciamo che
ogni formula enunciativa determina
una funzione di verità. Nell'esempio
precedente, le lettere enunciative a e b
sono le variabili di tale funzione di
verità. Essa, come si è visto, associa
alla coppia di valori di verità (F ; V) di a
e b, il valore V;
Formule equiveridiche
• Diciamo che due formule
enunciative A e B sono
equiveridiche o uguali
logicamente o, ancora,
logicamente equivalenti
se esse determinano la
stessa funzione di verità,
ossia se assumono
entrambe lo stesso valore
di verità quali che siano i
valori di verità attribuiti
alle lettere enunciative
che le compongono.
• Esempio: verificare che
p q  pq
• La verifica si fa con
un’unica tabella di verità
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pq
V
F
V
V
p
F
F
V
V
pq
V
F
V
V
Osservazione
• La contronominale è
logicamente eguale
all'implicazione diretta, cioè
b a  a b
• Per esempio, dire
• Se Tom è un gatto, allora Tom
è un felino
• equivale a dire
• Se Tom non è un felino, allora
Tom non è un gatto
• Sempre utilizzando le tavole di
verità si può verificare che una
implicazione non equivale
logicamente alla sua inversa
né alla sua contraria.
a b a b
a
b
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
ba
V
F
V
V
Proprietà delle operazioni logiche
•
1) Proprietà di idempotenza della
congiunzione e della disgiunzione:
p p p
•
p p  p
 p  q  r  p  q  r 
pq  q p
3) Proprietà della complementarietà
(legge della doppia negazione}:
p p
•
4) Proprietà associativa della
congiunzione e della disgiunzione:
 p  q  r  p  q  r 
2) Proprietà commutativa della
congiunzione e della disgiunzione:
pq q p
•
•
cioè, la negazione della negazione di
una proposizione è la proposizione
stessa
•
Le due uguaglianze logiche precedenti
consentono poi di scrivere
direttamente senza parentesi
pqr
pqr
Proprietà delle operazioni logiche
• 5) Proprietà distributiva della
congiunzione rispetto alla
disgiunzione:
• 7) Leggi di De Morgan:
•
p  q  r    p  q   p  r 
• 6) Proprietà distributiva della
disgiunzione rispetto alla
congiunzione:
p  q  r    p  q   p  r 
•
pq  pq
pq  pq
•
8) Leggi di assorbimento:
p   p  q  p
p   p  q  p