Analisi e Simulazione di Cellule
Eccitabili mediante Automi Ibridi
Relatore: Dott. Ezio Bartocci
Dipartimento di Matematica e Informatica
Università di Camerino
In collaborazione con
Prof.ssa Emilia Entcheva,
Prof. Radu Grosu, Prof. Scott A. Smolka
State University of New York at Stony Brook
Sommario
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•
•
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•
•
Background biologico
Motivazione
Background computazionale
Automi Ibridi (AI)
Modelli AI di Cellule Eccitabili
Dal Modello all'Applicazione
Risultati di Simulazione
Conclusioni
Background biologico
• Cellule Eccitabili
• Neuroni
• Miociti cardiaci
• Cellule muscolo-scheletriche
• Differenti concentrazioni di ioni all’interno e all’esterno
delle cellule formano:
• Il potenziale di trans-membrana
• Correnti ioniche attraversano la membrana cellulare
percorrendo particolari canali.
Assone gigante di calamaro
(Animazione dal Laboratorio Biologico della Marina, MA)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Il calamaro a riposo
Apre il mantello. L’acqua entra nella cavità del mantello
Un segnale dal cervello viene mandato al ganglio stellato che è connesso
alle cellule nervose (assoni) distribuiti lungo il mantello.
Gli impulsi nervosi percorrono la lunghezza di questi assoni.
I muscoli si contraggono in maniera sincrona, rapidamente chiudendo il
mantello.
L’acqua è forzata fuori attraverso il sifone producendo un getto.
Miociti cardiaci
(WorldWide Anaesthetist & Univ. of British Columbia)
Spazio tra le giunzioni
Miociti Cardiaci
Propagazione del
Potenziale di Azione
Ioni e canali delle Cellule Eccitabili
Na+
Na+
Ca2+
K+
K+
Na+
Ca2+
Ca2+
K+
Na+
K+
Na+
K+
Ca2+
Na+
Na+
Membrana attiva
(BiologyMad.com)
- Membrana agisce da condensatore
- Lo stimolo crea un Potenziale di azione
- I canali controllano il potenziale
Canali Ionici
Pompe Ioniche
Potenziale di azione (AP)
(HyperPhysics, Georgia State University)
Potenziale di Azione (AP)
• L'Azione Potenziale è causata
dal movimento degli ioni
positivi dentro e fuori della
membrana cellulare.
• 6 fasi:
–
–
–
–
–
–
Resting
Stimulated
Upstroke
Early Repolarization
Plateau
Final Repolarization
Stimulated
Proprietà di Restituzione dell'AP
Le cellule eccitabili rispondono a stimoli di differente frequenza.
– Ciascun ciclo è composto da:
• Durata dell'Azione Potenziale (APD)
• Intervallo Diastolico (DI)
– Più lungo è il DI, e più lungo è l'APD
Proprietà di refrattarietà
Durante l'AP la cellula si
trova in un periodo di
refrattarietà
Assoluto
Il periodo di refratarietà è
definito in due modi :
Periodo di refrattarietà
assoluto
Periodo di refrattarietà
relativo
Relativo
Aritmie (1)
L'aritmia è un difetto di conduzione del cuore
Classificazione
• Tachiaritmia o tachicardia se il battito aumenta in modo anomalo
al di sopra di 100 al min
• Bradiaritmia o bradicardia se il battito rallenta al di sotto di 40-50
per min
• Fibrillazione Ventricolare
Aritmie (2)
Motivazione (1)
(Hofstra University, NY)
• Solo negli Stati Uniti ogni anno ci sono un milione di
morti provocati da malattie cardiovascolari.
• Quasi il 25% di questi sono vittime della fibrillazione
ventricolare (VF).
• Durante la VF, l’attività elettrica normale del cuore è
mascherata da onde di attivazione ad alta frequenza, che
portano a piccole e localizzate contrazioni fuori fase.
Motivazione (2)
• Le terapie farmacologiche fino ad ora non hanno dato risultati.
• L'impianto di cardiodefibrillatori è attualmente il trattamento di
maggior successo dei pazienti con fibrillazione ventricolare
incontrollabile.
• Tale dispositivo è progettato per riportare il cuore al suo
normale ritmo grazie ad un forte shock elettrico che termina
qualsiasi attività elettrica fuori controllo.
Modelli matematici per l'Azione
Potenziale
• Modello di Hodgkin-Huxley (HH)
• Potenziale di membrana per l’ assone gigante del calamaro sviluppato
nel 1952
• E’ l’ambiente di lavoro per i seguenti modelli
• Modello di Luo-Rudy (LRd)
• Modello per le cellule cardiache del porcellino d’India (guinea pig)
sviluppato nel 1991
• Modello Neo-Natal Rat (NNR)
• Sviluppato alla Stony Brook University dalla Prof.ssa Emilia
Entcheva et al.
Due premi Nobel
Alan Lloyd Hodgkin
*1914 +1998
Andrew Fielding Huxley
*1917
Premio Nobel in medicina nel 1963
“per le loro scoperte concernenti i meccanismi ionici coinvolti
nell’eccitazione e nell’inibizione nelle porzioni periferiche e centrali della
membrana della cellula nervosa”
Membrana attiva
Na+
K+
Fuori
Na
K
L
Dentro
Propagazione del potenziale di azione
(BiologyMad.com)
Cellula nervosa
Nodi Ranvier
(canali ionici)
assone
myelin
stealth
Correnti nella membrana attiva
Ist
I st = I Na + I K + I L + I C
INa
I Na = g Na (V - VNa )
gNa
I K = g K (V - VK )
I L = g L (V - VL )
.
VNa
IC = C V
IK
Fuori
IL
gK
gL
VK
VL
IC
C
Dentro
.
V = g Na (VNa - V ) + g K (VK - V ) + g L (VL - V ) + I st
V
Il modello di Hodgkin-Huxley
.
3
4
C
V
g
m
h
(
V
V
)
g
n
(
V
V
)
g
(
V
V
)
I
N
a
N
a
K
K
L
L
s
t
•
•
•
•
•
C: Capacità della cellula
V: Voltaggio transmembrana
gna, gk, gL: Conduttanza massima del canale
m, n, h: Variabili di gate del canale ionico
Ist: currente di stimolo
Background computazionale
• Cellule Eccitabili: neuroni, miociti cardiaci, cellule muscoloscheletriche
• Sono tradizionalmente rappresentate da complessi sistemi
nonlineari ODEs/PDEs.
• Molto accurate, ma anche molto compute-intensive.
• L'altro estremo sono i cellular automata.
• Molto efficienti, sono modelli puramente discreti ma
mancano di catturare le caratteristiche essenziali della
cellula.
Il nostro approccio
• Gli Hybrid automata sono una miscela di sistemi discreti e
continui.
• I nostri risultati mostrano che gli HA possono essere
utilizzati per modellare efficentemente i tipi di cellule
eccitabili preservandone le caratteristiche essenziali (la
morfologia AP, la risposta al battito)
• ll modello HA risulta essere all'incirca 10-volte più veloce
nella simulazione di un tessuto di 400 x 400 cellule.
• I modelli HA sono accessibili all' analisi formale.
Che cosa è un Automa ?
• E’ un dispositivo o un suo modello in forma di macchina
sequenziale, creato per eseguire un particolare compito.
• Può trovarsi in diverse configurazioni caratterizzate da una
variabile che appartiene ad un determinato insieme di stati, e che
evolve in base agli stimoli od ordini ricevuti in ingresso.
Automa Ibrido (AI)
• Combina entrambi:
• Comportamenti continui (Equazioni Differentiali)
• Transizioni discrete
• Vantaggi
• Semplicità
• Abilità di rappresentare e descrivere i sistemi
Esempio di Automa Ibrido
• Un HA consiste di:
• Variabili
• Grafo di controllo che ha degli stati (chiamati modes) e interuttori
chiamati switches
• Predicati init, inv, flow per ciascun mode
• Condizioni di salto and Eventi per ciascuno switch.
• Un semplice termostato come esempio:
[x>21]
[x=20]
Off
On
x = - 0.1x
[x ≥ 18]
x = 5 - 0.1x
[x ≤ 22]
[x<19]
Potenziale di azione (AP)
(HyperPhysics, Georgia State University)
Modello per il nostro Automa Ibrido
[v ³ VO ]
[ v £ VR ]
[v ³ VT ]
Stimulated
-
[VS ]
[VS Ù v < VT ]
Quali sono gli obiettivi
• Migliorare l’efficenza computazionale:
• Rendere possibile simulazioni su larga scala
• Analisi formale (lavori in corso):
• Safety
• Liveness
Alcune assunzioni
• Ogni mode corrisponde ad una configurazione
open/closed dei gates.
• I gates di sodio e potassio (conduttanze) sono
mutualmente independenti uno dall’altro.
• Il comportamento del Gate (conduttanza) all’interno
di un mode è dato da una equazione differenziale
lineare.
Automa Ibrido per HH
Simulazione per modello HH
AI per NNR model
Simulazione per modello NNR
Single cell, single AP
3 APs on a 2*2 cell array
Simulazione Spaziale su larga scale
per modello NNR
Tessuto di 400*400 cellule
Performance
Su Pentium® 4 CPU 3.00GHz, 1G memoria
CellExcite
Diffusion Model
Resting State
Stimulated State
Upstroke State
Plateau State
Discrete
Behaviour
Continuous
Behaviour
Esempio 1: Semplice Stimolo
-80
-66
-52
-38
-24
-10
4
18
32
46
60
mV
1 ms
50 ms
100 ms
1 ms
50 ms
100 ms
Esempio 2: Fibrillazione Ventricolare
mV
-80
-66
-52
-38
-24
-10
4
18
32
46
60
1 ms
50 ms
100 ms
Esempio 3: Defibrillazione
mV
-80
-66
-52
-38
-24
-10
4
18
32
46
60
Conclusioni
• L’eccitazione della cellula può essere modella con sistemi
ordinari di equazioni differenziali:
• Hodgkin-Huxley
• Luo-Rudy
• Neo-Natal Rat
• L’approccio dell’automa ibrido combina:
• Equazioni Differentiali
• Transizioni discrete
• Simulazione utilizzando gli Hybrid automata
• Accurata
• Efficiente
• Facile da estendere ad altri sistemi biologici complessi
Grazie per l'attenzione
