Medicina Nucleare
Fisica
Emivita Fisica (T1/2) e Vita Media (T)
lT1/2 = 0.693
Nt= N0e-0.693 / T1/2
T= 1.44 T1/2
La vita media è utile nel calcolo della dose perché il numero totale
di disintegrazioni è il prodotto dell’attività e della vita media
Medicina Nucleare
Fisica
EMIVITA EFFETTIVA
leff = lbiol + l
T1/2eff = (T1/2biol x T1/2) / (T1/2biol + T1/2)
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Fisica
Equilibrio Radioattivo
Le equazioni di decadimento diventano più complicate quando
anche il radionuclide figlio è radioattivo.
Af = F(lf/(lf- lp) Ap0 (e lpt - e lft) + Af0(e -lft)
F= frazione del genitore che decade a figlio
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Fisica
Equilibrio Radioattivo: Casi Speciali
• T1/2 del figlio > di T1/2 del padre
•T1/2 del padre > di T1/2 del figlio (verso infinito)
•T1/2 del padre > di T1/2 del figlio
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Equilibrio Radioattivo: Casi Speciali
T1/2 del figlio > di T1/2 del padre
Il padre decade lentamente a figlio e non c’è mai una relazione
fissa
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Equilibrio Radioattivo
T1/2 del padre > di T1/2 del figlio (verso infinito)
Af = F Ap(1-e-lft)
Dopo diverse emivite si raggiunge una condizione di equilibrio:
equilibrio secolare
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Equilibrio Radioattivo
T1/2 del padre > di T1/2 del figlio
Af = F(lf/(lf- lp) Ap0 (e lpt - e lft)
Dopo alcune emivite l’attività del figlio arriva a un punto in
cui c’è una relazione costante (equilibrio transitorio) con
quella del padre.
Af = F(Ap x T1/2p) / (T1/2p - T1/2f)
Medicina Nucleare
Statistica
Tutte le misure sono soggette ad errori:
•Errori
•Errori sistematici
•Errori casuali
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Statistica
ERRORI
Si tratta di errori che producono risultati grossolanamente
inadeguati
e
sono
in
genere
facilmente
riconoscibili:
radiofarmaco sbagliato, erronea taratura dello strumento, ecc.
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Statistica
ERRORI SISTEMATICI
Questi errori producono risultati che differiscono da quelli
corretti per un quantità determinata.
Risultati ottenuti con errori sistematici sono inaccurati
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Statistica
ERRORI CASUALI
Questi errori derivano dai limiti fisici dello strumento di
misura o da variazioni del fenomeno in sé.
Questi errori influenzano la riproducibilità
Medicina Nucleare
Statistica
Una misura può essere precisa (piccolo errore casuale) ma
inaccurata (largo errore sistematico) o viceversa.
Poiché gli errori casuali sono sempre presenti nei conteggi
radioattivi, è necessario essere in grado di analizzarli.
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Statistica
Supponiamo che una sostanza radioattiva a lunga emivita sia
contata ripetutamente.
Poiché la velocità di decadimento ha variazioni casuali, il
numero di conteggi sarà lievemente diverso ad ogni misura.
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Statistica
Ci si può allora chiedere qual’è il vero valore.
Una soluzione possibile è eseguire un gran numero di misure e
di usare il valore medio come stima del vero valore.
Sfortunatamente questo approccio non è molto pratico nella
pratica quotidiana.
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Statistica
La domanda allora è:
Quanto è valida una singola misura come stima del vero
valore?
La risposta è nella frequenza di distribuzione.
Medicina Nucleare
Statistica
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
52
59
66
73
80
87
94
101
108
Valore della Misura
115
122
129
136
Medicina Nucleare
Statistica
La probabilità ha un picco ad un valore medio m, che è il
valore vero per la misura.
Perciò se si effettuassero un gran numero di misure si avrebbe
che il valore vero è circa eguale a m.
Questa distribuzione è descritta matematicamente dalla
distribuzione di Poisson
Medicina Nucleare
Statistica
Per questa distribuzione la probabilità di ottenere un certo
valore quando il valore vero è m
P(N, m) = e-m mN / N!
Medicina Nucleare
Statistica
La probabilità che una misura sia vicina a m dipende
all’ampiezza, o dispersione, della distribuzione.
Questa è legata ad un parametro chiamato varianza, s2.
La varianza è un numero per cui il 68.3% delle misure cadrà
entro +s
Medicina Nucleare
Statistica
Per la distribuzione di Poisson la varianza è eguale alla media.
Perciò ci si aspetta che circa i 2/3 delle misure di conteggio
cadano entro + √m del vero valore di m.
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Statistica
Dato solo il risultato di una singola misura, N, non si conosce il
valore esatto di m o di s.
Tuttavia, si può ragionevolmente assumere che N=m, e che
perciò s=√N
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Statistica
Si può perciò dire che il vero valore della misura è nel range
N + √N
Questo è chiamato l’intervallo di confidenza del 68.3%
+ √N è l’incertezza di N
E’ possibile infine calcolare l’incertezza percentuale come
(√N / N) x 100
Medicina Nucleare
Statistica
Range
N+s
N + 2s
N + 3s
Intervallo di Confidenza
68.3%
95.0%
99.7%
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Statistica
Molte procedure in Medicina
registrazione di diversi conteggi.
Nucleare
implicano
la
Queste misure possono poi essere adoperate per eseguire
calcoli.
In ciascun caso l’errore del risultato finale può essere
calcolato.
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Statistica
Propagazione dell’errore
Somme e Differenze
s (N1 + N2 + N3 + ...) = √(N1 + N2 + N3 + ...)
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Statistica
Propagazione dell’errore
Prodotti e Rapporti
L’incertezza percentuale (V) è:
V (N1 */ N2 */ N3 */ ...) = √(1/N1 + 1/N2 + 1/N3 + ...) * 100
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Statistica
Propagazione dell’errore
Molte procedure in Medicina Nucleare hanno la forma :
Y = (N1 - N2) / (N3 - N4)
In questi casi si ha:
VY = √ (N1+N2)/(N1-N2)2 + (N3+N4)/(N3-N4)2
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Statistica
Nfe = 400 (fondo ematico)
Nfe = 1200 (radioattività ematica)
Ns = 2000 (standard radioattivo)
Nb = 200 (bianco del contatore)
Calcolare il rapporto prelievo / standard ed il suo errore
Medicina Nucleare
Statistica
R = (Nfe - Nfe ) / (Ns - Nb )
R= (1200 - 400) / (2000 - 200)
R= ( 800 / 1800 ) = 0.44
Medicina Nucleare
Statistica
VY = √ (N1+N2)/(N1-N2)2 + (N3+N4)/(N3-N4)2
VY = √ (1200+400) / (1200-400)2 + (2000+200)/(2000-200)2
VY = √ (1600)/(800)2 + (2200)/(1800)2
VY = √ 0.0025 + 0.0007 = √0.003= 0.056
Medicina Nucleare
Statistica
L’ incertezza percentuale è 5.6 %.
Poiché il risultato era 0.44, l’errore è il 5.6% di 0.44, cioè 0.02.
Pertanto il nostro risultato è :
R= 0.44 + 0.02
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Statistica
Se abbiamo due conteggi, N1 e N2, la differenza tra i due può
essere reale o solo dovuta alle variazioni random nel
decadimento.
Si può valutare la significatività della differenza confrontando
gli errori random aspettati.
Medicina Nucleare
Statistica
In genere differenze di meno di 2s sono marginali perché c’é
almeno il 5% di probabilità che siano casuali.
(N1-N2) < √ N1+N2
Supponiamo di avere due rate di conteggio R1e R2 ottenuti nei
tempi t1e t2, si avrà:
s(R1- R2) = √R1/t1 + R2/t2
Medicina Nucleare
Statistica
Tutte le misure medico-nucleari contengono un conteggio del
“fondo”, dovuto al rumore elettronico, ai raggi cosmici, alla
radioattività naturale.
Rn = Rt - Rf
sRn = √ Rt/ tt + Rf/ tf
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Statistica
Il conteggio totale ottenuto in 4 minuti è 6000 e quello di fondo
è 4000.
Qual’è il rate di conteggio netto (espresso in cpm) e la sua
incertezza ?
Medicina Nucleare
Statistica
Rt = 6000/4 = 1500 cpm
Rf = 4000/4 = 1000 cpm
Rn = 1500 - 1000 = 500
sRn = √1500/4 + 1000/4 = √375 + 250 = √625= 25
Perciò, Rn = 500 + 25 (+ 5%)
Medicina Nucleare
Statistica
Confrontiamo questo risultato con quello del conteggio totale e
con quella del conteggio netto se il fondo fosse stato pari a 0.
Medicina Nucleare
Statistica
Rt = 6000/4 = 1500 cpm
sRt = √1500/4 = √375 = 19 (1.3 %)
Rn = 1500 - 1000 = 500
sRn = √500/4 = √125 = 11(2.2%)
Medicina Nucleare
Statistica
Questi esempi illustrano due concetti
•Alti conteggi di fondo aumentano l’incertezza nel conteggio
netto
•Piccole differenze tra conteggi hanno alta incertezza
Medicina Nucleare
Statistica
La minima attività rilevabile per un radionuclide e per un
particolare sistema di conteggio è quella che incrementa in
maniera significativa i conteggi rispetto al conteggio di fondo.
In questo caso significativo vuol dire almeno
3s (3 √R/ t)
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Statistica
Un contatore a NaI(Tl) ha un conteggio di fondo di 200 cpm. La
sua sensibilità per lo 131I è 106 cpm/mCi.
Qual’è la MAR, adoperando un tempo di conteggio di 4 minuti ?
Medicina Nucleare
Statistica
La MAR è 3 √200/4 = 21 cpm
Perciò,
MAR = 21 cpm / 106 cpm/mCi = 0.000002 mCi
In unità S.I. (1 mCi = 37 kBq) si ha 0.74 Bq, cioè meno di 1 cps.
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Statistica
La MAR è 3 √200/4 = 21 cpm
Perciò,
MAR = 21 cpm / 106 cpm/mCi = 0.000002 mCi
In unità S.I. (1 mCi = 37 kBq) si ha 0.74 Bq, cioè meno di 1 cps.
