Algoritmi e Strutture Dati

Algoritmi e Strutture Dati
Capitolo 6
Alberi di ricerca
Camil Demetrescu, Irene Finocchi,
Giuseppe F. Italiano
Algoritmi e strutture dati
Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Dizionari
• Gli alberi di ricerca sono usati per realizzare in
modo efficiente il tipo di dato dizionario
2
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Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Alberi binari di ricerca
(BST = binary search tree)
3
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Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Definizione
Albero binario che soddisfa le seguenti proprietà
– ogni nodo v contiene un elemento elem(v) cui è
associata una chiave chiave(v) presa da un dominio
totalmente ordinato
– le chiavi nel sottoalbero sinistro di v sono ≤
chiave(v)
– le chiavi nel sottoalbero destro di v sono ≥
chiave(v)
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Esempi
Albero binario
di ricerca
5
Albero binario
non di ricerca
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…ancora un esempio…
Ordinamento
decrescente
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Ordinamento
crescente
6
3
18
7
17
20
massimo
2
13
4
minimo
9
6
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Visita simmetrica di un BST
• Che succede se eseguo una visita in ordine
simmetrico di un BST?
• Visita in ordine simmetrico – dato un nodo
x, elenco prima il sotto-albero sinistro di x,
poi il nodo x, poi il sotto-albero destro
• visito i nodi dell’ABR in ordine crescente
rispetto alla chiave!
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Verifica di correttezza – Supponiamo,per semplicità, che l’albero sia completo.
Indichiamo con h l’altezza dell’albero.
Vogliamo mostrare che la visita in ordine simmetrico restituisce la sequenza ordinata
Per induzione sull’altezza dell’ABR: h=1
r
u
NIL
v
NIL
NIL
NIL
chiave(u) ≤ chiave(r) ≤ chiave(v)
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Verifica correttezza (continua …)
h = generico (ipotizzo che la procedura sia corretta per h-1)
r
Albero di altezza h-1.
Tutti i suoi elementi sono
minori o uguali della
radice
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Albero di altezza h-1.
Tutti i suoi elementi sono
maggiori o uguali della
radice
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Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
search(chiave k) -> elem
Traccia un cammino nell’albero partendo dalla
radice: su ogni nodo, usa la proprietà di ricerca
per decidere se proseguire nel sottoalbero
sinistro o destro
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search(7)
15
6
3
2
11
20
8
4
7
17
13
16
27
19
22
30
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insert(elem e, chiave k)
1. Crea un nuovo nodo u con elem=e e chiave=k
2. Cerca la chiave k nell’albero, identificando
così il nodo v che diventerà padre di u
3. Appendi u come figlio sinistro/destro di v in
modo che sia mantenuta la proprietà di ricerca
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insert(e,8)
15
6
18
3
2
9
4
17
7
20
13
8
10
Se seguo questo schema l’elemento e viene posizionato nella
posizione giusta. Infatti, per costruzione, ogni antenato di e si ritrova e
nel giusto sottoalbero.
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Ricerca del massimo
Nota: è possibile definire una procedura min(nodo u) in
maniera del tutto analoga
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15
6
3
2
18
max (u)
8
4
min (r)
17
7
20
13
9
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predecessore e successore
• il predecessore di un nodo u in un BST è il
nodo v nell’albero avente massima chiave 
chiave(u)
• il successore di un nodo u in un BST è il
nodo v nell’albero avente minima chiave 
chiave(u)
• Come trovo il predecessore/successore di un
nodo in un BST?
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Ricerca del predecessore
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Nota: la ricerca del successore di un nodo è simmetrica
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suc(u)
6
3
18
Cerco il min del
sottoalbero destro
8
17
20
suc(v)
2
4
7
13
9
18
Cerco l’antenato più
prossimo di v il cui
figlio sinistro è la
radice del
sottoalbero che
contiene v
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delete(elem e)
Sia u il nodo contenente l’elemento e da cancellare:
1) u è una foglia: rimuovila
2) u ha un solo figlio:
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delete(elem e)
3) u ha due figli: sostituiscilo con il predecessore
(o successore) (v) e rimuovi fisicamente il
predecessore (o successore) (che ha un solo
figlio)
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delete (u)
15
6
u
4
3
9
v
2
18
4
17
7
20
13
10
successore di u
5
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Costo delle operazioni
• Tutte le operazioni hanno costo O(h)
dove h è l’altezza dell’albero
• O(n) nel caso peggiore (alberi molto
sbilanciati e profondi)
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…un albero binario di ricerca bilanciato…
h=O(log n)
15
6
3
2
23
20
8
4
7
17
13
16
27
19
22
30
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Ma anche questo è un BST
22
27
20
19
17
16
15
...
2
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Notare: Tsearch(n) = O(h) in entrambi i casi
Però:
BST completo  h = (log(n))
BST “linearizzato”  h = (n)
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Alberi AVL
(Adel’son-Vel’skii e Landis)
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Definizioni
Fattore di bilanciamento di un nodo v = altezza
del sottoalbero sinistro di v - altezza del
sottoalbero destro di v
Un albero si dice bilanciato in altezza se ogni
nodo v ha fattore di bilanciamento in valore
assoluto ≤ 1
Alberi AVL = alberi binari di ricerca bilanciati in
altezza
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Altezza di alberi AVL
Si può dimostrare che un albero AVL con n nodi
ha altezza O(log n)
Idea della dimostrazione: considerare, tra tutti
gli AVL di altezza h, quelli con il minimo
numero di nodi nh (alberi di Fibonacci)
Intuizione: se gli alberi di Fibonacci hanno
altezza O(log n), allora gli alberi AVL hanno
altezza O(log n)
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…Alberi di Fibonacci per piccoli valori di altezza…
Ti: albero di Fibonacci di altezza i
(albero AVL di altezza i con il minimo numero di nodi)
T0
T1
T2
T3
T4
Nota che: se a Ti tolgo un nodo, o diventa sbilanciato, o cambia la sua altezza
Inoltre: ogni nodo ha fattore di bilanciamento pari a 1
intravedete uno schema per generare l’i-esimo
albero di Fibonacci a partire dai precedenti?
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T0
T1
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T2
T3
T4
Lo schema
Lemma
Sia nh il numero di nodi di Th.
Risulta nh=1+nh-1+nh-2=Fh+3-1
dim
per induzione su h
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Corollario
Un albero AVL con n nodi ha altezza h=O(log n)
dim
nh =Fh+3 -1 = ( h)
Ricorda che vale:
Fk = ( k)
 =1.618… sezione aurea
h=(log nh)
corollario segue da n  nh
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Implementazione delle operazioni
• L’operazione search procede come in un BST
• Ma inserimenti e cancellazioni potrebbero
sbilanciare l’albero
• Manteniamo il bilanciamento tramite
opportune rotazioni
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Rotazione di base
• Mantiene la proprietà di ricerca
• Richiede tempo O(1)
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Ribilanciamento tramite rotazioni
•
•
•
•
Le rotazioni sono effettuate su nodi sbilanciati
Sia v un nodo con fattore di bilanciamento ≥ 2
Esiste un sottoalbero T di v che lo sbilancia
A seconda della posizione di T si hanno 4 casi:
• I quattro casi sono simmetrici a coppie
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Rotazione SS
• Applicare una rotazione semplice verso destra
su v
• L’altezza dell’albero coinvolto nella rotazione
passa da h+3 a h+2
+1
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Rotazione SD
• Applicare due rotazioni semplici: una verso sinistra
sul figlio del nodo critico (nodo z), l’altra verso
destra sul nodo critico (nodo v)
• L’altezza dell’albero coinvolto nella rotazione passa
da h+3 a h+2
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…stesso caso, ma con fattore di bilanciamento di w diverso…
+1
36
0
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insert(elem e, chiave k)
1. Crea un nuovo nodo u con elem=e e chiave=k
2. Inserisci u come in un BST
3. Ricalcola i fattori di bilanciamento dei nodi
nel cammino dalla radice a u: sia v il più
profondo nodo con fattore di bilanciamento
pari a ±2 (nodo critico)
4. Esegui una rotazione opportuna su v
•
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Oss.: una sola rotazione è sufficiente, poiché l’altezza
dell’albero coinvolto diminuisce di 1
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insert (10,e)
+2 +1
15
-2
-1
6
0
2
18
-2
3
0
-1
0
4
-1
8
+1
+2
13
0
7
-1 0
-1
0
17
20
0
caso SD
25
9
0
10
38
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insert (10,e)
+2 +1
15
-2
-1
6
0
2
18
-2
3
0
-1
0
4
-1
0
17
8
+1
+2
13
0
7
-1 0
-1
20
0
25
10
0
9
39
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insert (10,e)
+2 +1
15
-2
-1
6
0
2
18
-2
3
0
-1
0
4
-1
8
0
7
-1
0
9
40
-1
0
17
20
0
0
10
25
+1
0 +2
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delete(elem e)
1. Cancella il nodo come in un BST
2. Ricalcola i fattori di bilanciamento dei nodi
nel cammino dalla radice al padre del nodo
eliminato fisicamente (che potrebbe essere il
predecessore del nodo contenente e)
3. Ripercorrendo il cammino dal basso verso
l’alto, esegui l’opportuna rotazione semplice o
doppia sui nodi sbilanciati
•
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Oss.: potrebbero essere necessarie O(log n) rotazioni
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delete (18)
+1 +2
15
caso SD
-1 0
-1
6
0
2
18
20
0
-1
3
8
0
4
-1
0
17
+1
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0
7
20
0
successore di 18
25
0
9
42
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delete (18)
+1 +2
15
+1
-1 0
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20
+1
+1
13
6
0
7
0
3
0
2
43
0
17
0
0
9
25
0
4
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delete (18)
0
8
+1
0
6
15
0
7
0
3
0
2
44
0
4
+1
13
0
9
0
20
0
17
0
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Cancellazione con rotazioni a cascata
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Classe AlberoAVL
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Costo delle operazioni
• Tutte le operazioni hanno costo O(log n)
poché l’altezza dell’albero è O(log n) e
ciascuna rotazione richiede solo tempo
costante
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