Università di Milano-Bicocca Laurea Magistrale in Informatica Corso di APPRENDIMENTO E APPROSSIMAZIONE Lezione 6 - Reti Neurali Artificiali Prof. Giancarlo Mauri Outline Introduction Perceptrons Gradient descent learning rule Multi-layer networks Backpropagation learning algorithm Perché le reti neurali LA POTENZA DEL CALCOLO ELETTRONICO… calcoli numerici complessi (anni per un uomo) in frazioni di secondo memorizzazione grandi quantità di dati … E I SUOI LIMITI riconoscimento di persone, oggetti, suoni (anche in presenza di rumore) riconoscimento del parlato e comprensione del linguaggio naturale apprendimento, classificazione, generalizzazione visione e controllo del movimento adattamento a nuove situazioni soluzione di problemi complessi in modo esaustivo (ottimizzazione combinatoria) Perché le reti neurali • Perché il cervello risulta superiore al computer per certe categorie di problemi? • I meccanismi operanti nel cervello possono essere imitati per produrre macchine più efficienti ? Perché le reti neurali La differenza non sta nelle componenti: Cellule nervose: tempo risposta ordine msec Circuiti logici elettronici: tempo risposta ordine nsec ma nella "architettura" Perché le reti neurali IL CERVELLO COME CALCOLATORE L'elaborazione è frutto di un processo altamente parallelo La potenza di calcolo deriva dalla cooperazione di molti processori semplici e fortemente interconnessi: 1010 - 1011 neuroni 105 connessioni/ neurone Le connessioni si modificano con l'apprendimento L'informazione non é localizzata, ma distribuita globalmente nella rete di processori L'intelligenza deriva dalla interazione tra i neuroni, non é prerogativa di un singolo neurone Ha una notevole tolleranza ai guasti Es. Riconoscimento volti in 0,1 sec Un po' di storia INTERESSE PER IL NEURAL COMPUTING 1943 McCulloch Pitts Wiener Craik 1950 Wiener Shannon Von Neuman As hby Hebb Turing 1960 Rosenblatt Minsky Papert 1970 Arbib Kohonen 1984 PdP Group Hopfield ………… Un po' di storia I PIONIERI (Anni '40) 1943 : McCulloch e Pitts "A Logical calculus of Ideas Immanent in Nervous Activity" Primo modello formale di funzionamento di una rete nervosa, descritta come un circuito i cui componenti sono porte logiche costruite a partire dalle funzioni booleane elementari: OR, AND, NOT. 1949 : Wiener introduce la visione del sistema l'elaborazione delle informazioni nervoso come un sistema per 1949 : D.O. Hebb "The organization of behavior" ipotizza che alla base del meccanismo di apprendimento vi sia una modifica dell'efficacia sinaptica tra coppie di neuroni, attraverso il rafforzamento di connessioni spesso attive. La regola di apprendimento di Hebb è ancora alla base di molti modelli Un po' di storia LA PRIMA ETA’ DELL’ORO ('50–'60) Fine anni '40: von Neumann sviluppa la teoria degli automi "ramo seriale" che darà origine alle architetture "alla von Neumann" "ramo parallelo" che produrrà gli automi cellulari e le reti neuronali 1960: B. Widrow, M. Hoff "Adaptive switching circuits" Uno dei primi neurocomputer, con regola di apprendimento di Widrow–Hoff, capace di riconoscere semplici pattern La differenza tra l'uscita del circuito e l'uscita desiderata modifica per controreazione le resistenze nel circuito per ottenere uscite più corrette 1962: F. Rosenblatt "The principles of neurodynamics" Primo modello di neurone formale in grado di apprendere da esempi (percettrone) Esperimenti su computer Un po' di storia GLI ANNI DELLA CRISI ('70) 1969: M. Minsky, S. Papert "Perceptrons: an introduction to computational geometry" Analisi approfondita dei percettroni. Dimostrazione della inadeguatezza a risolvere molti problemi. Il campo delle reti neurali fu abbandonato (anche per l'indisponibilità di tecnologie adeguate) salvo poche eccezioni (Stephen Grossberg, Teuvo Kohonen, James Anderson, Gail Carpenter) Sviluppo di calcolatori basati sulla architettura sequenziale di von Neuman Intelligenza artificiale Un po' di storia GLI ANNI DELLA RIPRESA ('80–'90) Riesame della critica di Minsky e Papert, che risulta valida solo per reti molto semplici Introduzione dell'algoritmo di back propagation John Hopfield Analogie stimolanti con altri sistemi fisici D. Rumelhart, J. McClelland, G. Hinton, T. Sejnowski Descrizione dell'apprendimento delle reti in termini di meccanica statistica: Macchina di Boltzmann Sviluppo di algoritmi ed architetture ad alto parallelismo Sviluppo di nuove tecnologie: VLSI, Circuiti ottici Quando usare le reti neurali Input multidimensionale a valori reali o discreti (e.g., dati grezzi da sensori Output vettore di valori Dati rumorosi Forma della funzione obiettivo sconosciuta Non è importante la leggibilità del risultato da parte dell’uomo Campi applicativi Elaborazione di segnali Controllo Riconoscimento di schemi grafici Classificazione di immagini Medicina Riconoscimento e produzione del parlato Predizioni Finanziarie Connessionismo e intelligenza artificiale Intelligenza artificiale Connessionismo Mente ≠ cervello Mente cervello Deduzione Induzione Simbolico Analogico / subsimbolico Sequenziale Parallelo Programmazione Apprendimento Istruzioni imperative Adattività Indirizzi espliciti Memoria associativa No generalizzazione Generalizzazione Il neurone biologico Stati possibili: eccitazione invia segnali ai neuroni connessi attraverso le sinapsi inibizione non invia segnali Transizione di stato: dipende dall'entità complessiva dei segnali eccitatori e inibitori ricevuti Neuroni formali Gli elementi essenziali: Stato Funzione di transizione Funzione di uscita Modalità di transizione Un esempio: neurone binario a soglia (McCulloch, Pitts 1943) <n, C, W, > nome canali input vettore soglia pesi Neuroni formali Stati: Funzione di transizione: Funzione di uscita: Modalità di transizione: c1 c2 cn {0,1} o {-1,1} s(t+1) = 1 sse wisi(t) ≥ coincide con lo stato deterministica w1 w2 … wn Neuroni formali Funzioni di transizione A gradino Output f(x) = 1 se x > 0 altrimenti Input Lineare f(x) = ax + b Output Input Neuroni formali Mista Output Input Sigmoide f(x) = 1 1+e-x Output Input Reti neurali artificiali w21 1 2 3 5 4 f(x) 1 1 e x 1 Reti neurali artificiali CARATTERISTICHE STRUTTURALI: Grande numero di unità Operazioni elementari Alto livello di interconnessione CARATTERISTICHE DINAMICHE : Cambiamento di stato in funzione dello stato dei neuroni collegati (input) Funzione di uscita per ogni unità Modifica dello schema di connessione per apprendimento FORMALMENTE: n | w ij | matrice dei pesi | i | vettore delle soglie n i (t) w ij x j (t) i j1 x i (t 1) g(n i (t)) input netto a i al tempo t funzione di transizione Reti neurali artificiali ELEMENTI CARATTERIZZANTI: tipo di unità topologia (direzione delle connessioni, numero di strati …) modalità di attivazione: seriale ciclica seriale probabilistica parallela mista modalità di addestramento Reti neurali artificiali CLASSI PRINCIPALI: Percettrone (Rosenblatt) Adaline(Widrow e Hoff) Mappe di caratteristiche autoorganizzanti (Kohonen) Reti di Hopfield Reti basate sulla teoria della risonanza adattiva (Carpenter) Percettrone a più strati (Rumelhart e Williams) Macchina di Boltzmann (Hinton) Memoria associativa bidirezionale (Kosko) Rete a contropropagazione (Hecht–Nielsen) Il percettrone Compito: riconoscimento di forme I percettroni sono reti semplificate, progettate per permettere lo studio di relazioni tra l'organizzazione di una rete nervosa, l'organizzazione del suo ambiente e le prestazioni "psicologiche" di cui è capace. I percettroni potrebbero realmente corrispondere a parti di reti e sistemi biologici più estesi; in questo caso, i risultati ottenuti sarebbero direttamente applicabili. Più verosimilmente, essi rappresentano una semplificazione estrema del sistema nervoso centrale, in cui alcune proprietà sono esagerate ed altre soppresse. In questo caso, perturbazioni e raffinamenti successivi del sistema possono dare una approssimazione migliore. Rosenblatt, 1962 Perceptron Linear treshold unit (LTU) Nodi di input x1 x2 . . . xn w1 w2 wn Pesi x0=1 Soglia Nodo di output w0 ni=0wixi y y(xi)= { 1 if i=0wixi >0 -1 otherwise n Funzione di transizione Apprendimento nel percettrone I pesi vengono fissati a caso e poi modificati L'apprendimento è guidato da un insegnante La procedura Obiettivo è classificare vettori di input in due classi, A e B Si sottomette una sequenza infinita {xk} di vettori tale che ve ne siano un numero infinito sia di A che di B Per ogni xk la rete calcola la risposta yk Se la risposta è errata, si modificano i pesi, incrementando i pesi delle unità di input attive se si è risposto 0 anzichè 1, decrementandole nel caso duale: w' = w ± x Apprendimento nel percettrone Teorema di convergenza: Comunque si scelgano i pesi iniziali, se le classi A e B sono discriminabili, la procedura di apprendimento termina dopo un numero finito di passi Teorema di Minsky e Papert: La classe delle forme discriminabili da un percettrone semplice è limitata alle forme linearmente separabili Il teorema di convergenza del percettrone Input x = (x1, …, xd) Input esteso x = (x1, …, xd, 1) Pesi w = (w1, …, wd, -) Teorema Se l'insieme degli input estesi è partito in due classi linearmente separabili A, B allora é possibile trovare un vettore di pesi w tale che: wx ≥ 0 se xA wx < 0 se xB Il teorema di convergenza del percettrone Costruzione 1. Si parte con w arbitrario 2. Si classifica un input x: risposta corretta: w' := w risposta errata: w' := w+x se xA w' := w–x se xB 3. Si prova un nuovo input Il teorema di convergenza del percettrone Correttezza Sia xA e wx < 0 Poiché xx ≥ 0 vale w'x = (w+x)x = wx + xx > wx Quindi w' classifica x in modo "più corretto" rispetto a w Ma altri input possono essere classificati "meno correttamente" Il teorema di convergenza del percettrone Convergenza Si consideri Cerchiamo {xi}iN A' = AB' v tale che B' = {-x | xB} vx ≥ 0 xA' sequenza di addestramento xiA' occorrono infinite volte elementi sia di A che di B' {wi}iN sequenza dei pesi scelta arbitraria w0 = 0 wk+1 = wk se wkxk ≥ 0 wk + xk altrimenti Il teorema di convergenza del percettrone sequenza dei vettori dei pesi modificati {vi}iN sottosequenza di training corrispondente {ti}iN w0 ≠ w1 = w2 = w3 ≠ w4 = w5 = w6 ≠ w7 ≠ w8 …….. v0 v1 v2 v3 t0 vj tj < 0 t1 t2 j vj+1 = vj + tj = vj-1 + tj-1 + tj = …… = TESI: la sequenza {vi} è finita t3 Il teorema di convergenza del percettrone DIMOSTRAZIONE Sia w una qualsiasi soluzione(esiste per ipotesi)! x A' x•w ≥ 0 Si ponga = min(x•w | xA') j vj+1• w = t k • w ≥ j• k 1 (vj+1• w )2 ≤ |vj+1|2•|w|2 |2 |vj+1 ≥ j2 2 |w| 2 (* *) (*) + (* *) (Cauchy-Schwarz) (* * *) Il teorema di convergenza del percettrone Si ponga M = max{|x|2 | xA'} |vj+1|2 = |vj+tj|2 = |vj|2+2vj•tj+|tj|2 ≤ |vj|2+|tj|2 (vj•tj< 0) j |vj+1|2 ≤ k 1 f(j) = |tj|2≤ j•M j2 2 ≤ |v +1|2 ≤ j M = g(j) j 2 |w| quadratico in j lineare in j (*) (* * *) + (*) Il teorema di convergenza del percettrone f g j j M | W | 2 2 Dopo al massimo modificazioni di peso, il percettrone classifica correttamente ogni input. Il teorema di convergenza del percettrone Ma: • dipende dalla soluzione w • non è il reale numero di stadi Un esempio OR ESCLUSIVO (addizione binaria) I punti a valore 1 non sono linearmente separabili da quelli a valore 0 01 = 1 00 = 0 11 = 0 10 = 1 Ipotesi: Esiste un neurone binario a soglia tale che xy = 1 se e solo se x + y ≥l x y l xy Un esempio Essendo simmetrica, vale anche xy = 1 sse y + x ≥ l Sommando e dividendo per 2 si ottiene: xy = 1 sse tx + ty = t(x+y) ≥ l ove t = (+ )/2 Posto ora x+y = s, abbiamo: xy = 1 sse t s – l≥ 0 Dallo studio del polinomio di primo grado in s y = t s – si ottiene: Per s = 0, ts – l < 0 (00 = 0) Per s = 1, ts – l ≥ 0 (01 = 1 = 10) Per s = 2, ts – l < 0 (11 =0) Questa é una contraddizione, poiché una retta non può salire e poi scendere Reti neurali e apprendimento Il "programma" di una rete neurale è rappresentato dai pesi sinaptici E' impossibile "programmare" direttamente reti complesse per svolgere un certo compito D.O. Hebb, 1949: Apprendimento = modifica pesi sinaptici Se due neuroni connessi sono per più volte di seguito contemporaneamente attivi, il peso della sinapsi aumenta La regola di Hebb è una regola non formalizzata. Inoltre i pesi vengono solo aumentati Una possibile formalizzazione (Sutton, 1981) wi(t+1) = wi(t) + xi(t)y(t) Perceptron Learning Rule wi := wi + wi wi = (t-y)xi t=c(x) is the target value y is the perceptron output is a small constant (e.g. 0.1) called learning rate • If the output is correct (t=y) the weights wi are not changed • If the output is incorrect (t≠y) the weights wi are changed so that the output of the perceptron for the new weights is closer to t. • The algorithm converges to the correct classification • if the training data is linearly separable • and is sufficiently small Perceptron Learning Rule t=-1 t=1 y=1 w=[0.25 –0.1 0.5] x2 = 0.2 x1 – 0.5 (x,t)=([2,1],-1) (x,t)=([-1,-1],1) (x,t)=([1,1],1) y=sgn(0.45-0.6+0.3) y=sgn(0.25+0.1-0.5) y=sgn(0.25-0.7+0.1) =1 =-1 w=[0.2 –0.2 w=[-0.2 –0.4 –0.2] –0.2] w=[0.2 0.2 0.2] y=-1 Gradient Descent Learning Rule Consider a linear unit without threshold and continuous output y (not just –1,1) y = w0 + w1x1 + … + wnxn Learning strategy: minimize a suitable function of the weights wi’s, for example the squared error E[w1,…,wn] = ½dD (td-yd)2 where D is the set of training examples Minimization technique: gradient descent (versus connection weights E w Gradient Descent D={<(1,1),1>,<(-1,-1),1>, <(1,-1),-1>,<(-1,1),-1>} Gradient: E[w]=[E/w0,… E/wn] w=- E[w] wi=- E/wi =/wi 1/2d(td-yd)2 = /wi 1/2d(td-i wi xi)2 = d(td- yd)(-xi) (w1,w2) (w1+w1,w2 +w2) Gradient Descent Gradient-Descent(training_examples, ) Each training example is a pair of the form <(x1,…xn),t> where (x1,…,xn) is the vector of input values, and t is the target output value, is the learning rate (e.g. 0.1) Initialize each wi to some small random value Until the termination condition is met, Do Initialize each wi to zero For each <(x1,…xn),t> in training_examples Do Input the instance (x1,…,xn) to the linear unit and compute the output y For each linear unit weight wi Do wi = wi + (t-y) xi For each linear unit weight wi Do wi := wi+wi Incremental Gradient Descent Batch mode : gradient descent w = w - ED[w] over the entire data D ED[w]=1/2d(td-yd)2 Incremental mode: gradient descent w = w - Ed[w] over individual training examples d Ed[w]=1/2 (td-yd)2 Incremental Gradient Descent can approximate Batch Gradient Descent arbitrarily closely if is small enough Perceptron vs Gradient Descent Rule Perceptron learning rule guaranteed to succeed if Training examples are linearly separable Sufficiently small learning rate Linear unit training rules using gradient descent Guaranteed to converge to hypothesis with minimum squared error Given sufficiently small learning rate Even when training data contains noise Even when training data not separable by H Multi-Layer (feedforward) Networks Strati intermedi tra input e output Connessioni da strati di livello basso a strati di livello alto; nessuna connessione all'interno di uno stesso strato Stato di un neurone: x Funzione di transizione: con P(x) xk P( w jk x j ) j funzione sigmoidale Per ogni configurazione x del primo strato (ingresso), la rete calcola una configurazione y dell'ultimo strato (uscita) Multi-Layer Networks output layer … … … hidden layers input layer Multi-Layer Networks Obiettivo è che, fissata una mappa f tra configurazioni di ingresso e di uscita, sulla base di una sequenza di stimoli xk, la rete cambi i pesi delle connessioni in modo che, dopo un numero finito s di passi di apprendimento, l'uscita yk coincida con f(xk) per ogni k>s, almeno approssimativamente. Criterio di modifica: minimizzare un "criterio di discrepanza" tra risposta della rete e risposta desiderata Teorema (Irie-Miyake, 1988): Un solo strato nascosto è sufficiente per permettere di calcolare qualsiasi funzione da un insieme finito a {0,1} Example Exclusive or with one hidden layer .5 +1 +1 –2 1.5 +1 +1 Sigmoid Unit x1 w1 w2 x2 . . . w n xn x0=1 w0 net=i=0n wi xi y=(net)=1/(1+e-net) y (x) is the sigmoid function: 1/(1+e-x) d(x)/dx= (x) (1- (x)) Training a two layers network Input x Weights w Output yj = iwijxi Žy Ž w x ŽE ŽE Žyj = = –(tj–yj) j = –j i ij j = –jxi Žw ij Žyj Žw ij Žw ij Žw ij I pesi sono modificati proporzionalmente a questa derivata (regola delta): w ij = jxi La convergenza a un minimo globale é garantita per funzioni di attivazione lineari senza unità nascoste e per dati consistenti Multilayer networks of sigmoid units Neurons u1, u2, …, un: input units hidden units output units Real weights wij Activation states sj Net input to uj : nj w s ij i i Sigmoid transition function: 1 sj(t+1) = -ni (t) 1 e Multilayer networks of sigmoid units Let x input, t expected output, y actual output Consider square norm 1 (t j y j ) 2 2 j Modify weights using: w ij = – Since: ŽE Žw ij ŽE ŽE Žnj ŽE = = s = (def) –j s j Žwij Žnj Žwij Žnj j we need to determine: j = – ŽE Žnj Backpropagation Algorithm Step 1 – Input Input neuron uj is set to state xj Step 2 – Propagation The state of hidden or output neurons uj is computed sj = fj(nj) Step 3 – Comparison For each output neuron uj, given the expected output, compute: j = f 'j(nj)(tj – y j) Step 4 – Error backpropagation For each hidden neuron uj, compute: j = f 'j(nj)(• wjh h) Step 5 – Weights update h wij := w ij + isj Backpropagation Algorithm Initialize each wi to some small random value Until the termination condition is met, Do For each training example <(x1,…xn), t> Do Input the instance (x1,…,xn) to the network and compute the network outputs yk For each output unit k k=yk(1-yk)(tk-yk) For each hidden unit h h=yh(1-yh) k wh,k k For each network weight w,j Do wi,j=wi,j+wi,j where wi,j= j xi,j Backpropagation Gradient descent over entire network weight vector Easily generalized to arbitrary directed graphs Will find a local, not necessarily global error minimum -in practice often works well (can be invoked multiple times with different initial weights) Often include weight momentum term wi,j(n)= j xi,j + wi,j (n-1) Minimizes error training examples Will it generalize well to unseen instances (over-fitting)? Training can be slow typical 1000-10000 iterations (use Levenberg-Marquardt instead of gradient descent) Using network after training is fast Backpropagation Algorithm Limiti mancanza di teoremi generali di convergenza può portare in minimi locali di E difficoltà per la scelta dei parametri scarsa capacità di generalizzazione Possibili modifiche migliorative Tasso di apprendimento adattivo: = g(gradiente di E) Termine di momento wij (t+1) = isj + wij (t) Range degli stati da –1 a 1 Deviazioni dalla discesa più ripida Variazioni nell'architettura (numero di strati nascosti) Inserimento di connessioni all'indietro Backpropagation Algorithm Il tasso di apprendimento grande, rischio di comportamento oscillatorio piccolo, apprendimento lento Strategie di identificazione della architettura ottimale Rete grande apprende facilmente, ma generalizza male Rete piccola apprende con difficoltà, ma generalizza bene A partire da una rete grande tolgo neuroni nascosti, se valuto che può continuare ad apprendere anche con meno neuroni A partire da una rete piccola aggiungo neuroni nascosti, se la discesa della funzione E é troppo lenta o bloccata A partire da una ipotesi iniziale di rete, aumento o diminuisco i nodi nascosti, secondo criteri misti Backpropagation Algorithm Inserimento di connessioni all'indietro in presenza di connessioni con ritardo q l'input netto é: n j t Q w ijq s j t q q 1 j la funzione E é calcolata pesando l'errore nel tempo: T E = 1 • • jt (sj – tj 2 2 j t=1 nel calcolo delle derivate occorre aggiungere variabili ausiliarie Il ruolo dell'integrazione la rete può integrarsi con moduli tradizionali, sfruttando tutte le informazioni simboliche e le sinergie che vi possono essere ALVINN Drives 70 mph on a public highway Camera image 30 outputs for steering 4 hidden units 30x32 pixels as inputs 30x32 weights into one out of four hidden units 8-3-8 Binary Encoder -Decoder 8 inputs 3 hidden Input Output 10000000 10000000 01000000 01000000 00100000 00100000 00010000 00010000 00001000 00001000 00000100 00000100 00000010 00000010 00000001 00000001 Can this be learned ? 8 outputs Hidden values .89 .04 .08 .01 .11 .88 .01 .97 .27 .99 .97 .71 .03 .05 .02 .22 .99 .99 .80 .01 .98 .60 .94 .01 Convergence of Backprop Gradient descent to some local minimum Perhaps not global minimum Add momentum Stochastic gradient descent Train multiple nets with different initial weights Nature of convergence Initialize weights near zero Therefore, initial networks near-linear Increasingly non-linear functions possible as training progresses Expressive Capabilities of ANN Boolean functions Every boolean function can be represented by network with single hidden layer But might require exponential (in number of inputs) hidden units Continuous functions Every bounded continuous function can be approximated with arbitrarily small error, by network with one hidden layer [Cybenko 1989, Hornik 1989] Any function can be approximated to arbitrary accuracy by a network with two hidden layers [Cybenko 1988] Working with backpropagation Come evitare i minimi locali? Quanto è lungo il tempo di apprendimento? Come scegliere ? Nessuna risposta teorica, solo risultati di simulazione Working with backpropagation Esempio: Funzione Logistica oj o j n j 1 1 e e nj n j ij i j i n j (1 e w o n j 2 ) 1 1 e n j 1 1 n 1 e j j (t j o j ) o j (1 o j ) j o j (1 o j ) w k jk o j (1 o j ) unità output unità nascosta k Il ruolo della costante Troppo grande: oscillazione Troppo piccolo: apprendimento lento Il problema XOR Soluzione 1 y 6.3 -4.2 -4.2 -9.4 x3 2.2 x1 -6.4 -6.4 x2 Il problema XOR Logistic function = 0.5 558 cicli Output ≤ 0.1 per 0 ≥ 0.9 per 1 x1 x 2 1 x3 x1 x 2 0 x3 x1 1 x3 x2 0 1 1 e 10.6 1 1 e 2.2 1 1 e 4.2 ~0 y ~1 y ~0 y 1 1 e 2.1 1 1 e 3.1 ~0 ~0 1 1 e 2.1 ~1 Il problema XOR Soluzione 2 -.8 5.3 4.5 2.0 -.1 -2.0 8.8 4.3 Minimo locale!!!! Output 0.5 per input 11 e 01 6.587 presentazioni, =0.25 9.2 Il problema XOR APPRENDIMENTO NEL PRECETTRONE GEN. 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 INPUT 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 OUTPUT INIZ. OUTPUT DOPO 250 CICLI (1 CICLO) ( = .1) .50 .48 .46 .48 .46 .51 .39 .48 .47 .46 .96 .97 .97 .97 .97 .02 .03 .03 .02 .02 Il problema XOR -.4 -.9 -1.4 -.8 -2.9 -6.9 -1.4 -.7 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 -.4 0 0 1 1 0 -2.4 0 1 0 0 1 -1.7 -1.8 0 -3.3 -2.0 -1.4 -1.6 -.8 -2.2 -1.1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Difficoltà di classificazione 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 -2.3 -1.5 -.1 0 0 0 1 1 -1.2 0 1 1 0 0 Le reti di Hopfield n neuroni binari a soglia ui connessione completa con pesi simmetrici Tij evoluzione della rete verso uno stato stabile, a partire da uno stato iniziale assegnato aggiornamento sequenziale casuale con distribuzione di probabilità uniforme Teorema: La rete converge a uno stato stabile, che é minimo globale o locale della funzione energia: E = –1 • • Tijui uj 2 j i °j Le reti di Hopfield Dimostrazione: E decresce o resta invariata ad ogni aggiornamento. Se si aggiorna ui a u'i si ha la variazione di energia: E = E' – E = –1 ui • Tijuj 2 i °j Se ui =0 e u'i =1 allora ui =1 e • Ti juj•0, e quindi Ei Š0 j Se ui =1 e u'i =0 allora ui =–1 e • Ti juj<0, e quindi Ei <0 j Le reti di Hopfield In altre parole, si cambia stato solo se ciò comporta una diminuzione di energia. Stati stabili sono gli stati di minima energia, in cui E non é abbassata da modifiche di nessuna delle variabili ui B A C Stati di minimo COMPUTAZIONE: Si bloccano i valori di alcune unità (input) Si lascia evolvere la rete fino all'equilibrio Si leggono e interpretano i valori di alcune unità (output) Il meccanismo probabilistico e l'esistenza di più minimi locali possono portare a risultati diversi in diverse esecuzioni Macchina di Boltzmann Rete di neuroni binari che usa la tecnica dell'annealing simulato per modificare le connessioni interne Funzione obiettivo (bilineare): n V= n • si wij sj + •i si i,j=1 i=1 n = •si ni (si {0,1}) i=1 Matrice di connessione simmetrica No auto connessioni Aggiornamento neuroni casuale Funzione di attivazione sigmoidale casuale governata dalla seguente probabilità di transizione da s a s' ps,s' = 1 1 (V(s) -V(s')) N 1+e se s contiguo a s' • se s = s' 1- ps,s" s" contiguo a s 0 altrimenti ove s é contiguo a s' sse la loro distanza di Hamming é 1 Macchina di Boltzmann processo stocastico che, all'equilibrio, concentra la probabilità nella regione critica M per V, in base alla legge di distribuzione p(s) = e-V(s) Z ove Z é una costante di normalizzazione Procedure: MACCHINA DI BOLTZMANN External function: stopping_rule BEGIN prendi una configurazione iniziale s {0,1} REPEAT calcola V = V(s) prendi uniformemente un i in {1,2,...,n} (scelta di un vettore prossimo) calcola V' = V(s) IF exp(–b(V–V')) > random [0,1) THEN flip si UNTIL stopping_rule é verificata END Apprendimento nelle B.M. Si impara una buona approssimazione della distribuzione di probabilità condizionale sull'insieme di coppie (input, output) 1. Fase positiva Blocco unità di input e di output Evoluzione verso l'equilibrio termico Incremento del peso tra unità contemporaneamente attive (Hebb) 2. Fase negativa Blocco unità di input Evoluzione verso l'equilibrio termico Decremento del peso tra unità contemporaneamente attive Elimina il rischio di saturazione dei pesi sinaptici Literature & Resources Textbook: ”Neural Networks for Pattern Recognition”, Bishop, C.M., 1996 Software: Neural Networks for Face Recognition http://www.cs.cmu.edu/afs/cs.cmu.edu/user/mitchell/ftp/faces.ht ml SNNS Stuttgart Neural Networks Simulator http://www-ra.informatik.uni-tuebingen.de/SNNS Neural Networks at your fingertips http://www.geocities.com/CapeCanaveral/1624/ http://www.stats.gla.ac.uk/~ernest/files/NeuralAppl.html