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Programma del Corso di “Analisi Numerica” (A.A. 2004-2005)
(C.L. Ingegneria Meccanica n.o. - Canale G-Z)
Testi di riferimento:
[G]
[GL]
L. Gori
Calcolo Numerico, (IV Ed.) Ed. Kappa, 1999
L. Gori, M.L. Lo Cascio Esercizi di Calcolo Numerico, (II Ed.) Ed. Kappa, 1999
i. Nozioni Introduttive.
Nozioni introduttive. Errori e loro propagazioni. Condizionamento di un problema, stabilità
degli algoritmi.
[G]
Cap.1: §1.1, §1.2 cenni (significato di arrotondamento), §1.3 (fino a p.7[5]), §1.4, §1.5
(ad una variabile, escluso condizionamento del calcolo di una radice), §1.6.
ii. Richiami su matrici e spazi vettoriali.
Richiami sulle matrici: definizioni, proprietà fondamentali (determinante, inversa, rango,
matrici simili), operazioni tra matrici e vettori. Matrici particolari (simmetriche, definite
positive, ecc…), matrici elementari di trasformazione. Autovalori ed autovettori di matrici,
raggio spettrale. Norme di vettori e matrici, escluso norme indotte. Relazione di compatibilità
2.10.8; teorema 2.10.1, matrice convergente e teorema 2.10.2 (senza dimostrazioni).
[G]
Cap.2: §2.1÷2.6, §2.8, §2.9; §2.10 fino p.39[-5], enunciato teorema 2.10.1, da p.41
[-3] fino all’enunciato del teorema 2.10.2.
iii. Soluzione di equazioni non lineari.
Separazioni delle radici. Metodi iterativi: concetti di base, ordine di convergenza, efficienza
computazionale; metodo delle bisezioni (opz. interpretazione geometrica e “regula falsi”).
Metodi iterativi ad un punto: concetti di base, teoremi sull’esistenza, la convergenza e l’ordine
di convergenza; metodo di Newton-Raphson (modifiche per radici multiple, solo algoritmi),
metodo delle secanti con estremo fisso ed estremi variabili (cenni). Criteri di arresto. Sistemi
non lineari, metodo di Newton, cenni.
[G]
Cap.3: §3.1÷3.3, §3.4 (escluso da p.52[6] a p.53[-7]), §3.5 (escluso il Teorema 3.5.3),
§3.6 (esclusa la dim. del Teorema 3.6.2, e fino a p.66[-10], da p.66[-10] a fine
paragrafo, solo cenni). §3.7÷3.10 cenni.
Esercizi consigliati:
[GL] Cap.1: Esercizi: 1÷11, 13, 14, 18÷26.
Cap.7: Testi d’esame: 11, 13, 18, 20, 22, 25, 29, 36, 43.
iv. Soluzione di sistemi di equazioni lineari.
Generalità e condizionamento dei sistemi lineari. Metodi iterativi: concetti di base,
convergenza, velocità asintotica di convergenza, criteri di arresto; metodi di Jacobi, GaussSeidel e di rilassamento (S.O.R.): algoritmi e convergenza (esclusa dimostrazione teorema
4.5.1). Metodi diretti: soluzione di sistemi triangolari, sostituzioni in avanti e all’indietro;
eliminazione di Gauss e di Gauss-Jordan, fattorizzazione LU (dimostrazione solo cenni),
calcolo del determinante, dell’inversa e del rango di una matrice; formule compatte di
fattorizzazione di Banachiewicz-Doolittle e Cholesky, solo algoritmi.
[G]
Cap.4: §4.1÷4.6 (esclusa la dim. teorema 4.5.1), §4.9÷4.10, §4.11 (senza dimostrazioni
degli algoritmi), §4.12 (escluso algoritmo di Thomas).
Esercizi consigliati:
[GL] Cap.2: Esercizi: 1÷5, 10÷26, 29, 30.
Cap.7: Testi d’esame: 7, 15, 16, 19, 24, 27, 34, 35, 41, 49, 52.
v. Autovalori ed autovettori.
Richiami e proprietà generali, molteplicità geometrica e algebrica. Localizzazione degli
autovalori, primo e secondo teorema di Gershgorin (senza dimostrazioni).
[G]
Cap.5: §5.1, §5.2, §5.5 (esclusa p.154)
Esercizi consigliati:
[GL] Cap.3: Esercizi: 1÷15.
Cap.7: Testi d’esame: 2, 26, 37, 45, 50.
vi. Approssimazioni di dati e funzioni.
Generalità, classi di funzioni e metodi di approssimazione. Interpolazione polinomiale: formule
di Lagrange, espressione dell’errore di troncamento (senza ricavarla) ed dell’errore di
propagazione, funzione e costante di Lebesgue. Convergenza dei polinomi interpolatori:
fenomeno di Runge, teoremi di convergenza (cenni), nodi di Chebyshev. Approssimazione ai
minimi quadrati, calcolo dei coefficienti, retta di regressione.
[G]
Cap.6: §6.1÷6.3 (escluso da p.189[12] a p.190[7]), §6.10 (escluso teorema 6.10.2),
§6.12 (fino a p. 231[-3], p. 233[5]).
Esercizi consigliati:
[GL] Cap.3: Esercizi: 1÷12, 20, 21.
Cap.7: Testi d’esame: 2, 26, 37, 45, 50.
vii. Integrazione numerica.
Formule di quadratura: generalità; formule di quadratura interpolatorie: parte approssimante,
errore di troncamento e di propagazione; grado di precisione. Formule di Newton-Cotes chiuse:
formula del trapezio, e formula di Cavalieri-Simpson; formula di Newton-Cotes aperta
(formula del punto centrale). Formule di Newton-Cotes generalizzate, in particolare formula
dei trapezi e delle parabole. Criterio di Runge ed estrapolazione di Richardson. Convergenza
delle formule di quadratura (solo per le formule di Newton-Cotes).
[G]
Cap.7: §7.1÷7.3, 7.4 (solo formule dei trapezi e delle parabole, criterio di Runge), 7.5
(solo estrapolazione di Richardson), 7.9 (concetto di formula di quadratura
convergente, teoremi 7.9.1 e 7.9.2 per formule di Newton-Cotes, esempio 7.9.1).
Esercizi consigliati:
[GL] Cap.4: Esercizi: 1÷8,10.
Cap.7: Testi d’esame: 1, 3, 8÷10, 17, 23, 28 30, 38, 42, 47.
viii. Soluzione numerica di equazioni alle derivate ordinarie.
Richiami sul problema di Cauchy. Concetti base e generalità sui metodi numerici per la
soluzione del problema di Cauchy, metodo di Eulero esplicito, algoritmo e interpretazione
geometrica. Generalità dei metodi numerici, metodo di Eulero, Crank-Nicolson e del punto
centrale ricavati tramite integrazione. Errori di troncamento, errore propagato; ordine,
consistenza, convergenza, stabilità e teorema di LAX. Metodi one-step espliciti: Eulero;
metodi Runge-Kutta, (senza dimostrazione delle formule, solo interpretazione geometrica).
Convergenza dei metodi one-step espliciti (formula 9.6.6 senza dimostrazione), teorema 9.6.1.
Errore di arrotondamento, passo di discretizzazione ottimo. Metodi multi-step: formula del
punto centrale.
[G]
Cap.9: §9.1÷9.6 (senza dimostrazioni), 9.7 (solo formula del punto centrale).
Esercizi consigliati:
[GL] Cap.6: 1÷8, 20.
Cap.7: Testi d’esame: 7.39