appunti di fisica e matematica

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APPUNTI DI FISICA E MATEMATICA
per iniziare il triennio aeronautico
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LISTA LETTERE GRECHE
Nelle applicazioni di fisica matematica molto spesso si trovano le lettere dell’alfabeto Greco, minuscole e
maiuscole.
Di seguito è riportata una lista delle principali:
= ALFA minuscola
= BETA minuscola
= GAMMA minuscola
= DELTA minuscola
= DELTA maiuscola
= EPSILON minuscola
= ETA minuscola
= TETA minuscola
= LAMBDA minuscola
= MU minuscola
= PI GRECO minuscola
= PI GRECO maiuscola
= RHO minuscola
= SIGMA minuscola
= SIGMA maiuscola
= PSI minuscola
= FI minuscola
= OMEGA minuscola
= OMEGA maiuscola
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SEZIONE 1: FISICA
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1. GRANDEZZE E UNITA’ DI MISURA
Ciò che distingue la fisica dalle scienze è la possibilità di fare dei calcoli per prevedere il comportamento di
un corpo. La fisica non si limita all’osservazione e alla descrizione di un fenomeno in termini qualitativi, ma
ne da una descrizione quantitativa.
Un esempio di DESCRIZIONE QUALITATIVA è: “gli oggetti cadono al suolo perché sono attratti dalla forza di
gravità; più sono grossi e più sono attratti al suolo.”
La DESCRIZIONE QUANTITATIVA dello stesso fenomeno diventa: “la forza di attrazione F che la terra esercita su
un corpo è pari alla massa del corpo moltiplicata per l’accelerazione gravitazionale:
”.
Nel secondo caso compare una FORMULA in cui possiamo inserire dei valori per ottenere la forza peso;
prendiamo cioè in considerazione delle QUANTITÀ, dei numeri.
Per poter usare delle quantità è però necessario stabilire delle grandezze e poterle misurare, cioè
assegnare loro un valore numerico tramite un confronto con un’unità di misura.
1.1.
Misurare le grandezze
Uno dei giochi che si fanno fare ai bambini piccoli è quello di stabilire quale tra due oggetti è più grande e
quale è più piccolo. Questo esercizio, che a noi appare banale, serve a sviluppare nel bambino il concetto di
GRANDEZZA. Il bambino impara in fretta a riconoscere se un oggetto è più grande di un altro e se gli si chiede:
“questa palla è grande o piccola?” il bambino, in maniera del tutto inconsapevole, confronta la grandezza
della palla che gli viene mostrata con quella media delle palle che ha visto fino a quel momento.
In questo modo però LA GRANDEZZA DI UN OGGETTO RISULTA ESSERE SEMPRE RELATIVA AD UN ALTRO OGGETTO.
In fisica non si parla di grandezza solo per riferirsi al volume di un oggetto; con il termine grandezza si indica
qualunque cosa può essere confrontata con un'altra per stabilire quale delle due è maggiore.
Dunque anche il peso è una grandezza poiché possiamo confrontare il peso di due oggetti e stabilire quale è
maggiore.
E’ chiaro che in fisica, se dobbiamo usare delle formule, non ci basta dire se una cosa è più o meno grossa,
più o meno pesante, più o meno veloce.
Ci serve qualcosa per stabilire esattamente quanto è grande, quanto è pesante, quanto è veloce.
Però abbiamo appena detto che queste grandezze sono relative, che non esiste qualcosa di assolutamente
grande o qualcosa di assolutamente pesante. C’è sempre qualcosa di più grande o qualcosa di più pesante.
E allora che si fa?
CI METTIAMO D’ACCORDO, IN MANIERA DEL TUTTO CONVENZIONALE, PER STABILIRE UNA LUNGHEZZA, UN PESO O UNA
VELOCITÀ CON CUI CONFRONTARE LE ALTRE.
Stabiliamo ad esempio che un oggetto a nostra scelta pesa 1, che un
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altro è lungo 1 e che una certa velocità vale 1. Gli altri oggetti potranno pesare il doppio, il triplo, la metà
dell’oggetto che abbiamo scelto.
La lunghezza o il peso che abbiamo scelto come unitari (cioè pari a 1) si chiamano UNITÀ DI MISURA.
Analizziamo la parola unità di misura. Unità significa 1. Quando un oggetto è unico significa che ce n’è solo
1; quando una squadra è unita, i giocatori si comportano come se fossero una cosa sola, senza divisioni
interne.
Dunque l’unità di misura è una quantità che viene considerata unitaria, cioè pari a 1. L’unità di misura serve
per confrontare le altre grandezze simili (lunghezza con lunghezza, peso con peso, ecc…) e dire di quanto
esse sono più grandi o più piccole dell’unità di misura.
Se ad esempio scegliamo la lunghezza dell’ultimo I-Phone come unità di misura diremo che il banco è lungo
7 I-phone.
Dunque:
LA GRANDEZZA è una qualità che si può confrontare con un altra (es. la lunghezza)
L’UNITA’ DI MISURA è una certa quantità di una grandezza che si suppone valga 1 e viene usata come
confronto con altre grandezze dello stesso tipo (es. l’I-Phone)
LA MISURA è quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza da misurare (es. il banco
misura 7 I-Phone)
Naturalmente se ognuno di noi usasse la sua personale unità di misura non ci capiremmo. Nel 1961 quasi
tutti gli stati del mondo si sono messi d’accordo per utilizzare le stesse unità di misura che sono state
chiamate UNITÀ DEL SISTEMA INTERNAZIONALE.
ESERCIZIO 1: sottolinea tra le seguenti cose quelle che sono grandezze, cioè si possono misurare
Colore, larghezza, bellezza, peso, forza, amore, pressione, coraggio, temperatura, densità,
superficie, velocità, simpatia
CERCA SUL WEB E RIFLETTI: L’intelligenza è una grandezza? Si può misurare? Se si, in
che modo? La sua misura è certa e accettata da tutti oppure qualcuno contesta la
possibilità di effettuare misure di questo tipo?
1.2.
Grandezze fondamentali e derivate
Il Sistema Internazionale classifica le grandezze in due modi: grandezze fondamentali e grandezze derivate.
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1.2.1. Grandezze fondamentali
Sono quelle che non possono essere scomposte in altre grandezze, cioè non derivano da nulla. Ad esempio,
la temperatura non risulta da un’operazione matematica tra altre grandezze: si misura e basta.
GRANDEZZA FONDAMENTALE
SIMBOLO
UNITA’ DI MISURA
SIMBOLO
UNITA’
Lunghezza o Spazio
L, s, d, r
metro
m
Tempo
T
secondo
s
Massa
M, m
chilogrammo
kg
Temperatura
T
Kelvin
K
Intensità di corrente elettrica
i, I
Ampere
A
Intensità di luminosità
Lu
candela
cd
Quantità di sostanza
N
moli
mol
SPAZIO E TEMPO
La lunghezza (chiamata anche spazio) e il tempo sono grandezze di difficile definizione. I concetti di
estensione e di tempo sono infatti alla base di ogni ragionamento e quindi sono davvero fondamentali.
Per secoli i filosofi si sono domandati se questi due concetti siano innati (cioè se le persone nascano
possedendo già l’idea di spazio e di tempo) o se si sviluppino con l’esperienza.
Nell’ultimo secolo si è scoperto che questi due concetti, che sembrerebbero indipendenti l’uno dall’altro,
sono invece legati tra di loro e quando si viaggia alla velocità della luce il loro legame diventa evidente.
MASSA
La massa è un’altra grandezza fondamentale molto importante. Essa rappresenta la quantità di materia da
cui è formato un oggetto (il legno di un tavolo, la carne e le ossa per un corpo). La massa di un corpo
rimane invariata a meno che l’oggetto non si spezzi o, nel caso del corpo umano, ingrassi o dimagrisca.
Nella vita di tutti giorni abbiamo però poca esperienza diretta della massa: quello che sentiamo è invece il
peso.
Nel linguaggio di tutti i giorni siamo abituati a confondere la massa con il peso: alla domanda “quanto
pesi?” tutti rispondiamo indicando un numero seguito dalla parola chilogrammi.
Queste due grandezze sono però diverse: il peso è la forza con cui la terra ci attrae a se; nello spazio il
nostro peso sarebbe nulla e sulla luna peseremmo circa un sesto di quanto pesiamo sulla terra. La nostra
massa invece rimane costante.
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LA TEMPERATURA
La temperatura è una grandezza difficile da definire perché, esattamente come per la massa, nella vita di
tutti i giorni noi non sentiamo la temperatura, ma un’altra grandezza: il calore.
Il calore è un flusso di energia e noi lo percepiamo quando ad esempio ci avviciniamo ad un camino. La
temperatura è data invece dal fatto che le particelle che compongono gli oggetti non sono ferme, ma si
agitano a grande velocità.
Più sono agitate e più la temperatura del corpo è elevata.
Nella vita di tutti i giorni misuriamo la temperatura in gradi centigradi. Questa è una scala relativa, cioè lo
zero (la temperatura a cui l’acqua passa da liquida a solida) è stato scelto dal signor Celsius, che ha
inventato la scala.
Nel sistema internazionale si utilizza invece una scala assoluta, quella Kelvin.
Nella scala Kelvin lo zero corrisponde alla temperatura in cui non esiste più movimento, in nessuna forma.
Poiché anche le particelle fondamentali (elettroni, protoni e neutroni) sono sempre in movimento non
esiste nulla nell’universo che abbia una temperatura pari a
.
L’esistenza della materia presuppone il movimento…
1.2.2. Grandezze derivate
Sono quelle che si ricavano dalla moltiplicazione o dalla divisione di grandezze fondamentali, come la forza
o la velocità:
Una grandezza può derivare solo dalla moltiplicazione o dal prodotto di grandezze fondamentali, mai dalla
somma. Infatti la somma è un operazione che si può fare solo tra grandezze omogenee, cioè tra grandezze
dello stesso tipo.
ESERCIZIO 2: sottolinea tra le seguenti grandezze quelle che sono derivate
Volume, massa, tempo, forza, velocità, accelerazione, lunghezza, pressione, densità, temperatura,
lavoro, potenza, quantità di sostanza
CERCA SUL WEB E RIFLETTI: cosa succede al peso man mano che ci si allontana dalla
superficie terrestre? Cosa succede, ad esempio, nella stazione spaziale internazionale?
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1.3.
Grandezze scalari e vettoriali
Un altro modo di classificare le grandezze è la distinzione tra scalare e vettoriale.
Alla domanda “Che temperatura c’è oggi?” basta dire quanti gradi ci sono. Non è necessario dire altro.
Alla domanda “Dove sposto il tavolo?” non basta dire che va spostato di 2 metri: bisogna anche indicare la
direzione (cioè la retta lungo cui si sposta) e il verso (cioè il lato da cui si deve spostare).
Una grandezza come la temperatura è chiamata SCALARE, mentre una grandezza come lo spostamento viene
chiamata VETTORIALE.
Dunque, UNA GRANDEZZA SCALARE È UNA GRANDEZZA CHE VIENE DEFINITA TRAMITE UN SOLO PARAMETRO.
La lunghezza, la massa, il tempo e la temperatura sono grandezze scalari.
Una grandezza vettoriale è indicata da una freccia, chiamata vettore, che si descrive tramite tre parametri:
intensità, direzione e verso.
INTENSITÀ O MODULO: è la quantità che esprime quanto vale numericamente la grandezza. Ad
esempio nello spostamento il modulo può essere 2m. Quando si indica il modulo di un vettore è
necessario indicare anche l’unità di misura appropriata. Ad esempio, se il vettore indica uno
spostamento il modulo si misurerà in metri, se indica una forza si misurerà in Newton.
DIREZIONE: è la retta su cui giace il vettore
VERSO: è il senso di percorrenza della retta ed è indicato dalla freccia.
Esempi di grandezze vettoriali sono lo spostamento, la velocità, l’accelerazione, la forza.
Dunque, LE GRANDEZZE VETTORIALI SONO DEFINITE DA TRE PARAMETRI CHIAMATI DIREZIONE, MODULO E VERSO.
ESERCIZIO 3: sottolinea tra le seguenti grandezze quelle che sono vettoriali
Volume, massa, tempo, forza, velocità, accelerazione, lunghezza, pressione, densità, temperatura,
lavoro, potenza, quantità di sostanza
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1.3.1. Operazioni tra scalari e vettori
Tra grandezze è possibile fare diverse operazioni. E’ possibile ad esempio fare la somma, il prodotto, ecc…
Le quattro operazioni studiate nelle scuole elementari (somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione)
sono sempre possibili tra scalari.
E’ però possibile eseguire operazioni anche tra due vettori o tra un vettore e uno scalare, con la limitazione
che la somma e la sottrazione possono essere fatte solo tra grandezze omogenee e quindi non è possibile
sommare o sottrarre uno scalare e un vettore.
La tabella seguente mostra quali operazioni sono consentite e quali no.
1.3.2. Il prodotto tra un vettore e uno scalare
Quando un vettore ⃗ viene moltiplicato per uno scalare C si ottiene un altro vettore che ha la stessa
direzione e lo stesso verso di quello di partenza e modulo pari ad
Ad esempio se una persona spinge una macchina con una certa forza e si aggiunge un’altra persona che
spinge con la stessa forza, questa raddoppia:
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1.3.3. La divisione tra un vettore e uno scalare
Quando un vettore ⃗ viene diviso per uno scalare C si ottiene un altro vettore che ha la stessa direzione e lo
stesso verso di quello di partenza e modulo pari ad :
Questo è il caso opposto al precedente: se due persone stanno spingendo un automobile e uno smette, la
forza si dimezza.
1.3.4. La somma tra due vettori
La somma tra due vettori si effettua con una regola chiamata REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA. Un
parallelogramma è una figura geometrica formata da quattro lati, paralleli a due a due:
Per sommare due vettori è necessario traslarli, cioè spostarli in modo che non ruotino, fino a farli
coincidere con i lati di un parallelogramma.
La somma dei due vettori è la diagonale del parallelogramma che parte dalle code dei vettori:
Un esempio di somma vettoriale è quella che si ha quando diverse persone spingono un oggetto, ad
esempio un tavolo:
La prima cosa da fare per sommare due vettori è traslarli fino a far coincidere le due code:
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
A

A


B
B
Quindi si costruisce il parallelogramma partendo dai lati individuati dai due vettori:

B

A
La somma si ricava dalla diagonale del parallelogramma:


A B

B

A
Questo significa che il tavolino subirà una spinta totale pari al vettore ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗:
1.3.5. La sottrazione tra due vettori
La sottrazione si svolge come la somma, con l’accorgimento di cambiare il segno al vettore da sottrarre.
Cambiare il segno di un vettore vuol dire modificare il verso lasciando invariato tutto il resto.
Ad esempio, facciamo la sottrazione tra i due vettori di prima:
⃗
⃗⃗
E’ necessario per prima cosa cambiare il segno di ⃗⃗ . Infatti:
⃗
⃗⃗
⃗
( ⃗⃗ )
Un esempio numerico di questa proprietà è:
(
Graficamente, dobbiamo invertire il verso di ⃗⃗ :
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)
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

A
A


B
B
A questo punto si fa una normale somma vettoriale:


A
A

B

B


A B
1.3.6. Il prodotto tra due vettori
Il prodotto tra due vettori è una delle operazioni più difficili da fare.
Esistono due tipi di prodotto tra vettori:
Il PRODOTTO SCALARE tra vettori che si chiama così poiché da come risultato uno scalare. Attenzione a
non confonderlo con il prodotto tra due scalari (come quelli che siamo abituati a fare
normalmente).
Il PRODOTTO VETTORIALE tra vettori che si chiama così perché da come risultato un vettore.
Il prodotto scalare è quello che si effettua ogni volta che dalla moltiplicazione di due vettori, ad esempio la
forza e lo spostamento, si ottiene uno scalare, ad esempio il lavoro:
⃗ ⃗
Per calcolare il valore di questo scalare si moltiplicano i moduli dei due vettori di partenza e il coseno
dell’angolo tra essi compreso.

B
a

A
In termini matematici si può scrivere:
⃗ ⃗⃗
( )
Il prodotto vettoriale invece da come risultato un altro vettore con le seguenti caratteristiche:
il vettore è perpendicolare al piano che contiene i due vettori di partenza
il modulo si ottiene con la formula seguente:
⃗
⃗
⃗⃗
( )
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Riassumendo:
1.4.
Multipli e sottomultipli delle unità di misura
Se vogliamo misurare la distanza tra Torino e Milano in metri otteniamo un numero molto grande. Il metro
infatti è un unità di misura piccola rispetto alla grandezza che vogliamo misurare.
Incontriamo lo stesso problema quando vogliamo misurar qualcosa di molto piccolo, come le dimensioni di
un microbo.
Per evitare di avere numeri grandissimi (con tanti zeri prima della virgola, ad esempio 10000000000) o
numeri piccolissimi (con tanti zeri dopo la virgola, ad esempio 0,000000001) si utilizzano i MULTIPLI e
SOTTOMULTIPLI delle
unità di misura. Di seguito è riportata la scala di questi fattori moltiplicativi con il loro
prefisso:
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Per convertire una misura da un multiplo ad un altro bisogna capire quanti gradini salire o scendere e
spostare la virgola (inserendo eventuali zeri) da un lato o dall’altro.
Alcuni scalini (QUELLI ROSSI) contano come 1; altri scalini (QUELLI NERI) contano come 3.
Ad esempio, per convertire 52 chilogrammi in decigrammi bisogna scendere di 4 scalini rossi, cioè spostare
la virgola di 4 posizioni. Dato che stiamo scendendo, il numero diventa più grande e quindi la virgola si
sposta a destra:
Se vogliamo convertire 25000 Megabyte in Gigabyte dobbiamo salire di uno scalino nero. Questo scalino
vale 3 e quindi è necessario spostare la virgola di 3 posti verso sinistra. Poiché stiamo salendo il numero
diventerà più piccolo:
ESERCIZIO 4: converti le seguenti unità di misura in quelle indicate
Questo modo di convertire le unità di misura funziona per le grandezze fondamentali. Se invece vogliamo
convertire una grandezza derivata dobbiamo fare delle operazioni in più. Il principio da adottare è sempre
lo stesso, ma bisogna convertire ognuna delle unità di misura che compongono la grandezza derivata.
Ad esempio, se vogliamo convertire la velocità di
in
dobbiamo convertire singolarmente i
chilometri in metri e le ore in secondi:
2134
30
300
4
1200
m/h
km/min
dm
m2
cm3
=
=
=
=
=
m/s
m/min
m
cm2
m3
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9,2
3,77
0,2804
101300
32,56
400
25
1.5.
hg
mg
Gb
Pa
g
g/cm2
g/cm3
=
=
=
=
=
=
=
kg
kb
hPa
kg
kg/cm2
kg/m2
Le dimensioni
Il termine dimensione viene usato molto spesso in fisica e nelle materie che utilizzano la fisica, come la
meccanica o l’elettrotecnica.
Dobbiamo quindi capire esattamente cosa significa questa parola.
Immaginiamo di andare in edicola a comprare una penna; il cartolaio ci domanda “Di che dimensioni vuoi
che sia la punta?”. Con il termine dimensioni il cartolaio si riferisce alla grandezza della punta, se grossa,
media o fine. Nella vita di tutti i giorni quando parliamo di dimensioni intendiamo quanto è grande un
oggetto, quanto spazio occupa, e parliamo di dimensioni al plurale (non di dimensione) perché gli oggetti
non hanno solo la lunghezza. Ad esempio le dimensioni di una valigia sono 3: la lunghezza, la larghezza e la
profondità. Se consideriamo le dimensioni di un foglio possiamo trascurare lo spessore e quindi il foglio ha
2 dimensioni: la larghezza e la lunghezza. Se consideriamo i capelli, possiamo trascurare sia lo spessore che
la larghezza e quindi diremo che i capelli hanno 1 dimensione: la lunghezza.
Il concetto di dimensione è però più complicato di così. Finora abbiamo infatti ragionato solo sulle
dimensioni dello spazio. Ma che dire del tempo? Se le dimensioni indicano la grandezza, allora anche il
tempo è una dimensione. Infatti possiamo dire che un anno è più grande di un giorno.
E la massa? E’ certamente anch’essa una dimensione: un camion è infatti più grande di una moto, ha cioè
una massa maggiore.
In fisica SI USA LA PAROLA DIMENSIONE PER INDICARE LE GRANDEZZE FONDAMENTALI CHE COMPONGONO UNA GRANDEZZA.
Lo spazio, il tempo, la temperatura, la massa sono tutte dimensioni.
1.6.
Legami tra grandezze: le formule fisiche
La fisica utilizza delle formule per descrivere i fenomeni naturali. LE FORMULE SONO DELLE ESPRESSIONI
MATEMATICHE CHE LEGANO TRA LORO GRANDEZZE DIVERSE.
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Come abbiamo visto, le uniche operazioni consentite tra due grandezze diverse sono la divisione e la
moltiplicazione.
Per capire come scrivere la formula di una grandezza bisogna sapere cosa significa, capire da quali
grandezze dipende, capire come queste grandezze sono legate.
1.7.1. Proporzionalità diretta e inversa
Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se all’aumentare dell’una aumenta anche l’altra.
Esempi di grandezze direttamente proporzionali sono l’altezza di un bambino e la sua età: se l’età aumenta
anche l’altezza aumenta.
Quando due grandezze sono direttamente proporzionali devono stare entrambe al numeratore, una da un
lato e una dall’altro dell’uguale:
Ad esempio: A e B sono direttamente proporzionali.
Due grandezze di dicono inversamente proporzionali quando all’aumentare dell’una l’altra diminuisce. Un
esempio di grandezze inversamente proporzionali sono l’età di un adulto e la sua forza: man mano che l’età
aumenta la forza diminuisce.
Quando due grandezze sono inversamente proporzionali devono stare una al numeratore
l’altra al
denominatore:
Ad esempio: A e B sono inversamente proporzionali.
1.7.2. Il delta
In fisica per indicare una DIFFERENZA TRA DUE GRANDEZZE OMOGENEE, cioè uguali, si usa il simbolo seguente:
E’ una lettera greca maiuscola, chiamata DELTA. Il delta si scrive prima della grandezza di cui si vuole
indicare la differenza, ad esempio:
1.7.
Tipi di fisica
La fisica si divide in grandi categorie: la fisica classica, studiata fino alla prima metà dell’ottocento e la fisica
moderna, tipica degli ultimi 150 anni.
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Le parti della fisica che servono per poter studiare meccanica e macchine ed elettrotecnica sono la
meccanica, la termodinamica e l’elettromagnetismo.
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2. LE FORMULE BASE DELLA MECCANICA
In questo capitolo ricaveremo le formule basilari di una parte della fisica chiamata meccanica. La meccanica
studia il movimento e le sue cause (cioè le forze).
2.1.
La velocità
La velocità è legata a:
Spazio percorso
Tempo impiegato
Queste due grandezze possono essere legate alla velocità in soli tre modi (non possono essere né sommate
né sottratte):
Per capire quale di queste formule è corretta dobbiamo analizzare quale tipo di proporzionalità esiste tra la
velocità e le altre due grandezze.
2.1.1. Velocità e spazio
A parità di tempo, se percorriamo più spazio significa siamo andati più o meno veloci?
La risposta è: più veloci… Quindi la velocità lo spazio sono direttamente proporzionali:
Questo ci porta ad escludere la terza formula in cui lo spazio compare al denominatore.
2.1.2. Velocità e tempo
A parità di spazio percorso, se impieghiamo più tempo significa che siamo andati più o meno veloci?
La risposta è: meno veloci… Quindi la velocità e il tempo sono inversamente proporzionali:
Questo ci porta ad escludere la prima formula e a dire che la velocità è espressa dalla seconda formula:
Dalla formula possiamo ricavare l’unità di misura indicando come vengono misurate le singole grandezze
che si trovano nella formula:
[ ]
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2.2.
L’accelerazione
E’ una grandezza che indica di quanto la velocità aumenta o diminuisce in un certo intervallo di tempo.
Dunque le grandezze ad essa legata sono:
Variazione di velocità
Tempo impiegato
Queste due grandezze possono essere legate all’accelerazione in soli tre modi (non possono essere né
sommate né sottratte):
2.2.1. Accelerazione e velocità
A parità di tempo, se la velocità aumenta maggiormente significa siamo accelerando di più o di meno?
La risposta è: stiamo accelerando di più… Quindi l’accelerazione e la velocità sono direttamente
proporzionali:
Questo ci porta ad escludere la terza formula in cui la velocità compare al denominatore.
2.2.2. Accelerazione e tempo
A parità di aumento di velocità (ad esempio da 50 km/h a 100 km/h), se impieghiamo più tempo significa
che abbiamo accelerato di più o di meno?
La risposta è: abbiamo accelerato meno… Quindi l’accelerazione e il tempo sono inversamente
proporzionali:
Questo ci porta ad escludere la prima formula e a dire che la velocità è espressa dalla seconda formula:
Dalla formula possiamo ricavare l’unità di misura indicando come vengono misurate le singole grandezze
che si trovano nella formula:
[ ]
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2.3.
La densità
La densità (indicata con la lettera greca minuscola rho ) indica quanta materia è contenuta in un certo
volume. Il piombo è più denso della paglia: infatti un decimetro cubo di piombo pesa molto più di un
decimetro cubo di paglia.
La densità è quindi legata a due grandezze:
Massa
, espressa in kg
Volume , misurato in
Queste due grandezze possono essere legate alla densità in soli tre modi:
2.3.1. Densità e massa
A parità di volume (ad esempio
) se la massa aumenta, cosa fa la densità? La risposta è: aumenta
anch’essa. Quindi la massa e la densità sono direttamente proporzionali:
Perciò possiamo escludere l’ultima formula in cui la massa è al denominatore.
2.3.2. Densità e volume
A parità di massa (ad esempio
) se il volume aumenta, cosa fa la densità? La risposta è: diminuisce (q
kg di paglia occupa più spazio di 1 kg di piombo). Quindi il volume e la densità sono inversamente
proporzionali:
Perciò possiamo escludere la prima formula in cui il volume è al numeratore.
Quindi la formula corretta è:
E la sua unità di misura si ricava sostituendo le unità alle singole grandezze:
[ ]
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2.4.
La forza
La forza è quella cosa che, applicata ad un corpo, lo mette in movimento, cioè gli imprime un accelerazione.
Se il corpo non può spostarsi perché è vincolato (ed esempio un muro) esso reagirà opponendosi alla forza
con un'altra, uguale e opposta, chiamata reazione vincolare.
La forza è legata a due grandezze:
La massa del corpo,
L’accelerazione
Queste due grandezze possono essere legate alla forza in tre modi:
2.4.1. Forza e massa
Se vogliamo mettere in moto un corpo di massa maggiore dovremo spingere con più forza, quindi queste
due grandezze sono direttamente proporzionali:
2.4.2. Forza e accelerazione
Se vogliamo far accelerare di più lo stesso corpo (quindi a parità di massa) dobbiamo spingere con una forza
maggiore. Quindi anche l’accelerazione è direttamente proporzionale alla forza:
Visto che si tratta di due grandezze che sono entrambe direttamente proporzionali alla forza, la formula
sarà la seguente:
L’unità di misura si ricava analizzando la formula e sostituendo alle varie grandezze le unità di misura
opportune:
[ ]
Questa unità di misura viene indicata con la lettera N e chiamata Newton:
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2.5.
La pressione
La pressione dipende dalla forza con cui un corpo preme su un altro corpo, ma anche dalla superficie di
contatto. Ad esempio un uomo che cammina sulla neve fresca sprofonda per diverse decine di centimetri,
ma se indossa le racchette da neve riesce a stare in superficie poiché l’area di contatto con la neve è
maggiore. Dunque la pressione è legata a due grandezze:
La forza premente
La superficie di contatto .
Queste due grandezze possono essere legate alla pressione in tre modi:
2.5.1. Pressione e forza
A parità di superficie delle racchette da neve, se il peso dell’uomo aumenta la pressione cosa fa? La risposto
è: aumenta anch’essa. Quindi la forza e la pressione sono direttamente proporzionali:
2.5.2. Pressione e superficie
A parità di peso (cioè considerando sempre la stessa persona) se la superficie di contatto con la neve
aumenta (cioè l’uomo si mette le racchette da neve) cosa succede alla pressione? La risposta è che
diminuisce.
Dunque pressione e superficie sono inversamente proporzionali:
Mettendo insieme le due formule possiamo dire che la pressione vale:
L’unità di misura è:
[ ]
Questa unità prende il nome di PASCAL.
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2.6.
Il lavoro e l’energia
Lavoro ed energia sono due grandezze che hanno la stessa formula poiché si possono trasformare l’una
dell’altra. Tra di esse c’è però una differenza: l’energia non si vede, mentre si vede il lavoro (sotto forma di
spostamento). Ad esempio se solleviamo una penna in alto, sopra la testa, le stiamo fornendo energia;
quando la lasciamo cadere la penna si muove: l’energia che ha acquistato si trasforma in lavoro.
Il lavoro meccanico, cioè quello prodotto dal movimento, è legato a due grandezze:
La forza che serve per creare moto
Lo spostamento che questa forza produce
Queste due grandezze possono essere legate alla pressione in tre modi:
2.6.1. Lavoro e forza
A parità di spostamento, se aumentiamo la forza facciamo più lavoro. Ad esempio, per spostare un sasso
più grande si fa più lavoro. Dunque forza e lavoro sono direttamente proporzionali.
Questo esclude la formula in cui la forza compare al denominatore
2.6.2. Lavoro e spostamento
A parità di forza (ad esempio per spostare lo stesso sasso) si fa più lavoro se il percorso è più lungo. Dunque
lo spostamento e il lavoro sono direttamente proporzionali:
Questo esclude la formula in cui lo spostamento compare al denominatore.
Quindi il lavoro meccanico ha espressione:
La sua unità di misura è:
[ ]
Questa unità di misura prende il nome di JOULE e si indica con la lettera
L’energia ha la stessa formula:
e la stessa unità di misura.
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2.7.
La potenza
La potenza indica in quanto tempo viene fatto un certo lavoro. Ad esempio un campione di sollevamento
pesi e un bambino possono spostare una montagna di ciottoli lungo un certo percorso e fare quindi lo
stesso lavoro (il peso dei ciottoli e lo spostamento sono uguali per entrambi) ma il campione di
sollevamento pesi, essendo più potente, impiegherà meno tempo.
Dunque la potenza meccanica è legata a due grandezze:
Il lavoro svolto
Il tempo impiegato
Anche in questo caso possiamo avere tre formule:
2.7.1. Potenza e lavoro
A parità di tempo impiegato (ad esempio in un minuto), il sollevatore di pesi porterà più sassi del bambino
poiché è più potente. Quindi se si fa più lavoro aumenta la potenza: queste due grandezze sono
direttamente proporzionali.
2.7.2. Potenza e tempo
Se uno stesso lavoro viene fatto in meno tempo significa che si è più potenti, quindi potenza e tempo sono
inversamente proporzionali.
Mettendo insieme le due formule otteniamo:
L’unità di misura si ottiene sostituendo ad ogni singola grandezza la sua unità di misura:
[ ]
Questa unità di misura prende il nome di Watt e si indica con il simbolo
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Le formule della fisica servono, oltre che per risolvere problemi, anche per convertire le unità di misura da
un multiplo all’altro o da un unità all’altra.
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3. L’ANALISI DIMENSIONALE
Abbiamo visto che ogni grandezza fondamentale ha una sua unità di misura, stabilita dal Sistema
Internazionale.
Anche le grandezze derivate hanno un’unità di misura, che di solito deriva dal nome dello scienziato che ha
dato un contributo notevole allo sviluppo di quella parte della fisica (Newton, Joule, Watt). Il nome
dell’unità di misura di una grandezza però non ci dice nulla sulle grandezze da cui essa deriva: il Newton
non ci dice che la forza deriva da una massa moltiplicata per un accelerazione.
Il processo che consente di ricavare le dimensioni, cioè le grandezze fondamentali, di una grandezza
derivata si chiama ANALISI DIMENSIONALE.
Per capire cos’è l’analisi dimensionale consideriamo l’esempio della velocità.
La velocità è una grandezza derivata. Per definizione essa è il rapporto tra lo spazio percorso (che è una
lunghezza) e il tempo impiegato (che è appunto un tempo):
Si dice che le dimensioni della velocità sono lunghezza diviso tempo.
Una volta che sappiamo quali sono le dimensioni della velocità possiamo ricavarci l’unità di misura. Ad
esempio, nel Sistema Internazionale la lunghezza si misura in metri e il tempo in secondi, quindi l’unità di
misura della velocità sarà metri al secondo:
[ ]
Le parentesi quadre servono per indicare che i metri al secondo non sono una velocità ma la sua unità di
misura.
Per capire questo importante concetto immaginiamo che un alieno, abitante del Pianeta delle Tartarughe,
arrivi sulla Terra con la sua astronave e ci dica che ha viaggiato alla velocità di 1000 Tarta al Gap.
Alla domanda “cos’è il Tarta al Gap?” l’alieno risponde: “E’ l’unità di misura della velocità che usiamo sul
mio pianeta. Il Tarta misura le lunghezze e corrisponde a 1,5 chilometri; il Gap misura il tempo e
corrisponde a mezz’ora ora.”
Dunque l’alieno ha viaggiato a:
Questo fa capire che l’unità di misura non è uguale per tutti, mentre l’analisi dimensionale si: l’alieno parla
di lunghezza e di tempo per riferirsi alle grandezze (esattamente come facciano noi), ma misura la
lunghezza in Tarta e il tempo in Gap.
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La velocità, da un punto di vista delle sue dimensioni, è sempre una lunghezza diviso un tempo; invece
l’unità di misura dell’alieno è
, che magari sul suo pianeta viene indicata con i simboli
.
L’ANALISI DIMENSIONALE NON CI DICE IN CHE MODO UNA GRANDEZZA VIENE MISURATA, MA SOLO DA QUALI GRANDEZZE È
COMPOSTA.
Come esempio ricaviamo le dimensioni dell’accelerazione:
[ ]
[ ]
[ ]
Possiamo fare lo stesso con la forza:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
ESERCIZIO 5: scrivi la formula e fai l’analisi dimensionale delle seguenti grandezze
Densità
Volume
Forza
Pressione
Superficie
Lavoro
Potenza
Energia
Accelerazione
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ESERCIZIO 6: dalle seguenti unità di misura riconosci di quale grandezza si tratta
3.1.1. Le grandezze adimensionali
Alcune grandezze derivate non hanno un unità di misura. Si tratta di grandezze che derivano da rapporti tra
grandezze uguali. Ad esempio:
Poiché le unità di misura delle grandezze al numeratore e al denominatore sono uguali, si semplificano e
rimane un numero senza unità di misura. Si dice che la grandezza risultante da questi rapporti è
ADIMENSIONALE.
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SEZIONE 2: MATEMATICA
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4. ARITMETICA, ALGEBRA, ANALISI
La matematica si divide in diversi settori. Alle elementari si studia l’ ARITMETICA, cioè lo studio dei numeri e
delle operazioni che si possono fare su di essi.
Nelle scuole medie si studia l’ALGEBRA che, in aggiunta ai numeri, utilizza le lettere.
Infine nel triennio delle scuole superiori si studia l’ ANALISI, che utilizza il piano cartesiano e cerca di scrivere
con un’espressione matematica le curve che si possono disegnare su di esso.
La geometria fa un po’ caso a sé. Essa studia le figure piane e solide e ricorre alla matematica per avere
delle formule che risolvono i problemi inerenti a queste figure.
4.1.
Cos’è la matematica?
La risposta a questa domanda lascerà sorprese molte persone. LA MATEMATICA È UN LINGUAGGIO. Un
linguaggio al pari dell’italiano, dell’inglese, del Braille per i ciechi (quello formato da tanti puntini che si
possono sentire con il tatto) o di quello a gesti per i sordi.
Ogni linguaggio ha dei pregi e dei difetti e quindi viene usato solo in determinate situazioni. Ad esempio il
Braille ha il vantaggio di non richiedere la vista, ma ha lo svantaggio di richiedere un tatto molto sviluppato;
per questo motivo lo usano solo i ciechi. Il linguaggio verbale può essere usato per descrivere un paesaggio,
cosa che è molto più complicata da fare con il linguaggio dei segni, fatto per trasmettere concetti.
La matematica è un linguaggio difficile che però è estremamente utile quando bisogna fare delle previsioni
sulla realtà e, in effetti, è il solo linguaggio che permette di fare previsioni, per lo meno tra quelli che
conosciamo ora…
Ma che significa fare una previsione? Immaginiamo di avere un appuntamento con gli amici alle 20 in un
certa pizzeria. Prima di uscire abbiamo un po’ di cose da fare: portare a passeggio il cane, andare a
comprare il latte fresco per la nonna, passare da un amico a riportare un libro che ci ha prestato.
Per poter arrivare in orario in pizzeria è necessario fare delle previsioni: la passeggiata del cane richiede 15
minuti durante i quali possiamo passare dal supermercato a comprare il latte per la nonna, cosa che
richiederà altri 10 minuti, tenendo conto della coda alle casse. Possiamo anche arrivare a casa dell’amico
con il cane e consegnargli il libro, cosa che richiederà 20 minuti, tenendo conto di una piccola chiacchierata.
Per arrivare in pizzeria ci vogliono 30 minuti di macchina.
Dunque, per poter arrivare in tempo dovremo partire all’ora seguente:
(
)
(
)
(
)
(
)
Con un calcolo matematico sappiamo che per essere in orario dobbiamo uscire con il cane al massimo alle
18:45.
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Questo calcolo è un esempio di linguaggio matematico. Senza l’uso dei numeri, che fanno parte di questo
linguaggio, non potremmo sapere a che ora partire. Solo i numeri ci consentono di fare previsioni
quantitative.
Il linguaggio della matematica non potrà mai descrivere il mare al tramonto o cosa si prova ad essere
innamorati, ma può dire a che ora, in che luogo, con quale direzione e quale spinta dobbiamo lanciare un
razzo per raggiungere Marte o descrivere l’orbita di un pianeta ad attorno al sole.
4.2.
Come è fatto il linguaggio della matematica?
Come tutte le lingue, la matematica ha dei segni che vengono uniti tramite delle regole fisse. Ad esempio
l’italiano si compone di 21 lettere (ognuna è un segno), di punteggiatura, di parentesi ecc… Le lettere
possono essere unite secondo certe regole per formare le parole, che a loro volta possono essere unite, con
altre regole, per formare delle frasi.
I segni del linguaggio della matematica sono tantissimi, ma possiamo dividerli in alcune categorie principali
basate sulla loro funzione:
I numeri
Gli operatori matematici
Le parti letterali
I parametri e i coefficienti
Le variabili
Le incognite
4.2.1. I numeri
I numeri non sono tutti uguali. I primi numeri che si studiano vengono chiamati NATURALI; sono i numeri
interi che si studiano per primi perché sono i numeri con cui i bambini hanno a che fare: sono infatti i
numeri che si contano sulle dita (1, 2, 3, eccetera).
Il passo successivo è la definizione dei numeri RELATIVI; questi numeri sono semplicemente i numeri con il
segno, sono quei numeri che ci consentono di dire “oggi ci sono
”. Si chiamano relativi perché il loro
valore dipende dal segno, dipende dal lato in cui si trovano rispetto allo zero. Dunque il numero 20 non ha
un unico valore. A seconda del segno può valere + 20 oppure – 20.
Ci sono poi i numeri RAZIONALI, cioè quei numeri che si possono esprimere con un rapporto. Ratio in latino
significa ragione, intesa come la capacità di usare l’intelletto per trovare un senso a quello che osserviamo.
I greci credevano che tutto ciò che può essere contato o misurato potesse essere espresso come rapporto
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di numeri interi, cioè con le frazioni. Per questo chiamarono razionali i numeri con la virgola che risultano
dalle frazioni, come 1,5 che si ottiene dalla frazione .
Anche i numeri periodici, che hanno infinite cifre dopo la virgola, tutte uguali, sono razionali. Ad esempio il
numero
̅ si può scrivere come
.
Furono sempre i greci a scoprire l’esistenza di numeri che non si possono esprimere come rapporti di
numeri interi e a chiamarli numeri IRRAZIONALI. Per esprimere questi numeri serve un numero infinito di
cifre dopo la virgola, diverse l’una dall’altra. Il pi greco
è un numero irrazionale. I numeri irrazionali si
possono anche esprimere con le radici: un numero irrazionale è, ad esempio, √ .
La radice quadrata ci porta ai confini dell’insieme dei numeri REALI che comprendono i numeri naturali,
relativi, razionali e irrazionali.
E’ noto che la radice quadrata (e più in generale tutte le radici di ordine pari) esiste solo per i numeri
positivi: non esiste, ad esempio, il numero √
.
In realtà non è esatto dire che il numero √
non esiste.
Le radici di ordine positivo non possono essere negative solo nell’insieme dei numeri reali. Esiste infatti un
insieme numerico, chiamato insieme di numeri IMMAGINARI, in cui le radici possono essere negative.
Nell’insieme dei numeri immaginari la quantità √
√
√
si chiama (unità immaginaria):
√
√
Un numero qualunque sarà quindi esprimibile come la somma di una parte reale e di una parte
immaginaria:
Questi numeri vengono chiamati COMPLESSI.
Un numero complesso è, ad esempio,
.
NATURALI N
RELATIVI Z
1,2,3,4
- 1, + 2, - 3, +4
NUMERI REALI R
RAZIONALI Q
NUMERI COMPLESSI
IRRAZIONALI
NUMERI IMMAGINARI
31
3i, 2i,i
1 10
,
2 3
2, , e
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4.2.2. Gli operatori matematici
Gli operatori matematici sono tutti quei segni (come + e - ) che compiono un’operazione su qualcosa
secondo delle regole stabilite. Questo qualcosa può essere un numero o un’intera espressione.
Ad esempio, il + può essere visto come una macchina che compie l’operazione somma su due numeri o su
due espressioni. In ingresso avremo due termini, in uscita uno solo:
Esistono anche operatori che in ingresso vogliono un solo numero o una sola espressione, come ad esempio
la radice:
Ogni operatore matematico può essere visto come una macchina con degli ingressi e delle uscite. Il numero
di ingressi e di uscite dipende dal tipo di operatore.
Esistono moltissimi operatori matematici, ma quelli più utilizzati sono le 4 operazioni fondamentali:
Somma e sottrazione
Moltiplicazione e divisione
Le prime due operazioni presentano alcune limitazioni, mentre la moltiplicazione e la divisione possono
sempre essere fatte.
4.2.3. Le parti letterali
I numeri sono entità astratte, che indicano una quantità. Il numero 2, ad esempio, può indicare 2 mele, 2
persone, 2 metri, 2 secondi e via così.
Quando i numeri indicano entità astratte, le quattro operazioni che abbiamo elencato sopra sono sempre
fattibili.
Il problema nasce quando i numeri rappresentano qualcosa di concreto.
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In quel caso, non è possibile sommare o sottrarre due grandezze diverse, come le mele e le persone, o i
metri e i secondi.
E’ invece sempre possibile moltiplicare o dividere due grandezze, anche se sono diverse. Ad esempio, è
possibile dividere i pasticcini per il numero di studenti in una classe e ottenere una nuova grandezza che è il
numero di pasticcini a testa:
Quindi quando si fa un operazione bisognerebbe sempre indicare di quali grandezze si tratta. In fisica
questo significa scrivere l’unità di misura.
In matematica però i numeri vengono usati in maniera astratta: cioè non si riferiscono ad una particolare
grandezza, ma ad una grandezza generica. Per indicare grandezze diverse, sono state introdotte le lettere.
Ad esempio si indica un generico oggetto (pasticcini, allievi) con la lettera
e un altro elemento, diverso dal
primo, con la lettera . Immaginiamo ad esempio di indicare il numero di pasticcini con
e il numero di
allievi con .
Se diamo in pasto alla macchina SOMMA due termini uguali otteniamo la loro somma, ma se i numeri in
ingresso sono diversi, la macchina ce li sputa fuori così come sono entrati. Infatti:
Se invece inseriamo i due numeri nella macchina MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE otteniamo un risultato:
Quando si utilizzano le lettere per indicare una generica grandezza a cui il numero si riferisce, si parla di
ALGEBRA.
Si chiama PARTE LETTERALE l’insieme delle lettere che stabiliscono a quale tipo di grandezza il
numero fa rifermento.
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Le unità di misura che si utilizzano in fisica possono essere paragonate alla parte letterale.
LA SOMMA E LA SOTTRAZIONE SONO POSSIBILI SOLO TRA GRANDEZZE DELLO STESSO TIPO; LA MOLTIPLICAZIONE E LA
DIVISIONE SONO POSSIBILI TRA GRANDEZZE QUALUNQUE.
4.2.4. I parametri e i coefficienti
A volte quando si descrive qualcosa capita di usare frasi del tipo “dopo tot tentativi sono riuscito a risolvere
il problema” oppure “ho un gran numero di capelli in testa”. Queste frasi indicano che non si sa bene quale
sia il numero di tentativi effettuati, o il numero di capelli in testa ad una persona; tuttavia questi numeri
esistono: ogni persona ha in testa un certo numero di capelli, anche se non avrebbe senso mettersi a
contarli. In questo caso può essere utile utilizzare quelli che vengono chiamati parametri. Potremmo ad
esempio dire “ho fatto N tentativi per risolvere il problema” oppure “ho in testa K capelli”.
N e K sono due parametri: essi hanno un valore numerico, ma non lo conosciamo.
Il vantaggio di usare i parametri è che è possibile fare dei discorsi generali, come “le persone hanno in testa
N capelli”. Ovviamente il valore di N cambierà da persona a persona, ma la frase resta vera, perfino per un
calvo che ha N=0 capelli.
Dunque, UN PARAMETRO È UNA LETTERA CHE VIENE USATA PER INDICARE UNA GRANDEZZA DI CUI NON SI CONOSCE IL
VAORE ESATTO.
Nella matematica i parametri si trovano spesso moltiplicati alla . Ad esempio, il modello delle equazioni di
secondo grado è:
Le lettere
sono dei parametri che assumono valori numerici specifici in base all’equazione da
risolvere. In questo caso i parametri si chiamano COEFFICIENTI.
4.2.5. Le variabili
Quando studiamo un fenomeno incontriamo alcune grandezze che sono costanti e altre che variano
continuamente. Ad esempio, se misuriamo la temperatura in una stanza, lo spazio occupato dal
termometro è costante, così come la sua massa. Invece la temperatura è variabile. Un'altra grandezza che
varia è il tempo.
Se posizioniamo dei termometri lungo una strada e registriamo la temperatura alle due del pomeriggio, le
variabili sono la temperatura e lo spazio. Questa volta il tempo è costante perché tutte le temperature
vengono registrate alle ore 14:00.
In matematica le variabili non hanno un significato fisico. Sono un po’ come i numeri: possono
rappresentare qualunque cosa. Di solito vengono indicate con le lettere
e la , che vengono rappresentate su un piano cartesiano.
34
. Le più comuni sono la
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4.2.6. Le incognite
In ogni problema di matematica (ma anche di altre materie) è sempre necessario trovare il valore di
qualcosa. Di solito in matematica la cosa da trovare viene indicata con la lettera , ma è possibile usare
qualunque altra lettera.
Ad esempio:
In questa equazione bisogna trovare il valore che deve avere la
sia uguale a quello che c’è al secondo membro. Questo valore è
Se al posto di
affinchè quello che c’è al primo membro
perché:
utilizziamo un'altra lettera non cambia nulla:
Da come risultato:
La quantità che deve essere calcolata è chiamata INCOGNITA. L’incognita è quindi un ruolo che di volta in
volta può essere assunto dalle variabili, dai parametri o dalle parti letterali.
4.3.
Le formule inverse
In matematica, in fisica e nelle loro applicazioni capita spesso di dover invertire una formula cioè di
spostare le grandezze da un lato all’altro dell’uguale.
Invertire una formula è il contrario di risolverla. Per risolvere un’espressione è necessario rispettare alcune
regole.
4.3.1. Le regole di precedenza delle operazioni e delle parentesi
Le parentesi tonde hanno la precedenza sulle quadre che, a loro volta, hanno la precedenza sulle graffe; la
moltiplicazione e la divisione hanno la precedenza sull’addizione e sulla sottrazione.
Visto che invertire una formula è il processo opposto, anche le regole saranno opposte.
L’addizione e la sottrazione hanno la precedenza sulla moltiplicazione e la divisione
Le parentesi graffe hanno la precedenza sulle parentesi quadre che, a loro volta, hanno la
precedenza sulle parentesi tonde.
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A volte, soprattutto nelle formule fisiche, le parentesi sono sottointese. Per capire in quale ordine svolgere
le operazioni bisogna allora osservare la formula per capire quale è l’operazione più “esterna”. Ad esempio
l’espressione:
[
(
)
]
può essere scritta senza parentesi:
l’operazione più esterna è la divisione perché unisce il termine
e il termine .
L’espressione:
(
,*
)
+
-
può essere scritta senza parentesi:
l’operazione più esterna è la sottrazione perché unisce tutta la frazione ed . Subito dopo c’è la divisione
che unisce
con D. Infine c’è la somma che unisce
e .
Dunque, per invertire una formula in cui non ci sono parentesi bisogna sempre partire dall’operazione più
esterna.
4.3.2. Le regole per spostare un termine da una parte all’altra dell’uguale
Quando si porta una parte dell’espressione dall’altro lato dell’uguale è necessario fare l’operazione
opposta:
l’addizione è l’opposto della sottrazione e viceversa
la moltiplicazione è l’opposto della divisione e viceversa
Il contrario della radice di orine N è la portanza di ordine N e viceversa
Ad esempio, per spostare la
dal secondo membro al primo si deve fare la sottrazione perché essa è legata
al resto dell’espressione dall’addizione:
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E’ possibile leggere la formula sia da destra che da sinistra. Inoltre, nel caso in cui al primo e al secondo
membro ci sia un'unica frazione, si può leggera la formula sia dal basso che dall’alto. Per convincerci di
questa cosa consideriamo l’espressione:
Se la leggiamo da destra verso sinistra essa diventa:
Che continua ad essere vera. Se la leggiamo dal basso verso l’alto diventa:
Questo vale anche per le lettere:
4.3.3. Esercizi sull’inversione delle formule
Esempio 1: cerchiamo di isolare la X nella seguente espressione
(
Poiché la
)
è già al numeratore del primo membro non c’è bisogno di leggere la formula al contrario.
L’operazione più esterna legata alla
è la divisione che lega (
Dunque per prima cosa spostiamo il
) a ; poi c’è la somma che lega
e .
al denominatore dall’altro lato facendo l’operazione inversa, cioè la
moltiplicazione:
(
)
Quando si sposta un pezzo dell’espressione è necessario legarlo a tutto quello che c’è dall’altro lato.
Ora spostiamo la . Essendo legata alla
dall’addizione è necessario fare un’operazione di sottrazione:
[(
)
]
Esempio 2: cerchiamo di isolare la Y nella seguente espressione
Poiché la
sta al denominatore del secondo membro dobbiamo prima spostarla al primo leggendo la
formula al contrario:
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L’operazione più esterna è la divisione; portiamo
dall’altro lato dell’uguale moltiplicando:
)(
(
Ora ci rimane la moltiplicazione; portiamo il
dall’altro lato dell’uguale dividendolo:
(
Esempio 3: cerchiamo di isolare
)
)
(
)
nella seguente espressione:
√
Poiché la lettera
si trova al denominatore è necessario leggere l’espressione dal basso verso l’alto:
√
L’operazione più esterna è la divisione; spostiamo la lettera
dall’altro lato moltiplicando:
√
Ora l’operazione più esterna è la radice quadrata. Per toglierla dobbiamo elevare al quadrato l’altro
membro:
(
Ora non ci resta che spostare il
)
con l’addizione:
(
)
ESERCIZIO: inverti le seguenti formule in modo da isolare la lettera in grassetto:
FORMULA DI PARTENZA
(
FORMULA DI ARRIVO
)
[(
√
√
(
(
√
[(
)
(
)
38
)
)
.√
)
]
]
/