FASCICOLO FUORI COMMERCIO DISTRIBUITO GRATUITAMENTE AGLI STUDENTI DEL CORSO DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA ANNO ACCADEMICO 2008-2009 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BARI CATTEDRA DI MATEMATICA PER L'ECONOMIA DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE E METODI MATEMATICI LUIGI ALBANO APPUNTI DELLE LEZIONI DI MATEMATICA PER L’ECONOMIA "L’essenza della Matematica è nella sua libertà" Frase scritta su una lapide che ricorda GEORG CANTOR nella città di HALLE INDICE CAPITOLO 0-PREREQUISITI. §.0. 1. PRELIMINARI ......................................................................................................................................... pag. 01 §.0. 2. LE FUNZ IONI ......................................................................................................................................... pag. 05 §.0. 3. L’INSIEME DEI NUMERI REALI ......................................................................................................... pag. 07 §.0. 4. POTENZA DI UN BINOMIO .................................................................................................................. pag. 14 §.0. 5. QUALCHE CENNO SUI POLINOMI ..................................................................................................... pag. 15 §.0. 6. CENNI DI GEOMETRIA ANALITICA PIANA ..................................................................................... pag. 17 §.0. 7. ESERCIZI ................................................................................................................................................. pag. 21 §.0. 8. SISTEMI DI m EQUAZIONI LINEARI IN n INCOGNITE ................................................................... pag. 25 3 §.0. 9. RAPPRESENTAZIONE DI R NELLO SPAZIO. INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI IN TRE INCOGNITE ........................................................... …...pag. 32 k §.0.10. STRUTTURA VETTORIALE DI R ................................................................................................... pag. 33 CAPITOLO l-FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. §.1.1. GRAFICO DI UNA FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE ............................................ pag. 37 §.1.2. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE LIMITATE ............................................................. pag. 38 §.1.3. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE MONOTONE ......................................................... pag. 39 §.1.4. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE CONVESSE ........................................................... pag. 41 §.1.5. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE SIMMETRICHE .................................................... pag. 42 §.1.6. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE PERIODICHE ........................................................ pag. 44 §.1.7. LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI-IL NUMERO DI NEPERO .................................................... pag. 45 §.1.8. LE FUNZIONI ELEMENTARI ................................................................................................................ pag. 47 §.1.9. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI-INSIEME DI DEFÌNIZIONE DI UNA FUNZIONE ......................... pag. 58 CAPITOLO 2-LIMITI DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. §.2.1. PRELIMINARI ......................................................................................................................................... pag. 64 §.2.2. LA DEFINIZIONE DI LIMITE ................................................................................................................ pag. 67 §.2.3. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI ................................................................................................................. pag. 71 §.2.4. OPERAZIONI SUI LIMITI ....................................................................................................................... pag. 73 §.2.5. LIMITE A SINISTRA E LIMITE A DESTRA ......................................................................................... pag. 75 §.2.6. LIMITI NOTEVOLI .................................................................................................................................. pag. 81 §.2.7. IL CASO DELLE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI ......................................................................... pag. 85 CAPITOLO 3-FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE CONTINUE. §.3.1. DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA .......................................................................................... pag. 89 §.3.2. OPERAZIONI NELL'INSIEME DELLE FUNZIONI CONTINUE ......................................................... pag. 89 §.3.3. I TEOREMI DI WEIERSTRASS E DI BOLZANO ................................................................................. pag. 90 §.3.4. PUNTI DI DISCONTINUITA' .................................................................................................................. pag. 92 CAPITOLO 4-LA DERIVAZIONE. §.4.l. DEFINIZIONE DI DERIVATA ................................................................................................................. pag. 94 §.4.2. REGOLE DI DERIVAZIONE E DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI ............................... pag. 97 CAPITOLO 5-APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE. §.5.1. FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE CRESCENTI O DECRESCENTI IN UN PUNTO pag. 102 §.5.2. MASSIMI E MINIMI RELATIVI DI UNA FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE ...... pag. 103 §.5.3. I TEOREMI DI ROLLE, DI CAUCHY E DI LAGRANGE ................................................................... pag. 107 §.5.4. CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE ........................................................................... pag. 107 §.5.5. I TEOREMI DI DE L'HOPITAL ............................................................................................................. pag. 109 §.5.6. RETTA TANGENTE IN UN PUNTO AD UN GRAFICO. ASINTOTI ................................................ pag. 110 §.5.7. FUNZIONI MONOTONE DERIVABILI ............................................................................................... pag. 112 §.5.8. FUNEIONI CONVESSE DERIVABI LI ................................................................................................ pag. 112 CAPITOLO 6-INTEGRAZIONE INDEFINITA. §.6.1. LA NOZIONE DI PRIMITIVA E L'INTEGRALE INDEFINITO ......................................................... pag. 119 §.6.2. INTEGRAZIONE INDEFINITA DELLE FUNZIONI RAZIONALI .................................................... pag. 122 §.6.3. INTEGRAZIONE INDEFINITA PER PARTI ........................................................................................ pag. 126 §.6.4. INTEGRAZIONE INDEFINITA PER SOSTITUZIONE ....................................................................... pag. 132 CAPITOLO 7-CENNI SULLA TEORIA DELL'INTEGRALE SECONDO RIEMANN. k §.7.1. ALCUNI SOTTOINSIEMI DI R ........................................................................................................ pag. 134 §.7.2. CENNI SULLA MI SURA SECONDO PEANO-JORDAN ................................................................... pag. 135 §.7.3. DEFINIZIONE DI INTEGRALE ............................................................................................................ pag. 139 §.7.4. MISURABILITA' DELL' INSIEME NORMALE .................................................................................. pag. 141 §.7.5. IL CASO DELLE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE ................................................. pag. 142 INDICE ANALITICO…………………………………………………………………………………….pag. 149 CAPITOLO 0 PREREQUISITI §.0.1. PRELIMINARI. Nel seguito ci capiterà spesso di parlare di insiemi, noi qui non daremo la definizione di insieme ma ci limiteremo ad illustrare con qualche esempio l'intuitiva nozione di insieme. Sono esempi di insiemi:(a) " 3, 2, 1 2 , 0 "; (b) "le autovetture che un fissato giorno sono di proprietà di persone residenti in BARI"; (c) "i numeri interi positivi" e (d) "i numeri interi". Gli oggetti che concorrono a formare un insieme si chiamano anche gli elementi dell'insieme, per esempio 3 è un elemento sia di (a) che di (c) che di (d) ,mentre non è elemento di (b). Se un insieme è costituito da un numero non troppo grande di elementi, allora gli oggetti che concorrono a costituirlo possono essere facilmente elencati o descritti mediante proprietà adatte ad individuarli, in questo caso l'insieme lo denoteremo scrivendo fra parentesi graffe l'elenco di tutti i suoi elementi o un elenco completo di proprietà adatte ad individuare tutti e soli i suoi elementi. Per esempio l'insieme (a) lo denoteremo col simbolo 3, 2 ,1 2 ,0 ,così, se nell'ambito di un determinato gruppo di persone, i nomi Antonio, Maria, Adele, Alessandro, Michele e Giuseppe individuano, ognuno, una sola persona del gruppo considerato, la scrittura {Antonio, Maria, Adele, Alessandro, Michele, Giuseppe} denota l'insieme costituito da tutte e sole le persone del suddetto gruppo individuate dai nomi elencati. { } In generale se n è un numero intero positivo ed x1 , x2 ,..., xn sono n simboli che individuano univocamente n oggetti, la scrittura {x1 , x2 ,..., xn } denota l'insieme costituito da tutti e soli quegli n elementi univocamente individuati dai simboli x1 , x2 ,..., xn . Se ora tentassimo di rappresentare con la notazione sopra introdotta l'insieme (b) ci troveremmo in seria difficoltà dato che dovremmo elencare, per esempio, i simboli delle targhe di ognuna delle autovetture che concorrono a formarlo, in fine ci troveremmo nell'impossibilità di rappresentare con la notazione sopra introdotta sia l'insieme (c) che l'insieme (d) dato che concorrono infiniti elementi per costituire ognuno dei due insiemi in questione. In questo caso scriveremo: {x, x autovettura che in un fissato giorno è di proprietà di persone residenti in BARI}, {x, x numero intero positivo} e {x, x numero intero} per denotare, rispettivamente, gli insiemi (b), (c) e (d). In generale la scrittura {x,....}, dove al posto dei puntini è scritta una proprietà adatta ad individuare tutti e soli gli elementi di un insieme, sta a denotare l'insieme costituito da tutti e soli quegli elementi individuati dalla proprietà "….". Si noti che nella notazione ora introdotta dopo la x e prima della virgola può essere denotata qualche altra notazione tendente a meglio individuare l'insieme. Per indicare gli insiemi useremo, generalmente, le lettere maiuscole dell'alfabeto latino, mentre con le lettere minuscole dello stesso alfabeto latino indicheremo, generalmente, elementi. DEF.0.1.1. (APPARTENENZA). Siano: A un insieme ed x un elemento. Per dire che x è un elemento di A scriveremo x ∈ A , scrittura che si legge x appartenente ad A o, equivalentemente, x è un elemento di A. La scrittura x ∉ A sta a denotare che x non è un elemento di A e si legge x non appartenente ad A o,equivalentemente, x non è un elemento di A. E' invalso l'uso di denotare sempre con una stessa lettera alcuni insiemi di frequente impiego, per esempio l'insieme {x, x numero intero positivo} si denota con la lettera N e si chiama l'insieme dei numeri interi positivi o, equivalentemente, l'insieme dei numeri naturali e conseguentemente gli elementi di N si, chiamano numeri interi positivi o numeri naturali e l'insieme {x, x numero intero} si denota con la lettera Z e si chiama l'insieme dei numeri interi e, conseguentemente, gli elementi di Z si chiamano numeri interi. 2 E' anche opportuno perché comodo introdurre qui l'insieme privo di elementi che si denota col simbolo ∅ e prende il nome di insieme vuoto. DEF.0.1.2. (QUANTIFICATORI). Nel seguito la frase "per ogni" sarà spesso denotata col simbolo ∀ a cui si dà il nome di quantificatore universale e la frase "esiste almeno un" sarà denotata col simbolo ∃ a cui si dà il nome di quantificatore esistenziale. DEF.0.1.3. (UGUAGLIANZA). Siano: A un insieme ed x ed y due elementi di A. La scrittura x = y sta a denotare che con i due simboli x ed y abbiamo indicato lo stesso elemento di A e si legge x uguale ad y. La scrittura x ≠ y sta a denotare che con i simboli x ed y abbiamo indicato due elementi distinti di A e si legge x diverso da y o, equivalentemente, x non uguale ad y. DEF.0.1.4. (INCLUSIONE). Siano: A e B due insiemi. Si dice che B è incluso in A o, equivalentemente, che B è una parte di A o, ancora, che B è un sottoinsieme di A o, in fine, che A include B e si scrive B ⊆ A se ogni elemento di B è anche elemento di A. La scrittura B⊄ A sta a denotare che B non è incluso in A e cioè che esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A. Nel seguito sarà opportuno rappresentare gli insiemi mediante figure geometriche del piano delimitate da una curva semplice chiusa ed i loro elementi tramite punti del piano situati all'interno di tali curve (diagrammi di VENN). Con questa convenzione nella figura 0.1.1 sono rappresentati tre insiemi: A, B e C con C incluso in B e B incluso in A. Dalla figura 0.1.1 si vede immediatamente,come del resto è facile dimostrare,che in queste ipotesi C è incluso anche in A, conseguentemente possiamo asserire che l'inclusione gode della proprietà transitiva e cioè si ha che se A, B e C sono tre insiemi e risulta: C ⊆ B e B ⊆ A , allora risulta pure C ⊆ A . DEF.0.1.5. (UGUAGLIANZA). Siano: A e B due insiemi. Si dice che A è uguale a B e si scrive A = B se ogni elemento di B è elemento di A ed ogni elemento di A è elemento di B o, equivalentemente, se è B ⊆ A ed A ⊆ B . La scrittura A ≠ B , che si legge A diverso da B o, equivalentemente, A non uguale a B sta a denotare che A e B sono due insiemi diversi e cioè che risulta B⊄ A oppure A⊄B . DEF.0.1.6. (INCLUSIONE STRETTA). Siano: A e B due insiemi. Si dice che B è incluso strettamente in A o, equivalentemente, che B è una parte propria di A o, ancora, che B è un sottoinsieme proprio di A o, in fine, che A include strettamente B e si scrive B ⊂ A se B è incluso in A e B è diverso da A o, equivalentemente, se ogni elemento di B è elemento di A ed esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B. La scrittura B ⊄ A sta a denotare che B non è incluso strettamente in A e cioè che o B⊄ A oppure che B = A. DEF.0.1.7. (UNIONE). Siano: S un insieme ed A e B due parti di S. 3 Si dice unione di A e B e si denota col simbolo A U B il sottoinsieme di S: A U B = = {x ∈ S , x ∈ A o x ∈ B}.(Nella figura 0.1.2 la parte tratteggiata rappresenta l'insieme A U B ). È immediato rendersi conto che è: A U B = B U A , cioè l'unione gode della proprietà commutativa, inoltre è evidente che, se X è una parte di S, risulta: X U X = X ed X U ∅ = X . Se A, B e C sono tre sottoinsiemi di S è facile rendersi conto che risulta: ( A U B ) U C = A U (B U C ) , cioè l'unione gode della proprietà associativa, conseguentemente, in virtù della proprietà commutativa, possiamo scrivere l'insieme ( A U B ) U C senza parentesi e quindi porre: A U B U C = {x ∈ S , x ∈ A o x ∈ B o x ∈ C }, all'insieme A U B U C si dà il nome di unione di A, B e C. Più in generale se n è un numero intero positivo ed X 1 , X 2 ,..., X n sono n parti di S, si dice unione di n X 1 , X 2 ,..., X n e si denota col simbolo X 1 U X 2 U ... U X n o col simbolo {x ∈ S , x ∈ X 1 o x ∈ X 2 o ....o x ∈ X n } = {x ∈ S , ∃i ∈ {1,2,..., n} tale che x ∈ X i } . UX i il sottoinsieme di S: i =1 DEF.0.1.8. (INTERSEZIONE). Siano: S un insieme ed A e B due parti di S. Si dice intersezione di A e B e si denota col simbolo A I B il sottoinsieme di S : A I B = = {x ∈ S , x ∈ A e x ∈ B} . (Nella figura 0.1.3 la parte tratteggiata rappresenta l'insieme A I B ). È immediato rendersi conto che è: A I B = B I A , cioè l'intersezione gode della proprietà commutativa, inoltre, se X è una parte di S, risulta: X I X = X ed X I ∅ = ∅ . Se A, B e C sono tre sottoinsiemi di S è facile rendersi conto che risulta: ( A I B ) I C = A I (B I C ) , cioè l'intersezione gode della proprietà associativa, conseguentemente, in virtù della proprietà commutativa, possiamo scrivere l'insieme ( A I B ) I C senza parentesi e quindi porre: A I B I C = {x ∈ S , x ∈ A e x ∈ B e x ∈ C }, all'insieme A I B I C si dà il nome di intersezione di A, B e C. Più in generale se n è un numero intero positivo ed X 1 , X 2 ,..., X n sono n parti di S, si dice intersezione n di X 1 , X 2 ,...., X n e si denota col simbolo: X 1 I X 2 I .... I X n o col simbolo S : {x ∈ S , x ∈ X 1 e x ∈ X 2 .... e x ∈ X n } = {x ∈ S , ∀i ∈ {1,2,...., n} x ∈ X i }. IX i il sottoinsieme di i =1 E' anche immediato rendersi conto che se n è un numero intero positivo ed A, X 1 , X 2 ,...., X n , sono ⎛ n ⎞ n ⎛ n ⎞ n n + 1 parti di S risulta: A U ⎜⎜ I X i ⎟⎟ = I ( A U X i ) ed A I ⎜⎜ U X i ⎟⎟ = U ( A I X i ) . ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎝ i =1 ⎠ i =1 DEF.0.1.9. (INSIEMI DISGIUNTI). Siano: S un insieme ed A e B due parti di S. Si dice che A e B sono disgiunti se non hanno elementi in comune o, equivalentemente, se A I B = ∅ . (Nella figura 0.1.4 sono rappresentati due insiemi disgiunti). DEF.0.1.10. (RICOPRIMENTI E PARTIZIONI). Siano: S un insieme ed A una parte di S. 4 Si dice ricoprimento finito di A ogni insieme {X 1 , X 2 ,...., X n } costituito da un numero finito n di parti n di S tali che risulti: A ⊆ U X i . i =1 Si dice partizione finita di A ogni insieme {X 1 , X 2 ,...., X n } costituito da un numero finito n di parti di S n tutte non vuote, a due a due disgiunte e tali che risu1ti: A = U X i (Nella figura 0.1.5 è rappresentato un ini =1 sieme A ed una partizione di A costituita dai quattro sottoinsiemi di S : X 1 , X 2 , X 3 ed X 4 ). DEF.0.1.11. (COMPLEMENTO). Siano: S un insieme ed A una parte di S. Si dice complemento di A e si denota col simbolo -A il sottoinsieme di S costituito da tutti e soli gli elementi di S non appartenenti ad A e quindi è: − A = {x ∈ S , x ∉ A}. (Nella figura 0.1.6 la parte tratteggiata rappresenta l'insieme -A). DEF.0.1.12. (COMPLEMENTO RELATIVO). Siano: S un insieme ed A e B due parti di S. Si dice complemento relativo di B rispetto ad A e si denota col simbolo A-B quel sottoinsieme di S costituito da tutti e soli quegli elementi di S che appartengono ad A e non appartengono a B e quindi possiamo scrivere: A − B = {x ∈ S , x ∈ A e x ∉ B} , conseguentemente è: A − B = A I (− B ) . (Nella figura 0.1.7 la parte tratteggiata rappresenta l'insieme A-B). DEF.0.1.13. (PRODOTTO CARTESIANO O COMBINATORIO). Siano: S e T due insiemi non vuoti. Se s è un elemento di S e t è un elemento di T all'insieme {{s}, {s, t}} si dà il nome di coppia ordinata di prima coordinata o ascissa s e seconda coordinata o ordinata t e si denota col simbolo (s, t ) . Si dice prodotto cartesiano di S per T o prodotto combinatorio di S per T e si denota col simbolo S × T quell’insieme i cui elementi sono tutte e sole le coppie ordinate di prima coordinata in S e seconda coordinata in T e quindi è: S × T = {(s, t ), s ∈ S e t ∈ T }. Se almeno uno dei due insiemi S e T è vuoto allora si pone: S × T = ∅ . Si noti che se S e T sono due insiemi non vuoti ed s' ed s" sono due elementi di S e t' e t" sono due elementi di T allora dire che è (s ′, t ′) = (s ′′, t ′′) equivale a dire che è s ′ = s ′′ e t ′ = t ′′ . Più in generale se n è un numero intero maggiore di due e se S1 , S 2 ,...., S n , sono n insiemi tutti diversi dal vuoto se supponiamo di aver definito le (n-1)-ple ordinate di elementi e se s1 è un elemento di S1 , s 2 è un elemento di S 2 , …. ed s n è un elemento di S n all'insieme {{(s1 , s 2 ,...., s n −1 )}, {(s1 , s 2 ,...., s n −1 ), s n }} si dà il nome di ennupla ordinata di prima coordinata s1 , di seconda coordinata s 2 , …. e di ennesima coordinata s n e si denota col simbolo (s1 , s 2 ,...., s n ) Si dice prodotto cartesiano di S1 per S 2 …. per S n o prodotto combinatorio di S1 per S 2 …. per S n e si denota col simbolo S1 × S 2 × .... × S n l'insieme i cui elementi sono tutte e sole le ennuple ordinate di prima 5 coordinata in S1 , di seconda coordinata in S 2 , e di ennesima coordinata in S n e quindi è: S1 × S 2 × .... × S n = = {(s1 , s 2 ,...., s n ), s1 ∈ S1 , s 2 ∈ S 2 ,...., s n ∈ S n }. Se almeno uno degli insiemi S1 , S 2 ,...., S n , è vuoto allora si pone: S1 × S 2 × .... × S n = ∅ Se S è un insieme non vuoto e, per ogni elemento i di {1,2,...., n}, è S i = S , allora si pone: S × S × .... × S = S n . DEF.0.l.14. (IMPLICAZIONE ED EQUIVALENZA). Se P e Q sono due proprietà frasi del tipo:"Condizione necessaria affinché sia vera P è che sia vera Q '' o, equivalentemente, "Condizione sufficiente affinché sia vera Q è che P sia vera" nel seguito spesso le denoteremo col simbolo P ⇒ Q che leggeremo P implica Q, mentre frasi del tipo: "Condizione necessaria e sufficiente affinché Q sia vera è che P sia vera" o , equivalentemente, "Condizione necessaria e sufficiente affinché P sia vera e che Q sia vera" nel seguito spesso le denoteremo con il simbolo P ⇔ Q che leggeremo P è equivalente a Q o, equivalentemente, Q è equivalente a P o ancora P e Q sono equivalenti. §.0.2. LE FUNZIONI. Cominciamo col porre la seguente definizione: DEF.0.2.l. (DEFINIZIONE DI FUNZIONE). Siano S e T due insiemi non vuoti. Si dice che nell'insieme S è stata definita una funzione o un'applicazione avente valori nell'insieme T, se è stata data una legge che ad ogni elemento di S fa corrispondere uno ed un solo elemento di T. Ad S si dà il nome di insieme di definizione o dominio della funzione f. Se x è un elemento di S si dice valore della funzione in x o valore che la funzione f assume in x e si denota col simbolo f ( x ) quell’elemento di T che f fa corrispondere ad x. Nel seguito sarà opportuno rappresentare una funzione f rappresentando i due insiemi S e T come due insiemi disgiunti in un diagramma di VENN e, per ogni elemento x di S, congiungere con una curva semplice aperta il punto del piano che rappresenta x in S col punto del piano che rappresenta f ( x ) in T. Così operando ogni elemento x di S risulta essere il primo estremo di una curva semplice aperta avente il secondo estremo nel punto f (x ) di T. Se per comodità denotiamo con Γ l'insieme i cui elementi sono tutte e sole le curve semplici aperte del piano che concorrono a rappresentare una funzione f nel modo sopra esposto osserviamo che se γ ' e γ '' sono due elementi distinti di Γ allora il primo estremo di γ ' è distinto dal primo estremo di γ '' , mentre il secondo estremo di γ ' non è detto che sia distinto dal secondo estremo di γ '' ed ancora non sempre accade che ogni elemento di T sia il secondo estremo di qualche elemento di Γ .(Si veda la figura 0.2.1.). Per denotare una funzione f definita in S ed avente valori in T useremo, come più ci farà comodo, una delle seguenti tre scritture: f : S → T o f : x ∈ S → f ( x ) ∈ T oppure ancora x → f ( x ) ∈ T ∀x ∈ S che si leggono rispettivamente: "f definita in S ed avente valori in T", "f che all'elemento x di S associa l'elemento f(x) di T" e "ad x associa l'elemento f(x) di T per ogni elemento x di S". DEF.0.2.2. (UGUAGLIANZA FRA FUNZIONI). Siano: S e T due insiemi non vuoti ed f e g due funzioni definite in S ed aventi valori in T. 6 Si dice che le funzioni f e g sono uguali e si scrive f = g se, per ogni elemento x di S, è f ( x ) = g ( x ) . La scrittura f ≠ g che si legge f diversa da g sta a denotare che f e g non sono uguali e cioè o che l' insieme di definizione di f è diverso dall'insieme di definizione di g oppure, se f e g sono entrambe definite nello stesso insieme S, che esiste almeno un elemento x di S tale che risulti: f ( x ) ≠ g ( x ) . DEF.0.2.3. (IMMAGINE ED IMMAGINE RECIPROCA). Siano: S e T due insiemi non vuoti ed f una funzione definita in S ed avente valori in T. Se X è una parte di S col simbolo f(X) denoteremo l'insieme {y ∈ T , ∃x ∈ X : y = f ( x )} a cui si dà il nome di immagine di X tramite f o insieme dei valori che f assume in X. Se Y è una parte di T col simbolo f −1 (Y ) denoteremo l'insieme {x ∈ S , f ( x ) ∈ Y } a cui si dà il nome di immagine reciproca di Y tramite f o di antiimmagine di Y tramite f. DEF.0.2.4. (FUNZIONI BIUNIVOCHE). Siano: S e T due insiemi non vuoti ed f una funzione definita in S ed avente valori in T. Si dice che f è biunivoca o iniettiva se per ogni coppia, (x ′, x ′′) , di elementi di S, se è x ′ ≠ x ′′ allora è pure f ( x ′) ≠ f ( x ′′) o, equivalentemente, se per ogni elemento y di T esiste al più un elemento x di S tale che risulti: y = f ( x ) . Si osservi che se f è biunivoca allora e solo allora comunque si prendono due elementi distinti di Γ questi hanno sia i primi estremi che i secondi estremi distinti. DEF.0.2.5. (FUNZIONI SU). Siano: S e T due insiemi non vuoti ed f una funzione definita in S ed avente valori in T. Si dice che f è su T o suriettiva se è f (S ) = T o, equivalentemente, se per ogni elemento y di T esiste almeno un elemento x di S tale che risulti: y = f ( x ) . Si osservi che se f è su T allora e solo allora comunque si prende un elemento di T questo è il secondo estremo di almeno un elemento di Γ . DEF.0.2.6. (FUNZIONI INVERTIBILI). Siano: S e T due insiemi non vuoti ed f una funzione definita in S ed avente valori in T. Si dice che f è invertibile o biiettiva se è biunivoca e su T o, equivalentemente, se per ogni elemento y di T esiste uno ed un solo elemento x di S tale che risulti: y = f ( x ) . Si osservi che se f è invertibile allora e solo allora comunque si prende un elemento di T questo è il secondo estremo di uno ed un solo elemento di Γ . DEF.0.2.7. (FUNZIONE INVERSA DI UNA FUNZIONE INVERTIBILE). Siano: S e T due insiemi non vuoti ed f una funzione definita in S ed avente valori in T. Se f è invertibile allora la funzione y ∈ T → x ∈ S tale che risulti y = f ( x ) prende il nome di funzione inversa della funzione f e si denota col simbolo f −1 . Si osservi che se f è una funzione invertibile, per ogni elemento ( x, y ) di S × T è: ( y = f (x )) ⇔ ⇔ (x = f −1 ( y )) . DEF.0.2.8. (RESTRIZIONE E PROLUNGAMENTI). Siano: S e T due insiemi non vuoti ed f una funzione definita in S ed avente valori in T. Se X è una parte non vuota di S allora alla funzione x ∈ X → f ( x ) ∈ T si dà il nome di restrizione di f ad X e si denota col simbolo f X 7 Se Σ è un insieme che include S e se g è una funzione definita in Σ ed avente valori in T, si dice che g è un prolungamento di f su Σ se è f = g S o, equivalentemente, se, per ogni elemento x di S, è f ( x ) = g ( x ) . Si osservi che se f è una funzione definita in S ed X è una parte non vuota di S allora, per ogni elemento x di X è f X ( x ) = f ( x ) . DEF.0.2.9. (FUNZIONI BIUNIVOCHE IN X, FUNZIONI SU T IN X E FUNZIONI INVERTIBILI IN X). Siano: S e T due insiemi non vuoti, f una funzione definita in S ed avente valori in T ed X una parte non vuota di S. Si dice che f è biunivoca in X se la restrizione di f ad X è biunivoca. Si dice che f è su T in X se la restrizione di f ad X è su. Si dice che f è invertibile in X se la restrizione di f ad X è invertibile. DEF.0.2.l0. (FUNZIONI COMPOSTE). Siano: S,T ed U tre insiemi non vuoti, f una funzione definita in S ed avente valori in T e g una funzione definita in T ed avente valori in U. Si dice funzione composta da g e da f e si denota col simbolo g o f la funzione x ∈ S → g ( f ( x )) ∈ U (si veda la figura 0.2.2). Di notevole interesse è la seguente proposizione: 0.2.11. Siano:S, T ed U tre insiemi non vuoti, f una funzione definita in S ed avente valori in T e g una funzione definita in T ed avente valori in U. Se f e g sono entrambe biunivoche allora anche la funzione g o f è biunivoca. Se f è su T e g è su U allora la funzione g o f è su U. Conseguentemente se f e g sono entrambe invertibili allora anche la funzione g o f è invertibile e risulta: ( g o f ) = f −1 −1 o g −1 . Si osservi che se S e T sono due insiemi non vuoti ed f è una funzione invertibile definita in S ed avente valori in T, allora si possono considerare le due funzioni: f o f −1 : y ∈ T → f ( f −1 ( y )) ∈ T ed f −1 o f : x ∈ ∈ S → f ( f −1 ( x )) ∈ S ed il Lettore, tenendo presente l'equivalenza scritta dopo la definizione 0.2.7, non avrà alcuna difficoltà a dimostrare che, per ogni elemento y di T, è: f ( f −1 ( y )) = y e, per ogni elemento x di S, è: f −1 ( f ( x )) = x . §.0.3. L’INSIEME DEI NUMERI REALI. Uno dei modi per pervenire alla costruzione dell'insieme dei numeri reali R consiste nel costruire per prima l'insieme N dei numeri interi positivi e proseguire quindi costruendo successivamente l'insieme Z dei numeri interi, l'insieme Q dei numeri razionali di quei numeri cioè che possono scriversi sotto forma di frazione avente il denominatore intero positivo ed il numeratore intero ed in fine l'insieme R dei numeri reali. Noi qui non effettueremo tali costruzioni ma ci limiteremo, supposto costruito l'insieme R, a mettere in evidenza le principali proprietà dei numeri reali. 8 Cominciamo col ricordare che in R sono definite due operazioni: la somma che ad ogni coppia (a, b ) di numeri reali associa un altro numero reale che si denota col simbolo a + b e si chiama la somma di a e b ed il prodotto che ad ogni coppia (a, b ) di numeri reali associa un altro numero reale che si denota col simbolo ab e si chiama il prodotto di a e b. La somma ed il prodotto in R godono delle seguenti proprietà: 0.3.1. Se a e b sono due numeri reali allora è: a + b = b + a (risp. ab = ba ) proprietà commutativa della somma (risp. proprietà commutativa del prodotto). 0.3.2. Se a, b e c sono tre numeri reali allora è: (a + b ) + c = a + (b + c ) (risp. (ab )c = a (bc )) , proprietà associativa della somma (risp. proprietà associativa del prodotto). 0.3.3. Se a, b e c sono tre numeri reali allora è: a (b + c ) = ab + ac proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. 0.3.4. Esistono due soli numeri reali distinti, 0 (zero) ed l (uno) tali che, per ogni numero reale x, risulti: x + 0 = x ed x1 = x , 0 si chiama l'elemento neutro della somma ed 1 l'elemento neutro del prodotto. 0.3.5. Per ogni numero reale x esiste un solo numero reale y tale che risulti: x + y = 0 , y si chiama l'opposto di x e si denota col simbolo -x. 0.3.6. Per ogni numero reale x diverso da zero esiste un solo numero reale y tale che risulti: xy = 1 , y si 1 chiama il reciproco di x e si denota con uno dei seguenti tre simboli: 1 x , o x −1 . x Nell'insieme R dei numeri reali, come è noto, è definita una relazione d'ordine che si denota col simbolo ≤ che si legge minore o uguale e gode delle seguenti proprietà: 0.3.7. Per ogni numero reale a è: a ≤ a , proprietà riflessiva. 0.3.8. Se a e b sono due numeri reali e risulta a ≤ b e b ≤ a allora è a = b , proprietà asimmetrica. 0.3.9. Se a, b e c sono tre numeri reali e risulta a ≤ b e b ≤ c allora è a ≤ c , proprietà transitiva. DEF.0.3.10. (DISUGUAGLIANZA STRETTA). Siano: a e b due numeri reali. Se è a ≤ b ed a ≠ b allora si dice che a è minore di b e si scrive a < b . La nozione di disuguaglianza stretta ci permette di mettere in evidenza la seguente altra proprietà di R: 0.3.11. Se a e b sono due numeri reali allora si verifica una ed una soltanto delle seguenti tre eventualità: a < b o a = b o a > b . Se a, b e c sono tre numeri reali, in virtù delle proprietà 0.3.1 e 0.3.2, i numeri reali (a + b ) + c ed (ab )c si possono scrivere più semplicemente senza parentesi ponendo: (a + b ) + c = a + b + c ed (ab )c = abc . Più in generale se n è un numero intero maggiore di uno ed x1 , x 2 ,...., x n sono n numeri reali si dice somma (risp. prodotto) di x1 , x 2 ,...., x n il numero reale (x1 + x 2 + .... + x n −1 ) + x n (risp. (x1 x 2 ....x n −1 )x n ) e si denota con uno dei seguenti simboli: x1 + x 2 + .... + x n o n ∑ xi (risp. x1 x2 ....xn o i =1 n ∏x i =1 i ). 9 Dalle proprietà fin qui elencate conseguono le seguenti altre che vanno sotto il nome di proprietà formali delle disuguaglianze: 0.3.12. Se a e b sono due numeri reali è: (ab > 0 ) ⇔ ( (a > 0 e b > 0 ) oppure (a < 0 e b < 0 ) ). 0.3.13. Se a e b sono due numeri reali è: (ab = 0 ) ⇔ (a = 0 oppure b = 0 ) . 0.3.14. Se a, b e c sono tre numeri reali è: (a ≤ b ) ⇔ (a + c ≤ b + c ) ed (a < b ) ⇔ (a + c < b + c ) . 0.3.15. Siano: a, b e c tre numeri reali. Se è c > 0 allora è: (a ≤ b ) ⇔ (ac ≤ bc ) ed (a < b ) ⇔ (ac < bc ) . Se è c < 0 allora è: (a ≤ b ) ⇔ (ac ≥ bc ) ed (a < b ) ⇔ (ac > bc ) . DEF.0.3.16. (VALORE ASSOLUTO). Se a è un numero reale si dice valore assoluto di a e si denota col simbolo a il numero reale a se è a ≥ 0 il numero reale -a se è a < 0 . Si possono dimostrare le seguenti proposizioni: 0.3.17. Se a è un numero reale è: a = − a , a ≥ 0 e ( a = 0 ) ⇔ (a = 0 ) . ( a ≤ h ) ⇔ (− h ≤ a ≤ h ) ( a < h ) ⇔ (− h < a < h ) . Conseguentemente è: ( a > h ) ⇔ (a < −h o a > h ) e ( a ≥ h ) ⇔ (a ≤ −h o a ≥ h ) . 0.3.18. Se a è un numero reale ed h un numero reale positivo è: e 0.3.19. Se a e b sono due numeri reali è: ab = a b e a + b ≤ a + b . DEF.0.3.20. (METRICA EUCLIDEA IN R). Si chiama metrica euclidea in R e si denota col simbolo d 1 l'applicazione (x, y ) ∈ R 2 → x − y , il valore d1 ( x, y ) = x − y di d 1 in ( x, y ) si chiama distanza (euclidea) di x da y. Tenendo presenti le proposizioni 0.3.17 e 0.3.19 si dimostra facilmente che la funzione d 1 gode delle seguenti proprietà: 0.3.21. Se x ed y sono due numeri reali allora è: d 1 ( x, y ) = d1 ( y, x ) e risulta: (d1 ( x, y ) = 0 ) ⇔ ( x = y ) . 0.3.22. Se x, y e z sono tre numeri reali allora è: d1 ( x, y ) ≤ d1 ( x, z ) + d1 ( z , y ) (disuguaglianza triangolare). 0.3.23. (RAPPRESENTAZIONE DELL'INSIEME R SULLA RETTA). Su una retta r del piano fissiamo due punti distinti, 0 (origine) ed U (punto unità), denotiamo quindi con r + il sottoinsieme di r costituito da tutti e soli gli elementi di r che appartengono alla semiretta di r con origine in 0 che contiene il punto U (si veda la figura 0.3.1) e, se P è un punto di r, denotiamo con 0 P la lunghezza del segmento di estremi 0 e P assumendo uguale ad uno la lunghezza del segmento di estremi 0 ed U. ⎧⎪0 P se P ∈ r + . È immediato rendersi conto che Ciò premesso consideriamo la funzione τ : P ∈ r → ⎨ ⎪⎩− 0 P se P ∉ r + 10 τ è una funzione biunivoca di r sull'insieme dei numeri reali R, a τ si dà il nome di rappresentazione dell'insieme R dei numeri reali sulla retta r con origine in 0 e punto unità U. In questo modo fissati sulla retta r due punti distinti, 0 ed U, o, come suole dirsi, fissato sulla retta r un riferimento di origine 0 e punto unità U, ad ogni punto P di r resta associato un numero reale, a tale numero reale si dà il nome di ascissa di P (per esempio l'ascissa di 0 è zero e l'ascissa di U è uno),viceversa, se x è un numero reale, esiste un solo punto di r avente per ascissa x. Per questa ragione una volta fissato su r un riferimento noi parleremo indifferentemente di numeri reali o di punti della retta r. Si osservi che su r + sono rappresentati tutti e soli i numeri reali maggiori o uguali a zero, conseguentemente sulla semiretta r − r + sono rappresentati tutti e soli i numeri reali minori di zero. Si osservi ancora che se x ed y sono due numeri reali ed x è minore di y allora il segmento di estremi x ed y è orientato nello stesso modo in cui è orientato il segmento di r di estremi 0 ed U. Spesso quando si fissa un riferimento sulla retta r il punto unità U non si segna esplicitamente, in tale caso per denotare su quale delle due semirette di r con origine in 0 è posizionato il punto unità U si suole designare tale semiretta apponendo una freccia così come indicato nella figura 0.3.2. In fine quando si fissa un riferimento sulla retta r può omettersi anche di designare il punto origine 0 così come è stato fatto nella figura 0.3.3. Osserviamo ora che se A e B sono due punti di r ed A si trova alla sinistra di B (si veda la figura 0.3.4), allora, se su r non sono designati i punti 0 ed U, in queste ipotesi possiamo solo dire che l'ascissa di A è minore dell'ascissa di B, se invece su r è riportato il punto 0 allora possiamo anche dire quale è il segno dell'ascissa di A e dell'ascissa di B, in fine se su r è riportato sia il punto 0 che il punto U, allora possiamo dire quale è l'ascissa di A e quale è l'ascissa di B. Osserviamo in fine che se A e B sono due punti di r, il primo di ascissa a ed il secondo di ascissa b, allora è: AB = d1 (a, b ) = a − b . DEF.0.3.24. (INTERVALLI LIMITATI DI R). Siano a e b due numeri reali. All'insieme {x ∈ R, a ≤ x ≤ b} si dà il nome di intervallo chiuso e limitato di R di primo estremo a e secondo estremo b e si denota col simbolo [a, b] . All'insieme {x ∈ R, a < x < b} si dà il nome di intervallo aperto e limitato di R di primo estremo a e secondo estremo b e si denota col simbolo ]a, b[ . All'insieme {x ∈ R, a ≤ x < b} si dà il nome di intervallo superiormente semiaperto e limitato di R di primo estremo a e secondo estremo b e si denota col simbolo [a, b[ . All'insieme {x ∈ R, a < x ≤ b} si dà il nome di intervallo inferiormente semiaperto e limitato di R di primo estremo a e secondo estremo b e si denota col simbolo ]a, b] . Si osservi che se è a > b allora risulta: [a, b] = ]a, b[ = [a, b[ = ]a, b] = ∅ e se è a = b risulta: [a, b] = {a} ed ]a, b[ = [a, b[ = ]a, b ] = ∅ . Se supponiamo a<b allora nelle quattro figure che seguono sono rappresentati, rispettivamente, l'intervallo chiuso e limitato, l'intervallo aperto e limitato, l'intervallo superiormente semiaperto e limitato e l'intervallo inferiormente semiaperto e limitato di R di primo estremo a e secondo estremo b. 11 Se ora introduciamo i due seguenti simboli: + ∞ (più infinito) e − ∞ (meno infinito) possiamo porre la seguente altra definizione: DEF.0.3.25. (INTERVALLI NON LIMITATI DI R). Sia a un numero reale. All'insieme {x ∈ R, x ≥ a} si dà il nome di intervallo chiuso e non limitato superiormente di R di estremo a e si denota col simbolo [a,+∞[ . All'insieme {x ∈ R, x > a} si dà il nome di intervallo aperto e non limitato superiormente di R di estremo a e si denota col simbolo ]a,+∞[ . All'insieme {x ∈ R, x ≤ a} si da il nome di intervallo chiuso e non limitato inferiormente di R di estremo a e si denota col simbolo ]− ∞, a ] . All'insieme {x ∈ R, x < a} si dà il nome di intervallo aperto e non limitato inferiormente di R di estremo a e si denota col simbolo ]− ∞, a[ . Nelle quattro figure che seguono sono rappresentati, rispettivamente, l'intervallo chiuso e non limitato superiormente di R di estremo a, l'intervallo aperto e non limitato superiormente di R di estremo a, l'intervallo chiuso e non limitato inferiormente di R di estremo a e l'intervallo aperto e non limitato inferiormente di R di estremo a. Diciamo in fine che si pone: R = ]− ∞,+∞[ e che quindi R è l'unico intervallo di R non limitato inferiormente e non limitato superiormente. Non è difficile convincersi che sussiste la seguente proposizione: 0.3.26. Sia I una parte non vuota di R. Condizione necessaria e sufficiente affinché I sia un intervallo di R è che per ogni coppia ordinata (a, b ) di elementi di I l'intervallo chiuso e limitato [a, b] di R sia incluso in I. DEF.0.3.27. (SOTTOINSIEMI DI R DOTATI DI MINIMO O DI MASSIMO). Sia X una parte non vuota di R. Si dice che X è dotata di minimo (risp. dotata di massimo) se esiste un elemento di X minore o uguale (risp. maggiore o uguale) di ogni elemento di X, se un tale elemento esiste è evidentemente unico e si chiama il minimo (risp. il massimo) di X o il primo elemento (risp. l'ultimo elemento) di X o ancora il più piccolo elemento (risp. il più grande elemento) di X e si denota col simbolo minX (risp. maxX). DEF.0.3.28. (SOTTOINSIEMI DI R LIMITATI INFERIORMENTE O LIMITATI SUPERIORMENE). Sia X una parte non vuota di R. Si dice che X è limitata inferiormente (risp. limitata superiormente) se esiste un numero reale minore o uguale (risp. maggiore o uguale) di ogni elemento di X, se un tale elemento esiste si dice minorante (risp. maggiorante) di X. Si dice che X è limitata se è limitata sia inferiormente che superiormente. Si noti che se X è limitata inferiormente (risp. limitata superiormente) allora ammette infiniti minoranti (risp. maggioranti), infatti ogni numero reale minore (risp. maggiore) di un minorante (risp. di un maggiorante) di X è ancora un minorante (risp. maggiorante) di X. Si noti ancora che se X è dotata di minimo (risp. massimo) allora X è limitata inferiormente (risp. limitata superiormente). 12 Un'altra proprietà di cui gode l'insieme R dei numeri reali è la seguente: 0.3.29. Se X è una parte non vuota di R limitata inferiormente (risp. limitata superiormente) allora esiste il più grande dei minoranti (risp. il più piccolo dei maggioranti) di X. Questa proprietà di R permette di porre la seguente definizione: DEF.0.3.30. (ESTREMO INFERIORE ED ESTREMO SUPERIORE DI UN SOTTOINSIEME DI R). Sia X una parte non vuota di R. Se X è limitata inferiormente (risp. limitata superiormente) allora il massimo dei minoranti (risp. il minimo dei maggioranti) di X si dice l'estremo inferiore (risp. l'estremo superiore) di X e si denota col simbolo inf X (risp. sup X ). Se X è non limitato inferiormente (risp. non limitato superiormente) allora si dice che − ∞ (risp. + ∞ ) è l'estremo inferiore (risp. l'estremo superiore) di X e quindi si scrive: inf X = −∞ (risp. sup X = +∞ ). DEF.0.3.31. (SOTTOINSIEMI SEPARATI DI R). Siano: A e B due parti non vuote di R. Si dice che A e B sono due parti separate di R se ogni elemento di A è minore o uguale di ogni elemento di B o, equivalentemente, se è sup A ≤ inf B . Se A e B sono due parti separate di R allora ad A si dà il nome di parte sottostante ed a B si dà il nome di parte sovrastante e ad ogni elemento dell'intervallo [sup A, inf B ] di R si dà il nome di elemento separatore delle parti A e B. DEF.0.3.32. (SOTTOINSIEMI CONTIGUI DI R). Siano: A e B due parti non vuote di R. Se A e B sono due parti separate di R ed A è la parte sottostante allora si dice che A e B sono due parti contigue di R se è sup A = inf B o, equivalentemente, se A e B hanno un solo elemento separatore. Al fine di individuare in R i sottoinsiemi N, Z e Q poniamo la seguente definizione: DEF.0.3.33. (SOTTOINSIEMI INDUTTIVI DI R). Sia X una parte non vuota di R. Si dice che X è un sottoinsieme induttivo di R se gode delle seguenti due proprietà: α ). 1 appartiene ad X β ). Se x appartiene ad X allora anche x + 1 appartiene ad X. DEF.0.3.34. (INDIVIDUAZIONE DI N). N è quel sottoinsieme induttivo di R che è incluso in ogni altra parte induttiva di R o, equivalentemente, N è quel sottoinsieme induttivo di R che non include propriamente alcuna parte induttiva di R. DEF.0.3.35. (INDIVIDUAZIONE DI Z). Z è quel sottoinsieme di R i cui elementi sono tutti e soli gli elementi di N, lo zero e gli opposti degli elementi di N o, equivalentemente, possiamo dire che è: Z = {x ∈ R, ∃n ∈ N : x = n o x = − n + 1} . DEF.0.3.36. (INDIVIDUAZIONE DI Q). Q è quel sottoinsieme di R i cui elementi sono tutti e soli quei numeri reali che possono scriversi sotto forma di frazione m n con m appartenente a Z ed n appartenente ad N o, equivalentemente, possiamo dire che è : Q = {x ∈ R, ∃m ∈ Z ed ∃n ∈ N : x = m n} . Prima di passare ad elencare le principali proprietà di N osserviamo che se a e b sono due numeri interi positivi allora a + b ed ab sono ancora due numeri interi positivi, mentre i numeri a − b ed a b non sempre appartengono ad N e poniamo quindi la seguente definizione: DEF.0.3.37. (NUMERI PRIMI). Sia n un numero intero positivo. Si dice che n è un numero primo se n è divisibile solo per se stesso e per uno. 13 0.3.38. (PRIMA PROPRIETA' DI N). L'insieme dei numeri primi è costituito da infiniti elementi. 0.3.39. (SECONDA PROPRIETA' DI N). Ogni numero intero positivo non primo può essere scritto in un solo modo come prodotto di un numero finito di numeri primi. 0.3.40. (TERZA PROPRIETA' DI N). Se X è una parte non vuota di N,allora X è dotata di minimo, inoltre, se X è costituita da un numero finito di elementi allora X è dotata anche di massimo, invece se X è costituita da infiniti elementi, allora X è non limitata superiormente o, ciò che è lo stesso, è: sup X = +∞ . Prima di passare ad elencare le principali proprietà di Z osserviamo che se a e b sono due numeri interi allora a + b , ab ed a − b sono ancora tre numeri interi, mentre, se b è diverso da zero, a b non sempre appartiene a Z. 0.3.41. (PRIMA PROPRIETA' DI Z). Per ogni coppia (a, b ) di numeri reali l'insieme [a, b ] I Z o è vuoto o è costituito da un numero finito di elementi. 0.3.42. (SECONDA PROPRIETA' DI Z). Per ogni elemento z di Z è: ]z, z + 1[ I Z = ∅ . ]z − 1, z[ I Z = ∅ e La prima proprietà di Z suggerisce di porre la seguente definizione: DEF.0.3.43. (PARTI LOCALMENTE FINITE). Siano: I un intervallo di R costituito da più di un punto ed Y una parte di I. Si dice che Y è una parte di I localmente finita in I se per ogni coppia (a, b ) di elementi di I entrambi diversi dagli estremi di I l'insieme ]a, b[ I Y o è vuoto o è costituito da un numero finito di elementi. Prima di passare ad elencare le principali proprietà di Q osserviamo che se a e b sono due numeri razionali allora a + b , ab ed a − b sono ancora tre numeri razionali ed inoltre, se b è diverso da zero, anche a b è un numero razionale, poniamo quindi la seguente definizione: DEF.0.3.44. (RADICE ENNESIMA). Siano: x un numero reale maggiore o uguale a zero ed n un elemento di N. Si dice radice ennesima di x e si denota col simbolo n x quel numero reale y, se esiste, maggiore o uguale a zero e tale che risulti: x = y n . Ricordiamo che se è n=2 allora si pone: 2 x = x. Notiamo ora che è possibile dimostrare la seguente proposizione: 0.3.45. Se n ed m sono due numeri interi positivi allora la radice ennesima di m o è un numero intero positivo oppure, se non appartiene ad N, allora appartiene ad R-Q. Si osservi che la proposizione 0.3.45 afferma che, per esempio, i numeri zionali. 2 , 3 , 3 7e5 9 non sono ra- Dalla proposizione 0.3.45 consegue la seguente proprietà di Q: 0.3.46. (PRIMA PROPRIETA' DI Q). Nell'insieme Q dei numeri razionali non sempre è possibile effettuare la radice ennesima. 0.3.47. (SECONDA PROPRIETA' DI Q). Esistono parti di Q non vuote e limitate inferiormente (risp. superiormente) che hanno estremo inferiore (risp. estremo superiore) non razionale. 14 [ Per convincersi di quanto affermato nella seconda proprietà di Q il Lettore faccia vedere che l'insieme 2 , 3 ] I Q ha estremo inferiore uguale a 2 ed estremo superiore uguale a 3 . 0.3.48. (TERZA PROPRIETA' DI Q). Per ogni coppia (a, b ) di numeri reali, se è a < b , allora esiste un numero razionale c appartenente all'intervallo ]a, b[ . Si osservi che la terza proprietà di Q garantisce che se a e b sono due numeri reali e se è a < b , allora l'insieme ]a, b[ I Q è costituito da infiniti elementi. La terza proprietà di Q suggerisce di porre la seguente definizione: DEF.0.3.49. (PARTI DENSE). Siano: I un intervallo di R costituito da più di un punto ed Y una parte di I. Si dice che Y è una parte di I densa in I se per ogni coppia (a, b ) di elementi di I, se è a < b , allora esiste un elemento c di Y appartenente all'intervallo ]a, b[ o, equivalentemente, se per ogni coppia (a, b ) di elementi di I, se è a < b , allora l'insieme ]a, b[ I Y è costituito da infiniti elementi. Osserviamo ora che la proprietà 0.3.29 di R permette di dimostrare la seguente proposizione: 0.3.50. Siano: n un numero intero positivo ed x un numero reale maggiore o uguale a zero. Esiste uno ed un solo numero reale y maggiore o uguale a zero che è la radice ennesima di x. 0.3.51. (PRINCIPALI REGOLE DI CALCOLO CON LE RADICI ENNESIME). Se x è un numero reale maggiore o uguale a zero ed n ed m sono due numeri interi positivi allora è: n n ( x) n m = n xm = xm n e x m x = x 1 n x1 m = x 1 n +1 m = n⋅m x n + m . Se x ed y sono due numeri reali maggiori o uguali a zero ed n è un numero intero positivo è: x n y = n xy e, se y è maggiore di zero, allora è pure: n x n y = n x y . Per completezza chiudiamo questo paragrafo enunciando la seguente proposizione: 0.3.52. Per ogni coppia (a, b ) di numeri reali, se è a < b , allora esiste un elemento c di R − Q appartenente all'intervallo ]a, b[ o, equivalentemente, R-Q è una parte di R densa in R. §.0.4. POTENZA DI UN BINOMIO. Come è noto, se a e b sono due numeri reali, è: (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 ed (a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 , noi qui di seguito daremo una formula che ser- ve a calcolare (a + b ) quando n è un qualsiasi numero intero positivo. n A questo scopo abbiamo bisogno di porre le seguenti due definizioni: DEF.0.4.1. (FATTORIALE DI UN NUMERO INTERO). Sia n un numero intero maggiore o uguale a zero. Si dice fattoriale di n e si denota col simbolo n! il numero intero 1 se è n = 0 o n = 1 , il prodotto n(n − 1)....2 ⋅ 1 dei primi n numeri interi positivi se n è maggiore di uno. DEF.0.4.2. (COEFFICIENTE BINOMIALE). Siano: n ed h due numeri interi maggiori o uguali a zero con n ≥ h . ⎛n⎞ Si dice coefficiente binomiale di primo indice n e secondo indice h e si denota col simbolo ⎜⎜ ⎟⎟ il nu⎝h⎠ 15 mero intero positivo: n! h!(n − h )! . Si osservi che comodo per il calcolo dei coefficienti binomiali con primo indice non molto grande è il triangolo sopra riportato dove nella prima riga si legge il coefficiente binomiale di primo indice 0, nella seconda riga si leggono, nell'ordine, i due coefficienti binomiali di primo indice 1 e secondo indice 0 o l, nella terza riga si leggono, nell'ordine, i tre coefficienti binomiali di primo indice 2 e secondo indice 0 o l o 2 e così di seguito. Siamo ora in grado di enunciare la seguente proposizione: 0.4.3. (FORMULA DEL BINOMIO DI NEWTON). Se n è un numero intero positivo ed a e b sono n ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ n due numeri reali, allora è: (a + b ) = ⎜⎜ ⎟⎟a n + ⎜⎜ ⎟⎟a n −1b + ⎜⎜ ⎟⎟a n − 2 b 2 + .... + ⎜⎜ ⎟⎟b n = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟a n − h b h . h=0 ⎝ h ⎠ ⎝0⎠ ⎝1 ⎠ ⎝2⎠ ⎝n⎠ §.0.5. QUALCHE CENNO SUI POLI NOMI. Cominciamo col porre la seguente definizione: DEF.0.5.l. (LA FUNZIONE POLINOMIO). Siano: n un numero intero maggiore o uguale a zero ed a 0 , a1 , a 2 ,...., a n n + 1 numeri reali con a 0 diverso da zero. n La funzione x ∈ R → a 0 x n + a1 x n −1 + .... + a n −1 x + a n = ∑ a h x n − h ∈ R si chiama funzione polinomiale h=0 di grado n o più semplicemente, polinomio di grado n. I numeri reali a 0 , a1 , a 2 ,...., a n si chiamano i coefficienti del polinomio. È possibile dimostrare la seguente proposizione: 0.5.2. (PRINCIPIO DI IDENTITÀ DEI POLINOMI). Siano: n ed m due numeri interi maggiori o n m h=0 h =0 uguali a zero, p( x ) = ∑ a h x n − h un polinomio di grado n e q( x ) = ∑ bh x m − h un polinomio di grado m. Condizione necessaria e sufficiente affinché, per ogni numero reale x, risulti p ( x ) = q( x ) è che sia: n = m e, per ogni elemento h di {0,1,2,...., n}, risulti: a h = bh . Poniamo ora la seguente altra definizione: DEF.0.5.3. (SOLUZIONE REALE DI UN'EQUAZIONE POLINOMIALE). Siano: n un numero intero positivo, p un polinomio di grado n ed α un numero reale. Si dice che α è uno zero reale del polinomio p o, equivalentemente, che α è una radice reale dell'equazione p ( x ) = 0 o ancora che α è una soluzione reale dell'equazione p (x ) = 0 se risulta: p (α ) = 0 . È ora .possibile dimostrare la seguente proposizione: 0.5.4. Siano: n un numero intero positivo, p un polinomio di grado n ed α un numero reale. 16 Condizione necessaria e sufficiente affinché α sia una radice reale dell'equazione p (x ) = 0 è che il polinomio p sia divisibile per il polinomio x ∈ R → x − α . Conseguentemente l'equazione p ( x ) = 0 ammette al più n radici reali. Siamo ora in grado di studiare le equazioni e le disequazioni polinomiali di primo e secondo grado: 0.5.5. (EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI DI PRIMO GRADO). Se a è un numero reale diverso da zero e b è un numero reale, essendo: ax + b = 0 ⇔ ax = −b ⇔ x = − b a , possiamo asserire che: l°) L'equazione ax + b = 0 ammette una sola soluzione reale: x = − b a . Osservando ora che, essendo: ax + b > 0 ⇔ − ax − b < 0 ed ax + b ≥ 0 ⇔ − ax − b ≤ 0 non si lede la generalità se supponiamo a maggiore di zero, in questa ipotesi, risultando: ax + b > 0 ⇔ ax > −b ⇔ x > > − b a e tenendo presente quanto affermato in l°), possiamo dire che risulta: 2°) 3°) 4°) 5°) ax + b > 0 ⇔ ax + b ≥ 0 ⇔ ax + b ≤ 0 ⇔ ax + b < 0 ⇔ x ∈ ]− b a ,+∞[ . x ∈ [− b a ,+∞[ . x ∈ −]− b a ,+∞ ] = ]− ∞,− b a ]. x ∈ −[− b a ,+∞[ = ]− ∞,− b a[ . 0.5.6. (EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI DI SECONDO GRADO). Se a è un numero reale diverso da zero, se b e c sono due numeri reali e si pone: ∆ = b 2 − 4ac , con semplici calcoli si perviene alla seguente uguaglianza: ( ax 2 + bx + c = a ( x + b 2a ) − ∆ 4a 2 2 ) e di qui consegue facilmente che: 1°) Se è ∆ < 0 l'equazione ax 2 + bx + c = 0 non ha alcuna radice reale. 2°) Se è ∆ = 0 l'equazione ax 2 + bx + c = 0 ha una sola radice reale, x = − b 2a , e risulta ax 2 + bx + c = a( x + b 2a ) . 2 ( ( ) 3°) Se è ∆ > 0 l'equazione ax 2 + bx + c = 0 ha due radici reali distinte, α = − b − ∆ 2a e ) β = − b + ∆ 2a , e risulta ax + bx + c = a( x − α )( x − β ) . 2 Osserviamo ora che, essendo: ax 2 + bx + c > 0 ⇔ −ax 2 − bx − c < 0 ed ax 2 + bx + c ≥ 0 ⇔ −ax 2 − − bx − c ≤ 0 non si lede la generalità se supponiamo a maggiore di zero, in questa ipotesi, tenendo presente quanto gia detto e notando che è α < β , si dimostra facilmente che si ha: 4°) Se è ∆ < 0 è: ax 2 + bx + c > 0 ⇔ x ∈ R e conseguentemente risu1ta: ax 2 + bx + c ≥ 0 ⇔ x ∈ R ed ax 2 + bx + c ≤ 0 ⇔ ax 2 + bx + c < 0 ⇔ x ∈ − R = ∅ . 5°) Se è ∆ = 0 è: ax 2 + bx + c > 0 ⇔ x ∈ R − {− b 2a} e conseguentemente risulta: ax 2 + bx + c ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ R , ax 2 + bx + c ≤ 0 ⇔ x ∈ −(R − {− b 2a}) = {− b 2a} ed ax 2 + bx + c < 0 ⇔ x ∈ − R = ∅ . 6°) Se è ∆ > 0 è: ax 2 + bx + c > 0 ⇔ x ∈ ]− ∞, α [ U ]β ,+∞[ e conseguentemente risulta: ax 2 + bx + c ≥ 17 ≥ 0 ⇔ x ∈ ]− ∞, α ] U [β ,+∞[ , ax 2 + bx + c ≤ 0 ⇔ x ∈ −(]− ∞, α [ U ]β ,+∞[) = [α , β ] ed ax 2 + bx + c < 0 ⇔ ⇔ x ∈ −(]− ∞, α ] U [β ,+∞[) = ]α , β [ . Poniamo ora la seguente altra definizione: DEF.0.5.7. (POLINOMI PRIMI). Sia p un polinomio. Si dice che p è un polinomio primo se p è un polinomio di grado zero, se cioè p è una funzione costante non nulla definita in R, se p è un polinomio di primo grado col coefficiente di x uguale ad uno o se p è un polinomio di secondo grado col coefficiente di x 2 uguale ad uno e non avente radici reali. Osserviamo ora che è possibile dimostrare la seguente proposizione: 0.5.8. (DECOMPOSIZIONE DEI POLINOMI IN POLINOMI PRIMI). Ogni polinomio non primo può essere scritto in un solo modo come prodotto di un numero finito di polinomi primi. Per completezza ricordiamo qui di seguito i seguenti prodotti notevoli: 0.5.9. (PRODOTTI NOTEVOLI). Per. Ogni coppia (a, b ) di numeri reali si ha: a 2 − b 2 = (a − b ) ⋅ ( ) ( ⋅ (a + b ) , a 3 − b 3 = (a − b ) a 2 + ab + b 2 , a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 − ab + b 2 ( ) ) ( ) ed a 4 + b 4 = a 2 − 2ab + b 2 ⋅ ⋅ a + 2ab + b . 2 2 §.0.6. CENNI DI GEOMETRIA ANALITICA PIANA. 0.6.1. (RAPPRESENTAZIONE DELL'INSIEME R 2 SUL PIANO). Su un piano π consideriamo due rette perpendicolari, s e t, e diciamo 0 il loro punto comune (si veda la figura 0.6.1), consideriamo quindi su s un punto U diverso da 0 e la rappresentazione di R su s con origine in 0 e punto unità U e su t un punto V diverso da 0 e la rappresentazione di R su t con origine in 0 e punti unità V e, se P è un punto di π , diciamo x p l'ascissa del punto che la retta s ha in comune con la retta parallela alla retta t e passante per P ed y p l'ascissa del punto che la retta t ha in comune con la retta parallela alla retta s e passante per P. Ciò premesso consideriamo la funzione τ : P ∈ π → (x p , y p ) ∈ R 2 . È immediato rendersi conto che τ è una funzione biunivoca di π sull'insieme delle coppie ordinate R 2 di numeri reali, a τ si dà il nome di rappresentazione dell' insieme delle coppie ordinate di numeri reali sul piano π con origine in 0 e punti unità U e V. In questo modo fissate su π due rette perpendicolari s e t, detto 0 il punto comune ad s e t e preso su s un punto U diverso da 0 e su t un punto V diverso da 0 o, come suole dirsi, fissato su π un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine 0 e punti unità U e V, ad ogni punto P del piano resta associata una coppia ordinata di numeri reali ( x, y ) , x ed y si chiamano le coordinate di P, in particolare x si chiama l'ascissa di P ed y si chiama l'ordinata di P, viceversa se ( x, y ) è una coppia ordinata di numeri reali esiste un punto di π 18 avente x per ascissa ed y per ordinata. Per questa ragione una volta fissato su π un sistema di assi cartesiani ortogonali, noi parleremo indifferentemente di punti di π o di coppie ordinate di numeri reali. Spesso quando si fissa un sistema di assi cartesiani ortogonali sul piano π i punti unità U e V non si segnano esplicitamente, in tale caso per denotare le semirette di s e t con origine in 0 dove sono ubicati, rispettivamente, i punto U e V si suole designare tali semi rette con una freccia così come indicato nella figura 0.6.2. Diciamo ancora che suole darsi il nome di primo quadrante al sottoinsieme di π i cui elementi hanno entrambe le coordinate maggiori o uguali a zero, di secondo quadrante al sottoinsieme di π i cui elementi hanno l'ascissa minore o uguale a zero e l'ordinata maggiore o uguale a zero, di terzo quadrante al sottoinsieme di π i cui elementi hanno entrambe le coordinate minori o uguali a zero e di quarto quadrante al sottoinsieme di π i cui elementi hanno l'ascissa maggiore o uguale a zero e l'ordinata minore o uguale a zero. 0.6.2. (LUNGHEZZA DI UN SEGMENTO DI R 2 ). Se su un piano π è fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali e diciamo A = ( x ′, y ′) e B = ( x ′′, y ′′) due elementi di π è evidente che (si veda la figura 0.6.3), in virtù del teorema di PITAGORA applicato al triangolo rettangolo ACB, se denotiamo con AB la lunghezza del segmento di π di estremi A e B è: AB = x ′ − x ′′ + y ′ − y ′′ numero reale risulta: a = a 2 possiamo scrivere: AB = (x′ − x ′′)2 + ( y ′ − y ′′)2 2 2 2 ed osservando che se a è un . DEF.0.6.3. (METRICA EUCLIDEA IN R 2 ). Si chiama metrica euclidea in R 2 e si denota col sim- ((x ′, y ′), (x ′′, y ′′)) ∈ R 2 × R 2 → (x ′ − x ′′)2 + ( y ′ − y ′′)2 , il valore d 2 ((x ′, y ′), (x′′, y ′′)) = (x ′ − x ′′)2 + ( y ′ − y ′′)2 di d 2 in ((x ′, y ′), (x ′′, y ′′)) si chiama, distanza (euclidea) di (x′, y ′) da (x′′, y ′′) . bolo d 2 l'applicazione = Il Lettore non avrà nessuna difficoltà per rendersi conto che la funzione d 2 gode delle seguenti due proprietà: 0.6.4. Se ( x ′, y ′) ed ( x ′′, y ′′) sono due elementi di R 2 è: d 2 (( x ′, y ′), ( x ′′, y ′′)) = d 2 (( x ′′, y ′′), ( x ′, y ′)) e risulta: (d 2 (( x ′, y ′), ( x ′′, y ′′)) = 0 ) ⇔ (( x ′, y ′) = ( x ′′, y ′′)) . 0.6.5. Se (x ° , y ° ), ( x ′, y ′) ed ( x ′′, y ′′) sono tre elementi di R 2 allora è: d 2 ((x ° , y ° ), ( x ′, y ′) ) ≤ ≤ d 2 ((x ° , y ° ), ( x ′′, y ′′)) + d 2 ((x ′′, y ′′), ( x ′, y ′) ) , (disuguaglianza triangolare). 0.6.6. (PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO DI R 2 ). Su un piano π sia fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali e diciamo A = ( x ′, y ′) e B = ( x ′′, y ′′) due elementi di π . È evidente che (si veda la figura 0.6.4), in virtù della similitudine dei triangoli ACB, APM e BQM, se 19 M è il punto medio del segmento di estremi A e B allora P è il punto medio del segmento di estremi A e C e Q è il punto medio del segmento di estremi C e B, conseguentemente se poniamo M = (m′, m′′) deve essere: m′ − x ′ = x ′′ − m′ ed m′′ − y ′ = y ′′ − m′′ e ciò equivale a dire che è: m′ = ( x ′ + x ′′) 2 ed m′′ = ( y ′ + y ′′) 2 , pertanto possiamo asserire che il punto medio del segmento di estremi A e B è: (( x ′ + x ′′) 2 , ( y ′ + y ′′) 2 ) . Osserviamo ora che è possibile dimostrare la seguente proposizione: 0.6.7. Su un piano π sia fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali e sia r una parte di π . Condizione necessaria e sufficiente affinché r sia una retta del piano π è che esistano tre numeri reali a, b e c, con a e b non contemporaneamente nulli tali che, per ogni elemento ( x, y ) di r sia: ax + by + c = 0 . La proposizione 0.6.7 ora enunciata legittima la seguente definizione: DEF.0.6.8. (EQUAZIONE DELLA RETTA). Siano: π un piano su cui è stato fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali ed a, b e c tre numeri reali con a e b non contemporaneamente nulli. Se poniamo: r = {( x, y ) ∈ R 2 , ax + by + c = 0}, allora l'uguaglianza ax + by + c = 0 si chiama l'equazione della retta r. Osserviamo che se ax + by + c = 0 è l'equazione di una retta r del piano π per tracciare r su π è sufficiente individuare due elementi distinti di r e cioè due coppie ordinate distinte di numeri reali le cui coordinate x ed y soddisfino l'equazione ax + by + c = 0 . Illustriamo con qualche esempio quanto sopra detto: 0.6.9. (ESEMPI). Tracciare sul piano π la retta r di equazione 2 x + y − 4 = 0 , la retta s di equazione 2 x + 5 y − 10 = 0 , la retta t di equazione x + 4 = 0 e la retta u di equazione y − 3 = 0 . Per trovare un punto A di π appartenente ad r basta fissare il valore di una delle due coordinate di A, per esempio prendiamo la prima coordinata di A uguale a 2, e risolvere quindi, nell'incognita y, l'equazione che si ottiene quando nell'equazione di r si pone x = 2 , ciò facendo si ottiene y = 0 e quindi è A = (2,0 ) . Per trovare un punto B di π , distinto da A ed appartenente ad r basta fissare un valore della prima coordinata (risp. della seconda coordinata) di B diverso da 2 (risp. diverso da 0), per esempio prendiamo la seconda coordinata di B uguale ad l, e risolvere quindi, nell'incognita x, l'equazione che si ottiene quando nell'equazione di r si pone y = 1 , ciò facendo si ottiene x = 3 2 e quindi è B = (3 2 ,1) . Per trovare due punti distinti di π appartenenti alla retta t basta osservare che questi hanno entrambi la prima coordinata uguale a − 4 mentre la seconda coordinata può essere un qualsiasi numero reale e pertanto (− 4,0) e (− 4,1) è un esempio di punti soddisfacenti a quanto richiesto. Al Lettore il non difficile compito di rispondere alle altre, due richieste. Come è noto due punti distinti di un piano π individuano una retta di π , osserviamo quindi che è possibile dimostrare la seguente proposizione: 0.6.10. Se π è un piano su cui è stato fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali ed A = ( x ′, y ′) e B = ( x ′′, y ′′) sono due punti distinti di π , allora ( y ′′ − y ′)( x − x ′) − ( x ′′ − x ′)( y − y ′) = 0 è l'equazione della ret- 20 ta di π passante per i punti A e B. DEF.0.6.11. (FASCIO DI RETTE DI UN PIANO). Siano: π un piano e P un punto di π . Si dice fascio di rette di centro P l'insieme costituito da tutte e sole le rette del piano π passanti per il punto P. È immediato rendersi conto che sussiste la seguente proposizione: 0.6.12. Siano: π un piano su cui è stato fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali e P = ( x , y ) un punto del piano π . Se a e b sono due numeri reali non entrambi nulli allora a ( x − x ) + b( y − y ) = 0 è l'equazione di una delle rette del fascio di rette di centro P. La proposizione 0.6.12 legittima la seguente definizione: DEF.0.6.l3. (EQUAZIONE DEL FASCIO DI RETTE). Siano: π un piano su cui è stato fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali e P = ( x , y ) un punto di π . Se a e b sono due numeri reali non entrambi nulli allora all'uguaglianza a ( x − x ) + b( y − y ) = 0 si dà il nome di equazione del fascio di rette di centro P. Ricordiamo ora che è possibile dimostrare la seguente proposizione: 0.6.14. (CONDIZIONI DI PARALLELISMO E PERPENDICOLARITÀ). Siano: π un piano su cui è stato fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali, r ′ la retta di π di equazione a ′x + b′y + c ′ = 0 ed r ′′ la retta di π di equazione a ′′x + b′′y + c ′′ = 0 . Condizione necessaria e sufficiente affinché le rette r ′ ed r ′′ siano parallele è che esista un numero reale h diverso da zero tale che risulti: a ′ = ha ′′ e b ′ = hb ′′ . Condizione necessaria e sufficiente affinché le rette r ′ ed r ′′ siano perpendicolari è che esista un numero reale h diverso da zero tale che risulti: a ′ = hb ′′ e b ′ = − ha ′′ . Formuliamo ora il seguente problema: 0.6.15. (PROBLEMA l°). Date su un piano π due rette, r ′ ed r ′′ , determinare l'insieme: r ′ I r ′′ . Per il problema l° sopra formulato possono presentarsi tre eventualità: a). Le due rette r ′ ed r ′′ sono parallele e distinte, allora è: r ′ I r ′′ = ∅ . b). Le due rette r ′ ed r ′′ non sono parallele, allora l'insieme r ′ I r ′′ è costituito da un solo punto. c). Le due rette r ′ ed r ′′ coincidono, allora è: r ′ I r ′′ = r ′ = r ′′ . È immediato rendersi conto che il problema l° è equivalente al seguente altro problema: 0.6.16. (PROBLEMA 2°). Dati sei numeri reali: a ′, b′, c ′, a ′′, b ′′ e c ′′ determinare l'insieme delle coppie ordinate (x , y ) di numeri reali che soddisfano contemporaneamente alle seguenti due equazioni: ⎧a ′x + b′y = −c ′ (1) ⎨ ⎩a ′′x + b′′y = −c ′′ Alle due equazioni (1) si dà il nome di sistema di due equazioni lineari nelle due incognite x ed y e ad ogni coppia ordinata (x , y ) che soddisfa contemporaneamente le due equazioni (1) si dà il nome di soluzione del sistema (1). Stante l'affermata equivalenza fra i problemi 1° e 2° alle tre eventualità a),b) e c) corrisponderanno le 21 seguenti tre eventualità relative al sistema (1): a ) . Il sistema (1) non ammette soluzioni, in questo caso diremo che il sistema (1) è incompatibile. b ) . Il sistema (1) ammette una sola soluzione, in questo caso diremo che il sistema (1) è determinato. c ) . Il sistema (1) ammette infinite soluzioni, in questo caso diremo che il sistema (1) è indeterminato. Se si verifica l'eventualità b ) o l'eventualità c ) allora diremo pure che il sistema (1) è compatibile. Per enunciare una proposizione che fornisce la soluzione completa del problema 2° è opportuno porre la seguente definizione: ⎛ ab ⎞ DEF.0.6.17. Se a, b, c e d sono quattro numeri reali porremo: ⎜⎜ ⎟⎟ = ad − bc . ⎝cd ⎠ Siamo ora in grado di enunciare la seguente proposizione: 0.6.18. Siano: a ′, b′, c ′, a ′′, b ′′ e c ′′ sei numeri reali. ⎛ a ′ b′ ⎞ ⎟⎟ ≠ 0 e, Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema (1) sia determinato è che riesca: ⎜⎜ ⎝ a ′′b ′′ ⎠ ⎛ ⎛ − c′ b′ ⎞ ⎛ a ′ b′ ⎞ ⎛ a ′ − c′ ⎞ ⎛ a ′ b′ ⎞ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ . in tale ipotesi, l'unica soluzione del sistema (1) è: ⎜⎜ ⎜⎜ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ − c b a b a c a b − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎛ a ′ b′ ⎞ ⎟⎟ = 0 , Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema (1) sia indeterminato è che riesca: ⎜⎜ ⎝ a ′′b ′′ ⎠ ⎛ − c′ b′ ⎞ ⎛ a ′ − c′ ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 ed in tale ipoche almeno uno dei numeri reali a ′, b′, a ′′ o b′′ sia non nullo e risulti: ⎜⎜ ⎝ − c ′′b ′′ ⎠ ⎝ a ′′− c ′′ ⎠ tesi, se per esempio è a ′ ≠ 0 , allora ((c ′ − b ′y ) a ′ , y ) è, per ogni numero reale y, una soluzione del sistema (1). Conseguentemente, condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema (1) sia incompatibile è che ⎛ a ′ b′ ⎞ ⎛ − c ′ b′ ⎞ ⎛ a ′ − c ′ ⎞ ⎟⎟ o ⎜⎜ ⎟⎟ sia diverso da zero. ⎟⎟ = 0 e che almeno uno dei due numeri reali ⎜⎜ riesca: ⎜⎜ ⎝ a ′′b′′ ⎠ ⎝ − c ′′b′′ ⎠ ⎝ a ′′− c ′′ ⎠ Poniamo ora la seguente definizione: DEF.0.6.l9. (DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA). Siano: A un punto del piano π , r una retta del piano π e P il punto che r ha in comune con la retta perpendicolare ad r e passante per A. Si dice distanza del punto A dalla retta r e si denota col simbolo d ( A, r ) la lunghezza del segmento di π avente estremi in A e P. Con semplici calcoli si dimostra la seguente proposizione: 0.6.20. Siano: π un piano su cui è stato fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali, A un punto di π ed r una retta di π . Se è A = ( x , y ) e se ax + by + c = 0 è l'equazione della retta r allora è: d ( A, r ) = ax + by + c a2 + b2 . §.0.7. ESERCIZI 0.7.1. Se X è una parte non vuota di R allora è: (inf X ∈ X ⇔ ∃ min X e min X = inf X ) e (sup X ∈ ∈ X ⇔ ∃ max X e max X = sup X ) . 22 0.7.2. Far vedere che se a e b sono due numeri reali risulta: inf [a, b] = inf ]a, b[ = inf [a, b[ = inf ]a, b] = inf [a,+∞[ = inf ]a,+∞[ = a e conseguentemente è: min[a, b] = = min[a, b[ = min[a,+∞[ = a , mentre gli intervalli ]a, b[, ]a, b] ed ]a,+∞[ sono limitati inferiormente ma non dotati di minimo. sup[a, b] = sup]a, b[ = sup[a, b[ = sup]a, b] = sup]− ∞, b] = sup]− ∞, b[ = b e conseguentemente è: max[a, b] = max ]a, b] = max ]− ∞, b] = b , mentre gli intervalli ]a, b[, [a, b[ e ]− ∞, b[ sono limitati superiormente ma non dotati di massimo. Si osservi in fine che è: inf ]− ∞, b] = inf ]− ∞, b[ = −∞ e sup[a,+∞[ = sup]a,+∞[ = +∞ . inf [a, b ] I Q = inf ]a, b[ I Q = inf [a, b[ I Q = inf ]a, b] I Q = inf [a,+∞[ I Q = inf ]a,+∞[ I Q = a e conseguentemente, se a è un numero razionale, è: min[a, b] I Q = min[a, b[ I Q = min[a,+∞[ I Q = a mentre gli. insiemi ]a, b[ I Q, ]a, b] I Q ed ]a,+∞[ I Q sono limitati inferiormente ma non dotati di minimo, se invece a è un numero non razionale allora gli insiemi [a, b] I Q, ]a, b[ I Q, [a, b[ I Q, ]a, b] I Q, [a,+∞[ I Q ed ]a,+∞[ I Q sono limitati inferiormente ma non dotati di minimo. sup[a, b] I Q = sup]a, b[ I Q = sup[a, b[ I Q = sup]a, b] I Q = sup]− ∞, b] I Q = sup]− ∞, b[ I Q = b e conseguentemente, se b è un numero razionale, è: max[a, b] I Q = max ]a, b] I Q = max ]− ∞, b] I Q = b mentre gli insiemi ]a, b[ I Q, [a, b[ I Q e ]− ∞, b[ I Q sono limitati superiormente ma non dotati di massimo, se invece b è un numero non razionale allora gli insiemi [a, b] I Q, ]a, b[ I Q, [a, b[ I Q, ]a, b] I Q, ]− ∞, b] I Q ed ]- ∞, b[ I Q sono limitati superiormente ma non dotati di massimo. Si osservi in fine che è: inf ]− ∞, b] I Q = inf ]− ∞, b[ I Q = −∞ e sup[a,+∞[ I Q = sup]a,+∞[ I Q = +∞ . 0.7.3. Considerate le seguenti coppie di parti non vuote di R: ]− ∞,0] ed N , [0,3] e [5,+∞[, Z − N ed N , [− 2,1[ ed N , [3,5] e [5,7[, [2,7[ e ]7,+∞[ I Q, [0,2[ ed N , [0,2[ I Q ed ]1,3] I Q, Z − N e ]− 1,+∞[ far vedere che la l°, la 2° e la 3° sono separate ma non contigue, la 4°, la 5° e la 6° sono contigue e la 7°, la 8° e la 9° non sono separate. 0.7.4. Far vedere che è: 2 x + 3 ≤ 0 ⇔ x ∈ ]− ∞,− 3 2] , − 5 x + 2 < 0 ⇔ 5 x − 2 > 0 ⇔ x ∈ ]2 5 ,+∞[ , − 2 x − 3 ≤ 2 ⇔ 2 x + 3 ≥ −2 ⇔ 2 x + 5 ≥ 0 ⇔ x ∈ [ − 5 2 ,+∞ [ , ⇔ 2 x + 9 ≥ 0 ⇔ x ∈ [− 9 2 ,+∞[ , 7 x − 2 < 5 ⇔ 7 x < 7 ⇔ x ∈ ]− ∞,1[ . 3 x − 2 ≤ 5 x + 7 ⇔ −2 x − 9 ≤ 0 ⇔ 0.7.5. Far vedere che il polinomio p( x ) = 3x 4 + 2 x 2 − x − 4 è divisibile per il polinomio x − 1 ed effettuare la divisione: p ( x ) ( x − 1) . Essendo p (1) = 3 + 2 − 1 − 4 = 0 il polinomio p è divisibile per il polinomio x − 1 e si ha: e conseguentemente possiamo scrivere: 3x 4 + 2 x 2 − x − 4 = ( x − 1)(3x 3 + 5 x 2 + 5 x + 4 ) per ogni numero reale x o, equivalentemente: 23 3x 4 + 2 x 2 − x − 4 = 3x 3 + 5 x 2 + 5 x + 4 x −1 per ogni numero reale x diverso da uno. 0.7.6. Effettuare la divisione del polinomio 7 x 5 + 3x 4 − x 3 + 2 x 2 − 1 per il polinomio 3x 2 − 2 , si ha: e conseguentemente possiamo scrivere: 7 x 5 + 3x 4 − x 3 + 2 x 2 − 1 = (3x 2 − 2)(7 x 3 3 + x 2 + 11x 9 + 4 3) + 22 x 9 + 5 3 per ogni numero reale x o, equivalentemente: 22 x 9 + 5 3 7 x 5 + 3x 4 − x 3 + 2 x 2 − 1 = 7 x 3 3 + x 2 + 11x 9 + 4 3 + 2 3x − 2 3x 2 − 2 per ogni numero reale x diverso da − 2 3 e da 2 3. 0.7.7. Effettuare le seguenti divisioni: 12 x 5 − 30 x 4 + 20 x 3 − 5 x 2 + 5 x − 8 per 2 x − 3 , 2 x 8 + x 7 − 6 x 6 + + x 5 − 3x 3 + x 2 − 5 x − 3 per 2 x + 1 , x 5 + 2 x 3 + x 2 + x + 1 per x 2 + 1 , 2 x 5 − x 4 − 2 x 3 − x 2 − x + 5 per x 2 − 1 e dedurre che risulta: 12 x 5 − 30 x 4 + 20 x 3 − 5 x 2 + 5 x − 8 = (2 x − 3)(6 x 4 − 6 x 3 + x 2 − x + 1) − 5 per ogni numero reale x o, equivalentemente: 5 12 x 5 − 30 x 4 + 20 x 3 − 5 x 2 + 5 x − 8 = 6x 4 − 6x 3 + x 2 − x + 1 − 2x − 3 2x − 3 per ogni numero reale x diverso da 3 2 . 2 x 8 + x 7 − 6 x 6 + x 5 − 3x 3 + x 2 − 5 x − 3 = (2 x + 1)(x 7 − 3x 5 + 2 x 4 − x 3 − x 2 + x − 3) per ogni numero reale x o, equivalentemente: 2 x 8 + x 7 − 6 x 6 + x 5 − 3x 3 + x 2 − 5 x − 3 = x 7 − 3x 5 + 2 x 4 − x 3 − x 2 + x − 3 2x + 1 per ogni numero reale x diverso da − 1 2 . Si osservi che essendo il resto uguale a zero possiamo asserire che − 1 2 è una soluzione dell'equazio- 24 ne 2 x 8 + x 7 − 6 x 6 + x 5 − 3x 3 + x 2 − 5 x − 3 = 0 . x 5 + 2 x 3 + x 2 + x + 1 = (x 2 + 1)(x 3 + x + 1) o, equivalentemente x5 + 2x3 + x 2 + x + 1 = x3 + x + 1 2 x +1 per ogni numero reale x. 2 x 5 − x 4 − 2 x 3 − x 2 − x + 5 = (x 2 − 1)(2 x 3 − x 2 − 2 ) + 3 − x per ogni numero reale x o, equivalentemente: 2x 5 − x 4 − 2x3 − x 2 − x + 5 3− x = 2x3 − x 2 − 2 + 2 2 x −1 x −1 per ogni numero reale x diverso da − 1 e da 1. 0.7.8. Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni: 3x 2 − 2 x − 5 ≤ 0 , x 2 − 4 x + 3 > 0 , x2 + x − 2 x 2 − 4 x − 12 < 0 ed ≥ 0. x 2 + x + 2 ≤ 0 , (x − 2)(x 2 − 9) > 0 , (x + 5)(x 2 + 2 x − 3) < 0 , x2 − 9 x2 −1 ( ) ( ) Essendo: 3x 2 − 2 x − 5 = 0 ⇔ x = 2 − 4 + 60 6 = (2 − 8) 6 = −1 o x = 2 + 4 + 60 6 = (2 + 8) 6 = = 5 3 è 3x 2 − 2 x − 5 ≤ 0 ⇔ x ∈ [− 1, 5 3] . ( ) ( ) Essendo: x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x = 4 − 16 − 12 2 = (4 − 2) 2 = 1 o x = 4 + 16 − 12 2 = (4 + 2) 2 = 3 è x 2 − 4 x + 3 > 0 ⇔ x ∈ ]− ∞,1[ U ]3,+∞[ . ( ) ( ) Essendo: x 2 + x + 2 = 0 ⇔ x = − 1 − 1 − 8 2 o x = − 1 + 1 − 8 2 ⇔ x ∈ ∅ è x 2 + x + 2 ≤ 0 ⇔ ⇔ x∈∅ Essendo: x − 2 > 0 ⇔ x > 2 ed x 2 − 9 > 0 ⇔ x < −3 o x > 3 (si veda la figura 0.7.1 dove sopra la retta è indicato il segno di x − 2 e sotto la retta il segno di x 2 − 9 ) è (x − 2)(x 2 − 9) > 0 ⇔ x ∈ ]− 3,2[ U ]3,+∞[ . Essendo: x + 5 > 0 ⇔ x > −5 ed x 2 + 2 x − 3 > 0 ⇔ x < −3 o x > 1 (si veda la figura 0.7.2 dove sopra la retta è indicato il segno di x + 5 e sotto la retta il segno di x 2 + 2 x − 3 ) è (x + 5)(x 2 + 2 x − 3) < 0 ⇔ ⇔ x ∈ ]− ∞,−5[ U ]− 3,1[ . Essendo: x 2 + x − 2 > 0 ⇔ x < −2 o x > 1 ed x 2 − 9 > 0 ⇔ x < −3 o x > 3 (si veda la figura 0.7.3 dove sopra la retta è indicato il segno di x 2 + x − 2 e sotto la retta il segno di x 2 − 9 ) è x2 + x − 2 < 0 ⇔ x ∈ ]− 3,−2[ U ]1,3[ . x2 − 9 Essendo: x 2 − 4 x − 12 > 0 ⇔ x < −2 o x > 6 ed x 2 − 1 > 0 ⇔ x < −1 o x > 1 (si veda la figura 0.7.4 25 dove sopra la retta è indicato il segno di x 2 − 4 x − 12 e sotto la retta il segno di x 2 − 1 ) è x 2 − 4 x − 12 ≥ 0 ⇔ x ∈ ]− ∞,−2] U ]− 1,1[ U [6,+∞[ . x2 −1 0.7.9. Al Lettore il compito di verificare che è: x 4 − 1 < 0 ⇔ x ∈ ]− 1,1[ , x 2 + 3x − 4 ≥ 0 ⇔ x ∈ − 4] U [1,+∞[ , x 2 + 4 x + 4 < 0 ⇔ x ∈ ∅ , x 3 − 1 > 0 ⇔ x ∈ ]1,+∞[ ed ] − ∞, x − 7 x + 10 ≤ 0 ⇔ x ∈ ]1,2] U ]3,5] . x 2 − 4x + 3 2 0.7.10. Dati su un piano π i punti A = (− 1,1) e B = (3,−5) scrivere l'equazione della retta r passante per A e per B, l'equazione della retta s perpendicolare ad r e passante per l'origine degli assi, trovare in fine le coordinate del punto comune ad r ed s. 0.7.11. Data su un piano π la retta r di equazione 2 x + y − 2 = 0 scrivere le equazioni delle rette parallele ad r e tali che ogni loro punto abbia distanza da r uguale a 2. 0.7.12. Data su un piano π la retta r di equazione x + y − 4 = 0 scrivere l'equazione della retta perpendicolare ad r e passante per il punto medio del segmento che ha per estremi i punti di r comuni con gli assi. 0.7.13. Siano: A1 = (− 1,3) , A2 = (0,−2 ) , A3 = (5,−7 ) , A4 = (1,0 ) , A5 = (2,2) , B1 = (0,−1) , B2 = (3,−2 ) , B3 = (4,1) , B4 = (1,−1) e B5 = (0,0) dieci punti di un piano π . Per ogni elemento i di {1,2,3,4,5} si scrivano: 1°) L'equazione della retta del piano π passante per i punti Ai e Bi . 2°) Le coordinate del punto medio del segmento del piano π di estremi i punti Ai e Bi . 3°) L'equazione della retta del piano π passante per il punto medio del segmento del piano π di estremi i punti Ai e Bi e perpendicolare alla retta del piano π passante per i punti Ai e Bi . 0.7.14. Su un piano π siano r ' ed r '' due rette, la prima di equazione 2 x + y = 0 e la seconda di equazione 2 x + y − 4 = 0 . Determinare i quattro vertici e l'area del rettangolo che ha due lati sulle rette r ' ed r '' ed il lato che giace su r '' ha per estremi i punti che r '' ha in comune con gli assi coordinati. ⎧ x + y = 2 ⎧3 x − 2 y = 1 ⎧5 x − y = 3 0.7.15. Considerati i tre sistemi: ⎨ far vedere che il primo è ed ⎨ ,⎨ ⎩2 x − y = −1 ⎩6 x − 4 y = 1 ⎩10 x − 2 y = 6 determinato, il secondo è incompatibile ed il terzo è indeterminato, trovare inoltre la soluzione del primo sistema e le soluzioni del terzo sistema. §. 0.8. SISTEMI DI m EQUAZIONI LINEARI IN n INCOGNITE. In questo paragrafo formuleremo e risolveremo un problema che è una generalizzazione del problema 0.6.16. 0.8.1. (FORMULAZIONE DEL PROBLEMA). Siano: m ed n due numeri interi positivi, ai , j , per ogni elemento (i, j ) di {1,2,...., m}× {1,2,...., n} , un numero reale e bi , per ogni elemento i di {1,2,...., m} , un numero reale. Determinare il sottoinsieme di R n costituito da tutte e sole quelle ennuple ordinate di numeri reali, (x1 , x2 ,...., xn ) , tali che risulti: 26 (1) ⎧a1,1 x1 + a1, 2 x 2 + .... + a1,n x n = b1 ⎪ ⎪a 2,1 x1 + a 2, 2 x 2 + .... + a 2,n x n = b2 ⎪ ⎨................................................. ⎪................................................. ⎪ ⎪⎩a m ,1 x1 + a m , 2 x 2 + .... + a m,n x n = bm Al problema sopra formulato si suole dare il nome di sistema di m equazioni lineari nelle n incognite reali x1 , x 2 ,...., x n . Ad ogni ennupla ordinata di numeri reali, (x1 , x 2 ,...., x n ) , che soddisfa tutte le m equazioni (1) si da il nome si soluzione del sistema (1). Se il sistema (1) non ha soluzioni o, equivalentemente, se ogni ennupla ordinata di numeri reali non soddisfa tutte le m equazioni (l), allora si dice che il sistema (1) è incompatibile. Se il sistema (1) ha una sola soluzione o, equivalentemente, se esiste una sola ennupla ordinata di numeri reali che soddisfa tutte le m equazioni (l), allora si dice che il sistema (1) è determinato. Se il sistema (1) ha più di una soluzione o, equivalentemente, se esistono almeno due ennuple ordinate distinte di numeri reali che soddisfano tutte le m equazioni (1) ,allora si dice che il sistema (1) è indeterminato. Se il sistema (1) è determinato o indeterminato o, equivalentemente, se esiste almeno una ennupla ordinata di numeri reali che soddisfa tutte le m equazioni (1), allora si dice che il sistema (1) è compatibile. Se è b1 = b2 = .... = bm = 0 allora si dice che il sistema (1) è omogeneo. OSSERVAZIONE .0.8.2. Si noti che ogni sistema omogeneo è compatibile, infatti è immediato rendersi conto che se tutti i numeri reali b1 , b2 ,...., bm sono nulli allora la ennupla ordinata di numeri reali che ha tutte le coordinate uguali a zero, (0,0,....,0 ) , soddisfa tutte le m equazioni (1). Ai numeri reali a1,1 , a1, 2 ,...., a1,n , a 2,1 ,...., a m ,n si da il nome di coefficienti del sistema (1) ed ai numeri reali b1 , b2 ,...., bm si da il nome di termini noti del sistema (1). Prima di enunciare alcuni teoremi che risolvono completamente il problema sopra formulato conviene porre alcune definizioni: DEF.0.8.3. Siano: m ed n due numeri interi positivi. Se a è una funzione definita in {1,2,...., m}× {1,2,...., n} ed a valori in R allora si dice anche che a è una matrice reale ad m righe ed n colonne. Se m ed n sono due numeri interi positivi ed a è una matrice reale ad m righe ed n colonne e se, per ogni elemento (i, j ) di {1,2,...., m}× {1,2,...., n} , denotiamo con ai , j il valore che la funzione a assume in a1,1 a1, 2 ....a1,n (i, j ) , allora la matrice a si denota pure col simbolo a 2,1 a 2, 2 ....a 2,n ...................... ...................... a m ,1 a m , 2 ....a m ,n In particolare se è m = n se cioè a ha il numero delle righe uguale al numero delle colonne, allora si dice che a è una matrice reale quadrata di ordine n. DEF.0.8.4. Siano: n un numero intero maggiore di uno, a una matrice reale quadrata di ordine n e (i, j ) 27 un elemento di {1,2,...., n} . Si dice minore complementare di ai , j e si denota col simbolo Ai , j la matrice reale quadrata di ordine 2 n − 1 che è la restrizione di a ad ({1,2,...., n} − {} i ) × ({1,2,...., n} − { j}) . OSSERVAZIONE. 0.8.5. Si noti che se n è un numero intero maggiore di uno, se a è una matrice reale 2 quadrata di ordine n e se (i, j ) è un elemento di {1,2,...., n} , allora possiamo anche dire che il minore complementare di ai , j è quella matrice reale quadrata di ordine n − 1 che si ottiene cancellando nella matrice a la riga i-esima e la colonna j-esima, cancellando cioè la riga e la colonna a cui ai , j appartiene. a1,1 a1, 2 a1,3 a1, 4 Per esempio se a 2,1 a 2, 2 a 2,3 a 2, 4 a3,1 a3, 2 a3,3 a3, 4 è una matrice reale quadrata di ordine quattro si vede facilmente a 4,1 a 4, 2 a 4,3 a 4, 4 a 2, 2 a 2,3 a 2, 4 che è: A1,1 = a3, 2 a3,3 a3, 4 a1,1 a1,3 a1, 4 ed A3, 2 = a 2,1 a 2,3 a 2, 4 , il Lettore farà utile esercizio se scrive i minori a 4, 2 a 4,3 a 4, 4 a 4,1 a 4,3 a 4, 4 complementari di a3,3 e di a 2, 4 . Siamo ora in grado di porre la seguente definizione: DEF.0.8.6. (DEFINIZIONE DI DETERMINANTE). Siano: n un numero intero positivo ed a una matrice reale quadrata di ordine n. Se è n = 1 allora si dice determinante di a e si denota col simbolo det (a ) o col simbolo (a1,1 ) , il numero reale a1,1 . Supponiamo quindi di aver definito il determinante della matrice a di ordine n e di averlo denotato con ⎛ a1,1 a1, 2 ....a1,n ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a 2,1 a 2, 2 ....a 2,n ⎟ ⎟ ⎜ il simbolo det (a ) o con il simbolo ⎜ ...................... ⎟ e sia a′ una matrice reale quadrata di ordine n + 1 , si ⎜ ...................... ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ a n ,1 a n , 2 ....a n ,n ⎟ ⎠ ⎝ ⎛ a1′,1 a1′, 2... ......a1′,n +1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a ′2,1 a ′2, 2 .........a ′2,n +1 ⎟ ⎟ ⎜ dice determinante di a ′ e si denota col simbolo det (a ′) o col simbolo ⎜ ................................. ⎟ il numero rea⎜ ................................. ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ a ′n +1,1 a n′ +1, 2 ....a ′n +1,n +1 ⎟ ⎠ ⎝ le: a1′,1 det ( A1′,1 ) − a1′, 2 det ( A1′, 2 ) + .... + (− 1) 1+ n +1 n +1 a1′,n +1 det ( A1′,n +1 ) = ∑ (− 1) j =1 ⎛ a1,1 a1, 2 a1,3 ⎞ ⎟ ⎛ a1,1 a1, 2 ⎞ ⎜ ⎟ e ⎜ a 2,1 a 2, 2 a 2,3 ⎟ . ESEMPI. 0.8.7. Calcolare ⎜⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝ a 2,1 a 2, 2 ⎠ ⎜⎜ a ⎝ 3,1 a3, 2 a3,3 ⎠ j +1 a1′, j det (A1′, j ) . 28 Per il calcolo del primo determinante proposto, essendo: A1,1 = a 2, 2 ed A1, 2 = a 2,1 è immediato ren- ⎛ a1,1 a1, 2 ⎞ ⎟ = a1,1 a 2, 2 − a1, 2 a 2,1 . dersi conto che è: ⎜⎜ ⎟ ⎝ a 2,1 a 2, 2 ⎠ Per il calcolo del secondo determinante proposto, essendo: A1,1 = A1,3 = a 2,1 a 2, 2 a3,1 a3, 2 a 2, 2 a 2,3 a 3 , 2 a 3, 3 , A1, 2 = a 2,1 a 2,3 a3,1 a3,3 ed ⎛ a1,1 a1, 2 a1,3 ⎞ ⎟ ⎜ a ⎞ ⎛ a 2, 2 a 2,3 ⎞ ⎛a ⎟ − a1, 2 ⎜ 2,1 2,3 ⎟ + è immediato rendersi conto che è: ⎜ a 2,1 a 2, 2 a 2,3 ⎟ = a1,1 ⎜⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ a 3, 2 a 3 , 3 ⎠ ⎝ 3,1 a3,3 ⎠ a a a ⎝ 3,1 3, 2 3,3 ⎠ ⎛ a 2,1 a 2, 2 ⎞ ⎟ = a1,1 a 2, 2 a3,3 − a1,1 a 2,3 a3, 2 − a1, 2 a 2,1 a3,3 + a1, 2 a 2,3 a3,1 + a1,3 a 2,1 a3, 2 − a1,3 a 2, 2 a3,1 . + a1,3 ⎜⎜ ⎟ ⎝ a3,1 a3, 2 ⎠ È ora possibile dimostrare la seguente proposizione: 0.8.8. Siano: n un numero intero maggiore di uno ed a una matrice reale quadrata di ordine n. Se (i, j ) è un elemento di {1,2,...., n} , allora è: det (a ) = ∑ (− 1) ai ,r det (Ai ,r ) =∑ (− 1) n 2 r =1 ⎛ 0 2 ⎛ 3 5 0⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜−1 0 ESEMPI. 0.8.9. Calcolare ⎜ − 1 2 2 ⎟ e ⎜ ⎜ 4 2 1⎟ ⎜ 0 1 ⎝ ⎠ ⎜ 1 0 ⎝ 4 3 0 2 i+r n r =1 r+ j a r , j det (Ar , j ) . 1⎞ ⎟ 2⎟ . 1⎟ ⎟ 2 ⎟⎠ La proposizione 0.8.8 ci permette di scegliere una riga o una colonna per calcolare un determinante, pertanto, per semplificare i calcoli, per il calcolo del primo determinante proposto conviene fissare la prima riga o la terza colonna in ognuna delle quali figura uno zero, noi scegliamo la terza colonna e quindi si ha: ⎛ 3 5 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 3 5⎞ ⎛ 3 5 ⎞ ⎟⎟ = 39 . ⎟⎟ + 1⎜⎜ ⎜ − 1 2 2 ⎟ = −2⎜⎜ 4 2 1 2 − ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎜ 4 2 1⎟ ⎝ ⎠ Seguendo lo stesso criterio adottato per il calcolo del primo determinante proposto per il calcolo del secondo determinante proposto, per semplificare i calcoli, conviene fissare la prima colonna, la seconda colonna o la terza riga in ognuna delle quali figurano due zeri, noi qui scegliamo la seconda colonna e pertanto è: ⎛ 0 2 4 1⎞ ⎟ ⎜ ⎛ −1 3 2⎞ ⎛ 0 4 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ − 1 3⎞ ⎛ − 1 2 ⎞ ⎜ −1 0 3 2⎟ ⎟ + 4⎜ ⎟ = (− 2 − 3) + 4(− 2 − 2 ) = −21 . = − − − 2 0 0 1 1 1 3 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎜ 0 1 0 1⎟ 1 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 2 ⎟⎠ ⎝ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 1 2 2⎠ ⎝ 1 2 2⎠ ⎜ 1 0 2 2⎟ ⎠ ⎝ Il Lettore per esercizio calcoli il primo determinante proposto fissando la seconda riga ed il secondo determinante proposto scegliendo la seconda colonna. Poniamo ora le seguenti altre due definizioni: DEF.0.8.10. Siano: m ed n due numeri interi positivi, a una matrice reale ad m righe ed n colonne, p un numero intero positivo minore o uguale di min{m, n}, {i1 , i2 ,...., i p } un sottoinsieme di {1,2,...., m} costituito da 29 p elementi e { j1 , j 2 ,...., j p } un sottoinsieme di {1,2,...., n} costituito da p elementi. Si dice minore di ordine p estratto da a la restrizione di a ad {i1 , i2 ,...., i p }× {j1 , j 2 ,...., j p }. DEF.0.8.11. Siano: m ed n due numeri interi positivi, a una matrice reale ad m righe ed n colonne, p un numero intero maggiore o uguale a zero e minore o uguale di min{m, n} . Si dice che p è la caratteristica o il rango di a e si scrive car (a ) = p se esiste un minore di ordine p estratto da a che ha determinante diverso da zero e, se esistono minori di ordine p + 1 estratti da a, questi hanno tutti determinante nullo. Per la determinazione della caratteristica di una matrice reale utile è la seguente proposizione: 0.8.12. Siano: m ed n due numeri interi positivi, a una matrice reale ad m righe ed n colonne e p un numero intero maggiore o uguale a zero. Se esiste un minore a ' di ordine p estratto da a che ha determinante diverso da zero ed è nullo il determinante di ogni minore di ordine p + 1 estratto da a che si ottiene aggiungendo ad a ' una riga ed una colonna, allora la caratteristica di a è uguale a p. Siamo ora in grado di studiare il problema 0.8.1, a questo scopo conviene associare al sistema (1) le a1,1 a1, 2 ....a1,n a1,1 a1, 2 ....a1,n b1 a 2,1 a 2, 2 ....a 2,n a 2,1 a 2, 2 ....a 2,n b2 seguenti due matrici: ...................... e ............................... alla prima matrice si da il nome di matrice ...................... ............................... a m ,1 a m, 2 ....a m,n a m ,1 a m , 2 ....a m ,n bm dei coefficienti del sistema (1) e si denota con a ed alla seconda matrice si da il nome di matrice dei coefficienti e dei termini noti del sistema (1) e si denota con b. Ancora per comodità poniamo la seguente altra definizione: ⎧a1,1 x1 + a1, 2 x 2 + .... + a1,n x n = b1 ⎪ ⎪a 2,1 x1 + a 2, 2 x 2 + .... + a 2,n x n = b2 ⎪ DEF.0.8.l3. Siano: n un numero intero positivo e ⎨................................................... un sistema di n e⎪................................................... ⎪ ⎪⎩a n ,1 x1 + a n , 2 x 2 + .... + a n ,n x n = bn quazioni lineari nelle n incognite x1 , x 2 ,...., x n . Se è det (a ) ≠ 0 allora si dice che il sistema considerato è un sistema di CRAMER. Cominciamo quindi con l'enunciare la seguente proposizione: 0.8.14. (TEOREMA E REGOLA DI CRAMER). Siano: n un numero intero positivo e ⎧a1,1 x1 + a1, 2 x 2 + .... + a1,n x n = b1 ⎪ ⎪a 2,1 x1 + a 2, 2 x 2 + .... + a 2,n x n = b2 ⎪ ⎨................................................... un sistema di n equazioni lineari nelle n incognite x1 , x 2 ,...., x n . ⎪................................................... ⎪ ⎪⎩a n ,1 x1 + a n , 2 x 2 + .... + a n ,n x n = bn Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema considerato sia determinato è che sia un sistema di CRAMER. 30 Inoltre se il sistema considerato è un sistema di CRAMER allora la sua soluzione è la ennupla ordinata ⎛ ⎛ a1,1 a1, 2 ....b1 ⎞ ⎞ ⎛ a1,1 b1 ....a1,n ⎞ ⎛ b1 a1, 2 ....a1,n ⎞ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ a 2,1 a 2, 2 ....b2 ⎟ ⎟ ⎜ a 2,1 b2 ....a 2,n ⎟ ⎜ b2 a 2, 2 ....a 2,n ⎟ ⎜ 1 ⎜ 1 ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎟ 1 ⎜ di numeri reali: ⎜ ..................... ⎟ ⎟ . ..................... ⎟,...., ..................... ⎟, ⎜ ⎜ ⎜ det (a ) ⎜ det (a ) ⎜ ...................... ⎟ det (a ) ⎜ ......................⎟ ⎜ ...................... ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ a n ,1 a n , 2 ....bn ⎟ ⎟ ⎜ a n ,1 bn ....a n ,n ⎟ ⎜ bn a n , 2 ....a n ,n ⎟ ⎜ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ Enunciamo ora un teorema che risolve completamente il problema 0.8.1: 0.8.15. (TEOREMA DI ROUCHE'-CAPELLI). Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema (1) sia compatibile è che risulti: car (a ) = car (b ) . Utile per la soluzione di un sistema di equazioni lineari compatibile è la seguente proposizione: 0.8.16. (REGOLA PER RISOLVERE UN SISTEMA COMPATIBILE). Se il sistema (1) è compatibile, se p è quel numero intero positivo per cui è: car (a ) = car (b ) = p e se {i1 , i2 ,...., i p } e {j1 , j 2 ,...., j p } so- no due parti la prima di {1,2,...., m} e la seconda di {1,2,...., n} entrambe costituite da p elementi e tali che la restrizione di a ad {i1 , i2 ,...., i p }× {j1 , j 2 ,...., j p } abbia determinante non nullo, allora, posto: W = {1,2,...., n} − {j1 , j 2 ,...., j p }, si risolve il seguente sistema di CRAMER: ⎧ai1 , j1 x j1 + ai1 , j2 x j2 + .... + ai1 , j p x j p = bi1 − ∑ ai1 , j x j ⎪ j∈W ⎪ ⎪ai2 , j1 x j1 + ai2 , j2 x j2 + .... + ai2 , j p x j p = bi2 − ∑ ai2 , j x j j∈W ⎪⎪ ⎨................................................... ⎪................................................... ⎪ ⎪ai p , j1 x j1 + ai p , j2 x j2 + .... + ai p , j p x j p = bi p − ∑ ai p , j x j ⎪ j∈W ⎪⎩ nelle p incognite x j1 , x j2 ,...., x j p e se t j1 , t j2 ,...., t j p è la soluzione del sistema:di CRAMER sopra considerato, allora la ennupla ordinata di numeri reali, (w1 , w2 ,...., wn ) , con w j = x j se j ∈ W e w j = t js se esiste un e- lemento s di {1,2,...., p} tale che risulti j = j s è una soluzione del sistema (1). Dalle proposizioni 0.8.15 e 0.8.16 conseguono facilmente le seguenti altre due: 0.8.17. Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema (1) sia determinato è che sia: car (a ) = car (b ) = n . 0.8.18. Se il sistema (1) è omogeneo allora condizione necessaria e sufficiente affinché ammetta solo la soluzione avente tutte le coordinate uguali a zero è che risulti: car (a ) = n . OSSERVAZIONE.0.8.l9. Dalle proposizioni 0.8.15 e 0.8.16 consegue facilmente che se un sistema di m equazioni lineari in n incognite è indeterminato allora ammette infinite soluzioni. ESEMPI.0.8.20. ⎧2 x + y + 3 z = 1 ⎪ 1°). Risolvere il seguente sistema: ⎨ x − 2 y + 5 z = 3 . ⎪3x − y + z = 4 ⎩ 31 ⎛2 1 3 ⎞ ⎜ ⎟ Essendo: ⎜1 − 2 5 ⎟ = 2(− 2 + 5) − (1 − 15) + 3(− 1 + 6 ) = 35 , il sistema proposto è un sistema di ⎜3 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ CRAMER, quindi è determinato e la sua soluzione può essere calcolata con la regola di CRAMER, noi qui però calcoleremo la soluzione del sistema proposto per sostituzione: dalla prima delle equazioni del sistema si ha y = 1 − 2 x − 3z e sostituendo tale valore di y nelle altre due equazioni del sistema si ottiene il sistema: ⎧5 x + 11z = 5 che, come è facile vedere è determinato e la sua soluzione è x = 1 e z = 0 , sostituendo tali va⎨ ⎩5 x + 4 z = 5 lori nell'espressione di y prima determinata si ottiene y = −1 , pertanto la soluzione del sistema proposto è la terna ordinata: (1,−1,0) . ⎧2 x + y − z = −3 ⎪ 2°). Al Lettore il compito di far vedere che: ⎨ x + 3 y + z = −5 , ⎪x − y + 2z = 4 ⎩ ⎧x + y + z = 3 ⎧2 x + y − z = 1 ⎪ ⎪ ⎨ x − y + z = −3 e ⎨ x − 3 y + 2 z = −3 ⎪ x + 5 z = −4 ⎪− x + 2 y − 4 z = 2 ⎩ ⎩ sono tre sistemi determinati e la soluzione del primo è la terna ordinata (0,−2,1) , del secondo è la terna ordinata (1,3,−1) e del terzo è la terna ordinata (0,1,0 ) . ⎧x − y + z = 4 ⎪ 3°). Risolvere il seguente sistema: ⎨ x + 3 y − z = −2 ⎪x − 3 y + 2z = 7 ⎩ ⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎛1 − 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛1 1 ⎞ ⎟⎟ = −2 è car ⎜ 1 3 − 1 ⎟ = 2 risu1tano inEssendo: ⎜1 3 − 1 ⎟ = 6 − 3 + 2 + 1 − 3 − 3 = 0 e ⎜⎜ ⎝1 − 1⎠ ⎜ 1 −3 2 ⎟ ⎜1 − 3 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1−1 1 4 ⎞ ⎛1 1 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ o1tre: ⎜1 − 1 − 2 ⎟ = −7 + 4 − 7 − 2 + 4(2 + 1) = 0 e in virtù del teorema 0.8.l2, è: car ⎜ 1 3 − 1 − 2 ⎟ = 2 , il ⎜ 1− 3 2 7 ⎟ ⎜1 2 7 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ sistema proposto è, in virtù del teorema 0.8.15, compatibile ed in virtù del teorema 0.8.16 è indeterminato. ⎛1 1 ⎞ ⎟⎟ = −2 , consideriamo solo Per calcolare le soluzioni del sistema proposto essendo, come già osservato ⎜⎜ ⎝1 − 1⎠ ⎧x + z = 4 + y , sommando membro le prime due equazioni del sistema e scriviamole nel seguente modo: ⎨ ⎩ x − z = −2 − 3 y a membro si ha: 2 x = 2 − 2 y ⇔ x = 1 − y e sottraendo membro a membro si ha: 2 z = 6 + 4 y ⇔ z = 3 + 2 y e pertanto la terna ordinata (1 − y, y,3 + 2 y ) è, per ogni numero reale y, una soluzione del sistema proposto. Al Lettore il compito di risolvere il sistema proposto considerando la prima e la terza equazione e le prime due incognite (portare al secondo membro z) oppure considerando le ultime due equazioni e le ultime due incognite (portare al secondo membro x). ⎧ x + y − 3z = 0 ⎪ 4°). Al Lettore il compito di far vedere che i sistemi: ⎨2 x − y = −9 , ⎪x + 3 y − 7 z = 6 ⎩ ⎧2 x + 2 y + z = 5 ⎪ ⎨2 x + 2 y − z = −1 e ⎪5 x + 5 y − 2 z = −1 ⎩ 32 ⎧3x + y + z = 4 ⎪ ⎨9 x + 2 y + 3 z = 13 sono tutti e tre indeterminati e, per ogni numero reale z, la terna ordinata (z − 3,2 z + 3, z ) ⎪6 x − y + 2 z = 11 ⎩ è una soluzione del primo sistema proposto, per ogni numero reale y, la terna ordinata (1 − y, y,3) è una soluzione del secondo sistema proposto e, per ogni numero reale x, la terna ordinata (x,−1,5 − 3 x ) è una soluzione del terzo sistema proposto. ⎧ x + y − 3z = 1 ⎪ 5°). Al Lettore il compito di far vedere che i sistemi: ⎨2 x − 3 y + 5 z = 0 , ⎪3x − 2 y + 2 z = −1 ⎩ ⎧x + y + z = 2 ⎪ ⎨ x − y + 2 z = −1 e ⎪3x − y + 5 z = 1 ⎩ ⎧ x + 2 y + 3z = 6 ⎪ ⎨ x − 2 y + 2 z = 3 sono tutti e tre incompatibili. ⎪ x − 6 y + z = −1 ⎩ ⎧ 2 x + y + z + t = −1 e indeterminato e, per ogni 6°). Al Lettore il compito di far vedere che il sistema: ⎨ ⎩ x + y − 2 z − 2t = 0 elemento ( z , t ) di R 2 , la quaterna ordinata di numeri reali (− 1 − 3z − 3t ,1 + 5 z + 5t , z , t ) è una soluzione del sistema proposto. §.0.9. RAPPRESENTAZIONE DI R 3 NELLO SPAZIO,INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DEI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI IN TRE INCOGNITE. Denotiamo con S lo spazio, diciamo quindi 0 un punto di S e t1 , t 2 e t 3 tre rette di S a due a due perpendicolari e passanti per 0. Per ogni elemento i di {1,2,3} sia U i un punto di t i distinto da 0, consideriamo quindi su t i la rappresentazione dell'insieme R dei numeri reali con origine in 0 e punto unità U i e, se P è un punto di S, diciamo x P ,i , l'ascissa del punto che la retta t i ha in comune col piano di S passante per P e perpendicolare a t i . Ciò premesso consideriamo la funzione τ : P ∈ S → (x P ,1 , x P , 2 , x P ,3 ) ∈ R 3 , è immediato rendersi conto che τ è una funzione biunivoca di S su R 3 , una tale funzione si dice la rappresentazione di R 3 sullo spazio S con origine in 0 e punti unità U 1 , U 2 ed U 3 , o, come suole dirsi, su S è stato fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine 0 e punti unità U 1 , U 2 ed U 3 . In questo modo ad ogni punto P dello spazio S resta associata una terna ordinata di numeri reali (x, y, z ) , x, y e z si dicono le coordinate di P, in particolare x si dice l'ascissa di P, y l'ordinata di P e z la quota di P, viceversa se (x, y, z ) è una terna ordinata di numeri reali esiste un solo punto di S avente x per ascissa, y per ordinata e z per quota. Per tale ragione una volta fissato su S un sistema di assi cartesiani ortogonali, noi parleremo indifferentemente di punti di S o di terne ordinate di numeri reali. Spesso quando si fissa un sistema di assi cartesiani ortogonali su S non si segnano esplicitamente i punti unità U 1 , U 2 ed U 3 , in tale caso per denotare le semirette di t1 , t 2 e t 3 con origine in 0 dove sono ubicati, rispettiva mente, i punti U 1 , U 2 ed U 3 si suole designare tali semirette con una freccia così come indicato in figura. 33 È ora possibile dimostrare la seguente proposizione analoga alla proposizione 0.6.7: 0.9.1. Su uno spazio S sia fissato un sistema di, assi cartesiani ortogonali e sia π una parte di S. Condizione necessaria e sufficiente affinché π sia un piano dello spazio S è che esistano quattro numeri reali, a, b, c e d, con a, b e c non contemporaneamente uguali a zero, tali che, per ogni elemento (x, y, z ) di π risulti: ax + by + cz + d = 0 . La proposizione 0.9.1 legittima la seguente definizione: DEF.0.9.2. (EQUAZIONE DEL PIANO). Siano: S uno spazio su cui è stato fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali ed a, b, c e d quattro numeri reali con a, b e c non contemporaneamente nulli. Se poniamo: π = {( x, y, z ) ∈ R 3 , ax + by + cz + d = 0}, allora l'uguaglianza ax + by + cz + d = 0 si chiama l'equazione del piano π . Sia ora m un numero intero positivo e, per ogni elemento i di {1,2,...., m} , denotiamo con ai , bi , ci e d i quattro numeri reali con ai , bi e ci non contemporaneamente uguali a zero, consideriamo quindi il seguente ⎧a1 x + b1 y + c1 z = d1 ⎪a x + b y + c z = d 2 2 2 ⎪⎪ 2 sistema: ⎨............................... e osserviamo che se S è uno spazio su cui è stato fissato un sistema di assi ⎪............................... ⎪ ⎪⎩a m x + bm y + c m z = d m cartesiani ortogonali e se, per ogni elemento i di {1,2,...., m} , denotiamo con π i il piano di S di equazione ai x + bi y + ci z − d i = 0 sussistono le seguenti equivalenze: a) Il sistema considerato è incompatibile ⇔ π 1 I π 2 I .... I π m = ∅ ⇔ Per ogni elemento (x, y, z ) di R esiste almeno un elemento i di {1,2,...., m} tale che il piano π i non passa per il punto (x, y, z ) . b) Il sistema considerato è determinato e la sua soluzione è (x , y , z ) ⇔ π 1 I π 2 I .... I π m = 3 = {( x , y , z )} ⇔ Esiste un solo elemento ( x , y , z ) di R 3 tale che, per ogni elemento i di {1,2,...., m} , il piano π i passa per il punto (x , y , z ) . c) Il sistema considerato è indeterminato ⇔ L’insieme π 1 I π 2 I .... I π m o è una retta di S o è un piano di S ⇔ Esiste una sola retta di S giacente, per ogni elemento i di {1,2,...., m} , sul piano π i o esiste un piano π di S tale che, per ogni elemento i di {1,2,...., m} , risulta: π i = π . §.0.10. STRUTTURA VETTORIALE DI R k . Se si definiscono le seguenti due funzioni: (a, (x1 , x2 ,...., xk )) ∈ R × R k → a(x1 , x2 ,...., xk ) = (ax1 , ax2 ,...., axk ) ∈ R k e ((x1 , x 2 ,...., x k ), ( y1 , y 2 ,...., y k )) ∈ R × R → (x1 , x 2 ,...., x k ) + ( y1 , y 2 ,...., y k ) = (x1 + y1 , x 2 + y 2 ,...., x k + y k ) ∈ R k k k che prendono rispettivamente il nome di prodotto di un numero reale per un elemento di R k e di somma di due elementi di R k , allora R k prende anche il nome di spazio vettoriale a k dimensioni e quindi ogni elemento di R k si chiama pure vettore reale a k componenti, conseguentemente le coordinate dell'elemento (x1 , x2 ,...., xk ) di R k si chiamano pure le componenti del vettore (x1 , x2 ,...., xk ) . 34 È immediato rendersi conto che se ( x1 , x 2 ,...., x k ), ( y1 , y 2 ,...., y k ) e ( z1 , z 2 ,...., z k ) sono tre elementi di k R ed a e b due numeri reali si ha: 1°). ( x1 , x 2 ,...., x k ) + ( y1 , y 2 ,...., y k ) = ( y1 , y 2 ,...., y k ) + ( x1 , x 2 ,...., x k ) proprietà commutativa della somma. 2°). (( x1 , x 2 ,...., x k ) + ( y1 , y 2 ,...., y k )) + ( z1 , z 2 ,...., z k ) = ( y1 , y 2 ,...., y k ) + (( x1 , x 2 ,...., x k ) + ( z1 , z 2 ,...., z k )) proprietà associativa della somma. 3°). ( x1 , x 2 ,...., x k ) + (− x1 ,− x 2 ,...., − x k ) = (0,0,....,0 ) . 4°). ( x1 , x 2 ,...., x k ) + (0,0,....,0 ) = ( x1 , x 2 ,...., x k ) . 5°). a (( x1 , x 2 ,...., x k ) + ( y1 , y 2 ,...., y k )) = a( x1 , x 2 ,...., x k ) + a ( y1 , y 2 ,...., y k ) . 6°). (a + b )( x1 , x 2 ,...., x k ) = a( x1 , x 2 ,...., x k ) + b( x1 , x 2 ,...., x k ) . 7°). (ab )( x1 , x 2 ,...., x k ) = a(b( x1 , x 2 ,...., x k )) . 8°). 1( x1 , x 2 ,...., x k ) = ( x1 , x 2 ,...., x k ) e (− 1)( x1 , x 2 ,...., x k ) = −( x1 , x 2 ,...., x k ) = (− x1 ,− x 2 ,....,− x k ) . È anche immediato rendersi conto che, in virtù delle uguaglianze l°) e 2°), se n è un numero intero maggiore di due ed (x1,1 , x 2,1 ,...., x k ,1 ), (x1, 2 , x 2, 2 ,...., x k , 2 ),...., (x1, n , x 2 ,n ,...., x k , n ) sono n vettori reali a k componenti può definirsi la somma degli n vettori considerati ponendo: (x 1,1 , x 2,1 ,...., x k ,1 ) + (x1, 2 , x 2, 2 ,...., x k , 2 ) + .... + (x1, n , x 2, n ,...., x k ,n ) = ∑ (x1,i , x 2 ,i ,...., x k ,i ) = n i =1 ⎞ ⎛ = ⎜ ∑ x1,i ,∑ x 2,i ,...., ∑ x k ,i ⎟ . i =1 i =1 ⎠ ⎝ i =1 n n n Osserviamo in fine che l'uguaglianza 4°) legittima il nome di elemento neutro rispetto alla somma al vettore di R k che ha tutte le coordinate uguali a zero e l'uguaglianza 3°) legittima il nome di vettore opposto del vettore ( x1 , x 2 ,...., x k ) al vettore (− x1 ,− x 2 ,....,− x k ) = −( x1 , x 2 ,...., x k ) . Poniamo ora la seguente definizione: DEF.0.10.1. Siano: n un numero intero positivo, {(a 1,1 , a 2,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2, 2 ,....a k , 2 ),...., (a1,n , a 2,n ,...., a k ,n )} un sottoinsieme di R k costituito da n elementi ed x1 , x 2 ,...., x n n numeri reali. Si dice che gli n vettori (a1,1 , a 2 ,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2, 2 ,...., a k , 2 ),...., (a1,n , a 2, n ,...., a k , n ) sono linearmente indipendenti se condizione necessaria e sufficiente affinché risulti: (*) x1 (a1,1 , a 2,1 ,...., a k ,1 ) + x 2 (a1, 2 , a 2, 2 ,...., a k , 2 ) + .... + x n (a1, n , a 2, n ,...., a k ,n ) = (0,0,....,0 ) è che sia: x1 = x 2 = .... = x n = 0 . Se gli n vettori (a1,1 , a 2 ,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2, 2 ,...., a k , 2 ),...., (a1,n , a 2, n ,...., a k , n ) non sono linearmente indipendenti allora si dice pure che sono linearmente dipendenti. OSSERVAZIONE. 0.10.2. Si noti che se A è una parte di R k costituita da un numero finito di vettori linearmente indipendenti allora ad A non appartiene il vettore di R k avente tutte le coordinate nulle. D'immediata verifica è la seguente proposizione: 0.10.3. Siano: n un numero intero positivo ed A una parte di R k costituita da n elementi. Se gli n vettori di A sono linearmente indipendenti, se h è un numero intero positivo minore o uguale di n e se A′ è una parte di A costituita da h elementi, allora gli h vettori che costituiscono A′ sono ancora line- 35 armente indipendenti. OSSERVAZIONE.0.10.4. Si noti che l'uguaglianza (*) è evidentemente equivalente al seguente siste⎧a1,1 x1 + a1, 2 x 2 + .... + a1,n x n = 0 ⎪ ⎪a 2,1 x1 + a 2, 2 x 2 + .... + a 2,n x n = 0 ⎪ ma omogeneo di k equazioni 1ineari nelle n incognite x1 , x 2 ,...., x n : ⎨................................................... .,quindi ⎪................................................... ⎪ ⎪⎩a k ,1 x1 + a k , 2 x 2 + .... + a k ,n x n = 0 da quanto affermato nell'osservazione 0.10.4 ed in virtù della proposizione 0.8.18 consegue facilmente la seguente altra proposizione: 0.10.5 Siano: n un numero intero positivo e {(a 1,1 , a 2,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2, 2 ,...., a k , 2 ),...., (a1,n , a 2 ,n ,...., a k , n )} un sottoinsieme di R k costituito da n elementi. Condizione necessaria e sufficiente affinché gli n vettori (a 1,1 , a 2 ,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2, 2 ,...., a k , 2 ),.. ⎛ a1,1 a1, 2 ....a1,n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 2,1 a 2, 2 ....a 2,n ⎟ ⎜ ⎟ .., (a1,n , a 2 ,n ,...., a k ,n ) siano linearmente indipendenti è che risulti: car ⎜ ........................ ⎟ = n ⎜ ........................ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a k ,1 a k , 2 ....a k ,n ⎟ ⎝ ⎠ Conseguentemente se è n > k allora gli n vettori (a1,1 , a 2 ,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2 , 2 ,...., a k , 2 ),...., (a1, n , a 2,n ,.. .., a k , n ) sono linearmente dipendenti. a1,1 a1, 2 ....a1,k a 2,1 a 2, 2 ....a 2,k OSSERVAZIONE.0.10.6. Si noti ora che, in virtù della proposizione 0.10.5, se ........................ è una ........................ a k ,1 a k , 2 ....a k ,k matrice quadrata di ordine k avente determinante diverso da zero, allora i k vettori (a1,1 , a 2,1 ,...., a k ,1 ), (a 1, 2 , a 2 , 2 ,...., a k , 2 ),...., (a1,k , a 2 ,k ,...., a k ,k ) sono linearmente indipendenti, quindi, in virtù della proposizione 0.10.3, possiamo asserire che per ogni numero intero positivo h minore o uguale di k esistono h vettori di R k linearmente indipendenti. Dalla proposizione 0.8.14 consegue facilmente la seguente altra: 0.10.7. Siano: (a1,1 , a 2,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2, 2 ,...., a k , 2 ),...., (a1,k , a 2,k ,...., a k ,k ) k elementi di R k e (b1 , b2 ,.. .., bk ) un vettore reale a k componenti. Se i k vettori (a1,1 , a 2,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2, 2 ,...., a k , 2 ),...., (a1,k , a 2,k ,...., a k ,k ) sono linearmente indipendenti, ( allora esiste. un solo elemento b1' , b2' ,...., bk' ) .., a k , 2 ) + .... + bk' (a1,k , a 2,k ,...., a k ,k ) = (b1 , b2 ,...., bk ) di R k tale che risulti: b1' (a1,1 , a 2,1 ,...., a k ,1 ) + b2' (a1, 2 , a 2, 2 ,.. La proposizione 0.10.7 sopra enunciata legittima la seguente definizione: DEF.0.10.8. Siano: {(a1,1 , a 2 ,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2, 2 ,...., a k , 2 ),...., (a1,k , a 2,k ,...., a k ,k )} una parte di R k costitui- 36 ta da k elementi e (b1 , b2 ,...., bk ) un vettore reale a k componenti. Se i k vettori (a1,1 , a 2,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2, 2 ,...., a k , 2 ),...., (a1,k , a 2,k ,...., a k ,k ) sono linearmente indipendenti al- lora si dice che l'insieme {(a1,1 , a 2 ,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2, 2 ,...., a k , 2 ),...., (a1,k , a 2,k ,...., a k ,k )} è una base di R k e l'ele- ( ) mento b1' , b2' ,...., bk' di R k per cui si ha b1' (a1,1 , a 2,1 ,...., a k ,1 ) + b2' (a1, 2 , a 2, 2 ,..., a k , 2 ) + .... + bk' (a1,k , a 2, k ,..., a k ,k ) = = (b1 , b2 ,...., bk ) {(a 1,1 si chiama la rappresentazione del vettore (b1 , b2 ,...., bk ) ( , a 2 ,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2, 2 ,...., a k , 2 ),...., (a1,k , a 2,k ,...., a k ,k )} ed i numeri reali b , b ,...., b ordinate del vettore .., a k ,k )} . (b1 , b2 ,...., bk ) rispetto alla base {(a 1,1 ' 1 ' 2 ' k rispetto alla base ) si chiamano le co- , a 2,1 ,...., a k ,1 ), (a1, 2 , a 2, 2 ,...., a k , 2 ),...., (a1,k , a 2,k ,.. ESERCIZI.0.10.9. l°). Verificare che il sottoinsieme di R 3 {(2,1,1), (1,2,1), (1,1,2 )} è una base di R 3 e determinare poi le coordinate del vettore (− 1,0,−3) rispetto alla base {(2,1,1), (1,2,1), (1,1,2 )}. 2°). Verificare che i due vettori di R 3 (0,1,1) e (1,0,1) sono linearmente indipendenti, determinare quindi il vettore (a, b, c ) di R 3 tale che {(0,1,1), (1,0,1), (a, b, c )} sia una base di R 3 ed il vettore (1,2,−3) abbia per rappresentazione rispetto alla base {(0,1,1), (1,0,1), (a, b, c )} la terna (0,2,1) . 3°). Verificare che i quattro vettori di R 4 (1,2,3,4 ), (0,1,2,1), (1,1,1,1) e (2,4,6,6 ) sono linearmente dipendenti mentre i vettori (1,2,3,4 ), (0,1,2,1) e (1,1,1,1) sono linearmente indipendenti. 4°). Per quali valori del parametro a l'insieme {(a,1,1), (1, a,1), (1,1, a )} è una base di R 3 . Risolvere quindi al variare del parametro a il seguente sistema: x(a,1,1) + y (1, a,1) + z (1,1, a ) = = (− 5,10,−5) .