Economicamente - Università degli Studi Mediterranea

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN ECONOMIA (LM-56)
MATEMATICA PER LE SCIENZE
ECONOMICHE
LE DECISIONI AZIENDALI DI LUNGO PERIODO
Prof. Massimiliano FERRARA
Università Mediterranea di Reggio Calabria, DiGiEc, LM-56, MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE
Corso di Laurea Magistrale in Economia (LM-56)
Matematica per le Scienze Economiche
AGENDA




Elementi di matematica finanziaria
Valutazione o analisi degli investimenti
Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
Criteri di valutazione degli investimenti
•
•
Valutazione di progetti indipendenti
Scelta tra progetti alternativi
o In presenza di vincoli sulle risorse
o Di diversa durata
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ELEMENTI DI MATEMATICA
FINANZIARIA
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Corso di Laurea Magistrale in Economia (LM-56)
Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
ARGOMENTI
•
•
•
•
•
•
Valore temporale del capitale e costo opportunità del capitale
Capitalizzazione, valore futuro e composizione degli interessi
Attualizzazione e valore attuale
Rendita annua (annuity) e rendita perpetua (perpetuity)
Piano di ammortamento del debito
Tasso annuo nominale (TAN), tasso annuo effettivo (TAE) e tasso annuo effettivo globale
(TAEG)
• Tassi di interesse non costanti
• Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
VALORE TEMPORALE DEL CAPITALE
1 € di oggi vale più, meno o come 1 € tra un anno?
 Valore temporale del capitale (time value of money)
1 € disponibile oggi può essere investito per generare nel
futuro un ritorno positivo; pertanto 1 € disponibile oggi vale
di più di 1 € disponibile domani (primo principio della
finanza)
 Ad esempio, se è possibile investire € 100 al 10% annuo, €
100 oggi diventano € 110 tra un anno
C * (1+r)
C
 In generale, se r è il tasso di interesse annuo e C il capitale
disponibile oggi per l’investimento, in un anno
l’investimento cresce di (1 + r) per ogni € investito. In
formule C oggi → C * (1 + r) tra un anno
t
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t+1
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
COSTO OPPORTUNITÀ DEL CAPITALE
 Costo opportunità del capitale (opportunity cost of capital)
È definito come il miglior rendimento alternativo a cui si rinuncia quando viene
effettuato un investimento
• È utile per capire come rendere “omogenei” e quindi confrontabili flussi di cassa con
manifestazione in momenti diversi
Esempio
Vi propongono due opportunità di investimento
• Investire € 100.000 oggi in un progetto per avere tra un anno un ritorno atteso di €
110.000
• Investire in titoli di stato al tasso annuo del 3%
Investendo nel progetto avete un rendimento atteso del 10%, ma rinunciate al rendimento
offerto dall’impiego alternativo del capitale (3%), che pertanto costituisce il vostro costo
opportunità del capitale
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Elementi di matematica finanziaria
COSTO OPPORTUNITÀ DEL CAPITALE:
UN’APPLICAZIONE 1/4
Si consideri un progetto di acquisto per € 30.000 di una Radio con l’obiettivo di svilupparne
l’attività e il prestigio e poterla rivendere dopo un anno. Si ipotizzi che
• Il pagamento della Radio sia contestuale all’acquisto
• Il progetto preveda l’assunzione di un giovane e bravo DJ
• La remunerazione del DJ e gli altri costi di gestione ammontino complessivamente per il
periodo a € 15.000 e i suddetti costi debbano essere pagati anticipatamente
• La Radio possa essere rivenduta, dopo un anno, per € 47.000 (esiste già un acquirente
affidabile disposto a pagare questo prezzo)
In questa situazione la semplice somma algebrica dei flussi di cassa che descrivono
l’investimento produce un risultato apparentemente positivo
Fonte: “Sistemi di controllo”, Anthony et al.
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Elementi di matematica finanziaria
COSTO OPPORTUNITÀ DEL CAPITALE:
UN’APPLICAZIONE 2/4
Incasso da cessione della Radio (A)
47.000
Esborso per l’acquisto della Radio (B)
30.000
Esborsi per il DJ e gli altri costi di gestione (C) 15.000
Esborso totale (D = B + C)
45.000
Differenza tra incassi ed esborsi (E = A – D)
2.000
 Poiché i flussi di cassa hanno manifestazione temporale diversa, non ha nessun significato
effettuare una semplice somma algebrica per valutare la convenienza dell’investimento.
• Infatti, 1 € disponibile oggi vale più di 1 € disponibile domani
 Il problema si risolve rendendo “omogenei” i due flussi, convertendoli in flussi di cassa
confrontabili, dunque come se avessero tutti manifestazione nel medesimo istante
Fonte:“Sistemi di controllo”, Anthony et al.
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Elementi di matematica finanziaria
COSTO OPPORTUNITÀ DEL CAPITALE:
UN’APPLICAZIONE 3/4
Incasso da cessione
Esborso per l’acquisto della Radio
Esborso per il DJ e altri costi di gestione
Esborsi totali
Risultato economico
In € all’istante
Tasso di
In € di un
iniziale
capitalizzazione anno dopo
47.000
30.000
→1,05→
31.500
15.000
→1,05→
15.750
45.000
47.250
- 250
 Come è stato determinato il fattore di conversione o tasso di capitalizzazione
presente nella tabella che converte € disponibili oggi in € disponibili domani?
 È stato necessario verificare il rendimento di investimenti alternativi,
comparabili, in termini di rischio e durata, al Progetto Radio
Fonte:“Sistemi di controllo”, Anthony et al.
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Elementi di matematica finanziaria
COSTO OPPORTUNITÀ DEL CAPITALE:
UN’APPLICAZIONE 4/4
 In particolare, si ipotizzi che il rendimento che si otterrebbe investendo sui mercati
finanziari in un progetto alternativo avente lo stesso livello di rischio del Progetto
Radio, ossia il costo opportunità del capitale, sia del 5%
 Se impiegassimo oggi i € 45.000 necessari al progetto (€ 30.000 + € 15.000) e li
investissimo nel progetto alternativo, fra un anno disporremmo di una somma pari a
€ 45.000 * (1 + 0,05) = € 47.250
 In sintesi, non conviene investire nel Progetto Radio perché l’entrata di cassa di € 47.000
generata dopo un anno dall’impiego del denaro (€ 45.000 ) risulta inferiore all’ammontare di
€ 47.250, costituito dall’esborso iniziale di € 45.000 più il
corrispondente costo opportunità di € 2.250, di cui disporremmo
dopo un anno investendo nel progetto alternativo
Fonte:“Sistemi di controllo”, Anthony et al.
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Elementi di matematica finanziaria
VALORE FUTURO
 Valore futuro (future value, VF)
Il valore futuro è il montante ad una data futura di un capitale disponibile oggi come
conseguenza della maturazione degli interessi
Esempio - 1 periodo
Investite € 1.000 al 12% annuo. Qual è il valore futuro tra un anno?
VF = € 1.000 * (1 + 0,12) = € 1.120
determinato dalla somma iniziale di € 1.000 più € 120 di interessi (12% € 1000
= € 120)
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Elementi di matematica finanziaria
COMPOSIZIONE DEGLI INTERESSI 1/4
 Composizione degli interessi (compounding)
Qual è il valore futuro di € 1.000 investiti per 2 anni al 12% annuo?
• Dopo un anno avete € 1.120 [€ 1.000 * (1 + 0,12)]
• Questa somma viene investita per un altro anno, sempre al 12%.
Alla fine del secondo anno avete pertanto
VF = € 1.120 *(1 + 0,12) = € 1.000 * (1 + 0,12) * (1 + 0,12) = € 1.254,4
• Nel secondo periodo la crescita del capitale è pari a € 1.254,4 – € 1.120 = € 134,4
così composto:
o12% sulla somma iniziale (€ 1.000)
=€120,0
1.000
120
134,4
1.000
o12% sugli interessi del primo anno (€ 120)= €14,4
120
1.000
€134,4
t
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t+1
t+2
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Elementi di matematica finanziaria
COMPOSIZIONE DEGLI INTERESSI 2/4
•
•
In altre parole, il calcolo degli interessi viene effettuato anche sugli interessi maturati
nei periodi precedenti
E perciò, in generale, se si investe ad un tasso annuo r per t anni, il valore futuro di
ogni € investito è pari a
(1 +r)*(1 + r)*….*(1 + r) = (1 +r) t
t volte
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COMPOSIZIONE DEGLI INTERESSI 3/4
Esempio
Interessi su € 1000 dopo t anni (€)
t= 1
t= 5
t= 10
t= 20
100
610.5
1,583.7
5,727.5
200
1,488.0
5,191.7
37,337.6
2x
2.4x
3.3x
6.5x
r
10%
20%
€ 50.000
Il calcolo degli
interessi viene
effettuato anche
sugli
interessi
maturati nei
periodi
precedenti
€ 45.000
€ 40.000
€ 35.000
€ 30.000
r=20%
€ 25.000
r=10%
€ 20.000
€ 15.000
€ 10.000
€ 5.000
€0
t1
t5
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t10
t20
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Elementi di matematica finanziaria
COMPOSIZIONE DEGLI INTERESSI 4/4

Regime di capitalizzazione semplice e regime di capitalizzazione composta
a. Interesse composto – di periodo in periodo gli interessi maturano anche sugli
interessi maturati precedentemente (v. supra)
Ad esempio, in regime di capitalizzazione composta il valore futuro di € 1.000
investiti al 12% annuo per 6 anni è
VF = € 1.000 * (1 + 0,12)6 = € 1.973,8
b. Interesse semplice – gli interessi vengono calcolati solamente sulla somma iniziale
Ad esempio, in regime di capitalizzazione semplice il valore futuro di € 1.000
investiti al 12% annuo per 6 anni è
VF = € 1.000 * (1 + 0,12 * 6) = € 1.720
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Elementi di matematica finanziaria
VALORE ATTUALE 1/3
 Attualizzazione e valore attuale
Il valore attuale è il valore oggi di una somma di capitale disponibile nel futuro
Esempio - Attualizzazione - 1 periodo
•
Quanto si deve investire oggi con un tasso annuo dell’11% per ottenere € 2.000 tra un anno?
•
La risposta a questa domanda è il valore attuale di € 2.000 tra un anno all’11%
•
Sappiamo dalle formule del valore futuro che VA * (1 + 0,11) = € 2.000
•
Pertanto VA =
€2000
(1+0,11)
= €1801,8
Esempio - Attualizzazione - t periodi
• Per ottenere € 2.000 tra 5 anni? VA * (1 + 0,11)5 = € 2.000 ⇒ VA =
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€2000
1+0,11
5
= €1186,9
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Elementi di matematica finanziaria
VALORE ATTUALE 2/3
 Attualizzazione e valore attuale
VF = VA * (1 + r)t
• Quattro variabili: VF, VA, r, t
• Date 3 qualsiasi di esse è possibile risolvere per la quarta
r = (VF/VA)1/t – 1
t=
𝑙𝑛𝑉𝐹−𝑙𝑛𝑉𝐴
ln(1+𝑟)
VA =
𝑉𝐹
1+𝑟
=
ln(𝑉𝐹−𝑉𝐴)
ln(1+𝑟)
𝑡
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Elementi di matematica finanziaria
VALORE ATTUALE 3/3
Esempio
•
Se il vostro investimento raddoppia in 5 anni, qual è il tasso annuo?
r = (2/1)1/5 – 1 = 0,1487
•
= 14,87%
Ad un tasso del 30% quanto tempo ci vuole affinché l’investimento raddoppi?
t = ln(2/1) / ln(1,3)= 2,64 anni
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Elementi di matematica finanziaria
VALORE FUTURO E VALORE ATTUALE
Future Value (FV)
Valore Attuale (VA)
10.00
1.00
6.00
r = 10%
4.00
r = 5%
PV Factor
FV Factor
0.80
0.80
r = 15%
8.00
0.60
r = 5%
0.40
r = 10%
0.20
0.20
2.00
r = 15%
r = 15%
0.00
0.00
0.00
0
5
10
Time
15
0
5
10
15
Time
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
FLUSSI DI CASSA MULTIPLI
Flussi di cassa multipli
Esempio
r = 9% con flussi di cassa alla fine del periodo
Anno
Flusso (€)
1
4
6
2.500
900
3.600
Qual è il VA della serie e qual è il VF dopo 7 anni?
2500
900
3600
VA =
+
+
1
4
6 = 5077,7
1,09
1,09
1,09
VF = 2.500 * (1 + 0,09)6 + 900 * (1 + 0,09)3 + 3.600 * (1 + 0,09)1 = 9.282,3 =
VA * (1 + r)t = 5.077,7 * (1 + 0,09)7 = 9.282,3
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Elementi di matematica finanziaria
ANNUITY 1/6
 Annuity (Rendita Annua)
Serie di flussi di cassa costanti percepiti ad intervalli regolari (ogni anno) per un certo
periodo di tempo
• Qual è il VA di una serie di flussi costanti C per T anni al tasso r ?
𝑉𝐴 =
𝐶
1+𝑟
1 +
𝐶
1+𝑟
2 +
𝐶
1+𝑟
3 + ⋯+
𝐶
(1+𝑟)𝑇−1
+
𝐶
1+𝑟
𝑇
(1)
Moltiplicando per (1 + r)
1 + 𝑟 ∗ 𝑉𝐴 = 𝐶 +
𝐶
1+𝑟
1 +
𝐶
1+𝑟
2 + ⋯+
𝐶
(1+𝑟)𝑇−2
+
𝐶
(1+𝑟)𝑇−1
(2)
Sottraendo la (1) dalla (2) si ottiene
r ∗ 𝑉𝐴 = 𝐶 −
𝐶
1+𝑟
𝑇
⇒ 𝑉𝐴 =
𝐶
𝑟
𝐶
𝑟
− ∗
𝐶
(1+𝑟)𝑇
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Elementi di matematica finanziaria
ANNUITY 2/6
Valore futuro di una annuity
Partendo dalla formula appena calcolata
𝑉𝐴 =
𝐶
𝑟
−
𝐶
𝑟
∗
1
(1+𝑟)𝑇
𝐹𝑉 = 𝑉𝐴 ∗ (1 + 𝑟)𝑇
𝐶
𝑟
= ∗ (1 + 𝑟)𝑇 −
𝐶
𝑟
𝐶
𝑟
= ∗ ((1 + 𝑟)𝑇 − 1)
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Elementi di matematica finanziaria
ANNUITY 3/6
Numero di pagamenti / flussi di cassa di una annuity
Partendo dalla formula appena calcolata
𝑉𝐴 =
𝐶
𝑟
−
𝐶
𝑟
∗
1
(1+𝑟)𝑇
𝐹𝑉 = 𝑉𝐴 ∗ (1 + 𝑟)𝑇
𝐶
𝑟
= ∗ (1 + 𝑟)𝑇 −
𝐶
𝑟
𝐶
𝑟
= ∗ ((1 + 𝑟)𝑇 − 1)
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Elementi di matematica finanziaria
ANNUITY 4/6
Annuity
Valore Attuale
Valore Futuro
Numero di pagamenti
Flussi di cassa
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Elementi di matematica finanziaria
ANNUITY 5/6
Esempi
Qual è il VA di un’annuity della durata di 6 anni con pagamenti di € 4.000 al tasso r = 8%?
VA = (C/r) * [1 – 1/(1+r)T] = (4.000/0,08) * [1 – 1/(1 + 0,08)6] = € 18.491,5
C = 4.000 r = 0,08 T = 6
Prendete a prestito € 30.000 oggi al tasso del 12% e scegliete di ripagarlo con un’annuity di
10 anni
Qual è il pagamento annuale?
30.000 = (C/0,12) * [1 – 1/(1 + 0,12)10] ⇒ C = 30.000/5,65 = € 5.309,5
C = 30.000 r = 0,12 T = 10
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ANNUITY 6/6
Esempio
Valore attuale dei rimborsi
• Miss Smart accetta di ripagare il suo prestito bancario in 24 rate mensili da € 500
ciascuna.
Se il tasso di interesse applicato dalla banca è dello 0,75% su base mensile, qual è il valore
attuale della serie di pagamenti?
VA = (C/r) * [1 – 1/(1+r)T]
VA24 = (500/0,0075) * [1-1/(1,0075)24] = € 10.944,57
C = 500 r = 0,0075 T = 24
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Elementi di matematica finanziaria
GROWING ANNUITY 1/2
Growing annuity (Rendita annua a rendimento crescente)
Se in una annuity il flusso di cassa Ct (t = 1 … T) cresce ad un tasso costante g, se cioè
C1
C2 = C1 * (1 + g) C3 = C2 * (1+g)
…
CT = CT-1 * (1 + g) = C1 * (1 + g)T-1
l’annuity è denominata a rendimento crescente e il suo valore attuale è
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GROWING ANNUITY 2/2
Esempio
Si consideri il caso di una miniera d’oro in cui abbiamo il diritto di estrarre oro per i prossimi
20 anni. Si prevede di estrarre 5.000 once d’oro all’anno. Il prezzo dell’oro oggi (t = 0) è di
400 €/oncia ma ne si stima un tasso di crescita del 3% all’anno. Il tasso di sconto è pari al
10%
Calcolare il VA della rendita annua a rendimento crescente
𝐶1
𝐶1
(1 + 𝑔)𝑇
𝑉𝐴 =
−
∗
𝑟 − 𝑔
𝑟 − 𝑔 (1 + 𝑟)𝑇
2.060.000
2.060.000 (1 + 0,03)20
𝑉𝐴 =
−
∗
= €21.527.973
0,10 − 0,03
0,10 − 0,03 (1 + 0,10)20
C1 = 400 * (1 + 0,03) * 5.000 r = 0,10 g=0,03 T = 20
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PERPETUITY 1/2
 Perpetuity (rendita perpetua)
Si tratta di un’annuity con flussi di cassa che continuano all’infinito
𝑉𝐴 =
𝐶
(1+𝑟)1
+
𝐶
(1+𝑟)2
+
𝐶
(1+𝑟)3
+⋯
(1)
moltiplicando per (1+ r) si ottiene
(1 + 𝑟) ∗ 𝑉𝐴 = 𝐶 +
𝐶
(1+𝑟)1
+
𝐶
(1+𝑟)2
+⋯
(2)
sottraendo la (1) dalla (2) otteniamo
𝐶
𝑟 ∗ 𝑉𝐴 = 𝐶 ⟹ 𝑉𝐴 =
𝑟
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PERPETUITY 2/2
Esempi
Qual è il VA di una perpetuity con pagamenti di € 4.000 nell’ipotesi di un tasso di interesse r
= 8%?
C = 4000 r = 0,08
VA = C/r = 4.000/0,08 = € 50.000
Quanto vale un’obbligazione irredimibile (che non scade mai) che paga una cedola del 6%
nell’ipotesi di un tasso di interesse pari al 9%?
C = 6%*1000 r = 0,09
VA = C/r = 60/0,09 = € 667
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GROWING PERPETUITY 1/2
Growing perpetuity (rendita perpetua a rendimento crescente)
Se in una perpetuity il flusso di cassa Ct (t = 1 … T) cresce ad un tasso costante g per sempre,
se cioè
C1
C2 = C1 * (1 + g) C3 = C2 * (1+g)
…
CT = CT-1 * (1 + g) = C1 * (1 + g)T-1
…
la perpetuity è denominata a rendimento crescente e il suo valore attuale è
𝑉𝐴 =
𝐶1
𝑟 −𝑔
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GROWING PERPETUITY 2/2
Esempio
Si consideri l’obbligazione irredimibile (che non scade mai) dell’esempio precedente,
supponendo ora che la cedola iniziale del 6% cresca ad un tasso annuo del 2%
Calcolare il VA della rendita perpetua a rendimento crescente nell’ipotesi di un tasso di
interesse pari al 9%
𝐶1
𝑉𝐴 =
𝑟−𝑔
60
𝑉𝐴 =
= €857
0,09 − 0,02
C1 = 60 r = 0,09 g=0,02
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Corso di Laurea Magistrale in Economia (LM-56)
Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
ANNUITY vs PERPETUITY
Che relazione c’è tra un’annuity e una perpetuity?
È facile verificare (sia graficamente che dalle formule) che una annuity per T periodi può
essere pensata come la differenza tra una perpetuity da oggi e una perpetuity da T
 Annuity
Oggi
T
VA = (C/r) – (C/r) * [1/(1+r)T]
 Perpetuity
Oggi
VA = (C/r)
T
VA = (C/r) * [1/(1+r)T]
VF = (C/r)
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
PIANO DI AMMORTAMENTO
DEL DEBITO 1/5
 Piano di ammortamento del debito
Suddivide ciascun pagamento relativo al rimborso di un debito nelle due componenti di
• Rimborso del capitale
• Pagamento degli interessi
 Se il piano di rimborso deciso dai contraenti (di cui uno è tipicamente una banca) avviene
a rate costanti, allora si prospetta la fattispecie dell’annuity e di conseguenza si possono
applicare tutte le formule ad essa riconducibili
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
PIANO DI AMMORTAMENTO
DEL DEBITO 2/5
Esempio
Il signor Rossi prende a prestito € 1.000 rimborsabili in cinque rate annuali costanti a partire
dalla fine del prossimo anno.
A quanto ammonta ciascuna rata se il tasso di interesse applicato dalla banca è pari al 10%
annuo?
Piano di ammortamento del debito con
rimborso a rate costanti
Annuity
VA
VF
C
T
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
PIANO DI AMMORTAMENTO
DEL DEBITO 3/5
In questo caso, l’obiettivo è quello di calcolare il flusso di cassa di un’annuity di 5 anni che
oggi vale € 1.000 nell’ipotesi di un tasso pari al 10%
𝑉𝐴 =
𝐶
𝑟
∗ 1−
𝐶=
𝑉𝐴∗𝑟
1−(1+𝑟)−𝑇
𝐶=
1.000∗0,1
1−(1+0,1)−5
1
(1+𝑟)𝑇
= 263,8
VA = 1000 r = 0,10 T=5
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
PIANO DI AMMORTAMENTO
DEL DEBITO 4/5
Esempio
La rata di ogni periodo è scomponibile nelle
due componenti capitale e interessi
La componente di interessi di ciascun
periodo si calcola come prodotto tra il tasso
di interesse applicato dalla banca (10%) e
l’indebitamento alla fine del periodo
precedente
La componente di rimborso del capitale in
ciascun periodo è la differenza tra
l’ammontare della rata e la componente di
interessi
La componente di rimborso di capitale è
crescente e la componente di pagamento
degli interessi è decrescente a formare una
rata costante per T periodi
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
PIANO DI AMMORTAMENTO
DEL DEBITO 5/5
Esempio
Viene acceso un prestito bancario di € 5.000 da restituirsi mediante 7 rate annue costanti;
si calcoli l’importo della rata e la si scomponga nelle componenti di rimborso del capitale
e di interessi
𝑉𝐴 ∗ 𝑟
𝐶=
1 − (1 + 𝑟)−𝑇
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO
ANNUO EFFETTIVO 1/8
 Tasso Annuo Nominale (TAN) ed Effettivo (TAE)
I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua, ma la liquidazione degli interessi
può avvenire più di una volta all’anno e quindi restituire un interesse effettivo (TAE) diverso
da quello nominale (TAN)
Esempio
•
Si considerino le condizioni contrattuali offerte da due istituti bancari diversi per
l’apertura di un conto corrente
•
•
La banca A offre queste condizioni : tasso attivo r del 4% con liquidazione degli
interessi annuale
La banca B offre lo stesso tasso ma con liquidazione degli interessi semestrale
•
Si ipotizzi di depositare € 100 in due c/c aperti presso le due banche
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Elementi di matematica finanziaria
TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO
ANNUO EFFETTIVO 2/8
 Nel primo caso dopo un anno sarà possibile liquidare il conto ritirando € 104
 Nel secondo caso, invece, sarà possibile ritirare già dopo sei mesi la frazione degli
interessi relativa al primo semestre – e cioè € 2 (la metà degli interessi pari al 4%) –
mentre a fine anno saranno liquidati sul conto anche gli interessi relativi al secondo
semestre (altri € 2) più il capitale iniziale
104
102
2
t=0
100
t=1
t=0
Banca A
100
t=1/2 t=1
Banca B
 Calcoliamo i rendimenti effettivi TAE A e TAE B offerti dalle due banche
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Elementi di matematica finanziaria
TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO
ANNUO EFFETTIVO 3/8
 Esse devono soddisfare le seguenti relazioni
 100 =
104
1+𝑇𝐴𝐸𝐴
 100 =
2
(1+𝑇𝐴𝐸𝐵 )1/2
da cui TAEA=4%
+
102
da
1+𝑇𝐴𝐸𝐵
cui TAEB=4,04%
 La seconda banca offre dunque condizioni migliori. Infatti, il tasso di rendimento annuale
del 4% con interessi composti ogni 6 mesi corrisponde ad un rendimento implicito del
4,04%
 Allo stesso risultato potremmo arrivare ipotizzando, nel caso del conto aperto presso la
banca B, di non incassare gli interessi pagati dopo 6 mesi, ma di lasciarli sul conto, e
ritirare il montante alla scadenza successiva
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Elementi di matematica finanziaria
TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO
ANNUO EFFETTIVO 4/8
In tal caso, gli interessi maturati dopo 6 mesi (€ 2) genereranno a loro volta interessi, pari a
€ 0,04, ovvero il 4% di € 2 diviso 2 (visto che rimangono sul conto solo per altri 6 mesi)
104,04
Seguendo questa strategia, il rendimento effettivo TAE B sarà pari a 100 =
da cui
1+𝑇𝐴𝐸𝐵
TAEB=4,04%
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Elementi di matematica finanziaria
TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO
ANNUO EFFETTIVO 5/8
 La lezione è che non si possono confrontare direttamente tassi di interesse con diversi
regimi di capitalizzazione, anche se relativi alla stessa scadenza
 Inoltre, da quest’ultimo esempio si vede chiaramente che il metodo dell’attualizzazione
dei flussi di cassa ipotizza implicitamente il reinvestimento dei flussi di cassa intermedi
alle stesse condizioni contrattuali di remunerazione … altrimenti non avrebbe alcun
valore percepire un flusso finanziario prima della scadenza. E’ necessario quindi
individuare un TAE che renda confrontabili i diversi regimi di capitalizzazione
 In generale, componendo m volte all’anno con un TAN pari a r, si ha
TAE = (1 + r/m)m – 1
TAN = r = m * [ (1 + TAE)1/m - 1 ]
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Elementi di matematica finanziaria
TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO
ANNUO EFFETTIVO 6/8
Esempio
Se il TAN = 10%, si ottiene con
•
Composizione semestrale TAE = (1 + 0,1/2)2 – 1 = 10,25%
•
Composizione mensile TAE = (1 + 0,1/12)12 - 1= 10,47%
•
Composizione settimanale TAE = (1 + 0,1/52)52 - 1= 10,51%
Esempio
Se ad un prestito è associato un TAN del 16%, qual è il tasso annuo effettivo con rimborsi su
base semestrale?
TAE = (1 + r/m)m – 1 = (1 + 0,16/2) 2 – 1 = 0,1664 o 16,64%
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Elementi di matematica finanziaria
TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO
ANNUO EFFETTIVO 7/8
Esempio
Qual è il valore futuro di € 25 investiti alla
fine di ognuno dei prossimi tre anni se il tasso
di interesse di riferimento è pari al 9%
composto annualmente?
Un’annuity di 25 € su tre anni al 9% può
essere illustrata in questo modo
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Elementi di matematica finanziaria
TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO
ANNUO EFFETTIVO 8/8
Il valore futuro dell’annuity si calcola come segue
𝐹𝑉 = 25.00
(1+0,09)3 −1
0,09
= 81.9525
Come cambia il risultato se il tasso annuale (9%) viene composto mensilmente?
Il totale di € 82,26 dato dalle re somme è maggiore del
valore di € 81,95 prima calcolato per l’annuity con
composizione annuale perchè la composizione degli
interessi all’interno dei periodi aumenta il tasso
effettivo dell’investimento
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Elementi di matematica finanziaria
TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO
ANNUO EFFETTIVO GLOBALE 1/3
 La necessità di definire un ‘rendimento equivalente’ per confrontare diversi finanziamenti
con diverso regime di capitalizzazione degli interessi ha spinto la Commissione Europea a
rendere obbligatoria la pubblicazione del tasso annuo effettivo globale (TAEG), in
contrapposizione al TAN, ogni qual volta venga proposto un finanziamento
 Il TAN corrisponde al tasso di interesse semplice, mentre il TAEG è un tasso effettivo
che tiene conto non solo
• della composizione degli interessi, ma anche
• delle spese accessorie (come ad esempio diritti e spese di apertura pratica) che
gravano sul consumatore
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Elementi di matematica finanziaria
TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO
ANNUO EFFETTIVO GLOBALE 2/3
Esempio
Si calcoli il TAEG di un finanziamento per l’acquisto di un motorino pari a € 2.500 su 5 anni,
rimborsabili con rate trimestrali costanti. Il TAN è pari al 5% e le spese accessorie per avviare la
pratica sono pari a € 20
• Se non ci fossero spese accessorie, il finanziamento (in base alle formule precedenti)
comporterebbe un TAE pari a
𝑇𝐴𝑁
𝑇𝐴𝐸 = 1 +
4
4
− 1 = 5,0945%
• La rata trimestrale R comprenderà una quota-parte relativa al pagamento degli interessi e una
quota-parte relativa alla restituzione del finanziamento : essa dovrà soddisfare la relazione
5
𝑅
Valore finanziamento erogato
2500 =
da cui R = € 142,051
(1 + 𝑇𝐴𝐸)𝑡
𝑡=1/4𝑠𝑡𝑒𝑝1∕4
Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici
Somma dei flussi di pagamento
trimestrali attualizzati al TAE
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Elementi di matematica finanziaria
TASSO ANNUO NOMINALE E TASSO
ANNUO EFFETTIVO GLOBALE 3/3
Per calcolare il TAEG è sufficiente individuare il tasso che soddisfa la seguente relazione
5
2500 − 20 =
𝑡=1/4𝑠𝑡𝑒𝑝1∕4
𝑅
(1 + 𝑇𝐴𝐸𝐺)𝑡
In pratica, il finanziamento al netto delle spese accessorie deve essere uguale al valore
attuale delle rate future corrisposte ad ogni trimestre per i prossimi 5 anni, attualizzato al
costo effettivo globale del capitale
Facendo i conti si ottiene un TAEG = 5,429%
Si noti che è TAEG (> TAE) > TAN per il doppio effetto della composizione anticipata degli
interessi e delle spese accessorie al finanziamento
Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
TASSI DI INTERESSE NON COSTANTI
 Tassi di interesse non costanti
Il tasso di interesse può variare lungo la durata dell’investimento
Esempio
Se si investono € 100 e si ottiene l’11% durante il primo anno, il 9% durante il secondo anno
e il 13% durante il terzo anno, quale sarà il valore futuro dopo 3 anni ?
FV = 100 * (1 + 0,11) * (1 + 0,09) * (1 + 0,13) = € 136,72
Qual è il VA di € 100 tra 4 anni se i tassi di interesse sono l 8% (year 1), il 12% (year 2), il
6% (year 3) e il 13% (year 4)?
100
𝑉𝐴 =
= €69,02
1 + 0,08 ∗ 1 + 0,12 ∗ 1 + 0,06 ∗ (1 + 0,13)
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
TASSI DI INTERESSE NOMINALI VS TASSI
DI INTERESSE REALI 1/4
 Tasso di interesse reale vs nominale (Real vs nominal interest rates)
• Tasso di interesse nominale = tasso riferito a grandezze monetarie
Investendo € 100 per un anno al 10% ⇒ € 110
• Cosa succede se l’inflazione annuale è pari al 7%?
Abbiamo bisogno di € 107 alla fine dell’anno per mantenere inalterato il potere
d’acquisto dell’investimento iniziale
• Qual è il nostro “real return”, ovvero il tasso di interesse reale?
(1+10%)/(1+7%) = 1,028 ⇒ The real return is 2,8%
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
TASSI DI INTERESSE NOMINALI VS TASSI
DI INTERESSE REALI 2/4
Siano
• r il tasso di interesse nominale
• p il tasso di inflazione =(p1-p0)/p0
• ρ il tasso di interesse reale
Il legame tra r e ρ è dato dalla relazione di Fisher (1965)
(1+r) = (1+ ρ) * (1+p)
• Per dimostrare questa relazione si supponga di voler investire al tasso r una certa somma
C che al periodo t = 0 permette di acquistare una quantità reale di beni pari a C/p0
• Al periodo t = 1 (cioè a distanza di un anno) sarà di conseguenza possibile capitalizzare il
montante e acquistare una quantità di beni pari a C*(1+r)/p1
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Corso di Laurea Magistrale in Economia (LM-56)
Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
TASSI DI INTERESSE NOMINALI VS TASSI
DI INTERESSE REALI 3/4
• Quindi il tasso di interesse reale ρ sarà
𝐶 ∗ (1 + 𝑟)
𝐶
−
𝑝1
𝑝0
ρ=
𝐶
𝑝0
• Quest’uguaglianza, rielaborata, genera la relazione di Fisher
■
• Se 𝑝 e ρ sono molto piccoli, allora vale l’approssimazione
r≅ρ+𝑝
È possibile utilizzare questa equazione per convertire tassi di interesse nominali in reali e
viceversa
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
TASSI DI INTERESSE NOMINALI VS TASSI
DI INTERESSE REALI 4/4
Esempio
Si consideri una perpetuity che stacca il primo pagamento di € 100 (nominali) al periodo 4
Si supponga che i flussi di cassa cres.cano in termini reali del 2% (ρ) per periodo e che il tasso
di inflazione (p) sia pari al 5%
Qual è il VA della perpetuity con un tasso di sconto del 10%?
Soluzione
Il tasso di crescita nominale si calcola a partire dalla relazione di Fisher
Il valore della perpetuity è
“portato indietro” di 3 periodi
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
SINTESIDEI PRINCIPALI CONCETTI DI
MATEMATICA FINANZIARIA 1/2
 Il valore futuro (VF) è il valore raggiunto da una certa quantità di capitale dopo un certo
periodo di tempo come conseguenza della maturazione degli interessi
• Il processo di calcolo del valore futuro è chiamato capitalizzazione
 Il valore attuale (VA) esprime il valore presente di un investimento, mediante
l’attualizzazione dei flussi di cassa futuri
 Il legame tra VF e VA è dato dalla relazione
VF = VA * (1 + r) t
 Annuities e perpetuities costituiscono particolari configurazioni di flussi di cassa
•
Una annuity per T periodi può essere pensata come la differenza tra una
perpetuity da oggi e una perpetuity da T
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Matematica per le Scienze Economiche
Elementi di matematica finanziaria
SINTESIDEI PRINCIPALI CONCETTI DI
MATEMATICA FINANZIARIA 2/2
Annuity
Perpetuity
I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua (TAN), ma la composizione
degli interessi può avvenire m volte all’anno
Relazione di Fisher - (1+r) = (1+ ρ) * (1+p)
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56
VALUTAZIONE O ANALISI DEGLI
INVESTIMENTI
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Matematica per le Scienze Economiche
Valutazione o analisi degli investimenti
VALUTAZIONE O ANALISI DEGLI
INVESTIMENTI
 Valutazione o analisi degli investimenti
•
•
Corpus/insieme delle tecniche e degli strumenti che le persone e le imprese impiegano
per decidere se effettuare meno un investimento che ha effetti di lungo periodo
Esempi: lancio di un nuovo prodotto/linea di prodotti, acquisto di un nuovo macchinario
o Nuovo tipo di calcestruzzo
o Nuova linea di radiatori
o Nuovo escavatore
 La necessità di investire sul ciclo produttivo può essere dettata da vari fattori
•
•
•
•
•
Sostituzione impianti per deterioramento fisico
Sostituzione impianti per obsolescenza tecnica
Adeguamento a nuove leggi
Adeguamento a nuove esigenze del mercato
Miglioramento delle performance del ciclo produttivo
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Valutazione o analisi degli investimenti
DEFINIZIONE DI INVESTIMENTO 1/2
 Investimento
Un investimento I è un progetto che, a fronte di un assorbimento certo di risorse oggi, crea
opportunità di generazione di reddito nel futuro
 ‘Mettiamo sulla bilancia’ un esborso di cassa oggi e una serie di introiti di cassa futuri
Il problema della valutazione degli investimenti è quello di operare un confronto tra i due
piatti della bilancia per capire quale pesa di più
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Valutazione o analisi degli investimenti
DEFINIZIONE DI INVESTIMENTO 2/2
Dalla definizione risulta che un investimento è caratterizzato dalla presenza di flussi di cassa
che hanno una diversa manifestazione temporale.
Di conseguenza, per valutare la convenienza economica di un investimento (al fine di
decidere se effettuarlo o meno) occorre saper confrontare entrate di cassa e uscite di cassa
che si manifestano nel tempo in momenti diversi
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Valutazione o analisi degli investimenti
Valore attuale come strumento
 Il problema si risolve rendendo “omogenei” i flussi di cassa, convertendoli in flussi di
cassa confrontabili, dunque come se avessero tutti manifestazione nel medesimo istante
 Come abbiamo visto, lo ‘strumento’ per rendere confrontabili flussi di cassa con
manifestazione temporale diversa è quello del valore attuale
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ELEMENTI NECESSARI ALLA
VALUTAZIONE ECONOMICA DI
UN PROGETTO DI
INVESTIMENTO
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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GLI ELEMENTI DI UN PROGETTO DI
INVESTIMENTO
Gli elementi necessari alla valutazione economica di un investimento sono
•
•
•
•
•
Il rendimento richiesto da chi investe (persona fisica o impresa)
La durata dell’investimento
L’ammontare dei flussi di cassa generati dall’investimento
L’ammontare dell’investimento
Il valore finale o di recupero dell’investimento
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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RENDIMENTO RICHIESTO DAL
PROGETTO 1/9
 Il rendimento richiesto dal progetto è il costo opportunità del capitale, ossia il miglior
rendimento alternativo a cui si rinuncia quando viene effettuato un investimento
 Nell’ipotesi di assenza di rischio, si ha un solo costo opportunità che rappresenta il
rendimento dei titoli di Stato a breve termine
 Pochi flussi di cassa sono però esenti da rischio e quindi occorre considerare questo
fattore nella valutazione dei progetti
 In presenza di rischio esistono sul mercato tanti costi opportunità quante sono le classi di
rischio e, al crescere del rischio di un investimento, cresce il costo opportunità
• Per indurre gli individui e le imprese ad investire su progetti più rischiosi è infatti
necessario che questi prospettino rendimenti adeguati, dunque maggiori di quelli
associati ad investimenti meno rischiosi
r = rf + premio per il rischio
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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RENDIMENTO RICHIESTO DAL
PROGETTO 2/9

I flussi di cassa relativi a progetti più rischiosi vanno dunque attualizzati ad un tasso di
sconto più alto di quello di progetti meno rischiosi e questo costo opportunità dovrebbe
riflettere la specifica classe di rischio del progetto

Al riguardo, si confrontino i rendimenti medi annui, nel periodo 1900-2003, di tre
categorie di titoli quotati alla Borsa di New York
(a)Considerando che tutti i redditi da dividendi o da interessi siano stati reinvestiti nel portafoglio corrispondente.
(b)Rendimento nominale dei titoli in oggetto meno rendimento nominale dei titoli di Stato a breve termine (Buoni del Tesoro).
Fonte : Dimson E., Marsh P.R. e M. Staunton, Triumph of the Optimists : 101 Years of Investment Returns, Princeton
University Press, Princeton, 2002 e successivi aggiornamenti, in Brealey, Myers et al., 2007.
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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RENDIMENTO RICHIESTO DAL
PROGETTO 3/9
La figura sottostante estende geograficamente l’analisi e mostra il premio per il rischio per i
titoli azionari (ossia il rendimento differenziale rispetto ai titoli di Stato a breve termine) in
16 Paesi durante il periodo 1900-2003
Fonte : Dimson E., Marsh P.R. e M. Staunton, Triumph of the Optimists : 101 Years of Investment Returns, Princeton
University Press, Princeton, 2002 e successivi aggiornamenti, in Brealey, Myers et al., 2007.
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66
Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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RENDIMENTO RICHIESTO DAL
PROGETTO 4/9
Punto di attenzione
 Anche ipotizzando di poter stimare il premio per il rischio futuro con la sua media storica
(ossia ipotizzando che gli investitori di oggi si attendano di ricevere lo stesso premio
mostrato dalle medie del grafico precedente), va rilevato come le stime del premio per il
rischio siano molto sensibili alla metodologia adottata e al periodo di osservazione
 Accade allora che, se dallo studio di Dimson, Marsh e Staunton l’Italia sembra essere stato
il Paese più fortunato per l’investimento azionario, l’analisi ad esempio di Siciliano
(“Cento anni di borsa in Italia”, Il Mulino, Bologna, 2001) che considera i rendimenti al
netto dell’imposizione fiscale e dei costi di transazione, trova un premio per il rischio nel
periodo 1906-1998 solo pari al 3,9%
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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Matematica per le Scienze Economiche
RENDIMENTO E RISCHIO 5/9
Come era prevedibile, gli scarti quadratici medi e le varianze annue dei tre portafogli
statunitensi considerati nel periodo 1900-2003 sono stati :
In altri termini, nel secolo passato negli Stati Uniti le azioni sono state il titolo più volatile,
ossia il più rischioso, e il Buoni del Tesoro il titolo meno volatile; i titoli di stato a lungo
termine si sono collocati in una classe di rischio intermedia
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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RENDIMENTO E RISCHIO 6/9
In generale, la varianza e lo scarto quadratico medio sono le misure statistiche usuali delle
variabilità e perciò del rischio
La varianza del rendimento di un portafoglio di titoli è il valore atteso del quadrato degli
scarti dal rendimento atteso
Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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CALCOLO DELLA VARIANZA:
UN ESEMPIO 7/9
 Investendo 100 € si può partecipare al gioco seguente che consta nel lanciare di seguito
due monete : ogni volta che viene testa (T) si riceve la cifra giocata più il 20% e ogni volta
che viene croce (C) si riceve la cifra giocata meno il 10%
 Chiaramente, ci sono 4 risultati egualmente probabili (la distribuzione dei
rendimenti)
 Il rendimento atteso di questo gioco è la media ponderata con le probabilità dei risultati
possibili
• Rendimento atteso = 0,25*40% + 0,5*10% + ,25*20% = +10%
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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CALCOLO DELLA VARIANZA:
UN ESEMPIO 8/9
La varianza e lo scarto quadratico medio si calcolano come segue:
Varianza = valore atteso degli scarti al quadrato = 450
Scarto quadratico medio = radice quadrata della varianza = 21
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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Matematica per le Scienze Economiche
CALCOLO DELLA VARIANZA:
UN ESEMPIO 9/9
 Perciò : la varianza dei rendimenti percentuali è 450, lo scarto quadratico medio 21.
Poiché questo numero è espresso nella stessa unità di misura del tasso di rendimento, si
può dire che la variabilità del gioco sia del 21%
 Il rischio di un’attività può essere totalmente espresso, così come si è fatto per il gioco
delle monete, segnando tutti i risultati possibili e la probabilità di ciascuno di questi
• Per un’attività finanziaria questo procedimento si rivela di fatto impossibile ed è per
questo che sintetizziamo con la varianza la distribuzione dei risultati possibili
 Può essere interessante confrontare il gioco del lancio delle monete con il mercato
azionario statunitense tra il 1900 e il 2003
•
•
•
Il mercato azionario genera un rendimento medio annuo dell’11,7% con uno scarto
quadratico medio del 20,1%
Il gioco offre invece il 10 % e il 21% rispettivamente, ossia un rendimento di poco
inferiore e variabilità confrontabile
Si potrebbe concludere che l’inventore del gioco abbia voluto creare una
rappresentazione del mercato azionario !
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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Matematica per le Scienze Economiche
DURATA DELL’INVESTIMENTO 1/2
 La durata dell’investimento o vita economica del progetto di investimento è il numero di
anni nel corso dei quali si prevede che l’investimento generi flussi di cassa
 La fine del periodo temporale che identifica la vita economica del progetto è denominata
orizzonte temporale dell’investimento (il termine suggerisce che oltre questo limite i
flussi non siano più visibili)
 È difficile prevedere con precisione la vita economica di un investimento; è tuttavia
importante stimare nel modo più accurato possibile questo elemento in quanto esso ha
conseguenze significative sulla valutazione del progetto
 Quando si deve valutare la vita economica di un impianto su cui investire e si pensa alla
sua vita utile, spesso emerge come la vita economica sia più breve della vita fisica e ciò
accade perché l’obsolescenza tecnica (ossia la perdita di convenienza ad utilizzare
l’impianto a seguito del progresso tecnologico nel frattempo intervenuto) avviene prima
del deterioramento fisico
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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DURATA DELL’INVESTIMENTO 2/2

Se, ad esempio, la vita fisica di un bene fosse di dieci anni ma se ne prevedesse
l’obsolescenza tecnica in cinque, allora la vita utile, e dunque la vita economica, del bene
in parola sarebbe di cinque anni

In considerazione delle incertezze connesse allo svolgimento delle attività di
un’organizzazione, la maggior parte dei manager applica criteri di prudenza nello
stimare la vita economica dei progetti
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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FLUSSI DI CASSA GENERATI DAL
PROGETTO 1/3
 La valutazione di un progetto deve prevedere la stima dei flussi di cassa generati dal
progetto medesimo, o flussi di cassa differenziali (rispetto alla situazione di status quo)
• E ciò perché i benefici economici di un investimento sono costituiti proprio dalle
entrate incrementali di cassa , ossia dai maggiori incassi rispetto ad una situazione
che non preveda l’investimento
 In altre parole, i flussi di cassa differenziali
•
•
•
Sono quei flussi che si rilevano esclusivamente in seguito all’accettazione
del progetto
Vengono rilevati seguendo una logica di tipo “if–then”
o “Se l’investimento viene effettuato, come cambieranno in ogni anno i flussi di cassa
dell’impresa lungo tutta la vita utile del progetto?”
Sono i flussi che determinano il valore del progetto stesso
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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FLUSSI DI CASSA GENERATI DAL
PROGETTO 2/3
 L’attenzione è posta sui flussi di cassa, non sulle manifestazioni economiche
• I valori tipici della contabilità per competenza (costi e ricavi) non sono direttamente
utilizzati nell’analisi degli investimenti, se non come base per calcolare, attraverso
opportune rettifiche, i flussi di cassa
 Si consideri, ad esempio, il progetto di sostituzione di un macchinario esistente con uno
nuovo: quali sono le entrate connesse a questo progetto?
• In primo luogo, il macchinario esistente deve essere utilizzabile altrimenti non
avremmo un’alternativa né, conseguentemente, un problema analitico da
risolvere
• Il confronto avviene quindi tra (1) continuare ad usare il macchinario esistente
(status quo) e (2) investire nell’acquisto del macchinario proposto
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Flussi di cassa generati dal progetto
3/3

I costi (e le relative uscite di cassa) connessi all’impiego del macchinario esistente
sono molteplici : manodopera, materiali diretti, energia, manutenzione, ecc.

Se il nuovo macchinario venisse proposto come mezzo per ridurre i costi, allora in
conseguenza del suo impiego (“logica if–then” o rapporto di causa-effetto) tutti o alcuni
di questi costi dovrebbero ridursi
• I mancati esborsi relativi a questi costi rappresentano l’entrata di cassa differenziale
generata dal nuovo macchinario
• In altri termini, in questo caso gli incassi differenziali sono costituiti da una riduzione
delle uscite di cassa

Se il macchinario proposto non costituisse una semplice sostituzione ma accrescesse la
capacità produttiva, allora nel processo di valutazione occorrerebbe tenere in
considerazione anche i flussi di cassa differenziali derivanti dall’accresciuto volume di
vendita previsto
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FLUSSI DI CASSA DELLO STATUS QUO
Nel calcolare i flussi di cassa differenziali può essere sbagliato ipotizzare uno status quo
“stazionario” e non invece “in deterioramento”
 Per esempio, se un’impresa decidesse di non investire in una nuova tecnologia,
probabilmente indebolirebbe la propria posizione di mercato rispetto a quella dei
concorrenti che la adottassero
• Il mantenimento delle condizioni iniziali produrrebbe un progressivo peggioramento
dei risultati economici e dei flussi di cassa e pertanto un’ipotesi di perpetuazione nel
tempo dello status quo sarebbe sbagliata
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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COSTI COMUNI, EFFETTI COLLATERALI,
COSTI AFFONDATI 1/2
 Nel processo di determinazione dei flussi di cassa generati (direttamente o
indirettamente) dall’investimento secondo un rapporto di causa-effetto, occorre saper
correttamente considerare
• I costi comuni
• Gli effetti collaterali
• I costi affondati (o pregressi)
 I costi comuni sono quei costi che l impresa sosterrebbe anche qualora non attuasse
l’investimento
• Esempio: costi relativi al personale (insaturo) già presente in azienda che viene
dedicato alla gestione del nuovo impianto cui l investimento si riferisce
• Tali voci NON vanno incluse tra i flussi di cassa incrementali
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COSTI COMUNI, EFFETTI COLLATERALI,
COSTI AFFONDATI 2/2
 Gli effetti collaterali si riferiscono agli effetti, generati dall’investimento, che si producono
su altri comparti dell’impresa
• Esempio : il lancio di una nuova linea di piastrelle contrae le vendite delle linee già
in produzione e sul mercato
• Tali effetti vanno considerati nel calcolo dei flussi di cassa differenziali
 I costi affondati o pregressi (sunk costs) sono costi che l’impresa ha sostenuto in
passato in relazione alla valutazione del progetto di investimento e che non sono
più recuperabili
• Esempio : costo di uno studio di mercato per la valutazione della domanda di un
nuovo prodotto
• I sunk costs NON devono essere considerati costi incrementali ai fini della
valutazione di un investimento in quanto l’esborso si è già verificato e in una logica
“if-then” sono comunque irrecuperabili
• Ai fini della decisione circa l’investimento, devono essere considerate solamente le
conseguenze future associate alle diverse alternative realizzabili oggi
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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PUNTO DI ATTENZIONE
 Le imprese che devono valutare se investire in una nuova tecnologia spesso erroneamente
imputano i costi di avviamento e di formazione connessi all’uso della nuova tecnologia
interamente al primo progetto anche se essa fosse in futuro strumentale ad altri progetti
 Una tale imputazione penalizza la valutazione economica del progetto iniziale e
potrebbe addirittura portare a posticipare investimenti necessari per mantenere la
posizione competitiva dell’impresa
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AMMONTARE DELL’INVESTIMENTO
(1)
 L’investimento è l’ammontare di risorse che un’impresa sottopone a rischio se accetta un
progetto a lungo termine
 I valori rilevanti per determinare l’ammontare dell’investimento sono gli esborsi
differenziali (cioè le uscite di cassa che avranno luogo se il progetto sarà realizzato, ma
che non avverranno se il progetto non sarà realizzato)
• Esempio : il costo del nuovo impianto, i costi di trasporto e istallazione del nuovo
impianto, i costi sostenuti per addestrare i dipendenti all’uso della nuova tecnologia
 Se l’acquisto di una nuova immobilizzazione comporta la vendita di un immobilizzo
esistente, gli incassi netti derivanti dalla vendita del bene che si aliena riducono l’importo
dell’investimento
• I ricavi netti dalla cessione dell immobilizzazione esistente sono pari al suo prezzo di
vendita meno i costi sostenuti per venderla, smontarla e rimuoverla, rettificati dagli
eventuali effetti fiscali connessi ai ricavi da cessione
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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AMMONTARE DELL’INVESTIMENTO 2/2
 Molti progetti comportano un unico impegno di risorse in un dato momento,
convenzionalmente denominato momento zero o momento iniziale
 Per alcuni progetti gli esborsi finanziari richiesti sono ripartiti su un ampio periodo
temporale
• Esempio : la costruzione di una nuova sede produttiva potrebbe richiedere uscite di cassa per
diversi anni oppure la realizzazione di una prima unità il primo anno e di una seconda unità
l’anno successivo
 Per calcolare il VA del progetto tutti gli esborsi del progetto devono essere ricondotti ad
un momento zero comune attualizzando le singole uscite di cassa
 Se l’importo e la collocazione temporale degli esborsi presentano un grado di rischio
significativamente più basso di quello delle entrate di cassa, allora altrettanto differenti
saranno i tassi di attualizzazione applicati rispettivamente agli esborsi e agli incassi
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VALORE FINALE O DI RECUPERO
DELL’INVESTIMENTO
 Al termine della sua vita economica, un investimento potrebbe avere ancora un valore e
come tale essere oggetto di alienazione da parte dell’impresa
 Di conseguenza, questo valore finale o di recupero o di realizzo dell’investimento
(salvage o resale o terminal value) costituisce, in quel momento, una potenziale
entrata di cassa
 Nel processo di valutazione economica dell’investimento, il valore finale deve perciò
essere considerato e, in particolare, deve essere attualizzato e sommato al VA delle altre
entrate di cassa differenziali
• In tal modo, si ipotizza implicitamente che l’incertezza associata al recupero del
valore finale sia la stessa di quella associata agli altri flussi di cassa incrementali
generati dal progetto di investimento
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VALUTAZIONE DI UN PROGETTO
DI INVESTIMENTO
A questo punto abbiamo in mano tutti gli elementi per valutare un progetto di investimento.
Ma come si procede concretamente per effettuare la valutazione ?
Le fasi della valutazione economica di un investimento sono
1.
2.
3.
4.
5.
Determinazione dei flussi di cassa incrementali attesi dall’investimento
Calcolo degli incrementi nelle imposte associati all’attuazione del progetto
Calcolo dei flussi di cassa attesi “after tax”
Individuazione del tasso di attualizzazione appropriato
Attualizzazione dei flussi di cassa futuri mediante il tasso individuato
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VALUTAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA:
UN ESEMPIO 1/6
 Il direttore finanziario dell’impresa Concimi & Giardini (C&G) sta valutando una proposta
per la commercializzazione del guano come fertilizzante da giardino
 Il progetto richiede un investimento iniziale di 10 M€ per lo stabilimento e gli impianti.
L’investimento verrebbe ammortizzato in 6 anni a quote costanti. Gli impianti potrebbero
essere smontati e venduti con un ricavo netto valutato attorno a 1 M€ nell’anno 7. Questa
cifra corrisponde al loro valore di realizzo
 Le previsioni sull’impatto economico e patrimoniale del progetto “Guano” sono indicate
nella tabella seguente e possono essere considerate il punto di partenza per la stima dei
flussi di cassa ad esso associati
 Tutti i dati sono stati ricavati in base ai costi e ai prezzi di vendita correnti nell’anno 0
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VALUTAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA:
UN ESEMPIO 2/6
Progetto “Guano” : Previsioni iniziali (dati in ‘000 €)
(a)Valore di realizzo. La differenza tra il valore di realizzo e il valore contabile (€ 0) costituisce una plusvalenza tassabile.
(b)Costi di impianto negli anni 0 e 1 e costi generali ed amministrativi negli anni dall’1 al 6.
(c)Ipotizzando che nel complesso la C&G sia in utile, la perdita del progetto “Guano” negli anni 1 e 2 consente di diminuire il carico fiscale
totale. A livello di progetto “Guano”, il risparmio fiscale costituisce cioè una componente positiva di reddito. Fonte : Brealey, Myers et al., 2007.
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VALUTAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA:
UN ESEMPIO 3/6
Progetto “Guano” : Previsioni corrette per l’inflazione attesa del 10% annuo(a)(dati in ‘000
€)
(a)Si ipotizza che prezzi e costi crescano allo stesso tasso lungo la vita utile dell’investimento.
(b)I risparmi fiscali originati dall’ammortamento non aumentano con l’inflazione giacchè la
legge fiscale permette di ammortizzare solo il costo storico dell’impianto.
Fonte : Brealey, Myers et al., 2007.
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
VALUTAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA:
UN ESEMPIO 4/6
Flusso di cassa a disposizione dell’impresa (FCFF)
I flussi di cassa vengono
determinati rettificando
l’utile di esercizio
+
=
Utile netto
Ammortamenti + Costo TFR
ΔCCN
Flusso di Cassa Operativo (OCF)
-
Flusso di Cassa Operativo
Investimenti (Flusso di Cassa per Investimenti)
+ Disinvestimenti (Flusso di Cassa per Investimenti)
+ Nuovi finanziamenti (Flusso di Cassa Finanziario)
- Dividendi (Flusso di Cassa Finanziario)
= Flusso di Cassa a disposizione dell’impresa
(Cash from Operations)
(Cash for Investing)
(Cash from Investing)
(Cash from Financing)
(Cash for Financing)
(FCCF – Free Cash Flow for the Firm)
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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VALUTAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA:
UN ESEMPIO 5/6
Progetto “Guano” : Analisi dei flussi di cassa (dati in ‘000 €)
Fonte : Brealey, Myers et al., 2007.
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Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento
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VALUTAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA:
UN ESEMPIO 6/6
 L’analisi dei flussi di cassa del progetto “Guano” non ha preso in considerazione il
problema del suo finanziamento
 Implicitamente si è considerato come se il progetto fosse tutto finanziato tramite mezzi
propri. Con questo approccio al problema, siamo in grado di separare l’analisi della
decisione di investimento da quella del finanziamento
 Una volta determinata la convenienza economica del progetto, si potrà analizzare
separatamente il problema del finanziamento
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CRITERI DI VALUTAZIONE DEGLI
INVESTIMENTI
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Criteri di valutazione degli investimenti
CRITERI DI VALUTAZIONE DI
PROGETTI INDIPENDENTI
Tra i vari criteri, o tecniche, di valutazione di un progetto di investimento, quello considerato
come il principale riferimento è il
1.
Criterio del valore attuale netto (VAN o NPV) e approccio DCF
A tale metodologia si affiancano diversi criteri alternativi, tra i quali i più diffusi sono
2.
3.
4.
Il criterio del tasso interno di rendimento (TIR o IRR)
Il profitto economico (EVA)
Il criterio del periodo di recupero (PB)
I primi tre criteri restituiscono una misura della redditività del progetto d’investimento, il
quarto invece offre una misura della liquidità dell’investimento
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Criteri di valutazione degli investimenti
1. IL CRITERIO DEL VALORE ATTUALE
NETTO (VAN) 1/3
 Nella valutazione di un progetto di investimento, il VAN indica la variazione di
ricchezza che l’impresa ottiene dalla scelta di effettuare l’investimento
 In particolare, il VAN di un progetto corrisponde al valore attuale dei flussi di cassa
generati dall’investimento al netto dell’esborso (iniziale) per realizzare il progetto
 In altri termini, la metodologia del valore attuale netto si sostanzia nel calcolo della
creazione/distruzione netta di ricchezza generata dall’investimento mediante
l’attualizzazione al tempo t0 di tutti i flussi di cassa in ingresso ed in uscita ad un tasso di
sconto adeguato. Tale tasso deve riflettere sia il valore temporale del denaro sia il rischio
del progetto
• Perché il tasso di sconto adeguato è il costo opportunità del capitale?
• Perché il costo opportunità del capitale corrisponde al rendimento del miglior
impiego alternativo appartenente alla medesima classe di rischio del progetto in
parola
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Criteri di valutazione degli investimenti
1. IL CRITERIO DEL VALORE ATTUALE
NETTO (VAN) 2/3
Formula del valore attuale netto (VAN) (Net Present Value, NPV)
•
•
•
•
C0 , flusso di cassa corrispondente al costo dell’investimento
Ct : {C1 … CT}, flussi di cassa futuri generati dall’investimento relativi al tempo t : {1 … T}
Rendimento di progetti alternativi appartenenti alla
r, costo opportunità del capitale
medesima classe di rischio cui si rinuncia investendo
T, orizzonte temporale dell’investimento
nel progetto – Premio per sopportare un flusso di cassa
posticipato nel tempo
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Criteri di valutazione degli investimenti
1. IL CRITERIO DEL VALORE ATTUALE
NETTO (VAN) 3/3
 Criterio di decisione
•
Accettare il progetto se VAN > 0
L’analisi del progetto di investimento ha rilevato che i benefici futuri, valorizzati oggi,
sono superiori ai costi dell’investimento e, quindi, che all’effettuazione del progetto è
associata una variazione di ricchezza positiva, ossia una creazione di valore
•
Rifiutare il progetto se VAN < 0
L’investimento ha un costo superiore ai benefici e quindi va rigettato perché
distrugge valore
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Criteri di valutazione degli investimenti
VAN : ESEMPIO 1
Riprendiamo il progetto “Guano” dell’esempio precedente e valutiamone la convenienza
economica con il metodo del VAN nel caso in cui il costo opportunità del capitale sia pari al
20%
Progetto “Guano” : Analisi dei flussi di cassa (dati in ‘000 €)
L’investimento crea ricchezza netta per 3,8 M€ e pertanto andrebbe intrapreso
Fonte : Brealey, Myers et al., 2007.
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Criteri di valutazione degli investimenti
VAN: ESEMPIO 2 1/2
 I ricercatori dell’impresa FFF - Fredrick Feed and Farm ritengono di poter produrre un
nuovo fertilizzante ecologico con un risparmio significativo di costi rispetto alla linea
attualmente in produzione
 Il prodotto richiederà un nuovo impianto , che può essere costruito immediatamente ad
un costo di 250 milioni di $, e secondo le stime genererà un flusso di cassa netto di 35
milioni di $ l’anno a partire dalla fine del primo anno e per sempre
La successione di questi flussi di cassa
costituisce una rendita perpetua
Fonte : Berk et al., 2009.
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Criteri di valutazione degli investimenti
VAN: ESEMPIO 2 2/2
Il VAN del progetto, dato un certo costo opportunità del capitale r, sarà perciò pari a
𝑉𝐴𝑁 = −250 +
35
𝑟
E il grafico corrispondente del VAN in funzione di r sarà
 Per decidere se investire occorre conoscere il costo del capitale : si osserva infatti che
il VAN risulta positivo solo per tassi di sconto inferiori al 14%
 FFF stima un costo del capitale del 10%; il progetto ne aumenterà quindi il valore di
100 milioni di $ e va senz’altro realizzato !
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Fonte : Berk et al., 2009.
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Criteri di valutazione degli investimenti
RELAZIONE INVERSA TRA
COSTO DEL CAPITALE E VAN
L’esempio precedente ci dimostra come il VAN di un progetto di investimento non sia
invariante rispetto al tasso di sconto scelto per attualizzare i flussi di cassa futuri da esso
generati
 La valutazione di un investimento dipende dal tasso di sconto. In particolare, al crescere
di r il VAN(r) diminuisce
 Interpretazione matematica
• Ovvia
 Interpretazione economica
• Al crescere del rendimento del migliore dei progetti in cui si potrebbe
alternativamente investire, il valore del progetto – in termini relativi - si contrae
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Matematica per le Scienze Economiche
Criteri di valutazione degli investimenti
2. CRITERIO DEL TASSO INTERNO
DI RENDIMENTO (TIR) 1/3
Ad ogni investimento è associato un parametro, detto tasso interno di rendimento o TIR
(internal rate of return, IRR), che corrisponde al tasso di attualizzazione che rende
nulla la creazione di valore netto, ossia che determina un VAN pari a zero
Tasso Interno di Rendimento → Tasso che rende il VAN = 0
TIR : VAN (r = TIR) = 0
 Matematicamente, quindi, il TIR costituisce il tasso di attualizzazione per cui il
valore attuale dei flussi in ingresso eguaglia il valore attuale dei flussi in uscita
 Economicamente, il TIR rappresenta il rendimento effettivo dell’investimento
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Criteri di valutazione degli investimenti
2. CRITERIO DEL TASSO INTERNO
DI RENDIMENTO (TIR) 2/3
Criterio di decisione
 Accettare il progetto se il TIR > r
• L’analisi del progetto di investimento ha rilevato che il rendimento effettivo del
progetto è superiore a quello del migliore tra gli impieghi alternativi appartenenti alla
medesima classe di rischio
 Rifiutare il progetto se TIR < r
• L’investimento ha un rendimento più basso di quello richiesto da chi investe e che è
possibile ottenere dall’impiego alternativo del capitale
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Criteri di valutazione degli investimenti
2. CRITERIO DEL TASSO INTERNO
DI RENDIMENTO (TIR) 3/3
 Si consideri graficamente la relazione tra il VAN ed il costo opportunità del capitale
 Poiché il TIR è il tasso di attualizzazione che rende nullo il VAN di un investimento, il
grafico aiuta ad individuare il TIR del progetto
 In generale valgono le seguenti corrispondenze biunivoche
Area di
accettazi
one
Area di
rifiuto
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Criteri di valutazione degli investimenti
TIR: ESEMPIO 1
Riprendiamo il progetto “Guano” dell’esempio precedente e determiniamo il valore del TIR
TIR : VAN (r = TIR) = 0. Pertanto :
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Criteri di valutazione degli investimenti
TIR: ESEMPIO 2 1/2
Si calcoli il TIR della seguente stringa di flussi di cassa (in ‘000 €)
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Criteri di valutazione degli investimenti
TIR: ESEMPIO 2 2/2
Se il costo opportunità del capitale è pari al 14%, cadiamo nella “regione di accettazione”
dell’investimento
Area di
accettazio
ne
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Criteri di valutazione degli investimenti
CALCOLO DEL TIR 1/3
Come si calcola il TIR?
• È possibile calcolare il TIR utilizzando programmi basati su processi ricorsivi (ad
esempio, excel ha la funzione TIR.cost)
• In alternativa è possibile utilizzare un approccio (manuale !) di tipo trial & error
 In particolare, l’approccio trial & error si basa sull’inserimento per tentativi di vari valori
della variabile TIR fino al momento in cui l’equazione VAN=0 è risolta
• Se si ottiene un VAN negativo, si prova con un tasso inferiore, che incrementa il
VAN
• Viceversa, se il VAN è positivo, si prova ad incrementare il tasso di
attualizzazione
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Criteri di valutazione degli investimenti
CALCOLO DEL TIR 2/3
Esempio
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Criteri di valutazione degli investimenti
CALCOLO DEL TIR 3/3
Per calcolare il TIR è possibile anche impiegare l’interpolazione lineare, ricorrendo alla
similitudine tra i triangoli rappresentati dalla linea tratteggiata
E’ bene non usare un intervallo di interpolazione troppo grande poichè esso può dar luogo
ad un risultato impreciso
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Criteri di valutazione degli investimenti
VAN O TIR: LE TRAPPOLE DEL TIR
 Molte imprese preferiscono usare il TIR invece del VAN per valutare la convenienza
economica di un progetto di investimento
Percentuale di CFO’s che usano sempre una tecnica particolare per valutare gli I
Fonte : GrahamJ.R. e C.R: Harvey, The Theory and Practice of Finance: Evidence From the Field, Journal of Financial Economics, 61, 2001.
 In realtà il VAN è il miglior criterio di scelta degli investimenti perché il criterio del TIR
contiene diverse trappole
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Criteri di valutazione degli investimenti
TRAPPOLA 1:
INVESTIMENTI RITARDATI 1/2
Si consideri il seguente esempio -- Una casa editrice offre ad un importante ex- manager 1
milione di $ per scrivere un libro sulle proprie esperienze di business. Egli stima che gli
serviranno tre anni per scrivere il libro e che il tempo speso nella scrittura gli farà perdere
fonti di reddito alternative per un totale di 500 mila $ l’anno . Inoltre stima un costo del
capitale del 10%
Il profilo dell’investimento si configura nel modo seguente (in ‘000 $)
Risulta
Fonte : Berk et al., 2009.
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Criteri di valutazione degli investimenti
TRAPPOLA 1:
INVESTIMENTI RITARDATI 2/2
Perché i due criteri forniscono esiti opposti ?
 Perché in realtà quello descritto non è un investimento ma bensì un finanziamento. Infatti
nei progetti di investimento i flussi di cassa in uscita precedono quelli in entrata. In questo
caso, invece, prima si ottengono i soldi del libro e poi si incorre nei suoi costi di
produzione
 È come se si fosse preso denaro a prestito e, quando si chiede un prestito, si cerca il tasso
più basso possibile. In altri termini, in questo caso il criterio ottimale consiste nel
prendere a prestito il denaro purchè il tasso del prestito sia inferiore al costo opportunità
del capitale
Fonte : Berk et al., 2009.
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Criteri di valutazione degli investimenti
TRAPPOLA 2: FLUSSI
DI CASSA NON CONVENZIONALI 1/8
Si consideri la seguente stringa di flussi di cassa
È facile verificare che il VAN di questo investimento si annulla sia con un tasso di attualizzazione
del 15,47% sia con un tasso di sconto pari al 33,3%
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TRAPPOLA 2: FLUSSI
DI CASSA NON CONVENZIONALI 2/8
 In generale
Gli investimenti caratterizzati da un unico cambio di segno nei flussi di cassa
ammettono un unico TIR
• Dove invece si verifica più di un cambio di segno è possibile che vi sia più di un tasso
che annulla il VAN, ossia è possibile che un progetto di investimento ammetta tassi
di rendimento multipli
o Secondo la “regola dei segni di Cartesio”, un polinomio può avere tante soluzioni
diverse quanti sono i cambiamenti di segno
•
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Criteri di valutazione degli investimenti
TRAPPOLA 2: FLUSSI
DI CASSA NON CONVENZIONALI 3/8
 In molti Paesi c’è un certo ritardo fra il momento in cui matura il reddito di un’impresa e il
momento in cui devono essere pagate le imposte su tale reddito
 Consideriamo il caso di un’impresa che deve valutare la proposta di una campagna
pubblicitaria che comprende una spesa iniziale di € 1M e genera un aumento dell’utile
prima delle imposte di € 300.000 in ciascuno dei prossimi cinque periodi
 L’aliquota d’imposta è pari al 50% e le imposte sono pagate con un periodo di ritardo
 I flussi di cassa (differenziali) attesi dall’investimento sono i seguenti
Nota: l’esborso iniziale di € 1M nel periodo 0 riduce il debito di imposta nel periodo 1 di € 500.000; quindi scriviamo +500 nel periodo 1.
Fonte: “Capital budgeting”, Brealey, Myers et al.
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TRAPPOLA 2: FLUSSI
DI CASSA NON CONVENZIONALI 4/8
 Calcolando la convenienza dell’investimento si ottiene
•
•
VAN(r = 10%) = 74,9 ovvero € 74.900
TIR = - 50% e TIR = 15,2%
 In altri termini, l’investimento presenta due TIR : il VAN è uguale a zero sia quando il tasso
di attualizzazione è -50% sia quando è +15,2%
 La figura mostra che ciò accade perché, al crescere di r, il VAN all’inizio aumenta e poi
diminuisce
• Il motivo di ciò è ovviamente il doppio
cambiamento di segno
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TRAPPOLA 2: FLUSSI
DI CASSA NON CONVENZIONALI 5/8
 Le imprese a volte risolvono il problema dei tassi di rendimento multipli retrocedendo,
tramite l’attualizzazione al costo del capitale, l’ultimo flusso di cassa sino ad ottenere una
serie di flussi di cassa che presenta solo un cambiamento di segno
 Da questa serie modificata si può derivare un tasso interno di rendimento modificato
 Nel nostro esempio ciò significa
•
1 Calcolare il VA nell’anno 5 del flusso di cassa dell’anno 6
VA.nell ' anno.5 = - 150 /1,1 = -136,36
•
•
2 Sommare al flusso di cassa dell anno 5 il valore attuale dei flussi di cassa
successivi
C5 + VA( flussi.di.cassa.successivi) = 150 -136,36 = 13,64
3 Calcolare il TIR modificato, che sarà unico e pari al 15% data la presenza di un
unico cambiamento di segno, con la serie dei flussi di cassa modificati
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TRAPPOLA 2: FLUSSI
DI CASSA NON CONVENZIONALI 6/8
 Nel nostro esempio il doppio cambiamento di segno era causato da un ritardo nel
pagamento delle imposte, ma questo non è il solo caso che può capitare
 Molti progetti originano significativi costi di smantellamento. In un’attività di estrazione
del carbone, ad esempio, occorre investire molto per recuperare il terreno dopo che tutto
il carbone è stato estratto. Quindi, una nuova miniera origina un investimento iniziale
(flusso di cassa negativo), una serie di flussi di cassa positivi e un’uscita finale per il
recupero del terreno
 La serie dei flussi di cassa cambia segno due volte e perciò l’investimento in una miniera
di solito ha un TIR doppio
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Criteri di valutazione degli investimenti
TRAPPOLA 2: FLUSSI
DI CASSA NON CONVENZIONALI 7/8
Esempio – Progetti con flussi di cassa non convenzionali
Project
C0
C1
C2
A
-1000
B
-1000
500
500
C
-1000
500
500
500
D
1000
-500
-500
-500
E
-1000
500
500
176
F
-1000
3000
-2500
0
0
-339
G
-650
3000
-2500
0
0
11
0
C3
0
C4
0
NPV(10%)
IRR
2415
50%
-132
0%
3180
2415
67%
-3180
-2415
67%
5000
0
0
0
0
10%
?
252%
9%
Progetti A e C →VAN(A) = VAN(C) ma TIR(A) < TIR(C)
Progetti C e D → VAN(C) = -VAN(D) ma TIR(C) = TIR(D)
Progetti F e G →
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Criteri di valutazione degli investimenti
TRAPPOLA 2: FLUSSI
DI CASSA NON CONVENZIONALI 8/8
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Criteri di valutazione degli investimenti
3. Profitto economico (EVA) 1/3
 Il nome di Economic Value Added (EVA) è stato coniato da Stern Stewart, una società di
consulenza specializzata nel miglioramento dell’efficienza aziendale
 In particolare, l’Economic Value Added, il cui acronimo EVA è stato persino registrato
come marchio, non è nato come criterio di scelta degli investimenti, e anche oggi non è
utilizzato principalmente a questo scopo, ma si basa su molti concetti comuni al calcolo
del VAN. Ipotizzeremo un criterio decisionale basato sull’EVA e lo metteremo in relazione
con il VAN
 L’EVA misura il valore che annualmente l’impresa riuscirebbe ad estrarre dal progetto in
corso di valutazione rispetto al costo che sosterrebbe per usare il capitale che il progetto
richiede
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Criteri di valutazione degli investimenti
3. Profitto economico (EVA) 2/3
Formula dell’EVA quando il capitale investito è costante
 Consideriamo un progetto che richieda un investimento iniziale di I. Supponiamo che il
capitale rimanga costante nel tempo e generi un flusso di cassa C t ad ogni data futura t. Se
il costo del capitale è pari ad r, allora in ogni periodo il costo di impegnare I nel progetto
invece di investirli altrove, è r * I. Questo costo, ossia il costo opportunità associato all’uso
del capitale nel progetto, è detto costo del capitale impiegato
 In ciascun periodo t dell’investimento, l’EVA è pari alla differenza tra il flusso di cassa
generato dal progetto e il costo del capitale impiegato
EVAt = Ct - r * I
 Il criterio di decisione associato a questo metodo è perciò : accettare qualsiasi
opportunità di investimento in cui il valore attuale di tutti gli EVA futuri sia positivo
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Criteri di valutazione degli investimenti
EVA : ESEMPIO 1
 Si riprenda l’esempio precedente dell’impresa FFF e si calcoli l’EVA del progetto
fertilizzante, che richiede un investimento di 250 milioni di $ e genera un flusso netto di
35 milioni di $ ogni anno
 L’EVA ogni anno è EVAt = 35 - r * 250
 Usando la formula della rendita perpetua, il valore attuale di questi EVA è
 Questo valore corrisponde al VAN del progetto : la FFF dovrebbe effettuare l’investimento
se il suo costo del capitale è inferiore al 14%
Fonte : Berk et al., 2009.
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Criteri di valutazione degli investimenti
3. PROFITTO ECONOMICO (EVA) 3/3
Consideriamo un progetto che richieda un investimento iniziale di I. Supponiamo che il
capitale rimanga costante nel tempo e generi un flusso di cassa C t ad ogni data futura t. Se il
costo del capitale è pari ad r, allora in ogni periodo il costo di impegnare I nel progetto
invece di investirli altrove, è r * I. Questo costo, ossia il costo opportunità associato all’uso
del capitale nel progetto, è detto costo del capitale impiegato
In ciascun periodo t dell’investimento, l’EVA è pari alla differenza tra il flusso di cassa
generato dal progetto e il costo del capitale impiegato
EVAt= Ct - r * I
 Il criterio di decisione associato a questo metodo è perciò : accettare qualsiasi opportunità
di investimento in cui il valore attuale di tutti gli EVA futuri sia positivo
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Criteri di valutazione degli investimenti
EVA: ESEMPIO 2 1/2
 Si sta considerando di installare un nuovo sistema di illuminazione a risparmio energetico
nel magazzino aziendale. L’installazione costa 300 mila $ e si stima un risparmio totale di
75 mila $ l’anno. Le lampadine si deprezzeranno in modo uniforme lungo un periodo di 5
anni, al termine del quale dovranno essere sostituite. Cosa indica il criterio dell’EVA circa
l’opportunità di questo progetto, se il costo del capitale per l’impresa è pari al 7% ?
 L’EVA ogni anno si calcola come segue
Anno
Capitale
Flusso di cassa
Costo del capitale
impiegato
Ammortamento
EVA
 Ad esempio,
0
300
1
240
75
21
2
180
75
16,8
3
120
75
12,6
4
60
75
8,4
5
0
75
4,2
60
-6,0
60
-1,8
60
2,4
60
6,6
60
10,8
EVA1  75  7% * 300  60  6
Fonte : Berk et al., 2009.
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Criteri di valutazione degli investimenti
EVA: ESEMPIO 2 2/2
Quindi, il valore attuale di tutti gli EVA annui cosi calcolati è
… e pertanto il progetto va accettato
Proviamo a calcolare anche il VAN di questo investimento. Risulta
Come vediamo, anche in questo caso, i criteri dell’EVA e del VAN coincidono !
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Criteri di valutazione degli investimenti
4. IL CRITERIO DEL PERIODO DI
RECUPERO (PB) 1/2
 È il criterio più semplice per le decisioni di investimento e sostiene che un’opportunità
che permette di recuperare rapidamente l’investimento iniziale è buona
• Nello specifico, il periodo di recupero o tempo di ripagamento (pay back, PB)
rappresenta l’orizzonte temporale futuro oltre il quale, in termini attuali,
l’investimento comincia a generare valore netto
• Rappresenta una sorta di punto di break-even dell’investimento
• Il PB esprime, quindi, il grado di liquidità di un progetto (non la sua bontà economica)
 In generale, fissato a priori un periodo di recupero di x anni (detto cut-off period), si
accettano tutti gli investimenti con un periodo di recupero inferiore o uguale a x
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Criteri di valutazione degli investimenti
IL CRITERIO DEL PERIODO DI
RECUPERO (PB) 2/2
Graficamente, il tempo di recupero può essere rappresentato nel modo seguente
In corrispondenza
del tempo t = BP i
costi
dell’investimento
sono, in termini
attuali,
interamente
recuperati
Oltre il tempo t = BP i benefici attesi dell’investimento,
espressi in valore attuale, sono superiori ai costi
Progressivamente, l’investimento comincia a generare i suoi
benefici e il valore attuale cumulato comincia a crescere
Il VAN cumulato al tempo t = 0 necessariamente
corrisponde all’esborso dell’investimento
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PB: ESEMPIO 1 1/2
Un nuovo progetto richiede un investimento iniziale di € 10.000 e genererà flussi di cassa
futuri pari a € 3.000 nei primi tre anni, € 4.000 nei successivi due e € 6.000 il sesto anno
Il tasso di rendimento richiesto è del 14%
Qual è il periodo di recupero dell’investimento?
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PB: ESEMPIO 1 2/2
Costruiamo innanzitutto una tabella con l’indicazione del valore attuale dei flussi di cassa
futuri generati dall’investimento e del valore attuale cumulato al termine di ciascun periodo
tra t = 0 e t = T
0
1
2
3
4
5
6
CF
-10,000
3,000
3,000
3,000
4,000
4,000
6,000
Note: NPV is
CCF
-10,000 -7,000 -4,000 -1,000
3,000
7,000 13,000
€4,144 > 0
DCF
-10,000
2,632
2,308
2,025
2,368
2,077
2,734
-10,000 -7,368 -5,060 -3,035
-667
1,411
4,144
Dove: CDCF
•
CF, Cash Flows (C)
•
CCF, Cumulative Cash Flows
•
DCF, Discounted Cash Flows (VA)
•
CDCF, Cumulative Discounted Cash Flows
Discounted Payback:
5 years
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Criteri di valutazione degli investimenti
QUANDO IMPIEGARE IL PB
 Il periodo di recupero è il numero di anni necessari per recuperare l’investimento iniziale
di un progetto attraverso l’accumulo del valore attuale dei flussi di cassa in ingresso
generati da un investimento
 In quanto misura della liquidità del progetto, nella scelta di un investimento andrebbe
sempre affiancato all impiego di un criterio di bontà economica del progetto
 È un metodo fortemente utilizzato dal management in presenza di elevata incertezza
sui flussi e sui rendimenti futuri
• E, normalmente, maggiore è l’incertezza minore è il cut-off period
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Criteri di valutazione degli investimenti
VANTAGGI E SVANTAGGI DEL
CRITERIO DEL PB 1/2
Principali vantaggi del PB
La valutazione degli investimenti basata sul metodo del periodo di recupero è utilizzata in
modo diffuso, essenzialmente per i seguenti motivi
1. Semplicità ed efficacia – facile da comprendere ed utilizzare
2. Utile come strumento di valutazione e selezione di massima dei progetti
3. Efficace come incentivo alla generazione dei flussi di cassa, nei casi in cui ciò è
importante
4. Utile nelle situazioni in cui l’analisi dettagliata degli altri metodi non è necessaria
(ad esempio, nelle decisioni di manutenzione)
5. Particolarmente adatto ai contesti in cui il rapido cambiamento tecnologico e/o la
turbolenza ambientale richiedono un rapido recupero degli investimenti effettuati
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VANTAGGI E SVANTAGGI DEL
CRITERIO DEL PB 2/2
Principali svantaggi del PB
1. È l’unico dei metodi analizzati a non fornire una valutazione sulla redditività
dei progetti (assoluta o relativa)
2. Tende ad ignorare i flussi di cassa oltre il cut-off period, una volta che
l’investimento iniziale è recuperato
3. Presenta la tendenza a rifiutare i progetti di lungo periodo, anche se presentano
VAN positivi
4. La tecnica è difficile da applicarsi se le spese di investimento avvengono in più di un
periodo, oppure se ci sono grandi spese nelle fasi conclusive della vita del progetto
Nonostante gli svantaggi evidenziati sopra, il metodo del periodo di recupero rimane uno
degli strumenti più utilizzati nella valutazione dei progetti di investimento
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