Calcolo delle Probabilità - Università degli Studi della Basilicata

Calcolo delle Probabilità
Probabilità e Statistica I - a.a.
2004/2005 - Calcolo delle Probabilità
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Quanto è “possibile” un esito?
La verosimiglianza di un esito è quantificata da un numero compreso
tra 0 e 1. In particolare, 0 indica che l’esito non si verifica e 1 indica
che l’esito si verifica senza dubbio.
La Probabilità che oggi piova è circa il 50%.
Soggettiva
Rappresenta il grado di
fiducia di una persona
che l’evento occorra.
Frequentista
E’ il valore “limite” che
la frequenza relativa di
occorrenza di un evento
raggiunge al crescere del
numero delle prove.
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?
Assiomatica
E’ una funzione definita
sullo spazio campione e
a valori in [0,1], assegnata
su una “base” ragionevole
del modello studiato.
2
1
Definizione assiomatica:
Vengono effettuate
delle
ASSUNZIONI
Insieme di assiomi che le
probabilità
assegnate in un esperimento
casuale
Definizione devono soddisfare.
La probabilità è un numero compreso tra 0 e 1 assegnato ad ogni membro di una
collezione di eventi di un esperimento casuale che soddisfa le seguenti proprietà :
(a) P( S ) = 1;
(b) 0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀A ⊆ S ;
(c) per ogni successione di eventi {Ei } disgiunti si ha P(∑ Ei ) = ∑ P(Ei ).
Le probabilità saranno assegnate in base alla nostra conoscenza del sistema esaminato.
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Come si assegna una misura di probabilità ad un evento?
Esempio: Si selezioni a caso un diodo al laser da un un insieme di 100 diodi.
Qual è la probabilità di selezionare un diodo a caso da un insieme di 100 diodi?
Le parole “a caso” suggeriscono che è ragionevole assumere ogni diodo abbia la
stessa probabilità di essere scelto, ossia è ragionevole assumere che la probabilità
che un diodo sia scelto è 0.01.
REGOLA: Se |S|=N e gli esiti sono tutti egualmente probabili, la
probabilità di un singolo esito è 1/N.
Degli eventi casuali si dicono equiprobabili in una data prova se la simmetria dell’
esperimento permette di supporre che nessuno di essi sia più probabile di un altro.
Ad esempio l'apparizione di una delle sei facce di un dado nel caso in cui questo sia non
truccato.
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Definiamo evento certo quell'evento che in seguito ad un esperimento deve obbligatoriamente verificarsi. Tale evento costituisce l'unita di misura per la probabilità: si attribuisce, cioè, all'evento certo probabilità uguale all'unità. Di conseguenza tutti gli altri eventi, probabili ma non certi, saranno caratterizzati da probabilità minori all'unità.
L'evento contrario all'evento certo è detto impossibile, ossia un evento che non può accadere nella prova in questione. All'evento impossibile è associata una probabilità uguale a
zero.
REGOLA: Se E è l’evento impossibile allora P(E)=0
Se E è l’evento certo allora P(E)=1.
… Si assuma che il 30% dei diodi tra i 100 verifichi la potenza minima richiesta
da un cliente. Sia E l’evento che, selezionando a caso un diodo, questo soddisfi la
potenza minima richiesta. Poiché E contiene 30 esiti ciascuno dei quali ha probabilità 0.01 di essere scelto, quanto vale la probabilità di E?
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Definizione: Per uno spazio campione discreto, la probabilità di
un evento E, denotata con P(E), è pari alla somma delle probabilità degli esiti che costituiscono E.
…Si assuma che nessuno dei diodi tra i 100 verifichi la potenza minima richiesta
da un cliente. Sia E l’evento che, selezionando a caso un diodo, questo soddisfi la
potenza minima richiesta. Quanto vale la probabilità che si verifichi E?
Si dicono eventi mutuamente disgiunti o incompatibili quegli eventi aleatori che non
possono verificarsi simultaneamente in una data prova. Ad esempio l'apparizione simultanea
di testa e di croce nel lancio di una moneta.
REGOLA: Se A e B sono eventi disgiunti, si ha
( I B) = 0
PA
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ESERCIZI
1. Lo spazio campione di un esperimento casuale è {a,b,c,d,e} con probabilità
0.1, 0.1, 0.2, 0.4 e 0.2. Sia A = {a, b, c} e B = {c, d , e}. Determinare P ( A), P( B ),
P ( A C ), P( AU B), P( AI B ).
2. Tre libri sono scelti a caso da uno scaffale contenente 4 romanzi, 3 saggi e 1
dizionario. Qual è la probabilità che sia scelto il dizionario? Qual è la probabi lità che siano scelti due romanzi e un saggio?
3. Con 6 foglietti ciascuno riportante una lettera si può formare la parola
LATENT. I foglietti vengono rimescolati ed estratti casualmente uno al la volta. Qual è la probabilità di formare la parola TALENT?
4. Si lancino due monete: qual è la probabilità che si verifichi al più
una testa? Qual è la probabilità che si verifichi almeno una testa? Qual è la
probabilità che non si verifichi alcuna testa?
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5. Vengono selezionati dei campioni di birra da tre fornitori in base alla rispettiva
conformità a certi requisiti.
I risultati relativi a 100 campioni sono riassunti nel seguito :
specifiche
1
fornitori 2
SI
18
17
NO
2
3
3
50
10
Sia A l' evento che un campione proviene dal fornitore 1 e B l' evento che un
campione è conforme alle specifiche.
Se un campione di birra è selezionato a caso, calcolare
(a) P ( A)
(b) P( B)
(c) P ( AC )
U B)
(e) P ( AI B )
(d) P( A
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Esercizio: Sia x la lunghezza di un blocchetto metallico prodotto in una certa
azienda. Si sa che il 10% dei blocchetti prodotti ha lunghezza al più 7.55 mm,
che il 15% ha lunghezza superiore a 7.55 mm ma al più 7.57 mm.Selezionando
un blocchetto a caso, qual è la probabilità che la sua lunghezza sia al più 7.57
mm?
REGOLA : Se E1 I E 2 = ∅ allora P ( E1 ) + P ( E 2 ) = P ( E1 U E 2 )
E se gli eventi non fossero mutuamente disgiunti?
REGOLA : Se A, B ⊆ S allora P ( AU B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AI B)
Esercizio: In una coppia di sposi la probabilità che l’uomo sopravviva fino a 70
anni è 72%, la probabilità che la donna sopravviva fino a 70 anni è 85%, la probabilità che sopravviva uno dei due fino a 70 anni è del 95%. Quanto vale la
probabilità che sopravvivano entrambi fino a 70 anni?
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Si lancino due dadi: qual è la probabilità di totalizzare 6? Si supponga che
durante il lancio (ad esempio su un tavolo) uno dei due dadi si sia fermato,
mostrando la faccia pari a 2. Qual è ora la probabilità di totalizzare 6?
Quando si acquisiscono maggiori informazioni sull’esperimento
casuale, le possibilità di occorrenza degli esiti vanno rivalutate.
Definizion e
La probabilit à condiziona ta di un evento A dato un evento B, denotato con
P( A | B) è
P( A | B) =
P ( AI B )
P( B)
per P ( B ) > 0.
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Esercizio: 266 campioni di aria sono stati
classificati in base alla presenza di una molecola di due gas rarefatti. Qual è la probabilità che scelto un campione a caso, questo
GAS B
contenga la molecola del gas A? Qual è la
probabilità che il campione scelto contenga
la molecola del gas A se contiene quella di B?
GAS A
no
no
212
si
24
si
18
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Regola della Moltiplica zione
P ( AI B ) = P ( A | B ) P ( B ) = P ( B | A) P ( A)
Esercizio: In un’urna ci sono 10 palline, di cui 6 rosse e 4 nere. Si estrae una
pallina e si osserva il colore. Si estrae poi una seconda pallina senza aver rimesso nell’urna la precedente. Qual è la probabilità che il colore di entrambe le palline sia rosso?
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E' utile dare un'interpretazione geometrica alla probabilità condizionata. Dal momento che
abbiamo sempre associato al concetto di probabilità quello di area dell'evento nel diagramma
degli insiemi, possiamo ricondurci a questa associazione ed osservare la figura. Sapendo che
si è verificato B, la probabilità che si verifichi A è pari
alla probabilità che si verifichi l'intersezione dei due
eventi; ciò equivale a calcolare il rapporto tra l'area
dell'intersezione di A e B (in blu chiaro) e l'area totale
di B (blu chiaro + blu scuro). Il rapporto tra le aree
nel diagramma insiemistico corrisponde al rapporto
tra le probabilità degli eventi considerati.
“...quando un numero non esce da molto tempo, i giocatori corrono a coprirlo di denaro.
Essi ritengono che quel numero reticente debba uscire al prossimo colpo, a preferenza
di altri..., ma il passato non può avere alcuna influenza sull' avvenire" (Pierre Simon de
Laplace)”.
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Definizion e
Due eventi A e B si dicono indipenden ti se risulta vera una delle seguenti
proposizio ni :
(1) P ( A | B ) = P ( A);
(2) P ( B | A) = P ( B );
(3) P ( AI B ) = P ( A) P ( B )
Il concetto di indipendenza dipende dal modello usato per descrivere l’esperimento casuale
STOCASTICA: è parte dell’
esperimento casuale che descrive l’esperimento fisico
STATISTICA: dipende dal
modello di probabilità impiegato nell’esperimento casuale.
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Indipendenza stocastica
Esercizio: Il circuito in figura funziona solo se c’e’ almeno uno strumento che funziona. La probabilità che ogni strumento funzioni è pari a 0.95. Qual è la probabilità
che il circuito funzioni?
A
b
a
B
Esercizio: 84 campioni di aria sono stati
classificati in base alla presenza di una molecola di due gas rarefatti. Qual è la probabilità che scelto un campione a caso, questo
contenga la molecola del gas B? Qual è la
probabilità che il campione scelto contenga
la molecola del gas B se contiene quella di A?
Indipendenza statistica
GAS A
no
no
32
si
24
si
16
12
GAS B
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Definizion e
Gli eventi E1 , E 2 , K , E n sono indipendenti se e solo se per ogni sottoinsieme
Ei1 , Ei2 ,K , Eik risulta :
P( Ei1 I Ei2 IKI Eik ) = P( Ei1 ) × P( Ei2 ) × L × P( Eik )
Esercizio: Il circuito in figura funziona solo se c’e’ almeno uno strumento che funziona. La probabilità che ogni strumento funzioni è pari a 0.95. Qual è la probabilità
che il circuito funzioni?
A
C
a
E
B
b
D
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Esercizio: In un’urna ci sono 10 palline, di cui 6 rosse e 4 nere. Si estrae una
pallina e si osserva il colore. Si estrae poi una seconda pallina senza aver rimesso nell’urna la precedente. Qual è la probabilità che il colore di entrambe le palline sia rosso? Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta sia rossa?
Regola delle probabilit à totali
∀A, B ⊆ S , P ( B ) = P ( BI A) + P( BI A C ) = P ( B | A) P ( A) + P( B | A C ) P ( A C )
A
AC
B
S Si osservi che {A,A C }costituisc e
una partizione di S , ossia
AU A C = S , AI A C = Ø
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E1
E2
E3
Una collezione di eventi E1 , E 2 , K, E k si dice
E4
mutuamente esclusiva se ∀i, j ∈ {1,2,K ,n},
k
Ei I E j = Ø ed esaustiva se S = U Ei .
B
i =1
E5
S
Una collezione di eventi mutuamente esclusiva
ed esaustiva costituisce una partizione di S .
Regola delle probabilità totali
Se E1 , E 2 ,K, E k sono eventi mutuamente esclusivi ed esaustivi, allora
∀B ⊆ S è
k
P( B ) = ∑ P( B | Ei ) P( Ei )
i =1
Esercizio: Nella produzione di un semiconduttore vale 0.10 la probabilità che un chip,
soggetto ad elevati livelli di contaminazione durante il processo di produzione, provochi un malfunzionamento del semiconduttore. Vale invece 0.005 la probabilità che un
chip non soggetto a contaminazione provochi lo stesso un malfunzionamento. Qual
è la probabilità che un semiconduttore in cui è inserito uno di questi chip non funzioni
bene se si conosce che il 20% dei chip è soggetto a contaminazione?
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Esercizio: Una ditta produttrice di autovetture riceve da tre fornitori i cambi da
installare nelle macchine secondo le seguenti percentuali: 65%, 25% e 10%. Sapendo che i tre fornitori producono i cambi con una difettosità dichiarata rispettivamente del 5%,10% e 25%, calcolare la probabilità che ha la ditta produttrice di
autovetture di ricevere un cambio difettoso.
Avendo selezionato a caso una automobile e avendo riscontrato che tale automobile
risulta possedere un cambio difettoso, qual è la probabilità che vi sia stato montato
un cambio proveniente dal secondo fornitore?
Teorema di Bayes
Se C1 , C2 , K , Ck sono n eventi mutuamente esclusivi ed esaustivi, allora ∀B ⊆ S ,
con P( B) >0 risulta per i = 1,2,K , n
P (Ci | B ) =
P( B | Ci ) P(Ci )
n
∑ P( B | C ) P(C )
i
i
i =1
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C1 , C2 ,K, Ck sono le cause
Ei è l' effetto
Da quale degli eventi Ci è stato causato l' effetto Ei?
P(C j ) probabilità a - priori, P(C j | Ei ) probabilità a - posteriori
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P ( E1 | C1 )
P (C1 )
P (C 2 )
P (C n )
C1
C2
Cn
P ( Em | C1 )
P ( E1 | C2 )
P( Em | C2 )
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E1
Em
E1
Em
P ( E1 | Cn )
E1
P ( Em | C n )
Em
Diagramma ad albero
delle probabilità
Esercizio: Poiché è stata provata l’efficacia di una nuova procedura medica nella
prevenzione di una certa malattia, si decide di effettuare un test diagnostico sulla
popolazione. La probabilità che il test riconosca (test positivo) che il paziente è
malato vale 0.99, mentre vale 0.95 la probabilità che il test riconosca (test negativo) che il paziente è sano. L’incidenza della malattia nella popolazione è pari
a 0.0001. Mario si sottopone al test e il risultato è positivo. Qual è la probabilità che Mario sia effettivamente malato?
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