05_Circuiti - dipartimento di fisica della materia e ingegneria

Generatore di forza
elettromotrice f.e.m.
Un dispositivo che mantiene una differenza di potenziale
tra una coppia di terminali
•
•
•
•
•
batterie
generatori elettrici
celle solari
termopile
celle a combustibile
L’energia si conserva ! Un dispositivo f.e.m. converte
semplicemente altre forme di energia (p.es., chimica,
meccanica, solare, termica, e così via) in energia elettrica.
Fisica II – CdL Chimica
F.E.M.
Forza Elettromotrice
All’interno di un dispositivo f.e.m., i portatori di carica
positiva si muovono dal terminale a potenziale più
basso (cioè, il terminale negativo) a quello a potenziale
più alto (cioè, il terminale positivo).
Quindi del lavoro deve essere
svolto nel processo. La f.e.m.
del dispositivo è definita come
lavoro per unità di carica:
unità SI: volt (V)
1 J/C = 1 V
Fisica II – CdL Chimica
Dispositivi f.e.m. ideali e reali
• Dispositivo f.e.m. ideale: un dispositivo f.e.m. in cui
i portatori di carica non subiscono alcun effetto di
resistenza elettrica quando si muovono da un
terminale all’altro. In questo caso, la differenza di
potenziale tra i due terminali è eguale alla f.e.m. del
dispositivo.
• Dispositivo f.e.m. reale: un dispositivo f.e.m. in cui i
portatori di carica subiscono un effetto di
resistenza elettrica quando si muovono da un
terminale all’altro. In questo caso, la differenza di
potenziale tra i due terminali è più piccola della
f.e.m. del dispositivo, a causa della dissipazione di
energia interna. Ci riferiamo a questo fenomeno
come caduta di tensione Ohmica.
Fisica II – CdL Chimica
Circuiti elettrici “stazionari”
Come facciamo a determinare le
correnti che fluiscono negli elementi
circuitali (resistenze) quando le
combinazioni di tali elementi
diventano più complesse (circuiti) ?
Cioè non possiamo “ridurre” ad
un’unico resistore equivalente le
resistenze presenti nel circuito.
Fisica II – CdL Chimica
Definizioni
• Nodo: giunzione di ALMENO tre rami di un
circuito
• Maglia: percorso CHIUSO lungo un circuito
elettrico (punto iniziale e finale coincidenti).
Fisica II – CdL Chimica
Leggi di Kirchoff
“I legge: dei nodi”
“La somma delle correnti che entrano
in nodo deve essere eguale alla somma
delle correnti che escono dal nodo
stesso."
• Questa legge deriva dal principio di
conservazione della carica, valido in ogni nodo.
• Le correnti che entrano e escono dai nodi del circuito sono note come
“correnti di ramo”.
• Ciascun ramo deve avere una distinta corrente, Ii assegnata ad esso
Fisica II – CdL Chimica
Leggi di Kirchhoff
“II legge: delle maglie”
“La somma algebrica delle differenze di potenziale
rilevate su un circuito chiuso in un giro completo è nulla."
1
Muovendosi in
senso orario
sul circuito:
I

+ 1
R1
- IR1
R2
- IR2
2

- 2 =0
• Questo è soltanto un altro modo per ribadire ciò che sapevamo:
la differenza di potenziale è indipendente dal cammino!
Fisica II – CdL Chimica
Regola pratica
- +
1
Muovendosi
sul circuito:

+ 1
I
R1
R2
- IR1
- IR2
+
2 
- 2 =0
• Gli incrementi di potenziale sono positivi, le diminuzioni (“caduta”)
sono negative.
• Scegliamo una direzione ARBITRARIA per la corrente e (p. es.)
percorriamo il circuito nella medesima direzione.
• Se una batteria viene attraversata dal terminale negativo a quello
positivo, il potenziale aumenta, e quindi la d.d.p. della batteria entra
nell’equazione con un segno +,
• Se il percorso scelto è tale da attraversare la batteria da (+) a (-)
V diminuisce ed entra nell’equazione con il segno -.
• Attraversando un resistore (resistenza), nel verso della corrente, il
potenziale diminuisce e quindi entra nell’equazione con un segno - .
Fisica II – CdL Chimica
Regola pratica
invertendo il senso della corrente (mantenendo il verso di percorrenza orario),
si ha sulla maglia
+
- + I

+ 1
- IR1
- IR2

- 2
=0
• E’ impossibile scegliere un verso del cammino “sbagliato”
(circuiti a più maglie). SE INVERTIAMO UN CAMMINO, SI
DEVONO CAMBIARE TUTTI I SEGNI NELL’EQUAZIONE.
Non vi è alcuna differenza nell’algebra !
• COMUNQUE, è possibile che nella soluzione una o più delle
correnti risultino NEGATIVE.
• Se questo accade, vuole semplicemente dire che la direzione
del flusso di corrente è in realtà opposto a quello
arbitrariamente scelto.
Fisica II – CdL Chimica
R1
Esempio
Scelto un verso per I, e
percorrendo la maglia in
senso antiorario
b
R4
1
a
f
I
I
d
c
R2
2
e
R3


Se 1 < 2 , I sarebbe negativa, cioè
fluirebbe in senso orario, opposto al
verso ipotizzato
Se invertiamo il verso scelto per I (ma non quello di percorrenza)


Fisica II – CdL Chimica
Se 2 < 1 , I sarebbe negativa, cioè
fluirebbe in senso orario, opposto al
verso di percorrenza scelto
Resistori in serie
Consideriamo un circuito costituito da una batteria
ideale e due lampadine con resistenze R1 e R2.
La resistenza equivalente di un insieme di resistori collegati
in serie è uguale alla somma delle singole resistenze ed è
sempre maggiore di ciascuna di esse
Fisica II – CdL Chimica
Resistori in parallelo
Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale e
due lampadine collegate in parallelo con resistenze R1 e R2.
L’inverso della resistenza equivalente di due o più resistori
collegati in parallelo è uguale alla somma dell’inverso delle
singole resistenze (sempre minore del più piccolo resistore).
Fisica II – CdL Chimica
Esempio
1)
2)
3)
4)
Le lampadine collegate al
generatore in questo modo,
sono tutte eguali:
quale sarà, nell’ordine, la loro
luminosità ?
cosa succede se si interrompe
A (“si brucia) ?
se si interrompe C ?
se si interrompe D ?
1. in C e in A+B passa la stessa corrente, quindi C sarà
più luminosa di A o B, che hanno la stessa luminosità; D
non si accenderà mai (ha i terminali in corto-circuito)
2. B si spegne, C più luminosa, D sempre spenta
3. A e B più luminose, D sempre spenta
4. ininfluente
Fisica II – CdL Chimica
Esempio
a) trovare la resistenza equivalente della
rete di resistori in grafico
b) qual è la corrente in ciascun resistore
se la d.d.p. tra a e c vale Vac=42V
Applicando le relazioni
per collegamento in serie
e parallelo di resistenze
Fisica II – CdL Chimica
Esercizio
Determinare la corrente in ciascuno
dei rami del circuito in figura.
Definiamo i versi (arbitrari) delle correnti e
semplifichiamo le resistenze in serie:
Fisica II – CdL Chimica
Resistenza interna di un
dispositivo fem
• Qualunque
dispositivo fem ha una resistenza interna.
Consideriamo una batteria reale.
• Applichiamo la legge di Kirchhoff alle maglie (senso orario)
Fisica II – CdL Chimica
Energia e Potenza nei circuiti elettrici
V
Rammentiamo:
Supponiamo che la corrente nel circuito
in fig. sia i, fluendo attraverso la d.d.p. V.
In un intervallo di tempo dt, la quantità di
carica che si muove da a a b è quindi
dq = idt. La variazione nell’energia
potenziale associata con questa carica è
Potenza = (Energia)/(intervallo di Tempo)
Pertanto, la potenza associata
con il trasferimento di carica è
Per un dispositivo di resistenza R,
la dissipazione di potenza è
Fisica II – CdL Chimica
Tre modi per
scrivere P.
Campi elettrici nei circuiti
Analogia fluidodinamica riferita ad un
circuito elettrico
La batteria provvede a stabilire una f.em.
nel circuito: “pompa” le cariche da un
potenziale minore ad uno maggiore.
Lavoro svolto dalla batteria
La f.e.m. è il lavoro per unità di carica.
Non si può associare F/q ad un campo elettrico perchè la forza
F che agisce all’interno del generatore ha, in generale, diversa
origine (chimica, meccanica, …)
Fisica II – CdL Chimica
Campi elettrici nei circuiti
Entro i fili è presente un campo elettrico
(necessario per lo scorrimento delle
cariche). Condizioni NON elettrostatiche !
Inizialmente (pochi ns) le correnti
distribuiscono le cariche sulle superfici
dei fili in modo da creare all’interno un
campo elettrico.
Le cariche superficiali “guidano” la corrente lungo
le curve del filo metallico.
La maggiore resistività di
un resistore si traduce in
una “strozzatura”:
le cariche elettriche si addensano agli estremi conduttori per
stabilire un campo elettrico sufficiente a garantire il flusso di
corrente !
Fisica II – CdL Chimica
Conservazione dell’energia
Consideriamo un circuito costituito da una batteria ideale
(B) con f.e.m. , un resistore R, e due fili di connessione
(con resistenza trascurabile).
• Conservazione Energia: l’energia dissipata nel resistore
deve eguagliare il lavoro fatto dalla batteria
Durante un intervallo di tempo dt, il lavoro svolto dalla
batteria è dW =  dq =  i dt, l’energia dissipata nel resistore è
dE = i2R dt. Eguagliando le due relazioni si ha i = / R.
Fisica II – CdL Chimica
Generatore di f.e.m. reale
la resistenza interna del generatore
deve essere trascurabile rispetto a
quella del carico per avere un
efficiente trasferimento di energia !
Fisica II – CdL Chimica
Potenza (elettrica) e Dissipazione
La potenza netta trasferita da un dispositivo fem
ai portatori di carica è data da
•
Definizioni:
potenza FEM :
Dissipazione interna di potenza:
Conservazione dell’Energia !
Fisica II – CdL Chimica
Esempio 1
• Consideriamo il circuito in figura:
50
a
Qual è la relazione tra Va -Vd e Va -Vc ?
b
I2
I1
(a) (Va -Vd) < (Va -Vc)
(b) (Va -Vd) = (Va -Vc)
(c) (Va -Vd) > (Va -Vc)
12V
20
80
d
c
• Rammentare che il potenziale è indipendente dal cammino !
• I punti d e c sono identici, elettricamente
Avendo assunto cd come un perfetto conduttore, i punti c e d
sono equipotenziali. Ciò varrebbe anche se il circuito non fosse
statico, come in questo esempio.
Fisica II – CdL Chimica
Esempio 2
• Consideriamo il circuito in figura:
50
a
b
– Qual è la relazione tra I1 e I2?
12V
20
80
d
(a) I1 < I2
•
(b) I1 = I2
I2
I1
c
(c) I1 > I2
Si noti che: Vb -Vd = Vb -Vc (assumendo fili conduttori ideali)
• Pertanto,
Fisica II – CdL Chimica
Suggerimenti per risolvere i problemi
• Dato un circuito, analizzarne attentamente la topologia.
– trovare i nodi e ciascun ramo , selezionarne i sottoinsiemi
Linearmente Indipendenti.
– definire le correnti di ramo
• Usare la II legge di Kirchhoff per tutte le maglie
indipendenti nel circuito.
– la somma delle tensioni lungo queste maglie è nulla !
• Usare la I legge di Kirchhoff per tutti i nodi
independenti del circuito.
• Il numero di equazioni indipendenti necessarie deve
essere eguale al numero di correnti incognite !
Fisica II – CdL Chimica
Amperometro e Voltmetro
Amperometro: strumento usato per
misurare correnti
• Deve essere connesso in serie.
• La resistenza interna di un
amperometro deve essere la più
piccola possibile.
Voltmetro: uno strumento usato per
misurare differenze di potenziale
• Deve essere connesso in parallelo.
• La resistenza interna di un
voltmetro deve essere la più grande
possibile.
Fisica II – CdL Chimica
Amperometro e Voltmetro
Amperometro: misura correnti
• connesso in serie: bisogna “interrompere” un ramo di circuito
ed inserire lo strumento.
• In pratica l’Amperometro è essenzialmente una resistenza di
“shunt” (di caduta) Rs molto bassa, inserita nel ramo del circuito,
con un voltmetro ad elevata “impedenza” connesso ai suoi capi
(dello “shunt”) che misura la corrente di “shunt” come
I = V/Rs
Voltmetro: misura differenze di potenziale
• La resistenza interna di un voltmetro deve essere resa la più
grande possibile rispetto alle resistenze presenti nel circuito
dove effettuare la misura.
• Se Rvoltmetro = 100 x Rj essa ridurrà il valore effettivo di Rj
di circa 1% e perturberà il flusso delle correnti nella maglia e,
potenzialmente, anche in altre.
Fisica II – CdL Chimica
Circuiti non-stazionari
• Fin qui abbiamo trattato correnti costanti,
cioè circuiti in condizioni stazionarie
• Consideriamo adesso dei semplici circuiti in
cui la corrente varia nel tempo
• Calcolo Carica di un condensatore attraverso
una Resistenza
• Calcolo Scarica di un condensatore
attraverso una Resistenza
Fisica II – CdL Chimica
Circuiti RC
• il condensatore è inizialmente scarico
• per t<0 l’interruttore S è aperto, non circola corrente
• per t>0 chiudiamo S, circola una corrente I: il campo elettrico
della batteria spinge gli elettroni verso la placca superiore di C
e li rimuove da quella inferiore
• non vi è passaggio di corrente tra le placche di C !!!
• il valore max di carica dipende dalla f.e.m., quando viene
raggiunto non circola più corrente
Fisica II – CdL Chimica
Circuiti RC
I
a
• Carica di un condensatore:
C inizialmente scarico; chiudiamo
l’interruttore su a a t=0
Calcoliamo la corrente e la
I
R
b
+

+
C
carica in funzione del tempo.
• Legge maglia 
È importante la posizione
di R nella maglia ?
• Convertiamola in una equazione differenziale per Q:
Fisica II – CdL Chimica
Soluzione eq. differenziale (1° ordine)
Fisica II – CdL Chimica
Carica del condensatore
Carica su C
RC
2RC
C
Q
Max = C
63% Max a t = RC
0
t
costante di tempo
Corrente
I
Max =  /R
37% Max a t = RC
Fisica II – CdL Chimica
0
t
Circuiti RC
Scarica del condensatore:
I
a
C inizialmente carico con Q=C
Chiudiamo l’interruttore su b a
t=0.
b
I
R

Calcoliamo la corrente e la
carica in funzione del tempo.
•
Legge maglia 
• Convertiamola nella equazione differenziale per Q:

Fisica II – CdL Chimica
+ +
C
- -
Soluzione
Conclusioni:
• il condensatore si scarica
esponenzialmente con costante
di tempo t = RC
• la corrente decade dal valore
max iniziale (= - /R) con la
stessa costante di tempo
Fisica II – CdL Chimica
Scarica del condensatore
C
Carica su C
RC
2RC
Q = C  e -t/RC
Q
Max = C
37% Max a t=RC
0
zero
Corrente
t
0
I
Max = -/R
37% Max a t=RC
Fisica II – CdL Chimica
- /R
t
Combinazioni di RC: quanto vale t ?
R
R

C
C
R
R

C
C
Fisica II – CdL Chimica
Riassunto
Carica
VR
R
+

-
C
S
++
--
VC
VR
Scarica
R
C
Fisica II – CdL Chimica
++
--
VC
Comportamento dei Condensatori
• Carica
– Inizialmente, il condensatore si comporta come un filo
conduttore.
– Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come
un interruttore aperto.
• Scarica
– Inizialmente, il condensatore si comporta come una
batteria.
– Dopo lungo tempo, il condensatore si comporta come
un interruttore aperto
Fisica II – CdL Chimica
Applicazione: il “flash”
Fisica II – CdL Chimica
Esempio 1
• Quanta energia è immagazzinata in C nel
momento in cui i=2.0 mA ? Assumere
q(t=0)=0, =50V, R=5K and C=40F
VR
R

C
VC
S
Si potrebbe usare la legge di carica del condensatore, ma
esiste un metodo più semplice
• Usiamo la corrente i per trovare
Fisica II – CdL Chimica
Esempio 1 (cont.)
VR
R

C
VC
S
 Usiamo la conservazione dell’energia
 L’energia immagazzinata nel condensatore C è:
Fisica II – CdL Chimica
Esempio 2
I1

C
I3
I2
R2
R1
Consideriamo il comportamento transiente (tempi brevi e
lunghi) di questo circuito.
• Comportamento a breve termine (t=0):
Inizialmente il condensatore agisce come un filo ideale. Quindi,
e
• Comportamento a lungo termine (t→∞):
il condensatore è un circuito aperto
Fisica II – CdL Chimica
Esempio 2 (cont.)
Maglia 2
• Maglia 1:
I1
• Maglia 2:

Maglia 1
I2
I3
C
• Nodo:
R1
• Eliminare I1 in M1 e M2 usando l’equazione al nodo :
• Maglia 1:
eliminare I2
• Maglia 2:
• eqn. differenziale finale :
Fisica II – CdL Chimica
R2
Esempio 2 (cont.)
Maglia 2
• eqn. differenziale finale :
I1

costante di tempo: t
combinazione del parallelo
tra R1 e R2
Maglia 1
C
I3
I2
R1
• Cerchiamo una soluzione del tipo:
– sostituiamo nella eq. per ricavare A e t
• I risultati devono obbedire alle condizioni iniziali e finali:
Fisica II – CdL Chimica
R2
Esempio 2 (cont.)
Maglia 2
• per quanto riguarda la scarica ?
– Aprendo l’interruttore ...
I1

• Maglia 1 e Maglia 2 non esistono!
• I2 è l’unica corrente
• una sola maglia
Maglia 1 C
I3
I2
R2
R1
I2

C
R1
Fisica II – CdL Chimica
costante di tempo diversa per la scarica
R2
Riassunto
• Le leggi di Kirchoff si applicano anche ai circuiti
dipendenti dal tempo: si hanno equazioni differenziali !
• Soluzioni di tipo esponenziale
– dovute alla forma dell’equazione differenziale
• costante di tempo
t = RC
– cosa sono R e C ? → bisogna analizzare il circuito !
• con RC in serie la soluzione per la carica è
• con RC in serie la soluzione per la scarica è
Fisica II – CdL Chimica
Riassunto
• Soluzioni di tipo esponenziale
– dovute alla forma dell’equazione differenziale
• costante di tempo
t = RC
– Quando il sistema raggiunge l’equilibrio ?
– è una convenzione: se diciamo che il sistema è in
equilibrio entro, diciamo, lo 0.1% del suo valore
asintotico (max o 0) della tensione (carica) di
carica o scarica
– diciamo quindi
t = RC* ln(1/.001) = 6.9 t
Esempio t = 10 F * 10 M = 100 s
690 s per 0.1%
Se vogliamo una accuratezza di 1 parte per milione,
dobbiamo attendere più a lungo.
Fisica II – CdL Chimica