Materia oscura nella galassia di Andromeda

Indice
1 INTRODUZIONE
2
1.1
La galassia di Andromeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Curve di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 ANALISI DATI
5
2.1
Le immagini radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Il metodo di estrazione della curva di rotazione . . . . . . . . . . .
6
2.3
Curva di rotazione di M 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 ANALISI DINAMICA DELLA CURVA DI ROTAZIONE
10
3.1
Massa stellare di Andromeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2
Alone di materia oscura isotermo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3
Alone di materia oscura con profilo di Burkert . . . . . . . . . . . 13
3.4
MOND: Modified Newtonian Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5
Satelliti: curva di rotazione a grandi raggi . . . . . . . . . . . . . 17
4 CONCLUSIONI
20
1
1
INTRODUZIONE
Questo lavoro di tesi tratta lo studio della presenza di materia oscura nella
galassia di Andromeda, tramite l’analisi della sua curva di rotazione.
1.1
La galassia di Andromeda
La galassia di Andromeda è la galassia a spirale più vicina alla nostra. Andromeda e la Via Lattea sono le più luminose di un insieme di galassie chiamato
Gruppo Locale, che comprende più di 50 membri. Andromeda è chiamata anche
M 31, essendo il trentunesimo oggetto catalogato da Charles Messier nel 1781
(catalogo degli oggetti non stellari).
Figura 1: La galassia di Andromeda: confronto con le dimensioni angolari della
luna
La galassia di Andromeda è l’unica visibile a occhio nudo dall’emisfero Nord
terrestre: il disco ottico è inclinato di circa 77◦ rispetto alla linea di vista e ha un
raggio di 22 kpc; la galassia si estende per 1.5◦ ×3.3◦ sul piano del cielo. A occhio
nudo se ne vede soltanto il nucleo centrale. Andromeda è di tipo morfologico Sb
ed è costituita da un rigonfiamento centrale di stelle più vecchie, detto sferoide, e
da un disco composto da stelle e gas atomico e molecolare. La galassia di Andromeda ha almeno 14 piccole galassie che orbitano attorno ad essa; la più luminosa
di queste è M 32, facilmente visibile in figura. I modelli gerarchici di formazione
2
delle galassie prevedono che M 31 sia cresciuta grazie alla fusione di numerose
piccole galassie satelliti con essa: i satelliti che si osservano oggi si fonderanno in
futuro con la galassia stessa. La conformazione del nucleo, l’estensione dell’alone
stellare e la presenza di zone disturbate nel disco sembrano confermare questa
teoria: Andromeda rappresenta perciò un interessante oggetto per provare la validità di modelli cosmologici.
La galassia di Andromeda ha una velocità sistemica negativa, ovvero si sta avvicinando a noi (con una velocità di circa 300 km/s): sembrerebbe quindi non
seguire la legge di Hubble, ma questo è solo l’effetto del suo legame gravitazionale
con la nostra galassia. In questo lavoro si assume una distanza di Andromeda di
785 kpc.
1.2
Curve di rotazione
Un metodo efficace per indagare la presenza di materia oscura nelle galassie
a disco risulta essere lo studio delle curve di rotazione, ovvero della relazione
tra le velocità di rotazione delle stelle e del gas intorno al centro della galassia
di appartenenza (v) e la loro distanza dal centro della stessa (r). Le curve di
rotazione presentano un primo tratto di crescita rapida, caratterizzato da un
andamento quasi lineare v(r) ∝ r (tipico della rotazione di un corpo rigido), che
implica una densità di massa costante ρ(r) ∼ ρ0 . A distanza di qualche kpc dal
centro, la curva di rotazione assume un andamento costante, cioè caratterizzato
da v(r) ∼ v0 , che implica una densità ρ(r) ∝ r−2 . La densità superficiale di
stelle del disco mostra però una diminuzione esponenziale con il raggio e a grandi
distanze dal centro (dopo circa 4-5 lunghezze scala) ci si aspetta una decrescita
1
kepleriana della velocità v(r) ∝ r− 2 , essendo M(r) ' costante. Si ha così una
notevole discrepanza tra l’andamento osservato e quello teorizzabile dalla materia
visibile.
Questo fenomeno può essere spiegato ipotizzando l’esistenza di materia non
visibile, detta materia oscura. I barioni, ovvero la materia fatta di atomi e molecole, costituirebbero una piccola frazione della massa totale delle galassie. Questa
materia visibile, sotto forma di stelle e mezzo interstellare, risiederebbe al centro
di un alone molto più esteso costituito da materia oscura. La conoscenza del profilo di densità di questo alone di materia oscura è essenziale per testare modelli
cosmologici sulla formazione e sull’evoluzione delle galassie, come il modello di
universo piatto costituito per la maggior parte da materia oscura fredda.
3
Figura 2: Confronto tra una tipica curva di rotazione osservata (B) e l’andamento
predetto dalla meccanica Newtoniana (A)
La galassia a spirale M 31 rappresenta un oggetto ideale per studiare le proprietà degli aloni di materia oscura : le sue dimensioni, la sua vicinanza ben
nota (D = 785 ± 25 kpc) e le numerose osservazioni ad alta risoluzione spaziale,
effettuate a tutte le lunghezze d’onda, permettono di analizzare in dettaglio la
distribuzione di massa barionica e di tracciare la curva di rotazione. L’analisi
dinamica ci consente poi di ricavare il profilo di densità della materia oscura. In
galassie luminose come M 31 è più difficile delineare con precisione le proprietà
della materia oscura nelle regioni centrali, dato l’elevato rapporto tra materia
barionica e materia oscura in queste regioni. Per galassie luminose più distanti
di M 31 le maggiori incertezze sulla distanza e sulla massa delle componenti barioniche complicano notevolmente l’analisi dinamica.
M 31 è una delle prime galassie di cui è stata tracciata la curva di rotazione,
dalla quale Babcock (1939) per primo intuì la presenza di materia non visibile a
grandi raggi dal centro galattico. Nonostante tutti questi anni di studi ci sono
però ancora molte questioni aperte a proposito della curva di rotazione di M 31
e della sua analisi dinamica. A esempio è importante stabilire l’orientazione del
disco galattico a varie distanze dal centro: in Andromeda è stato infatti riscontrata la presenza di una distorsione del disco, cioè a grandi distanze dal centro
le orbite giacciono su un diverso piano da quelle centrali. Il modello ad anelli
con orientazione variabile è stato usato per dedurre con esattezza l’orientazione
4
spaziale delle orbite del gas e delle stelle in funzione del raggio. Questo modello
tuttavia non tiene in considerazione possibili deviazioni del moto da quello puramente circolare, deviazioni che ci aspettiamo siano importanti nelle zone centrali
o molto periferiche delle spirali luminose come Andromeda.
2
ANALISI DATI
In questo capitolo vengono descritti i dati spettroscopici usati per tracciare la
velocità lungo la linea di vista della galassia di Andromeda; viene poi descritto
il metodo usato per estrarre la curva di rotazione da questo campo di velocità.
2.1
Le immagini radio
Poiché l’idrogeno atomico ha un’estensione radiale maggiore di quella delle stelle
si sono utilizzati i dati delle osservazioni a 21 cm per tracciare il campo di velocità fino a grandi distanze galattocentriche. La riga a 21 cm è il risultato della
separazione iperfine del livello fondamentale. La differenza di energia tra i livelli
della struttura iperfine è di 6 · 10−6 eV. La transizione origina dunque un fotone
con frequenza di 1420.405 MHz, ovvero con una lunghezza d’onda di 21.1 cm.
La riga è otticamente sottile quando si osserva il mezzo interstellare nei dischi
di galassie. I dati utilizzati per la galassia di Andromeda sono stati presi con il
Westerbork Syntesis Radio Telescope, un interferometro di apertura, situato in
Olanda.
Abbiamo iniziato questo lavoro analizzando la mappa del campo di velocità in
formato FITS (sigla che significa Flexible Image Transport System), formato
tipico delle immagini astronomiche, fornito dagli autori del lavoro più recente
sull’analisi dinamica di M 31 (Corbelli, Lorenzoni, Walterbos, Braun 2010): il
file è composto da un header con le informazioni sull’acquisizione dei dati (coordinate del centro del campo di osservazione, strumento utilizzato, scala numero
di arcosecondi per pixel) ed è stato ricavato dal cubo contenente l’immagine della
galassia a varie velocità intorno a quella sistemica (ad ogni velocità corrisponde
la frequenza della riga a 21 cm spostata in frequenza per effetto Doppler, a causa
del moto sistemico e di rotazione). L’immagine utilizzata ha 500 × 572 pixel,
centrata sul centro ottico della galassia e contiene per ogni pixel i valori della
velocità media lungo la linea di vista della galassia di Andromeda. Si è deciso
di lavorare in ambiente IDL, riducendo la dimensione dell’immagine accorpando
5
i pixel a quattro a quattro - per facilitare il processamento dei dati. Il ’nuovo’
pixel ha dunque una dimensione angolare di 160 arcosecondi (arcsec) che corrispondono a una dimensione lineare di 0.608 kpc per un oggetto lontano 785 kpc
(la distanza di Andromeda).
2.2
Il metodo di estrazione della curva di rotazione
Le orbite circolari nel piano del disco della galassia hanno forma ellittica quando
proiettate sul piano del cielo; si devono perciò determinare le forme funzionali di
queste ellissi a varie distanze dal centro della galassia (dette ’best fitting ellipse’).
Considerando il disco della galassia situato sul piano xy e la linea di vista sul
piano yz, formante un angolo i con l’asse z, possiamo scrivere la posizione della
linea di vista con un versore ~n = sin i ~y + cos i ~z e la velocità totale di ogni punto
come ~v = vsys~n+v(r)(−sin φ ~x+cos φ ~y ), dove vsys è la velocità di allontanamento
della galassia (comune a tutti i punti).
Figura 3: Orbita circolare sul piano della galassia (xy)
La velocità osservata lungo ~n è dunque
voss = ~v · ~n = vsys + v(r) sin i cos φ
(1)
dove v(r) è la velocità di rotazione sul piano della galassia, i è l’angolo di
inclinazione del disco rispetto alla linea di vista e φ è l’angolo misurato sul piano
6
del disco a partire dall’asse x, che rappresenta l’asse maggiore sul piano del cielo.
Per ottenere la curva di rotazione si è soliti adottare il metodo dei tilted rings: si
fa cioè il fit della mappa di velocità con un modello della galassia ad anelli concentrici, liberi di avere inclinazioni i e orientazioni differenti tra loro, in rotazione
circolare. In questo lavoro si è invece scelto di usare il programma KINEMETRY
(Krajnovic et al. 2006): esso si basa sull’assunzione che lungo ogni ellisse, corrispondente alla proiezione di un’orbita circolare, le velocità circolari lungo la linea
di vista varino con legge del coseno (dell’angolo misurato a partire dal semiasse
maggiore, vedi forma funzionale data dalla (1)). In generale i moti osservati lungo la linea di vista, in quanto funzioni periodiche, possono essere scomposti in
armoniche, i cui termini dispari descrivono l’andamento dei momenti cinematici
dispari - come la velocità di rotazione. Questo metodo risulta particolarmente
adatto all’analisi delle curve di rotazione delle galassie, grazie alla spiccata sensibilità ai moti circolari puri. L’algoritmo impiegato è una generalizzazione ai
momenti dispari del metodo dell’ ellipse fitting utilizzato in fotometria, che contempla la stessa idea dello sviluppo in serie ma trattando solo i momenti pari. Il
campo di velocità può quindi essere diviso in anelli ellittici con profilo di velocità
scrivibile in N + 1 armoniche, tramite l’espansione di Fourier
K(a, φ) = A0 (a) +
N
X
[An (a) sin(n φ) + Bn (a) cos(n φ)]
(2)
n=1
dove A0 dà la vsys di ciascun anello e a è il semiasse maggiore dell’ellisse;
la (2) descrive quindi l’andamento della velocità misurata lungo ogni ellisse.
L’espansione di Fourier (2) si può scrivere anche
K(a, φ) = A0 (a) +
N
X
kn (a) cos[n(φ − ψn (a))]
(3)
n=1
con kn =
p
An
A2n + Bn2 e ψn = arctg B
.
n
In questo lavoro si è usato N = 5.
Dato il raggio, un’ellisse è individuata da due parametri: l’angolo di posizione
dell’asse maggiore (PA) e l’appiattimento (q = 1−, con = ellitticità). L’angolo
di posizione è misurato in senso antiorario a partire dal Nord celeste. Nel caso
di un disco il cui moto è confinato su un piano, l’appiattimento è legato all’inclinazione i del disco stesso da q = cos i. Per trovare le ellissi che riproducono
meglio i dati si prendono i valori di q e PA che minimizzano i coefficienti A1 , A3
e B3 della (2). Errori sulla posizione del centro producono coefficienti di termini
7
pari diversi da 0, ma in questo lavoro abbiamo considerato fisso il centro delle
orbite e di conseguenza non ci si è occupati dei coefficienti corrispondenti. Un
piccolo errore su q produce un coefficiente B3 diverso da 0 e un piccolo errore su
PA produce coefficienti A1 , A3 e B3 diversi da 0.
Il fit delle ellissi viene realizzato dal programma MPFIT in due fasi: la procedura
prevede una prima minimizzazione di A21 + A23 + B32 su una griglia di valori di PA
e q; subito dopo viene ripetuto lo stesso procedimento, ma con PA e q inizializzati ai valori di minimo registrati dal primo ciclo. La scelta della lunghezza del
semiasse maggiore per le n ellissi (an ) viene fatta anch’essa automaticamente dal
programma, in modo da evitare correlazioni tra anelli consecutivi: viene stabilito
an = n + 1.1n , con n = 1, 2, 3, ... La velocità di rotazione è infine riprodotta in
uscita da
2.3
B1
.
sin i
Curva di rotazione di M 31
Dalla mappa della velocità media dell’emissione a 21 cm della galassia di Andromeda abbiamo ottenuto, con l’uso della kinemetry i risultati riportati in Figura
4.
La curva di rotazione ottenuta con la kinemetry oltre gli 8 kpc dal centro è in
perfetto accordo con quella ottenuta tramite il modello ad anelli (Corbelli et al.
2010); l’angolo di posizione, pressoché costante a 38◦ , e l’inclinazione (q) sono
anch’essi in buon accordo con i risultati di lavori precedenti. Inoltre con questo
metodo si è riusciti a tracciare la curva di rotazione anche a piccoli raggi, per r
≤ 8 kpc, dove i moti non circolari non possono essere trascurati. Il pannello più
in basso in figura (4) riporta k5 /k1 , che rappresenta il rapporto tra le deviazioni
dal moto circolare e il moto circolare stesso (il termine k5 rende conto infatti dell’esistenza di altre componenti cinematiche): si noti che queste deviazioni sono
rilevanti a piccoli e a grandi raggi, come ci si aspettava, e che quindi in queste
regioni il modello ad anelli è poco affidabile per tracciare la curva di rotazione.
Gli errori sui parametri risultanti sono stimati dagli errori sulle misure in ingresso alla procedura: ai valori generati dal metodo dei minimi quadrati viene
assegnata un’incertezza di 1σ, ma a un parametro che viene tenuto fissato o che
assume un valore limite viene dato errore 0; anche ai termini armonici prodotti
dalla seconda parte del fit viene assegnata un’incertezza di 1σ. Gli errori così
ricavati per la curva di rotazione sono sensibilmente più piccoli di quelli ricavati
8
Figura 4: Risultati della kinemetry per la galassia di Andromeda, utilizzando il
campo di velocità tracciato dall’emissione a 21 cm
9
dalla dispersione della velocità circolare lungo un’ellisse, riportati nelle curve di
rotazione ricavate con il metodo ad anelli.
3
ANALISI DINAMICA DELLA CURVA DI ROTAZIONE
La curva di rotazione ottenuta risulta effettivamente piatta a grandi raggi, come
predetto. Con la kinemetry si è riusciti a tracciare la curva fino a circa 40
kpc, quasi due volte il raggio ottico della galassia. La mancanza del tratto
1
decrescente come v ∼ r− 2 (detto tratto kepleriano) anche a così grandi distanze
galattocentriche, è indice del fatto che Andromeda è dominata dalla materia
oscura a grandi distanze dal centro. Per valutare quantitativamente la massa
dell’alone di materia oscura è importante stabilire quali siano i contributi di
materia visibile barionica alla curva di rotazione: si considerano quindi lo sferoide
centrale e il disco stellare. La velocità di rotazione totale sarà perciò data dalla
somma in quadratura dei vari termini
2
2
2
v 2 (r) = vdisco
(r) + vsf
eroide (r) + valone (r)
(4)
2
dove valone
(r) è il contributo alla velocità di rotazione dato dal potenziale
dell’alone di materia oscura.
Come si vedrà se non si considera il contributo dell’alone alla velocità di rotazione si manifesta un divario tra le velocità osservate e quelle previste dalla
distribuzione di massa barionica. Questo costituisce, come si è detto, evidenza
per l’esistenza della materia oscura. In questa tesi si sono esaminati due modelli
di alone di materia oscura, l’alone sferico isotermo e l’alone con profilo di densità
di Burkert, per fittare la curva di rotazione. Abbiamo poi preso in considerazione una modifica della dinamica Newtoniana, chiamata MOND, per riprodurre le
velocità di rotazione osservate in Andromeda in assenza di materia oscura.
Il fit delle velocità osservate viene effettuato dal programma MPFIT, che adopera
il metodo dei minimi quadrati: i dati delle velocità circolari vengono fittati con
un modello dinamico secondo la funzione descritta nella precedente equazione,
con un insieme di parametri liberi. Se v(r) sono i valori del modello dinamico
corrispondenti a determinati parametri liberi, yi le misure della velocità per ogni
10
valore del raggio r, erri gli errori sulle misure, il programma trova i valori dei
parametri liberi che minimizzano il χ2 , dato da
2
χ =
2
N X
yi − v(ri )
(5)
erri
i=1
I valori di χ2 riportati in questa tesi si riferiscono al χ2 ridotto.
3.1
Massa stellare di Andromeda
La brillanza superficiale di un disco stellare misurata perpendicolarmente ad esso
e mediata sull’angolo azimutale segue approssimativamente una legge esponenziale in molte bande spettrali
r
S(r) = S0 e− re
(6)
dove re è la lunghezza scala del disco. Nel caso di Andromeda re è stimato
essere circa 5 kpc. L’integrale su tutto il disco di S è la luminosità. La luminosità
in banda B per la galassia di Andromeda è LB = (3 ± 0.5)1010 L (Walterbos e
Kennicutt 1988). Alla brillanza superficiale corrisponde una densità di massa se
si conosce il rapporto M/L per la galassia in questione. Questo rapporto dipende
dai colori della galassia e quindi dalla sua età. Nel caso di Andromeda le stime
che si hanno di M/L variano fra 2.5 e 7. Per un dato valore di M/L possiamo
ricavare la densità superficiale di massa come
r
Σ(r) = Σ0 e− re
(7)
dove Σ0 è la densità superficiale centrale. Per un disco sottile il potenziale è
Φ(r) = −πGΣ0 r[I0 (y)K1 (y) − I1 (y)K0 (y)]
dove y =
r
2re
(8)
e In , Kn sono le funzioni di Bessel modificate del primo e del
secondo tipo. La velocità di rotazione dovuta alle stelle è quindi
2
vdisco
(r) = rΦ0 = 4πGΣ0 re y 2 [I0 (y)K0 (y) − I1 (y)K1 (y)]
(9)
e la massa del disco esponenziale è
r
Mdisco (r) = 2πΣ0 re2 [1 − e− re (1 +
11
r
)]
re
(10)
La luminosità totale dello sferoide di Andromeda è circa 9·109 L e l’intervallo
di rapporti accettabili di M/L che si considerano per lo sferoide sono simili a
quelli del disco. La distribuzione di densità dello sferoide centrale è descritta
dalla funzione
ρsf eroide (r) =
Ms rs
2πr(r + rs )3
(11)
con rs raggio scala dello sferoide ' 0.5 kpc per la galassia di Andromeda.
Questa distribuzione di densità darà contributi significativi alla curva di rotazione solo a piccoli raggi e nell’ambito dell’analisi presentata in questa tesi si è
scelto di trascurarla. Dai lavori pubblicati notiamo anche che il contributo del
disco gassoso alla curva di rotazione è molto esiguo (vgas = 30 km/s), pertanto
è stato deciso di non considerarlo. Per confrontare l’andamento osservato della
curva di rotazione con quello previsto dalla distribuzione di stelle nel disco, si è
inizialmente trascurato il contributo dell’alone di materia oscura. Considerando
la sola distribuzione di massa stellare nel disco di Andromeda si riesce a fare un
buon fit della curva di rotazione solo fino a r ' 20 kpc, dopodiché la velocità
predetta dal modello decresce, mentre la curva osservata continua a restare piatta. Inoltre il valore di M/L richiesto in assenza di materia oscura per fittare la
curva entro 20 kpc è molto grande (' 8), superiore all’intervallo preso in esame.
3.2
Alone di materia oscura isotermo
Per cercare di riprodurre la curva di rotazione di Andromeda si è preso in esame
un modello di alone di materia oscura isotermo, cioè con profilo di densità
ρ0
ρ(r) =
1+
(12)
r 2
a
dove ρ0 è la densità centrale e a è il raggio del nucleo. A questo alone corrisponde
il seguente andamento radiale della velocità di rotazione
2
valone
(r) =
GM (r)
= 4πG ρ0 a3
r
r
a
− arctg ar
r
(13)
in cui si sono lasciati come parametri liberi sia ρ0 che a. Sommando in
quadratura le due componenti di velocità si ha
1
2
2
)2
v(r) = (vdisco
+ valone
12
(14)
rappresentata dalla linea nera in Figura 5. I valori dei parametri liberi trovati
dal fit sono:
10
Mdisco
= (1.274 ± 0.002) · 1011 M
M
ρ0 = (2.4 ± 1.3) 107 kpc
3
a = (6.3 ± 1.9) kpc
con χ2ridotto = 12.3
da cui si ricava
Mdisco (r = 40kpc) = 1.8 · 1011 M
Malone (r = 40 kpc) = 5 · 1011 M
Figura 5: Fit della curva di rotazione di Andromeda con le componenti stellari
di disco e di alone di materia oscura isotermo. La linea rossa traccia il contributo alla velocità data dal disco di stelle con profilo esponenziale, quella blu il
contributo dell’alone di materia oscura isotermo
In questo caso il rapporto M/L risulta essere uguale a 6, valore accettabile.
3.3
Alone di materia oscura con profilo di Burkert
Il secondo tentativo è stato supporre l’alone di materia oscura sferico e caratterizzato dal profilo di densità proposto da Burkert nel 1995:
ρ(r) =
ρ0 r03
(r + r0 )(r2 + r02 )
13
(15)
dove ρ0 è la densità di materia oscura centrale e r0 è il raggio del nucleo. La
distribuzione di massa a esso relativa è
r
r
1
r
−1
MB (r) = 4M0 ln(1 + ) − tg
+ ln 1 +
r0
r0
2
r0
(16)
dove M0 è la massa di materia oscura nel nucleo, legata a r0 dalla relazione
empirica (vedi Salucci e Burkert 2000)
7
M0 = 4.3 · 10
r0
kpc
73
M
(17)
la velocità che ne deriva è quindi
valone (r) =
GM (r)
r
12

n
G 4M0 ln(1 +
=
r
)
r0
− tg
−1
r
r
r0
+
1
ln
2
h
io  12
1 + rr0

(18)
in cui si è potuto lasciare come unico parametro libero M0 grazie alla (17).
Sommando in quadratura le due componenti di velocità si ha la funzione fit totale
1
2
2
v(r) = (vdisco
+ valone
)2
(19)
rappresentata dalla linea nera in figura (6). Per avere lo stesso numero di
parametri liberi dell’alone isotermo abbiamo lasciato libero il raggio scala de
disco stellare. I valori dei parametri del best fit sono:
re = (6.41 ± 0.07) kpc
10
Mdisco
= (1.264 ± 0.007)1011 M
M0 (r = r0 = 133 kpc) = (3.9 ± 1.0) 1012 M
con χ2ridotto = 9.13
Da questi parametri si ricava che le masse barionica e oscura entro 40 kpc sono
paragonabili, infatti:
Mdisco (r = 40kpc) = 2.7 · 1011 M
Malone (r = 40 kpc) = 2.4 · 1011 M
Il valore del χ2 è leggermente inferiore a quello ottenuto con il modello isotermo,
ma il valore di M/L, di circa 9, è del tutto fuori dall’intervallo ammissibile. I
risultati sono mostrati in Figura 6.
14
Figura 6: Fit tramite disco di stelle e alone di materia oscura con profilo di
Burkert. La linea rossa traccia la velocità data dal disco di stelle con profilo
esponenziale, la blu quella data dall’alone di materia oscura con profilo di Burkert
3.4
MOND: Modified Newtonian Dynamics
Una spiegazione alternativa della discrepanza tra le curve di rotazione osservate
e quelle previste dai modelli di massa barionica è stata proposta da Milgrom nel
1983: secondo la MOND, cioè la Modified Newtonian Dynamics, l’accelerazione
(a) è in generale diversa da quella Newtoniana (aN ) e si ha
aN = a µ(
a
)
a0
(20)
dove a0 è l’accelerazione limite, al di sotto della quale la dinamica diventa
a
x
non Newtoniana e µ aa0 = 1+a0a cioè, ponendo x = aa0 , µ(x) = 1+x
. Per
a0
l’accelerazione di gravità g si ha
gN = g µ(x)
(21)
Si vede che se a a0
µ
a
a0
a
a0
=
1+
e si ritrova a = aN ; se invece a a0
15
a
a0
'1
(22)
µ
e si ha aN =
a2
;
a0
a
a0
a
a0
=
1+
'
a
a0
a
a0
(23)
dalla legge di gravitazione universale e ricordando che a =
v2
r
si
ha quindi
v4
a2
GM
=
=
r2
a0
r 2 a0
(24)
da cui
v 4 = GM a0 ⇒ v =
p
4
GM a0
(25)
cioè per a a0 la velocità di rotazione è costante.
Se si assume valida questa teoria infatti, il potenziale gravitazionale decresce
molto più lentamente che nel caso classico: si riesce così a riprodurre il comportamento di molte curve di rotazione. In questa tesi si è provato a utilizzare MOND
per fittare la curva di rotazione di M 31. Tenendo presente che anche nella nuova
dinamica è soddisfatta la relazione g =
v2
r
e ricordando che g µ(x) =
GM
r2
=
2
vN
,
r
si ha per la velocità
2
2
vN
[1
(1 +
4a0 r 12
2 )
vN
]
(26)
2
dove vN è la velocità Newtoniana, data dalla distribuzione di materia barionica.
v (r) =
+
Fittando la curva di rotazione di Andromeda con questo modello si lasciano come
parametri liberi il raggio scala del disco re , la sua massa stellareMdisco e a0 . I
risultati del best fit sono:
re = 5.9 kpc con errore nullo
10
Mdisco
= (0.601 ± 0.011) 1011 M
a0 = (8.9 ± 0.4) 10−14 km/s2
con χ2ridotto = 13.3
Essendo il valore di a0 ottenuto dal fit più piccolo del valore più comunemente usato, si è provato a riprodurre la curva fissando re a 5 kpc e a0 al valore
1.2 · 10−13 km/s2 (valore usato da Corbelli et al. 2010), ottenendo per la massa
dinamica:
10
Mdisco
= (0.579 ± 0.003) · 1011 M
con χ2ridotto = 22.9 Il valore della massa del disco è molto simile a quello ottenuto
lasciando tutti e tre i parametri liberi. I risultati del fit della curva sono riportati
in Figura 7.
16
Figura 7: Fit tramite MOND, con re e a0 fissati
dove Mdyn risulta inferiore al valore ricavato dai fit precedenti per effetto della
MOND.
Poi si è ripetuto il procedimento fissando solo il raggio scala del disco stellare e
tenendo come parametri liberi a0 e la massa del disco. Il best fit è stato ottenuto
con:
10
Mdisco
= (0.388 ± 0.012) 1011 M
a0 = (2.72 ± 0.15) 10−13 km/s2
con χ2ridotto = 14.9
La qualità del fit della curva di rotazione di Andromeda con MOND è simile
a quella ottenuta con modelli di alone di materia oscura isotermo e di Burkert.
3.5
Satelliti: curva di rotazione a grandi raggi
Si sono infine presi in considerazione i satelliti di Andromeda e altri oggetti alla periferia della galassia come traccianti della velocità di Andromeda a grandi
raggi. Le distanze galattocentriche di questi oggetti sono state stimate tra 30
e 560 kpc; si sono usati indicatori quali nebulose planetarie (nubi di gas derivanti dall’espulsione degli strati esterni di stelle del ramo delle giganti), ammassi
globulari (insiemi sferoidali di stelle), code stellari (associazioni di stelle, che possono essere ciò che resta di ammassi globulari o di galassie nane disgregate dalle
17
Figura 8: Fit tramite MOND, con re fissato
forze mareali) e satelliti; i dati di raggio dal centro della galassia e velocità di
rotazione relativi a questi satelliti di Andromeda derivano dagli articoli elencati
in Corbelli (2009).
Si è deciso di eseguire il fit della velocità di rotazione con il contributo aggiuntivo dei satelliti tramite la funzione (19), cioè utilizzando il profilo di densità di
Burkert per l’alone di materia oscura perché prevede che le velocità di rotazione
decrescano a grandi distanze dal centro; tenendo re fissato a 5 kpc per gli altri
due parametri si ottiene
10
Mdisco
= (1.307 ± 0.005) 1011 M
M0 = (2.11 ± 0.16) 1011 M
con χ2ridotto = 46
Questo risultato non è molto diverso da quello che si otteneva eseguendo il fit
della sola curva di rotazione di Andromeda dai dati radio. Questo perché gli errori
relativi ai dati dei punti a grandi distanze galattocentriche sono grandi rispetto a
quelli relativi alla curva di rotazione ottenuta con la kinemetry. A grandi raggi,
come si vede in figura (11), la velocità decresce molto; questo effetto nel nostro
caso è spiegabile solo considerando un troncamento dell’alone di materia oscura
oltre la regione in cui si estende l’idrogeno neutro.
18
Tabella 1: Satelliti di Andromeda
r [kpc]
v(r) [km/s]
Oggetto
32
230
Ammasso globulare
41
225
Ammasso globulare
55
208
Ammasso globulare
60
178
Ammasso globulare
100
185
Satellite
125
161
Corrente stellare
125
160
Corrente stellare
268
149
Satellite
560
98
Satellite
560
87
Satellite
Figura 9: Fit della curva di rotazione con l’aggiunta delle velocità dei satelliti
(che permettono di estendere la distanza a cui si misura la curva), tramite disco
di stelle e alone di materia oscura con profilo di Burkert.
19
Figura 10: Curva di rotazione a grandi raggi
4
CONCLUSIONI
In questo lavoro di tesi sono stati utilizzati dati radio a 21 cm per tracciare
le velocità di rotazione della galassia di Andromeda. Si è ricavata la curva di
rotazione tramite il metodo della kinemetry, presentato in questa tesi. Questo
metodo è stato capace di rilevare la presenza di moti non circolari nelle regioni
più interne e in quelle più esterne della galassia. Successivamente è stata svolta
l’analisi dinamica, mettendo a confronto l’andamento osservato della curva di
rotazione con quello teorizzabile dalla distribuzione di massa stellare del disco.
Si è dimostrata necessaria la presenza di un alone di materia oscura, con profilo
isotermo o con profilo di Burkert, per riprodurre l’andamento osservato. Assumendo un modello di alone isotermo si è ottenuto un valore di massa dell’alone
di più del doppio di quello di massa stellare, a 40 kpc dal centro. Allo stesso
raggio, usando un alone con profilo di Burkert, si è ottenuta una massa oscura
circa uguale alla massa stellare. Questo modello presenta però due problemi: il
primo è che il rapporto M/L del disco stellare è più alto dei valori comunemente
adottati per la galassia di Andromeda, il secondo è che il nucleo a densità costante si estende molto oltre il disco di materia barionica della galassia. Questo
prevede una curva di rotazione a raggi maggiori di 40 kpc non compatibile con
quella osservata analizzando dati relativi a oggetti gravitazionalmente legati alla
20
galassia a grandi distanze dal centro, come i satelliti.
Le velocità di rotazione di questi oggetti orbitanti attorno alla galassia di Andromeda mostrano che c’è una notevole decrescita della velocità oltre i 60 kpc di
distanza, indice della corrispondente diminuzione di materia a così grandi raggi.
Alternativamente si è presa in considerazione la teoria MOND, notando che essa riproduce l’andamento della curva di rotazione altrettanto bene del modello
con l’alone di materia oscura. Tuttavia questa teoria prevede che quando l’accelerazione scende al di sotto di un certo valore la velocità di rotazione rimanga
costante: la MOND non può quindi essere utilizzata per spiegare le velocità dei
satelliti di Andromeda.
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Riferimenti bibliografici
[1] Babcock H. W. 1939, Lick Observatory bulletins, 498, 41
[2] Burkert A. 1995, Astrophysical Journal Letters, 447, L25
[3] Corbelli E., Lorenzoni S., Walterbos R., Braun R., Thilker D. 2010,
Astronomy and Astrophysics, 511, 89
[4] Krajnovi? D., Cappellari M., de Zeeuw P. T., Copin Y. 2006, Monthly
Notices of the Royal Astronomical Society , 366, 787
[5] Milgrom, M. 1983, Astrophysical Journal, 270, 365
[6] Salucci P., Burkert A. 2000, Astrophysical Journal Letters, 537, L9
[7] Walterbos R. A. M., Kennicutt R. C. 1988, Astronomy and Astrophysics,
198, 6
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