Esercizi sulla diffusione stazionaria con reazione
1) Si consideri uno strato di acqua stagnante (a contatto con aria a pressione atmosferica e 25°C)
contenente microrganismi che consumano ossigeno con una cinetica del primo ordine. Sapendo
che (i) il pelo libero ha una superficie pari a 0.5 m 2 e lo spessore (o profondità) dello strato di
acqua è pari a 4 cm, (ii) il coefficiente di diffusione di O 2 nell’acqua è pari a 2105 cm2/s, (iii) la
costante cinetica della reazione è pari a 0.1 h1,
si calcoli il consumo di ossigeno in condizioni stazionarie nell’ipotesi di trascurabilità delle
resistenze al trasporto dell’ossigeno nell’aria.
Si ripeta lo stesso calcolo sapendo che il coefficiente di trasporto di O 2 dall’aria verso il pelo
libero del liquido è pari a 0.01 cm/s.
2) Per lo studio della cinetica di una reazione enzimatica in fase liquida AB si vuole adoperare
un reattore continuo da laboratorio del tipo a “basket”. Il reattore è dotato di un albero rotante
cui sono applicati quattro cestelli contenenti complessivamente 100 pellet porosi in cui è
immobilizzato l’enzima. Il reattore viene alimentato con una portata Q=0.1 litri/h di una
soluzione acquosa contenente il substrato A ad una concentrazione c 0= 100 mmol/litro. La
reazione è caratterizzata da una cinetica Michaelis-Menten, r = vmaxc/(km+c), con vmax=5
mmol/(slitro) e km=500 mmol/litro. I pellet di catalizzatore sono sfere con un raggio R=0.3 cm
e la diffusività di A nella sfere è D=310-6 cm2/s.
Supponendo che le resistenze al trasporto di materia esterno ai pellet siano trascurabili
ed approssimando la cinetica ad una cinetica del primo ordine, calcolare la
concentrazione di A in uscita dal reattore in condizioni stazionarie e le moli di B
prodotte nel reattore per unità di tempo.
Si stabilisca se l’approssimazione di cinetica del primo ordine è lecita.
Si discuta il metodo di risoluzione dello stesso problema nel caso in cui l’enzima sia
immobilizzato solo in una zona superficiale dei pellet, di spessore pari a 0.03 cm.
3) Nella produzione di latte per chi soffre di intolleranza al lattosio, il lattosio viene convertito secondo la
reazione
lattosio + acqua galattosio + glucosio
che è catalizzata da fibre (cilindriche) del diametro di 0.2 mm impregnate di un enzima (betagalattosidasi). Le fibre servono solo da supporto mentre l'enzima è il catalizzatore vero e proprio: una
volta impregnate, l'enzima non diffonde più nelle fibre e la sua concentrazione può essere considerata
costante e pari a 0.5 mg/cm3. La reazione segue una cinetica del 1° ordine nella concentrazione c di
lattosio, con una costante cinetica k che è proporzionale alla concentrazione di enzima nelle fibre: k =
k'·w, dove k '= 0.4 cm3/(mgs) e w è la concentrazione di enzima.
Sapendo che la diffusività effettiva del lattosio nelle fibre è pari a 10 -5 cm2/s, valutare
l'efficienza del catalizzatore. Se l'efficienza risultasse minore dell'unità, quali accorgimenti si
potrebbero adottare per aumentarla?
Si consideri ora il caso in cui le fibre impregnate di enzima sono rivestite di uno strato poroso di spessore
pari a 0.2 mm in cui non è presente l’enzima.
Sapendo che la diffusività effettiva del lattosio è pari a 10 -5 cm2/s anche nello strato poroso esterno, e che
la concentrazione di lattosio sulla superficie esterna delle fibre rivestite è pari a 20 g/l, si calcolino le moli
che reagiscono nella fibra, per unità di tempo e di lunghezza della fibra.
Esercizi sulla diffusione stazionaria con reazione
4) Si consideri una lastra di volume pari a 25 cm3 ed avente uno spessore complessivo di 1 cm.
La lastra è di fatto costituita da una parte esterna porosa di semi-spessore pari a 2 mm e da una
parte interna (avente un semi-spessore di 3 mm) anch’essa porosa ma in cui è stato
immobilizzato un enzima in grado di catalizzare la reazione SP. In altre parole il substrato S
diffonde attraverso la parte esterna per poi raggiungere la parte più interna sede della reazione
SP. Il coefficiente di diffusione di S sia nella parte esterna che nella parte interna della lastra è
pari a 106 cm2/s. La velocità di reazione è del primo ordine nella concentrazione di S, con
costante cinetica pari a 1 h1.
Si calcoli la velocità di consumo di S nella lastra in condizioni stazionarie nel caso in cui
la concentrazione di S sulla superficie (esterna) della lastra sia pari a 2 mol/l.
Si immagini ora di utilizzare 100 lastre di cui sopra in un CSTR alimentato con una
portata pari a 0.2 l/h contenente S alla concentrazione di 3 mol/l. Ipotizzando condizioni
stazionarie e trascurando le resistenze esterne al trasporto, si calcoli la velocità di
consumo di S nel reattore.
5) Nei processi di fermentazione i substrati devono superare una serie di resistenze al trasporto
prima di essere utilizzati dalle cellule. Si ipotizzi che il liquido in cui sono immerse le cellule sia
stagnante e che la concentrazione di substrato S in tale liquido sia 1 M. Le cellule (assimilabili a
sfere) hanno un diametro pari a 3 m ed una membrana di spessore pari a 10 nm. (Si ricorda che
1 nm =103 m=109 m). Il coefficiente di diffusione di S nel liquido esterno alle cellule è pari a
6106 cm2/s, mentre il coefficiente di diffusione nella membrana cellulare è pari a 10 8 cm2/s.
Inoltre la solubilità di S nella membrana cellulare è inferiore a quella nel liquido circostante le
cellule: in particolare si assuma che il coefficiente di partizione sia pari a 0.03.
Nell’ipotesi che il substrato venga consumato istantaneamente non appena oltrepassa la
membrana cellulare (concentrazione nulla di S all’interfaccia membrana-citoplasma), si calcoli la
velocità di consumo di S in condizioni stazionarie.
Si ripeta lo stesso calcolo nel caso in cui i siti di reazione all’interno della cellula siano su
una sfera di raggio pari ad 1 m. In altre parole si assuma che S, dopo aver attraversato la
membrana, diffonda nel citoplasma fino al sito di reazione dove S viene consumato
istantaneamente. Il coefficiente di diffusione di S nel citoplasma è pari a 4106 cm2/s, mentre il
coefficiente di partizione di S tra citoplasma e membrana si può sempre considerare pari a 0.03
(S più solubile nel citoplasma che nella membrana).
6) Si consideri uno strato di acqua stagnante a contatto con aria a pressione atmosferica e 20°C.
Sul fondo del liquido sono “depositati” dei microrganismi che consumano O2 con una cinetica
di tipo Monod. In altre parole, l’ossigeno, dopo avere raggiunto il pelo libero, diffonde nel
liquido e reagisce solo sul fondo.
Trascurando le resistenze al trasporto dell’ O2 nell’aria (vedi dopo), si calcoli la velocità di
consumo di O2 in condizioni stazionarie sapendo che: (i) il pelo libero ha una superficie pari a
0.4 m2 e lo spessore (o profondità) dello strato di acqua è pari a 2 cm, (ii) il coefficiente di
diffusione di O2 nell’acqua è pari a 2105 cm2/s, (iii) la velocità di consumo superficiale di O2 è
pari a
rmax c km c dove rmax=2 mmol O2/(hm2), c è la concentrazione (incognita) di O2 sul
fondo del liquido e km=0.01 mmol O2/litro.
Esercizi sulla diffusione stazionaria con reazione
7) I mitocondri sono il centro di conversione dell’energia nel corpo umano. Gli enzimi legati alle
membrane interne ossidano gli zuccheri per produrre energia. Per avere un’idea circa il
comportamento dei mitocondri, è stato sviluppato il sistema (stazionario) illustrato in figura, in
cui è nota la concentrazione Cs0 ma non la Cs sulla membrana.
Il substrato diffonde attraverso la fase liquida finchè raggiunge la superficie della membrana
dove reagisce. La velocità di reazione segue una cinetica alla Michaelis - Menten (vedi figura).
A) Impostare l’equazione di bilancio con le condizioni al contorno. B) Cosa succede quando
Kmcs<<1 e quando Kmcs>>1? Risolvere il profilo di concentrazione in questi due casi limite e nel
caso generale.
