Probabilità-1

Progetto Lauree Scientifiche
Liceo Classico “L.Ariosto” , Ferrara
Dipartimento di Matematica – Università di Ferrara
24 Gennaio 2012
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Concetti importanti da (ri)vedere
 funzione
 vettore
 variabili aleatorie
 matrice
 spazio campionario
 cenni di calcolo combinatorio  valore atteso
 densità di
probabilità
 probabilità: storia e assiomi
 campione statistico
 probabilità condizionata
 medie
 indipendenza di due eventi
 varianza
 teorema di Bayes
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
2
Diversi approcci alla probabilità
Ci sono quattro modi di porre la definizione di
probabilità:
a) definizione classica
b) definizione frequentista
c) definizione assiomatica
d) definizione soggettivista
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
3
Definizione classica di probabilità
(P. S. Laplace, 1749-1827)
La probabilità P(E) di un evento E è il rapporto fra il numero F dei
casi favorevoli (al verificarsi di E) e il numero N dei casi possibili,
giudicati egualmente possibili.
F
P(E) 
0  P(E)  1
N
Se F=0, cioè se non esistono casi favorevoli al verificarsi
dell’evento, l’evento è detto impossibile e la sua probabilità è
nulla:
P(E) =0;
se F=N, cioè se tutti i casi sono favorevoli al verificarsi dell’evento,
l’evento è detto certo e la sua probabilità è 1: P(E)=1.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
4
Note alla concezione classica
 Uno dei punti deboli della concezione classica è la condizione,
pressoché impossibile da verificare, che tutti i casi in cui può
manifestarsi il fenomeno siano egualmente possibili.
 La definizione si può applicare quando l’insieme dei casi è un
insieme finito.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
5
Premessa alla definizione
frequentista di probabilità:
frequenza relativa di un evento
La concezione frequentista è basata sulla definizione di
frequenza relativa di un evento.
Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate
nelle stesse condizioni, il rapporto fra il numero v delle prove
nelle quali l’evento si è verificato e il numero n delle prove
effettuate:
f= v/n
se f=0 l’evento non si è mai verificato in quelle n prove;
se f=1 (v=n) l’evento si è sempre verificato in quelle n prove.
6
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Note alla concezione frequentista

La frequenza dipende dal numero n delle prove fatte, ma, per
uno stesso n, la frequenza può variare al variare del gruppo
delle prove:
Se si lancia 100 volte una moneta e si presenta testa 54 volte,
effettuando altri 100 lanci si può presentare 48 volte.
 Se il numero di prove è sufficientemente alto, il rapporto v/n
”tende” a stabilizzarsi.
7
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Legge empirica del caso
In una serie di prove, ripetute un gran numero di volte,
eseguite tutte nelle stesse condizioni, la frequenza
“tende” ad assumere valori prossimi alla probabilità
dell’evento e l’approssimazione è tanto maggiore
quanto più numerose sono le prove eseguite.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
8
Legge empirica del caso: un po’ di storia
Gli esperimenti storici sul lancio di una moneta hanno confermato
che, al crescere del numero delle prove, la frequenza si avvicina
ordinariamente al valore 0,5 della probabilità dell’evento “testa”
calcolato con l’impostazione classica, confermando la legge
empirica del caso.
G. L. Buffon (1707-1788) lanciò 4.040 volte una moneta
ottenendo “testa” 2.048 volte con frequenza 0,5069.
E. S. Pearson (1857-1936) lanciò in un primo esperimento 12.000
volte una moneta ottenendo “testa” 6.019 volte, con frequenza
0,50158; in un secondo esperimento ottenne, su 24.000 lanci,
12.012 volte “testa”, con frequenza 0,5005.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
9
Definizione frequentista di probabilità
La legge empirica del caso permette di formulare la seguente
definizione frequentista di probabilità per eventi ripetibili:
La probabilità di un evento è la frequenza relativa in un numero
“elevato” di prove.
Generalmente non si può dire quante prove siano necessarie; il
numero delle prove dipende dal fenomeno in esame.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
10
Approccio soggettivista alla probabilità
Definizione soggettivista di probabilità (De Finetti et alii, 1931):
Somma p che un soggetto “coerente” ritiene equo di pagare per
ricevere una somma unitaria (ad es. 1 centesimo) nel caso che
l’evento si verifichi (“coerente” significa che lo stesso soggetto
deve essere disposto nel contempo a pagare la somma 1-p per
ricevere 1 centesimo nel caso che l’evento non si verifichi).
In altre parole:
la probabilità di un evento è la misura del grado di
fiducia che un individuo coerente attribuisce in base alle
proprie opinioni e alle informazioni di cui dispone, al
verificarsi di quell’evento.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
11
Approccio assiomatico alla probabilità
Esso costituisce la struttura portante delle diverse
definizioni precedenti, che vengono per così dire
“amalgamate” in una teoria assiomatica della probabilità
(Kolmogorov, 1933).
In quest’ottica ci si preoccupa non tanto di stabilire
“cos’è” la probabilità, ma di definirla implicitamente
tramite un insieme di assiomi che possano essere
“condivisi” dai diversi approcci presentati.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
12
Approccio assiomatico alla probabilità
Base dell’approccio assiomatico è la definizione di spazio
campionario.
Per spazio campionario si intende una terna (,F,P) che
formalizza tutto quello che sappiamo sull'esperimento
aleatorio.  : è lo spazio campionario, contiene tutti i
possibili esiti dell'evento. F: è una collezione di
sottoinsiemi di , che contiene tutti gli eventi a cui
possiamo assegnare una probabilità. P: è una funzione
che assegna un numero da 0 a 1 ad ogni elemento di A.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
13
Esperimento ed eventi aleatori
La teoria della probabilità si fonda sul concetto di
esperimento aleatorio, nel senso di prova che si assume
possa essere ripetuta indefinitamente sotto le medesime
condizioni.
Si dice evento l’insieme costituito da uno o più dei
possibili risultati di un esperimento aleatorio.
NB: Il termine “aleatorio” ha semplicemente il significato
di “non conosciuto”, ma di per sé ben determinato.
14
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Esperimento composto
Supponiamo di definire n esperimenti, X1, X2, …, Xn , ad esempio:
• n lanci di una moneta
• n estrazioni di una carta da un mazzo ben mescolato
Si definisce ESPERIMENTO COMPOSTO l’esperimento che consiste
semplicemente nell’eseguire gli n esperimenti in sequenza, l’uno in
maniera indipendente dall’altro, ovvero l’esperimento costituito da
un numero finito (oppure infinito) di repliche dell’esperimento Xi.
Intuitivamente, la nozione di indipendenza significa che il risultato
di un esperimento non influenza il risultato di nessuno degli altri
esperimenti.
15
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Spazio campionario
Lo spazio campionario o spazio degli eventi per un esperimento è
l'insieme di tutti i suoi possibili esiti. Un evento è dunque un
sottoinsieme dello spazio campionario.
ESEMPIO
Nel caso dell'esperimento costituito dal lancio di un dado, lo
spazio campionario  è l’insieme dei punti campione
corrispondenti ai sei eventi elementari Ei, con i = 1, 2, …, 6:
 = {E1, E2, E3, E4, E5, E6}
Ei= “nel lancio esce il numero i”, con i=1,2,…,6
16
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Spazio campionario
 Nel caso dell’esperimento che consiste nell’estrarre una carta da
un mazzo, lo spazio campionario o degli eventi è costituito da
tutte le 52 carte del mazzo, da cui
 = {1, 2, …, 13} x {Cuori, Quadri, Fiori, Picche}
 Nel caso dell'esperimento consistente nel misurare il Ph di uno
yogurt all’uscita da una linea di produzione, lo spazio
campionario è  = [0;14].
In questo caso, lo spazio  contiene un insieme infinito non
numerabile di punti campione.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
17
Tipologie di eventi
Gli eventi si possono distinguere in
 Eventi elementari
 Eventi composti
Gli eventi elementari sono costituiti da uno solo dei possibili
risultati di un esperimento aleatorio.
Essi sono detti anche, come già detto, punti campione.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
18
Evento composto
Nello spazio campionario di un esperimento aleatorio, un
evento composto corrisponde dunque ad un insieme che
contiene più di un punto campione.
Per l’esperimento costituito dal lancio di un dado viene
definito l'evento A: “si osserva un numero dispari”.
Quindi A={1,3,5}
A è un evento composto.
B:“si osserva un numero maggiore di 5”
B={6 }
B é invece un evento elementare.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
19
Compatibilità di eventi
DEFINIZIONE
Sia  uno spazio campionario di eventi.
Due eventi A e B in  si dicono compatibili se possono
avvenire contemporaneamente .
Quindi:
due eventi sono incompatibili (o mutuamente esclusivi) se essi
non possono accadere contemporaneamente.
ESEMPIO
Gli eventi "estrai una figura" e "estrai picche“ non sono
incompatibili, dal momento che possiamo estrarre il re di
picche, ma gli eventi "estrai una carta rossa“ e "estrai picche"
sono mutuamente esclusivi, cioè il verificarsi del primo evento
non ha nulla a che fare con il verificarsi del secondo.
20
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Assiomi della probabilità
La teoria della probabilità è basata, come precedentemente
ricordato, sugli assiomi di Kolmogorov.
Nel caso di uno spazio campionario finito , un numero P(E),
chiamato probabilità di E, può essere assegnato a ciascun
evento E (E è un sottoinsieme di ) se vengono rispettati i
seguenti assiomi:
1) P(E) 0, in particolare P()=0
 evento impossibile.
2) Se E1, E2, …, Em sono eventi incompatibili in , allora
m
P(E1u E2u …u Em)=
 P(A )
i 1
i
3) Se lo spazio campione è costituito da N eventi elementari,
Allora
P()=P(E1u E2u …u EN) = 1
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
  evento certo
21
Interpretazione
degli assiomi della probabilità
L’assioma 1 può essere riformulato in termini di frequenza
relativa ("probabilità"): essa deve essere maggiore o uguale a
zero, dato che frequenze relative negative, non hanno senso.
L’assioma 2 dice sostanzialmente che la frequenza relativa
dell’unione di due o più eventi incompatibili è uguale alla
somma delle rispettive frequenze relative e fornisce quindi una
regola di addizione.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
22
Interpretazione
degli assiomi della probabilità
L’assioma 3 asserisce che la somma delle frequenze relative di
tutti gli eventi elementari dello spazio campionario deve essere
uguale a 1.
Gli assiomi 1 e 3 sottintendono la scelta di una convenzione:
decidiamo di misurare la probabilità di un evento con un
numero compreso tra 0 e 1.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
23
Interpretazione rigorosa della definizione
frequentista di probabilità
In base all’impostazione frequentista e alla luce delle
definizioni appena date, per probabilità P di un evento
A si intende il limite a cui tende la frequenza relativa
delle prove in cui l’evento si verifica, quando il numero
di prove tende all’infinito:
A
l i m  P( A)
n 
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
24
Evento congiunto o intersezione
La definizione di probabilità condizionata fa uso della
nozione di evento congiunto o evento intersezione:
A  B.
Un evento congiunto A  B è un
evento composto che ha la
proprietà di essere costituito da
un insieme di eventi elementari,
ciascuno dei quali appartiene sia
all’insieme A che all’insieme B.

25
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità di Eventi congiunti
La probabilità di A  B si calcola nello stesso modo in cui
si calcola la probabilità di qualsiasi evento composto o
complesso: facendo la somma delle probabilità di tutti gli
eventi elementari che lo compongono.
Nel caso di uno spazio campione finito costituito da eventi
elementari equiprobabili, la probabilità P(A  B) è uguale a:
numero di eventi elementariin A  B
P(A  B) 
numero totale di eventi elementari
26
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità dell’evento contrario
In simboli, l’evento contrario è tale che:
AUAC = 
Dato che P( )=1, la sua probabilità è
P(AC) = 1-P(A)
Si dice evento contrario o complementare di un evento A
dato, e si indica con AC, l’evento la cui unione con A dà
origine all’evento certo.
Esempio: Lancio di un dado
A :”esce un numero minore di 3”
AC :“esce un numero maggiore o uguale a 3”
27
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Esempi di Eventi congiunti
P(A  B) + P(A  Bc) = P(A)
A
B
A
P(A  B) + P(Ac  B)
A
B
A
B
= P(B)
B
28
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Esempi di Eventi congiunti
P(Ac  B) + P(Ac  Bc) = P(Ac)
A
B
A
B
P(A  Bc) + P(Ac  Bc) = P(Bc)
A
B
A
B
29
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Esempi di Eventi congiunti
c
P(A 
P(A 
B) +
c
B)
c
P(A 
c
B)
c
P(A 
c
B)
+
=
c
P(A )
=
c
P(B )
30
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Esempi di Eventi congiunti
P(A  B) + P(A  Bc) = P(A)
P(A  B) +
c
P(A 
B) = P(B)
31
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata
Calcolare la probabilità condizionata di un
dato evento significa calcolarne la probabilità,
sapendo che un altro evento ha avuto luogo e
quindi ne “condiziona” l’esito.
32
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata
Supponiamo di eseguire un esperimento aleatorio avente
spazio campionario uguale a .
Se un evento B di  ha avuto luogo, in generale ciò
altera le probabilità che vengono assegnate ad altri
eventi.
Se A è un secondo evento, allora A si verifica se e solo se
A e B possono verificarsi assieme. In altre parole, lo
spazio campionario si è ridotto a B.
33
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata
La probabilità che A si verifichi, dunque, dovrebbe essere
proporzionale a P(A  B).
Questo conduce alla seguente definizione.
Siano A e B due eventi definiti per un esperimento aleatorio
con P(B) > 0. La probabilità condizionata di A dato B
è data da:
P A  B 
P A B  
P B 
34
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata
A
B
PA  B
PA B 
PB
S

A B
P(A | B) rappresenta la probabilità di A B rispetto
allo spazio ridotto di B.
35
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata
Dati due eventi A e B, si possono definire due probabilità
condizionate:
P A  B 
P A B  
P B 
P A  B 
P B A 
P  A
36
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata
A
B
P A  B 
P A B  
P B 
W
S
A B
P(B | A) rappresenta la probabilità di
A B
rispetto allo spazio ridotto di A.
37
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata: casi particolari
Qual è la probabilità che l’evento A si verifichi sapendo
che ha avuto luogo l’evento B, P(A | B), nel caso in cui
A  B = ?
A
B
P(A | B) = P(A  B ) / P(B) = 0
38
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata: casi particolari
Qual è la probabilità che l’evento A si verifichi sapendo
che ha avuto luogo l’evento B, P(A | B), nel caso in cui
B  A?
AB=B
P(A | B) = P(A  B ) / P(B) =
B
A
P(B) / P(B) = 1
39
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata: casi particolari
Qual è la probabilità che l’evento A si verifichi sapendo che
ha avuto luogo l’evento B, P(A | B), nel caso in cui A  B?
AB=A
A
B
P(A | B) = P(A  B ) / P(B) =
=P(A) / P(B)
40
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Sintesi sulla probabilità condizionata
Nel caso di uno spazio campionario finito,
costituito da eventi elementari equiprobabili,
la probabilità P(A|B) è uguale a:
numero di elementidi A  B
P(A |B) 
numero di elementidi B
41
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata: esempio 1
acciughe
salame
funghi
42
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata: esempio 1
”Una fetta di pizza viene scelta a caso. Sulla fetta di pizza
c’è del salame piccante. Qual è la probabilità che ci siano
anche dei funghi?”
P(funghi | salame) = 3/5
3
P(F  S)
3
8
P(F|S) 


5
P(S)
5
8
43
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata: esempio 1
” Una fetta di pizza viene scelta a caso. Sulla fetta di
pizza ci sono delle acciughe. Qual è la probabilità che vi
siano anche dei funghi?”
P(funghi | acciughe) = 2/3
2
P(F  A)
2
8
P(F| A) 


3
P(A)
3
8
44
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata: esempio 2
Supponiamo che un quesito con risposte possibili “sì ” e
“no” sia stato rivolto a 34 studenti, 18 maschi e 16
femmine. I risultati sono i seguenti:
Maschi
Femmine
SI
10
4
14
NO
8
12
20
18
16
34
45
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità condizionata: esempio 2
Supponiamo di estrarre a caso uno studente da questo
gruppo e definiamo le seguenti probabilità:
Maschi
SI
NO
10
18
P(M) 
34
Femmine
4
14
8
12
20
18
16
34
14
P(S) 
34
10
P(M  S) 
34
46
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Leggi della probabilità
nel caso di probabilità condizionata
• Legge del prodotto
• Legge della somma
• Legge della probabilità totale
• Teorema di Bayes
47
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Legge del prodotto
e probabilità condizionata
La probabilità dell’evento congiunto A  B è
P(A  B)  P(A)  P(B|A)  P(B)  P(A|B)
La legge del prodotto, detta anche “teorema delle
probabilità
composte”,
segue
direttamente
dalla
definizione di probabilità condizionata:
P(A  B)
P(A |B) 
P(B)
P(A  B)
P(B| A) 
P(A)
48
Legge del prodotto ed eventi indipendenti
A e B si dicono (stocasticamente) indipendenti, se il fatto
che si verifichi l’uno non altera la probabilità dell’altro
evento, ovvero se:
P(A | B ) = P(A) e P(B | A) = P(B)
In tal caso:
P(A  B)  P(A)  P(B)
49
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Legge della somma
La probabilità dell’unione di due eventi A e B compatibili è:
P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)
50
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Legge della somma ed eventi indipendenti
Se A e B sono incompatibili (o mutuamente esclusivi),
allora si ha:
P(A  B)  0
P(A  B)  P(A)  P(B)
51
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Esempio 1
acciughe
salame
funghi
52
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Esempio 1
”Una fetta di pizza viene scelta a caso.
Qual è la
probabilità che la fetta di pizza abbia del salame
piccante oppure dei funghi?”
P(funghi  salame) =
= P(funghi) + P(salame) - P(funghi  salame) =
= 4/8 + 5/8 - 3/8 = 3/4
53
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Esempio 2
Sia A l’evento “donna” e B l’evento “mancino”.
Siano assegnate le probabilità di A , di B e di A  B :
P(A) = 0, 51
P(B) = 0, 35
P(A  B) = 0, 10
54
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Esempio 2
Qual è la probabilità di osservare una donna oppure un
mancino?
P(A  B) =
= P(A) + P(B) - P(A  B)
A
B
= 0, 51 + 0, 35 - 0, 10 = 0, 76
55
0
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Esempio 2
Qual è la probabilità di osservare una donna non mancina?
P (A  B c)
A
B
P(A  Bc) = P(A) - P(A  B) = 0, 51 - 0, 10 = 0, 41
56
0
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Esempio 2
Qual è la probabilità di osservare un uomo mancino?
P(Ac  B)
A
P(Ac  B) = P(B) - P(A  B)
B
= 0, 35 - 0, 10 = 0, 25
57
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Esempio 2
Qual è la probabilità di osservare un uomo non mancino?
P(Ac  Bc)
A
P(Ac  Bc) = P(Ac) - P(Ac  B)
P(Ac  Bc) = 1 - P(A  B) =
B
= 0, 49 - 0, 25 = 0, 24
1 - 0, 76 = 0, 24
58
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
Probabilità totale e teorema di Bayes
A corollario delle proprietà di addizione e moltiplicazione
illustrate, si può infine introdurre il concetto di probabilità totale.
Premesse
Dati gli eventi H1, H2, …, Hn mutuamente
incompatibili, sia E un evento, non
impossibile, che si verifichi insieme ad
uno ed uno solo di questi n eventi.
Innanzitutto, si potrà affermare che:
A = (AH1) (AH2)  …  (AHn)
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
58
59
Probabilità totale e teorema di Bayes
Trattandosi di eventi incompatibili, la probabilità che A ha di
verificarsi risulta:
P(A) = P(AH1)+P(A H2) + … +P(AHn)
Per il teorema delle probabilità composte, l’espressione
sopra può essere scritta come:
P(A) = P(H1)P(A|H1)+ P(H2)P(A|H2)+ + … + P(Hn)P(A|Hn)
Tale espressione prende il nome di formula della probabilità
totale.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
59
60
Probabilità totale e teorema di Bayes
Supposto che l’evento E si verifichi a diverse condizioni, sulle
quali si facciano n ipotesi H1, H2, …, Hn , in genere prima di
effettuare la prova sono note le probabilità di ciascuna
ipotesi Hi. Si sa anche che ciascuna di esse dà all’evento E
una probabilità condizionata P(A| Hi).
Supponiamo che si verifichi A: questo potrebbe causare una
rivalutazione delle probabilità delle ipotesi H1, H2, …, Hn .
Il teorema di Bayes risolve quantitativamente la questione,
permettendo di calcolare in che modo si devono cambiare le
probabilità di queste ipotesi, essendosi già verificato E.
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
60
61
Teorema di Bayes
Il teorema di probabilità delle cause o delle ipotesi,
attribuito al matematico inglese Thomas Bayes
(1701? – 7 Aprile 1761) , esprime la probabilità che si
realizzi l’ipotesi Hi, dato che si sia già verificato E:
p(Hi |E) 
p(Hi )p(E|Hi )
n
 p(Hi )p(E|Hi )
i 1
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
61
62
Teorema di Bayes
In sintesi, una dimostrazione del teorema..
Poiché si ha che: P(A) = P(AH1)+P(A H2) + … +P(AHn),
p(E  Hi )  p(E)p(Hi |E)  p(Hi )p(E|Hi )
Da cui segue in particolare che:
p(Hi )p(E|Hi )
p(Hi |E) 
p(E)
In forma concisa si può scrivere che:
n
p(E)   p(Hi )p(E|Hi )
i1
E dunque:
p(Hi )p(E|Hi )
p(Hi |E)  n
 p(Hi )p(E|Hi )
i1
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
62
63
Teorema di Bayes: un esempio
Suppongo di possedere 5 confezioni contenenti cioccolatini,
distribuiti come segue:
 2 confezioni (ipotesi H1) contengono 2 cioccolatini fondenti e 3
al latte;
 2 confezioni (ipotesi H2) contengono 1 cioccolatino fondente e
4 al latte;
 1 confezione (ipotesi H3) contiene 4 cioccolatini fondenti e 1 al
latte.
Scelgo un cioccolatino da una confezione a caso e scopro che è
fondente (evento E). Qual è la probabilità che il cioccolatino sia
stato estratto dalla quinta confezione (ultima ipotesi)?
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
63
64
Teorema di Bayes: un esempio
P(H1)=p(H2)=2/5 p(H3)=1/5
P(E|H1)= 2/5 p(E|H2)=1/5
p(E|H3)=4/5
Dalla formula dimostrata si ha che la probabilità cercata è:
p(H3 | E ) 
p(H3 )p(E | H3 )
3
 p(H )p(E |H )
i 1
i

i
1 4

4
2
5
5



2 2
2 1
1 4
10
5
    
5 5
5 5
5 5
Appunti a cura di Daniela Gambi e Isabella Stevani
64
65