Dalla relatività ai
buchi neri
Lavoro di maturità
Enea Di Dio
Liceo Locarno
2004-2005
Professore responsabile: Christian Ferrari
i
Indice
1.
2.
Introduzione .............................................................................................................. 1
Biografie..................................................................................................................... 4
2.1
Galileo Galilei..................................................................................................... 4
2.2
Isaac Newton....................................................................................................... 6
2.3
Albert Einstein .................................................................................................... 8
3. Introduzione alla relatività galileiana ................................................................... 10
3.1
Referenziali inerziali o di Galileo ..................................................................... 10
3.2
Assiomi non relativisti ...................................................................................... 11
3.2.1
La simultaneità e l’intervallo di tempo ..................................................... 11
3.2.2
L’intervallo di spazio ................................................................................ 11
3.3
Le trasformazioni di Galileo ............................................................................. 12
3.4
Formulazione di Galileo del concetto di relatività............................................ 12
3.5
Concezione dello spazio e del tempo pre-relativistica...................................... 13
4. Introduzione alla relatività ristretta...................................................................... 15
4.1
Il campo elettromagnetico di Maxwell ............................................................. 15
4.2
L’etere ............................................................................................................... 15
4.3
L’esperimento di Michelson e Morley.............................................................. 16
5. La relatività ristretta .............................................................................................. 19
5.1
Le considerazioni di Einstein............................................................................ 19
5.2
Postulati di Einstein sulla luce .......................................................................... 19
5.3
Concetto di simultaneità ................................................................................... 20
5.4
Principio di relatività......................................................................................... 21
5.5
Intervallo ........................................................................................................... 21
5.6
Diagrammi di Brehme....................................................................................... 22
5.7
Le trasformazioni di Lorentz ............................................................................ 24
5.8
Carattere limite della velocità della luce........................................................... 28
5.9
Contrazione apparente delle lunghezze ............................................................ 29
5.10 Dilatazione apparente dell’intervallo di tempo................................................. 30
5.11 Effetto Doppler non relativista.......................................................................... 31
5.12 Effetto Doppler relativista................................................................................. 33
5.13 I risultati ottenuti con l’effetto Doppler ............................................................ 35
5.13.1 L’espansione dell’universo ....................................................................... 35
5.13.2 Il Big Bang................................................................................................ 35
5.13.3 Le ipotesi precedenti ................................................................................. 35
5.14 Il cono di luce.................................................................................................... 37
5.15 Il tempo proprio e la tetravelocità..................................................................... 40
5.16 L’equivalenza massa energia ............................................................................ 41
6. La relatività generale.............................................................................................. 43
6.1
La gravità secondo Newton .............................................................................. 43
6.2
L’azione a distanza ........................................................................................... 44
6.3
Incoerenza tra relatività ristretta e gravità di Newton....................................... 45
6.4
Il campo gravitazionale..................................................................................... 46
6.5
Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale.............................................. 46
6.6
I principi della relatività generale ..................................................................... 47
i
6.6.1
Principio di oggettività.............................................................................. 47
6.6.2
Principio di covarianza ............................................................................. 47
6.6.3
Principio di equivalenza debole ................................................................ 47
6.6.4
Principio di equivalenza forte ................................................................... 49
6.6.5
Principio di Mach...................................................................................... 49
6.7
Conseguenze del principio di equivalenza........................................................ 50
6.7.1
Effetto della gravità sulla luce .................................................................. 50
6.7.2
Effetto della gravità sul tempo.................................................................. 51
6.7.3
Effetto della gravità sullo spazio............................................................... 51
6.7.4
Redshift ..................................................................................................... 52
6.8
Alcune prove sperimentali a sostegno della relatività generale........................ 54
6.8.1
Effetto della gravità sul tempo.................................................................. 54
6.8.2
Effetto della gravità sulla luce .................................................................. 55
6.9
Le geodetiche .................................................................................................... 56
6.10 Complemento: la struttura della spazio secondo la relatività generale............. 58
6.11 Le equazioni di Einstein.................................................................................... 59
6.12 La geometria dello spazio-tempo...................................................................... 61
7. I buchi neri............................................................................................................... 64
7.1
Definizione di buco nero................................................................................... 64
7.2
La storia ............................................................................................................ 65
7.3
La formazione ................................................................................................... 65
7.3.1
Il Sole ........................................................................................................ 66
7.3.2
Il principio di esclusione........................................................................... 68
7.3.3
Le nane bianche ........................................................................................ 70
7.3.4
Le stelle a neutroni.................................................................................... 71
7.3.5
I buchi neri ................................................................................................ 71
7.4
Il raggio di Schwarzschild ................................................................................ 72
7.4.1
Calcolo classico del raggio di Schwarzschild........................................... 72
7.4.2
La soluzione relativistica del raggio di Schwarzschild............................. 72
7.4.3
La censura cosmica ................................................................................... 73
7.5
Il comportamento dei coni di luce nelle vicinanze di un buco nero ................. 74
7.5.1
Visti da un osservatore lontano................................................................. 74
7.5.2
Visti da un osservatore vicino................................................................... 75
7.6
Alcuni effetti dei buchi neri .............................................................................. 77
7.6.1
Paradosso dell’astronauta.......................................................................... 77
7.6.2
Effetti marea.............................................................................................. 78
7.6.3
Macchina del tempo.................................................................................. 79
7.7
Radiazione di Hawking..................................................................................... 80
8. Conclusione.............................................................................................................. 85
9. Ringraziamenti........................................................................................................ 85
10. Appendice A “Cos’è la teoria della relatività?” di A. Einstein.......................... 86
11. Bibliografia .............................................................................................................. 89
ii
Dalla relatività ai buchi neri
1. Introduzione
1. Introduzione
Chi non ha mai sentito il nome di Albert Einstein? Credo che, nella parte del mondo che
noi chiamiamo occidente e che consideriamo la più sviluppata, non ci sia persona che non
abbia sentito questo nome e che non sappia che era uno scienziato. Ora sorge spontanea
la seguente domanda: cosa ha fatto Albert Einstein nella sua vita? La risposta più
evidente dovrebbe essere la famosissima formula E = mc 2 . A questo punto chiunque
abbia ricevuto un’istruzione a livello liceale dovrebbe almeno capire cosa esprima questa
semplice, ma fondamentale, formula. Però è molto riduttivo ricordare Einstein solo per
questa formula, nonostante sia importantissima, perché il suo contributo alla fisica è stato
enormemente più grande, infatti ci ha dato una nuova rappresentazione dello spazio e del
tempo. Per far tutto ciò è andato contro molte idee consolidate dell’epoca e considerate
giuste, ciò aumenta il suo valore come scienziato. Le sue scoperte hanno avuto un enorme
impatto sulla nostra concezione dell’universo, ma queste purtroppo sono conosciute e
studiate solo da scienziati, l’uomo comune, il cosiddetto uomo della strada, ricorda
semplicemente la sua formula che lega tramite la velocità della luce al quadrato l’energia
intrinseca della materia con la massa. Per l’uomo della strada ciò che conta è il senso
comune, ciò che riesce a percepire con i propri sensi e sfortunatamente la conclusione
alle quali è arrivato Einstein sono in contraddizione con il senso comune. Infatti tutti
definirebbero il tempo o lo spazio come dei concetti assoluti, nel senso che non
dipendono dal sistema di riferimento, e così si pensava sino all’arrivo di Einstein. Questo
fattore del nostro senso comune porta a distanziare il mondo scientifico dal resto del
mondo. È chiaro che il nostro uomo della strada sia più propenso a pensare che i risultati
a cui è arrivato Einstein sono più dei giochini matematici che considerazione reali, perché
la sua esperienza personale non verifica le ipotesi dello scienziato. Qui occorre
specificare che le grandi scoperte di Einstein sono basate su considerazioni di tipo
puramente fisico e la matematica è stato solo un mezzo, anche se di notevole importanza,
per arrivare a queste formidabili conclusioni.
Ora gettiamo uno sguardo veloce al passato per potere fare un paragone con la situazione
attuale. La tradizione greca vuole che Pitagora fu il primo nel 550 a.C. a scoprire e
insegnare che la Terra è una sfera sospesa nello spazio. Una simile affermazione lasciava
certamente perplesso l’uomo comune, infatti si chiedeva da cosa era sostenuta e in caso
contrario come faceva a stare su. Un altro dilemma non da poco era capire come mai le
persone che abitavano nell’altro emisfero non cadevano ma restavano saldamente
attaccati alla Terra proprio come loro. Il senso comune prima di Pitagora era che la Terra
fosse piatta, ma con il passare dei secoli è cambiato e ora nessuno oserebbe sostenere che
la Terra sia piatta e non sferica. Quindi si può pensare che il nostro senso comune è
determinato anche da ciò che ci viene insegnato e non solo da ciò che percepiamo.
Un’altra prova a sostegno di questa tesi è il fatto che una volta si riteneva che la Terra
fosse al centro dell’universo e il resto ci girasse attorno e invece ora si sa che noi siamo
posti in una zona periferica della nostra galassia e che giriamo attorno al Sole.
Certamente non siamo al centro dell’universo ed è stata un’idea non facile da accettare
dalla Chiesa, in fondo le Sacre scritture dicono che Dio ci ha creato a sua immagine e
somiglianza e ci ha creati per ultimi perciò la nostra centralità nell’universo non poteva
essere messa in dubbio. Il tempo passa e ora non siamo più così presuntuosi da ritenerci
1
Dalla relatività ai buchi neri
1. Introduzione
al centro di tutto. Quindi si può ragionevolmente pensare e supporre che arriverà un
giorno in cui considerare il tempo e lo spazio come un qualcosa di assoluto e invariante
sarà un’assurdità. La scienza indica la strada e prima o poi arriverà a rimorchio anche il
resto del mondo.
Come mai il nostro senso comune è spesso in contrasto con le nuove scoperte? Forse la
natura ci vuole nascondere i suoi segreti?
Forse è vero che la natura ci vuole nascondere i suoi segreti, o forse meglio non ci
permette di vedere tutto, e per questo comportamento c’è anche una teoria chiamata
censura cosmica, che è strettamente legata ai buchi neri e che tratterò più avanti nel corso
del mio lavoro. Nonostante ciò credo che le nuove scoperte sono in contrasto con il senso
comune perché questo è fortemente influenzato dalle certezze precedenti che vengono a
cadere con le nuove scoperte. Questo succede perché siamo ai piedi di una lunga scala
della conoscenza, una scala che si allunga man mano che si sale e di cui non si vede la
fine e, come se non bastasse, non si sa se ci sia una fine. I grandi scienziati come Galileo,
Newton e Einstein sono quelli che sanno andare oltre al senso comune della loro epoca e
basano le proprie considerazioni su basi verificate scientificamente.
“Non so come io posso apparire al mondo, ma per quanto mi riguarda mi sembra di
essere stato soltanto un bambino che giuoca sulla spiaggia ed è contento quando trova un
ciottolo più levigato o una conchiglia più graziosa del solito, mentre il grande mare della
verità è davanti a lui ancora tutto da scoprire.”
I. Newton
Da [6], pagina 14
Questa frase pronunciata da uno dei più grandi scienziati di ogni tempo descrive bene ciò
che fa uno scienziato e soprattutto ricorda che si deve restare umili davanti alle proprie
scoperte. Ci si deve rendere conto che quel che si sa seppure ci pare tanto in realtà è poco
o niente. Soprattutto non si devono più fare errori gia fatti nella storia di credere di sapere
già tutto, infatti all’epoca di Galileo Galilei si credeva di sapere tutto sui corpi celesti ma
in realtà si stava sbagliando tutto. Anche prima di Einstein si era arrivati a un punto di
stallo della scienza cosmologica, si discuteva di cosa fosse l’etere ma si credeva di aver
quasi scoperto tutto e poi è arrivato Einstein a fare cadere tutte le convinzioni precedenti.
E chi sarà il prossimo che ci farà cadere nuovamente dalla scala su cui ci siamo
arrampicati affannosamente in questi anni credendo che sia stata la volta buona? Prima o
poi qualcuno e qualcosa che andranno ancora contro il nostro senso comune ci sarà
sicuramente. La differenza forse è che adesso sappiamo che accadrà e lo speriamo anche
per fare un ulteriore progresso nelle nostre piccole conoscenze, anche se con esse
abbiamo un enorme potere e non è detto che sia un bene, ma qui si aprirebbe un altro
capitolo sull’etica della scienza che non vorrei trattare in questo lavoro. Adesso si sa che
la teoria della relatività generale non funziona su scale enormemente piccole dove a
prevalere è la meccanica quantistica che non si accorda con le equazioni di Einstein.
Arriverà un giorno in cui si scoprirà tutto? Questo è sempre stato il sogno di tutti gli
scienziati. Chi non vorrebbe scoprire la M-Teoria?
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Dalla relatività ai buchi neri
1. Introduzione
Ma quello sarà veramente un bel giorno per l’umanità (se ci sarà ancora)? Io non credo
perché verrebbe meno il nostro istinto di andare verso l’ignoto. L’uomo da sempre ha
cercato di scoprire quel che ancora non sapeva e il giorno che saprà tutto non vivremo più
per questo scopo ma unicamente per mandare avanti la nostra specie, torneremmo
paradossalmente a essere degli animali come gli altri.
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Dalla relatività ai buchi neri
2. Biografie
2. Biografie
Le biografie seguenti sono state prese da www.biografieonline.it e liberamente adattate.
2.1 Galileo Galilei
Padre della scienza moderna, Galileo
Galilei è il gigantesco pensatore grazie al
quale si diffuse un nuovo modo di fare
scienza, fondato su un metodo solido non
più basato sull'osservazione diretta della
natura, bensì sull'utilizzazione degli
strumenti scientifici.
Nato a Pisa il 15 febbraio 1564, Galileo
compie i primi studi di letteratura e logica
a Firenze dove si trasferisce con la
famiglia nel 1574. Nel 1581 per volere del
padre si iscrive alla facoltà di medicina
dell'Università di Pisa, ma per questa
disciplina non mostrerà un vero interesse.
Lasciata dunque l'università pisana fa armi
e bagagli e ritorna a Firenze.
Figura 2-1: Galileo Galilei.
Qui sviluppa una passione per la
meccanica cominciando a costruire
macchine sempre più sofisticate, approfondendo la matematica e compiendo osservazioni
di fisica sotto la guida di Ostilio Ricci.
Nel 1589 ottiene la cattedra di matematica all'Università di Pisa che manterrà fino al
1592; nel 1591 il padre Vincenzo muore lasciandolo alla guida della famiglia; in questo
periodo si interessa al movimento dei corpi in caduta e scrive il "De Motu".
Nel 1593 Galileo viene chiamato a Padova dove la locale Università gli offre una
prestigiosa cattedra di matematica, geometria e astronomia. Galileo accetta con
entusiasmo e vi rimarrà fino al 1610.
E' in questo periodo che comincia ad orientarsi verso la teoria copernicana del moto
planetario, avvalorata dalle osservazioni effettuate con un nuovo strumento costruito in
Olanda: il telescopio. Galileo apporterà poi significativi miglioramenti allo strumento.
Nel 1609 pubblicava la sua "Nuova astronomia", che contiene le prime due leggi del
moto planetario.
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Dalla relatività ai buchi neri
2. Biografie
Nel marzo 1610 rivela nel "Sidereus Nuncius" l’esistenza di quattro satelliti di Giove.
La scoperta di un centro del moto che non fosse la Terra comincia a minare alla base la
teoria tolemaica del cosmo. Le teorie astronomiche di Galileo Galilei vengono ben presto
ritenute incompatibili con le verità rivelate dalla Bibbia e dalla tradizione aristotelica.
Una prima conseguenza è un'ammonizione formale del cardinale Bellarmino. Galileo
dopotutto non fa altro che confermare la teoria copernicana, teoria già conosciuta da
tempo.
L'Inquisizione ecclesiastica non sente ragioni, bolla come eretico questo impianto
cosmologico e proibisce formalmente a Galileo di appoggiare tali teorie.
Nell'aprile del 1630 Galileo, sì intimidito ma non a sufficienza per interrompere la sua
straordinaria esplorazione scientifica, termina di scrivere il "Dialogo sui due Massimi
Sistemi del Mondo", nel quale le teorie copernicana e tolemaica vengono messe
dialetticamente a confronto.
Concorda anche con il Vaticano alcune modifiche per poter far stampare l'opera, ma
decide poi di farla stampare a Firenze, nel 1632.
Arrivata nelle mani di Papa Urbano VIII, costui ne proibisce la distribuzione e fa istituire
dall'Inquisizione un processo contro Galileo.
Lo scienziato, ormai anziano e malato, viene chiamato a Roma e processato (1633).
Imprigionato e minacciato di tortura, Galileo viene costretto ad abiurare pubblicamente
(umiliato indossava un rozzo sacco) e condannato alla prigione a vita.
Questo colossale scienziato e pensatore a cui si devono i mattoni fondamentali del
progresso scientifico così come lo conosciamo oggi, morì a Firenze il giorno 8 gennaio
1642,
circondato
da
pochi
allievi
e
nella
quasi
totale
cecità.
Trecentocinquanta anni dopo la sua morte (1992) la Chiesa ha riconosciuto formalmente
la grandezza di Galileo Galilei, "riabilitandolo" e assolvendolo dall'accusa di eresia.
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Dalla relatività ai buchi neri
2. Biografie
2.2 Isaac Newton
Fisico e matematico tra i più grandi di
ogni tempo. Ha dimostrato la natura
composita della luce bianca, ha codificato
le leggi della dinamica, ha scoperto la
legge della gravitazione universale,
ponendo le basi della meccanica celeste ed
ha creato il calcolo differenziale ed
integrale. Nato orfano di padre il 4
Gennaio 1643 in Woolsthorpe, nel
Lincolnshire.
Dopo un'educazione rudimentale nella
scuola locale, viene spedito all'età di
dodici anni alla King's School di
Grantham.
Alla sua nascita, Newton è l'erede
legittimo di una modesta eredità legata
alla fattoria che avrebbe dovuto
cominciare ad amministrare una volta
divenuto maggiorenne. Durante il periodo
di prova alla King's School, diviene chiaro
Figura 2-2: Isaac Newton.
che l'agricoltura e la pastorizia non sono
proprio il suo mestiere. Così, nel 1661,
all'età di 19 anni, entra al Trinity College di Cambridge.
Dopo aver ricevuto la laurea di baccellierato nel 1665, apparentemente senza particolare
distinzione, Newton si ferma ancora a Cambridge per fare un master ma un'epidemia
provoca la chiusura dell'università. Torna allora a Woolsthorpe per 18 mesi (dal 1666 al
1667), durante i quali non solo effettua degli esperimenti fondamentali e getta le basi
teoriche di tutti i seguenti lavori sulla gravitazione e sull'ottica ma sviluppa anche il suo
personale sistema di calcolo.
Tornando a Cambridge nel 1667, Newton completa velocemente la sua tesi di master e
prosegue intensamente l'elaborazione di un lavoro iniziato a Woolsthorpe. Il suo
professore di matematica, Isaac Barrow, è il primo a riconoscere l'inusuale abilità di
Newton in materia e, quando nel 1669, abbandona il suo incarico per dedicarsi alla
teologia, raccomanda il suo pupillo come successore. Newton diventa così professore di
matematica all'età di 27 anni, rimanendo al Trinity College per altri 27 con quel ruolo.
Grazie alla sua prodigiosa ed eclettica mente ha modo di fare anche esperienza politica,
precisamente come deputato al Parlamento di Londra, tanto che nel 1695 ottiene la carica
di ispettore della Zecca di Londra. L'opera più importante di questo matematico e
scienziato sono i "Philosophiae naturalis principia mathematica", autentico immortale
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Dalla relatività ai buchi neri
2. Biografie
capolavoro, nel quale espone i risultati delle sue indagini meccaniche e astronomiche,
oltre a gettare le basi del calcolo infinitesimale, ancora oggi di importanza indiscussa. Tra
gli altri lavori si annovera "Optik", studio in cui sostiene la famosa teoria corpuscolare
della luce e "Arithmetica universalis e Methodus fluxionum et serierum infinitarum",
pubblicato postumo nel 1736.
Newton muore nel 1727 seguito da grandissimi onori. Sepolto nell'abbazia di
Westminster, sulla sua tomba vengono incise queste altisonanti e commoventi parole:
"Sibi gratulentur mortales tale tantumque exstitisse humani generis decus" (si rallegrino i
mortali perché è esistito un tale e così grande onore del genere umano).
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Dalla relatività ai buchi neri
2. Biografie
2.3 Albert Einstein
Albert Einstein, nasce il 14 marzo del
1879 a Ulm, in Germania, da genitori
ebrei non praticanti. Un anno dopo la sua
nascita la famiglia si trasferisce a Monaco
di Baviera. L'infanzia di Einstein si svolge
nella Germania di Bismarck, un paese in
via di massiccia industrializzazione, ma
anche retto con forme di dispotismo che si
fanno sentire a vari livelli e in vari
ambienti
della
struttura
sociale.
Il piccolo Albert era per istinto un solitario
ed impara a parlare molto tardi. L'incontro
con la scuola è da subito difficile: Albert,
infatti, trovava le sue consolazioni a casa,
dove la madre lo avvia allo studio del
violino, e lo zio Jacob a quello
dell'algebra. Da bambino, legge libri di
divulgazione scientifica con quella che
definì "un'attenzione senza respiro".
Nel 1894 la famiglia si trasferisce in Italia
Figura 2-2: Albert Einstein.
per cercarvi miglior fortuna con una
fabbrica a Pavia, vicino a Milano. Albert
rimase solo a Monaco per poter terminare l'anno scolastico al ginnasio, raggiunse poi la
famiglia.
Gli affari della fabbrica cominciarono ad andare male e il padre Hermann esortò il figlio
a iscriversi al famoso Istituto Federale di Tecnologia, noto come Politecnico di Zurigo.
Non avendo però conseguito un diploma di scuola secondaria superiore, nel 1895 dovette
affrontare un esame di ammissione e fu bocciato per insufficienze nelle materie letterarie.
Ma ci fu di più il direttore del Politecnico, impressionato dalle non comuni capacità
mostrate nelle materie scientifiche, esortò il ragazzo a non rinunciare alle speranze e a
ottenere un diploma abilitante per l'iscrizione al Politecnico nella scuola cantonale
svizzera progressiva di Aargau. Qui Einstein trovò un'atmosfera ben diversa da quella del
ginnasio di Monaco. Nel 1896 può finalmente iscriversi al Politecnico. Lì prende una
prima decisione non farà l'ingegnere ma l'insegnante.
Nel corso dei suoi studi a Zurigo matura la sua scelta: si dedicherà alla fisica piuttosto
che alla matematica.
Si laurea nel 1900. Prende dunque la cittadinanza svizzera per assumere un impiego
all'Ufficio Brevetti di Berna. Il modesto lavoro gli consente però di dedicare gran parte
del suo tempo allo studio della fisica.
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Dalla relatività ai buchi neri
2. Biografie
Nel 1905 pubblica tre studi teorici. Il primo e più importante studio contiene la prima
esposizione completa della teoria del moto brawniano. Il secondo studio,
sull'interpretazione dell'effetto fotoelettrico, conteneva un'ipotesi rivoluzionaria sulla
natura della luce; egli affermò che in determinate circostanze la radiazione
elettromagnetica ha natura corpuscolare, ipotizzando che l'energia trasportata da ogni
particella che costituiva il raggio luminoso, denominata fotone, fosse proporzionale alla
frequenza della radiazione è proprio quest'ultimo studio che gli valse in seguito il premio
Nobel per la Fisica nel 1921. Il terzo e più importante studio del 1905, che reca il titolo
"Elettrodinamica dei corpi in movimento": conteneva la prima esposizione completa della
teoria della relatività ristretta, frutto di un lungo e attento studio della meccanica classica
di Isaac Newton, delle modalità dell'interazione fra radiazione e materia, e delle
caratteristiche dei fenomeni fisici osservati in sistemi in moto relativo, l'uno rispetto
all'altro,
Nel 1916 pubblica la memoria: "I fondamenti della teoria della Relatività generale",
frutto di oltre dieci anni di studio. Questo lavoro è considerato dal fisico stesso il suo
maggior contributo scientifico e si inserisce nella sua ricerca rivolta alla
geometrizzazione della fisica.
Con l'avvento al potere di Hitler, Einstein fu costretto a emigrare negli Stati Uniti, dove
gli venne offerta una cattedra presso l'Institute for Advanced Study di Princeton, nel New
Jersey. Di fronte alla minaccia rappresentata dal regime nazista egli rinunciò alle
posizioni pacifiste e nel 1939 scrisse assieme a molti altri fisici una famosa lettera
indirizzata al presidente Roosevelt, nella quale veniva sottolineata la possibilità di
realizzare una bomba atomica. La lettera segnò l'inizio dei piani per la costruzione
dell'arma nucleare.
Einstein ovviamente disprezzava profondamente la violenza e, conclusi quei terribili
anni, s'impegnò attivamente contro la guerra e le persecuzioni razziste, compilando una
dichiarazione pacifista contro le armi nucleari.
Più volte poi, ribadì la necessità che gli intellettuali di ogni paese dovessero essere
disposti a tutti i sacrifici necessari per preservare la libertà politica e per impiegare le
conoscenze scientifiche a scopi pacifici.
Morì, a Princeton, il 18 aprile 1955, circondato dai più grandi onori.
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Dalla relatività ai buchi neri
3. Introduzione alla relatività galileiana
3. Introduzione alla relatività galileiana
3.1 Referenziali inerziali o di Galileo
Ipotizziamo che ci siano due scienziati che abbiano il compito di descrivere
matematicamente la caduta di una pallina, questa pallina però è lasciata cadere da una
persona che si trova su di un treno in moto uniforme rispetto alla banchina della stazione.
Il primo scienziato, che si trova sul treno in movimento, non ha problemi a descrivere il
moto della pallina con una semplice linea retta. Infatti considera la pallina in caduta
libera e come ogni corpo in caduta libera segue una linea retta diretta al centro della
Terra. Il secondo scienziato è posto sulla banchina della stazione e descrive il moto come
una semiparabola. Per lui la pallina è come se fosse lanciata in avanti e non
semplicemente lasciata cadere. Ma è possibile che uno dei due scienziati abbia sbagliato
l’interpretazione?
A questo problema diede una soluzione Galileo, che fu il primo ad osservare che non
esiste un unico sistema di riferimento1, bensì ce ne possono essere infiniti equivalenti.
Perciò tutti e due gli scienziati avevano ragione. Se si vuole descrivere un moto di una
particella si deve prima determinare un sistema di riferimento. Si accorse anche che se
venivano considerati due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme tra di loro
valevano comunque le stesse leggi fisiche.
Quindi formulò questo enunciato (per i fenomeni meccanici):
Il moto degli oggetti è regolato dalle stesse leggi sia in un riferimento fermo sia in uno
che si muova di moto rettilineo uniforme rispetto ad esso.
Una volta che si è stabilito che ci sono dei sistemi di riferimento equivalenti si possono
cercare delle formule che permettano il passaggio da un referenziale all’altro.
1
Nel testo utilizziamo i termini sistema di riferimento e referenziale come sinonimi.
10
Dalla relatività ai buchi neri
3. Introduzione alla relatività galileiana
3.2 Assiomi non relativisti
Prima di trattare gli assiomi non relativisti è necessario dare una definizione di
simultaneità nella relatività galileiana.
Definizione
Due eventi A e B sono detti simultanei per l’osservatore O , che si trova nel referenziale
inerziale R , se t A = t B .
3.2.1 La simultaneità e l’intervallo di tempo
Due eventi simultanei rispetto a R sono simultanei rispetto ad ogni altro referenziale
inerziale R' .
Il concetto di simultaneità è un concetto assoluto.
Da questo assioma si può concludere che la simultaneità degli eventi non dipende dal
referenziale considerato. Inoltre implica che anche il concetto di intervallo di tempo è
assoluto e non dipende dal referenziale.
Un’altra conseguenza importante dell’assioma è l’esistenza di un tempo universale,
infatti è sempre possibile porre t = t ' .
3.2.2 L’intervallo di spazio
Gli intervalli di spazio, cioè la distanza, tra due eventi A e B simultanei misurati in R e
R' sono uguali, ossia
At Bt R = A't ' B't ' R ' dove t = t '
Da questo secondo assioma non relativista si può dedurre che l’intervallo di spazio è un
concetto assoluto.
Possiamo riassumere i due assiomi non relativisti qua sopra formulati dicendo che in
meccanica newtoniana ci sono due invarianti:
o L’intervallo di tempo
o L’intervallo di spazio
11
Dalla relatività ai buchi neri
3. Introduzione alla relatività galileiana
3.3 Le trasformazioni di Galileo
Siano ( x, y, z , t ) le coordinate spazio-temporali di un evento E descritto dal referenziale
R , e ( x' , y ' , z ' , t ' ) quelle relative sempre ad E ma descritte da R' .
Allora dagli assiomi non relativisti si ha
⎛
⎜1
x
'
⎛ ⎞ ⎜
⎜ ⎟
⎜ y' ⎟ ⎜ 0
⎜ z' ⎟ = ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ct ' ⎟ ⎜ 0
⎝ ⎠ ⎜
⎜0
⎝
0 0 −
1 0 −
vx
c
vy
c
vz
0 1 −
c
0 0
1
⎞
⎟
⎟⎛⎜ x ⎞⎟
⎟⎜ y ⎟
⎟⎜ ⎟
⎟⎜ z ⎟
⎟⎜ ct ⎟
⎟⎟⎝ ⎠
⎠
⎧ x' = x − v x t
⎪ y' = y − v t
⎪
y
⎨
z
z
v
'
=
−
zt
⎪
⎪⎩ ct ' = ct
Da questo enunciato segue direttamente che, prendendo in considerazione due
referenziali inerziali R e R ' , si ha a = a ' e F = F ' .
La seconda legge di Newton nella forma F = ma , è identica nei due referenziali inerziali
F = ma e F ' = ma ' .
Il moto è perciò descritto dalle stesse leggi in R come in R' .
3.4 Formulazione di Galileo del concetto di relatività
Nel seguente brano di Galileo si può notare il suo modo di formulare il concetto di
relatività. Con l’esempio della nave, che rappresenta un referenziale inerziale o di
Galileo, ha l’intenzione di far capire a tutti questo concetto basilare per l’oggettività della
fisica. Inoltre si mette in evidenza che la nave deve essere in moto costante per poter
osservare e verificare il concetto di relatività. Tutte le esperienze che elenca in questo
testo sono considerabili quotidiane per della gente che era abituata a solcare i mari, ma
nonostante ciò solo nel XVI secolo venne formulato questo importante principio.
“[…] Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun
gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un
gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che
a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia
posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti
volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar
notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso
sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non piú gagliardamente la dovrete
gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando
voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che
avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello
sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità;
12
Dalla relatività ai buchi neri
3. Introduzione alla relatività galileiana
ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete
una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete
comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i
medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete
maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il
tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa
al compagno, non con piú forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e
voi verso poppa, che se voi fuste situati per l'opposito; le gocciole cadranno come prima
nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per
aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con piú fatica noteranno verso
la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al
cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche
continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si
riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro
al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno
state separate […]”
Da [11], pagine 227-228
3.5 Concezione dello spazio e del tempo pre-relativistica
Prima di considerare lo spazio e il tempo nella visione relativistica è fondamentale
considerare la concezione pre-relativistica, cioè quella descritta da Newton. Egli studiò a
fondo la meccanica dei corpi e le sue leggi sono tutt’ora studiate. Secondo lo scienziato
inglese tutti i moti dei corpi avvengono nello spazio e nel tempo, ora bisogna però capire
cosa siano questi due concetti. Si dedicò con molta cura alla ricerca di una definizione di
spazio e di tempo. Arrivò a sostenere che lo spazio e il tempo esistono indipendentemente
l’uno dall’altro e dalla materia e inoltre fece una distinzione tra spazio e tempo assoluto e
relativo.
“Il vero tempo matematico assoluto scorre, grazie alla sua natura, uniformemente e senza
rapporto a un oggetto esterno. Esso viene designato anche col nome di periodo. Il tempo
consueto, apparente, relativo, è una misura, precisa o meno, tangibile ed esteriore del
periodo, come ora, giorno, mese, anno, della quale abitualmente ci si serve al posto del
tempo vero e proprio. Lo spazio assoluto, grazie alla sua natura, rimane costantemente
uguale e immobile, senza rapporto a un oggetto esterno. Lo spazio relativo è una misura o
una parte mobile del primo, il quale viene definito dai nostri sensi per mezzo della sua
condizione rispetto ad altri corpi, e abitualmente scambiato con lo spazio immutabile.”
Da [1], pagina 32
13
Dalla relatività ai buchi neri
3. Introduzione alla relatività galileiana
È con queste parole che Isaac Newton espone la propria visione dello spazio e del tempo.
È interessante notare come divide nettamente tra relativo e assoluto. Prendiamo in
considerazione solamente lo spazio in quanto è qualcosa di più concreto e meno astratto
del tempo. Lo spazio relativo è quello che ci circonda, in cui ci muoviamo e con tre
dimensioni. Invece quello assoluto è lo scenario dove si svolge tutto, ma tutti i fenomeni
che avvengono non lo perturbano in quanto è immobile e costantemente uguale.
Ci sono però delle contraddizioni nel lavoro di Newton, infatti è lui stesso a formulare il
principio d’inerzia:
“Un corpo mantiene il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se la risultante
delle forze agenti su di esso è nullo”
Con la formulazione di questo principio lo stesso Newton si rese conto che non c’è
alcuna differenza tra un corpo in stato di quiete o in movimento. Questo concetto
inerziale si può estendere, come abbiamo appena visto con le trasformazioni di Galileo, ai
referenziali inerziali. Abbiamo anche detto che possono esserci infiniti referenziali
inerziali equivalenti e allora qui sorgono spontanee alcune domande: Quali di questi
referenziali rappresenta lo spazio assoluto e immobile?
Infatti se sono equivalenti non ha senso che uno sia più assoluto di un altro.
Inoltre ha senso parlare di spazio che esiste indipendentemente dalla materia? Avrebbe
senso parlare di spazio privo di materia?
Io non credo che sia possibile che uno scienziato del calibro di Newton non si sia accorto
di questa sua incoerenza, ma l’idea di uno spazio assoluto, eterno, infinito, immutabile,
indistruttibile si avvicinava di più all’idea di una creazione divina e perfetta. Alla fine ha
prevalso la sua fede sulla sua ragione.
14
Dalla relatività ai buchi neri
4. Introduzione alla relatività ristretta
4. Introduzione alla relatività ristretta
4.1 Il campo elettromagnetico di Maxwell
James Clerk Maxwell unificò nel 1865 le leggi che in precedenza erano state elaborate
per descrivere l’elettricità e il magnetismo. Teorizzò l’esistenza dei campi che
trasmettono azioni da un luogo ad un altro e comprese che i campi che trasmettono
perturbazioni elettriche e magnetiche sono entità dinamiche: oscillano e si muovono nello
spazio.
Di Maxwell si ricordano le sue quattro famose equazioni
Q
Φ S (E) =
ε0
ΓC ( B ) −
1 d
Φ S (E) = µ0 I
c 2 dt C
Φ S ( B) = 0
ΓC ( E ) +
d
Φ S ( B) = 0
dt C
dove Φ S è il flusso attraverso una superficie chiusa, ΓC la circuitazione la curva chiusa
C e Φ SC il flusso attraverso la superficie che ha C come bordo.
da cui trasse anche questa importante conclusione:
le onde elettromagnetiche di tutte le frequenze viaggiano nello spazio alla stessa velocità
fissa, quella della luce, chiamata c .
4.2 L’etere
Come abbiamo appena visto la teoria di Maxwell prediceva che la luce come tutte le onde
elettromagnetiche si propaghino a un certa velocità fissa. Ma qui sorgeva un problema,
infatti si doveva dire rispetto a cosa si propagava la luce alla sua velocità fissa. Per
risolvere il problema i fisici ipotizzarono la presenza di una sostanza che fu chiamata
etere. Secondo questa ipotesi l’etere doveva essere presente ovunque, persino nel vuoto.
L’etere era il mezzo con il quale le onde luminose e più generalmente le onde
elettromagnetiche si propagavano, un po’ come l’aria per il suono. Quindi era una
conseguenza logica che se ci si muoveva nella direzione della luce questa doveva avere
una velocità minore di quella fissa, in quando questa ultima era relativa all’etere.
15
Dalla relatività ai buchi neri
4. Introduzione alla relatività ristretta
4.3 L’esperimento di Michelson e Morley
Un caso particolare di questa ultima considerazione è il movimento di rotazione della
Terra. Infatti un raggio di luce sarebbe stato più veloce se fosse emesso nella direzione
ortogonale al moto e rispettivamente più lento se fosse emesso nella direzione del moto.
Nel 1887 Albert Michelson ed Edward Morley fecero questo esperimento.
Figura 4-1: L’immagine rappresenta i raggi luminosi emessi dalla Terra
parallelamente e ortogonalmente al moto di questa intorno al Sole.
Descriviamo la versione moderna di questo esperimento.
Un raggio laser colpisce uno specchio argentato semitrasparente che divide il fascio in
due parti. I due fasci che si formano sono tra di loro perpendicolari, in modo che uno sia
parallelo al moto terrestre e l’altro perpendicolare. I due raggi laser vengono riflessi da
altri due specchi che li rimandano sulla specchio semitrasparente centrale. Dallo specchio
vengono deviati verso un’unica direzione. Alla fine apparranno delle frange di
interferenza, che saranno fondamentali per trarre le conclusioni dell’esperienza.
16
Dalla relatività ai buchi neri
4. Introduzione alla relatività ristretta
u
Figura 4-2: Schema dell’esperimento di Michelson e Morley.
Sia u la velocità con cui l’intero oggetto si muove rispetto all’etere e l la distanza tra gli
specchi e lo specchio semitrasparente posto al centro.
Tempo che impiega il raggio di luce a fare il percorso di andata e ritorno fra i due
specchi:
t1 =
l
l
+
=
c−u c+u
t2 =
2l
u2
c(1 − 2 )
c
2l
(direzione parallela al moto)
(direzione ortogonale al moto)
u2
c 1− 2
c
u2
dove c 1 − 2 è la velocità della luce nella direzione del moto
c
Se un raggio di luce arriva prima dell’altro all’osservatore significa che deve esserci uno
sfasamento nelle onde luminose. Chiameremo questo sfasamento φ .
17
Dalla relatività ai buchi neri
Consideriamo
4. Introduzione alla relatività ristretta
u
<< 1
c
1
2l
1
2lυ
1
1
)=
(
)
−
−
2
2
2
2
c
c
u
u
u
u
1− 2
1− 2
1− 2
1− 2
c
c
c
c
dove υ è la frequenza del laser.
φ = υ (t 2 − t1 ) = υ (
2l
c
A questo punto possiamo sfruttare i seguenti sviluppi di Taylor:
1
•
≅ 1+ x
1− x
1
1
≅ 1+ x
•
2
1− x
Facciamo ora una sostituzione con i risultati ottenuti dagli sviluppi di Taylor:
2lυ
1
1
2lυ
u2
1 u2
2lυ 1 u 2 lυu
(
)
(
1
1
)
−
=
+
−
+
=
= 3
2
c
c
2 c2
c 2 c2
c2
c
u2
u
1− 2
1− 2
c
c
Perciò lo sfasamento è dato da
φ=
lυu
c3
Se ruotiamo tutto l’apparecchio di 90° , lo sfasamento sarà di − ∆φ e dovremmo
osservare una spostamento delle frange di interferenza.
Contrariamente alle previsioni della fisica classica, non si osserva alcun cambiamento
delle frange di interferenza. Si deve quindi concludere che t1 = t 2 .
Questo esperimento dimostra che la velocità della luce è indipendente dalla direzione
in cui si propaga. Inoltre crolla anche parte della concezione dell’universo costruita nel
1800 che si basava sull’esistenza dell’etere.
18
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
5. La relatività ristretta
5.1 Le considerazioni di Einstein
La concezione della relatività di Galileo fu messa in crisi con la teoria di Maxwell sui
campi elettrici e magnetici, infatti quest’ultima non è invariante rispetto alle
trasformazioni di Galileo, perché compare nelle sue equazioni la velocità della luce.
Ora ci sono due possibilità:
1. Si deve rinunciare al principio di relatività formulato da Galileo
2. Si deve abbandonare le legge della propagazione della luce.
Einstein credeva fermamente al concetto di relatività espresso da Galileo, infatti senza di
questo la fisica perderebbe il suo valore oggettivo e sarebbe sottoposta a cambiamenti di
leggi a dipendenza del referenziale considerato. Nonostante ciò era anche convinto della
validità delle equazioni di Maxwell.
Questo lo portò a formulare una nuova teoria in cui non vi era incompatibilità tra il
principio di relatività e la legge della propagazione della luce.
5.2 Postulati di Einstein sulla luce
1. In tutti i referenziali inerziali la velocità della luce è indipendente dalla direzione
(isotropia).
2. La velocità della luce ha lo stesso valore in tutti i referenziali inerziali
(invarianza).
Una volta che si hanno i nuovi postulati bisogna trovare dei nuovi invarianti che
permettano di determinare nuove formule di trasformazione. Forse però prima è
interessante vedere le conseguenze dei postulati di Einstein sulla luce.
19
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
5.3 Concetto di simultaneità
Definizione
Due eventi sono simultanei per un osservatore, posto alla stessa distanza dai due eventi,
se sono visti simultaneamente.
M
A
B
Ora pensiamo a questa semplice situazione
M'
A
M
B
Il disegno sopra raffigura un ipotetico vagone di un treno. Gli eventi A e B sono
l’accensione di una luce. Quando questo è fermo i due avvenimenti simultanei per M a
terra lo sono anche per M ' , dove M è il punto medio tra A e B . Invece quando il treno
è in movimento rettilineo uniforme i due eventi per un osservatore posto su M ' non sono
più simultanei ma questi vedrà prima l’evento B rispetto a quello A .
Questo è facilmente spiegabile e comprensibile considerando il fatto che la luce
proveniente dall’evento A deve compiere lo spazio tra A e M più quello percorso dal
treno nel lasso di tempo che trascorre da quando l’evento accade a quando viene recepito.
Rispettivamente il raggio di luce emesso da B deve compiere la distanza tra B e M da
cui si deve sottrarre lo spazio percorso dal treno in quel periodo.
Da questo piccolo esperimento si conclude che il concetto di simultaneità non è più
assoluto, bensì relativo al referenziale scelto.
Il postulato sulla velocità della luce fa crollare la pietra miliare della concezione
newtoniana di spazio e di tempo.
20
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
5.4 Principio di relatività
Einstein come è stato detto prima credeva al concetto di relatività e quindi non può che
metterlo come principio, assieme ai postulati sulla luce, su cui si dovrà basare la sua
nuova teoria. Il principio di relatività è lo stesso di quello che qualche secolo prima aveva
già formulato, anche se con termini diversi, lo scienziato italiano Galileo Galilei.
Le leggi della fisica sono le stesse relativamente ad ogni referenziale inerziale, esse sono
invarianti rispetto ai cambiamenti di referenziale, referenziali in traslazione uniforme
l’uno rispetto all’altro.
5.5 Intervallo
Nella relatività ristretta ci sono due invarianti:
1. la velocità della luce c
2. l’intervallo definito da ∆s 2 = c 2 ∆t 2 − ∆x , dove ∆x =
2
3
∑ (∆x )
i =0
Osserviamo subito che se v = c allora
∆x
2
i
2
= c 2 da cui segue ∆s 2 = 0
∆t
di conseguenza abbiamo anche (∆s ' ) = 0 che implica v ' = c
2
2
Dimostriamo che ∆s è un invariante. Si cerca una relazione tra ∆s e ∆s' sapendo che
questa dipende dalla velocità u di R' rispetto a R e sappiamo inoltre che ∆s e ∆s'
devono essere nulli simultaneamente poiché c è un invariante.
Poniamo quindi
∆s ' = k (u )∆s
La relazione vale dalle due parti:
⎧ ∆s' = k (u )∆s ⎫
⎨
⎬ ⇒ ∆s' = k (−u )k (u )∆s' ⇒ k (−u )k (u ) = 1
⎩∆s = k (−u )∆s'⎭
Arrivati a questo punto è fondamentale una trasformazione di coordinate:
∆x
∆x
(x → − x) ⇔ (
→ − ) ⇔ u → −u
∆t
∆t
2
da ciò si deduce che k (u ) = k ( −u ) e quindi k (u ) = 1 ⇔ k (u ) = ±1
però − 1 è escluso poiché u = 0 ⇒ ∆s = ∆s'
In conclusione k (u ) = 1 e quindi ∆s = ∆s' .
Abbiamo perciò dimostrato che l’intervallo ∆s è invariante.
21
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
5.6 Diagrammi di Brehme
I diagrammi di Brehme sono dei diagrammi che servono per rappresentare gli eventi
relativamente a due referenziali inerziali R e R' .
Nei diagrammi di Brehme si proietta perpendicolarmente all’asse scelto.
Condizioni iniziali:
⎧ x ' = x1
• ⎨ 1
⎩t ' = t (= 0)
•
Sia l’evento E 0 all’origine dei due referenziali e sia l’evento E1 la posizione
dell’osservatore O ' dopo un tempo t (visto da R )
Abbiamo perciò
x1(O ') (t ) = ut ⇔ ∆x1 = ut
La retta ct è la linea di universo di O ' e viene imposto come il secondo asse del
referenziale inerziale R .
ct
ct '
ut
E1
∆ct
∆ct '
α
∆x1 (O ') (t ) = ut
E0
α
x1
x1 '
22
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
Sapendo che x'1( O ') (t ) = 0 si possono costruire gli assi del referenziale R ' .
Dato che l’osservatore O' è fermo nel referenziale R ' possiamo trovare l’asse x'1 , infatti
è perpendicolare a ct e passante per l’origine (per le condizioni iniziali poste).
Abbiamo già dimostrato che ∆s è invariante in ogni referenziale inerziale e qui lo
possiamo utilizzare per trovare l’asse ct ' del referenziale R ' .
∆s 2 = ∆s ' 2 ⇔ (ct ' ) 2 − 0 2 = (ct ) 2 − (ut ) 2 ⇔ (ct ' ) 2 + (ut ) 2 = (ct ) 2
Conoscendo ut e ct troviamo facilmente l’asse ct ' , il quale risulta perpendicolare
all’asse x1 .
ut u
Si deduce direttamente dal grafico che sin α = = .
ct c
Per dimostrare la correttezza di questi diagrammi non ci possiamo fermare qui ma
dobbiamo considerare il caso in cui E1 non sia posto sull’asse ct .
ct
ct '
∆ x1 '
E1
∆ ct
∆ ct '
l
α
E0
∆ x1
α
x1
∆ x1 '
x1 '
Dobbiamo dimostrare che la lunghezza di l sia uguale nei due referenziali inerziali presi
in considerazione.
Si frutta sempre il fatto che ∆s è invariante in ogni referenziale inerziale, abbiamo
∆ s 2 = ∆ s ' 2 ⇔ c ∆ t 2 − ∆ x 2 = c∆ t ' 2 − ∆ x ' 2 ⇔ c∆ t 2 + ∆ x ' 2 = c∆ t ' 2 + ∆ x 2 ⇔ l = l
23
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
5.7 Le trasformazioni di Lorentz
Le trasformazioni di Lorentz sono l’equivalente relativistico delle trasformazioni di
Galileo. Permettono di passare dalla descrizione di un evento E rispetto ad un
referenziale inerziale R (coordinate ( x, y, z , t ) ) a un altro referenziale inerziale R'
(coordinate ( x' , y ' , z ' , t ' ) ).
ct
ct '
ct − b
α
ct
ct '
α
x1 − a
x1
x1 '
a
x1
b
x1 '
Dal diagramma di Brehme si deduce che:
x'
ct '
a
b
; cos α = 1 ; cos α =
tan α = ; tan α =
ct '
x1 '
x1 − a
ct − b
Da queste relazioni si trovano le formule di passaggio da un referenziale inerziale a un
altro (trasformazioni di Lorentz).
24
Dalla relatività ai buchi neri
Poniamo γ =
5. La relatività ristretta
u
= sin α
c
Allora
⎫
a
⎧
tan α =
⇔ a = ct ' tan α
⎪
⎪
ct '
⎪
⎪
x'
⎪cos α = 1 ⇔ x1 ' = cos α ( x1 − a)⎪
⎪
⎪
x1 − a
⎨
⎬
b
⎪
⎪
tan α =
⇔ b = x1 ' tan α
x1 '
⎪
⎪
⎪
⎪
ct '
⇔ ct ' = cos α (ct − b) ⎪
⎪ cos α =
ct − b
⎩
⎭
⎧
sin α
⎫
⎪⎪ x1 ' = cos α ( x1 − ct ' tan α ) = cos α ( x1 − ct ' cos α ) = x1 cos α − ct ' γ ⎪
⇒⎨
⎬
sin α
⎪ ct ' = cos α (ct − x1 ' tan α ) = cos α (ct − x1 '
) = ct cos α − x1 ' γ ⎪
cos α
⎭
⎩⎪
⇒ x1 ' = x1 cos α − γ (ct cos α − x1 ' γ ) = x1 cosα − γct cos α + x1 ' γ 2 ⇔ x1 ' (1 − γ 2 ) = cosα ( x1 − γct )
⇔ x1 ' =
1 − γ 2 ( x1 − γct ) x1 − γct
=
1− γ 2
1− γ 2
Inoltre abbiamo anche
⎧
sin α
⎫
x ' = cos α ( x1 − ct ' tan α ) = cos α ( x1 − ct '
) = x1 cos α − ct ' γ ⎪
⎪⎪ 1
cos α
⎨
⎬
sin α
⎪ ct ' = cos α (ct − x1 ' tan α ) = cos α (ct − x1 '
) = ct cos α − x1 ' γ ⎪
⎪⎩
cos α
⎭
2
2
⇒ ct ' = ct cos α − γ ( x1 cos α − ct ' γ ) = ct cos α − γx1 cos α + ct ' γ ⇔ ct ' (1 − γ ) = cos α (ct − γx1 )
⇔ ct ' =
1 − γ 2 (ct − γx1 ) ct − γx1
=
1− γ 2
1− γ 2
Dato che la traslazione è parallela all’asse Ox si ha x2 = x2 ' e x3 = x3 ' le trasformazioni
di Lorentz sono date da
⎛ ct ⎞
⎜ ⎟
⎜ x1 ⎟
⎜x ⎟
⎜ 2⎟
⎜x ⎟
⎝ 3⎠
ct − γx1 ⎞
⎛
⎜ ct ' =
⎟
1− γ 2 ⎟
⎜
⎜
⎟
⎜ x ' = x1 − γct ⎟
⎜ 1
1− γ 2 ⎟
⎜
⎟
⎜ x2 = x2 '
⎟
⎜
⎟
⎝ x3 = x3 '
⎠
25
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
e le trasformazioni inverse sono date da
⎛ ct ' ⎞
⎜ ⎟
⎜ x'1 ⎟
⎜ x' ⎟
⎜ 2⎟
⎜ x' ⎟
⎝ 3⎠
ct '+γx1
⎛
⎜ ct =
1− γ 2
⎜
⎜
⎜ x = x'1 +γct
⎜ 1
1− γ 2
⎜
⎜ x2 = x2 '
⎜
⎝ x3 = x3 '
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Possiamo scrivere le trasformazioni di Lorentz anche sotto forma di matrici, cosi facendo
si facilita il confronto con le trasformazioni di Galileo.
1
⎛
⎜
⎛ ct ⎞ ⎜ 1 − γ 2
⎜ ⎟
γ2
⎜ x1 ⎟ ⎜
⎜
−
=
⎜x ⎟
1− γ 2
⎜ 2⎟ ⎜
⎜x ⎟ ⎜
0
⎝ 3⎠ ⎜
⎜
0
⎝
−
γ
1− γ 2
1
1− γ 2
0
0
⎞
0 0⎟
⎟⎛⎜ ct ⎞⎟
⎟⎜ x ⎟
0 0 ⎟⎜ 1 ⎟
⎟⎜ x 2 ⎟
1 0 ⎟⎜⎝ x3 ⎟⎠
⎟
0 1 ⎟⎠
Queste trasformazioni ci permettono anche di vedere come si trasforma la velocità tra due
referenziali inerziali.
Siano v = (v1 , v2 , v3 ) e v ' = (v1 ' , v2 ' , v3 ' ) i vettori velocità, rispettivamente, in R e R ' .
Come sappiamo la velocità è la derivata prima della posizione, quindi
v1 ' =
o
dx1 ' dx1 ' dt dx1 ' 1
,
=
=
dt '
dt dt ' dt dt '
dt
inoltre
dx
=v
dt
u
v1 − c
dx1 ' v1 − γc
c = v1 − u
o
=
=
dt
1− γ 2
1− γ 2
1− γ 2
u
u
u
c(1 − 2 v1 ) 1 − 2 v1
c − v1
c − γv1
dt '
c
c
c
=
=
=
=
2
dt c 1 − γ 2 c 1 − γ 2
c 1− γ
1− γ 2
26
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
Combinando le due derivate:
v1 ' =
dx1 ' dx1 ' dt dx1 ' 1
v −u
v − u 1− γ 2
v −u
1
= 1
= 1
=
=
= 1
dt '
dt dt ' dt dt '
1− γ 2 1− u v 1− u v
1− γ 2 1− u v
1
1
2 1
dt
c
c2
c2
1− γ 2
Calcolo per v2 :
dx2 '
= v2
dt
e perciò
1− γ 2
v2 ' = v2
u
1 − 2 v1
c
Calcolo per v3 :
dx3 '
= v3
dt
e perciò
v3 ' = v3
1− γ 2
u
1 − 2 v1
c
Le trasformazioni delle velocità associate alle trasformazioni di Lorentz, ricordando che
avviene una traslazione unicamente parallelamente all’asse Ox , sono date da
⎛ v1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ v2 ⎟
⎜v ⎟
⎝ 3⎠
⎞
⎛
⎟
⎜
v1 − u
⎟
⎜ v1 ' =
u
⎜
1 − 2 v1 ⎟
⎟
⎜
c
⎟
⎜
1− γ 2 ⎟
⎜
⎜ v2 ' = v2
u ⎟
1 − 2 v1 ⎟
⎜
c
⎟
⎜
⎜
2 ⎟
1− γ
⎟
⎜ v3 ' = v3
u ⎟
⎜
1 − 2 v1 ⎟
⎜
c
⎠
⎝
27
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
Le trasformazioni inverse sono date da
⎛ v1 ' ⎞
⎜ ⎟
⎜ v2 ' ⎟
⎜v '⎟
⎝ 3⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
v
u
+
'
⎜ v1 = 1
⎟
u
⎜
1 + 2 v1 ' ⎟⎟
⎜
c
⎜
⎟
1− γ 2 ⎟
⎜
⎜ v2 = v2 '
⎟
u
⎜
1 + 2 v1 ' ⎟
c
⎜
⎟
⎜
2 ⎟
⎜ v3 = v3 ' 1 − γ ⎟
u
⎜
⎟
1 + 2 v1 ' ⎟
⎜
c
⎝
⎠
5.8 Carattere limite della velocità della luce
Nella teoria della relatività la velocità della luce c ha il carattere di una velocità limite
che non può essere né raggiunta né superata da alcun corpo reale.
Questa caratteristica della velocità della luce deriva dalle trasformazioni di Lorentz che
diventerebbero prive di significato nel caso in cui si scelgano valori di u maggiori o
uguali a c .
Esempio:
1. con u = c :
c
ct − x1
c = ct − x1 = ∞
ct ' =
0
c2
1− 2
c
2. con u = 2c :
2c
x1
ct − 2 x1
c
=
ct ' =
2
−3
4c
1− 2
c
ct −
28
Impossibile in ℜ
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
5.9 Contrazione apparente delle lunghezze
Sia L' la lunghezza di una riga ferma nel referenziale inerziale R ' e orientata nella
direzione del moto di R ' rispetto R . Per misurare da R la lunghezza di un corpo in
movimento come L' occorre misurare le coordinate dei suoi punti estremi, che
chiameremo A e B , allo stesso istante, cioè t A = t B .
ct
ct '
α
α
L
x1
L'
x1 '
Dal diagramma si può dedurre questa semplice relazione trigonometrica:
L
u2
u2
2
cos α = ⇔ L = L' cos α = L' 1 − γ = L' 1 − 2 ⇒ L = L' 1 − 2
L'
c
c
da questa uguaglianza segue che L < L ' , ciò significa che la nostra riga ferma nel
referenziale R ' è apparentemente più corta quando è vista da R .
È inoltre importante notare che questa contrazione apparente della lunghezza avviene
unicamente nella direzione del moto di R ' rispetto R e non nelle direzioni perpendicolari
al moto.
Si può concludere che le distanze sono dei concetti relativi e non più assoluti come
nella relatività di Galileo.
29
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
5.10 Dilatazione apparente dell’intervallo di tempo
Prendiamo in considerazione un ipotetico orologio, per comodità assumiamo che questo
sia posizionato all’origine del referenziale R ' . Ogni battito della lancetta è un evento
temporale. Sia R ' un referenziale inerziale in movimento costante e uniforme rispetto a
R . Il nostro ipotetico orologio è fermo nel referenziale R ' , di conseguenza si muove in
R . Chiamiamo ∆t il tempo che trascorre tra i due eventi scelti in R e rispettivamente
∆t ' in R ' .
ct
ct '
c∆t
α
c∆t '
α
x1
x1 '
Dal diagramma si può dedurre questa semplice relazione trigonometrica:
c∆t '
u2
2
cos α =
⇔ ∆t ' = ∆t 1 − γ = ∆t 1 − 2
c∆t
c
da questa uguaglianza segue che ∆t > ∆t ' , ciò significa che il tempo trascorso tra i due
eventi è più corto nel referenziale R ' in cui l’orologio è fermo, invece è maggiore nel
referenziale R rispetto il quale il nostro ipotetico orologio è in movimento.
Come per le distanze si può anche qui arrivare alla conclusione che il tempo non è più
un concetto assoluto ma è relativo al referenziale inerziale preso in considerazione.
30
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
5.11 Effetto Doppler non relativista
Prima di considerare l’effetto Doppler relativista credo sia importante spiegare cosa sia
questo fenomeno nella fisica classica. L’effetto Doppler è la dipendenza della lunghezza
d’onda dalla velocità ed è per quanto riguarda il suono un’esperienza che proviamo
quotidianamente sulle nostre strade e non solo.
Non vi siete mai accorti e soprattutto chiesti come mai quando incrociate
un’autoambulanza mentre vi viene in contro ha un suono più acuto di quando vi ha
superato?
m
Questo succede perché la velocità del suono rispetto all’aria è di circa 340 ed è sempre
s
la stessa ad eccezione di cambi di temperatura. Quando la nostra ambulanza si avvicina si
trova ancora più vicina a noi quando emette la cresta dell’onda successiva, perciò la
distanza tra le creste, la lunghezza d’onda, è minore e il suono risulto più acuto.
Naturalmente succede esattamente l’opposto una volta che ci ha superato e perciò
sentiamo un suono più grave. Questo effetto vale anche per la luce siccome anch’essa è
un’onda, in questo caso lo spostamento di frequenza comporterà un cambiamento di
colore: se la sorgente si avvicina la frequenza emessa aumenta e perciò il colore da noi
percepito tenderà al blu, invece se la sorgente si allontana emetterà una frequenza minore
e il colore tenderà verso il rosso.
Figura 5-1: Effetto Doppler con le onde sonore.
31
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
Per arrivare a trovare la formula che descrive questo fenomeno in una fisica non
relativistica si deve conoscere questa uguaglianza:
v = λυ
dove v è la velocità dell’onda, λ la lunghezza d’onda e υ la sua frequenza.
Adesso consideriamo il caso in cui la sorgente sia in movimento e l’osservatore fermo.
La sorgente muovendosi verso l’osservatore emetterà le creste delle onde a una distanza
minore che se fosse ferma. Abbiamo perciò un cambiamento nella frequenza misurata
dall’osservatore.
La lunghezza d’onda misurata dall’osservatore è data dalla lunghezza d’onda che la
sorgente emetterebbe se fosse ferma dalla quale si deve sottrarre lo spazio percorso della
sorgente nel periodo T . Se invece si allontana si deve sommare alla lunghezza d’onda lo
spazio percorso dalla sorgente.
λ ∓ v sorg T = λ ' ⇔
vonda
υ onda
∓
v sorg
υ onda
=
vonda
vonda
vonda
⇔ υ'=
=υ
vonda ∓ v sorg
vonda ∓ v sorg
υ'
υ
dove υ è la frequenza emessa dalla sorgente se fosse ferma υ ' la frequenza misurata
dall’osservatore fermo.
A questo punto si deve prendere in considerazione il caso opposto, cioè con una sorgente
ferma e un osservatore in movimento.
A cambiare in questo caso non è più la lunghezza d’onda ma direttamente la frequenza.
Infatti l’osservatore in movimento va contro le creste delle onde e quindi le misurerà con
una frequenza maggiore, rispetto al caso in qui fosse fermo. Se invece l’osservatore si
allontanasse l’effetto sarebbe opposto, cioè misurerebbe una frequenza minore. Perciò si
deve sommare (o sottrarre) la velocità di propagazione dell’onda alla velocità
dell’osservatore, questa somma corrisponde alla velocità effettiva dell’onda relativa
all’osservatore in movimento.
v onda ± v oss = v' ⇔ λυ onda ± voss = λυ ' ⇔
v
± v oss
λυ onda ± v oss
= υ ' ⇔ υ ' = υ onda
vonda
λ
Una volta trovati i due casi non ci resta che combinarli per poter trovare il caso generale,
la cui formula è definita da
±v
v
υ ' = υ onda oss
vonda ∓ v sorg
32
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
5.12 Effetto Doppler relativista
Anche per l’effetto Doppler relativista si parte dalle stesse considerazioni iniziali ma
sfruttando le conseguenze delle trasformazioni di Lorentz si arriva a dei risultati diversi,
però se approssimati a velocità basse, cioè quelle della nostra vita quotidiana, si torna alle
formule trovate qui sopra.
Figura 5-2: Effetto Doppler con le onde luminose.
Rispetto a R ' abbiamo
∆x1 ' = cT '
dove T ' è il periodo dell’onda
e rispetto a R , sfruttando le formule di trasformazione di Lorentz (T il periodo rispetto a
R)
1
∆x'1 =
(∆x1 − γcT )
1−γ 2
1
cT ' =
(cT − γ∆x1 )
1− γ 2
33
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
Combiniamo ora queste tre formule per poter arrivare ad una relazione tra T e T '
Iniziamo ora trovando i valori di ∆x1 e cT
1
∆x'1 =
(∆x1 − γcT ) ⇔ ∆x'1 1 − γ 2 = ∆x1 − γcT ⇔ ∆x1 = ∆x'1 1 − γ 2 + γcT
2
1− γ
1
cT ' =
(cT − γ∆x1 ) ⇔ cT ' 1 − γ 2 = cT − γ∆x1 ⇔ cT = cT ' 1 − γ 2 + γ∆x1
2
1− γ
a questo punto si può inserire cT = cT ' 1 − γ 2 + γ∆x1 nella seconda equazione ed
utilizzando ∆x1 ' = cT '
∆x'1 =
1
1− γ
2
( ∆x1 − γcT ' 1 − γ 2 − γ 2 ∆x1 ) ⇔ cT ' (1 + γ ) 1 − γ 2 = ∆x1 (1 − γ 2 )
⇔ cT ' 1 − γ 2 = ∆x1 (1 − γ ) ⇔
cT ' 1 − γ 2
= ∆x1
1− γ
qui possiamo fare la seguente sostituzione ∆x1 = cT ' 1 − γ 2 + γcT
cT ' 1 − γ 2
= cT ' 1 − γ 2 + γcT ⇔ cT ' 1 − γ 2 − cT ' 1 − γ 2 (1 − γ ) = γcT (1 − γ )
1−γ
⇔ cT ' 1 − γ 2 (1 − 1 + γ ) = γcT (1 − γ ) ⇔ T ' 1 − γ 2 = T (1 − γ ) ⇔
da cui
u
c = υ' c − u
υ = υ'
c+u
u2
1− 2
c
1−
34
1−γ 2 T
=
1− γ
T'
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
5.13 I risultati ottenuti con l’effetto Doppler
5.13.1 L’espansione dell’universo
Gli astronomi sfruttarono l’effetto Doppler per determinare se le stelle e le galassie si
avvicinavano o si allontanavano, con sorpresa si scoprì che tutte si allontanavano e più
erano lontane più si distanziavano velocemente. Fu Edwin Hubble a intuire le
conseguenze importanti di questa scoperta. Infatti osservando che tutte le galassie si
allontanavano l’una dall’altra dedusse che l’universo si sta espandendo. Questa fu una
delle più grandi scoperte del XX secolo.
5.13.2 Il Big Bang
Se le galassie si stanno allontanando significa che una volta erano più vicine e
conoscendo la velocità con la quale si stanno allontanando si può datare il momento in
cui tutte erano concentrate in un singolo punto. Questo è il ragionamento fatto da due
grandi scienziati: Roger Penrose e Sthephen Hawking. Essi furono i primi a ipotizzare
che il nostro universo si sia formato attorno ai 15 miliardi di anni fa. Inoltre hanno anche
dimostrato che una delle conseguenze della teoria della relatività generale è che
l’universo e il tempo hanno tratto origine da una gigantesca esplosione, chiamata in modo
onomatopeico Big Bang. La teoria della relatività può darci poche informazioni sul Big
Bang poiché è una singolarità, allo stesso modo di un buco nero. Si può però dedurre che
la densità fosse infinita.
5.13.3 Le ipotesi precedenti
Prima c’erano due correnti di pensiero sull’origine dell’universo, la prima quella più
religiosa che sosteneva che l’universo si sia formato solo qualche migliaia di anni fa, ma
come è facile pensare questa teoria faceva acqua da molte parti. L’altra è che l’universo
fosse sempre esistito così come lo vediamo noi ora, ma se così veramente fosse la
temperatura dell’universo dovrebbe essere la stessa delle stelle in quanto hanno avuto un
numero infinito di anni per scaldarlo. Quindi, se così fosse, non ci sarebbe differenza tra
giorno e notte poiché ogni raggio visivo finirebbe su una stella o su una nube di polvere
riscaldata al punto da essere incandescente come una stella.
35
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
Figura 5-3: Se l’universo fosse statico e infinito in ogni direzione, tutti i raggi visivi
finirebbero su stelle, poiché il cielo notturno sarebbe luminoso come il Sole.
36
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
5.14 Il cono di luce
Definizione
Il cono di luce di un evento E0 è l’insieme dei punti degli eventi E associati ad un fronte
d’onda di un segnale luminoso emesso da E0 .
È quindi rappresentato dall’insieme dei punti tali che ∆x0 = c∆t
3
∆s 2 = −∆x02 + ∑ ∆xi2 = 0
i =1
con
∆x µ = x µ − x µ , µ = 0,1,2,3
E
E0
Come abbiamo già dimostrato in precedenza ∆s 2 è un invariante e ciò significa che ogni
osservatore descrive il cono di luce allo stesso modo.
Questa caratteristica è estremamente rilevante, infatti permette di separare lo spaziotempo in quattro regioni: il futuro di E0 , il passato di E0 , l’altrove di E0 e il cono di
luce di E0 .
Il futuro di E0 è l’insieme degli eventi parametrizzati relativamente a O da
( x0 , x1 , x 2 , x3 ) tale che
∆s 2 < 0
e
∆x0 > 0
Il passato di E0 è l’insieme degli eventi parametrizzati relativamente a O da
( x0 , x1 , x 2 , x3 ) tale che
∆s 2 < 0
e
∆x0 < 0
L’altrove di E0 è l’insieme degli eventi parametrizzati relativamente a O da
( x0 , x1 , x 2 , x3 ) tale che
∆s 2 > 0
37
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
x0
E1
E3
E0
x1
E2
Questo schema rappresenta il cono di luce dell’evento E0 , dove E1 è un evento del
futuro, E2 del passato ed E 3 dell’altrove rispetto a E0 .
Un evento che si trova nell’altrove non può essere visto da un osservatore posto su E0 ,
poiché nulla può viaggiare con una velocità superiore della luce.
38
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
Esempio:
a
x0
E1
E3
E0
x1
E2
In questo esempio E0 è il Sole che emette raggi luminosi e E1 è l’istante in cui questi
arrivano a colpire, e quindi illuminare, la Terra. Inoltre a è la linea d’universo della
Terra, che è parallela a quella del Sole in quanto si può dire che la distanza tra sole e
Terra è sempre la stessa in un lasso di tempo breve.
Si può dire che la Terra entra nel futuro del cono di luce del Sole. Infatti se il sole
smettesse di emettere raggi luminosi noi ce ne accorgeremmo solo dopo circa 8 minuti, il
tempo che la luce impiega a percorrere lo spazio che separa la nostra stella dalla Terra.
39
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
5.15 Il tempo proprio e la tetravelocità
Consideriamo un PM (cioè un punto materiale) in moto rettilineo e uniforme rispetto a
dx (t )
. Ciò significa che in intervallo di
un referenziale inerziale R con un velocità v (t ) =
dt
tempo dt la variazione della posizione del nostro PM è data da dx = v dt . Ora associamo
l’intervallo ai due eventi, che vengono parametrizzati in R da A = (ct , x ) e
B = (ct + cdt , x + dx ) . Questo intervallo vale
− ds = c dt − dx = c dt − (v dt ) = c dt (1 −
2
2
2
2
2
2
2
2
2
v2
c2
)
A questo punto vediamo come viene rappresentato l’intervallo considerato nel
referenziale R ' , dove il corpo è a riposo all’istante considerato:
perché dx '= 0
− ds ' 2 = c 2 dt ' 2
Come è stato già dimostrato in precedenza l’intervallo ds è un invariante della teoria
della relatività ristretta.
Quindi abbiamo
c 2 dτ 2 = −ds' 2 = −ds 2 = cdt 2 (1 −
dove dτ = dt '
v2
)
c2
Definizione di tempo proprio
Il tempo proprio τ del PM è il tempo misurato nel referenziale istantaneo di riposo del
PM, cioè il tempo indicato dall’orologio fissato sul PM, ed è un invariante.
Esso è definito da
t
~
v 2 (t )
τ = τ A + ∫ 1 − 2 d ~t
c
tA
Il tempo proprio viene usato per parametrizzare le curve delle linee di universo nello
spazio-tempo.
È quindi possibile trovare il vettore tangente alla curva della linea di universo di un PM.
Il vettore tangente è definito da
dx µ
wµ =
con µ = 0,1,2,3
dτ
Questo vettore è chiamato tetravelocità. Lo si può immaginare come una specie di
velocità che però comprende oltre alle tre dimensioni spaziali anche il tempo. Il processo
seguito per trovare questo vettore è lo stesso che si usa fare per trovare il vettore velocità
nella fisica newtoniana conoscendo la posizione del PM.
40
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
Le componenti del vettore sono
w0 =
w=
dx 0 dx 0 dt
=
=
dτ
dt d τ
dx dx dt
=
=
dτ dt dτ
c
1−
v2
c2
v
1−
v2
c2
Poiché dalle trasformazioni di Lorentz, ponendo x1 ' = 0 , segue
dt
=
dτ
1
v2
1− 2
c
.
5.16 L’equivalenza massa energia
Definiamo ora il tetravettore energia – quantità di moto:
con µ = 0,1,2,3
p µ = Mwµ
dove M è la massa del PM ed è un invariante, infatti è una grandezza indipendente dal
referenziale inerziale scelto. Si può definire M come la massa quantità di materia, cioè la
quantità di materia intrinsecamente contenuta nel corpo ed è numericamente uguale alla
massa definita in meccanica newtoniana.
Il tetravettore energia – quantità di moto è scomponibile nelle seguenti componenti:
Mc
p 0 = Mw0 =
v2
1− 2
c
Mv
p = Mw =
v2
1− 2
c
E
dove E è l’energia del PM.
c
Da questa uguaglianza possiamo poi esprimere l’energia come
Mc 2
E = p0 c =
v2
1− 2
c
Si può dimostrare (cosa che non facciamo qui) che p 0 =
Se adesso prendiamo come riferimento un altro referenziale inerziale di riposo R *
l’energia è data da
E* = Mc 2
41
Dalla relatività ai buchi neri
5. La relatività ristretta
Si può dedurre subito che E * sia indipendente dal referenziale scelto, infatti M e c
sono due invarianti.
Come abbiamo detto prima M è la misura della massa intrinseca di un corpo, perciò E *
è l’energia intrinseca della materia e dipende solo e unicamente dalla massa del corpo
stesso.
Nella fisica newtoniana la massa e l’energia sono due grandezze differenti e indipendenti,
ora però, nella relatività ristretta, con l’equivalenza massa e energia queste due non sono
più indipendenti. Possiamo perciò considerare la massa come una nuova forma
dell’energia.
Le due leggi di conservazioni che esistevano, cioè quella della massa e quella
dell’energia, possono essere sostituite da una singola legge.
In un referenziale inerziale non di riposo l’energia totale è la somma dell’energia
intrinseca con l’energia cinetica del corpo.
E = E * + E cin
Si deve far notare che non è presente una forma di energia potenziale in quanto si stanno
trattando unicamente referenziali inerziali, cioè senza la presenza di forze di attrazione (o
repulsione) come la gravità.
Possiamo definire la quantità di moto del PM sfruttando le componenti vettoriali p0 e p .
p=
Mv
1−
v2
c2
=
c2
E
= 2v
2 c2
c
v
1− 2
c
Mv
Il coefficiente di proporzionalità è la massa inerziale
E
m= 2
c
è quindi evidente che la massa inerziale dipende dall’energia del corpo.
È importante far notare che la massa inerziale non è più uguale alla massa quantità di
materia. In relatività la massa inerziale dipende dalla velocità del corpo.
Il rapporto tra massa quantità di materia, massa inerziale e velocità è dato da
M
m=
v2
1− 2
c
42
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
6. La relatività generale
Tutto ciò che è stato detto finora nella relatività ristretta riguarda i referenziali inerziali,
cioè quei referenziali che si muovono l’uno rispetto all’altro di moto uniforme rettilineo e
senza rotazione.
In questo modo la teoria della relatività ristretta metteva in una condizione di privilegio i
referenziali inerziali rispetto agli altri. Einstein però era dell’opinione che tutti i
referenziali dovevano essere considerati alla stessa maniera, e in particolare voleva
estendere il principio ai referenziali accelerati o con una rotazione. Infatti secondo lui non
c’è una ragione per considerare i referenziali inerziali in una condizione di privilegio
rispetto a tutti gli altri. Si può capire subito che questa generalizzazione non sia facile da
attuare. Infatti torniamo sul solito vagone: fino a quando si muove di moto rettilineo ed
uniforme rispetto al terreno nessun passeggero si accorgerà che il treno si sta
effettivamente muovendo. Il passeggero, con una qualche conoscenza fisica, non avrà
quindi problemi a descrivere i fenomeni che avvengono sul vagone esattamente allo
stesso modo che li descriverebbe se si trovasse sulla terra ferma.
Se però il treno dovesse frenare bruscamente (o accelerare, anche se per ragioni ovvie al
lettore, si osserverà un effetto minore) il passeggero subirà una spinta in avanti
proporzionale alla decelerazione. In questa situazione non sarà più naturale per lui
considerare i fenomeni attorni a lui descritti dalle stesse leggi fisiche di quando il treno
era fermo in stazione o di quando si muoveva di moto uniforme. È comunque chiaro che
nel momento in cui il treno frena il principio galileiano di relatività non sussiste più,
infatti ci troviamo in un referenziale accelerato e non inerziale.
6.1 La gravità secondo Newton
Prima di addentrarci oltre a parlare e spiegare i concetti che stanno alla base della
relatività generale è forse utile fare un passo indietro e considerare la teoria della
gravitazione universale di Newton.
“Fino a qui ho spiegato i fenomeni del cielo e del nostro mare mediante la forza di
gravità, ma non ho mai fissato la causa della gravità. Questa forza nasce interamente da
qualche causa che penetra fino al centro del Sole e dei pianeti, senza diminuzione della
capacità, e opera non in relazione alle quantità delle superfici delle particelle sulle quali
agisce (come sogliono le cause meccaniche), ma in relazione alla quantità di materia
solida. La sua azione si estende per ogni dove ad immense distanze, sempre decrescendo
in proporzione inversa al quadrato delle distanze. La gravità verso il Sole è composta
dalla gravità verso le singole particelle del Sole, e allontanandosi dal Sole decresce
costantemente in ragione inversa del quadrato delle distanze (…) In verità non sono
ancora riuscito a dedurre dai fenomeni la ragione di queste proprietà della gravità, e non
invento ipotesi (hypotheses non fingo). Qualunque cosa, infatti, non deducibile dai
fenomeni va chiamata ipotesi; e nella filosofia sperimentale non trovano posto le ipotesi
sia metafisiche, sia fisiche, sia delle qualità occulte, sia meccaniche. In questa filosofia le
43
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
proposizioni vengono dedotte dai fenomeni, e sono rese generali per induzione. In tal
modo divennero note l’impenetrabilità, la mobilità e l’impulso dei corpi, le leggi del
moto e la gravità. Ed è sufficiente che la gravità esista di fatto, agisca secondo le leggi da
noi esposte, e spieghi tutti i movimenti dei corpi celesti e del nostro mare.”
Da quel che ha scritto Isaac Newton e qui sopra riportato si può ricavare la formula della
gravitazione universale
2
m1m2
−11 Nm
F =G 2
dove G = 6,67.10
r
kg 2
6.2 L’azione a distanza
La teoria della gravitazione universale di Newton poneva alcuni quesiti di base. Infatti
essa non spiegava il motivo di queste forza e nemmeno come questa forza agisse. Anche
lo stesso scienziato si accorse che non riusciva a capire cosa si nascondeva dietro a questa
forza e allora preferì non esprimersi e soprattutto non volle inventare ipotesi che si
basavano su ragioni non scientifiche. La sua celebre frase hypotheses non fingo è da
interpretare in questo modo.
Ci si chiedeva come potesse agire la forza di gravità tra due oggetti, perché non si capiva
come questa forza doveva venire trasmessa e un altro problema non da poco era se veniva
trasmessa a una velocità finita oppure a una infinita, il che significa che la forza agisce in
modo istantaneo.
Di solito quando si osserva che due oggetti si influenzano si cerca per prima cosa un
mezzo che permetta ad una o più forze di trasmettersi. Se si trova una forza sorge
spontanea la conseguenza che la velocità di propagazione è finita.
Ci sono esperienze in cui chiunque riuscirebbe a dire quale sia il mezzo con cui si
propaga la forza, ad esempio se attacchiamo una campana ad un filo e tiriamo questo filo
la campana inizia a suonare, in questo caso pare ovvio che sia il filo il mezzo per il quale
la forza si può trasmettere dalle mani di chi la tira alla campana. In altre esperienze
invece non è più così visibile il mezzo di propagazione. Prendiamo ora come esempio il
suono: il mezzo ci pare invisibile e quindi anche inesistente. Però ci si accorge anche
facilmente che il suono ha una velocità, chi non ha mai sentito l’eco della propria voce?
Dopo alcuni studi si riesce a stabilire che il suono si trasmette attraverso l’aria e che
quindi un mezzo invisibile non significhi che questo non esista. Nonostante queste
argomentazioni coloro che sostenevano la tesi dell’azione a distanza della gravità non si
ripresero, anzi andarono al contrattacco. Essi sostenevano che la forza di gravità, come
anche quella magnetica, agivano indipendentemente dalla materia che si trovava tra i vari
oggetti e che quindi non poteva esserci un mezzo di propagazione. Inoltre provarono che
non c’era mai contatto ottico tra due oggetti e che quindi tutte la azione di forze che si
conoscevano prima in verità dovevano essere delle azioni a distanza, ove queste distanze
erano estremamente piccole. Non si accorsero però che il contatto ottico non era un
contatto reale, il contatto ottico infatti indica solo che la distanza tra le superfici è molto
più piccola della lunghezza d’onda della luce.
Questi probabilmente difendevano cosi saldamente l’azione a distanza per motivi che
vanno oltre la fisica, oltretutto lo stesso Newton non parla nei Principia dei meccanismi
44
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
della sua teoria della gravitazione e come possiamo vedere nella seguente lettera scritta
da lui stesso era contrario all’eventualità di una azione diretta a distanza tra due corpi
“Non è concepibile che la bruta materia inanimata, senza il tramite di qualcos’altro, non
materiale, agisca e influenzi un’altra materia senza reciproco contatto come dovrebbe
essere se la gravitazione, nel senso di Epicureo, fosse ad essa inerente ed essenziale (…)
Per me l’idea che la gravità sia innata, inerente ed essenziale alla materia, in modo che un
corpo possa agire su un altro a distanza, attraverso il vuoto, senza il tramite di
qualcos’altro che renda possibile la trasmissione dell’azione e della forza dall’uno altro, è
una tale assurdità che sono convinto che nessun uomo con adeguate capacità di riflettere
su problemi scientifici la potrà mai accettare.”
Da [4], pagina 256
Queste sono le parole di colui che formulò la teoria che tutti coloro che frequentano degli
studi superiori imparano, ma nonostante ciò ci viene insegnato che la gravità è una forza
che agisce su due corpi a distanza senza alcun mezzo di trasmissione. La cosa forse più
sorprendente che tutti accettano questa tesi senza batter ciglio e spesso la difendono.
6.3 Incoerenza tra relatività ristretta e gravità di Newton
Come abbiamo già detto la velocità della luce è una velocità limite, niente, nemmeno
l’informazione, può superare la velocità dei fotoni. Partendo da questo presupposto è
chiaro che nasce un’incoerenza tra la relatività ristretta, che non prende in considerazione
la forza di gravità, e la gravitazione universale di Newton. Infatti quest’ultima prevedeva,
o almeno buona parte della comunità scientifica dell’epoca sosteneva, che l’effetto della
gravità si sentiva istantaneamente. Detto in altre parole aveva una velocità di
propagazione infinita. Ciò è chiaramente contrario con i postulati su cui si basa la
relatività ristretta.
45
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
6.4 Il campo gravitazionale
Studiando più attentamente dei fenomeni elettromagnetici si è arrivati alla conclusione
che non esiste azione a distanza senza l’intervento di qualche entità fisica intermedia.
Allora ci si chiedeva quale fosse il mezzo che faceva da tramite per la forza di gravità.
Prendiamo l’esempio di una calamita che attira a se un pezzo di ferro: la calamita
modifica lo spazio attorno, creando quel che si chiama un campo magnetico, questo
cambia le proprietà dello spazio dove si trova anche il pezzo di ferro e lo spinge ad
avvicinarsi alla calamita. Questa descrizione del fenomeno con l’ausilio dei campi è
abbastanza arbitraria, ma quel che importa è che questi fenomeni possono venire
teoricamente rappresentati in modo più soddisfacente che senza di esso.
Ora ci si deve immaginare che per la gravità succeda la stessa cosa. Prendiamo l’esempio
di una mela che cade sulla superficie della terra: la terra con la sua massa crea un campo
gravitazionale intorno a se e questo agisce direttamente sulla nostra mela facendola
cadere verso la terra con un moto accelerato.
Fino ad ora abbiamo paragonato i campi gravitazionali con quelli elettromagnetici, ma tra
di essi c’è un’importante differenza:
“i corpi che si muovono sotto l’unica influenza di un campo gravitazionale ricevono
un’accelerazione che non dipende minimamente né dalla materia né dallo stato fisico del
corpo in questione”
Da [4], pagina 94
6.5 Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale
Supponiamo di lasciare cadere un oggetto in caduta libera verso il suolo della terra,
secondo la legge newtoniana del moto abbiamo
F = mi a
dove mi è la massa inerziale ed è una cosante caratteristica del corpo accelerato.
Consideriamo ora invece la gravitazione come la causa di questa accelerazione,
sfruttando quello che è stato detto dei campi gravitazionali, avremo
F = mg g
dove g è l’intensità del campo gravitazionale e m g la massa gravitazionale del corpo.
Da queste due uguaglianze segue che
mg
g
a=
mi
L’esperienza ci dice che questo rapporto tra massa gravitazionale e massa inerziale deve
N
essere lo stesso per ogni corpo esistente, infatti g = 9.81
e l’esperienza mostra che
kg
46
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
m
. Scegliendo accuratamente le unità di misura possiamo rendere il rapporto
s2
uguale all’unità.
a = 9.81
Si può quindi formulare la legge seguente:
la massa gravitazionale di un corpo è uguale a quella inerziale.
6.6 I principi della relatività generale
6.6.1 Principio di oggettività
Tutti i sistemi di coordinate sono equivalenti per parametrizzare gli eventi.
Questo principio generalizza a tutti i referenziali ciò che in relatività ristretta
valeva per quelli inerziali. Come già detto in precedenza Einstein non pensava
logico che si dovesse mettere in una condizione privilegiata i referenziali inerziali
rispetto a tutti gli altri.
6.6.2 Principio di covarianza
Le equazioni che descrivono i fenomeni fisici hanno la stessa forma qualsiasi sia
il sistema di coordinate scelto.
Questo principio era gia presente nella relatività ristretta e persino nella visione di
Galileo della relatività.
6.6.3 Principio di equivalenza debole
Equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale.
Se si guarda un corpo in caduta libera è impossibile distinguere se si trova in un
campo gravitazionale o in un referenziale accelerato.
Ipotizziamo ora di essere su un ascensore e sfortunatamente il cavo che la sostiene
si spezza. Se non consideriamo l’attrito l’ascensore cade di moto accelerato e di
conseguenza le persone sull’ascensore non riuscirebbero a distinguere il loro stato
da una condizione di assenza di gravità (chiaramente ipotizzando che abbiano già
provato l’assenza di gravità). Allo stesso modo un osservatore posto su un razzo
con i motori accesi che accelerano la navicella di un g descriverebbe la sua
condizione esattamente come quando si trova sulla superficie terrestre.
47
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
Si può quindi esprimere questo principio anche in un altro modo oltre
all’equivalenza tra le massa inerziale e gravitazionale
Figura 6-1: un osservatore all’interno di un ascensore non può capire se si trova
sulla Terra fermo (a) oppure in una navicella accelerata (b). E rispettivamente
un osservatore in una ascensore in caduta libera sulla Terra (d) e un’astronave
lontana dalla Terra (c).
Le leggi della caduta libera dei corpi è localmente (ossia in una regione
sufficientemente piccola dello spazio-tempo) uguale in un referenziale inerziale in
un campo gravitazionale e in un referenziale uniformemente accelerato senza
gravità.
Si è aggiunto il concetto di locale perché il campo gravitazionale può non essere
uniforme.
Questo principio ci permette di trovare un referenziale inerziale locale in cui è
possibile eliminare gli effetti della gravità. In questi referenziali inerziali locali il
moto dei corpi in caduta libera, sfruttando il principio d’inerzia, è rettilineo e
uniforme. Questi referenziali sono quelli come l’esempio precedente
dell’ascensore che precipita verso il suolo, cioè sono quelli in caduta libera in un
referenziale dove vi è un campo gravitazionale.
48
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
6.6.4 Principio di equivalenza forte
In un referenziale inerziale locale tutte le leggi della Natura sono localmente
identiche alle leggi ottenute in assenza di gravità relativamente ad un referenziale
inerziale (leggi della relatività ristretta).
Questo principio è la generalizzazione di quello precedente a tutte le leggi della
Natura.
Quello che possiamo osservare in un referenziale uniformemente accelerato è
identico a ciò che si può osservare in un referenziale inerziale in un campo
gravitazionale uniforme.
6.6.5 Principio di Mach
La distribuzione della materia e dell’irraggiamento elettromagnetico agisce sullo
spazio-tempo per creargli la geometria. La geometria agisce sulla stessa materia
e l’irraggiamento per creare il moto.
Questo principio è forse più comprensibile se prendiamo come esempio il sole e la
terra: il sole con la sua massa (e la sua energia) incurva lo spazio tempo creando i
presupposti per il moto attorno ad esso della terra.
49
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
6.7 Conseguenze del principio di equivalenza
Per osservare le seguenti conseguenze del principio di equivalenza verrà sfruttato un
artificio. Infatti applichiamo le leggi della relatività ristretta in un referenziale inerziale
locale e poi deduciamo come questi fenomeni appaiono a un osservatore in referenziale
accelerato. Grazie al principio di equivalenza forte si può dire che ciò che il nostro
osservatore può vedere dal referenziale accelerato è equivalente a ciò che può osservare
in un referenziale inerziale in cui vi è un campo gravitazionale.
6.7.1 Effetto della gravità sulla luce
Figura 6-2: La luce in presenza di un moto accelerato (o di un campo gravitazionale)
si incurva.
Per definizione in un referenziale inerziale la luce si propaga in moto rettilineo uniforme.
Se però non prendiamo più un referenziale inerziale ma un referenziale accelerato la
traiettoria dei raggi di luce non è più rettilinea ma bensì curva. Se si incurva in un
referenziale accelerato, per il principio di equivalenza forte, si incurva anche in un
referenziale inerziale in cui vi è un campo gravitazionale. Possiamo perciò dire che il
campo gravitazionale piega i raggi di luce.
Inoltre più l’accelerazione è maggiore, o equivalentemente più il campo gravitazionale è
intenso, più i raggi sono incurvati.
50
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
6.7.2 Effetto della gravità sul tempo
Prendiamo in considerazione due referenziali, il primo R inerziale e il secondo R ' che
ruota a velocità costante attorno ad un asse fisso. R ' è un referenziale accelerato.
Ipotizziamo ora di mettere un orologio O1 sull’asse di rotazione del referenziale R ' e un
altro O2 ad una determinata distanza dall’asse. Questi due orologi sono entrambi fermi
rispetto a R ' e inoltre il primo orologio, quello posto sull’asse è anche fermo rispetto R .
L’orologio O2 si trova in un referenziale localmente inerziale rispetto a R . Si deve
immaginare che questo referenziale locale sia in moto rispetto a R della velocità
tangenziale sulla circonferenza intorno all’asse.
Come abbiamo già visto in relatività ristretta il tempo si dilata apparentemente nei
referenziali inerziali.
Siccome l’orologio esterno O2 si muove con la velocità tangenziale il suo tempo si dilata
apparentemente rispetto all’orologio O1 posto sull’asse che è fermo nel referenziale
inerziale R . Ma come abbiamo appena detto prima l’orologio posto sull’asse è fermo
anche rispetto a R ' quindi questa dilatazione del tempo non è solo apparente ma bensì
reale. Gli orologi posti nel referenziale in rotazione indicano tempi diversi a dipendenza a
che distanza dal centro di rotazione si trovano. Abbiamo già detto che siccome R ' è in
rotazione è un referenziale accelerato e perciò il tempo viene dilatato dall’accelerazione.
Sfruttiamo anche qui il principio di equivalenza forte e quindi possiamo concludere che il
campo gravitazionale agisce sugli orologi con l’effetto di rallentarli.
6.7.3 Effetto della gravità sullo spazio
Torniamo alla stessa situazione iniziale che abbiamo preso in considerazione per
mostrare gli effetti della gravità sul tempo. L’unica differenza nelle due situazioni di
partenza è che al posto dei due orologi vengono poste due righe piccole rispetto al raggio.
Quella esterna viene posta nella direzione della tangente rispetto alla circonferenza.
Procediamo con lo stesso ragionamento fatto in precedenza. Possiamo perciò affermare
che, siccome la riga che ruota attorno all’asse si trova in un referenziale localmente
inerziale e si muove con la velocità tangenziale rispetto a R , la nostra riga vista da R è
apparentemente più corta. Come abbiamo visto in precedenza l’asse di rotazione è fermo
sia rispetto a R sia a R ' . Perciò la riga è realmente più corta se è vista da un osservatore
fermo rispetto a R ' posto sull’asse.
È fondamentale ricordare che questa contrazione avviene solamente nella direzione del
moto della riga. Si arriva così a qualcosa che a prima vista potrebbe sembrare un
paradosso, cioè che la circonferenza si accorcia mentre il raggio resta invariato.
Questo fenomeno avviene in un referenziale accelerato che, come è già stato visto più
volte, è equivalente a un referenziale inerziale con un campo gravitazionale. Allora
possiamo concludere che in presenza di un campo gravitazionale i postulati della
geometria euclidea non sono più validi.
Lo spazio-tempo dovrà essere descritto da una geometria non euclidea, quindi non
piatta: lo spazio-tempo è incurvato se vogliamo descrivere la gravità.
51
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
6.7.4 Redshift
Sia E un emettore, R un ricettore e g l’intensità di un campo gravitazionale. Inoltre
poniamo Φ E e Φ R i potenziali di, rispettivamente, E e R .
Al tempo t = 0 E emette un fotone di frequenza υ E e contemporaneamente E viene
lasciato cadere in caduto libera nel campo gravitazionale g .
υ E è quindi la frequenza del fotone in un campo gravitazionale g di potenziale Φ E .
Quando il fotone sta raggiungendo il recettore R lasciamo cadere quest’ultimo in caduta
libera nel campo gravitazionale g .
υ R è la frequenza del fotone in un campo gravitazionale g di potenziale Φ R .
E e R si trovano in referenziali inerziali locali, poiché sono in caduta libera in un
referenziale con campo gravitazionale.
Possiamo così confrontare le due frequenze sfruttando i risultati dell’effetto Doppler
relativista visti in precedenza.
Abbiamo perciò questa uguaglianza
c+u
υR = υE
c−u
dove u è la velocità dell’emettore rispetto al ricettore.
L’emettore avrà acquisito alla ricezione una certa velocità dovuta all’accelerazione
gravitazionale.
∆z
u = gt con t =
c
dove ∆z è la distanza all’istante t = 0 tra l’emettore e il ricettore.
Ora
g∆z = ∆Φ = Φ E − Φ R
e possiamo sfruttarlo, insieme all’effetto Doppler, per arrivare a questa uguaglianza
υR
=
υE
∆Φ
∆Φ
1+ 2
1
c =
c = 1 + ∆Φ
2
∆Φ
∆Φ
c
∆Φ
c−
1− 2
1− 2
c
c
c
c+
52
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
A questo punto dobbiamo conoscere le seguenti approssimazioni al primo ordine:
•
•
perciò
∆Φ
1 ∆Φ
= 1+
2
2 c2
c
1
1 ∆Φ
= 1+
2 c2
∆Φ
1− 2
c
1+
υR
∆Φ
1 ∆Φ 2
) ≅ 1+ 2
≅ (1 +
2
υE
2 c
c
e quindi
∆υ
υE
=
υR −υE
≅
υE
υ E (1 +
∆Φ
∆Φ
) −υE υE 2
2
c
c = ∆Φ = Φ E − Φ R
=
υE
υE
c2
c2
Ora si può vedere quel che succede a un fotone che “cade” in un campo gravitazionale.
Avremo logicamente
ΦE − ΦR > 0
e quindi anche
∆υ = υ R − υ E > 0
perciò la frequenza del fotone aumenterà, portando così a uno spostamento della
frequenza verso il blu.
Nel caso opposto, quando un fotone “rimonta” un campo gravitazionale, avviene il
contrario, cioè c’è uno spostamento della frequenza verso il rosso.
53
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
6.8 Alcune prove sperimentali a sostegno della relatività generale
La teoria della relatività generale è una teoria scientifica e come tale non potrà mai essere
verificata in modo conclusivo. Però se l’esperienza si accorda con le previsioni della
teoria permette alla teoria stessa di avere maggiore credibilità scientifica. Se si fanno
degli esperimenti per tentare di confutare la teoria ma i risultati sono quelli previsti dalla
teoria, questa non può che rafforzarsi.
La scienza procede a tappe e spesso una teoria è semplicemente un’evoluzione di una
teoria precedente, così facendo per dimostrare la maggiore accuratezza della teoria nuova
è sufficiente trovare dei casi in cui le previsioni si avverano. Ma è necessario trovare quei
casi particolari dove l’esperienza si accorda con la nuova teoria e non con quella vecchia.
Ad esempio la teoria della relatività generale prediceva le orbite dei pianeti in modo
corretto, ma anche la teoria della gravitazione di Newton li prediceva allo stesso modo.
Se una teoria fa le stesse previsioni dell’altra e niente di più sarebbe una teoria inutile in
quanto non porterebbe niente di nuovo. Per la relatività generale si sono dovuti cercare
nell’esperienza dei casi dove le previsioni differivano con quelle della teoria della
gravitazione universale di Newton ma che nello stesso tempo si accordassero con
l’esperienza.
6.8.1 Effetto della gravità sul tempo
Figura 6-3: Due aerei, con a bordo due orologi di grande
precisione, viaggiano in direzioni opposte
Due orologi di grande precisione furono collocati su due aerei che volavano intorno alla
Terra in direzioni opposte: una nel senso di rotazione e l’altra nel senso opposto. Al
ritorno, si riscontrò che segnavano un’ora leggermente diversa. Infatti l’orologio posto
sull’aereo che era diretto a est segnava un’ora leggermente inferiore. Questo accade
perché alla velocità dell’aereo si deve aggiungere la velocità di rotazione della Terra. I
due orologi si trovano in due referenziali accelerati con accelerazione diversa più il
campo gravitazionale.
54
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
6.8.2 Effetto della gravità sulla luce
Come sappiamo la massa e l’energia incurva lo spazio-tempo, quindi, se la teoria non è
sbagliata, dei raggi di luce che passano vicino a un corpo “massoso” come una stella
dovrebbero esser deviati di un certo angolo. Il 29 maggio del 1919, durante un eclissi di
sole e quindi con una netta o quasi completa diminuzione dell’irraggiamento solare,
alcuni illustri astronomi inglesi riuscirono a fotografare e poi a calcolare la posizione di
queste stelle. Sapendo la posizione reale, che è stata calcolata mesi prima (o dopo)
l’eclissi quando il Sole era dalla parte opposta e quindi quando la deviazione dei raggi
luminosi, causato dal campo gravitazionale di quest’ultimo, era trascurabile, è stato
possibile calcolare l’angolo con cui i raggi sono stati deviati. I dati ricavati
dall’esperienza si accordavano, ovviamente con un leggero margine di errore, con quelli
predetti dalla teoria della relatività generale.
Figura 6-4: La luce proveniente da una sorgente
lontana viene deviata dal campo gravitazionale di
un corpo di grande massa. In questo modo la
stella ci appare spostata dalla sua reale posizione.
Un altro aspetto interessante della distorsione dello spazio sono le lenti gravitazionali.
Una stella come abbiamo appena visto può incurvare i raggi luminosi. Einstein nel 1936
ha pubblicato un breve lavoro in cui affermava che la luce di una stella perfettamente
allineata dietro un’altra stella di grande massa subirebbe una deflessione, così da apparire
come un anello intorno all’immagine della stella in primo piano.
Nel 1979 fu fotografata e catalogata per la prima volta una lente gravitazionale e appariva
proprio come Einstein l’avevo predetta più di mezzo secolo prima.
55
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
Figura 6-5: se la sorgente è perfettamente allineata con il corpo di notevole massa e
la Terra si creano delle lenti gravitazionali.
6.9 Le geodetiche
Abbiamo appena visto che in presenza di un campo gravitazionale viene meno la
concezione di spazio euclideo, di conseguenza anche la nozione di tempo per mezzo di
orologi e la nozione di linea retta. Un campo gravitazionale deforma perciò lo spaziotempo incurvandolo e di conseguenza la geometria euclidea non si accorda più con la
realtà dei fatti.
Nella geometria euclidea una retta è la linea che minimizza la distanza tra due punti.
Nello spazio-tempo quadridimensionale della relatività generale esiste sempre il concetto
di minimizzare una pseudo distanza. Questa, non minimizza semplicemente la distanza
tra due punti, in quanto mancherebbe la dimensione temporale, ma minimizza una pseudo
distanza tra due eventi. Una curva che minimizza questa pseudo distanza viene chiamata
geodetica.
Passiamo ad un esempio più concreto e forse più comprensibile al lettore. Come tutti
sanno, da Copernico in poi, la terra orbita attorno al Sole. Sembrerebbe perciò normale a
tutti descrivere il percorso della Terra con un cerchio, o meglio con un ellisse. Questa
concezione dell’orbita circolare è dovuta alla visione newtoniana della forza di gravità.
Invece nella visione relativista la massa e l’energia incurvano lo spazio-tempo e perciò la
Terra segue la cosa più vicina che esiste a una traiettoria rettilinea in uno spazio-tempo
curvo, ossia una geodetica. Ci si potrebbe logicamente chiedere come mai noi vediamo, o
56
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
quando meno rappresentiamo, le orbite dei pianeti in modo circolare. Questo fenomeno è
dovuto al fatto che noi vediamo unicamente la proiezione di un moto quadridimensionale
in uno tridimensionale e perciò ci appare muoversi in un’orbita circolare.
Ciò può accadere sulla Terra stessa, è un po’ come osservare un aereo che vola sopra una
regione montuosa. Benché esso segua una retta nello spazio tridimensionale, sul suolo
bidimensionale la sua ombra segue una traiettoria incurvata.
Possiamo immaginare lo spazio-tempo come un sottile foglio di gomma, questa
rappresentazione è una semplificazione della realtà: infatti trascuriamo il tempo e la terza
dimensione spaziale, in ogni caso questo supporto pedagogico è applicabile direttamente
alla realtà. Come sappiamo in assenza di materia o energia lo spazio-tempo è
perfettamente piatto, perciò anche il nostro foglio di gomma è piatto. L’uomo per
millenni si è raffigurato l’universo in questo modo.
Facciamo un passo avanti e prendiamo in considerazione una regione dello spazio-tempo
con la presenza di materia o energia, ciò implica una curvatura dello spazio-tempo. Nella
nostra rappresentazione è come se si mettesse un oggetto pesante su questa sottile
membrana di gomma, evidentemente in presenza dell’oggetto questa si piega verso il
basso. In questo caso si vede chiaramente che, come abbiamo già visto in precedenza, lo
spazio non è uno scenario fisso ma è soggetto alla distribuzione della materia e dell’
energia nell’universo.
L’incurvamento dello spazio tempo porta a un cambiamento sugli oggetti che si trovano
nelle vicinanze. Per esempio il nostro Sole modifica lo spazio-tempo attorno a se creando
in questo modo le orbite dei pianeti, che non sono altre che delle geodetiche. Torniamo al
nostro modello semplificato della realtà, se facciamo passare vicino all’oggetto pesante
uno più piccolo, trascurando i vari attriti, questo inizierà a incurvare la propria traiettoria,
inoltre se la velocità con cui viaggia l’oggetto piccolo è opportuna questo entrerà in
un’orbita circolare intorno all’oggetto pesante al centro.
Questo modello, usato spesso per cercare di dare una rappresentazione di quello che può
accadere nella realtà, ha comunque un qualche difetto. Infatti un corpo incurva lo spaziotempo non perché c’è qualcosa, come nella rappresentazione, che tira in giù l’oggetto e
piega il sottile foglio di gomma. La curvatura non è causata dalla gravità, ma è la
gravità.
57
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
Figura 6-6: un corpo di notevole massa incurva lo spazio-tempo che, a
sua volta, crea e modifica la traiettoria degli altri corpi.
6.10 Complemento: la struttura della spazio secondo la relatività
generale
“Secondo la teoria della relatività generale, le proprietà geometriche dello spazio non
sono autonome, ma sono determinate dalla materia. Possiamo quindi trarre qualche
conclusione circa la struttura geometrica dell’universo soltanto se, a base delle nostre
considerazioni, poniamo come conosciuto lo stato della materia. Sappiamo
dell’esperienza che per un sistema di coordinate opportunamente scelto la velocità delle
stelle risultano piccole rispetto alla velocità di propagazione della luce. Possiamo perciò
con una certa approssimazione pervenire a una conclusione circa la natura dell’universo
inteso come un tutto, considerando la materia come in quiete. Sappiamo già dalle
precedenti discussioni che il comportamento dei regoli-campione e degli orologi è
influenzato dai campi gravitazionali, cioè dalla distribuzione della materia. Ciò è di per sé
sufficiente a farci concludere che non si può in alcun modo parlare di una validità esatta
della geometria euclidea nel nostro universo. Si può però immaginare che il nostro
universo differisca solo leggermente da uno euclideo, e questa idea sembra tanto più
probabile in quando i calcoli mostrano persino che le masse della grandezza del nostro
Sole esercitano un’influenza assolutamente minima sulla metrica dello spazio
circostante. Potremmo immaginare che il nostro universo si comporti in modo analogo a
una superficie che sia irregolarmente curva in singole zone, ma che in nessun luogo si
scosti apprezzabilmente dal piano: qualcosa di simile alla superficie di un lago increspata
da lievi onde.”
Da [4], pagina 129
Questo testo è stato scritto da Einstein ed è stato pubblicato per la prima volta nel 1916.
Le sue considerazioni si basavano su due ipotesi:
1. Esiste nello spazio complessivo una densità media della materia che è dovunque
la stessa ed è diversa da zero.
2. La “ampiezza” (raggio) dello spazio è indipendente dal tempo.
58
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
“Queste due ipotesi si dimostrano, secondo la teoria della relatività generale, compatibili
l’una con l’altra, ma soltanto dopo che venne aggiunto un termine ipotetico alle equazioni
di campo, termine non richiesto dalla teoria come tale né sembrava naturale da un punto
di vista teorico (termine cosmologico delle equazioni del campo).”
Da [4], pagina 130
In altre parole Albert Einstein ha inserito una costante cosmologica arbitraria, che non era
giustificata né dal punto di vista teorica né da quello empirico. Egli era convinto che
l’universo fosse statico e quindi con questa costante cosmologica, che aveva un effetto
gravitazionale, impediva che i risultati delle sue equazioni avessero predetto un universo
in espansione.
Nel 1920 Friedman, un matematico russo, dimostrò che era la stessa teoria della relatività
che richiedeva un’espansione dello spazio. Pochi anni più tardi, come abbiamo già detto
parlando dell’effetto Doppler, Hubble osservò che tutte le galassie si stavano
allontanando e che quindi l’universo si stava espandendo.
Nel testo di Einstein qui riportato c’è anche un altro punto, che verrà trattato nel proseguo
del lavoro, in contraddizione con quello che la comunità scientifica crede al giorno
d’oggi. Einstein, infatti, era convinto che lo spazio fosse all’incirca piatto e che non
esistevano masse così grandi da poterlo curvare in modo considerevole.
6.11 Le equazioni di Einstein
Newton, nella sua teoria della gravitazione universale, aveva associato il potenziale
gravitazionale Φ alla densità ρ M di materia nello spazio tramite la seguente formula
∆Φ = 4πGρ M
è quindi chiaro che la distribuzione della densità, cioè la distribuzione di materia,
modifichi il potenziale gravitazionale che a sua volta è legato al campo gravitazionale g ,
poiché
g = −∇Φ
L’accelerazione gravitazionale, che per il principio di equivalenza debole è uguale a g , è
la forma in cui la gravità si manifesta su di un corpo.
Riassumendo, secondo la teoria formulata da Newton, la densità di materia è la causa del
campo gravitazionale.
59
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
Einstein non stravolge molto nella questione pratica, ma cambia i concetti che stanno alla
base della gravità.
La sua teoria prevede che la gravità sia descritta dall’equazione
G = kT
dove k è una costante e T esprime la densità di energia (e materia visto che E = Mc 2 ) e
la quantità di moto nello spazio-tempo, un po’ come la massa nel caso newtoniano.
G contiene tutta l’informazione sulla geometria, ossia sulla curvatura dello spaziotempo, cioè sulla gravità, un po’ come Φ nel caso newtoniano.
Nella teoria della relatività generale la distribuzione della materia e dell’energia
determina la geometria dello spazio-tempo, che poi crea la gravità in quanto la curvatura
è la gravità stessa.
È proprio questa la sostanziale differenza con la gravitazione di Newton: l’idea che lo
spazio-tempo si modificasse con la distribuzione della massa e dell’energia può essere
considerato a tutti gli effetti un colpo di genio di Einstein.
“L’idea che la massa deformi lo spazio-tempo e che lo spazio-tempo deformato indichi
alla massa come muoversi è puro genio. I fisici avrebbero finito per scoprire gli effetti
della relatività generale in base alle misurazioni compiute sui satelliti e sulle pulsar, ma
probabilmente non prima della fine del XX secolo. E comunque difficilmente si sarebbe
ripetuta l’elegante descrizione geometrica della gravità elaborata da Einstein.”
Michael Shara
direttore del Dipartimento di astrofisica dell’American Museum of Natural History e
curatore di una recente mostra su Einstein.
Da [9], pagina 43
60
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
6.12 La geometria dello spazio-tempo
Abbiamo già visto e dimostrato che lo spazio-tempo è incurvato dalla massa e
dall’energia, perciò non ci è più possibile usare la geometria euclidea.
Figura 6-7: Rappresentazione bidimensionale della curvatura dello spazio-tempo.
Osservando questa immagine è facile notare come mai non ci è più possibile usare la
geometria euclidea quando lo spazio-tempo, che è qui rappresentato in due dimensioni, è
incurvato. Infatti si può vedere che il raggio è più lungo di quel che sarebbe rispetto alla
stessa circonferenza in uno spazio piatto, perciò la classica formula
C = 2π ⋅ r
dove C è la circonferenza del cerchio di raggio r , non è più valida.
Un’altra osservazione importante da fare è che la superficie bidimensionale rappresenta
l’intero spazio-tempo e quindi al di fuori di essa non esiste nulla.
61
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
Figura 6-8: Rappresentazione della curvatura dello spazio-tempo di una sezione bidimensionale di
una stella.
Vediamo ora come una stella può incurvare lo spazio-tempo intorno ad essa. Per ovvi
motivi non ci è possibile rappresentare la curvatura né in quattro né in tre dimensioni.
Siamo perciò costretti, come si può osservare nell’immagine, a considerare solo una
sezione della stella e vedere come la superficie, che rappresenta lo spazio-tempo, si
incurva.
62
Dalla relatività ai buchi neri
6. La relatività generale
Ora cerchiamo di vedere cosa succede con l’aumento della densità della massa di un
determinato corpo celeste.
Figura 6-9: Rappresentazione dell’aumento dell’incurvatura a seguito dell’aumento della
concentrazione di massa.
Si può vedere bene come la curvatura aumenti con l’aumento della densità di materia e
come la frequenza degli elettroni emessi si sposti sempre più verso il rosso, a causa del
redshift già analizzato in precedenza. Si può arrivare persino al punto in cui un fotone
emesso non riesce nemmeno a risalire il campo gravitazionale così intenso e perciò non
può essere irradiato nel cosmo, ma rimane attratto dal corpo stesso.
63
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
7. I buchi neri
“Per me si va ne la città dolente;
per me si va ne l’etterno dolore,
per me si va tra la perduta gente.
Giustizia mosse il mio alto fattore;
fecemi la divina podestate,
la somma sapïenza e ‘l primo amore.
Dinanzi a me non fuor cose create
Se non etterne, e io etterno duro.
Lasciate ogne speranza, voi ch’intrate.”
Dante, La Divina Commedia, Inferno, III 1-9
7.1 Definizione di buco nero
Un buco nero è un corpo il cui campo gravitazionale è talmente intenso da attirare
inesorabilmente i raggi di luce diretti verso l’esterno, si ha dunque una situazione
asimmetrica, nella quale ogni cosa può finire nel buco ma nulla può uscirne. Inoltre un
buco nero è anche un potenziale stadio finale della vita di una stella.
Figura 7-1: Rappresentazione grafica bidimensionale della curvatura
dello spazio-tempo causata dalla presenza di un buco nero.
64
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
7.2 La storia
Il primo scienziato a usare il termine buco nero fu il fisico americano John Wheeler nel
1969, ma l’esistenza di questi corpi celesti fu già ipotizzata due secoli prima, quando
c’erano ancora due teorie della luce: quella che prevedeva che fosse composta da
particelle sostenuta da Newton, e quella ondulatoria sostenuta da Hygens. Se si considera
la luce come delle particelle si può ipotizzare che essa subisca gli effetti della forza di
gravità proprio come delle palle di cannoni, razzi e pianeti. All’inizio si pensava che la
velocità della luce fosse infinita e quindi nessun corpo avrebbe avuto abbastanza massa
per non far sfuggire una particella di luce. Ma quando si scoprì che la velocità della luce
era si enormemente elevata, ma pur sempre finita, si ipotizzò che ci fossero dei corpi in
grado di non far sfuggire nemmeno una particella di luce. Il primo scienziato che formulò
questa tesi fu John Michell nel 1783.
Questa teoria però non ebbe molta fortuna, infatti si cominciò a credere che la luce non
fosse più composta da particelle ma bensì avesse caratteristiche ondulatorie.
Considerando la luce come un’onda non si riusciva a capire come faceva la gravità a
influire su di essa.
Bisogna aspettare il 1915 quando Albert Einstein propose la sua teoria della relatività
generale per avere una teoria coerente in cui la gravità incide sulla luce. Ci volle però del
tempo per capire le implicazioni di queste teorie per le stelle di grande massa.
7.3 La formazione
Un buco nero è uno dei possibili stadi finali della vita di una stella, perciò prima di
analizzare la sua formazione è necessario soffermarsi sulla nascita e sulla vita delle stelle.
Una stella si forma quando una gran quantità di gas, soprattutto idrogeno, inizia, per
effetto della attrazione gravitazionale, a contrarsi. Gli atomi dei gas si trovano sempre più
vicini e quindi si scontrano anche più frequentemente e a velocità maggiori, ciò comporta
un innalzamento della temperatura. A un certo momento si arriva al punto in cui la
temperatura è così elevata che gli atomi di idrogeno non si scontrano più, bensì si
fondono formando degli atomi di elio. Questa reazione nucleare è il motivo per cui le
stelle hanno un simile splendore ed è la stessa reazione che avviene in una bomba H. La
reazione produce ovviamente anche un calore aggiuntivo che permette alla stella di
controbilanciare la sua stessa attrazione gravitazionale, così facendo il gas smette di
contrarsi e il corpo celeste si stabilizza. Le stelle rimangono stabili per molto tempo
grazie a questo equilibrio tra la pressione interna e quella esterna.
La stella però prima o poi finirà le riserve di idrogeno e di altri combustibili nucleari. È
interessante far notare che quanto è maggiore la quantità di combustibile con cui la stella
inizia la propria evoluzione, tanto prima lo finirà. Questo perché una stella con massa
maggiore deve avere anche una temperatura maggiore per controbilanciare la propria
attrazione gravitazionale, e tanto più è calda una stella tanto più rapidamente consumerà
il suo combustibile. Quando finisce il suo combustibile, la stella inizia a raffreddarsi e a
contrarsi.
Questa contrazione ha diversi stadi, dovuti alla massa finale della stella, che tratterò nel
proseguo del lavoro.
65
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
7.3.1 Il Sole
Il Sole, come le altre stelle, è mantenuto in equilibrio dalla pressione interna che si
contrappone a quella esterna dovuta alla sua stessa attrazione gravitazionale. È una
situazione simile a quella di un palloncino d’aria, dove c’è la pressione interna dell’aria
che compensa la tensione della gomma.
Figura 7-2: Il Sole.
La situazione del Sole
Dati:
M = 1.92 ⋅ 10 30 kg
r = 6.95 ⋅ 10 8 m
G = 6.67 ⋅ 10 −11 m 3 kg −1 s −2
L’energia gravitazionale di un corpo sferico di raggio r e di massa M uniformemente
ripartita si trova con la seguente equazione:
3 M2
Eg = − G
5
r
Energia gravitazionale del Sole:
3 M2
Eg = − G
≅ −2.27 ⋅ 10 41 J
5
r
66
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
Il Sole viene considerato come un corpo composto da gas perfetti e quindi si può
calcolare la sua energia interna tramite l’equazione:
i
E = nRT
2
dove n è il numero di moli, R la costante dei gas perfetti ( R = 8.314
J
),
K ⋅ mol
T la temperatura,
e i è il numero dei gradi di libertà del gas
•
Monoatomico: i = 3
•
Biatomico:
i=5
•
Triatomico: i = 6
Il Sole è composto al 75% di Idrogeno ( H 2 ) e al 25% d’Elio ( He ). L’idrogeno è un gas
biatomico e l’elio monoatomico. Tutte due sono presenti nel Sole sotto forma di ioni.
Massa molare Idrogeno:
0.001
kg
mol
0.004
kg
mol
Massa molare Elio:
Numero di particelle di Idrogeno nel Sole:
75
⋅ 1.98 ⋅ 10 30 kg
100
≅ 1.49 ⋅ 10 33
kg
0.001
mol
Numero di particelle d’Elio nel Sole:
25
⋅ 1.98 ⋅ 10 30 kg
100
≅ 4.97 ⋅ 10 32
kg
0.004
mol
Energia interna del Sole (con T ≅ 10 7 K ):
5
3
E = ( ⋅ 1.49 ⋅ 10 33 + ⋅ 4.97 ⋅ 10 32 ) ⋅ R ⋅ T ≅ 3.71 ⋅ 10 41 J
2
2
E g ≅ E s ⇔ 2.27 ⋅ 10 41 J ≅ 3.71 ⋅ 10 41 J
67
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
Possiamo ora calcolare la pressione gravitazionale che agisce sul nostro corpo celeste
usando la formula:
GM 2
Pg = −
4πr 4
Pressione gravitazionale del Sole:
Pg = −
GM 2
≅ −9.0 ⋅ 1013 Pa
4
4πr
Il segno meno è dovuto al fatto che è una pressione negativa, non c’è un’espansione come
una vera e propria pressione.
Per calcolare la pressione interna della stella si sfrutta la seguente equazione:
pV = nRT
Pressione interna del Sole dovuta ai suoi gas:
3
pV = nRT ⇔ p πr 3 = (1.49 ⋅ 10 33 + 4.97 ⋅ 10 32 ) RT ⇔ p ≅ 1.17 ⋅ 1014 Pa
4
p g ≅ p s ⇔ 9.0 ⋅ 1013 Pa ≅ 1.17 ⋅ 1014 Pa
Le due pressioni sono quasi uguali, ciò significa che il Sole in questo stadio della sua vita
non può collassare su se stesso. Infatti la pressione esterna viene compensata da quella
interna.
7.3.2 Il principio di esclusione
Prima di andare avanti nella formazione dei buchi neri è fondamentale trattare il principio
di esclusione, che, come vedremo, permetterà alle nane bianche e alle stelle a neutroni di
mantenere un equilibrio tra la pressione interna e quella esterna.
Le particelle da noi note si possono dividere in due gruppi:
1
• Le particelle con spin (“tornano uguali dopo due giri”) che sono le particelle di
2
materia
• Le particelle con spin 0; 1; 2 che danno origine alle forze che si esercitano tra la
materia
Lo spin
Vediamo ora velocemente cosa è lo spin, senza la pretesa di un rigore scientifico.
Tutte le particelle hanno una proprietà chiamata spin ed è il modo in cui la particella ci
appare da diverse direzioni.
68
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
Per capire meglio questa proprietà ci si può aiutare con delle rappresentazioni:
o Una particella con spin 0 si può raffigurare con un puntino, infatti da qualsiasi
parte lo si guarda appare sempre uguale.
o Una particella con spin 1 corrisponde a una freccia e ci appare come all’inizio
dopo un giro, cioè 360°.
o Una particella con spin 2 è come una freccia con due punte che ci riappare come
all’inizio dopo mezzo giro, cioè 180°.
o Una particella con spin
1
torna ad apparirci come era all’inizio solo dopo due
2
giri.
Volendo ci si potrebbe immaginare anche particelle con altri spin.
1
). Questo
2
principio fu scoperto e formulato nel 1925 da Wolfgang Pauli che per questa sua scoperta
ricevette il premio Nobel nel 1945.
Il principio di esclusione prevede che due particelle identiche con lo stesso spin non
possono esistere nello stesso stato, ossia che non possono avere entrambe la stessa
posizione e la stessa velocità, entro i limiti posti dalle disuguaglianze di Heisemberg che
affermano che ∆x∆p ≥ .
Con questo principio si può spiegare come mai le particelle non si contraggono in uno
stato di densità elevatissima sotto l’influenza delle forze prodotte dalle particelle di spin
0; 1; 2. Se il mondo fosse creato senza il principio di esclusione tutte le particelle si
contrarrebbero tutte a formare un “brodo” denso, grossomodo uniforme.
Il Principio di esclusione riguarda unicamente le particelle di materia (spin
Questo principio fa in modo che una stella che ha finito tutto il suo combustibile non
collassi subito in un buco nero. Le particelle di materia vengono a trovarsi vicine l’una
all’altra, ma il principio prevede che devono avere velocità diverse. Di conseguenza le
particelle si allontanano l’una dall’altra permettendo alla stella di mantenere un raggio
costante.
69
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
Il principio di esclusione ha però un limite posto dalla velocità della luce, perciò due
particelle non possono avere una velocità relativa superiore a c . Si può quindi capire che
quando ci sono in gioco masse ancora superiori la stella è costretta a collassate.
7.3.3 Le nane bianche
Come abbiamo già visto in precedenza quando una stella finisce il suo carburante inizia a
contrarsi, però questa contrazione si ferma ad un certo punto: infatti interviene il
principio di esclusione appena trattato. Il principio prevede che due particelle identiche,
in questo caso gli elettroni, non possono trovarsi troppo vicine l’una all’altra. In questo
modo si crea una nuova pressione interna che riesce, fino a certe determinate masse, a
evitare il collasso gravitazionale del corpo celeste.
Le masse per cui il principio di esclusione è sufficiente per fermare il collasso arrivano
fino a 1.4 volte la massa solare.
La situazione di Sirio B (nana bianca)
Dati:
M = 0.98 ⋅ M Sole = 1.94 ⋅ 10 30 kg
r = 2.7 ⋅ 10 7 m
Supponendo che la composizione sia simile a quella del sole:
Numero di particelle di Idrogeno in Sirio B:
0.75 ⋅ 1.94 ⋅ 10 30 kg
≅ 1.4619 ⋅ 10 33
kg
0.001
mol
Numero di particelle di Elio in Sirio B:
0.25 ⋅ 1.94 ⋅ 10 30 kg
≅ 1.2183 ⋅ 10 32
kg
0.004
mol
7
Con una temperatura di T ≈ 10 K
Pressione interna:
3
p πr 3 = (1.46 ⋅ 10 33 + 1.21 ⋅ 10 32 ) RT ⇔ p ≅ 1.27 ⋅ 1019 Pa
4
Pressione esterna:
p=
G M2
= 7.56 ⋅ 10 31 Pa
4π r 4
70
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
La pressione esterna è molto maggiore a quella interna quindi a mantenere in equilibrio la
nana bianca è il principio di esclusione.
7.3.4 Le stelle a neutroni
Il principio di esclusione, come abbiamo gia visto, prevede che due particelle identiche
non possono avere la stessa posizione e la stessa velocità, perciò le particelle devono
avere velocità diverse. Allontanandosi una particella dall’altra permettono alla stella di
mantenere un raggio costante. Questo è ciò che accade nelle nane bianche con gli
elettroni, ma non bisogna dimenticare il carattere limite della velocità della luce. Infatti
due elettroni non possono avere una velocità relativa maggiore di c , perciò quando ci
sono in gioco delle masse comprese tra 1.4 e 2 volte la massa solare gli elettroni si
“fondono” con i protoni tramite la reazione
p + e → n +ν
dove ν è un neutrino.
Per spiegare come mai riescono a stare in equilibrio si deve ricorrere ancora al principio
di esclusione: in questo caso avviene tra i neutroni allontanandoli l’uno dall’altro e
permettendo alla stella di avere una pressione sufficiente per contrastare la sua stessa
attrazione gravitazionale.
7.3.5 I buchi neri
La pressione interna fornita del principio di esclusione può non essere sufficiente per dei
corpi con una massa superiore a 2 volte la massa solare. Anche in questo caso vale ciò
che è stato detto per le stelle a neutroni a riguardo del carattere limite della velocità della
luce. A questo punto, quando ci sono in gioco masse così elevate, il corpo collassa su se
stesso creando una singolarità, dove cessano di esistere sia lo spazio sia il tempo.
È importante ricordare che tutte le masse qui elencate sono da considerarsi come quelle
dell’istante prima che il corpo collassi, infatti può accadere che tramite delle esplosioni
quest’ultimo perda della massa riuscendo cosi a stabilizzarsi in uno stadio finale che non
sia un buco nero.
71
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
7.4 Il raggio di Schwarzschild
7.4.1 Calcolo classico del raggio di Schwarzschild
Il raggio di Schwarzschild è il raggio dell’orizzonte degli eventi, cioè il luogo dal quale le
informazioni non possono più giungere ad un osservatore posto al suo esterno. Questo
raggio si può trovare con un semplice calcolo (che nonostante sia formalmente sbagliato
ci fornisce un risultato giusto).
Si parte dal presupposto che le informazioni viaggino alla velocità della luce
m
( c = 2.99 ⋅ 10 8 ) e si cerca quale sia il raggio del corpo celeste dopo il quale neanche
s
degli ipotetici proiettili che viaggino a questa velocità non riescano a fuggire dal campo
gravitazionale.
Raggio di Schwarzschild ( rS )
1
2MG
GMm
⇔ rS = 2
E cinetica − E gravitazionale = 0 ⇔ mc 2 =
2
rS
c
L’errore formale è dovuto al fatto che la massa di una particella che si muove alla
velocità della luce è m = 0kg
7.4.2 La soluzione relativistica del raggio di Schwarzschild
La metrica dello spazio-tempo esterna ad un corpo di massa M sferico e fermo è data da
r
r
ds 2 = −(1 − S )dt 2 + (1 − S ) −1 dr 2 + r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑdφ 2 )
r
r
dove r è la distanza dal centro di massa e rS il raggio di Schwarzschild.
Notiamo che per r = 0 e r = rS la metrica a una singolarità, infatti
rS
)=∞
r →0
r
r
lim (1 − S ) −1 = ∞
r → rS
r
lim(1 −
Queste due singolarità sono di diversa natura: la prima è una singolarità vera invece la
seconda è una singolarità delle coordinate che scompare con un cambio di coordinate.
Nel caso dei buchi neri la singolarità vera e propria, dove il tempo e lo spazio cessano di
esistere, è un punto di densità e curvatura infinite, in cui tutta la massa del corpo collassa.
Invece la singolarità del raggio di Schwarzschild, cioè quella che descrive l’orizzonte
72
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
degli eventi, esiste solo con queste coordinate che descrivono l’evento da lontano. Se un
ipotetico astronauta potesse attraversare questo orizzonte non sentirebbe niente sul suo
corpo, o quanto meno questo passaggio non influirebbe su di lui. Ma l’equipaggio della
navicella, da cui il nostro ipotetico e temerario astronauta è partito, non lo vedrebbe mai
oltrepassare l’orizzonte degli eventi.
Un’altra osservazione interessante che si può trarre dalla metrica è che quando r → ∞ ,
r
cioè quando ci si allontana sempre più dal centro di massa M , S → 0 e quindi si torna
r
a una metrica piatta come in relatività ristretta.
Inoltre rS ha un senso come orizzonte degli eventi solo se Rstella < rS .
7.4.3 La censura cosmica
Come abbiamo appena visto la singolarità vera dello spazio-tempo non è eliminabile e
soprattutto è nascosta da una singolarità delle coordinate. In questo modo ci è impossibile
osservarla. Infatti l’unico modo sarebbe quello di prendere una strada a senso unico e
senza ritorno attraverso l’orizzonte degli eventi.
La singolarità vera è, come abbiamo gia visto, un punto di curvatura infinita dello spaziotempo. Inoltre in essa ogni legge della scienza e la nostra capacità di prevedere il futuro
verrebbero meno. Grazie a questa censura cosmica un osservatore esterno a un buco nero
non risentirebbe di questo venir meno delle predicibilità, infatti alcuna informazione, per
definizione, gli potrebbe giungere all’esterno del buco nero.
Si può perciò dire che la censura cosmica protegge gli osservatori, che restano all’esterno
del buco nero, dalle conseguenze del venir meno della predicibilità che si verifica nella
singolarità. Questo privilegio non è dato però all’avventuroso cosmonauta che oltrepassa
l’orizzonte degli eventi.
Qui si potrebbero aprire discorsi più filosofici o teologici per cercare di dare una
spiegazione all’esistenza di questa censura cosmica, ma io sono dell’opinione che nel
corso di questo lavoro l’importante è solo costatare l’esistenza di questa teoria senza
avventurarsi in alcuna interpretazione.
73
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
7.5 Il comportamento dei coni di luce nelle vicinanze di un buco
nero
7.5.1 Visti da un osservatore lontano
Come abbiamo visto per la soluzione del raggio di Schwarzschild la metrica dello spaziotempo nelle vicinanze di un corpo celeste sferico e fermo è data da
r
r
ds 2 = −(1 − S )dt 2 + (1 − S ) −1 dr 2 + r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑdφ 2 )
r
r
Se ci poniamo su una geodetica radiale e nulla, che significa che si sta viaggiando alla
velocità della luce, possiamo dire che
r
r
⎧ 2
⎪ds = −(1 − S )dt 2 + (1 − S ) −1 dr 2
⎨
r
r
⎪⎩
ds = 0
da cui segue
r
r
r
dt 2
(1 − S )dt 2 = (1 − S ) −1 dr 2 ⇔ 2 = (1 − S ) −2
r
r
r
dr
r
dt
⇒
= ±(1 − S ) −1
dr
r
Possiamo considerare il risultato appena ottenuto come la pendenza del cono di luce e
osserviamo subito che quando r → rS , cioè quando ci si avvicina all’orizzonte degli
dt
eventi di un buco nero,
→ ±∞ , la pendenza del cono diventa verticale. Quindi man
dr
mano che il nostro cono di luce si avvicina all’orizzonte degli eventi la sua apertura
diminuisce fino a che, in corrispondenza con il raggio di Schwarzschild, si chiude
completamente. Si vede chiaramente che dall’orizzonte degli eventi in poi non ci può più
giungere alcuna informazione.
74
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
Figura 7-3: Rappresentazione grafica della diminuzione
dall’apertura del cono di luce con l’avvicinarsi al raggio di
Schwarzschild (qui chiamato 2GM poiché viene posto c=1).
Il fatto che il cono di luce si contrae su se stesso è il segno di una singolarità delle
coordinate.
7.5.2 Visti da un osservatore vicino
Abbiamo appena descritto il comportamento dei coni di luci in prossimità di un buco nero
visti da un osservatore lontano. Adesso invece vogliamo osservare lo stesso fenomeno ma
dal punto di vista di un osservatore vicino. Per far ciò è necessario eseguire un cambio di
coordinate, infatti si devono sfruttare le coordinate di Eddington-Frinkestein.
Si rimpiazza la coordinata temporale t con la nuova coordinata u~
(r , t ) → (r , u~ )
dove
r
u~ = t + r + rS ln( − 1)
rS
La metrica è perciò definita da
r
ds 2 = −(1 − S )du~ 2 + (du~dr + drdu~ ) + r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑdφ 2 )
r
Se prendiamo in considerazione, come nel caso precedente, una geodetica radiale nulla,
allora si dimostra che
75
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
0
du~ ⎧⎪
rS −1
=⎨
dr ⎪2(1 − )
r
⎩
Lato entrante
Lato uscente
Notiamo così che una lato del cono rimane sempre costante e parallelo all’asse delle
ascisse su cui poniamo il raggio dal centro di massa. L’altro lato invece diventa nullo,
cioè sovrapposto al primo solo con r = 0 , e ciò dimostra come rS è una singolarità delle
coordinate.
Concentriamoci ora su ciò che accade sull’orizzonte degli eventi, cioè quando r = rS .
lim 2(1 −
r → rS
rS −1
) = +∞
r
Possiamo cosi vedere che non c’è più una singolarità sull’orizzonte degli eventi, l’unica
cosa che succede in quel punto è che la pendenza della parte esterna del cono è verticale e
ciò significa che non potranno più essere mandate informazioni all’esterno del buco nero.
Figura 7-4: Rappresentazione grafica dell’inclinazione di un cono di
luce in prossimità di un buco nero, vista da un osservatore vicino.
76
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
7.6 Alcuni effetti dei buchi neri
7.6.1 Paradosso dell’astronauta
Prendiamo in considerazione questa situazione iniziale: un’astronave che orbita attorno
ad un buco nero e un temerario astronauta che l’abbandona per avventurarsi verso il buco
nero. L’astronauta manda ogni secondo un segnale alla sua astronave. Cosa accade
mentre l’astronauta si avvicina all’orizzonte degli eventi? È forse necessario ricordare al
lettore che un campo gravitazionale deforma lo spazio e il tempo. Perciò mentre
l’astronauta si avvicina al buco nero, la sua navicella riceverà sempre più lentamente il
segnale e soprattutto non le giungerà mai il segnale di quando l’astronauta oltrepassa
l’orizzonte degli eventi.
Figura 7-5: Rappresentazione grafica della dilazione del tempo con
l’avvicinarsi al buco nero.
In questo modo, dal punto di vista degli osservatori posti sulla navicella è come se il
tempo per il nostro astronauta si fosse fermato sull’orizzonte degli eventi. Questo succede
perché usando la soluzione di Schwarzschild esiste una singolarità delle coordinate
sull’orizzonte degli eventi. In realtà l’astronauta non si accorge nemmeno di passare
l’orizzonte degli eventi. Gli effetti sul suo corpo sono altri e non dovuti al passaggio del
raggio di Schwarzschild.
77
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
Figura 7-6: L’ultimo segnale non verrà mai ricevuto dall’astronave, quindi dal loro punto di vista è
come se il tempo si fosse fermato per l’astronauta.
7.6.2 Effetti marea
Trattiamo ora gli effetti che subirebbe l’astronauta con l’avvicinarsi al buco nero.
Iniziamo con il dire che non sono sensazioni particolarmente piacevoli. La forza di
gravità avrebbe un effetto devastante sul nostro povero e incosciente astronauta che ha
osato avventurarsi verso l’ignoto. La forze in gioco sono notevoli, ma soprattutto ci
sarebbe una differenza tra la forza gravitazionale agente sui piedi e quella sulla testa
sufficiente da stirare il cosmonauta come una fettuccina e farlo a pezzi.
78
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
Figura 7-7: Rappresentazione degli effetti sul corpo umano
della differenza delle forze gravitazionali ai capi del corpo.
7.6.3 Macchina del tempo
Abbiamo già visto come la massa enormemente concentrata di un buco nero riesca a
dilaniare lo spazio-tempo. Inoltre nel paradosso dell’astronauta abbiamo anche notato che
il tempo rallenta man mano che ci si avvicina alla singolarità del buco nero. Quindi in via
puramente teorica sarebbe possibile orbitare per un certo lasso di tempo molto vicino
all’orizzonte degli eventi, facendo la dovuta attenzione per evitare di cascarci dentro, e
poi tornare sulla Terra e ritrovarla secoli più avanti.
Per esempio se si orbitasse per un anno vicino all’orizzonte degli eventi di un buco nero
di massa 1'000 volte quella del nostro Sole, il tempo dell’astronauta sarebbe circa 10'000
volte più lento delle altre persone sulla Terra, quindi quando l’astronauta ritornerebbe sul
nostro pianeta saranno passati più di 10'000 sulla Terra. Cosi facendo avrebbe usato il
buco nero come macchina del tempo per andare nel futuro.
79
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
7.7 Radiazione di Hawking
Stephen Hawking nel 1974 fece una grande scoperta nell’ambito dei buchi neri, infatti si
accorse che in realtà non sono così neri ma emettono una radiazione come qualsiasi corpo
caldo.
Figura 7-8: Stephen Hawking scienziato inglese nato nel 1942 e
considerato oggi il più grande astrofisico del mondo. È affetto
da sclerosi amiotrofica laterale che lo costringe sulla sedia a
rotelle e gli è possibile parlare solo grazie a un sofisticato
sintetizzatore vocale. Nonostante la grave malattia è tutt’ora
una delle menti più brillanti e lucide al mondo.
Prima di poter andare avanti a parlare delle radiazione di Hawking è necessario
soffermarsi un attimo sulle disuguaglianze di Heisemberg. Questa disuguaglianza
prevede che non si può sapere con esattezza contemporaneamente sia la posizione sia la
quantità di moto di una particella. Inoltre la precisione con cui si conosce una della due
varianti è inversamente proporzionale alla precisione con cui si può conoscere l’altra.
Una conseguenza di questo principio è che un oggetto non può essere esattamente fermo
in un punto, poiché, cosi facendo, si conoscerebbero contemporaneamente sia la
posizione sia la quantità di moto dell’oggetto in considerazione. Prenderemo ora in
considerazione l’esempio di un pendolo.
80
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
“Pendolo con distribuzione di probabilità
Secondo le disuguaglianze di Heisemberg, è impossibile che un pendolo si trovi in una
posizione esattamente verticale, con velocità pari a zero. Di fatto, la teoria quantistica
predice che, anche nello stato fondamentale, il pendolo abbia un quantitativo minimo di
fluttuazioni.
Ciò significa che la posizione del pendolo sarà data da una distribuzione di probabilità.
Nello stato fondamentale, la posizione più probabile è quella verticale, ma vi è anche la
probabilità che formi un piccolo angolo rispetto alla verticale”
Da [3], pagina 49
Figura 7-9: Distribuzione probabilistica delle posizioni del
pendolo.
La situazione del pendolo è valida anche per quanto riguarda i campi, infatti un campo
non può mai essere esattamente nullo. Ciò significa anche che nel cosiddetto vuoto non
possono essere nulli, ma devono avere delle minime fluttuazioni. Queste fluttuazioni
possono essere interpretate in diversi modi, ma matematicamente equivalenti. Perciò
possiamo sceglierci la rappresentazione più comoda per la soluzione del problema.
Scegliamo allora di considerare queste fluttuazioni del vuoto come due particelle virtuali
di materia e antimateria, che si creano in un determinato punto dello spazio-tempo, si
separano e un istante dopo si annichiliscono. Si parla di particelle virtuali perché non
possono essere osservate direttamente, ma ciò che è possibile osservare sono unicamente
gli effetti indiretti prodotti da queste particelle.
81
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
Figura 7-10: Particelle di materia e antimateria che si creano, si separano e
poi si annichiliscono.
Immaginiamoci ora la stessa situazione ma con la presenza di un buco nero, è così
possibile che una particella della coppia virtuale prodotta dalle fluttuazioni del campo
gravitazionale di un buco nero ci cada dentro lasciando l’altra libera. In questo modo non
si possono più annichilire e ai nostri occhi questa particella ci appare essere irradiata dal
buco nero. Inoltre lo spettro delle radiazioni di un buco nero è lo stesso che ci si
aspetterebbe da un corpo caldo. Essi hanno una temperatura che dipende dalle loro
dimensioni, ma sfortunatamente la temperatura è cosi bassa che è coperta dalla radiazione
cosmica di fondo residua del Big Bang.
82
Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
Figura 7-11: Particelle di materia e antimateria che si creano vicino
all’orizzonte degli eventi, alcune cadono nel buco nero e altre vengono invece
irradiate nello spazio.
Ci si può chiedere anche da dove viene l’energia necessaria per poter emettere questa
radiazione. La risposta la si deve cercare in alcune proprietà dell’energia nella relatività
generale. L’energia della particella caduta nel buco nero è negativa ed è bilanciata
dall’energia positiva della particella irradiata. Ma l’apporto di energia negativa riduce la
massa del buco nero, ricordiamo infatti l’equazione E = mc 2 che lega la massa
all’energia. In questo modo esso perde in continuazione massa, la sua radiazione e la sua
temperatura invece aumentano fino a quando il buco nero ha massa nulla. Non si è in
grado di calcolare cosa succede a questo punto, ma è ragionevole pensare che il buco
nero scompaia.
Un’altra questione, su cui si dibatte ancora, è che fine fa l’informazione immagazzinata
da questi mostri gravitazionali. Scompare con il buco nero o in qualche modo viene
rilasciata?
Questa oltre a una questione fisica è anche filosofica poiché è strettamente legata con il
determinismo, che è gia stato messo in crisi con l’avvento della fisica quantistica. Se le
informazioni finite in un buco nero sono veramente perse per sempre, con la
evaporazione completa del buco nero, sarebbe il colpo di grazia alla teoria deterministica
e ai suoi sostenitori.
Inoltre i buchi neri hanno spesso affascinato gli scienziati poiché aprivano le porte a idee
fantascientifiche. È stato per esempio ipotizzato che potessero fungere da tunnel di
passaggio tra un universo e l’altro. Altri hanno ipotizzato invece, visto la stretta
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Dalla relatività ai buchi neri
7. I buchi neri
somiglianza che i buchi neri hanno con il Big Bang, che questi fossero dei potenziali semi
di altri universi, che noi purtroppo non potremmo osservare per il semplice fatto che
sarebbero all’interno dell’orizzonte degli eventi.
Questa teoria, seppure potrebbe sembrare di poco conto nel mare della scienza, ha in
realtà una enorme rilevanza, infatti è la prima che cerca di combinare la relatività
generale con la meccanica quantistica.
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Dalla relatività ai buchi neri
8. Conclusione
8. Conclusione
Il mio lavoro è giunto al termine, spero che qualsiasi lettore leggendolo riesca ad avere
un’idea generale della relatività e dei buchi neri. Purtroppo alcune parti richiedono un po’
di conoscenza matematica, ma questa è la realtà della fisica. Soprattutto la fisica moderna
richiede delle conoscenze matematiche estremamente elevate che la allontanano dalla
gente comune. In effetti questo è un vero peccato, poiché sono convinto che altrimenti
molte più persone si avvicinerebbero volentieri alla chiarezza logica della fisica.
Ciò che ha spinto la fisica nei secoli ad evolversi, e ad arrivare nella sua grandezza ai
giorni d’oggi, è il continuo cercare risposte al lato misterioso della vita. Qui è perciò
evidente che è una materia che dovrebbe riguardare chiunque, ma che purtroppo per la
stragrande maggior parte della popolazione presenta ostacoli matematici insormontabili.
Ma penso che, nonostante le proprie capacità e conoscenze matematiche, ogni persona
dotata di pensiero si sia già chiesta:
Chi siamo? Da dove veniamo? E dove andremo?
Molti trovano risposte nella religione tradizionali, altri invece, come Albert Einstein, le
cercano in una religione cosmica, dove non esistono più Dei antropomorfi.
E se invece queste domande non avessero risposte?
In fondo sono domande spinte da una logica tipicamente umana che richiede una
motivazione a tutto ciò che esiste, potrebbe benissimo darsi che questa logica non sia
conosciuta al di fuori della specie umana.
In ogni caso credo che non ci sia modo migliore per finire il mio lavoro che lasciare degli
interrogativi aperti. Solo facendosi domande si possono trovare le risposte.
9. Ringraziamenti
Al termine del mio lavoro vorrei ringraziare coloro che mi hanno permesso di svolgerlo.
In particolare vorrei ringraziare il Professor Christian Ferrari che mi ha seguito e aiutato
appassionatamente nel corso dell’intero anno durante il quale ho svolto questo lavoro.
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Dalla relatività ai buchi neri
10. Appendice A
10. Appendice A
“Cos’è la teoria della relatività?” di A. Einstein
“In fisica si possono distinguere teorie di natura diversa. La maggior parte sono teorie
costruttive: per mezzo di un sistema di formule relativamente semplice situato alla base,
esse cercano di costruire un’immagine di fenomeni relativamente complessi.
[…]
Ma accanto a questa classe importante di teorie ve n’è una seconda che invece del
metodo sintetico impiega il metodo analitico. Qui è il punto di partenza e la base non
sono costituiti da elementi di costruzione ipotetica, ma da proprietà generali dei fenomeni
naturali determinate empiricamente dalle quali derivano in seguito criteri
matematicamente formulati, ai quali i fenomeni particolari o le loro immagini teoriche
devono soddisfare.
[…]
La teoria della relatività appartiene alla seconda categoria. Per comprendere la sua
essenza bisogna quindi imparare a conoscere anzitutto i principi sui quali si basa. Ma,
prima di esaminarli, vorrei fare notare che la teoria della relatività assomiglia a un
edificio a due piani, che sono la teoria della relatività ristretta e quella delle relatività
generalizzata. La prima, che è fondamento della seconda, concerne tutti i fenomeni fisici
ad eccezione della gravitazione; la teoria della relatività generalizzata conduce alla legge
della gravitazione e alle relazioni di questa con le altre forze naturali.
Fin dall’antichità si sa bene che per descrivere il movimento di un corpo è necessario un
altro corpo immobile, al quale si riferisce il movimento del primo. Il movimento di una
vettura è riferito al Sole, il movimento di un pianeta alla totalità delle Stelle fisse visibili.
In fisica i corpi ai quali si riferiscono, spazialmente, i fenomeni, sono indicati col nome di
sistemi di coordinate2. Le leggi della meccanica di Galileo e di Newton non possono
essere formulate che utilizzando un sistema di coordinate.
Ma affinché le leggi della meccanica siano valide, non si può scegliere a volontà lo stato
di moto del sistema di coordinate (deve essere senza rotazione e senza accelerazione). Un
sistema di coordinate ammissibile si chiama un “sistema d’inerzia”. Tuttavia lo stato di
movimento di un sistema di inerzia non è, secondo la meccanica, determinato
chiaramente dalla natura. Bisogna piuttosto dire: un sistema di coordinate che si sposta in
linea retta e con moto uniforme in rapporto a un sistema d’inerzia è ugualmente un
sistema d’inerzia. Per “principio di relatività ristretta” s’intende l’estensione di questa
proposizione a qualsiasi fenomeno naturale: ogni legge generale della natura, valida per
un sistema di coordinate R , deve essere valida senza cambiamenti per un sistema di
coordinate R' animato da un movimento di traslazione uniforme in rapporto a R .
Il secondo principio sul quale si basa la teoria della relatività ristretta è “il principio della
costanza della velocità della luce nel vuoto”. Questo principio dice: la luce ha sempre, nel
vuoto, una velocità di diffusione ben determinata (indipendentemente dallo stato di
movimento e dalla sorgente luminosa). Il credito che il fisico accorda a questo principio è
dovuto ai successi dell’elettrodinamica di Lorentz e di Maxwell.
2
Noi li abbiamo chiamati sistemi di riferimento o referenziali
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Dalla relatività ai buchi neri
10. Appendice A
I principi enunciati sono potentemente suffragati dell’esperienza, ma non sembrano,
logicamente, compatibili fra loro. La teoria della relatività ristretta è giunta finalmente a
realizzare quest’unione logica modificando la cinematica, vale a dire la dottrina delle
leggi concernenti lo spazio e il tempo (partendo dal punto di vista fisico). Essa ha
dimostrato questo: dire che due eventi sono simultanei non ha un significato che in
rapporto a un sistema di coordinate ed è evidente che la forma dei metri e la marcia degli
orologi debbano dipendere dal loro stato di moto in rapporto al sistema di coordinate.
Ma la fisica antica, incluse le leggi di Galileo e di Newton, non s’adattavano a questa
cinematica relativistica di cui abbiamo ora parlato. Da quest’ultima discendevano le
condizioni matematiche generali alle quali dovevano corrispondere le leggi naturali se i
due principi enunciati erano veri. La fisica doveva adattarsi a essi. In particolare si è
giunti a una nuova legge del moto per i punti materiali (in rapido spostamento), che è
stata verificata con esattezza anche sulle particelle caricate elettricamente. Il risultato più
importante della teoria della relatività ristretta riguarda le masse inerti di un sistema di
corpi. È stato dimostrato che l’inerzia di un sistema deve dipendere dal suo contenuto in
energia e si è pervenuti per così dire alla concezione che le masse inerti non sono altre
che energia latente. Il principio della conservazione della massa ha perso la sua
autonomia, si è fuso con quello della conservazione dell’energia.
La teoria della relatività ristretta, che non è altro che un prolungamento sistematico della
elettrodinamica di Maxwell e di Lorentz, ha aperto nuove vie superando i suoi stessi
limiti. L’indipendenza delle leggi fisiche in rapporto allo stato di movimento dei sistemi
di coordinate non doveva forse limitarsi ai movimenti uniformi di traslazione dei sistemi
di coordinate gli uni in rapporto agli altri? Che ha dunque a che vedere la natura con i
sistemi di coordinate introdotti da noi e col loro stato di moto? Anche se è necessario per
descrivere la natura impiegare un sistema di coordinate scelto a nostro piacere, la scelta
del suo stato di movimento non doveva, almeno, subire limitazioni di sorta; le leggi
dovevano essere assolutamente indipendenti da questa scelta (principio della relatività
generalizzata). L’applicazione di questo principio della relatività generalizzata si può
agevolmente comprendere attraverso un’esperienza conosciuta da tempo, secondo la
quale il peso e l’inerzia di un corpo sono retti dalla stessa costante (eguaglianza delle
masse pesanti e inerti). Si immagini, per esempio, un sistema di coordinate animato da un
movimento di rotazione uniforme relativamente a un sistema di inerzia newtoniano. Le
forze centrifughe che intervengono, relative a questo sistema, devono essere concepite,
secondo la teoria di Newton, come effetti dell’inerzia. Ma queste forze centrifughe sono
proporzionali alla massa dei corpi, esattamente come le forze di gravità. Non sarebbe
possibile, in talune circostanze, concepire il sistema di coordinate come immobile e le
forze centrifughe come forze di gravitazione? È agevole concepirlo, ma la meccanica
classica vi si oppone.
Questa considerazione fatta incidentalmente ci fa presentire che una teoria della relatività
generalizzata deve fornirci le leggi di gravitazione, e la continuità logica dell’idea per
giustificare questa speranza. Ma il cammino è stato più duro di quanto si poteva
prevedere perché esigeva l’abbandono della geometria di Euclide. Il che significa: le
leggi secondo le quali i corpo solidi si dispongono nello spazio non concordando tra loro
esattamente con le leggi spaziali della geometria euclidea. È ciò che si vuol dire quando
si parla della “curvatura dello spazio”. I concetti fondamentali, “la retta”, “il piano”, ecc.,
perdono così, in fisica, il loro esatto significato.
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Dalla relatività ai buchi neri
10. Appendice A
Nella teoria della relatività generalizzata, la dottrina dello spazio e del tempo, la
cinematica, non è più un fondamento indipendente dal resto della fisica.
Il comportamento dei corpi e la marcia degli orologi dipendono piuttosto dai campi
gravitazionali, i quali a loro volta, sono prodotti dalla materia.
La nuova teoria della gravitazione s’allontana notevolmente, per quanto riguarda i
principi, dalla teoria di Newton; ma i suoi risultati pratici concordano così da vicino con
quelli di questa teoria che è difficile trovare sperimentalmente prove a differenze
sensibili.
[…]
Il merito principale della teoria è che essa costituisce nel suo insieme un tutto logico.
Se una sola delle conseguenze apparisse inesatta, bisognerebbe abbandonarla; ogni
cambiamento sarebbe impossibile senza scuotere tutto l’edificio.
Ma nessuno deve pensare che la grande creazione di Newton possa realmente essere
sostituita da questa teoria o da una consimile. Le sue idee grandi e chiare conservano
sempre in avvenire la loro importanza eminente, ed è su di esse che fondiamo ogni nostra
speculazione moderna sulla natura del mondo.”
Da [5], pagine 74-79
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Dalla relatività ai buchi neri
11. Bibliografia
11. Bibliografia
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