programma di fisica matematica 1

PROGRAMMA DI FISICA MATEMATICA 1
prof. Ettore LASERRA Corso di Laurea In Matematica,
Facoltà di Scienze MFN, Università di Salerno
Anno Accademico 2004/2005
Premessa Il presente programma segue, abbastanza fedelmente, gli appunti [1]
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che vanno integrati, ove
necessario, con uno dei testi citati nella bibliografia. Gli argomenti contrassegnati con (*) sono semi-facoltativi,
nel senso che la loro ignoranza ha influenza sul voto, ma non pregiudica l’esito dell’esame. Gli argomenti
contrassegnati con (+) sono facoltativi.
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VETTORI E TENSORI
1.1
TEORIA DEI VETTORI
Richiami Segmenti orientati - vettori e scalari ([4] I.1 e I.2 p.7–10). Prodotto di un numero per un
vettore - prima condizione di parallelismo di due vettori ([4] I.4 p.12–13). Somma di un punto e di
un vettore. Somma e differenza di vettori ([4] I.5 I.7 p.14–17). Spazio (puntuale) affine ([1] p. I.2.3).
Componente di un vettore secondo una retta orientata. Scomposizione di un vettore nei componenti
parallelo e ortogonale a una direzione (decomposizione fondamentale). Prodotto scalare e sue proprietá.
Condizione di ortogonalitá di 2 vettori.
Il prodotto vettoriale Orientamento dello spazio (*) ([1] p. I.6.1–5). Definizione di prodotto
vettoriale. Proprietá del prodotto vettore. Seconda condizione di parallelismo di due vettori. Prodotto
misto e sue proprietá. Condizione di complanaritá di 3 vettori. Doppio prodotto vettoriale e formule
di Grassmann (senza dimostrazione) ([1] p.I.6.15–17). Identitá di Lagrange ([1] p. I.6.18–19). Basi
reciproche(+). Terne autoreciproche di vettori(+) . Discussione di una notevole equazione vettoriale ([1]
I, p.I.6.25–28).
Rappresentazione cartesiana dei vettori Rappresentazione cartesiana dei vettori. Espressione
cartesiana di un punto. Operazioni sui vettori in forma cartesiana. Identitá fondamentale dell’Algebra e
dell’Analisi Vettoriale(+) ([1] p. I.8.1).
1.2
TENSORI CARTESIANI
Cambiamenti di basi (ortonormali). Definizione di tensore affine ortogonale (tensore cartesiano).
Connessione tra tensori di rango 2 e operatori lineari(omografie vettoriali): operatore lineare come tensore
doppio e tensore doppio come operatore lineare. Operazioni sui tensori ([1] pp.43–45): somma, prodotto
di un tensore per un numero reale, prodotto tensoriale di 2 vettori (Diade di Gibbs), prodotto interno
di un tensore per un vettore. Tensore coniugato. Tensori doppi simmetrici e antisimmetrici. Omografia
assiale(+). Il tensore nullo. Il tensore alternato(+). Moltiplicazione di tensori. Contrazione rispetto a
una coppia di indici. Scalare di un tensore. Prodotto vettoriale di un vettore e di un tensore.
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In particolare é diviso in quattro parti, ognuna delle quali si riferisce al corrispondente volume di [1].
Per comododitá il programma si riferisce esplicitamente a [4], reperibile in biblioteca.
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1.3
VETTORI APPLICATI
(vedi anche [4] Cap.II)
Momento polare e momento assiale Definizione di vettore applicato a un punto. Momento di un
vettore applicato rispetto a un punto. Momento di un vettore applicato rispetto a una retta orientata.
Momento di una retta orientata rispetto a un punto - distanza di un punto da una retta ([1] p.V.1.4).
Momento risultante di un sistema di vettori applicati rispetto a un punto - Teorema di Varignon - Legge
di variazione del momento risultante al variare del polo. Coppie ([4] II.4 pp.63–64). Momento risultante
di un sistema di vettori applicati rispetto a una retta orientata. Invariante scalare di un sistema di
vettori applicati. Asse centrale di un sistema di vettori applicati a risultante non nullo. Equivalenza di
due sistemi di vettori applicati. Equivalenza di ogni sistema di vettori applicati a un vettore e a una
coppia. Sistemi mutuamenti riducibili (sola definizione [4] II.12 p. 74). Mutua riducibilitá dei sistemi
equivalenti (solo enunciato [4] II.14 p. 78).
Sistemi di vettori paralleli (Vedi [4] Cap.II §4). Equivalenza di ogni sistema di vettori paralleli ad un
vettore o ad una coppia ([4] n.19 p.85). Asse centrale e centro di un sistema di vettori paralleli ([4] n.21 p.87–88).
Proprietá del centro di un sistema di vettori paralleli ([4] n.21 p.89–90)
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2.1
CINEMATICA
CINEMATICA DEL PUNTO
Moto in relazione allo spazio ambiente Equazioni finite del moto. Funzioni (a valori) vettoriali.
Derivata di una funzione vettoriale. Derivata di un punto variabile. Spostamento elementare. Velocitá vettoriale.
Accelerazione vettoriale.
Proprietá differenziali di una curva Triedro principale: ascissa curvilinea - curvatura - normale principale
- piano osculatore - binormale - terna principale. Accelerazione tangenziale e normale - Formula fondamentale
della cinematica del punto (formula di Huyghens [4] Cap.V n.8 pp.152–153). Triedro principale. Prima formula
di Frenet. Torsione(+). Seconda e terza Formula di Frenet(+) ([1] p.11–13).
Aspetto intrinseco del moto Equazione oraria. Velocitá scalare. Accelerazione scalare. Moti accelerati e
ritardati. Moto uniforme. Moto uniformemente vario.
Moti piani Componente radiale e trasversa della velocitá vettoriale. Componente radiale e trasversa della
accelerazione vettoriale. Velocitá angolare. Velocitá areale. Moti centrali. Formula di Binet. Moti kepleriani.
Moto circolare. Moto circolare uniforme. Moto armonico semplice (unidimensionale). Equazione differenziale dei
moti armonici. Spirale logaritmica (sola definizione). Moto armonico smorzato. Cenni sul metodo dei vettori
ruotanti(+). Moti composti. Moto elicoidale.
2.2
CINEMATICA DEI MOTI RIGIDI
Equazioni generali dei moti rigidi. Formula fondamentale della cinematica rigida. Angoli di Eulero. Espressione
dei coseni direttori degli assi solidali mediante gli angoli di Eulero. Particolari moti rigidi: Moti tralatori, rotatori,
sferici, elicoidali. Atto di moto. Moti rigidi generali. Teorema di Mozzi. Spostamenti rigidi elementari. Legge di
distribuzione delle accelerazioni in un moto rigido. Cenni sulla composizione di 2 atti di moto rigido. Formule di
Poisson.
2.3
MOTI RELATIVI
Velocitá ed accelerazione assolute, relative e di trascinamento. Principio dei moti relativi. Teorema di Coriolis.
Moti di trascinamento particolari. Relazione tra derivata assoluta e relativa di un vettore variabile. Moti rigidi
relativi (senza dimostrazione). Le precessioni ([1] p.4.1-2).
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DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE
Leggi di Newton. Spazio, tempo e sistemi di riferimento. L’Equazione fondamentale della dinamica. Il Primo
problema della Dinamica. Il Problema fondamentale della dinamica. Equilibrio di un punto libero. Equazioni
intrinseche. Esempi: forza costante, forze dipendenti dal tempo, forza dipendente dalla velocitá. Integrali primi.
Integrale dell’energia (nel caso del moto unidimensionale). Esempi: Grave in caduta libera - Velocitá di caduta
di una meteora (velocitá di fuga di un missile) - Correzione in caso caduta da altezze non troppo grandi(*)([1],
pp.IV.26–IV.29).
Lavoro di una forza ([4] Cap.IX §V) Lavoro elementare di una forza - Condizione affinche’ una forza derivi
da un potenziale ([4] n.20 pp.276–278). Lavoro di una forza in un intervallo finito di tempo ([4] n.21 pp.278–281).
Teorema delle forze vive ([4] n.24 pp.284–286).
Forze posizionali e conservative Definizione - Esempi: attrazione gravitazionale, forza elastica di richiamo,
forze centrali ([1] pp.IV.2.1–IV.2.7). Integrale dell’energia ([4] n.25 pp.287–288).
Il Problema fondamentale della dinamica del punto materiale vincolato ([1] pp.IV.3.1–IV.3.8)
Classificazione dei vincoli. Postulato delle reazioni vincolari. Equazioni differenziali del moto di un punto
vincolato. Equazioni intrinseche per un punto vincolato. Condizione di equilibrio per un punto vincolato.
Condizione di equilibrio per un punto materiale vincolato a stare su una curva fissa e liscia. Condizione di
equilibrio per un punto materiale appoggiato a una superficie fissa e liscia.
Problemi di dinamica del punto materiale (vedi anche [4] Cap.XIII) Moto dei gravi nel vuoto nel caso
che la velocitá iniziale non sia verticale né nulla ([4] §3 n.17 p.445–449) - Parabola di sicurezza(+). Moto di
un punto soggetto a resistenza viscosa e forza elastica di richiamo. Oscillazioni forzate (+). Risonanza (+). Il
Problema di Keplero ([1] pp. K.1–K.6). Moto di un corpo nel campo di gravitazione terrestre - Prima e seconda
velocitá cosmica ([1] pp. K.7–K.10). Uso qualitativo dell’integrale dell’energia (Metodo dell’energia) ([1] pp.
UQIE.1–3’). Pendolo semplice ([1] pp. P.S.1–6).
Equazioni differenziali del moto di un punto materiale rispetto a riferimenti
non inerziali
(vedi anche [4] Cap.IX §4) Equazione fondamentale della dinamica rispetto a un riferimento qualsiasi ([4] n.15
pp.264–267). Equilibrio relativo ([4] n.16 p.267). Forze apparenti nel caso di una terna terrestre - attrazione
terrestre e peso ([4] n.17 pp.268–273). Equazione fondamentale della meccanica terrestre ([4] n.18 pp.273–274).
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DINAMICA DEI SISTEMI MATERIALI
(vedi anche [4] Cap.X)
4.1
Teoremi fondamentali sul moto di un sistema di punti materiali
Quantitá di moto, momento delle quantitá di moto ed Energia cinetica Moto relativo al
baricentro ([4] n.1 pp.293–294). Quantitá di moto - Momento delle quantitá di moto - Energia cinetica-Teorema
di Koenig ([4] n.2,3,4 pp.294–298).
Le equazioni cardinali della dinamica Il Principio di d’Alembert(+) ([1] pp.1.1–1.3). Le equazioni
cardinali della dinamica nella prima forma ([1] pp.1.4–1.5 oppure [4] n.5 pp.298–300). Teorema della quantitá di
moto - Teorema del moto del baricentro - Teorema di conservazione del moto del baricentro ([4] n.6 pp.300–303).
Teorema del momento delle quantitá di moto ([4] n.8,9,10,11 pp.303–304).
Teorema delle forze vive (vedi [4] n.6 pp.304–309). Teorema delle forze vive per un sistema materiale.
Teorema di conservazione dell’energia per un sistema materiale. Lavoro di una sollecitazione in uno spostamento
elementare rigido. Equazioni cardinali per i sistemi rigidi. Le equazioni cardinali della statica.
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4.2
4.2.1
GEOMETRIA DELLE MASSE
BARICENTRI
(Vedi anche [4] Parte II Cap.III)
Baricentro di un sistema materiale Punto materiale e sistemi di punti materiali. Sistemi continui.
Baricentro di un sistema di punti materiali ([4] n.4 pp.97–98). Baricentro di un sistema continuo (senza
dimostrazione [4] n.5 pp.99–101). Piani e rette diametrali - piani e rette di simmetria (geometrica e materiale)
(senza dimostrazioni [4] n.6 pp.101–102). Proprietá del baricentro (senza dimostrazioni [4] n.7 p.102). Baricentro
di un arco di circonferenza ([4] n.8 pp.103–104). Baricentro di un settore circolare(+) ([4] n.9 p.105–107).
4.2.2
MOMENTI D’INERZIA
(Vedi anche [4] Parte II Cap.IV)
Momenti d’inerzia di un sistema di punti materiali. Momento d’inerzia di un sistema continuo ([4] n.6 pp.126–
127)).
Modo di variare del momento d’inerzia al variare della retta Modo di variare del momento d’inerzia
rispetto a rette parallele - Teorema di Huyghens ([4] n.5 pp.123–125). Modo di variare del momento d’inerzia
rispetto a rette concorrenti ([4] n.6 pp.126–127). Ellissoide d’inerzia rispetto a un punto ([4] n.7 pp.128–130).
Alcune proprietá relative agli assi principali d’inerzia e alla struttura dei sistemi materiali ([4] n.8 pp.130–133).
Applicazioni Momenti centrali d’inerzia del rettangolo e del disco omogenei ([4] n.10–11 pp.134–137).
4.3
Il Tensore d’inerzia (*)
Definizione del tensore d’inerzia ([1] vol.IV, pp. IX.1.1–3.5). Componenti del tensore d’inerzia rispetto alla base
solidale (costanti d’inerzia). Modo di variare del tensore d’inerzia rispetto a rette concorrenti. Assi principali
d’inerzia - autovalori e autovettori del tensore d’inerzia (vedi anche [3] §3.1.7 pp.129–130). Ellissoide d’inerzia
come quadrica indicatrice del tensore d’inerzia(*).
4.4
DINAMICA DEI CORPI RIGIDI
(vedi anche [4] Cap.XIV) Momento delle quantitá di moto e forza viva per un corpo rigido con un punto fisso e
con un asse fisso. Il momento delle quantitá di moto di un giroscopio.
Corpo rigido con asse fisso privo di attrito Equazione del moto di un corpo rigido con asse fisso privo
di attrito ([4] n.3 pp.468–469). Pendolo composto(+). Cimenti dinamici(+). paragraphMoto di un corpo rigido
con un punto fisso privo di attrito Relazione tra gli angoli di Eulero e le componenti della velocitá angolare ([4] n.8
pp.478–480)). Equazione vettoriale di Eulero - Equazioni scalari del moto (Equazioni stereodinamiche di Eulero)
([1] pp.3.1–3.3). Moti per inerzia (alla Poinsot) - Rotazioni permanenti ([1] pp.4.1–4.4). Sollecitazione atta a far
compiere a un giroscopio una precessione regolare(+).
Il principio dell’effetto giroscopico ([1] pp.6.1–6.5).
L’equazione fondamentale per il moto di un
giroscopio. Caso di un giroscopio pesante. Il principio dell’effetto giroscopico. Fenomeni giroscopici elementari.
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Bibliografia
References
[1] ”Appunti dal corso di meccanica razionale”, Vol.I–IV, in distribuzione presso la Segreteria Didattica.
[2] G.CARICATO ”Fondamenti di meccanica newtoniana”, Cisu.
[3] M.FABRIZIO ”Elementi di Meccanica Razionale”, Zanichelli, Bologna.
[4] F.STOPPELLI ”Appunti di meccanica razionale”, Liguori.
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