unità 2 - Libro più web

008_risposte x WEB
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Pagina 1
1
SOLUZIONI COMMENTATE
AL 50% DEI TEST E DEI PROBLEMI
PROPOSTI AL TERMINE
DELLE UNITÀ
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2
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SOLUZIONI COMMENTATE
Web HELP
TEMA 1
16
UNITÀ 1
TEST
La risposta corretta è la d.
La risposta corretta è la b.
3 Il numero 7,238 ⋅ 107 è scritto con quattro cifre significative. Per scriverlo con due sole cifre occorre considerare se la
terza cifra è compresa fra 0 e 4 o fra 5 e 9. Nel primo caso si
arrotonda per difetto, nel secondo per eccesso. Quindi si avrà:
7,2 ⋅ 107.
4 1 nm = 10–9 m = 10–7 cm. La risposta corretta è la a.
5 La risposta corretta è la b.
6 La risposta corretta è la d.
7 Il numero di secondi corrispondenti a 1 mese di 30 d (d è il
simbolo dell’unità di tempo giorno) si calcola considerando:
1 d = 24 h
1 h = 3600 s
Si ha perciò:
1 mese = 30 d = 30 ⋅ 24 ⋅ 3600 s = 2,592 ⋅ 106 s
L’ordine di grandezza del numero ora ottenuto è espresso
dalla sua potenza 106 e quindi la risposta corretta è la a.
8 La risposta corretta è la d.
9 La risposta corretta è la d.
10 Quando si passa dalle dimensioni lineari a quelle volumiche si deve elevare alla terza potenza il valore che esprime le
dimensioni lineari. Dalle equivalenze:
1 m = 109 nm
1 m = 102 cm
1 m = 10–3 km
si ottiene quindi:
1 m3 = 1027 nm3
1 m3 = 106 cm3
1 m3 = 10–9 km3
La risposta corretta è la b.
11 Il volume di una sfera di raggio 1 m vale (4/3) π (1 m)3.
D’altra parte, il volume di un cubo di lato l è dato da l3.
Ponendo quindi:
l3 = (4/3) π (1 m)3
si ottiene:
1
2
l=
3
4
π(1 m )3 = 1 m
3
La risposta corretta è la a.
Poiché i lati del rettangolo sono espressi rispettivamente
con 3 e con 4 cifre significative, il loro prodotto deve essere
espresso con 3 cifre significative. Usando una calcolatrice a
10 cifre si ottiene:
5,38 cm ⋅ 12,84 cm = 69,0792 cm2
e quindi il risultato sarà 69,1 cm2. La risposta corretta è la c.
17 La risposta corretta è la b.
18 Le due lunghezze espresse in millimetri risultano:
252 mm e 2,45 mm e perciò la loro somma sarebbe pari a
254,45 mm. Poiché però il primo dei due valori è caratterizzato dalla precisione del millimetro, il risultato andrà troncato ai millimetri.
Tenendo conto che, dopo il numero 254, segue un 4, si dovrà
approssimare per difetto ottenendo così 254 mm. La risposta
corretta è la a.
19 La risposta corretta è la b.
20 La risposta corretta è la d.
21 Il volume V di una sfera di diametro d è espresso dalla
relazione:
15
3
4
π
3
La risposta corretta è la c.
12 La risposta corretta è la d.
13 La risposta corretta è la b.
14 La somma di due lunghezze o di due tempi fornisce ancora una lunghezza o un tempo; il rapporto fra una lunghezza
e un tempo definisce invece il valore di una grandezza derivata; la risposta corretta è quindi la b. Attenzione all’operazione indicata in d: essa non ha senso in quanto non si possono sommare due grandezze diverse.
V=
4 ⎛d⎞
π
3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
3
Operando con una calcolatrice a 10 cifre si ottiene:
3
V=
4 ⎛ 28, 0 mm ⎞
3
π
⎟⎠ = 11494, 04032 mm
3 ⎜⎝
2
Il risultato va però espresso con lo stesso numero di cifre
significative che caratterizzano la misura di d (3 cifre) e quindi:
V = 11500 mm3 = 1,15 ⋅ 104 mm3
La risposta corretta è la b.
22 La risposta corretta è la d.
23 La risposta corretta è la c.
24 Il numero 3,57 ⋅ 104 può essere riscritto modificando l’esponente della potenza in base 10 e spostando in modo
coerente la virgola. Tutti i numeri scritti di seguito sono quindi equivalenti:
………...
357 ⋅ 102
35,7 ⋅ 103
3,57 ⋅ 104
0,357 ⋅ 105
0,0357 ⋅ 106
…………
La risposta corretta è quindi la d.
25 La risposta corretta è la c.
26 Prima di eseguire la differenza devi esprimere i due numeri con la medesima potenza in base 10 e quindi:
7,0 ⋅ 105 – 7,0 ⋅ 106 = 0,70 ⋅ 106 – 7,0 ⋅ 106 = – 6,3 ⋅ 106
ovvero
7,0 ⋅ 105 – 7,0 ⋅ 106 = 7,0 ⋅ 105 – 70 ⋅ 105 = – 63 ⋅ 105 =
– 6,3 ⋅ 106
La riposta corretta è quindi la c.
P. Marazzini M.E. Bergamaschini L. Mazzoni Fenomeni, Leggi, Esperimenti ©2010 by Mondadori Education
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Tema 1 – Unità 1
La risposta corretta è la b.
Tutti i numeri coinvolti nell’operazione sono espressi con
una sola cifra significativa. Anche il risultato andrà quindi
espresso con una cifra significativa. Perciò:
27
28
(3 ⋅ 105 ) ⋅ (4 ⋅ 103 )
= 2 ⋅ 105+3− 4 = 2 ⋅ 104
(6 ⋅ 104 )
La risposta corretta è la a.
PROBLEMI
2 La situazione vista da un osservatore terrestre è schematizzata nella figura seguente (nella quale, però, per motivi
grafici, non è stato rispettato il rapporto reale fra la distanza
Terra-Sole e la distanza Terra-Luna).
C
A
O
dL
lTL
dS
B
lTS
D
e arrotondando a tre cifre significative:
A = (20,4 ± 0,1) cm2
13 Poiché 1 min = 60 s, si ha:
50 min = 50 ⋅ 60 s = 3,0 ⋅ 103 s
Nota che il risultato è espresso con due sole cifre significative
perché il valore del tempo, 50 min, è espresso con due sole
cifre significative. L’altro addendo, 3500 s, è espresso con
quattro cifre significative ma la precisione del risultato deve
corrispondere a quella dell’addendo meno preciso. Quindi:
3,0 ⋅ 103 s + 3,500 ⋅ 103 s = 6,5 ⋅ 103 s
14 7,5 m2 = 7,5 (103 mm)2 = 7,5 ⋅ 106 mm2
5 Mm2 = 5 (106 m)2 = 5 ⋅ 1012 m2
3 mm2 = 3 (10–6 km)2 = 3 ⋅ 10–12 km2
0,74 m2 = 0,74 (102 cm)2 = 7,4 ⋅ 103 cm2
2,2 μm2 = 2,2 (10–4 cm)2 = 2,2 ⋅ 10–8 cm2
0,6 Gm2 = 0,6 (106 km)2 = 6 ⋅ 1011 km2
3,3 dm2 = 3,3 (10–7 Mm)2 = 3,3 ⋅ 10–14 Mm2
2 Gm3 = 2 (1011 cm)3 = 2 ⋅ 1033 cm3
7,8 m3 = 7,8 (1012 pm)3 = 7,8 ⋅ 1036 pm3
2,7 nm3 = 2,7 (10–6 mm)3 = 2,7 ⋅ 10–18 mm3
0,83 mm3 = 0,83 (10–9 Mm)3 = 8,3 ⋅ 10–28 Mm3
9,2 km3 = 9,2 (103 m)3 = 9,2 ⋅ 109 m3
0,5 mm3 = 0,5 (103 μm)3 = 5 ⋅ 108 μm3
6,3 dm3 = 6,3 (10–4 km)3 = 6,3 ⋅ 10–12 km3
15
In base alla similitudine dei triangoli OAB, OCD si può porre:
dS : dL = lTS : lTL
Da questa:
R=
3
SOLUZIONI COMMENTATE
008_risposte x WEB
d S lTS 1, 50 ⋅ 108 km
=
=
= 395
d L lTL 3, 80 ⋅ 105 km
3,75 ⋅ 103 m = 3,75 ⋅ 103 (103 mm) = 3,75 ⋅ 106 mm
2,8 ⋅ 10–4 km = 2,8 ⋅ 10–4 (103 m) = 2,8 ⋅ 10–1 m
2 m = 2 (106 μm) = 2 ⋅ 106 μm
4,7 dm = 4,7 (10–4 km) = 4,7 ⋅ 10–4 km
5 μm = 5 (10–6 m) = 5 ⋅ 10–6 m
7,4 mm = 7,4 (10–6 km) = 7,4 ⋅ 10–6 km
5
3,6 h = 3,6 (3,6 ⋅ 103 s) = 1,3 ⋅ 104 s
Essendo:
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 60 ⋅ 60 s = 3,6 ⋅ 103 s
1 d = 24 h = 24 ⋅ 3,6 ⋅ 103 s = 8,64 ⋅ 104 s
si ottiene:
2 d = 2 ⋅ 8,64 ⋅ 104 s = 1,728 ⋅ 105 s
4 h = 4 ⋅ 3,6 ⋅ 103 s = 1,44 ⋅ 104 s
30 min = 30 ⋅ 60 s = 1,8 ⋅ 103 s
e quindi
1,728 ⋅ 105 s + 1,44 ⋅ 104 s + 1,8 ⋅ 103 s = 172,8 ⋅ 103 s + 14,4
⋅ 103 s + 1,8 ⋅ 103 s = 189 ⋅ 103 s = 1,89 ⋅ 105 s
7
L’area A della lamina si ottiene moltiplicando la sua lunghezza per la sua larghezza. Poiché il valore di questi parametri è espresso con tre cifre significative, anche il valore dell’area andrà espresso con tre cifre significative. Usando una
calcolatrice a dieci cifre si ottiene:
A = 2,15 cm ⋅ 9,51 cm = 20,4465 cm2
20 Il volume totale delle quattro sferette è dato dalla differenza fra il volume indicato dal livello superiore dell’acqua
dopo l’introduzione delle quattro sferette 25,3 cm3 e il volume indicato dal livello superiore dell’acqua prima dell’introduzione delle quattro sferette 20,0 cm3.
Perciò:
ΔV = 25,3 cm3 – 20,0 cm3 = 5,3 cm3
Da questa si ottiene:
V=
5, 3 cm3
= 1, 3 cm3
4
Per il calcolo del raggio R di ciascuna sferetta devi applicare
la relazione:
V=
4
π R3
3
dalla quale:
R=
3
3V 3 3 ⋅ 1, 3 cm3
=
= 0, 68 cm
4π
4π
11
23 Il volume V di una sfera di raggio R si calcola con la relazione:
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SOLUZIONI COMMENTATE
Web HELP
V=
Poiché R è espresso con tre cifre significative, anche V andrà
espresso con tre cifre significative, quindi:
V=
4
π(5, 00 cm )3 = 524 cm3
3
Il triangolo di vertici ABP è rettangolo in A e l’ipotenusa
PB forma con il cateto AB, base della triangolazione, un
angolo di 60,0° (osserva la figura seguente).
25
P
90°
60°
B
A
Poiché la distanza d di P dalla base è misurata dal cateto AP,
si ha:
2
2
d = AP = PB − AB
––
––
Essendo però AB = (1/2) PB, si ha infine:
AP =
Se l’orologio va avanti è difettoso e questo comporta errori sistematici in ogni misura che si effettua mediante esso; a
questo tipo di errori si sovrappongono però anche errori accidentali di vario tipo. La risposta corretta è la c.
3 La risposta corretta è la c.
4 La risposta corretta è la b.
5 Le vibrazioni del tavolo sul quale si sta eseguendo una
misura sono casuali e potranno eventualmente determinare
il prodursi di errori accidentali; la a è quindi errata.
Ogni misura è caratterizzata da incertezza e non può mai
esprimere il valore “vero” della grandezza misurata; c e d
sono quindi errate.
La b è corretta, perché una elevata temperatura dilaterà la
riga metallica e questa sottovaluterà perciò i valori di tutte le
misure effettuate in quelle condizioni.
6 La risposta corretta è la c.
7 Quando la misura di una grandezza si ottiene mediante
una serie di misurazioni, l’incertezza assoluta corrisponde al
maggiore fra il valore della sensibilità dello strumento con
cui sono state eseguite le misurazioni e la semidispersione
della serie; in questo caso, quindi, l’incertezza assoluta vale
0,05 mm e la risposta corretta è la a.
8 la risposta corretta è la a.
9 La semidispersione, arrotondata a una sola cifra significativa, vale 0,2 mm ed è quindi maggiore della sensibilità
dello strumento. Il suo valore verrà quindi assunto come
espressione dell’incertezza della misura e imporrà l’arrotondamento del valore che esprime la media alla prima cifra
decimale (media = 25,4 mm).
Il risultato della misura sarà quindi dato da: (25,4 ± 0,2)
mm. La risposta corretta è la a.
10 La risposta corretta è la b.
2
4
π R3
3
( 2AB )
2
2
− AB = 3 AB = 3 ⋅ 10, 0 m = 17, 3 m
382000 = 3,82 ⋅ 105
28300000 = 2,83 ⋅ 107
0,024 = 2,4 ⋅ 10–2
0,0000732 = 7,32 ⋅ 10–5
29
UNITÀ 2
TEST
1 Normalmente, la misura della lunghezza di un tavolo si
esegue per confronto con un campione di lunghezza ed è
quindi una misura diretta.
La misura dell’area si determina applicando una operazione
matematica ai valori dei lati del campo, valori ottenuti con
metodo diretto mediante la fettuccia centimetrata. Si tratta
perciò di una misura indiretta.
L’orologio è uno strumento tarato e quindi la misura di un
intervallo di tempo eseguita con il suo ausilio non è di tipo
indiretto.
In conclusione, delle tre affermazioni, è vera solo la 1) e quindi la risposta corretta è la a.
PROBLEMI
4 ll valore medio della serie di misure si ottiene sommando
i valori delle 10 misure e dividendo il risultato ottenuto per
10. Con la calcolatrice si ottiene:
media = 22,28 cm
La semidispersione vale invece:
22, 5 cm − 22, 1 cm
= 0, 2 cm
2
Il valore ora ottenuto è maggiore della sensibilità dello strumento utilizzato per la misura e quindi verrà assunto come
espressione dell’incertezza assoluta.
Il risultato della misura sarà quindi:
(22,3 ± 0,2 cm)
e l’incertezza relativa espressa con una sola cifra significativa:
0, 2 cm
= 0, 009
22, 3 cm
7 L’identità dell’incertezza relativa delle due misure consente di scrivere la seguente uguaglianza:
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Tema 1 – Unità 3
Δa1 Δa2
=
a M1 a M2
da questa si ottiene
a
Δa2 = M2 Δa1
a M1
In base ai dati del problema:
Δa1 = 0,5 kg; aM1 = 258,2 kg; aM2 = 2580 m
sostituendo i valori numerici si ottiene Δa2 = 5 m
10 Il valore dell’area A della lamina si ottiene moltiplicando
tra loro lunghezza e larghezza della lamina. Con una calcolatrice a 10 cifre si ottiene:
A = 2,15 cm ⋅ 9,51 cm = 20,4465 cm2
Per determinare l’incertezza assoluta ΔA dell’area devi applicare la relazione:
⎛ 0, 01 cm 0, 03 cm ⎞
ΔA = 20, 4465 cm 2 ⎜
+
= 0, 1596 cm 2
⎝ 2, 15 cm 9, 51 cm ⎟⎠
Arrotondando a una sola cifra significativa:
ΔA = 0,2 cm2
e quindi: A = (20,4 ± 0,2) cm2
UNITÀ 3
TEST
La risposta corretta è la d.
La risposta corretta è la c.
3 Considerando che la relazione fra la forza F applicata alla
molla e il suo allungamento Δl è:
F = k Δl
con k costante elastica della molla, possiamo scrivere:
15 gp = k ⋅ 2,5 cm
[a]
(15 gp + 30 gp) = k ⋅ x
[b]
ove x indica l’allungamento prodotto dal peso totale di 45 gp.
Dividendo [a] per [b] si ottiene:
x = 7,5 cm
La lunghezza totale della molla vale quindi:
20 cm + 7,5 cm = 27,5 cm
La risposta corretta è la d.
4 Il grafico indica che una forza di 10 N allunga la molla di
20 cm. In base alla relazione:
F = k Δl
si ottiene allora:
1
2
k=
10 N
10 N
F
=
=
= 50 N / m
Δl 20 cm 0, 20 m
La risposta corretta è la b.
5 La risposta corretta è la c.
6 Ricorda che:
1,00 kgp = 9,81 N
1,00 N = 0,102 kgp
Quindi:
2,50 N = 2,50 ⋅ 0,102 kgp = 0,255 kgp
La risposta corretta è la a.
7 La risposta corretta è la d.
8 Forza e spostamento sono grandezze di tipo diverso (si
dice anche, non omogenee) e perciò le loro intensità non
sono confrontabili, come non sono confrontabili i valori di
una lunghezza e di una superficie o i valori di una lunghezza
e di un tempo. La risposta corretta è la d.
9 La risposta corretta è la c.
10 La risposta corretta è la a.
11 Dato che un segmento lungo 7 mm rappresenta la forza di
50 N, la forza di 200 N sarà rappresentata da un segmento
lungo 28 m. Questo esclude le risposta b). Poiché, inoltre, la
direzione della forza è perpendicolare a una parete verticale,
essa dovrà essere orizzontale e ciò esclude la risposta d). In
base al testo, infine, si sa che la forza è orientata da sinistra a
destra e quindi la risposta corretta è la c.
12 La risposta corretta è la d.
13 La risposta corretta è la a.
14 La risposta corretta è la b.
15 I quattro grafici rappresentano le relazioni seguenti:
1) A = k B con k = 1
2) A = k B + h con k = 1 e h = 1
3) A = k B con k = 1
4) A = k B con k = 2
La coppia corretta è quindi quella costituita dai grafici 1 e 3,
anche se la pendenza della retta che rappresenta la dipendenza fra A e B è graficamente diversa a causa della diversa
scala assunta per i valori di A. La risposta corretta è la c.
16 La risposta corretta è la c.
17 Dalla relazione A = k B2 si ha:
B=
5
SOLUZIONI COMMENTATE
008_risposte x WEB
A
k
D’altra parte, per avere A’ = 4 A si deve assegnare a B un
valore B' calcolabile con la relazione:
4 A = k B'2
da questa:
B′ =
A
4A
=2
= 2B
k
k
La risposta corretta è la c.
18 La risposta corretta è la c.
19 I valori dello spazio percorso e del tempo impiegato a percorrerlo consentono di trovare il valore della costante k:
k = s/t2 = 40 cm/(2 s)2 = 10 cm/s2
Si ha perciò: s = 10 cm/s2 (6 s)2 = 360 cm
La risposta corretta è quindi la c.
20 La risposta corretta è la c.
21 Rilevando sul grafico, entro l’incertezza della misura, le
coppie di valori di p (pressione) e V (volume), puoi giungere
alla seguente tabella:
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SOLUZIONI COMMENTATE
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p (⋅ 105 Pa)
V (m3)
p V (⋅ 105 Pa m3)
10
0,10
8,0
0,12
6,0
0,16
4,0
0,26
2,0
0,50
1,0
1,0
Il valore approssimativo del prodotto
1,0 ⋅ 105 Pa m3; la risposta corretta è la b.
1,0
0,96
0,96
1,0
1,0
1,0
p V è dunque
V (dm3)
1000
800
600
400
PROBLEMI
In base alla relazione F/Δl = k e ai dati forniti dal testo del
Problema, la costante elastica k risulta espressa dalla relazione k = P/(6 cm). Per la seconda molla si può perciò porre
k' = 3 k = P/(2 cm). L’allungamento Δl prodotto dal corpo di
peso P quando viene appeso alla seconda molla vale allora:
4
P
Δl ′ =
= 2cm
P/(2cm)
La lunghezza
totale delle due molle sotto l’azione della
forza peso P è data da:
lA,tot = lA + ΔlA = 40 cm + ΔlA
lB,tot = lB + ΔlB = 50 cm + ΔlB
I valori degli allungamenti ΔlA e ΔlB si calcolano a partire
dalla relazione
F = k Δl
che, per le due molle, si scrive nel modo seguente:
P = kA ΔlA
P = kB ΔlB
Tenendo allora conto del fatto che le lunghezze totali delle
molle devono essere uguali, si può porre:
7
40 cm +
P
P
= 50 cm +
kA
kB
A
200
t (min)
10
20
30
40
50
Per rispondere alla seconda domanda, traccia dal punto di
ordinata 200 dm3 una parallela all’asse dei tempi fino a intersecare in A la semiretta che esprime la dipendenza (V, t). Da A
traccia poi una perpendicolare all’asse dei tempi e rileva il valore dell’ascissa: t = 40 min. Questo stesso valore può essere
determinato ponendo nella relazione [a]: V = 200 dm3, V0 =
1000 dm3, k = 20 dm3/min. Si ottiene allora:
200 dm3 = 1000 dm3 – 20 dm3/min ⋅ t
Da questa si ottiene: t = 40 min
16 Il 20% di 100 euro equivale a 20 euro e quindi, dopo il
primo mese, Lorenzo possiede 120 euro.
Il 20% di 120 euro equivale a: 120 euro ⋅ 0,20 = 24 euro
Dopo il secondo mese Lorenzo possiede quindi 144 euro.
Procedendo in modo analogo puoi stabilire che:
dopo il terzo mese Lorenzo possiede 173 euro;
dopo il quarto mese Lorenzo possiede 208 euro;
dopo il quinto mese Lorenzo possiede 250 euro.
I punti corrispondenti alle 5 coppie di valori sono riportati
nel grafico S (somma totale), M (numero mesi) seguente:
ovvero, usando le unità del S.I.:
S
P
P
40 cm +
= 0,50 m +
200N/m
300N/m
250
Da questa si ottiene P = 60 N
Se indichiamo con V0 il volume di acqua presente inizialmente nella vasca e con k il volume di acqua che defluisce
dalla vasca in 1 min, il volume V di acqua presente nella
vasca dopo t minuti è dato da:
V = V0 – k t
[a]
con k = 20 dm3/min.
Questa equazione è rappresentata in un grafico V, t dalla
semiretta che compare nella figura seguente.
14
200
150
100
50
M
1
P. Marazzini M.E. Bergamaschini L. Mazzoni Fenomeni, Leggi, Esperimenti ©2010 by Mondadori Education
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3
4
5
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Tema 1 – Unità 4
x
0
1
2
3
4
5
y
100
120
144
173
208
250
con P espresso in newton e g pari a 9,81 N/kg.
Poiché 5,5 kgp = 5,5 ⋅ 9,81 N/kg = 54 N
si ha:
Come puoi constatare, i punti non sono allineati su una retta e
da ciò consegue che la dipendenza (S, M) non è di tipo lineare.
19 Il volume V di un cilindro di altezza h e diametro di base
D è espresso dalla relazione:
54 N
= 5, 5 kg
9, 81 N/kg
m=
Riscrivendo questa relazione nella forma:
La risposta corretta è la c.
8 La risposta corretta è la b.
9 Tenendo presente che:
1 m3 = 103 dm3
si ha:
⎛ πh⎞ 2
V=⎜
D = k D2
⎝ 4 ⎟⎠
5000
2
⎛ D⎞
V = π⎜ ⎟ h
⎝ 2⎠
puoi constatare che l’altezza h dei cilindri può essere determinata a partire dal valore della costante k che correla V a D2.
Questa costante, a sua volta, si può determinare sulla base
del grafico utilizzando le coppie di valori corrispondenti a
qualche punto appartenente alla curva in colore. Ad esempio, per il punto di ascissa D = 1,0 m si trova V = 8,0 m3 e
quindi:
k=
8, 0 m3
V
=
= 8, 0 m
2
(1,0 m)2
D
h=
4k 4 ⋅ 8, 0 m
=
= 10 m
π
π
La risposta corretta è la b.
6 La risposta corretta è la b.
7 Dalla relazione:
P=mg
si ottiene
P
m=
g
11
Applicando la relazione d =
m
v
si ottiene:
2 kg
m
=
= 2 ⋅ 10 −3 m3
δ 1000 kg/m3
V=
δC
mC
mC g
P
=
=
= C = γr = 6
δ H O mH O mH O g PH O
2
2
2
2
Poiché
La risposta corretta è la c.
2 5 kg = 5 ⋅ 103 g
3,8 μg = 3,8 ⋅ 10–9 kg
25 Mg = 25 ⋅ 10–3 Gg = 0,25 ⋅ 10–1 Gg
2,7 Mg = 2,7 ⋅ 103 kg
La risposta corretta è quindi la d.
3 La risposta corretta è la b.
4 La risposta corretta è la d.
5 la relazione tra il peso P e la massa m di un corpo è data
da:
P=mg
Da questa
P
30 N
=
= 3, 0 kg
g 10 N/kg
La risposta corretta è la d.
10 La risposta corretta è la a.
δr =
TEST
m=
kg 5000 kg
=
= 5 kg/dm3
m3 103 dm3
Tenendo poi conto che 10–3 m3 = 1 dm3, si ha infine V =
2 dm3. La risposta corretta è quindi la d.
12 La risposta corretta è la c.
13 La densità relativa e il peso specifico relativo di uno stesso corpo sono espressi dallo stesso numero in quanto:
UNITÀ 4
1
7
SOLUZIONI COMMENTATE
008_risposte x WEB
γr =
γC
γH O
2
si ricava
γC = γr γH O
2
da cui
γC = 6 ⋅ 10000 N/m3 = 60000 N/m3
La risposta corretta è quindi la d.
14 La risposta corretta è la c.
PROBLEMI
5 kg = 5 (106 mg) = 5 ⋅ 106 mg
3,2 ng = 3,2 (10–9 g) = 3,2 ⋅ 10–9 g
8,3 Mg = 8,3 (10–12 μg) = 8,3 ⋅ 1012 μg
6,2 μg = 6,2 (10–9 kg) = 6,2 ⋅ 10–9 kg
3 ng = 3 (10–6 mg) = 3 ⋅ 10–6 mg
2,5 pg = 2,5 (10–21 Gg) = 2,5 ⋅ 10–21 Gg
4 Dalla relazione P = m g si ottiene:
1
g=
P
m
Applicando il metodo delle cifre significative si ha:
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8
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Pagina 8
SOLUZIONI COMMENTATE
Web HELP
g=
125, 0 N
= 6, 250 N/kg
20, 00 kg
e quindi g = (6,250 ± 0,001) N/kg
Applicando il metodo della propagazione delle incertezze si
ha:
Δg =
0, 01 kg ⎞
P ⎛ ΔP Δm ⎞ 125, 0 N ⎛ 0, 1 N
+
=
+
=
m ⎜⎝ P
m ⎟⎠ 20, 00 kg ⎝⎜ 125,0 N 20, 00 kg ⎠⎟
⎞
⎟⎠ = 0, 008125 N/kg
Arrotondando a una sola cifra significativa:
Δg = 0,008 N/kg
Si ha perciò: g = (6,250 ± 0,008) N/kg
6 L’ipotesi implicita del testo del Problema è che il sollevatore sviluppi la stessa forza F sia sulla Terra che sul pianeta.
In base alla relazione P = m g si può allora scrivere:
F = PTerra = m gTerra
e
F = Ppianeta = M gpianeta
Poiché gpianeta = 0,5 gTerra, ne deriva che la massa M del bilanciere che viene sollevato con l’identica forza F sul pianeta
avrà un valore pari a 2 m.
Quindi: M = 2 m = 260 kg.
8 Quando la bilancia è in equilibrio, le masse situate sui
suoi due piatti devono essere identiche. indicate quindi con
MC e MS le masse del cubo e della sfera, si deve avere:
MC = MS + M
[a]
D’altra parte, ricordando che, in generale:
massa = densità assoluta ⋅ volume
si ha:
MC = 4,00 kg/dm3 ⋅ (1,00 dm)3 = 4,00 kg
⎛ 4 ⎛ 1, 00 dm ⎞ 3 ⎞
M S = 4, 00 kg/dm3 ⎜ π ⎜
⎟⎠ ⎟⎟ = 2, 09 kg
⎜⎝ 3 ⎝
2
⎠
Quindi, dalla [a], si ottiene:
M = MC – MS = 4,00 kg – 2,09 kg = 1,91 kg
11 In base alla relazione:
δ=
m
V
si può porre:
V=
m
δ
[a]
La densità assoluta del corpo è data dal testo del Problema;
per determinare la massa, tieni presente che:
P=mg
dalla quale:
P
m=
g
100 N
P
=
= 1, 02 ⋅ 10−3 m3
δg 1, 00 ⋅ 104 kg/m3 ⋅ 9, 81 N/kg
V=
[b]
13
In base alla definizione di densità assoluta:
δ=
m
V
per risolvere il Problema devi dividere la massa per il volume.
Il risultato andrà poi espresso con due sole cifre significative,
perché questo è il numero di cifre significative più basso con
il quale sono espressi i valori di massa e volume. Quindi, con
una calcolatrice a 10 cifre:
δ=
m 75, 227 g
=
= 2, 149342857 g/cm3
V
35 cm3
e in definitiva:
δ = (2,1 ± 0,1) g/cm3
17 A partire dalla relazione δ = M/V possiamo scrivere:
M = V δ. Per determinare M è quindi necessario conoscere il
valore di V.
Poiché il volume di una colonna è dato dal prodotto della
area di base per la sua altezza, porremo:
2
2
⎛d⎞
⎛ 1,07 m ⎞
V=π ⎜ ⎟ h=π ⎜
⋅ 10,25 m = 9,216824162 m3
⎝ 2⎠
⎝ 2 ⎠⎟
Tenendo conto che d è espresso con tre cifre significative
e h con quattro, mentre π è stato espresso con le 10 cifre
significative fornite dalla calcolatrice utilizzata per eseguire l’operazione, esprimeremo il risultato con tre cifre
significative, approssimando la terza cifra per eccesso in
quanto la quarta è un 6.
Si ottiene perciò:V = 9,22 m3
La massa M sarà quindi data da:
9,22 m3 ⋅ 2580 kg/m3 = 23787,6 kg/m3
Poiché il volume è espresso con tre cifre significative e la
massa con quattro, esprimeremo il risultato con tre cifre
significative, approssimando la terza per eccesso in quanto la
quarta è un 8. Si ottiene perciò:
M = (23800 ± 100) kg = (2,38 ± 0,01) ⋅ 104 kg/m3
19 In base alla serie di uguaglianze:
γr =
PC
mC g
mC
=
=
= δr
PH O mH O g mH O
2
2
2
la densità relativa vale 5.
Per calcolare la densità assoluta tieni presente che:
δr =
δC
δH O
2
Da questa
δC = δr δH O = 5 ⋅ 1000 kg/m3 = 5 ⋅ 103 kg/m3
2
Sostituendo la [b] nella [a] si ottiene:
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Tema 2 – Unità 1
TEMA 2
9
Poiché i due triangoli ABC e ACD sono equilateri, l’intensità di
v è uguale all’intensità di v1 e v2. La risposta corretta è la c.
UNITÀ 1
D
C
TEST
v
La risposta corretta è la a.
La direzione
e il verso delle due forze F 1 e F 2 e del loro
risultante F sono indicati nella figura seguente.
1
v2
y
60°
v1
B
A
F1
x
La risposta corretta è la b.
Il componente di un vettore secondo una certa direzione
è rappresentato dalla proiezione del vettore sulla direzione
stessa. Nel caso
proposto dal Test il componente del vettore F
è il vettore F '. Tenendo conto che F ' èuno dei due cateti del
triangolo isoscele ABC di cui il vettore F è l’ipotenusa, si ottiene: intensità di F′ = 7,07 N.
La risposta corretta è quindi la d.
6
7
F2
F
SOLUZIONI COMMENTATE
2
C
L’intensità di F si ottiene applicando il teorema di Pitagora:
45°
F = F12 + F22 = (50 N)2 + (70 N)2 = 86 N
3 La risposta corretta è la c.
La risposta corretta è la b.
4 Le tre forze applicate all’anellino sono rappresentabili
come indicato dalla figura seguente.
a
30°
b
A
15°
b
90°
B
a
La risposta corretta è la a.
In questo caso la forza di attrito massima è espressa dalla
relazione:
FA = k P
essendo P = m g.
Quindi:
FA = k m g = 0,4 ⋅ 2 kg ⋅ 9,81 N/kg ⋅ = 8 N
La risposta corretta è la d.
10 La risposta corretta è la c.
11 La forza F ha verso opposto al peso della valigia e quindi:
1
la forza di attrito massima F A ha intensità:
FA = kS (P – F1) = 0,50 (200 N – 80 N) = 60 N
La risposta corretta è la d.
8
9
F
F1
120°
F2
F3
PROBLEMI
La somma vettoriale di F 1 e F 2 è la forza F la cui direzione
coincide conquella
della bisettrice dell’angolo definito dalle
direzioni di F 1 e F 2 e la cui intensità, uguale a F1 e F2, vale
20 N. Tale dovrà essere l’intensità della forza equilibrante F 3.
La risposta corretta è la c.
5 Il vettore somma, disegnato nella figura seguente, corri
sponde alla diagonale del parallelogramma di lati v1 e v2.
4 Indicata con F e F la somma delle componenti secondo
x
y
la direzione orizzontale e verticale dei tre vettori si ottiene:
Fx = 10,0 N + 0 – 7,07 N = 2,9 N
Fy = 0 + 10,0 N + 7,07 N = 17,1 N Poiché l’intensità del vettore risultante F dei tre vettori è data da:
Fx2 + Fy2 ,
si ottiene
F = (2, 9 N)2 + (17, 1 N)2 = 17, 3 N.
P. Marazzini M.E. Bergamaschini L. Mazzoni Fenomeni, Leggi, Esperimenti ©2010 by Mondadori Education
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SOLUZIONI COMMENTATE
Web HELP
6 Rappresenta anzitutto in scala le tre forze in un sistema di
assi cartesiani come indicato dalla figura seguente:
F1y
F1
60°
F2
F2y
30°
F1x
F2x
ca che il peso della cassa e del contenuto è dato da:
F'
80 N
Ptot = A max =
= 200 N
0, 40 N
kS
Il peso del contenuto della cassa vale quindi:
PC = 200 N – 60 N = 140 N
12 La lastra non cade se il suo peso viene equilibrato dalla
forza di attrito che si sviluppa fra la lastra e la parete. Questa
forza è prodotta dalla forza F la cui intensità minima si calcola quindi con la relazione:
FA = kS Fmin = P
Si ottiene:
Fmin =
F3
P 100 N
=
= 170 N
0, 60
ks
UNITÀ 2
F3y
TEST
La risposta corretta è la d.
La condizione di equilibrio per la rotazione dell’asta si traduce, in questo caso, nell’uguaglianza dei momenti dei pesi di
C1 e C2:
20 N ⋅ 30 cm = P2 ⋅ 20 cm
Da questa: P2 = 30 N
La risposta corretta è la b.
3 La risposta corretta è la b.
4 La risposta corretta è la d.
5 Il momento della forza F ha valore massimo quando è
massimo il braccio della forza. Nei casi A e B il braccio di F
rispetto al punto O è nullo, nei casi C e D vale rispettivamente (figure seguenti):
––
––
bC = OB ( 3 /2) = 0,866 OB
––
––
bD = OB (1/ 2 ) = 0,707 OB
1
Affinché la somma vettoriale delle tre forze sia nulla, è necessario che si annullino le somme vettoriali dei componenti
delle tre forze determinati rispetto alle direzioni degli assi x e
y; si ha perciò:
F1x = F2x
F1y + F2y = F3y
Tenendo conto delle relazioni che legano fra loro i cateti e l’ipotenusa dei triangoli rettangoli di angoli acuti 30° e 60°, le
due relazioni precedenti si traducono nelle seguenti:
F1
3
F
=
2
2 2
F
3
F1 + 2 = F3
2
2
Risolvendo il sistema di equazioni [a] e [b] si ottiene:
F1 =
[a]
[b]
2
B
1, 5
F
3 3
60°
F
F2 = 3
2
e quindi, essendo F3 = 10 N:
F1 = 8,66 N
F2 = 5,00 N
9 La forza orizzontale di intensità 24 N con la quale si riesce
a spostare la cassa vuota può essere assunta come misura
della forza di attrito massima che si sviluppa tra il fondo della
cassa e il suo piano di appoggio. A partire da questa considerazione e applicando la relazione: FAmax = k P si ottiene perciò il coefficiente di attrito k:
F
24 N
k = A max =
= 0, 40
P
60 N
Se, dopo il riempimento della cassa, è necessario applicare
una forza orizzontale di intensità 80 N per spostarla, signifi-
O
30° b
C
F
A
F
bD
45°
A
O
45°
B
La risposta corretta è la c.
6 La risposta corretta è la c.
7 Il momento di una forza è dato dal prodotto dell’intensità
della forza per il suo braccio. Nel caso in esame il braccio della
forza applicata nei diversi punti dell’asta secondo la direzione
P. Marazzini M.E. Bergamaschini L. Mazzoni Fenomeni, Leggi, Esperimenti ©2010 by Mondadori Education
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Pagina 11
Tema 2 – Unità 3
orizzontale è dato dalla altezza h del punto di applicazione
della forza rispetto alla base dell’asta. Quindi il momento M
della forza è direttamente proporzionale ad h e, conseguentemente, il grafico che meglio rappresenta la dipendenza (M, h)
è dato dalla figura c).
8 La risposta corretta è la c.
9 Il peso dell’asta si deve considerare applicato nel suo cen
tro geometrico, mentre il peso P del carico C è applicato nel
suo estremo destro e ha direzione perpendicolare a quella dell’asta.
Rispetto all’estremo sinistro dell’asta, che costituisce l’asse
della sua possibile rotazione, il braccio del peso dell’asta vale
l/2 (con l = lunghezza dell’asta) e il braccio del peso del carico C vale l. Quindi, all’equilibrio:
l
2 N ⋅ ——– = P l
2
Da questa, P = 1 N
La risposta corretta è la a.
10 La risposta corretta è la c.
PROBLEMI
2 La figura che segue mette in evidenza che il braccio della
forza F è dato dal segmento OA il quale, in base alle relazioni
numeriche che legano i cateti e l’ipotenusa di un triangolo
rettangolo di angoli acuti 30° e 60°, misura:
OP
OA =
= 15cm = 0,15 m
2
Il momento della forza F vale perciò: 0,15 m ⋅ 50 N = 7,5 N m
A
30°
O
Il valore del momento M1 della forza P1 applicata a sinistra dell’asse di rotazione vale 40 N⋅ 20 cm = 800 N cm. Il
valore del momento M2 della forza P2 applicata a destra dell’asse di rotazione vale 20 N ⋅ 20 cm = 400 N cm. L’asta tenderà quindi a ruotare in senso antiorario. Per mantenerla
in
equilibrio con un carico appeso all’asta di peso P3 pari a 10 N
(orientato verso il basso) questo va applicato a destra dell’asse di rotazione, a una distanza tale da creare un momento M3
che, sommato a M2, dia il valore di M1. Quindi:
M3 = 800 N cm – 400 N cm = 400 N cm
Ne consegue che il braccio della forza P3 vale:
400 N cm
= 40 cm
10 N
UNITÀ 3
TEST
1 Tieni presente che la pressione in ogni punto del liquido è
identica; conseguentemente:
pA = pB
Essendo però pA = FA/SA e pB = FB/SB si ottiene:
Da questa si ha:
S
4 SB
FA = FB A = 10 N
= 40 N
SB
SB
60°
5
7
FA FB
=
S A SB
P
90°
La forza F 2 ha un componente perpendicolare all’asta la
cui intensità, in base alle relazioni numeriche che legano i
cateti e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo di angoli acuti
30° e 60°, misura 250 N/2 = 125 N. Il momento associato a
tale componente vale quindi:
M2 = 125 N ⋅ 1,20 m = 150 N m.
Questo momento è responsabile di una rotazione oraria dell’asta; ad esso
si contrappone però l’effetto del momento M1
della forza F 1 che, in base alla figura e ai valori del testo del
Problema, vale: 200
N ⋅ 0,40 m = 80 N m.
Dunque la forza F 3 dovrà essere orientata verso l’alto in
modo che il suo momento M3 sia anch’esso antiorario.
L’intensità di questo momento vale quindi:
M3 = M2 – M1 = 150 N m – 80 N m = 70 N m
Tenendo presente che M3 = F3 d e che d = 70 cm = 0,70 m, si
deduce che F3 = 100 N.
10 Il momento della forza applicata alla pinza deve essere
maggiore o uguale al momento della forza di attrito che si sviluppa fra la superficie esterna del cilindroe il blocco di legno.
Tenendo conto che il braccio della forza F vale 20 cm, mentre quello della forza di attrito vale 1,0 cm, si può scrivere:
80 N ⋅ 20 cm ≥ FA ⋅ 1,0 cm
Da questa si ottiene: FA ≤ 1600 N.
11
SOLUZIONI COMMENTATE
008_risposte x WEB
La risposta corretta è quindi la d.
2 La risposta corretta è la b.
3 La relazione p = δ g h non contiene alcun riferimento né
alla forma del recipiente che contiene il liquido né alla quantità di liquido in esso contenuta. Poiché h e g sono identici nei
tre casi, sarà solo il valore della densità a determinare il maggiore o minore valore della pressione. La risposta corretta è
quindi la c.
4 La risposta corretta è la d.
5 La pressione del mercurio contenuto nel tubo torricelliano è controbilanciata dall’atmosfera in cui l’esperimento
viene eseguito. Si tenga poi conto che in prossimità della
superficie del mare l’altezza della colonna di mercurio vale
circa 76 cm, quindi la a è errata e, a maggior ragione, è errata la b in quanto il Mar Morto si trova sotto il livello degli
oceani di qualche centinaio di metri e quindi sulla sua super-
P. Marazzini M.E. Bergamaschini L. Mazzoni Fenomeni, Leggi, Esperimenti ©2010 by Mondadori Education
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12
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Web HELP
Pagina 12
SOLUZIONI COMMENTATE
ficie la pressione atmosferica sarà un po’ più elevata di quella normale. Su una montagna piuttosto elevata la pressione
atmosferica risulta invece decisamente più bassa e quindi la c
è corretta. La d risulta errata, perché effettivamente al Polo,
a causa della bassa temperatura, si produce una contrazione
della colonna di mercurio ma la sua entità, per una colonna
alta circa 1 m, è sicuramente inferiore a 1 mm.
6 I due dischi metallici creano una pressione sulla superficie dell’acqua sottostante che è espressa rispettivamente da:
pA = δ g h A
pB = δ g h B
In queste espressioni sono presenti i parametri δ (densità
assoluta del materiale con cui sono fatti i dischi) e g (9,81
N/kg) che sono identici e l’altezza hA e hB dei due dischi. Non
è invece presente la sezione dei dischi che, quindi, può essere
ignorata nella risposta al Test.
Poiché hB > hA, si ha pB > pA e quindi, all’equilibrio, SA e SB
non si trovano allo stesso livello ma il primo sarà un po’ più
in alto del secondo. La risposta corretta è la b.
7 La risposta corretta è la c
8 In condizioni di equilibrio la spinta archimedea agente
sulla sfera, espressa dalla relazione:
Da queste:
VIM1 δ1
=
δL
V
VIM2 δ2
=
δL
V
Dividendo membro a membro:
VIM2 / V δ2
=
VIM1 / V δ1
e quindi:
VIM2 VIM1 δ2
900 kg/m3
=
= 0,7
= 0, 9
V
V δ1
700 kg/m3
La risposta corretta è la c.
PROBLEMI
5 La disposizione dei livelli dei due liquidi all’equilibrio è
mostrata nella figura seguente.
δH O g VIM = 1000 kg/m3 ⋅ g VIM
2
deve eguagliare il peso della sfera:
4 cm
500 kg/m3 ⋅ g (VEM + VIM)
Porremo quindi:
20 cm
1000 kg/m3 ⋅ g VIM = 500 kg/m3 ⋅ g (VEM + VIM)
Da questa, con qualche passaggio:
S1
VIM = VEM
S2
ovvero:
VIM
=1
VEM
La risposta corretta è la c.
9 Quando il ghiaccio viene messo nell’acqua, esso sposta
un volume V di acqua che è un po’ più piccolo del volume del
ghiaccio ma, per il principio di Archimede, la massa del
ghiaccio deve essere uguale alla massa del volume V di
acqua. La successiva fusione del ghiaccio creerà perciò un
volume di acqua pari a quello V spostato inizialmente e quindi il livello dell’acqua non subirà variazioni. La risposta corretta è la d.
10 La risposta corretta è la d.
11 La risposta corretta è la a.
12 Indicati con V il volume delle due sfere, con V
IM1 e VIM2 il
volume delle due sfere immerso nel liquido, con δL la densità
assoluta del liquido, con δ1 e δ2 le densità assolute delle due
sfere, le condizioni di galleggiamento, che corrispondono
all’uguaglianza fra la spinta archimedea sulla sfera e il peso
della sfera, si traducono nelle due relazioni.
δL g VIM1 = δ1 g V
δL g VIM2 = δ2 g V
Tenendo conto che sulle sezioni S1 e S2 la pressione è identica, si può stabilire che deve valere la seguente uguaglianza:
δ g ⋅ 20 cm = 1000 kg/m3 ⋅ g ⋅ 24 cm
Da questa si ottiene: δ = 1200 kg/m3
9 Il peso P del corpo in aria è indicato dal dinamometro e
vale quindi 100,0 N. Se con mC e V si indicano rispettivamente la massa e il volume del corpo e con δ si indica la sua
densità assoluta, si può porre:
P = 100,0 N = δ g V
[a]
Quando
il
corpo
è
immerso
in
acqua,
agiscono
su
di
esso
il
peso P e la spinta archimedea S di uguale direzione a quella
di P ma di verso opposto. La differenza di queste due forze è
data dall’indicazione del dinamometro e vale 75,5 N.
Dunque si può porre:
75,5 N = P – S
[b]
da cui:
S = 100,0 N – 75,5 N = 24,5 N
P. Marazzini M.E. Bergamaschini L. Mazzoni Fenomeni, Leggi, Esperimenti ©2010 by Mondadori Education
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Tema 3 – Unità 1
ovvero, considerando che S = δH O g V:
2
δH O g V = 24,5 N
2
Da questa si ottiene:
TEMA 3
UNITÀ 1
24, 5 N
m3
V=
= 2, 50 ⋅ 10−3 m3 = 2, 50 dm
1000 kg/m3 ⋅ 9, 81 N/kg
Sostituendo questo valore nella [a] si può ora ricavare il valore della densità del corpo:
δ=
100 N
100 N
=
= 4, 08 ⋅ 103 kg/m3
gV
9, 81 N/kg ⋅ 2, 50 ⋅ 10−3 m3
11 Indicati con δ la densità assoluta del liquido in cui è
immerso il cilindro, con h e A l’altezza e l’area della sezione
trasversale del cilindro, l’intensità S della spinta archimedea
si calcola con la relazione:
S=δgV =δghA
Sostituendo i valori numerici si ottiene:
S = 1500 kg/m3 ⋅ 9,81 N/kg ⋅ 10,0 ⋅ 10–2 m ⋅ 5,00 ⋅ 10–4 m2 =
0,736 N
15
dS
dL
è possibile determinare il volume immerso del cubo pur di
conoscere i valori della densità del cubo e del liquido in cui è
immerso (l’acqua, di densità 1000 kg/m3) e il valore del suo
volume V. Quest’ultimo valore si determina utilizzando i dati
del testo del Problema:
V = (20 cm)3 = 8,0 ⋅ 103 cm3 = 8,0 ⋅ 10−3 m3
mentre la densità del cubo si calcola con la relazione:
dS =
Si ha perciò:
750 kg/m3
= 6, 0 ⋅ 10 −3 m3 = 6, 0 dm3
1000 kg/m3
Il volume emergente vale perciò:
8,0 ⋅ 10−3 m3 – 6,0 ⋅ 10−3 m3 = 2,0 ⋅ 10−3 m3 = 2,0 dm3
Tieni ora presente che, trattandosi di un cubo, il rapporto
fra il volume emergente e il volume totale è uguale al rapporto fra la parte emergente (che indicheremo con hE) di
uno spigolo del cubo e lo spigolo stesso (che indicheremo
con h). Dunque si ha:
hE 2, 0 dm3
=
= 0, 25
h
8, 0 dm3
D’altra parte:
h = 3 8, 0 dm3 = 2, 0 dm = 20 cm
e quindi.
hE = 20 cm ⋅ 0,25 = 5,0 cm
1 A causa della distanza Terra-Luna considerata nello schema a, i raggi di luce provenienti dal Sole e diretti verso la
Luna vengono intercettati solo parzialmente dalla Terra e
quindi una parte della Luna resta sempre illuminata; a è
errata.
La parte della Luna illuminata tende a diventare più ampia
quanto più aumenta la distanza Terra-Luna; c è errata.
Nell’allineamento b, i raggi di luce provenienti dal Sole e
diretti verso la Terra vengono intercettati solo parzialmente
dalla Luna e quindi solo per gli osservatori che stanno nel
cono d’ombra creato dalla Luna si può avere una eclissi totale di Sole; b è errata e d è corretta.
2 La risposta corretta è la c.
3 La legge di rifrazione applicata ai due mezzi è espressa
dalle relazioni:
sin i2
= 1, 5
sin r2
Da queste:
sin i1
sin i2
=2
sin r1
sin r2
Perciò se i1 = i2, si ha:
sin r1
= 0, 5
sin r2
6,0 kg
= 750 kg/m3
8,0 ⋅ 10 −3 m3
VIM = 8,0 ⋅ 10−3 m3
TEST
sin i1
=3
sin r1
In base alla relazione:
VIM = V
13
SOLUZIONI COMMENTATE
008_risposte x WEB
Da questa segue:
sin r1 = 0,5 sin r2
Se, ad esempio, r2 = 60°, si ottiene:
r1 = sin–1 (0,5 sin 60°) = 26°
Dunque: a è corretta, b è errata, c è errata perché 0,5 ⋅ 60° =
30°; d è errata.
4 La risposta corretta è la a.
5 In base alla relazione:
n
sin i
= nA,B = B
sin r
nA
se nB > nA, consegue i > r e viceversa.
Nel caso rappresentato in figura si ha r > i e quindi nB < nA. Il
mezzo A ha allora un indice di rifrazione assoluto maggiore
di quello di B (d è errata) ed è più rifrangente del mezzo B (b
è corretta mentre a è errata). La trasparenza non ha nulla a
che fare con la rifrangenza e quindi c è errata.
6 La risposta corretta è la b.
7 Per il principio di invertibilità del cammino di un raggio di
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SOLUZIONI COMMENTATE
luce, il raggio riemerge dall’acqua seguendo il cammino b. La
risposta corretta è la b.
8 La risposta corretta è la c.
9 Quando l’angolo di incidenza coincide con l’angolo limite,
l’angolo di rifrazione vale 90°, indipendentemente dall’indice
di rifrazione del mezzo A; la risposta corretta è quindi la c.
10 La risposta corretta è la b.
11 Nelle condizioni indicate dalla figura, l’angolo di incidenza i2 del raggio di luce sulla seconda faccia del prisma è uguale all’angolo di rifrazione r1 del raggio di luce che incide sulla
prima faccia del prisma. Poiché per la rifrazione sulla prima
faccia si ha:
sin 60°
=n
sin r1
e per la rifrazione sulla seconda faccia del prisma si ha:
sin i2 1
=
sin r2 n
moltiplicando membro a membro si ha:
sin 60° sin i2
1
=n =1
n
sin r1 sin r2
dal mezzo meno rifrangente e quindi l’aria si trova a sinistra
della linea s. L’indice di rifrazione assoluto n del mezzo solido trasparente si calcola con la relazione:
sin i sin 45°
n
=
= 1, 4 =
sin r
sin 30°
1
Da questa serie di uguaglianze si ottiene n = 1,4.
7 Tenendo conto della legge di rifrazione, del valore dell’indice di rifrazione assoluto dell’acqua e del fatto che l’angolo di
rifrazione è il complementare di 40°, ovvero 50°, si può scrivere:
1
sin i
sin i
=
=
sin r sin 50° 1, 33
da questa si ottiene i = 35,2°. Dunque la direzione del raggio
di luce proveniente dal sasso ora determinata indica che il
sasso deve trovarsi sotto la sua immagine. Si può dimostrare
che esso non si trova sulla perpendicolare alla superficie dell’acqua passante per la sua immagine.
10 Se l’indice di rifrazione del diamante relativo all’acqua
vale 1,85, possiamo porre:
nacqua,diamante =
ndiamante
= 1, 85
nacqua
Sapendo che nacqua = 1,33, si ha allora:
Essendo i2 = r1 si ha
ndiamante = 1,33 ⋅ 1,85 = 2,46
sin 60°
=1
sin r2
e quindi dalla relazione:
da cui r2 = 60°
L’angolo di deviazione δ vale perciò:
δ = i + e – α = i1 + r2 – α = 60° + 60° – 30° = 90°
La risposta corretta è la c.
12 La risposta corretta è la c.
PROBLEMI
3 Il disegno che segue convalida quanto affermato nel testo
del Problema.
d/2
d
d/2
sin i1
1
=
sin 90° 2, 46
si ottiene iL = 24,0°
12 Osservando la figura riportata nel testo del Problema e
quella che segue, si può stabilire che l’angolo di rifrazione
relativo alla rifrazione aria-faccia AC vale 25°. Perciò, in base
alla legge di rifrazione:
sin i
= 1, 4
sin 25°
si ottiene: i = 36°. Poiché il raggio di luce incide sulla faccia
CB con un angolo di incidenza che vale 25°, l’angolo di emergenza dovrà valere ancora 36°. In base alla relazione
δ = i + e – α si ottiene perciò: δ = 23°.
l/2
l
50°
i
5 L’osservazione della figura consente di stabilire che l’angolo di incidenza del raggio di luce vale 45° mentre l’angolo
di rifrazione vale 30°. Il raggio di luce deve quindi provenire
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65° 65°
25°
25°
e
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Tema 3 – Unità 2
14 Dal momento che l’angolo di incidenza del fascio di luce
sulla prima faccia del prisma vale 0°, il fascio procede indeviato e giunge sulla seconda faccia del prisma formando con
essa un angolo di 60,0°. L’angolo di incidenza del fascio su
questa stessa faccia vale quindi 30,0° e perciò gli angoli di
rifrazione per i tre raggi assumono il valore seguente:
sin 30, 0°
1
=
sin rR
1,70
rR = sin −1(1,70 ⋅ sin 30, 0°) = 58, 2°
sin 30, 0°
1
=
sin rG
1,72
rG = sin −1(1,72 ⋅ sin 30, 0°) = 59, 3°
sin 30, 0°
1
=
sin rB
1,75
rB = sin −1(1,75 ⋅ sin 30, 0°) = 61, 0°
15
3 O
2
3
2
2
1 1
S2
P
1
In base alla figura seguente gli angoli che i tre raggi formano
con la direzione AB valgono rispettivamente:
αR = 58,2° – 30,0° = 28,2°
αG = 59,3° – 30,0° = 29,3°
αB = 61,0° – 30,0° = 31,0°
SOLUZIONI COMMENTATE
008_risposte x WEB
S1
S3
La risposta corretta è la a.
4 Se il raggio dello specchio misura 100 cm, la distanza focale misura 50 cm. L’oggetto si trova quindi fra il fuoco e il centro
dello specchio e produce una immagine reale, capovolta,
ingrandita (vedi la figura seguente). La risposta corretta è la b.
3
schermo
30°
60°
30°
r 30°
A
␣
B
C
F
La risposta corretta è la c.
La risposta corretta è la d.
7 Osserva che nei tre schemi, per costruire l’immagine, viene
utilizzato anche il raggio che incide sul centro dello specchio
(casi 2 e 3). A parte ciò, le immagini vengono correttamente
costruite sfruttando le proprietà del raggio di luce passante per il
fuoco dello specchio e del raggio di luce che incide sullo specchio
parallelamente all’asse ottico. La risposta corretta è quindi la d.
8 La risposta corretta è la a.
9 Il numero di diottrie D si determina esprimendo la distanza focale f in metri e calcolando poi il rapporto:
5
Utilizzando un goniometro, disegna ora i tre raggi. La distanza d del punto di intersezione di questi con lo schermo dal
punto B, espressa con due sole cifre significative per tenere
conto dell’approssimazione del disegno, risulta rispettivamente: dR = 27 cm, dG = 28 cm, dB = 30 cm.
UNITÀ 2
TEST
La risposta corretta è la c.
Come si può vedere dalla figura che segue, un osservatore situato in O intercetta i raggi riflessi di tre diversi fasci
divergenti. Due di questi fasci (raggi 1, 1 e 2, 2) provengono
direttamente dalla riflessione sui due specchi 1 e 2 dei raggi
provenienti da P, il terzo (raggi 3, 3) è prodotto da due riflessioni in successione sui due specchi. L’osservatore in O localizza quindi le tre immagini virtuali S1, S2, S3. La risposta corretta è perciò la c.
1
2
6
D=
1
f
Essendo f = – 25 cm = – 0,25 m (tieni presente che la distanza focale di una lente divergente ha segno negativo), si ha:
D=
1
= −4
0, 25
La risposta corretta è la b.
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SOLUZIONI COMMENTATE
Web HELP
La risposta corretta è la d.
Lo schema 1 è errato, perché il raggio che dal punto superiore dell’oggetto passa per il centro C della lente deve procedere indeviato.
Anche lo schema 2 è errato, perché il raggio di luce emesso
dal punto superiore dell’oggetto che viaggia parallelamente
all’asse ottico principale della lente deve rifrangersi in modo
che il suo prolungamento all’indietro passi per il fuoco virtuale F situato a sinistra della lente.
Lo schema 3 è invece corretto e quindi la risposta corretta è la c.
10
11
PROBLEMI
2
Utilizzando la legge dei punti coniugati:
1 1
1
+ =
p
q
f
e ponendo in essa q = 75 cm e f = R/2 = 50 cm, si ottiene:
p = 150 cm. Per l’ingrandimento si applica la relazione I = q/p
e si ottiene: I = 0,50. Essendo q positivo e I < 1, l’immagine
risulta capovolta e rimpicciolita.
5 Il fatto che su uno schermo posto a distanza di 1,5 m
dallo specchio si formi una immagine reale ci consente di stabilire che q = 1,5 m. D’altra parte si sa anche che I = q/p = 2 e
quindi: p = 1,5 m/2 = 0,75 m. Applicando ora la legge dei
punti coniugati nella forma:
1 1
2
+ =
p
q
R
si ottiene:
1
1
2
+
=
0,75 m 1, 5 m
R
da questa si ottiene: R = 1,0 m.
9 Tenendo conto della relazione:
⎛ 1
1 ⎞
= (n − 1) ⎜
−
⎟
⎝ R1 R2 ⎠
e dei segni da attribuire a R1 e R2 (paragrafo 4 dell’unità 2),
si ottiene:
1
50 cm
⎛
1
1 ⎞
= (n − 1) ⎜
−
⎝ −200 m 40 m ⎟⎠
Da questa, eseguendo gli opportuni calcoli, si ottiene n = 1,67.
13 L’ingrandimento lineare dell’oggetto I = q/p è dato da
5,4 m
18 mm
=
7,2 m
24 mm
=
5,4 m
18 ⋅ 10−3 m
=
7,2 m
24 ⋅ 10−3 m
= 300
Da questa, tenendo conto che q = 30,1 m, si ottiene:
30,1 m
q
=
= 0,10033 m
300
300
Utilizzando ora la legge dei punti coniugati si ottiene:
p =
1
1
1
=
=
f
0,10033 m
30,1 m
Da questa, infine: f = 10,3 cm.
UNITÀ 1
TEST
1 Le traiettorie di un corpo in moto possono definire una
retta o possono svilupparsi anche nello spazio. L’affermazione a è quindi errata. Non c’è relazione fra traiettoria e
legge oraria, nel senso che, ad esempio, un corpo può muoversi con la legge oraria s = v t sia su una traiettoria rettilinea
che su una traiettoria curvilinea. L’affermazione b è quindi
errata. L’affermazione corretta è la d, in quanto un corpo
non deve necessariamente muoversi in modo che le sue posizioni rispetto all’origine della traiettoria siano sempre caratterizzate da valori positivi.
2 La risposta corretta è la d.
3 Poiché 1 km = 103 m e 1 h = 3,6 ⋅ 103 s, si ha:
108
km
103 m
= 108
= 30 m/s
h
3,6 ⋅ 103 s
La risposta corretta è la c.
4 La risposta corretta è la c
5 Il punto è fermo quando, al trascorrere del tempo, lo spazio percorso rimane immutato. Questa situazione caratterizza gli istanti b e d e quindi la risposta corretta è la b.
6 La risposta corretta è la c.
7 Applicando la definizione di accelerazione media si ottiene:
aM =
1
f
−
TEMA 4
=
v2 − v1 20 m/s − 10 m/s
=
= 0, 25 m/s2
t2 − t1
60 s − 20 s
La risposta corretta è la c.
8 Tieni presente che, in base alla relazione:
am =
v2 − v1
t2 − t1
l’accelerazione è maggiore quando, a parità di valore dell’intervallo di tempo considerato, la variazione della velocità è maggiore. In un grafico velocità-tempo, quanto ora
affermato si traduce nel fatto che l’accelerazione è maggiore in corrispondenza dei segmenti che hanno maggior pendenza rispetto all’asse dei tempi. In particolare, se la rappresentazione velocità-tempo in un certo intervallo di
tempo è un segmento parallelo all’asse dei tempi, l’accelerazione è zero (e quindi l’affermazione 1 è errata). Osserva
che nell’intervallo di tempo (6 s; 8 s) la velocità diminuisce
al passare del tempo; da ciò deriva che l’accelerazione
media è negativa (e quindi la 3 è corretta) ma la minor pendenza del segmento DE rispetto al segmento BC, consente di
stabilire che il valore assoluto dell’accelerazione in questo
intervallo di tempo è minore di quella relativa all’intervallo
(2 s; 4 s). Anche l’affermazione c è quindi vera. La risposta
corretta al Test è la 2.
9 La risposta corretta è la d.
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Tema 4 – Unità 1
10 La conoscenza dell’accelerazione di A e della velocità di B
in un certo istante del loro movimento non consente di stabilire né la velocità di A né l’accelerazione di B. Ne consegue
che le affermazioni a, b, c) sono errate e che le accelerazioni
dei due punti, nell’istante considerato, potrebbero essere
uguali. L’affermazione d) è quindi corretta.
11 La risposta corretta è la b.
am =
= 1,5 m/s2
intervallo (2 s; 5 s),
am
= 0 m/s2
intervallo (5 s; 6 s),
am
intervallo (0 s; 6 s),
am
PROBLEMI
Applicando la relazione che esprime la velocità media si
ottiene:
s +s
50 m − 20 m
vm = 2 1 =
= 2, 0 m/s
t2 − t1
25 s − 10 s
3 m/s − 0 m/s
2s−0s
3 m/s − 3 m/s
=
5s−2s
0 m/s − 3 m/s
=
6s −5s
0 m/s − 0 m/s
=
6s−0s
intervallo (0 s; 2 s),
17
= − 3,0 m/s2
= 0,0m/s2
La velocità media vM relativa all’intero percorso dell’automobile si ottiene valutando lo spazio totale s da essa percorso e dividendo poi tale spazio per l’intervallo di tempo di
60 s.
Poiché gli spazi s1 e s2 percorsi nei due intervalli di 30 s valgono:
s1 = 20 m/s ⋅ 30 s = 600 m
s2 = 40 m/s ⋅ 30 s = 1200 m
si ottiene
4
vM =
s1 + s2 1800 m
=
= 30 m/s
60 s
60 s
In questo caso, poiché gli intervalli di tempo considerati sono
identici, vM coincide con la media delle velocità v1 e v2. In
generale, però, quando gli intervalli di tempo rispetto ai quali
si calcolano le velocità v1 e v2 sono diversi, la velocità media
sull’intero intervallo è diversa dalla media di v1 e v2.
6 Applicando la definizione di accelerazione media si ottiene:
aM =
v2 – v1 100 m/s − 50 m/s
=
= 5, 0 m/s2
t2 – t1
30 s − 20 s
Applicando la relazione:
v − v1
am = 2
t2 − t1
8
TEST
1 All’istante zero, il punto P si trova nell’origine della
1
traiettoria e quindi, in un grafico (s, t) la retta che rappresenta la sua legge oraria deve passare per l’origine del grafico. Questo implica che i grafici B e D siano errati.
Sempre all’istante zero, P2 si trova a 10 m dall’origine e quindi in un grafico (s, t) la retta che rappresenta la sua legge oraria deve passare per il punto caratterizzato dalle coordinate
t = 0, s = 10 m. Il grafico A è quindi sicuramente errato mentre può essere corretto il grafico C.
Considera ora che, osservando tale grafico, puoi stabilire che
in 5 s il punto P1 percorre 20 m e il punto P2 percorre 10 m.
Quindi:
20 m
= 4 m/s
5m
10 m
v2 =
= 2 m/s
5s
Il grafico C è quindi corretto e perciò la risposta corretta è la c.
2 La risposta corretta è la b.
3 Nel tempo t lo spazio percorso vale v t ; nel tempo t lo
1
1 1
2
spazio percorso vale v2 t2. Perciò, nel tempo t1 + t2 lo spazio
totale percorso vale v1 t1 + v2 t2. La velocità media risulta
allora uguale a:
v1 =
v1 t1 + v2 t2
t1 + t2
nei due casi si ottiene:
v1′ − v1
a1 =
Δt
a2 =
UNITÀ 2
SOLUZIONI COMMENTATE
2
v1′ − v1
Δt
e quindi:
v1′ − v1
a1
30,0 m/s − 10,0 m/s
=
= 0, 364
=
0 m/s
a2
v2′ − v2
60,0 m/s − 5,0
Applica la relazione:
v2 − v1
am =
t2 − t2
10
rilevando sul grafico i valori di v2, v1, t2, t1. Si ottiene allora:
La risposta corretta è quindi la d.
4 La risposta corretta è la c.
5 I segmenti AB e BC rappresentano la dipendenza spaziotempo e non una traiettoria; a è quindi errata. Anche b è
errata, perché, riferendosi al tratto AB della legge oraria, si
può stabilire che 50 m vengono percorsi in 10 s. La velocità
è quindi di 5 m/s e non di 1 m/s.
c è errata perché il grafico indica che nei primi 10 s il punto
percorre 50 m e nei successivi 10 s ne percorre altrettanti,
tornando al punto di partenza. Lo spazio totale percorso è
quindi, in valore assoluto, pari a 100 m.
La risposta d è corretta, anche se si riferisce a un moto ideale per il quale si suppone che le variazioni della velocità
avvengano istantaneamente.
P. Marazzini M.E. Bergamaschini L. Mazzoni Fenomeni, Leggi, Esperimenti ©2010 by Mondadori Education
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Pagina 18
SOLUZIONI COMMENTATE
Web HELP
La risposta corretta è la d.
In un grafico velocità-tempo, lo spazio percorso è misurato dall’area definita dalla linea che rappresenta la dipendenza velocità-tempo e dalle due perpendicolari all’asse dei tempi
condotte a partire dai due punti che individuano gli estremi
dell’intervallo di tempo considerato. Nel caso della figura
riportata nel testo del Test, la gradinata definisce un’area corrispondente a uno spazio totale così calcolabile:
2 m/s ⋅ 1 s + 4 m/s ⋅ 1 s + 6 m/s ⋅ 1 s + 8 m/s ⋅ 1 s = 20 m
La proposizione 1) è quindi vera. Osservando il grafico, si può
stabilire che, ad ogni intervallo di tempo di 1 s, la velocità
media aumenta di 2 m/s. L’accelerazione media può quindi
essere considerata costante e pari a 2 m/s2. La proposizione
2) è quindi vera. La proposizione 3) è errata perché se la velocità media nell’intervallo (0 s; 1 s) è di 2 m/s, nell’istante 0 il
punto in moto sarà dotato di una velocità minore di 2 m/s
(nel caso in esame il suo valore è zero). La risposta corretta è
quindi la b.
8 La risposta corretta è la d.
9 La legge oraria del moto di caduta in verticale è espressa
dalla relazione:
6
7
s=
1 2
gt
2
t1=
velocità
In questo tempo, la seconda automobile percorre uno spazio
di 1,5 ⋅ 103m. Pertanto la sua velocità deve valere:
v=
1, 5 ⋅ 103 m
= 15 m/s
100 s
5 Indicando con l e l le lunghezze dei due tratti e con Δt
1
2
1
e Δt2 i tempi impiegati a percorrerli, si può porre:
3500 m = l1 + l2
e poiché Δt = l1 e Δt = l2 , vale anche la relazione:
1
2
v1
v2
l1
l2
+
25 m/s 35 m/s
l1
3500 m − l1
l1
l
+
=
+ 100 s − 1
25 m/s
35 m/s
25 m/s
35 m/s
Da questa, con qualche passaggio, si ottiene l1 = 1750 m e
quindi l2 = 3500 m – 1750 m = 1750 m.
7 Il segmento che rappresenta la dipendenza spazio−tempo
nell’intervallo di tempo (0 s; 3 s) parte dal punto di coordinate 3 m e 0 s. Quindi nell’istante t1 = 0 s il punto si trova a 3 m
dall’origine. Sempre sulla base del grafico si può stabilire che
nell’istante 3 s il punto si trova a 6 m dall’origine e che nell’istante 6 s il punto si trova a 3 m dall’origine. Per il calcolo
delle velocità medie nei tre intervalli di tempo indicati dal
testo del Problema, applica la relazione:
s − s1
vm = 2
t2 − t1
Nei tre casi si ottiene:
6m− 3m
= 1 m/s
3s−0
3 m −6 m
intervallo (3 s; 6 s), v m =
= − 1 m/s
6s−3s
3 m −3 m
= 0 m/s
intervallo (0 s; 6 s), v m =
6s−0
C
intervallo (0 s; 3 s), v m =
A
10
B
O
2,0 ⋅ 103 m
= 100 s
20 m/s
120 s =
La risposta corretta è la a.
10 La risposta corretta è la c.
11 La risposta corretta è la c.
12 In un grafico velocità-tempo il valore dell’accelerazione è
associato alla pendenza della retta che rappresenta la dipendenza velocità-tempo. Poiché la decelerazione dei due punti è
identica, la dipendenza velocità-tempo è rappresentata come
indicato dalla figura seguente.
v
3 La prima automobile percorre lo spazio di 2,0 km =
2,0 ⋅ 103 m in un tempo t1 così calcolabile:
Ricavando l2 dalla prima relazione (l2 = 3500 m – l1) e sostituendo nella seconda si ottiene:
1
10 m/s2 (1, 0 s)2 = 5, 0 m
2
2v
PROBLEMI
120 s =
Da questa relazione si ottiene:
s=
Il parallelismo delle rette passanti per A, B e per C, D implica
––
––
––
––
che se OA = (1/2) OC, anche OB = (1/2) OD. Quindi la risposta corretta è la b.
t
D
2t
tempo
s=
La legge oraria del moto è la seguente:
1 2
at
2
Da questa:
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Tema 4 – Unità 3
a=
si sostituisce ad a il suo valore assoluto 3 m/s2:
2 s 2 ⋅ 100 m
=
= 8 m/s2
(5 s)2
t2
s = v it −
Nota l’accelerazione, si può determinare la velocità con la
relazione:
v = a t = 8 m/s2 ⋅ 5 s = 40 m/s
13 L’area del grafico riportato nel testo del Problema sottostante il segmento che rappresenta la dipendenza velocitàtempo rappresenta lo spazio percorso nell’intervallo di tempo
(0; 10 s). Tenendo quindi presente la formula dell’area di un
trapezio, lo spazio s può essere espresso nel modo seguente:
(v i + v f ) t
2
e tenendo conto che vf = 3vi:
(v + 3 v i ) t 4 v i t
s= i
=
2
2
Da questa si ottiene:
200 m
s
vi =
=
= 10 m/s
2t
2 ⋅ 10 s
Conseguentemente: vf = 3 vi = 30 m/s
Per determinare l’accelerazione basta ora applicare la relazione:
v f − vi
30 m/s − 10 m/s
a=
=
= 2 m/s2
10 s − 0 s
t f − ti
1 2
1
a t = 25, 0 m/s ⋅ 5, 00 s − 3, 00 m/s2 (5, 00 s)2 =
2
2
= 87, 5 m
oppure calcolando l’area sottostante il segmento che rappresenta la dipendenza velocità-tempo relativo all’intervallo (0
s; 5,00 s). Si ottiene:
s=
(25, 0 m/s + 10, 0 m/s)5,00 s
= 87, 5 m
2
s=
17 Le leggi orarie del moto delle due mele sono rispettivamente:
sulla Terra s =
1
gt 2
2 T
UNITÀ 3
TEST
La risposta corretta è la d.
Il moto prodotto dall’azione della forza sulle due sfere è
uniformemente accelerato per entrambe (c è errata). Poiché
le due sfere hanno massa diversa, l’accelerazione impressa
dovrà essere diversa (d è errata) e precisamente, maggiore
per la sfera di massa minore (cioè per la a). Il grafico corretto
è quindi il b.
3 La risposta corretta è la c.
4 La forza di 30 N accelera il sistema dei due corpi. La
massa totale di questo sistema è 3 kg e quindi l’accelerazione
vale:
1
2
a=
1⎛ g⎞
sulla Luna s = ⎜ ⎟ tL2
2 ⎝ 6⎠
30 N
= 10 m/s2
3 kg
La risposta corretta è la a.
5 La risposta corretta è la a.
6 La risposta corretta è la d.
7 In assenza di attrito, l’accelerazione con la quale i due
blocchi scivolano lungo il piano inclinato è data dal componente della accelerazione di gravità parallelo al piano stesso.
Essa è quindi identica per i due blocchi e, in base alla figura
seguente, risulta uguale alla metà della accelerazione di gravità cioè uguale a 5 m/s2. La risposta corretta è la c.
Eguagliando le due espressioni di s si ottiene:
tT 2 =
19
SOLUZIONI COMMENTATE
008_risposte x WEB
1 2
t
6 L
Da questa:
tT
1
=
= 0, 408
tL
6
Il valore dell’accelerazione si ottiene applicando la relazione:
19
a=
v2 − v1
t2 − t1
m1
g/2
relativamente all’intervallo di tempo (0 s, 5 s).
Il grafico indica che per t1 = 0 s si ha v1 = 25,0 m/s e per
t2 = 5,00 s si ha v2 = 10,0 m/s
Perciò:
a=
m2
30°
g/2
g
30°
30°
g
10, 0 m/s − 25, 0 m/s
= − 3, 00 m/s2
5,00 s − 0 s
Lo spazio percorso si può ottenere applicando l’espressione
della legge oraria del moto uniformemente decelerato in cui
8 Tieni presente che i due corpi si muovono solidalmente e,
quindi, con la stessa accelerazione. Sarà quindi sufficiente
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Web HELP
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SOLUZIONI COMMENTATE
saper valutare
quella di uno qualunque dei due.
La forza F ha intensità ignota e quindi non si potrà determinare l’accelerazione del corpo di massa 2 kg. Sappiamo però
che il corpo di massa 1 kg è trascinato dalla molla che sviluppa su di esso una forza di intensità F′ data da:
F′ = k Δl = 100 N/m ⋅ 0,1 m = 10 N
Perciò:
a=
10 N
= 10 m/s2
1 kg
La risposta corretta è quindi la c.
9 La risposta corretta è la d.
10 La forza di attrito dinamico agente sul blocco è data da:
FA = kD m g
Questa si oppone alla
forza F e conseguentemente l’intensità
della forza totale F T agente sul blocco durante il moto è data
da:
FT = F – FA = F – kD m g
L’accelerazione del blocco vale perciò:
F
F
a= T =
− kD g
m m
La dipendenza di a da kD è quindi di tipo lineare, rappresentabile nel grafico con una retta; a è massima per kD = 0 (attenzione al segno negativo anteposto al prodotto kD g) fino a raggiungere il valore 0 quando:
F
F
= kD g → kD =
m
mg
Il grafico corretto è quindi il c.
PROBLEMI
Per il calcolo dell’intensità della forza F accelerante, la
relazione che esprime il secondo principio della dinamica (F
= m a) richiede la conoscenza della massa del carrello. Questa
si calcola mediante la relazione:
2
m=
P
g
e quindi, infine:
P
197 N
F= a=
5, 00 m/s2 = 100 N
g
9, 81 m/s2
7 Per le relazioni che legano i cateti e l’ipotenusa di un
triangolo rettangolo isoscele, il componente del peso del
corpo A lungo il piano inclinato ha intensità pari a:
0,707 mA g = 0,707 ⋅ 4,00 kg ⋅ 9,81 m/s2 = 27,7 N
Il peso del corpo B vale invece:
mB g = 2,00 kg ⋅ 9,81 m/s2 = 19,6 N
Il corpo A scende quindi lungo il piano inclinato.
9 Il carrello e i due corpi di massa m e m si muovono soli2
1
dalmente per effetto del risultante R delle due forze peso P1 e P2
dei due corpi (forze che hanno effetti contrastanti) e quindi:
R = P2 – P1 = (m2 – m1) g
Il valore della massa in moto Mtot si ottiene sommando le tre
masse e quindi:
Mtot = M + m1 + m2
In definitiva:
a=
=
(m2 − m1 )g
R
=
=
M tot M + m1 + m2
(0, 400 kg − 0, 200 kg) 9, 81 m/s2
= 0,755 m/s2
2, 00 kg + 0, 200 kg + 0,400 kg
Per le relazioni che legano i cateti all’ipotenusa di un
triangolo rettangolo di angoli acuti 30° e 60°, il componente della forza peso del cubo parallelo al piano inclinato (che
determina il moto di scivolamento del cubo lungo il piano)
ha intensità pari alla metà della forza peso del cubo stesso,
mentre il componente perpendicolare al piano (che determina la forza di attrito) ha intensità pari a 0,866 della forza
peso del cubo. Si avrà quindi:
forza parallela al piano inclinato = (1/2) m g
forza di attrito radente dinamico = 0,20 ⋅ 0,866 m g
L’accelerazione con la quale il cubo scivola lungo il piano vale
perciò:
(1 / 2) m g − 0, 20 ⋅ 0, 866 m g
a=
= ((1 / 2) − 0, 20 ⋅
m
⋅ 0, 866)g = 3, 2 m/s2
12
Per determinare la velocità dopo 3,0 m di discesa applica le
relazioni del moto uniformemente accelerato:
1 2
at
2
Ricavando t dalla prima e sostituendo la sua espressione
nella seconda, con qualche passaggio algebrico, si ottiene:
v = at
v=
s=
2s a =
2 ⋅ 3, 0 ⋅ 3, 2 m/s2 = 4, 4 m/s
UNITÀ 4
TEST
La risposta corretta è la c. Il componente della forza F lungo lo spostamento s ha
intensità F′ data da:
F’ = F ( 3 /2) = 10 N ⋅ 0,866 = 8,66 N
Quindi:
L = F′ s = 8,66 N ⋅ 100 m = 866 J
La risposta corretta è la c.
3 La risposta corretta è la d.
4 La forza F , avente identica direzione e identico verso di
1
s, compie un lavoro:
L1 = F1 s = 10 N ⋅ 20 m = 200 J Per il calcolo del lavoro della forza F2 è necessario
determina
re prima l’intensità del suo componente F2′ nella direzione di
s. Si ottiene:
F2′ = F ( 3 /2)
e quindi, tenendo conto che F2’ ha verso opposto a quello di s:
1
2
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Tema 4 – Unità 4
L2 = – F2′ s = – F ( 3 /2) s = – 11,55 N ( 3 /2) 20 m =
– 200 J
Il lavoro totale delle due forze è 0 J e la risposta corretta è la a.
5 La risposta corretta è la a.
6 Applicando la relazione:
Ec =
1
m v2
2
si ottiene:
Ec =
1
10 kg (10 m/s)2 = 500 J
2
La risposta corretta è la c.
7 La risposta corretta è la d.
8 Il testo non precisa il livello di riferimento per l’energia
potenziale gravitazionale. Se questo coincidesse con la superficie del terreno si avrebbe:
Ep = m g h = 10,0 kg ⋅ 9,81 m/s2 ⋅ 10,0 m = 981 J
e la c sarebbe corretta.
Anche la a potrebbe essere corretta, pur di assumere come
livello di riferimento un piano che si trova 10 m sopra il
modellino. Così pure la d, pur di assumere come livello di riferimento il fondo della buca; infatti, in tal caso:
Ep = m g h = 10,0 kg ⋅ 9,81 m/s2 ⋅ 15,0 m = 1470 J
L’affermazione sicuramente errata è quindi la b.
9 La risposta corretta è la b.
10 Per definizione, la potenza esprime il rapporto fra il lavoro compiuto e il tempo impiegato a compierlo, ma il lavoro
può essere di qualunque tipo e non necessariamente quello
che si compie per sollevare un corpo; a è errata.
b è errata, perché il sollevamento dei pesi per tratti di lunghezza identica comporta lavori diversi ma, se vengono
effettuati in tempi opportuni, potrebbero non comportare
l’impiego di potenze diverse.
Anche c è errata, perché qualche centinaio di chilometri
può essere percorso anche in bicicletta. In tale caso la
potenza impiegata sarà minore e il tempo per percorrerli
maggiore.
d è corretta, perché lavoro e potenza sono direttamente
proporzionali solo se il tempo impiegato per compiere il
lavoro rimane invariato.
11 La risposta corretta è la a.
12 Dal momento che la velocità dell’automobile non varia,
la potenza da essa sviluppata deve essere tutta impegnata per
vincere la forza di attrito che si oppone al suo movimento.
Dalla relazione generale:
P=Fv
assegnando a F il ruolo della forza di attrito FA si ottiene:
FA =
P 5, 00 ⋅ 104 W
=
= 2,00 ⋅ 103N
25 m/s
v
14 In base al principio di conservazione dell’energia, il
valore dell’energia meccanica del corpo deve rimanere
invariato in tutti i punti della sua traiettoria. In base a questa considerazione è possibile escludere subito il disegno A
perché nel punto più elevato della traiettoria da esso effettuata dopo la partenza (punto K) esso non possiede energia
cinetica e possiede una energia potenziale gravitazionale
inferiore a quella posseduta nel punto H. I disegni B e C
sono invece errati per il motivo opposto, in quanto per poter
abbandonare la guida con una certa velocità (anche molto
piccola, come nel caso del disegno C il corpo, che in K possiede la stessa energia potenziale gravitazionale posseduta
in H, dovrà avere anche energia cinetica e ciò contrasta con
il principio di conservazione dell’energia. Il disegno corretto è quindi quello indicato con D ove è rappresentata la
situazione nella quale il corpo, giunto in K, si ferma per un
istante e ritorna poi verso H con un movimento di avanti e
indietro che, nel caso ideale di totale assenza di attriti di
ogni tipo, non si esaurisce mai. La risposta corretta è la d.
15 La risposta corretta è la a.
16 Se la velocità del corpo rimane costante durante la
discesa lungo il piano, anche l’energia cinetica del corpo
rimane costante. L’energia potenziale gravitazionale diminuisce invece con la quota. Ne consegue che la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale gravitazionale
deve diminuire linearmente con la quota. Tenendo presente che il punto di partenza del corpo corrisponde alla quota
massima e cioè al massimo valore di h, la risposta corretta
è la a.
21
SOLUZIONI COMMENTATE
008_risposte x WEB
PROBLEMI
Per determinare il lavoro della forza F occorre valutare
l’intensità F′ del suo componente nella direzione dello spostamento. Essendo:
F′ = F ( 3 /2) = 100 N ( 3 /2) = 86,6 N
si ottiene:
LF = 86,6 N ⋅ 10 m = 866 J
Il peso del blocco è perpendicolare allo spostamento; il suo
componente lungo la direzione dello spostamento è nullo e
quindi è nullo il lavoro da esso
compiuto.
La forza di attrito dinamico FA ha intensità calcolabile con la
relazione:
FA = kD (m g – (1/2) F) = 0,400 (20,0 kg ⋅ 9,81 m/s2 – (1/2)
100 N) = 58,4 N
e quindi, tenendo conto che questa forza ha la stessa direzione dello spostamento ma verso opposto, si ha:
LFA = – 58,4 N ⋅ 10 m =–584 J
7 La variazione di velocità del corpo è associate alla variazione della sua energia cinetica e questa, a sua volta, è prodotta dal lavoro della forza agente sul corpo. La relazione che
connette il lavoro con la variazione dell’energia cinetica è la
seguente:
4
La risposta corretta è la b.
13 La risposta corretta è la c.
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Pagina 22
Web HELP
L = Fs =
SOLUZIONI COMMENTATE
1
1
m v22 − m v12
2
2
Da questa
m(v22 − v12 ) 20 kg ((25m/s)2 − (15m/s)2 )
=
= 800 N
F=
2s
2 ⋅ 5,0 m
Per determinare l’intervallo di tempo richiesto per produrre
la variazione di velocità puoi calcolare l’accelerazione del
corpo:
F 800 N
=
= 40 m/s2
m 20 kg
a=
e applicare la relazione:
v2 = v1 + a t
da cui:
t=
v 1 − v2 25 m/s − 15 m/s
=
= 0, 25 s
a
40 m/s2
11 Il lavoro della forza frenante deve essere uguale all’energia cinetica del proiettile. Supponendo che la forza frenante
abbia mediamente intensità F scriveremo:
Fs=
1
m v2
2
Essendo s = 10 cm = 0,10 m; m = 10 g = 0,010 kg; v = 1000
m/s si ottiene F = 5,0 ⋅ 104 N.
13 L’energia potenziale gravitazionale nelle due posizioni è
espresso dalle relazioni:
Ep1 = m g h1
Ep2 = m g h2
essendo h1 e h2 le quote del corpo rispetto a un prefissato (e
non definito) livello di riferimento. La variazione dell’energia
potenziale gravitazionale sarà allora data da:
Ep2 – Ep1 = m g (h2 – h1)
e quindi:
–1500 J = m ⋅ 10 m/s2 (– 5 m – 20 m)
Da questa si ottiene: m = 6,0 kg
16 Rispetto al primo livello di riferimento la quota h del
corpo è positiva e perciò:
EP1 = 10 kg ⋅ 9,8 m/s2 ⋅ 5,0 m = 490 J
Rispetto al secondo livello di riferimento la quota h del corpo
è negativa e perciò:
EP2 = 10 kg ⋅ 9,8 m/s2 ⋅ (−10 m) = − 980 J
18 Tenendo presente la relazione P = F v e considerando
W
che 108 km/h = 30 m/s, si ottiene:
PW = 1000 N ⋅ 30 m/s = 3,0 ⋅ 104 W = 30 kW
23 Un istante prima del rimbalzo, la palla possiede solo
energia cinetica Ec data dalla somma dell’energia cinetica
iniziale:
1
m v i2
2
con v i = 4, 00 m/s
e dell’energia potenziale gravitazionale iniziale:
m g hi con hi = 8,00 m
Quindi:
1
⎡1
m v i 2 + m g h i = 0,500 kg ⎢ (4,00 m/s)2 +
2
⎣2
⎤
+ 9, 81 m/s2 ⋅ 8, 00 m ⎥ = 43, 2 J
⎦
Dopo il rimbalzo, questa energia cinetica si trasforma in energia potenziale gravitazionale della palla corrispondente alla
quota h′ da essa raggiunta. Possiamo quindi porre:
43,2 J = m g h′
dalla quale h′ = 8,82 J.
Più rapidamente, avremmo potuto considerare che la differenza fra l’energia potenziale gravitazionale finale e l’energia
potenziale gravitazionale iniziale della palla è uguale all’energia cinetica iniziale della palla, e avremmo quindi potuto
porre:
m g ( h ' − hi ) =
1
m v i2
2
dalla quale:
h ′ − hi =
v i2
2g
e quindi:
h ′ = hi +
v i2
(4, 00 m/s)2
= 8,00 m +
= 8, 82 m
2g
2 ⋅ 9, 81 m/s2
24 L’energia cinetica che il cubetto possiede in quel punto
deve essere uguale alla differenza fra l’energia potenziale gravitazionale del cubetto nella sua posizione iniziale e l’energia
potenziale gravitazionale del cubetto nel punto B.
Assumendo come livello di riferimento la linea orizzontale
che compare nella figura del testo del Problema, la quota del
cubetto nel punto B vale 0,700 m ⋅ 2 = 1,40 m. Perciò:
1
m v 2 = m g (2,00 m − 1,40 m)
2
Da questa uguaglianza si ottiene:
v=
2 ⋅ 9.81 m/s2 ⋅ 0, 60 m = 3, 43 m/s
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Tema 5 – Unità 1-2
TEMA 5
PROBLEMI
UNITÀ 1
TEST
La risposta corretta è la d.
Tenendo presente che lo zero della scala centigrada corrisponde a 273,15 K, la temperatura di – 173,00 °C corrisponde a (– 173,00 + 273,15) K = 100,15 K
La risposta corretta è la c.
3 La risposta corretta è la b.
4 La dilatazione delle dimensioni lineari caratterizza ogni
parte della lamina, incluso il bordo del foro. La risposta corretta è quindi la c.
5 La risposta corretta è la a.
6 In base alla relazione:
lt°C = l0°C (1 + λ t)
si può porre:
l100°C – l0°C = l0°C λ t
Da questa:
1
2
λ=
23
l100°C − l 0°C 1010 mm − 1000 mm
=
= 1, 0 ⋅ 10−4 ° C −1
1000 mm ⋅ 100 °C
l 0°Ct
Si può ora calcolare l–100°C:
l–100°C = 1000 mm (1 – 1,0 ⋅ 10–4 °C–1 ⋅ 100 °C) = 990 mm
La risposta corretta è la b.
7 La risposta corretta è la a.
8 Il calore sviluppato è prodotto dal lavoro della forza di
attrito. Poiché il punto di applicazione di questa forza esegue
uno spostamento lungo il piano dello scivolo pari a:
2 ⋅ 2,00 m = 4,00 m
e quindi:
LA = – FA s = – 125 N ⋅ 4,00 m = – 500 J
La risposta corretta è la c.
9 La risposta corretta è la d.
10 La relazione:
Q = C m Δt
consente di valutare solo il salto termico e quindi, se non è
noto il valore della temperatura iniziale del corpo, non è possibile stabilire il valore della sua temperatura finale. La risposta corretta è la a.
11 La risposta corretta è la a.
12 In base alla relazione: Q = C m Δt, se Q e Δt sono costanti, si può scrivere: C m = costante. Dunque le grandezze C e m
sono inversamente proporzionali. La risposta corretta è quindi la d.
13 La risposta corretta è la a.
14 Applicando la condizione:
calore ceduto = calore assorbito
si ottiene:
CH O ⋅ 100 g (80 °C – teq) = CH O ⋅ 100 g (teq – 20 °C)
2
2
Da questa si ottiene teq = 50 °C. La risposta corretta è la c.
15 La risposta corretta è la c.
2 Considerando che la temperatura di 0 °C corrisponde a
273,15 K, la temperatura di – 50,0 °C corrisponde a
(– 50,0 + 273,15) K = 223,15 K = 223 K
9 Poiché il carico scende con velocità costante, la sua energia cinetica non varia. La variazione di energia potenziale
gravitazionale del carico si deve perciò considerare completamente trasformata in calore. Si può porre perciò:
Q=mgh
Lo svolgimento di 10 giri di corda corrisponde a un valore di
h così calcolabile:
h = 10 (2 π ⋅ 5,00 cm) = 314 cm = 3,14 m
Quindi:
Q = 5,00 kg ⋅ 9,81 m/s2 ⋅ 3,14 m = 154 J
Considerando che 1 cal corrisponde a 4,19 J, il numero di
calorie è dato da:
154 J
= 36, 8 cal
4,19 J/cal
SOLUZIONI COMMENTATE
008_risposte x WEB
11 Applicando la relazione:
Q = C m Δt
si ottiene:
Q = 1,00 J/(g °C) ⋅ 500 g ⋅ 50,0 °C +
+ 1,50 J/(g °C) ⋅ 750 g ⋅ 50,0 °C = 8,13 ⋅ 104 J
14 Per il primo corpo si può scrivere:
Q = 3,30 J/(g °C) ⋅ 200 g ⋅ 25,0 °C
Per il secondo:
Q = 1,65 J/(g °C) ⋅ 300 g ⋅ Δt
Eguagliando i termini di destra delle due espressioni e ricavando Δt si ottiene Δt = 33,3 °C.
19 Applicando l’equazione della calorimetria si ottiene:
4,19 J/(g °C) ⋅ 250 g (teq – 20,0 °C) + 0,800 J/(g °C) ⋅ 400 g (teq
– 100 °C) = 0
Da questa si ha teq = 38,7 °C.
UNITÀ 2
TEST
La risposta corretta è la c.
Per fondere i 100 g di sostanza occorre una quantità di
calore:
Q1 = 100 g ⋅ 200 J/g = 2 ⋅ 104 J
Per aumentare la temperatura della sostanza di 100 °C
occorre una quantità di calore:
Q2 = 2,0 J/(g °C) ⋅ 100 g ⋅ 100 °C = 2 ⋅ 104 J
La somma di Q1 e di Q2 supera la quantità di calore fornita, si
deve quindi ipotizzare che la sostanza si sia portata a 300 °C
assorbendo 2 ⋅ 104 J di calore e che poi 50 g di essa siano fusi
assorbendo ancora 1 ⋅ 104 J di calore. In definitiva la risposta
corretta è la c.
3 La risposta corretta è la b.
4 Per fondere 200 g di ghiaccio occorre una quantità Q di
calore pari a:
1
2
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008_risposte x WEB
24
Web HELP
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Pagina 24
SOLUZIONI COMMENTATE
Q = 200 g ⋅ 334 J/g = 6,68 ⋅ 104 J
I 100 g di acqua a 12 °C possono cedere al massimo una
quantità di calore Q′ pari a:
Q′ = 4,19 J/(g °C) ⋅ 100 g (12,0 °C – 0 °C) = 5,03 ⋅ 104 J
Quindi si realizza solo una parziale fusione del ghiaccio e
tutto il sistema si porta a 0 °C. La risposta corretta è la a.
5 La risposta corretta è la b.
6 Il brinamento consiste nel passaggio di una sostanza
dallo stato di gas a quello di solido; comporta sviluppo di calore nell’ambiente e, per l’acqua, avviene al di sotto della temperatura di circa 0°C. La risposta corretta è quindi la b.
7 La risposta corretta è la c.
8 La risposta corretta è la c.
9 Il fenomeno della invarianza della temperatura nel passaggio solido-liquido avviene per tutte le sostanze solide cristalline;
dunque l’affermazione a è errata. Un liquido evapora a qualunque temperatura superiore a quella di solidificazione; la b,
quindi, è errata. È corretta invece la c, perché il processo di
ebollizione avviene a una temperatura definita (per una data
pressione dell’ambiente) e costante. Anche la d è errata perché, come dimostrano i valori del calore relativo ai passaggi di
stato, per una certa sostanza, il calore relativo al passaggio
liquido-gas è più alto del calore relativo al passaggio solidoliquido.
PROBLEMI
Il bilancio termico:
calore ceduto = calore assorbito
si traduce in questo caso nella relazione seguente:
4,19 J/(g °C) ⋅ 500 g (40,0 °C – tf) =
= 2,09 J/(g °C) ⋅ 60,0 g (0 °C – (- 20,0 °C)) + 334 J/g ⋅ 60,0 g +
+ 4,19 J/(g °C) ⋅ 60,0 g (tf – 0 °C)
Risolvendo si ottiene tf = 26,1 °C.
4
Per la fase di aumento della temperatura fino a 80 °C:
Q1 = 2,80 J/(g °C) ⋅ 1,00 ⋅ 104 g (80,0 °C – 20,0 °C) =
= 1,68 ⋅ 106 J
Per la fase di ebollizione:
Q2 = 1,20 ⋅ 103 J/g ⋅ 1,00 ⋅ 104 g = 1,20 ⋅ 107 J
In definitiva: Q = Q1 + Q2 = 1,37 ⋅ 107 J
9 Conoscendo il valore del calore di fusione della sostanza
(160 J/g), si può stabilire che, per fonderne 100g, è necessaria
una quantità di calore Qf pari a:
Qf = 160 J/g ⋅ 100 g = 1,6 ⋅ 104 J
Il grafico indica che tale quantità di calore viene fornita in 10
min e quindi il flusso φ di calore fornito dalla sorgente vale:
6
φ=
1,6 ⋅ 104 J
= 1,6 ⋅ 103 J/min
10 min
Considera ora che la fase di riscaldamento che porta la temperatura della sostanza da 50 °C a 150 °C dura 5,0 min. In
questa fase viene quindi fornita una quantità di calore QR
data da:
QR = φ ⋅ 5,0 min = 1,6 ⋅ 103 J/min ⋅ 5,0 min = 8,0 ⋅ 103 J
D’altra parte si può porre:
8,0 ⋅ 103 J = C ⋅ 100 g (150 °C – 50 °C)
e, quindi, da questa:
C=
8, 0 ⋅ 103 J
= 0, 80 J/(g °C)
100 g (150 °C − 50 °C)
Sempre in base al grafico, puoi stabilire che, per la ebollizione
completa del liquido, si richiedono 30 min e ciò corrisponde
a un rifornimento di calore QE pari a:
QE = φ ⋅ 30 min = 1,6 ⋅ 103 J/min ⋅ 30 min = 4,8 ⋅ 104 J
Il calore di ebollizione cE vale perciò:
cE =
4, 8 ⋅ 104 J
= 4, 8 ⋅ 102 J/g
100 g
P. Marazzini M.E. Bergamaschini L. Mazzoni Fenomeni, Leggi, Esperimenti ©2010 by Mondadori Education