ESERCITAZIONI
per
ASTROFISICA STELLARE
(AA 2011-2012)
(ultimo aggiornamento: 23/03/2012)
Esercizio 1:
Una stella con gravita` superficiale pari a 3.42 104 cm-2 e luminosita` pari a 562 L ha il
massimo di emissione nella banda UV, ad una lunghezza d’onda di 1450 Å. Determinare la
densita` media della stella.
Soluzione:
ρ = 0.87 g cm-3
Esercizio 2:
(i) Una stella di sequenza principale con massa pari a 7 M e raggio pari a 2.275 R ha
log(L/L) = 3.238. Determinare la lunghezza d’onda alla quale ci si aspetta il massimo di
intensita` ed indicare in quale regione dello spettro elettromagnetico si trova.
(ii) Nell’atmosfera di questa stella si osserva una riga di assorbimento del sodio a 5885.0 Å.
Sapendo che la lunghezza d’onda di laboratorio di questa riga e` 5889.97 Å, determinare se la
stella si sta avvicinando o allontanando dall’osservatore e con quale velocita`.
Soluzione:
(i) λ = 1160 Å => UV
(ii) Si sta avvicinando con v = -253 km s-1
Esercizio 3:
Sapendo che una stella ha gravita` superficiale pari a 1.17 1014 cm s-2 e che in assenza del
sostegno dovuto alla pressione del gas collasserebbe su se` stessa in appena 1.5 10-4 s,
determinare (i) il raggio, la massa e la densita` della stella, (ii) di che tipo di stella si tratta, (iii)
da quale tipo di pressione la stella e` mantenuta in equilibrio idrostatico.
Soluzione:
(i) R=13.1 km, M=1.5 M, ρ = 3 1014 g cm-3
(ii) stella di neutroni
(iii) pressione del gas degenere relativistico
Esercizio 4:
Una stella ha un nucleo di raggio pari a 0.07 R e massa 2 M. Sapendo che la pressione al
centro della stella vale 3 x1020 dyne cm-2, calcolare il valore della pressione al bordo del nucleo.
Soluzione:
P = 7.8 x1019 dyne cm-2
2 Esercizio 5:
Calcolare la pressione nel “punto medio” del Sole (cioe` a R/2). Si adotti 1.4 g cm-3 come
densita` media del Sole.
Soluzione:
P = 7.2 1014 dyne cm-2
Esercizio 6:
Sapendo che il nucleo di una stella ha massa MN= 1.2 M e raggio RN=0.2 R, e sapendo che la
differenza di pressione tra l centro e il bordo del nucleo e` pari a 1019 dyne cm-2, determinare se
il nucleo e` in equilibrio, in espansione o in contrazione.
Soluzione:
Il nucleo e` in espansione
Esercizio 7:
Una stella di sequenza principale di 10 M ha una temperatura superficiale Tsup = 25000 K e
raggio R=10 R. Durante la sua evoluzione, Tsup scende a 5000 K, mentre la luminosita` non
cambia (la stella diventa cioe` una supergigante rossa).
Si chiede di:
a) calcolare in quali bande dello spettro elettromagnetico la stella emette nelle due fasi;
b) calcolare il raggio della supergigante;
c) calcolare e confrontare la gravita` superficiale della stella nelle due fasi evolutive;
d) calcolare in quanto tempo collasserebbero le stelle se la pressione fosse nulla;
Alla fine della sua evoluzione, la stella ha una gravita` superficiale 3x1013 volte maggiore di
quella che aveva durante la fase di supergigante e raggio pari a 10 km.
e) quanta massa ha perso?
f) che densita` ha ?
g) che tipo di stella e`?
Soluzioni:
a) λ1 = 1000 Å => UV; λ2 = 5800 Å => VIS;
b) R2 = 250 R
c) g1 = 2700 cm s-2; g2 = 4.32 cm s-2; g1/g2 = 625
d) td,1 = 6.3 h; td,2 = 32 giorni
e) M2-M3 = 9 M
f) ρ = 5x1014 g cm-3
g) stella neutroni
3 Esercizio 8:
Dato un gas perfetto completamente ionizzato, di peso molecolare medio µ=0.7 e con
abbondanza in massa dei metalli pari al 2%, (i) calcolare le abbondanze in massa di idrogeno ed
elio.
(ii) Un gas di soli elettroni potrebbe essere caratterizzato dallo stesso valore di µ?
Soluzione:
(i) X=0.55, Y=0.43
(ii) no, perche’ risulterebbe X=1.8
Esercizio 9:
Calcolare il peso molecolare del materiale presente nel nucleo di una stella che ha gia`
completamente esaurito il bruciamento dell’idrogeno ed ha portato al 2.5% l’abbondanza in
massa degli elementi pesanti. Si effettui il calcolo nei casi (i) di gas perfetto completamente
ionizzato e (ii) di gas degenere di soli elettroni.
Soluzione:
(i) µ=1.34
(ii) µ=2
Esercizio 10:
Calcolare la percentuale di atomi di idrogeno ed elio caratteristica del gas primordiale.
Soluzione:
Ricordando che per il gas primordiale Y=0.24 e Z=0 (quindi X=0.76), si ottiene: 93% di atomi di
H e 7% di atomi di He.
Esercizio 11:
Dato un nucleo stellare di densita` ρ = 2.5 103 g cm-3 e temperatura T = 5 107 K, costituito per il
70% da H e per il 29% da He, stimare i contributi all’opacita` da parte dei vari processi studiati
Soluzione:
κBF = 0.5 cm2 g-1
κFF = 0.05 cm2 g-1
κE = 0.34 cm2 g-1
Esercizio 12:
Si stimino i diversi contributi all’opacita` del gas di un nucleo stellare in cui si e` completato il
bruciamento dell’H e sta per innescarsi quello dell’He (quindi T=108 K). Si adottino gli stessi
valori di densita` e abbondanza di metalli dell’esercizio precedente.
Soluzione:
κBF = 2.5 10-2 cm2 g-1
κFF = 2.5 10-3 cm2 g-1
κE = 0.2 cm2 g-1
4 Esercizio 13:
Stimare i diversi contributi all’opacita` nel nucleo del Sole
(i) quando ha cominciato il bruciamento dell’H nel core (ρ=160 g cm-3; T=107 K; X=0.7,
Y=0.28; Z=0.02)
(ii) al tempo attuale (X=0.4, Y=0.58, Z=0.02)
(iii) quando comincera` il bruciamento quiescente dell’He nel core (ρ=104 g cm-3; T=1.5 108 K;
X=0, Y=0.98; Z=0.02)
e (iv) in un punto della sua atmosfera, in cui ρ=10-7 g cm-3; T=20000 K
Soluzione:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
κBF = 17.2 cm2 g-1, κFF = 0.8 cm2 g-1, κE = 0.34 cm2 g-1;
κBF = 14.2 cm2 g-1, κFF = 0.66 cm2 g-1, κE = 0.28 cm2 g-1;
κBF = 0.05 cm2 g-1, κFF = 2.4 10-3 cm2 g-1, κE = 0.2 cm2 g-1;
κBF = 30 cm2 g-1, κFF = 1.5 cm2 g-1, κE = 0.24 cm2 g-1
Esercizio 14:
(i) Calcolare in numero di atomi di idrogeno ed elio contenuti in una stella di 3M e
composizione chimica uguale a quella del Sole (X=0.7, Y=0.28; Z=0.02).
Sapendo che il 30% della massa e` contenuto nel nucleo e che dopo 10 milioni di anni, meta`
degli atomi di H nel nucleo si e` trasformata in atomi di elio, calcolare (ii) il nuovo numero di
atomi di H ed He, (iii) la nuova composizione chimica (X, Y, Z) del nucleo e (iv) la variazione
del suo peso molecolare medio.
Soluzione:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
NH,t0 = 2.6 1057, NHe,t0 = 2.6 1056
NH,t1 = 3.9 1056, NHe,t1 = 1.7 1056
Xt1=0.35, Yt1=0.63, Zt1=0.02
µt0 = 0.6; µt1=0.84; µt1-µt0 = 0.24
Esercizio 15:
Una stella di ramo orizzontale (la fase di bruciamento di He nel core) ha una luminosita` pari a
50 L. Sapendo che questa fase evolutiva dura 108 anni e che ciascuna reazione 3α produce
un’energia pari a 1.2 10-5 erg, calcolare:
a) il rate (numero di reazioni al secondo) col quale stanno avvenendo le reazioni 3α;
b) quanta massa di He sara` stata consumata alla fine di questa fase evolutiva
Soluzioni:
a) ν3α = 1.7 1040 s-1;
b) MHe = 0.5 M
Esercizio 16:
Calcolare la percentuale di atomi di Li III nel 2° livello eccitato, (i) rispetto a quelli nel 1° livello
eccitato e (ii) rispetto al numero totale di atomi di quella specie. Si consideri T=2.5 104 K.
5 Soluzioni:
(i) NLi III,3/NLi III,2 = 9 10-4;
(ii) NLi III,3/NLi III = 1.6 10-21;
Esercizio 17:
Calcolare il rapporto tra il numero di atomi nel 1° livello di eccitazione e quello di atomi nello
stato fondamentale per una nube di carbonio idrogenoide ad una temperatura T=2.28 105 K.
Soluzione:
NC VI,2/NC VI,1 = 3.05 10-8
Esercizio 18:
(i) Data una nube di berillio tre volte ionizzato, calcolare la temperatura alla quale il numero di
atomi nello stato fondamentale e` 1000 volte piu` grande del numero di atomi nel 1° livello di
eccitazione. (ii) Ripetere il calcolo per il carbonio idrogenoide.
Soluzione:
(i) T= 2.28 105 K
(ii) T= 5.14 105 K
Esercizio 19:
(i) Determinare la frazione di atomi di elio ionizzati 2 volte, rispetto a quelli ionizzati una volta
sola, in un gas di temperatura T=15000 K e di pressione elettronica Pe = 100 dyne cm-2. (ii)
Ripetere il calcolo per T=50000 K.
Soluzioni:
(i) NHe III/NHe II = 4.8 10-11;
(ii) NHe III/NHe II ≈ 6000
Esercizio 20:
Data una nube di ossigeno alla temperatura T=106 K e con Pe = 80 dyne cm-2, calcolare il
rapporto tra il numero di atomi completamente ionizzati e quello di atomi idrogenoidi.
Soluzione:
NO IX/NO VIII = 1.71 108
Esercizio 21:
Calcolare la percentuale di atomi di idrogeno neutro che, alla temperatura superficiale del Sole,
si trovano nel primo livello di eccitazione, rispetto al numero di quelli nel livello fondamentale.
6 Soluzione:
per T=5770 K la percentuale e` 5 10-7 %
Esercizio 22:
Ad una temperatura di 100,000 K, quanti atomi di berillio idrogenoide si trovano nel livello di
eccitazione n=2, rispetto a quelli nello stato fondamentale?
Soluzione:
NBe IV,2/NBe IV,1 = 2.3 10-8
Esercizio 23:
Calcolare (a) la funzione di partizione (troncata al 3° termine) per il BeIV ad una temperatura di
500,000 K e (b) la percentuale di atomi che si trovano nel primo livello di eccitazione, rispetto al
numero totale di atomi.
Soluzione:
(a) Ui(T) = 2.385
(b) 7.6%
Esercizio 24:
Calcolare il rapporto tra il numero di atomi di silicio completamente ionizzati, e quello di atomi
di silicio idrogenoidi, sapendo che T=106 K, Pe = 100 dyne cm-2, UXV =1, UXIV =2.
Soluzione:
NSi XV/NSi XIV = 0.122
Esercizio 25:
Determinare il rapporto tra il numero di atomi di elio ionizzati due volte, rispetto a quello di
atomi ionizzati una volta sola, per una temperatura di 105 K ed una pressione elettronica di 100
dyne cm-2 (si adotti UII =2).
Soluzione:
NHe III/NHe II = 1.9 107
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