PROGRAMMA DEL CORSO DI
STATISTICA A – Di
ANNO ACCADEMICO 2015 – 16
Mario Romanazzi
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Argomenti
Riferimenti bibliografici fra parentesi.
1.1
Parte I. Descrizione e sintesi dei dati
Natura e scopo della Statistica Dati empirici come fonte di conoscenza. Campioni e
popolazione di riferimento. Statistica descrittiva e inferenza. Scelta casuale delle
unità campionarie: la chiave per la misura dell’errore di campionamento. Ruolo
della probabilità nella Statistica. (Ross, Cap. 1.)
Distribuzioni di frequenza Sintesi dei dati mediante tabelle di frequenza. Nozione
di moda. Dati categoriali e numerici. Presentazione ramo-foglia di dati numerici.
Raggruppamento in classi di dati numerici. Nozione di densità di frequenza relativa. Istogramma come diagramma normalizzato della curva di densità. Tipologie
distributive: unimodale o bimodale (multimodale), simmetrica o asimmetrica, crescente o decrescente, uniforme, normale. Ricavare la tipologia distributiva da un
ramo-foglia o da un istogramma. (Ross, Cap. 2.)
Quantili e diagramma scatola-baffi Nozione di quantile. Calcolo dei quantili campionari. Quantili notevoli: mediana e quartili. Funzioni dei quantili: minimo e
massimo valore campionario, intervallo di variazione, intervallo interquartilico e
scarto interquartilico. Diagramma scatola-baffi. Ricavare la tipologia distributiva da un diagramma scatola-baffi. Nozione di outlier. Criterio di Tukey e criterio
dei tre sigma per il riconoscimento degli outliers. (Ross, Cap. 3; per il criterio di
riconoscimento degli outliers secondo Tukey, Zibaldone 1.1)
Media, deviazione standard e curva gaussiana Posizione e dispersione di una distribuzione numerica. Media, varianza e deviazione standard. Calcolo della media e
della varianza campionarie. Interpretazione della media e della deviazione standard.
Sintesi di una distribuzione mediante quantili o mediante la coppia media, deviazione standard. Nozione di curva di densità normale. Area di intervalli centrati sulla
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media per curve normali. Approssimare istogrammi empirici con curve normali.
Trasformazioni lineari e loro effetti su media, deviazione standard e quantili. Una
particolare trasformazione lineare: la standardizzazione. Interpretazione dei valori
della scala standard. Proprietà associativa della media. (Ross, Cap. 3.)
Diagramma di dispersione e coefficiente di correlazione lineare Dati numerici bivariati. Nozione di distribuzione congiunta di due variabili. Uso del diagramma
di dispersione per visualizzare le caratteristiche della distribuzione congiunta: posizione, dispersione, forma, presenza di outliers. Nozione di dipendenza e indipendenza distributiva. La covarianza campionaria: definizione e formula di calcolo.
Il coefficiente di correlazione lineare come covarianza normalizzata. Uso del coefficiente di correlazione lineare per valutare il grado di interdipendenza lineare di
una coppia di variabili. La retta dei minimi quadrati. Stima dei parametri. Scomposizione della devianza della variabile dipendente e indice R2 . (Ross, Cap. 2, 3,
12.1-12.3, 12.8, 12.9.)
Esercizi consigliati: Cap. 2 (riepilogo): 1-4, 8, 9, 12, 14, 16; Cap. 3 (riepilogo): 2,
6, 8, 12, 13; Cap. 12.2: 3-5, Cap. 12.3: 8, 10, 12, 13, 15, Cap. 12.8: 1, 3 (eccetto
parte d.), 6 (eccetto parte d.), Ch. 12.9: 1-5.
1.2
Parte II. Elementi di probabilità
Probabilità Esperimenti casuali, spazi campionari, eventi. Proprietà richieste per le
misure di probabilità. Teoremi base: probabilità dell’evento complementare di un
evento dato e probabilità dell’unione di due eventi. Eventi subordinati e probabilità
subordinata. Indipendenza stocastica. Probabilità dell’intersezione di due eventi.
Formula della probabilità totale e teorema di Bayes. Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni semplici. La funzione fattoriale.
(Ross, Cap. 4.)
Variabili aleatorie Variabili aleatorie (v. a.) come trasformazioni di uno spazio campionario nell’insieme dei numeri reali. Distribuzione di probabilità di una v. a. V.
a. discrete: descrizione della distribuzione di probabilità mediante una funzione di
probabilità. V. a. continue: descrizione della distribuzione di probabilità mediante
una funzione di densità di probabilità. (Ross, Cap. 5, 6.)
Indici di sintesi delle variabili aleatorie Valore atteso come previsione del (futuro)
valore di una v. a. Varianza e deviazione standard. Deviazione standard come
misura dell’errore di una v. a. rispetto al proprio valore atteso. Calcolo di valore
atteso, varianza e deviazione standard di v. a. discrete e continue. Effetto di
una trasformazione lineare su valore atteso, varianza e deviazione standard. V. a.
stocasticamente indipendenti. Additività del valore atteso. Varianza di somme di
v. a. stocasticamente indipendenti o dipendenti. Quantili di una v. a. (Ross, Cap.
5.)
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Alcuni modelli probabilistici Distribuzione binomiale: funzione di probabilità, valore
atteso e deviazione standard. Distribuzione ipergeometrica. Distribuzioni binomiale
e ipergeometrica come modelli probabilistici del numero dei successi in un campione
casuale con o senza reinserimento, rispettivamente, da una popolazione dicotomica.
Distribuzione normale (o gaussiana): geometria della funzione di densità. Proprietà
base: una trasformazione lineare di una distribuzione normale è ancora normale.
Distribuzione normale standard. Calcolo delle probabilità e dei quantili di una
distribuzione normale. Proprietà additiva. Distribuzione normale come modello
probabilistico di un fenomeno numerico generato dalla somma di molti contributi
indipendenti. (Ross, Cap. 5, 6.)
Esercizi consigliati: Cap. 4.2: 4-8, 10, 11, Cap. 4.3: 2-5, 9, 11, 13, 15, Cap. 4.4: 8-12,
Cap. 4.5: 1, 4, 10, 20, Cap. 4.6: 2, 4, 5, Cap. 4.7: 5, 7, 8, 10, 13, 15, Cap. 4 (riepilogo)
1, 4, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 21, 23.
Esercizi consigliati: Cap. 5.2: 17, 18, Cap. 5.3: 11, 20, 23, 25, 30, 32, Cap. 5.4: 9, 16,
17, 18, 19, Cap. 5.5: 8-10, 12, 19, 22, 23, Cap. 5.6: 1, 2, Cap. 5 (riepilogo) 3, 7, 8, 10,
11, 14-16, 19.
Esercizi consigliati: Cap. 6 (riepilogo) 3-9, 15.
1.3
Parte III. Statistiche campionarie ed inferenza
Statistiche campionarie Il modello standard del campionamento statistico. Dati campionari come determinazioni di una n-upla di v. a. indipendenti e identicamente
distribuite come la popolazione campionata. Distribuzione di probabilità, valore atteso e deviazione standard delle somme e delle medie campionarie. Teorema centrale
di convergenza: distribuzione asintoticamente normale delle somme e delle medie
campionarie. Legge dei grandi numeri per la media campionaria (cenno). Distribuzione di probabilità, valore atteso e deviazione standard delle frequenze assolute
e relative campionarie. Frequenza assoluta e relativa campionaria come somma e
media, rispettivamente, di variabili con determinazioni zero o uno. Distribuzione
asintoticamente normale delle frequenze assolute e relative campionarie. Legge dei
grandi numeri per la frequenza relativa campionaria (teorema di Bernoulli, cenno).
Campionamento da una popolazione normalmente distribuita. Distribuzioni chiquadrato e t di Student. Confronto t di Student, normale standard. Distribuzioni
di probabilità della media e della varianza campionaria con dati normalmente distribuiti. (Ross, Cap. 7, 8; per la legge dei grandi numeri e il teorema di Bernoulli,
Zibaldone, 1.2.)
Esercizi consigliati: Cap. 7 (riepilogo): 1-6, 9, 11, 12.
Stima Nozione di stimatore. Proprietà e misure di qualità degli stimatori (cenno). Stima
puntuale della media µ della popolazione e del suo errore standard. Intervallo di
confidenza asintotico e per piccolo campione di µ. Stima puntuale della frequenza
relativa pA di un evento A della popolazione e del suo errore standard. Intervallo di
2 BIBLIOGRAFIA
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confidenza asintotico di pA . Numerosità campionaria necessaria per raggiungere un
prefissato requisito di accuratezza. (Ross, Cap. 8; per le proprietà degli stimatori,
Zibaldone, 1.3.)
Esercizi consigliati: Cap. 8 (riepilogo): 3-9, 12-15.
Prova di ipotesi statistiche Il quadro concettuale: ipotesi di nullità, ipotesi alternativa, statistica test. Approccio decisionale: errori di primo e secondo tipo, livello
di significatività, regione di rifiuto dell’ipotesi di nullità. Test sulla media µ della
popolazione. Test sulla frequenza relativa pA di un evento A della popolazione.
Approccio basato sul livello di significatività osservato (p-value). (Ross, Cap. 9.)
Esercizi consigliati: Cap. 9.4: 1-4, 6, 12, Cap. 9.5: 1-3, 5, 8, 9, 12, 14, Cap. 9
(riepilogo): 2, 5, 6, 14.
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Bibliografia
Il testo di riferimento è
Ross, Sheldon M., Introductory Statistics, 2nd edition, Elsevier Academic Press, 2005.
Traduzione italiana di M. Gasparini: Introduzione alla Statistica, Apogeo, 2008.
Piccole integrazioni del testo, errata-corrige, e altro materiale in
Zibaldone, http://venus.unive.it/romanaz.
