Programma del corso di “Meccanica Quantistica” prof. F. Nicodemi, a.a. 2009-2010 N.B. la conoscenza degli argomenti contrassegnati con * non è necessaria per superare l’esame; quella degli argomenti contrassegnati con (f) è facoltativa. 1. Crisi della fisica classica e necessità di una nuova descrizione Fisica classica, modello corpuscolare e sistemi continui; Bibl.: Appunti dal corso La teoria classica della radiazione e sue difficoltà: Radiazione di corpo nero; Legge di Rayleigh-Jeans; Leggi di Wien e di StefanBoltzmann; Ipotesi dei quanti e formula di Planck. Comportamento corpuscolare della radiazione: Effetto fotoelettrico; Interferenza dei fotoni. Bibl.: Appunti dal corso; E.R. cap. 1, cap. 2 par. 2.1-2.6; Mes. cap. 1 La meccanica statistica classica e sue difficoltà: Legge di Doulong e Petit; Spiegazione di Boltzmann dei calori molari dei solidi cristalini; Andamento dei calori specifici alle basse temperature; Teoria di Einstein dei calori specifici; (f)Equipartizione dell’energia e sua validità; Bibl.:Appunti dal corso; Gopal: par. 2.1-2.7; Sviluppo della teoria atomica e sorgere delle contraddizioni: Modelli atomici di Thomson e di Rutherford; Diffusione delle particelle α. Bibl.: Appunti dal corso; E.R.: par. 4.1 - 4.4; L’atomo di Bohr; Esperimento di Franck e Hertz. Bibl.: Appunti dal corso; E.R.: par. 4.5 - 4.8; 1 2. Concetti base e formalismo della Meccanica Ondulatoria L’ipotesi di de Broglie; Dualità onda-corpuscolo; Onde stazionarie e quantizzazione dei livelli di energia; Velocità di fase e di gruppo; Diffrazione delle particelle ed esperimento di Davisson e Germer(*). Bibl.: Appunti dal corso; Mes.: cap.2, par. 1-8; E.R.: cap.3, par. 1 e 2; Equazione di Schrödinger per l’evoluzione temporale della funzione d’onda; Principio di sovrapposizione; Stati stazionari e quantizzazione dei livelli di energia. Hamiltoniana di una particella in un potenziale scalare e in un campo e.m.. Bibl.: Appunti dal corso; Mes.: cap. 2, par. 9-17; Interpretazione della funzione d’onda: Slargamento del pacchetto d’onde; Interpretazione probabilistica: la funzione d’onda come ampiezza di probabilità; Distribuzione di probabilità nella posizione e nell’impulso; Valori medi; Relazioni d’indeterminazione: principio d’indeterminazione di Heisenberg; Funzione d’onda per sistemi a più particelle. Bibl.: Appunti dal corso; Mes.: cap. 4; Soluzioni dell’equazione di Schrödinger in casi unidimensionali: Buca di potenziale finita e infinita; Quantizzazione dei livelli di energia; Barriera di potenziale; Coefficienti di trasmissione e riflessione; Effetto tunnel; (f) Decadimento α. Bibl.: Appunti dal corso; Mes.: cap.3, parte 1a ; E.R.: cap. 6; Formulazione matematica della Meccanica Quantistica: Concetto di stato in Meccanica Quantistica; Spazio di Hilbert degli stati di un sistema fisico; Operatori; Corrispondenza tra grandezze fisiche e operatori hermitiani; Valori medi; Assenza di indeterminazione e autostati; Autofunzioni e autovalori; Sistemi completi di autofunzioni; Degenerazione; Osservabili compatibili; Insiemi completi di osservabili che commutano; Algebra dei commutatori; Formalismo canonico; Formulazione generale delle relazioni d’indeterminazione; *Operatori come matrici nello spazio degli stati. 2 Dinamica quantistica e sua formulazione hamiltoniana: Equazione di Schrödinger per l’evoluzione temporale degli stati; Andamento temporale dei valori medi; Costanti del moto in meccanica quantistica; Teorema di Ehrenfest; Relazione d’indeterminazione tempo-energia. Bibl.: Appunti dal corso; Mes.: cap. 5, tranne par. 9, 10 e 11; cap. 6, par. 1, 2 e 3; cap. 8, par. 4 e 13; 3. Applicazioni a sistemi semplici Oscillatore armonico: Autovalori dell’hamiltoniana: Operatori di creazione e distruzione e soluzione col metodo algebrico; Funzioni d’onda degli stati stazionari e polinomi di Hermite; Oscill. armonico in più dimensioni. Bibl.: Appunti dal corso; Mes.: cap. 12, par. 1-6 e 13-15; (*)Il campo e.m. in M.Q. come insieme di O.A.; Fluttuazioni del vuoto; Bibl.: Appunti dal corso; Momenti angolari: Operatori lx , ly , lz , e loro algebra; Operatori ”gradino” l+ e l− ; Autovalori di l2 e li col metodo algebrico; Rappresentazione di l2 ed lz in coordinate sferiche; Armoniche sferiche; Trasformazione a un sistema di assi ruotato; Equivalenza di tutti i sistemi di coordinate; Momento angolare e rotazioni: le componenti del momento angolare come generatori infinitesimi delle rotazioni nello spazio di Hilbert degli stati. Esperimento di Stern e Gerlach; Lo spin e il formalismo a due componenti di Pauli; *Momento magnetico di una particella carica con spin; Addizione dei momenti angolari; Bibl.: Appunti dal corso; Sistemi a più corpi: separazione del moto del baricentro; Moto in un potenziale centrale; Atomo di idrogeno: valori dell’energia e forma delle funzioni d’onda per gli stati legati; Sistema periodico degli elementi. Bibl.: Appunti dal corso; Mes.: cap. 9 tranne par. 7-10, cap. 11, par. 1-5; 3 4. Metodi di approssimazione Teoria delle perturbazioni stazionarie: caso non degenere e caso degenere; Correzioni al 1o e al 2o ordine per l’energia e per lo stato; Interazione spin-orbita; (f) Effetto Stark. Bibl.: Appunti dal corso; Perturbazioni dipendenti dal tempo: fenomeni di transizione. Operatore di evoluzione temporale nei casi di hamiltoniana dipendente dal tempo; Serie di Dyson e calcolo perturbativo delle probabilità di transizione; Perturbazioni armoniche al 1o e al 2o ordine; (*)Regola “aurea” di Fermi. Bibl.: Appunti dal corso; Bibliografia Appunti dal corso; E.R.: Eisberg e Resnick: Quantum Physics Mes.: Messiah: Quantum Mechanics; Gopal: Specific heats at low temperatures Schwabl:Meccanica Quantistica 4