Dipartimento di Ingegneria Industriale
Strato Limite - Boundary layer
http://www.grc.nasa.gov/WWW/k-12/airplane/boundlay.html
http://www-mdp.eng.cam.ac.uk/web/library/enginfo/aerothermal_dvd_only/aero/fprops/introvisc/node6.html
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Lo strato limite.
Il fatto che il fluido nel quale un corpo è immerso sia viscoso implica che, a contatto con
la parete solida, esso possieda velocità nulla (condizione di aderenza). La presenza della
superficie all’interno del fluido si farà sentire, alterandone la velocità, in una determinata
regione del piano (se consideriamo un caso 2D) la cui estensione sarà determinata
dall’entità dei fenomeni viscosi rispetto a quelli inerziali.
L’importante parametro che definisce il rapporto tra le grandezze spazio-temporali
dei fenomeni viscosi e quelle delle forze d’inerzia è il numero di Reynolds già visto:
ρUl
Re =
µ
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Maggiore è il numero di Reynolds e minore è l’effetto degli sforzi viscosi nel
campo di moto. Nel caso limite di assenza di effetti viscosi (µ=0) il numero di Reynolds
tende all’infinito. Al diminuire del numero di Reynolds la zona in cui il fluido risente
della presenza del corpo, e nella quale prevalgono i fenomeni viscosi, si estende.
Re=0,1
Re=0,1
ρUl
Re =
µ
Re=50
Re=10
Re=105
Re=107
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Lo strato limite è la zona di flusso compresa tra la parete (u=0) ed il flusso indisturbato (u=U).
In pratica il flusso attorno ad un qualsiasi profilo può essere suddiviso in due zone:
•
la prima, vicino a parete, consistente nello strato limite, all’interno del quale prevalgono i fenomeni di
natura viscosa.
•
la seconda, lontano da parete, dove il fluido ha velocità pari ad U e nella quale i fenomeni viscosi sono
trascurabili
Lo strato limite è caratterizzato da forti gradienti di velocità in direzione normale al
flusso. Se il numero di Reynolds è grande, infatti, in uno spazio relativamente piccolo si
passa da velocità nulla (parete) a velocità pari a quella del flusso indisturbato.
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Struttura dello strato limite
Hp: fluido viscoso, incomprimibile. Strato limite che si sviluppa su lastra piana
infinitamente lunga. Numero di Reynolds alto.
Consideriamo due particelle fluide: l’una che rimane nella zona di flusso indisturbato e
l’altra che attraversa lo strato limite che si sviluppa dal bordo d’attacco della lastra.
Caso Laminare
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Caso Turbolento
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• la prima particella è relativa ad una porzione del profilo di velocità che conserva la
propria forma in quanto, attraversando unicamente la zona di flusso indisturbato, non è
soggetta a particolari gradienti di velocità.
•la seconda, entrando nello strato limite, si distorce in quanto la velocità del flusso cresce
man mano che ci si allontana dalla parete.
La distorsione della particella fluida nello strato limite aumenta
ulteriormente se si ha una transizione da strato limite laminare a
turbolento.
Nel strato limite laminare:
• il miscelamento avviene a livello molecolare
Nel strato limite turbolento:
6
• miscelamento su scale spaziali paragonabili con le dimensioni
della particella fluida in questione.
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Parametri descrittivi dello strato limite
Si definisce spessore dello strato limite, δ, la distanza dalla parete alla quale il fluido
possiede una velocità pari al 99% di quella indisturbata:
δ=y dove u=0.99U
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Un altro importante parametro è lo spessore spostamento dello strato limite, δ*. Esso
rappresenta lo spostamento che dovrebbe subire la parete per ottenere, con un profilo di
velocità piatto pari a U, una portata equivalente a quella corrispondente al profilo reale
(vedi figura alla pagina precedente).
Dalla definizione possiamo scrivere:
∞
δ * U = ∫ (U − u )dy
0
che implica
∞
δ * = ∫ (1 −
0
u
)dy
U
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Abbiamo detto che la componente della forza agente sul corpo parallela alla direzione
del fluido rappresenta il Drag ovvero la resistenza offerta alla penetrazione.
Per il secondo principio della dinamica tale forza è uguale alla variazione, in direzione
del flusso, della quantità di moto del fluido tra una sezione a monte ed una a valle del
profilo.
Risulta perciò utile definire un parametro, lo spessore di quantità di moto dello strato
limite, θ, come lo spostamento che dovrebbe subire la parete per ottenere, con un profilo
di velocità piatto pari a U, un valore della quantità di moto equivalente a quella
corrispondente al profilo reale , a pari portata:
∞
ρθU = ρ ∫ u (U − u )dy
2
0
che implica
θ =∫
∞
0
u
u
(1 − )dy
U
U
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Soluzione del Flusso
La soluzione quindi del flusso sulla lastra piana è rappresentata dalla funzione g(η )
calcolata da Blasius con uno sviluppo in serie e sotto rappresentata:
Lo sforzo di taglio diminuisce all’aumentare della x a causa dell’aumento di
spessore dello strato limite ⇒ minori gradienti di velocità in direzione y.
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Osservazione
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Dalla soluzione si possono calcolare vari parametri e fare considerazioni:
• che u/U≈0.99 quando η=5.0. Dalla definizione stessa di η risulta quindi:
δ =5
νx
U
⇒
δ
x
=
5
Re x
•lo spessore spostamento e per lo spessore di quantità di moto:
δ * 1.721
=
;
x
Re x
θ 0.664
=
x
Re x
•lo sforzo di taglio a parete dalla soluzione
∂u
∂y y = 0
τ w = µ
⇒
3
τ w = 0.332U 2
ρµ
x
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Equazione integrale dello strato limite.
E’ possibile scrivere una Equazione Integrale dello strato limite che leghi fra loro i parametri
integrali attraverso un bilancio di q.d.m.. su un volume di controllo come mostrato in figura
τw
∂U
2 ∂θ
*
=U
+ (2θ + δ )U
;
ρ
∂x
∂x
∂P
≠ 0;
∂x
Con queste equazioni è molto semplice calcolare sforzo di taglio e forza resistente, anche se in
maniera approssimata, conoscendo il profilo di velocità dello strato limite , oppure conoscendo
empiricamente legami fra τ θ δ !
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Transizione.
Le equazioni finora viste sono state ottenute per strati limite laminari. I risultati da esse
fornite concordano con quelli sperimentali fino a che non si verifica il fenomeno della
transizione che implica il passaggio dello strato limite da laminare a turbolento.
Il parametro che governa la transizione è il numero di Reynolds - in questo caso il
numero di Reynolds basato sulla distanza dal bordo d’attacco della lastra e definito come
ρUx
Re x =
µ
Od altre forme più di dettaglio
ρUδ 2
Reδ =
µ
2
Per una lastra piana la transizione avviene solitamente per 2x105<Rex<3x106.
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La transizione non avviene automaticamente per i valori di Rex precedentemente detti.
Essa è un fenomeno legato all’instabilità del flusso e può essere innescato da
perturbazioni: se tali perturbazioni avvengono per valori di Rex lontani da quelli critici il
flusso si rilaminarizza. Se, al contrario, tali perturbazioni avvengono in prossimità del
Rex si ha la transizione e lo strato limite diventa turbolento.
In realtà la transizione può innescarsi anche in zone ristrette della lastra per poi essere
distribuite a valle (vedi foto)
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La transizione da laminare a turbolento implica un notevole cambiamento del profilo di
velocità; si possono infatti notare le seguenti caratteristiche:
• Il profilo di velocità turbolento è più piatto.
• Presenta gradienti di velocità in direzione
normale a parete maggiori rispetto a quello
laminare.
• Lo spessore dello strato limite è maggiore.
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Lo strato limite turbolento.
Lo strato limite turbolento è caratterizzato da un flusso molto complesso, disordinato ed
irregolare.
Non esistono soluzioni esatte per il flusso nello strato limite turbolento. Le uniche
relazioni esistenti sono ricavate empiricamente.
Per il profilo di velocità si usa la seguente espressione:
u y
=
U δ
1
7
Essa mostra un buon accordo con i risultati sperimentali, tranne molto vicino alla
parete dove risulterebbe ∂u/∂y=∞ per y=0.
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Per lo sforzo di taglio a parete si usa la seguente formula, determinata anch’essa
sperimentalmente:
ν
τ w = 0.0225 ρU
Uδ
2
1
4
Da queste due espressioni e ricordando le definizioni di spessore di spostamento e di
quantità di moto si ottengono le espressioni per tutti i parametri che descrivono lo strato
limite:
1
5
ν 54
δ = 0.370 x
U
7
θ= δ
72
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δ* =
τw =
δ
8
0.0288 ρU 2
1
5
Re x
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Osservazioni:
• Per il flusso nello strato limite turbolento lo spessore δ è proporzionale a x4/5 mentre,
per il laminare, δ variava con x1/2.
• Lo sforzo di taglio a parete τw risulta proporzionale a x-1/5 nello strato limite turbolento
e a x-1/2 in quello laminare.
In generale il coefficiente di drag Cd per
una lastra piana è funzione del Re e della
scabrezza relativa ε/l. Il diagramma a
lato, riportante Cd in funzione del
Reynolds e di vari valori di scabrezza
relativa, ha molti punti in comune con il
diagramma di Moody.
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Effetti del gradiente di pressione.
L’analisi dello strato limite finora fatta vale per flussi su lastre piane nei quali, visto lo
spessore trascurabile del corpo immerso nel fluido, la velocità al bordo dello strato limite
corrisponde con quella del flusso indisturbato.
Ciò implica l’uniformità della pressione in tutto il campo di moto.
Consideriamo un cilindro immerso in
un fluido non viscoso a velocità
uniforme U. Il flusso, dal punto di
ristagno A, accelera fino a C per poi
decelerare nuovamente fino a F.
Essendo il fluido non viscoso tutto ciò
avviene senza perdite di energia;
l’aumento di velocità si traduce in
diminuzione di pressione e viceversa.
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Si noti che la forza agente sul cilindro è in questo caso nulla in quanto le
distribuzioni di pressione sono perfettamente simmetriche.
• Nel tratto A-C il flusso accelera diminuendo la propria pressione; in questi casi si dice
che il fluido è soggetto ad un gradiente di pressione favorevole.
• Nel tratto C-F il flusso decelera aumentando la propria pressione; in questi casi si dice
che il fluido è soggetto ad un gradiente di pressione avverso.
Il gradiente di cui si parla è quello nella direzione del flusso; la pressione rimane
costante, anche in questo caso, in direzione normale alla parete.
Nel caso non viscoso il flusso è simmetrico attorno al cilindro in quanto, non essendoci
perdita alcuna di energia, tutta la quota di pressione “spesa” per accelerare il flusso fino a
C viene interamente recuperata nel tratto C-F a spese della quota cinetica.
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Il discorso cambia se consideriamo un fluido viscoso. In questo caso Il flusso perde
energia a causa degli effetti viscosi nello strato limite.
• Nel tratto A-C il flusso accelera diminuendo la
propria pressione statica.
• Nel tratto a valle di C il flusso deve decelerare ed
aumentare la pressione al fine di seguire la
curvatura del cilindro. Avendo però dissipato parte
dell’energia posseduta, il flusso non riesce a
recuperare tutta la pressione necessaria ⇒ si ha
una separazione di flusso (punto D).
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Osservazioni:
Dalla figura nella pagina precedente possiamo notare che la posizione della separazione
di flusso dipende dalla natura del flusso. Uno strato limite turbolento, rispetto ad uno
laminare, possiede più quantità di moto ed energia cinetica.
Ciò in quanto il profilo ad esso associato è più simile, come forma, a quello
corrispondente al flusso non viscoso; inoltre può esserci una considerevole quota
energetica associata alle fluttuazioni turbolente di velocità, componenti di cui non
teniamo esplicitamente conto considerando le velocità mediate nel tempo.
Grazie a ciò un flusso con strato limite turbolento resta “attaccato” al cilindro più a
lungo, rispetto ad un laminare, prima di separare.
Il fenomeno della separazione può essere osservato attorno a qualsiasi altro profilo di
spessore finito allorché si sia in presenza di un gradiente di pressione fortemente
avverso.
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Esempio:
Nella figura sottostante viene mostrato un profilo alare in due diverse condizioni di
incidenza del flusso. Nel primo caso (angolo di attacco=0) non si ha separazione. Nel
secondo caso il flusso separa nel punto D in quanto non riesce a recuperare una quantità
sufficiente di pressione per poter seguire il profilo superiore dell’ala.
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Pressure Drag e Friction Drag.
Ora è meglio comprensibile la distinzione delle tipologie di forza resistente agente su un
corpo immerso in un fluido viscoso : i due contributi:
• Forza resistente dovuta all’attrito Df. Essa è data dalla somma, su tutta la superficie
del corpo, delle componenti di attrito agenti su elementi di area paralleli alla direzione
del flusso indisturbato. La sua entità è data non dall’intensità dello sforzo di taglio ma
anche dall’inclinazione della superficie su cui agisce.
• Forza resistente dovuta alla pressione Dp. Essa è data dalla risultante di tutte le
pressioni agenti sul corpo. Come è intuibile questo contributo dipende fortemente
dalla forma del corpo.
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Friction drag:
• Friction drag: la forza resistente su un corpo (simil lastra piana) di
larghezza b e lunghezza l parallela alla direzione del flusso
indisturbato può essere calcolata come:
Df =
1
2
ρU blC Df
2
• CDf è il coefficiente di friction drag. Il suo valore è funzione del Re e
della scabrezza relativa e dell’angolo di attacco del flusso.
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Pressure (form) drag:
• Pressure (form) drag: La forza di pressione in direzione parallela al
flusso Dp è data da:
D p = ∫ p cos ϑdA = ρU AC Dp =
1
2
= ρU
1
2
2
∫C
p
2
cos ϑdA
• Dove CDp è il coefficiente di pressure (form) drag mentre:
Cp = 2*(p-p0)/ΔU2
è detto coefficiente di pressione
• θ è l’angolo fra la normale alla parete e la direzione del flusso.
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Esempio 1:
Il vento alla velocità di 12 m/s passa su una lastra delle dimensioni di 9 lunghezza e 7 di
altezza. La tavola è allineata alla direzione del vento. Determinare la forza esercitata sul lato
piatto usando i seguenti dati: ρ=1.177 kg/m3, µ=18.46x10-6 Ns/m2
La forza di drag può essere calcolata con la presente
equazione in cui A rappresenta l’area esposta al
vento:
2
D f = 12 ρU ACD
Il coefficiente CD può essere calcolato, utilizzando il
grafico riportato a lato relativo al flusso su lastra
piana una volta calcolato il numero di Reynolds.
Re =
ρVL 1.177 * 12 * 9
6
=
=
6
.
9
x
10
18.46 x106
µ
Per questo valore del Re CD =0.003. La forza di drag è:
D f = 12 * 0.003 ⋅ 1.177 ⋅ 122 ⋅ 9 ⋅ 7 = 15.9 N
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Esempio:
Determinare la forza D su un cilindro di lunghezza b immerso in un flusso viscoso
ed incomprimibile. Lo strato limite rimane attaccato fino al punto di separazione a
θ=108.8°. Lo sforzo di taglio a parete è dato, in termini adimensionali, dalla figura
(b). lo sforzo di taglio a valle della separazione è trascurabile.
Determiniamo per primo il contributo
dovuto all’attrito sulle pareti:
π
D
D f = τ w sinθdA = 2 b τ w sinθdθ
2 0
∫
∫
Il coefficiente CDf può essere calcolato,
utilizzando il parametro adimensionale
F(θ) riportato in figura
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CDf =
Df
1
2
ρU bD
2
=
π
F (θ )sinθdθ
∫
Re
1
0
Integrando numericamente o graficamente la funzione F otteniamo il risultato
CDf =
5.93
Re
Calcoliamo adesso il contributo
dovuto alle forze di pressione:
π
∫
CDp = C p cosϑdθ
0
Dove Cp è plottato in figura
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Integrando numericamente o graficamente la funzione Cp otteniamo il risultato
CDp = 1.17
In definitiva il coefficiente di Drag agente sul cilindro è CD= CDf + CDp
E’ interessante confrontare
questo risultato con quelli
sperimentali mostrati in figura.
Per Re<10 le curve divergono
in quanto le equazioni
utilizzate non sono valide in
questo campo. La differenza
tra i risultati per Re>3x105 è
dovuta alla transizione la quale
altera la distribuzione di
pressione.
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Esempi di Drag e Lift su vari profili
e in funzione di vari parametri.
La forza resistente agente su un corpo è data dalla somma D=Df+Dp. I parametri
principali dai quali dipende questa forza sono:
Forma del profilo e
Numero di Reynolds
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Rugosità superficiale
Angolo d’attacco
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Esempio
Consideriamo un flusso uniforme entrante, con velocità pari a U1=10 m/s, in un condotto
a sezione quadrata di lato l=2 m. Da calcoli avanzati risulta che lo spessore spostamento
dello strato limite che si sviluppa sulle pareti è legato all’ascissa secondo la formula
δ * = 0.007 x
1
2
Si determini la velocità U=U(x)
dell’aria nel condotto
all’esterno dello strato limite.
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Se si assume, viste le basse velocità in gioco, che il flusso sia incomprimibile la portata
in volume in ogni sezione del condotto deve essere pari a quella in ingresso ⇒ Q1=Q(x)
ovvero:
Q1 = U1 A1 = 10m / s (2m )2 = 40m3 / s =
∫ udA
( x)
Dalla definizione di δ*, la portata attraverso una generica sezione (x) è pari quella di un
flusso con velocità uniforme U attraverso un condotto le cui pareti sono state spostate
all’interno di δ*. Ciò significa che
Q1 = 40m3 / s =
∫
udA = U (2m − 2δ *)2
( x)
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Inserendo nell’ultima espressione la formula che lega δ* alla coordinata x si ottiene:
1
2
40m / s = 4U (1 − 007 x )
3
2
⇒
U=
10
1 − 0.007 x 12
2
m/s
Si noti come la velocità U aumenti all’aumentare della distanza x dall’inizio del
condotto. Ciò è dovuto al fatto che, aumentando con x lo spessore dello strato limite, il
flusso vede un restringimento di sezione; dovendo la portata rimanere la stessa, la
diminuzione di area deve essere compensata da un aumento della velocità.
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Strato limite termico.
In un flusso viscoso nel quale si abbiano gradienti di temperatura, oltre che di velocità,
in direzione normale alla parete si può parlare di strato limite termico.
La forma del profilo di temperatura è simile a quello di velocità: il parametro dal quale
dipende la differenza tra le due distribuzioni è il Numero di Prandtl definito come:
Pr=ν/α=(quota di diffusione viscosa)/(quota di diffusione termica)
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Complementi analitici :
Soluzione analitica per lo strato limite laminare (PrandtlBlasius)
All’interno dello SL possiamo assumere il un flusso bidimensionale, stazionario,
incomprimibile, laminare e con effetti della gravità trascurabili.
E’ inoltre possibile introdurre le seguenti semplificazioni basate su osservazioni
di natura geometrica e fluidodinamica:
• strato limite fine ⇒
v << u
∂
∂
<<
∂x
∂y
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• Equazioni Finali
∂u ∂v
=0
+
∂x ∂y
continuità
∂ 2u
∂u
∂u
u
=υ
+v
∂y
∂x
∂y 2
QDM-dir x
∂p
=0
∂y
QDM-dir y
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Osservazioni:
• L’equazione della q.d.m. lungo y è semplificata.
• Non compare la pressione che si mantiene costante attraverso lo strato limite.
Le condizioni al contorno per queste equazioni sono:
U=v=0 per y=0
u→U per y→∞
Blasius ipotizza che, in forma adimensionale, i profili di velocità siano simili ovvero non
funzioni della coordinata x; in formule ciò può essere espresso come: u
y
= g = g (η )
U
δ
Dove g(y/δ) è una funzione da determinare. Da un bilancio di Q.M. si può
0.5
dimostrare che vale la seguente relazione:
νx
δ ∝
U
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U
η = y
νx
0.5
