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ll Sole come prototipo di una stella.
La luminosità bolometrica del Sole si calcola a partire dal flusso bolometrico, detto
costante solare
da cui
Il raggio del Sole R si calcola a partire dal suo diametro angolare, che è di 32', e dalla
distanza Terra-Sole. Risulta
Dalla luminosità e dal raggio solare, utilizzando la legge di Stefan-Boltzmann, possiamo
calcolare la temperatura efficace: Te = 5.80 103 K
Lo spettro continuo del Sole è in effetti simile a quello di un corpo nero di temperatura Te
La massa del Sole può essere calcolata semplicemente a partire dalla distanza Terra-Sole
(AU) e dalla durata del periodo P di rivoluzione della Terra (terza legge di Kepler):
La densità media del Sole risulta
Una stella come il Sole non crolla su se stessa perchè il gas di cui è formata è caldo,
e quindi esercita una pressione che contrasta la forza di gravità. Se così non fosse, la stella
cadrebbe su se stessa in un tempo dell'ordine del suo tempo dinamico tff.
Questo è uguale al tempo necessario ad un elemento di massa fermo alla superficie (a r =
R) per cadere fino al centro nel caso ipotetico in cui la massa della stella alla sua superficie
(Ms) sia concentrata al centro; si dimostra che è:
ove v si ricava dalla conservazione del’energia “durante la caduta” dell’elemento di massa
e risulta essere, facilmente:
(il calcolo potrà essere fatto dopo aver svolto la teoria dell’integrazione)
Il tempo dinamico del Sole risulta di circa 1800 s!
Ovviamente le fasi di avvio della formazione stellare, a partire dalla nube molecolare sono
dettate dal tempo dinamico che è molto superiore a quello appena calcolato per il Sole.
Sappiamo che il Sole esiste da circa 4.5 miliardi di anni con caratteristiche fisiche pressoché
immutate quindi è necessario trovare ciò che impedisce il suo crollo dinamico, in altre
parole ciò che spiega l’equilibrio idrostatico del Sole.
Come vedremo tra breve il teorema del viriale ci spigherà come un sistema autogravitante di
particelle che irraggia energia deve contrarsi e riscaldarsi (collasso graitazionale), fornendo
così la possibilità di spiegare l’emissione osservata d’energia a spese della sua energia
gravitazionale in continua variazione durante la continua contrazione.
Tale contrazione comandata dal viriale non ha più come tempo caratteristico quello dinamico,
ma quello termodinamico di Kelvin-Helmholtz che si calcola semplicemente dividendo la
luminosità bolometrica del Sole per l’energia totale resa disponibile dalla contrazione allo
irraggiamento:
Risulta:
decisamente poco!
Il teorema del viriale ci dice, come vedremo, che ci deve essere una fonte d’energia
che non sia il collasso gravitazionale.
Per un qualsiasi sistema isolato di particelle autogravitanti vale il Teorema del
Viriale nella forma
2
2 EK U
dove Ek = energia cinetica totale = EK
d I
dt 2
1
2
m
v
estesa a tutte le particelle del sistema,
i
i
i
2
U
energia potenziale gravitazionale, negativa ( = 0 per
I
è il momento di inerzia del sistema.
r
)
( in astrofisica l'energia di legame di un corpo celeste è l'energia necessaria ad
espandere il materiale che lo compone all'infinito: tale energia è data dalla interazione
gravitazionale, prende il nome di energia di legame gravitazionale. Essa è pari
all'opposto dell'energia potenziale gravitazionale, considerando il sistema come un
insieme di piccole particelle)
Le fasi iniziali del processo di formazione stellare sono sotto il controllo dei tempi scala meccanici
del collasso gravitazionale ed il sistema è ben lontano dalle condizioni di quasi stazionarietà (quasi
equilibrio) che abbiamo definito essere caratteristiche di una struttura stellare.
Al progredire della contrazione l'innalzamento della temperatura e della pressione finiscono con il
favorire fenomeni di ionizzazione, cresce l'opacità radiativa, l'energia guadagnata nella contrazione
viene ceduta al gas, innalzandone temperatura e pressione, ed i tempi scala passano da tempi scala
meccanici a tempi scala termodinamici. Le strutture raggiungono così condizioni di quasi equilibrio,
in cui
d 2I
dt 2
0
e le strutture stesse restano sotto il controllo del viriale nella forma
2 EK U
0
A rigore è il teorema del viriale
per un gas monoatomico non
relativistico
Da questo momento potremo dire di essere in presenza di una struttura stellare,
struttura che rimarrà sotto il controllo del viriale finché non si giunga ad una eventuale
fase finale esplosiva.
Il viriale fornisce in forma quantitativa una ovvia condizione di equilibrio per le strutture. L'equilibrio
tra le forze di gravità e quelle di pressione richiede infatti che all'aumentare della gravità (al
decrescere di U, vale a dire U è più negativa) aumenti la temperatura per aumentare la
pressione.
Linee generali di evoluzione di un sistema autogravitante:
Per il secondo principio della termodinamica il sistema autogravitante deve irraggiare
energia per tendere all’equilibrio termodinamico con l’ambiente circostante (che si trova
tipicamente alla temperatura di qualche K)
a causa dell'irraggiamento dalla superficie (e anche per emissione di neutrini dal core*)
il sistema perde continuamente energia,
ΔE tot < 0
se tale perdita non è bilanciata da una qualche sorgente interna di energia (quali le
reazioni nucleari) la temperatura tenderebbe a decrescere, ma
* Solo quando si saranno instaurati i bruciamenti nucleari nel core
ΔE k +ΔU <0
ΔE tot < 0
ΔE k
( - 2ΔE k ) < 0
ΔE k
2E k +U=0
ma
0
2ΔE k = - ΔU
innalzamento temperatura e pressione
1
1
ΔU ) + ΔU < 0
ΔU < 0
ΔU < 0
contrazione della struttura
2
2
La storia di una stella è la storia di una progressiva contrazione, in condizioni di
quasi equilibrio, di una sfera di gas perfetto autogravitante e del contemporaneo
continuo innalzamento del contenuto termico della struttura. In tal senso una
qualunque stella altro non è che una macchina naturale per innalzare la
temperatura di un agglomerato di particelle.
(
Se la pressione è controllata dalla temperatura, la stella deve allora contrarsi su tempi
scala termodinamici (o di Kelvin-Helmholtz). Il viriale ci dice che, indicata con L * la
luminosità bolometrica della stella:
Etot
L t
Etot
1
U
2
Etot
L t
1
U
2
L
1 U
2 t
metà dell'energia generata nella contrazione deve andare ad innalzare il
contenuto termico della struttura, mentre l'altra metà supplisce alle perdite
per radiazione
Nel corso della contrazione possono intervenire, a bloccare la contrazione, e a
rendere stabile la struttura, due possibili tipi di fenomeni, a seconda dei valori di
temperatura-densità che vengono raggiunti:
• gli elettroni degenerano, così che la pressione non dipende più
dalla temperatura. La contrazione è arrestata dalla pressione
degli elettroni degeneri
• vengono raggiunte temperature alle quali si innescano e
diventano efficienti le reazioni nucleari.
Sistemi di massa sufficientemente piccola, M < 0.08Mo, degenerano ancor prima di
raggiungere le temperature di fusione dell'idrogeno. Non sono considerate stelle. Sono
dette nane brune.
Stelle di massa leggermente superiore innescano l'idrogeno ma degenerano prima di
innalzare le temperature sino a innescare la combustione dell'elio.
Stelle più massicce degenerano prima di innescare la combustione del carbonio.
In stelle ancora più massicce la contrazione è destinata a proseguire, innescando tutte le
combustioni esotermiche, sino a raggiungere le ultime fasi esplosive.
Quando nelle regioni centrali di una struttura inizia a divenire efficiente una sorgente
nucleare di energia, l'energia così prodotta va a supplire alle perdite per radiazione,
rallentando la contrazione. La contrazione deve in ogni modo continuare (innalzando la
temperatura) sino a quando l'energia nucleare prodotta giunge a bilanciare esattamente
quella persa dalla struttura. In tali condizioni la contrazione guidata dalle perdite di energia
si arresta e, se si trascurassero le variazioni di composizione chimica indotte dalle reazioni
nucleari, la struttura risulterebbe indefinitamente stabile.
In realtà le reazioni di fusione nucleare, aggregando due o più nuclei (il protone è un
nucleo dell’idrogeno 1H ) in un unico prodotto di reazione, diminuiscono il numero di
particelle. Diminuisce quindi la pressione, rompendo l'equilibrio idrostatico, e la
stella deve quindi contrarre, ora però su tempi scala nucleari. L'aumento di
temperatura guidato da tale contrazione (viriale) dovrà anche essere in grado di
mantenere la produzione di energia ai livelli necessari a fronte del progressivo
consumo del combustibile nucleare disponibile.
L'energia irraggiata da una stella NON è determinata dall'efficienza delle reazioni
nucleari.
E’ vero il viceversa: l'efficienza
delle reazioni è regolata dalla
necessità di bilanciare il preesistente fabbisogno energetico
della struttura.
Ricordiamo sempre che l’irraggiamento superficiale tende, fissata la
struttura della stella, a riportare l’equilibrio con l’ambiente della stella, ed è,
sostanzialmente, a questo che si adeguano le reazioni nucleari.
Quindi….
….la storia di una stella è la storia di una continua contrazione, di volta in volta
rallentata (o pressoché fermata anche per miliardi di anni) dall'innesco di
reazioni nucleari, con una continua alternanza di tempi scala termodinamici e
nucleari.
Ricordando come la temperatura di efficienza delle reazioni nucleari sia
regolata dalla repulsione coulombiana*, è facile prevedere che, al passare del
tempo ed all'aumentare della temperatura, nelle regioni centrali di una stella
inizierà prima la combustione dell'idrogeno, seguita dall'elio e in successione
dalla combustione degli elementi più pesanti prodotti delle precedenti
combustioni.
Tale alternanza si interrompe definitivamente se la degenerazione elettronica
interviene a bloccare la contrazione.
Ove ciò non avvenga (stelle massicce) dobbiamo prevedere che una struttura
stellare quasi statica giunga fatalmente al suo termine quando nelle zone
centrali si sia formato un nucleo di ferro.
*la probabilità che due cariche elettriche superino la barriera coulombiana è in
relazione inversa al prodotto delle cariche (e ad altri fattori )
Th=termica, moto caotico particelle
Abbiamo rivisto quanto detto in precedenza considerando la stella come una sfera
autogravitante di gas perfetto monoatomico
Pressione media in una stella
calcolo di un integrale
densità
Temperatura caratteristica di una stella
La degenerazione degli elettroni
In condizioni normali la pressione del gas è una funzione che dipende essenzialmente da
due parametri (temperatura e densità del gas) . Nel caso di degenerazione invece, per
definizione di degenerazione, il gas tende a seguire una differente distribuzione statistica
(non più cioè quella dell'equilibrio termodinamico detta di Maxwell-Boltzmann) che prende
il nome di distribuzione di Fermi-Dirac . In questa distribuzione rientra lo studio di un gas
composto di soli elettroni e la cui pressione, in questo caso sarà una funzione che
dipenderà unicamente dalla densità stessa del gas.
All'interno di una stella collassata, come una nana bianca, la densità del nucleo è talmente
elevata che la materia si trova a condizioni diverse da quelle che conosciamo. Alle
temperature elevate dell'interno stellare, i nuclei sono ionizzati, ovvero gli elettroni non
sono più legati ad essi, e sono immersi, quindi, in un "brodo" di elettroni liberi.
A densità elevate, quali sono quelle delle nane bianche, la distanza tra elettroni è talmente
piccola * da far sì che tutti i livelli di energia accessibili siano occupati fino al valore
massimo (energia di Fermi) previsto dalla teoria. In queste condizioni la materia si trova
allo stato degenere. Per innalzare il livello massimo e, quindi, avere altri livelli di energia da
riempire, la distanza tra gli elettroni dovrebbe diminuire, ma essi non posso avvicinarsi
indefinitamente senza violare il principio di Pauli. Il nucleo della stella diventa, così,
incomprimibile, esercitando una pressione verso l'esterno (pressione di degenerazione) che
riesce ad impedire il collasso gravitazionale della stella.
*diviene confrontabile con la lunghezza d’onda di De Broglie dell’elettrone
= h/2 p
La pressione di degenerazione NON dipende dalla temperatura!
Caso non relativistico
Quando si ha un sistema binario stretto nana bianca – gigante rossa :
Prima possibilità: le novae. Dal disco di accrescimento, il materiale si deposita gradualmente
sulla superficie della nana e, a causa dell'intensa gravità, viene compresso e riscaldato.
Quando il materiale depositato raggiunge un valore critico, la temperatura sale a valori
sufficienti da innescare superficialmente la fusione dell'idrogeno ed a provocare
un'esplosione che coinvolge la materia proveniente dalla gigante rossa ed un sottilissimo
strato appartenente alla nana bianca.
Il guadagno in luminosità durante la fase esplosiva si aggira sulle 11 magnitudini, cioè un
fattore 25000, mentre la magnitudine assoluta (cioè quella che si avrebbe se la stella fosse
posta alla distanza di 10 parsec) del momento di massimo è circa -11
Seconda possibilità: supernovae di tipo I a. La nana bianca costituisce un sistema doppio
con una stella moderatamente massiccia. In tal caso parte della massa della compagna
può essere trasferita alla nana bianca da forze mareali, finché questa non arriva al limite
di Chandrasekhar. La condizione di alta densità derivante dallo stato degenere della
materia della stella innescano una rapida fusione nucleare degli atomi di carbonio e
ossigeno rimanenti in un processo a feed-back positivo regolato principalmente dalla
temperatura del plasma coinvolto. L'improvviso rilascio di energia produce una
potentissima onda d'urto che accelera i prodotti di fusione oltre la velocità di fuga della
stella (10000 kilometri al secondo) e per un periodo di circa tre settimane la “palla di
fuoco“ mantiene una luminosità straordinaria; la stella viene così fatta a pezzi. Poiché il
limite di Chandrasekhar è sempre lo stesso, queste supernovae emettono sempre la
stessa luminosità, ed osservarne una in una galassia distante permette immediatamente
di trovarne la distanza esatta. Ciò ha reso queste supernovae indispensabili nella
cosmologia, dove il comportamento delle galassie distanti viene studiato per derivare le
proprietà dell'Universo nel suo complesso (vedere lezione sulle galassie). (da
http://it.wikipedia.org/wiki/Supernova)
Un resto della nana bianca dopo l’esplosione è una stella di neutroni rotante, vale a dire
una pulsar (fatto su cui si discute).
Come si può arrivare
ad un sistema nana
bianca – gigante
rossa