L’effetto Doppler
in Astrofisica
Fabrizio Mazzucconi
Società Astronomica Italiana
17/09/2016
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La velocità e la radiazione
• Le caratteristiche della
radiazione sono determinate
dalla sorgente.
• Dalle sue condizioni fisiche
• Ma il suo stato di moto può
cambiare la sua percezione:
effetto Doppler
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Effetto Doppler
A
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B
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Un po’ di storia ….
Christian Andreas Doppler (1803-1853)
Nasce a Salisburgo il 29.11.1803 – suo padre era uno
scultore;
1822 – 1829: studia matematica meccanica e
astronomia a Vienna;
1835 – 1844: insegna al Politecnico di Praga;
1842: il 25 maggio presenta all’Accademia Reale Boema il lavoro sull’effetto
che prenderà il suo nome, sulle onde sonore;
1850: viene nominato direttore dell’Istituto di Fisica dell’Università di
Vienna;
1852: si trasferisce a Venezia sperando di beneficiare del clima;
17 marzo 1853: muore di tubercolosi a Venezia.
Nel 1848 Hippolyte Fizeau scorpi lo stesso effetto sulle onde
elettromagnetiche
Misura dell’effetto Doppler
• Ricordiamo che per l'effetto Doppler vale la relazione:
0 v
z
0
0
c
con v=c z, velocità relativa fra osservatore e sorgente, che
vale finchè v<<c
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La formula relativistica
altrimenti occorre fare ricorso alla formula relativistica:
v
1
c
z
1
v
1
c
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Nella realtà
Nella realtà l’osservatore e la
sorgente saranno entrambi in
movimento, rispettivamente con
velocità Vo e VS , quindi le cose si
complicheranno,.
o= S (c ± VS)/(c ± Vo)
I calcoli ci dicono che la lunghezza
d’onda S della radiazione emessa
sarà vista dall’osservatore a
lunghezza d’onda o espressa dalla
legge:
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Conseguenze osservative
Dalla formula si evince immediatamente che: se osservatore
e sorgente si avvicinano, v è
negativo e quindi λ diminuisce
(il che nel visibile vuol dire
andare verso il blu)
0 v
z
0
0
c
mentre se i due si allontanano, v è positivo, λ aumenta e noi
vediamo le righe nel visibile spostarsi verso il rosso
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Applicazioni tecnologiche:
Il radar
Il Radar (RAdio Detection And
Ranging) è un sistema che utilizza
onde radio o microonde per il
rilevamento e la determinazione
della posizione (distanza, azimuth,
altezza) ed, eventualmente, della
velocità di oggetti, sia fissi che
mobili.
In questo caso vengono chiamati
radar-Doppler.
Applicazioni tecnologiche:
Il radar metereologico
Il radar meteorologico permette di
rilevare in tempo reale i fenomeni di
precipitazione in atto, di misurare
la velocità del vento e di fare
previsioni
Il radar meteorologico offre infatti le seguenti opportunità:
• visione globale, in tempo reale, dei fenomeni di precipitazione in atto su
un’area molto vasta ;
• monitoraggio della precipitazione con continuità spaziale;
• elevata frequenza temporale della osservazione;
• analisi della precipitazione lungo sezioni verticali;
• seguire lo spostamento e l’evoluzione dei fenomeni.
Applicazioni tecnologiche:
Autovelox
Sono apparecchi basati su tecnologia
radar.
Il velocimetro radar effettua la
misura della velocità valutando
l’eco di un segnale radar emesso su
determinate frequenze, riflessa dal
veicolo in movimento.
Applicazioni tecnologiche:
Diagnostica medica
Ecografia Doppler: tecnica non
invasiva per lo studio della
situazione anatomica e funzionale
dei vasi sanguigni e del cuore, per una
valutazione emodinamica del flusso
sanguigno e per quantificare i gradi
di stenosi.
L’effetto Doppler in Astrofisica:
L’effetto Doppler è uno strumento potente in astrofisica, che
permette lo studio della dinamica dei sistemi, in quanto
permette una misura diretta di velocità radiali, indipendente
dalla distanza,
• Applicazione agli studi sul Sole;
• Applicazione agli studi planetari e stellari;
• Misura delle distanze;
• Applicazione allo studio delle galassie;
• Applicazioni cosmologiche;
Lo studio dei “terremoti”sul Sole
Nel sole viene prodotta una enorme
quantità di energia.
Una frazione di questa viene
trasformata in onde di pressione della
materia all’interno del sole.
Queste onde arrivano fino alla
superficie e la fanno vibrare.
Dalle vibrazioni superficiali del sole si può ricostruire la velocità
delle onde all’interno.
Eliosismologia: il sole come un immenso
organo a canne
• I moti convettivi all’interno del
sole, generano onde “acustiche”.
Queste onde restano intrappolate
all’interno del sole, come le onde
sonore sono intrappolate nella
canna di un organo.
:
Il rimbalzo
di un’onda:
Risultati dell’eliosismologia
Analizzando lo “spettro” delle frequenze di oscillazione si puo’
studiare l’interno del Sole.
In particolare si determinano:
• inizio della zona convettiva
(0.711 R);
• Abbondanza in massa di He
(24.5%) alla superficie;
• La rotazione
solare;
dell’interno
Dopplergramma corretto per la
rotazione solare: sono evidenti i moti
dovuti alla supergranulazione della
superficie.
Velocità e periodo di rotazione di un pianeta
Si pone la fenditura dello spettroscopio sul disco del pianeta,
perpendicolarmente all’asse di rotazione (p.e., l’equatore).
L’inclinazione delle righe sarà tanto maggiore
quanto maggiore sarà la velocità di rotazione che
sarà:
:
E quindi, noto il raggio equatoriale R del pianeta, il
suo periodo T di rotazione sarà:
Turbolenza e temperatura cinetica
delle atmosfere stellari
Le righe di uno spettro, pur corrispondendo ad una
transizione ben definita e quindi all’emissione o
assorbimento di una radiazione monocromatica di
frequenza: n=(E2–E1)/h, presentano una larghezza
non nulla
1. Allargamento naturale: per il Principio di
Indeterminazione di Heisenberg, non esistono
righe rigorosamente monocromatiche ma tutte
hanno una larghezza naturale: dE dt ≈ h/2π
2. Allargamento per collisione: a causa della collisione dell’atomo con
un’altra particella, i livelli di partenza ed arrivo di una transizione non
saranno E1 e E2, ma E1 + ΔE1 e E2 + ΔE2. Ciò produrrà una riga di
frequenza: ν1,2 + Δν1,2.
Allargamento totale
3. Allargamento per effetto Doppler Termico: dovuto al moto di
agitazione termica degli atomi dell’atmosfera stellare le cui velocità
seguono una distribuzione gaussiana con velocità media:
V0 = (2KT)1/2 = c (ΔλD /λ0)
Ciò determinerà un allargamento
doppler ΔλD della riga legato a V0 e T
dalla relazione:
V0 = c (ΔλD/λ0)
Si può dimostrare che l’allargamento
Doppler agisce al centro della riga,
mentre quello naturale e collisionale
sulle ali (vedasi figura).
Effetti esterni
4. Effetto Stark: allargamento delle righe dovuto alla presenza di un
campo elettrico.
4. Effetto Zeeman: allargamento delle righe dovuto alla presenza di
un campo magnetico.
4. Altre cause di allargamento delle righe:
a) rotazione delle stelle (purché il polo dell’asse di rotazione non
coincida con la visuale);
a) turbolenza del gas della fostosfera;
a) espansione degli strati di gas attorno la fotosfera.
Atmosfere in espansione
Il profilo P-Cygni è tipico delle stelle che possiedono un forte vento solare
oppure una fotosfera in espansione.
Il profilo dello spettro è caratterizzato
dalla presenza di una riga in assorbimento spostata verso il blu e da una
riga in emissione spostata verso il rosso.
Spiegazione
La riga in assorbimento
deriva dalla radiazione luminosa che proviene dalla
parte della fotosfera che si
muove in direzione dell’osservatore.
La riga in emissione proviene dalle regioni della fotosfera in espansione che
non si muovono in direzione dell’osservatore.
Applicando l’effetto Doppler, attraverso
questo profilo è possibile calcolare la velocità
di espansione della fotosfera.
Stelle binarie spettroscopiche
Si tratta di stelle doppie non risolvibili otticamente ma riconoscibile
grazie allo spostamento Doppler delle
righe delle due componenti.
Le righe dei loro spettri si spostano
alternativamente verso il rosso
(quando la stella si allontana) e verso
il violetto (quando si avvicina).
Estrema importanza dell’osservazione
Dall’entità e dal periodo dell’odcillazione si può risalire ai parametri fisici
del sistema.
Poiché nel moto attorno al
baricentro, una componente si
avvicina mentre l’altra si allontana, le due curve saranno
opposte rispetto all’asse del
baricentro ed in modo che in
qualsiasi istante t sia sempre:
VA/VB = cost.
VA
VB
Alla ricerca della massa delle stelle
Indicando con mA e mB le rispettive masse, con aA e aB le rispettive
distanze dal baricentro in modo che sia a = aA + aB, si dimostra che vale la
relazione:
aA/aB = mB/mA = VA/VB = cost.
Per ricavare le singole masse è necessario conoscere l’inclinazione i del
piano dell’orbita del sistema rispetto al piano del cielo:
Piano orbita
Piano del cielo i
Linea di vista
Soltanto quando i ≈ 90°, e cioè sin i ≈ 1 è
(doppia spettrofotometrica) possibile ricavare
le masse delle due componenti dalle funzioni
di massa:
51 Pegasi
Nel 1995 Mayor e Queloz stupirono il mondo annunciando la scoperta di un pianeta (che poi si stimò
avesse una massa di 0,5 MJ una
distanza dalla stella di soli 0,527
UA e una temperatura superficiale
di 1.300 K)
La scoperta era stata fatta
sfruttando l’effetto doppler
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Velocità di 51 Peg
Da questa curva fu possibile calcolare il periodo e le dimensioni del pianeta
attorno a 51 Peg
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La teoria
La tecnica spettroscopica si basa sulla misura degli spostamenti verso il blu o
verso il rosso, per effetto Doppler, delle linee spettrali osservate nello spettro
della stella.
La stella, presenta una
variazione di velocità
radiale con ampiezza
data dalla formula:
dove:
• Vr = variazione della velocità radiale in m/s;
• M* = massa della stella (in unità di M);
• mp = massa del pianeta (in unità di M);
• P = periodo dell'orbita del pianeta in anni;
• i = inclinazione dell'orbita del pianeta rispetto al piano del cielo.
Il calcolo
Per gli oggetti planetari la misura è molto
difficile in quanto limitata a poche decine
di m/s!
La spettroscopia delle righe delle stelle
fornisce, tramite l'effetto Doppler, il
valore della velocità radiale secondo la
seguente formula:
Dove Vr è il valore dello spostamento delle
righe dello spettro causato dal moto del
pianeta (rispetto alla lunghezza di onda a
riposo)
Il periodo dell'orbita P si ricava
dall'andamento della curva di
variazione della velocità radiale
nel tempo.
47 UMa
• A 51 Peg seguirono
moltissime altre
osservazioni
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Altri sistemi
Sistema solare interno
51 Peg
70 Vir
47 UMa
E si scoprirono molti altri sistemi
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Fra cui molti sistemi multipli
HD 82943 è il classico esempio
di un sistema multiplo
scoperto con questo metodo:
la stella ha due pianeti uno
con periodo 221 giorni
e l’altro con pe-riodo
444 giorni
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Lo stato dell’arte
• Al 17/09/2002 sono stati annunciati 101 sistemi
planetari, da cui occorre toglierne 3 successivamente sconfessati
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Limiti del metodo
• Come si vede sono tutti grandi pianeti (il sistema non
è abbastanza sensibile per individuare piccoli pianeti)
• Abbastanza vicini alla stella (più vicino è il pianeta e
più grande è l’influenza sul moto della stella, ma
soprattutto più corto è il periodo)
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Un dubbio - Altra interpretazione
Stella in
espansione
Quando la stella si espande, la
materia si avvicina a noi e
le righe vanno verso il blu
Quando l’espansione si arresta la materia si ferma
Quando la stella si restringe,
la materia si allontana da
noi, le righe vanno verso il
rosso
Stella in
contrazione
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Effetto Doppler e misura delle distanze:
Parallassi cinematiche
Le stelle, contrariamente a quanto si possa credere, non sono
fisse in cielo ma si muovono con velocità V, in una direzione che
forma un angolo θ con la visuale.
La velocità V può essere scomposta in 2 componenti: la velocità
radiale Vr (lungo la linea di vista) e la velocità trasversa Vt (ad
essa perpendicolare), detta anche moto proprio:
S2
O
μ
”
V
Vt
θ
S Vr S1
S2
Risultato
O
Ma:
Vr = c (Δλ/λ.) = V cos θ
Vt = V sin θ =( Vr /cos θ) sin θ = Vrtg θ
μ
”
V
Vt
θ
S Vr S1
dove la velocità radiale si ricava con l’effetto Doppler, quella trasversa
dalla misura del moto proprio μ, che è legato alla distanza d dalla
relazione: Vt = μ d.
Pertanto, la distanza d può essere calcolata con la relazione:
d = Vt /μ = (V sin θ)/μ = (Vr/μ) tg θ
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Velocità di rotazione e massa delle galassie
Lo spettro è l’immagine monodimensionale della galassia
lungo la fenditura.
Le stelle ruotano le righe
presentano una distorsione
“doppler”.
Curva di rotazione
Esprime la velocità di rotazione delle stelle all’interno di una galassia
in funzione della loro distanza dal centro
Si costruisce utilizzando le righe d ’ emissione (se presenti
componente gassosa) e/o d’assorbimento (componente stellare) dello
spettro della galassia
I() profilo osservato di una riga
0
I(o) profilo in laboratorio della stessa riga
Il centro della riga osservata sarà spostata per
effetto Doppler di rispetto al centro della
riga di laboratorio
Modifica del profilo
Non solo il centro, ma anche il profilo della riga sarà spostato per effetto
doppler!
i
c
0
c
i
e il profilo avrà anche un allargamento
Curve di rotazione
Tipico
profilo
delle
dispersioni di velocità
Curva di rotazione
tipica
si ha:
gas star
vgas vc
Spettroscopia integrale
Campi di velocità
Sorpresa nelle curve di rotazione delle galassie:
vR
(c)
(a)
(b)
R0
Le curve di rotazione delle galassie presentano un andamento come
sopra: si possono distinguere le due componenti (a) e (c) :
tratto (a) : la velocità di rotazione cresce linearmente con la distanza
fino ad R0;
tratto (c) : per R > R0, al crescere della distanza, la velocità resta
costante o diminuisce lievemente.
Il tratto (b), per R > R0, corrisponde al moto kepleriano e non è
osservato
R
Significato fisico:
Caso dell’ellissoide:
a = R asse maggiore
M
R
P
b asse intermedio
c asse minore
q = (b/c)(b/a) schiacciamento dell’ellissoide
sfera q = 1
Fino ad un punto R0 la galassia si comporta come un corpo rigido: in ogni
punto P posto a distanza 0<R<R0 dal centro della galassia si ha equilibrio
tra forza di gravità e forza centrifuga la materia esterna a tale punto
non esercita alcuna forza su di esso.
Cosa vuol dire il tratto a
Nel punto P posto a distanza 0 < R < R0 dal centro della galassia sarà:
v2/R = G(M/R2) con M = (4/3) q R3 v2 = (4/3) G q R3 R2
posto:
si ha:
K = [(4/3) G q R3 ]1/2 = cost.
v=KR
In questo modo è spiegato il tratto (a) della curva di rotazione.
Dalla relazione precedente segue:
= (3 K2)/(4 G q R3) =cost.
la densità all’interno del volume di
raggio R = R0 è costante.
Perché si dovrebbe osservare il tratto b
Un punto P’ posto a distanza R’> R0 dal centro della galassia si
muoverà per effetto della forza esercitata su di esso dalla massa contenuta
all’interno dell’ellissoide avente a = R = R0.
Per tutti questi punti si dovrebbe osservare un moto kepleriano, un moto la
cui velocità decresce al crescere della distanza dal centro del moto secondo
la seguente legge:
v2/R = G(M/R2)
v = K’ R-1/2 con
K’= (GM)1/2 = cost.
ma:
(GM)1/2 = cost
M = cost.
In questo tratto non è la densità che resta costante ma è la massa che resta
costante
Quindi
M = cost (4/3) G q R3 = K’’
= [(3 K’’) / 4 G q] R-3
R-3
nel tratto (b) la densità di massa è una funzione che dovrebbe decrescere
come il cubo della distanza.
Cosa ci dicono le osservazioni:
La velocità non decresce in modo kepleriano (v R-2)
La velocità resta pressoché costante
v2/R = G(M/R2)
v2 = (4/3) G q R2
da cui segue:
v =cost R-2
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Conclusioni
• Nella previsione del
moto kepleriano: la
densità di massa è una
funzione che decresce
come il cubo della
distanza
• Nella realtà (tratto
bianco): la densità osservata decresce meno
rapidamente di quanto
previsto dal moto
kepleriano
Il problema della massa mancante
(R)
(b)
Dopo il tratto (a) di corpo
rigido (v R e = cost.) le
velocità di rotazione restano
costanti o, in pochi casi,
diminuiscono più lentamente
( R-2) rispetto a quanto
R previsto dal moto kepleriano
( R-3) nelle regioni
esterne delle galassie deve
esistere della materia oscura
Problema della
massa mancante
Qual è il valore della
densità dell’universo?
(a)
(c)
R0
Evoluzione dell’universo
Legge di Hubble
1929
E.P.Hubble scopre
la relazione tra
velocità radiale delle
galassie e la loro
distanza:
V=Hd
primo indizio di
un’espansione
collettiva
dell’universo.
Questo comporta automaticamente che il moto sia
iniziato ad un tempo
tHubble = 1 / Ho
Astronomia extragalattica
Le misure di Hubble
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Ulteriore passo
Questo ci permette di
impostare un quadro
generale dell’universo e dei
suoi moti
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Universo in espansione
• Conseguenza immediata di questa relazione è che l'Universo
non e' statico
• Inoltre, sempre nell'ipotesi che gli spostamenti in lunghezza
d'onda siano dovuti ad effetto Doppler, si può valutare il
tempo in cui l'espansione ha avuto inizio:
T = s/v = d/Hd = 1/H
T = 13,7 109 anni
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30 %
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La determinazione di H
Per determinare il valore di H, in linea di principio, basta determinare la
distanza d di un certo numero di galassie per le quali è nota, per via
spettroscopica dall’effetto Doppler, la velocità Vr.
• La taratura di questa relazione (H) costituisce uno dei problemi
dell’astrofisica contemporanea.
• La velocità Vr delle galassie vicine, per le quali è facile misurare d, non
può essere usate per calibrare la relazione perché confrontabile con la
velocità peculiare della galassia stessa.
• Per le galassie lontane, Vr si determina bene per via spettroscopica
mentre d è incerta.
• A grandi distanze sorgono altri problemi di natura cosmologica.
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Espansione cosmologica
Per z molto grandi le cose si complicano, in quanto entra in gioco un altro
effetto, legato alla variazione dello stesso spazio, questo comporta che noi
vediamo gli oggetti lontani allontanarsi con velocità che aumentano con la
distanza, anche solo per ragioni geometriche
Semplicemente per effetto di una dilatazione dello spazio, noi vediamo
l’oggetto 2 allontanarsi di δ, l’oggetto 3 di untratto 2 δ, l’oggetto 4 di 3
δ. Quindi di una quantità proporzionale alla distanza
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Effetto Doppler gravitazionale
La Teoria della Relatività Generale di A. Einstein stabilisce una
relazione tra massa, spazio, tempo e gravitazione, determinando
quello che è il moderno punto di vista cosmologico dell’Universo.
In tale teoria, la gravitazione è considerata la
forza principale dell’universo, di cui governa l’evoluzione (nascita, vita,
fine).
Massa e energia
Tale teoria, oltre a prevedere l’espansione o la contrazione dell’universo,
prevede anche la variazione della λ della radiazione elettromagnetica
quando questa si muove in un campo gravitazionale.
Esempio:
Se si lancia un sasso verso l’alto, la
velocità iniziale tende a diminuire
fino ad annullarsi a causa della
gravità che fa perdere energia
cinetica al sasso che, quindi, inverte
il moto e cade.
Il fotone, essendo c = cost., non può perdere velocità e quindi la sua perdita
di energia si manifesta come riduzione di frequenza, che comporta uno
spostamento verso il rosso della λ .
Questo effetto, prodotto dal passaggio della radiazione in prossimità di
oggetti massici (nane bianche, stelle di neutroni, buchi neri), prende il nome
di “redshift gravitazionale”.
Esempio:
il redshift causato da un buco nero è
infinito. Di consequenza, i fotoni all’interno
del buco nero subiscono una variazione di
lunghezza d’onda talmente elevata da non
riuscire mai a venirne fuori.
Come consequenza del redshift gravitazionale, le stelle massicce vengono percepite
più rosse di quanto non lo siano realmente.
Il redshift gravitazionale si somma al redshift cosmologico e ciò rende
complicata la determinazione della costante di Hubble H, basata sullo
studio di oggetti distanti.
Nella figura che segue sono rappresentati gli spettri di una stella (z
= 0), di una galassia vicina (z = 0.01), di una lontana (z = 0.05) e di
una ancora più lontana (z = 0.25): si osservi come le righe si spostano
sempre più verso il rosso al crescere di z.
Z > 1 !?
Il valore di z sembra dunque dover avere un valore piccolo o, comunque,
mai superiore a z = 1.
Ci sono casi, però (QSO), in cui si supera tale valore, raggiungendo anche z
≈ 8.
Questi risultati significano che ci sono
sorgenti che si muovono con velocità v >
c?
La realtà è che nell’universo accadono
fenomeni nei quali si sviluppa una
quantità di energia molto elevata e nei
quali la sorgente può raggiungere
velocità prossime a c.
Oggetti relativistici
Questi oggetti sono definiti relativistici, raggiungono velocità
relativistiche e per loro l’effetto doppler è quello relativistico.
Si tratta dei getti assiali: a) dei buchi neri; b) dei quasars; c) delle
supernovae; d) degli AGN.
La contraddizione apparente nel valore di z è dovuta al fatto che è
stata usata la relazione classica dell’effetto Doppler, assumendo che il
tempo misurato dall’osservatore sia lo stesso della sorgente.
La teoria della Relatività afferma
che i due tempi scorrono diversamente e, in particolare, che l’osservatore vede scorrere più lentamente
quello della sorgente (paradosso dei
gemelli).
FINE
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