PROBABILITÀ E VARIABILI CASUALI

PROBABILITÀ E VARIABILI CASUALI
1
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Frequenza relativa e probabilità
Mediante
Medianteleleprobabilità
probabilitàsisidescrivono
descrivonoi ifenomeni
fenomeniche
chepossono
possonoessere
essere“pensati”
“pensati”come
comeun
un
“esperimento”
il
cui
risultato
sia
soggetto
a
cambiamento
al
ripetersi
dell’esperimento
“esperimento” il cui risultato sia soggetto a cambiamento al ripetersi dell’esperimento
stesso
stesso(pur
(purmantenendo
mantenendolelemedesime
medesimecondizioni
condizionioperative).
operative).
Esempio:
Esempio:
Esperimento:
Esperimento: Lancio
Lancio“casuale”
“casuale”didiun
undado
dado(ogni
(ognivolta
voltaininmodo
modoleggermente
leggermentediverso)
diverso)
Risultato:
Numero
Risultato:
Numerosulla
sullafaccia
facciasuperiore
superioredel
deldado
dado
Insieme
{1,2,3,4,5,6}
Insiemedei
deipossibili
possibilirisultati
risultati(elementari):
(elementari):{1,2,3,4,5,6}
Evento:
Evento:qualsiasi
qualsiasisottoinsieme
sottoinsiemedell’insieme
dell’insiemedei
deirisultati
risultatiA={1,2};
A={1,2};B={2,4,6};
B={2,4,6};ecc.
ecc.
Se
Sesisiesegue
esegueun
unnumero
numeroNNdidiprove
provesufficientemente
sufficientementeelevato,
elevato,sia
sial’esperienza
l’esperienzasia
sialala
teoria
teoriadella
dellaprobabilità
probabilitàmostrano
mostranoche
chelalafrequenza
frequenzarelativa
relativafkfkdei
deisingoli
singolirisultati
risultati
(k=1,2,3,4,5,6
(k=1,2,3,4,5,6))(o
(odidiun
unqualsiasi
qualsiasievento)
evento)èèprossima
prossimaalla
allaloro
loroprobabilità:
probabilità:
Nk
fk =
≈ P (k )
N
ATTENZIONE:
2
NA
fA =
≈ P ( A)
N
NB
fB =
≈ P (B )
N
0 ≤ fA ≤1
0 ≤ P ( A) ≤ 1
...
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Istogramma dei risultati
L’istogramma
L’istogrammadei
deirisultati
risultatièèililgrafico
graficodelle
delle frequenze
frequenzerelative
relative
Lancio di un dado non truccato, esito di una serie di prove
0.20
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3
3
4
4
5
5
Risultato del lancio
2
2
0
6
6
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
# prove
3
Frequenza relativa dei possibili risultati
1
1
Commento: questo istogramma è
sospetto! è troppo regolare!!
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Cenni di teoria della probabilità (1)
SS==spazio
spaziodegli
deglieventi,
eventi,cioè
cioèinsieme
insiemediditutti
tuttii irisultati
risultatielementari
elementari
A,B,C,...
A,B,C,...==eventi
eventi(sottoinsiemi
(sottoinsiemididiS,
S,inclusi
inclusilolostesso
stessoSSeel’insieme
l’insiemevuoto)
vuoto)
A U B ==unione
unionedidiAAeeBB
A B ==intersezione
intersezionedidiAAeeBB
Nota:
Nota:lalaprobabilità
probabilitàdidi A U B èèspesso
spessoindicata
indicatacon
conP(A+B).
P(A+B).
Nota:
Nota:lalaprobabilità
probabilitàdidi A B èèindicata
indicatacon
conP(A,B)
P(A,B)eedetta
dettaprobabilità
probabilitàcongiunta.
congiunta.
U
U
Assiomi
Assiomidella
dellateoria
teoriadella
dellaprobabilità
probabilità(proprietà
(proprietàdelle
delleprobabilità):
probabilità):
1.
1.Per
Perogni
ogniAAesiste
esiste(cioè
(cioèèèdefinita)
definita)P ( A) ≥ 0
2.
2.P(S)=1
P(S)=1
3.
3.Se
SeAAeeBBsono
sonomutuamente
mutuamenteesclusivi
esclusivi(hanno
(hannointersezione
intersezionenulla)
nulla)P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)
Nota:
nonsono
sonoaltro
altroche
cheleleproprietà
proprietàelementari
elementaridella
dellafrequenza
frequenzarelativa
relativa
Nota:non
Conseguenza
(facilmentedimostrabile):
dimostrabile):P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A,B)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A,B)
Conseguenza(facilmente
bisogna
bisognacontare
contaresolo
solouna
unavolta
voltal’intersezione
l’intersezionedidiAAeeB!
B!
Si
Siattribuiscono
attribuisconoalla
allaprobabilità
probabilitàleleproprietà
proprietàdella
dellafrequenza
frequenzarelativa,
relativa,perché
perchéi irisultati
risultati
del
calcolo
delle
probabilità
siano
a
loro
volta
interpretabili
come
frequenze
relative.
del calcolo delle probabilità siano a loro volta interpretabili come frequenze relative.
4
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Cenni di teoria della probabilità (2)
Esempio:
Esempio:lancio
lanciodidiun
undado
dado(ipotesi:
(ipotesi:dado
dadonon
nontruccato
truccato==>
==>risultati
risultatiequiprobabili)
equiprobabili)
A={1,2,3}
(l’evento
A
si
verifica
se
il
risultato
elementare
è
contenuto
A={1,2,3} (l’evento A si verifica se il risultato elementare è contenutoininA)
A)
B={2,4,6}
B={2,4,6}(l’evento
(l’eventoBBsisiverifica
verificase
seililrisultato
risultatoèèun
unnumero
numeropari)
pari)
Per
Percalcolare
calcolarelalaprobabilità
probabilitàdidiun
unevento
eventobasta
bastacontare
contarei irisultati
risultatiche
chelolocompongono!
compongono!
P(A)=n
P(A)=nA/n
/n dove
dovennA èèililnumero
numerodidirisultati
risultaticontenuti
contenutiininAAeennililnumero
numerototale
totaledidirisultati.
risultati.
A
A
P(A)=P(B)=3/6
P(A)=P(B)=3/6
P(A+B)=P({1,2,3,4,6})=5/6
P(A+B)=P({1,2,3,4,6})=5/6
(o
(oanche
ancheP(A+B)=P(A)+P(B)-P(A,B)=3/6+3/6-1/6=5/6,
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A,B)=3/6+3/6-1/6=5/6,ma
maininquesto
questocaso
casonon
nonconviene)
conviene)
P(A)=n
P(A)=nAA/n
/npuò
puòessere
essereuna
unadefinizione
definizionegenerale
generaledidiprobabilità?
probabilità?NO
NOperché
perchéesistono
esistonoanche
anche
i idadi
(intenzionalmenteoono);
no);potrebbe
potrebbeessere
essereP(1)=0.5
P(1)=0.5eeP(2)=...=P(6)=0.1.
P(2)=...=P(6)=0.1.
daditruccati
truccati(intenzionalmente
In
questo
caso
si
avrebbe
P(A)=0.7,
P(B)=0.3
e
P(A+B)=0.9.
In questo caso si avrebbe P(A)=0.7, P(B)=0.3 e P(A+B)=0.9.
Regola
Regolagenerale:
generale:nel
nelcaso
casodei
deirisultati
risultatiequiprobabili,
equiprobabili,ililcalcolo
calcolodelle
delleprobabilità
probabilitàrichiede
richiede
solo
solodidisaper
sapercontare;
contare;se
sei irisultati
risultatinon
nonsono
sonoequiprobabili
equiprobabilioccorre
occorresaper
sapersommare.
sommare.
N.B.:
N.B.:ililnumero
numerodiditermini
terminida
dasommare
sommarepuò
puòessere
essereenorme,
enorme,ooaddirittura
addiritturainfinito!
infinito!
5
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Indipendenza statistica
Esempio:
Esempio:lancio
lanciodididue
duedadi
dadi(non
(nontruccati)
truccati)
A={1
A={1nel
nelprimo
primolancio
lancio(e
(erisultato
risultatoqualsiasi
qualsiasinel
nelsecondo
secondolancio)}
lancio)}
B={3
o
4
nel
secondo
lancio
(e
risultato
qualsiasi
nel
primo
B={3 o 4 nel secondo lancio (e risultato qualsiasi nel primolancio)}
lancio)}
P(A,B)=P({1
P(A,B)=P({1nel
nelprimo
primolancio,
lancio,33oo44nel
nelsecondo
secondolancio})=2/36
lancio})=2/36
(infatti
(infattivivisono
sono36
36coppie
coppiedidirisultati
risultatiequiprobabili:
equiprobabili:lelecoppie
coppie(1,3)
(1,3)ee(1,4)
(1,4)costituiscono
costituiscono
l’evento
l’eventocongiunto)
congiunto)
In
Inquesto
questocaso
casorisulta
risultaP(A,B)
P(A,B)=P(A)P(B),
=P(A)P(B),cioè
cioèlalaprobabilità
probabilitàcongiunta
congiuntaèèuguale
ugualealal
prodotto
diceche
chegli
glieventi
eventiAAeeBBsono
sonostatisticamente
statisticamenteindipendenti
indipendenti
prodottodelle
delleprobabilità:
probabilità:sisidice
(o
(oindipendenti).
indipendenti).Effettivamente
Effettivamentei ilanci
lancisono
sonoindipendenti,
indipendenti,aameno
menoche
chesisivoglia
vogliacredere
credere
che
cheilildado
dadoha
hamemoria!!
memoria!!
Si
Siassume
assumeaapriori
priori l’indipendenza
l’indipendenzastatistica,
statistica,eequindi
quindisisiusa
usalalaregola
regolaP(A,B)=P(A)P(B),
P(A,B)=P(A)P(B),
quando
sonoeventi
eventirelativi
relativiaaesperimenti
esperimentiindipendenti.
indipendenti.Esempio
Esempiotipico:
tipico:ripetizione
ripetizione
quandoAAeeBBsono
didiuno
unostesso
stessoesperimento,
esperimento,cioè
cioè“prove
“proveripetute”
ripetute”(dette
(detteanche
anche“prove
“provedidiBernoulli”).
Bernoulli”).
N.B.:
N.B.:nel
nelcaso
casodidiesperimenti
esperimentiindipendenti
indipendentivale
valelalaregola
regolaP(A,B)=P(A)P(B)
P(A,B)=P(A)P(B)anche
anchese
sei i
risultati
risultatielementari
elementarinon
nonsono
sonoequiprobabili
equiprobabili(dado
(dadotruccato).
truccato).
6
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Variabile casuali discrete (distribuzione di probabilità)
Si
Sidice
dicevariabile
variabilecasuale
casualeun
unnumero
numeroreale
realeassociato
associatoalalrisultato
risultatodell’esperimento.
dell’esperimento.
Se
Sei ipossibili
possibilirisultati
risultatisono
sononumerabili
numerabililalavariabile
variabilecasuale
casualeèèdetta
dettadiscreta.
discreta.
Ad
Adesempio
esempioall’esperimento
all’esperimento“lancio
“lanciodel
deldado”
dado”(non
(nontruccato)
truccato)associamo
associamolalavariabile
variabilecasuale
casuale
xxche
chepuò
puòassumere
assumerei ivalori
valoriinteri
intericompresi
compresitra
tra11ee66con
conprobabilità
probabilità1/6.
1/6.Nota:
Nota:se
seinvece
invece
vogliamo
vogliamoindicare
indicarelelefacce
faccedel
deldado
dadocon
cona,b,c,d,e,f
a,b,c,d,e,fnon
nondefiniamo
definiamouna
unavariabile
variabilecasuale.
casuale.
Si
Sidice
dicedistribuzione
distribuzionedidiprobabilità
probabilità(o
(otalvolta
talvoltadensità
densitàdiscreta
discretadidiprobabilità)
probabilità)della
della
variabile
variabilecasuale
casualexxlalafunzione
funzioneP(a)
P(a)(o
(otalvolta
talvoltap(a)),
p(a)),che
cherappresenta
rappresentacon
conquale
quale
probabilità
probabilitàlalavariabile
variabilecasuale
casualexxassume
assumeililvalore
valorea.
a.
Se
Sei irisultati
risultatisono
sonoininnumero
numerofinito
finitosisitratta
trattadidiuna
unarappresentazione
rappresentazionedel
deltutto
tutto
equivalente
equivalentead
aduna
unatabella
tabellacontenente
contenenteleleprobabilità
probabilitàP(a).
P(a).
Distribuzione di probabilità della variabile casuale x
Nell’esperimento “lancio del
dado” la distribuzione di
probabilità della variabile
casuale x vale 1/6 per i valori
di a interi compresi tra 1 e 6, e
zero altrove.
1/6
0
7
0
1
2
3
4
5
6
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Variabili casuali continue
Le
Levariabili
variabilicasuali
casualisono
sonocontinue
continuequando
quandopossono
possonoassumere
assumereun
uninsieme
insieme
continuo
continuodidivalori
valori(e
(equindi
quindii ipossibili
possibilirisultati
risultatisono
sonoininnumero
numeroinfinito).
infinito).
Esempio:
Esempio:lalatemperatura
temperaturadidiuna
unastanza
stanzamisurata
misurataad
adun
unistante
istantediditempo
tempocasuale
casuale(con
(con
precisione
infinita!
ottenendo
cioè
un
numero
reale).
precisione infinita! ottenendo cioè un numero reale).
IlIlconcetto
concettodidifrequenza
frequenzarelativa
relativaviene
viene
recuperato
recuperatoapprossimando
approssimandol’insieme
l’insiemecontinuo
continuo
didivalori
valoricon
conun
unnumero
numerofinito
finitodidiintervallini
intervallinididi
misura
misura(discretizzazione).
(discretizzazione).
Temperatura misurata
30
28
Ad
Adesempio,
esempio,se
selalatemperatura
temperaturadella
dellastanza
stanza
può
puòvariare
variarecon
concontinuità
continuitàtra
tra20
20ee30
30gradi,
gradi,
non
commettiamo
un
grosso
errore
non commettiamo un grosso errore
approssimando
approssimandol’intervallo
l’intervallocontinuo
continuocon
con50
50
intervallini
intervallinicontigui
contiguididi0.2
0.2gradi
gradiciascuno.
ciascuno.
26
24
22
20
0
500
1000
1500
Numero di prove
8
2000
La
Lavariabile
variabilecasuale
casualeèèdiventata
diventatadiscreta
discreta(ci
(ci
sono
sono50
50possibili
possibilirisultati
risultatidell’esperimento)
dell’esperimento)ee
possiamo
possiamoapprossimare
approssimarelalaprobabilità
probabilitàcome
come
limite
della
frequenza
relativa
per
N
elevato.
limite della frequenza relativa per N elevato.
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Istogramma
Anche
Ancheper
perlelevariabili
variabilicasuali
casualicontinue,
continue,una
unavolta
volta“discretizzate”,
“discretizzate”,èèpossibile
possibiletracciare
tracciare
l’istogramma
l’istogrammacome
comegrafico
graficodella
dellafrequenza
frequenzarelativa
relativadei
deirisultati
risultatiininogni
ogniintervallino
intervallinoinincui
cui
sisièèsuddiviso
suddivisol’insieme
l’insiemecontinuo
continuodei
deirisultati.
risultati.
30
30
28
28
26
26
24
24
22
22
20
0
500
1000
1500
Numero di prove
9
2000
20
ISTOGRAMMA
ddp
Temperatura misurata
ATTENZIONE:
ATTENZIONE:i ivalori
valoridell’istogramma
dell’istogramma per
perlelevariabili
variabilicasuali
casualicontinue,
continue,una
unavolta
volta
“discretizzate”,
“discretizzate”,dipendono
dipendonodalla
dalladimensione
dimensionedell’intervallino
dell’intervallinoscelto:
scelto:più
piùèèpiccolo
piccolo
l’intervallo
l’intervallopiù
piùsono
sonobassi
bassii ivalori
valoridell’istogramma.
dell’istogramma.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Frequenza relativa
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
0.1
Densità di probabilità (ddp)
Temperatura misurata
Per
Perintrodurre
introdurreililconcetto
concettodididensità
densitàdidiprobabilità
probabilitàp(a)
p(a)didiuna
unavariabile
variabilecasuale
casualecontinua
continuaaa
partire
partiredall’istogramma
dall’istogrammaoccorrono
occorronoi iseguenti
seguentipassi:
passi:
11--Utilizzare
Utilizzareintervallini
intervallinipiccoli,
piccoli,così
cosìda
dapoter
poterritenere
ritenerelaladdp
ddpcostante
costantealalloro
lorointerno
interno
22--Dividere
Dividereililvalore
valoredell’istogramma
dell’istogrammaper
perlaladimensione
dimensionedell’intervallino
dell’intervallino(in
(inmodo
modoche
cheilil
risultato
risultatosia
siaindipendente
indipendentedalla
dalladimensione
dimensionedell’intervallino)
dell’intervallino)
33--Utilizzare
Utilizzareun
unnumero
numeromolto
moltoelevato
elevatodidiprove
prove(tanto
(tantopiù
piùelevato
elevatoquanto
quantopiù
piùpiccolo
piccoloèè
l’intervallino)
l’intervallino)ininmodo
modoche
chefrequenze
frequenzerelative
relativeeeprobabilità
probabilitàquasi
quasicoincidano
coincidano
30
30
28
28
26
26
24
24
22
22
20
0
500
1000
1500
2000
ddp
20
0
0.1
0.2
0.3
Numero di prove
10
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
0.4
Uso della densità di probabilità di una v.c. continua
La
Ladensità
densitàdidiprobabilità
probabilitàp(a)
p(a)didiuna
unavariabile
variabilecasuale
casualecontinua
continuaèèdunque
dunquedefinibile
definibilecome
come
P(a < x ≤ a + da )
p (a ) = lim
da →0
da
N.B.: se non è evidente di quale variabile
casuale si sta parlando si scrive px(a)
Dalla
Dalladensità
densitàdidiprobabilità
probabilitàp(a)
p(a)èèfacile
facilecalcolare
calcolarelalaprobabilità
probabilitàche
chelalavariabile
variabilecasuale
casualexx
assuma
assumaun
unvalore
valorecompreso
compresoininun
unintervallo
intervalloaa11, ,aa22. .Basta
Bastasommare!
sommare!sisiottiene
ottienel’area
l’area
sottesa
sottesadalla
dalladdp
ddpnell’intervallo
nell’intervallod’interesse.
d’interesse.
P (a1 < x ≤ a2 ) =
a2
∫ p(a)da
0.5
0.4
a1
0.3
Si noti che
P(− ∞ < x < ∞ ) =
∞
∫ p(a)da = 1
−∞
Dunque
Dunquel’area
l’areasottesa
sottesadalla
dalladdp
ddpdidiuna
una
qualunque
qualunquevariabile
variabilecasuale
casualeèèunitaria.
unitaria.
11
0.2
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
a1
0
1
a2
2
3
4
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
5
Densità di probabilità congiunta
In
Inmodo
mododel
deltutto
tuttoanalogo
analogosisidefinisce
definiscelaladdp
ddpdididue
due(o
(opiù)
più)variabili
variabilicasuali
casuali(densità
(densitàdidi
probabilità
probabilitàcongiunta):
congiunta):
P(a < x ≤ a + da, b < y ≤ b + db)
p xy (a, b) = lim
da →0
da db
db →0
La
Ladensità
densitàdidiprobabilità
probabilitàcongiunta
congiuntappxyxy(a,b)
(a,b)èèutilizzata
utilizzataper
percalcolare
calcolarelalaprobabilità
probabilitàche
chelele
variabili
variabilicasuali
casualixxeeyyassumano
assumano(congiuntamente)
(congiuntamente)valori
valoricompresi
compresiininuna
unaregione
regionedel
del
piano.
piano.Basta
Bastaintegrare
integrarenella
nellaregione
regioned’interesse
d’interesse(integrale
(integraledoppio).
doppio).
Le
Levariabili
variabilicasuali
casualixxeeyysono
sonodette
dettestatisticamente
statisticamenteindipendenti
indipendentise
se
p xy (a, b) = p x (a ) p y (b)
per ogni a e b
Si
Siassume
assumeaapriori
priori che
chelelevariabili
variabilicasuali
casualixxeeyysiano
sianostatisticamente
statisticamenteindipendenti
indipendentise
se
ottenute
(esempio:prove
proveripetute).
ripetute).
ottenuteda
daesperimenti
esperimentisvolti
svoltiinincondizioni
condizioniindipendenti
indipendenti(esempio:
12
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Valor medio di una variabile casuale
IlIlvalor
valormedio
mediom
mxx, ,detto
dettoanche
anchevalore
valoreatteso
attesoEE[x]
[x]oomomento
momento(statistico)
(statistico)didiordine
ordineuno,
uno,didi
una
unavariabile
variabilecasuale
casualexx èèdefinito
definitocome
comesegue.
segue.Se
Sel’esperimento
l’esperimentoviene
vieneeseguito
eseguitoNNvolte
volte
(N
(Ngrande)
grande)m
mxxèèinterpretabile
interpretabileapprossimativamente
approssimativamentecome
comemedia
mediaaritmetica
aritmeticadei
deirisultati:
risultati:
∞
1
m x = E [x ] = ∫ a p(a) da ≈
N
−∞
N
∑x
i =1
i
Il valor medio di una variabile casuale è l’ascissa del “baricentro” dell’area sottesa
dalla densità di probabilità.
p(a)
p(a)
m
13
X
a
m
X
a
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Proprietà del valor medio (1)
La
Laproprietà
proprietàfondamentale
fondamentaledel
delvalor
valormedio
medioèèlalaseguente.
seguente.Se
Sedalla
dallavariabile
variabilecasuale
casualexxsisi
ottiene
ottieneuna
unanuova
nuovavariabile
variabilecasuale
casualeyyattraverso
attraversolalafunzione
funzioney=f(x),
y=f(x),dove
dovef(x)
f(x)èèuna
una
funzione
funzioneprefissata
prefissata(in
(intal
talcaso
casosisidice
diceche
cheyyèèfunzione
funzionedidivariabile
variabilecasuale),
casuale),ililcalcolo
calcolodel
del
valor
valormedio
mediodidiyynon
nonrichiede
richiededidideterminarne
determinarnelaladdp
ddp(cosa
(cosache
chepotrebbe
potrebbeessere
esseredifficile).
difficile).
Si
Sipuò
puòinvece
inveceprocedere
procederenel
nelseguente
seguentemodo,
modo,mediante
mediantelaladdp
ddpdella
dellavariabile
variabilex:x:
E[ y ] =
∞
∫ f (a) p (a) da
x
−∞
Analogo
Analogorisultato
risultatovale
valeper
peruna
unafunzione
funzionedidipiù
piùvariabili
variabilicasuali.
casuali.La
Ladimostrazione
dimostrazionedidiquesta
questa
importante
importanteproprietà
proprietànon
nonèèaffatto
affattobanale.
banale.Tuttavia
Tuttaviaililrisultato
risultatonon
nonsorprende,
sorprende,se
sesisipensa
pensa
all’interpretazione
all’interpretazionedel
delvalor
valormedio
mediocome
comemedia
mediaaritmetica
aritmeticadidiun
ungran
grannumero
numeroNNdidirisultati:
risultati:
1
E[ y ] ≈
N
N
1
y
=
∑
i
N
i =1
N
∑ f (x )
i =1
i
Esempio:
Esempio:lalavariabile
variabilecasuale
casualexxha
haddp
ddp“uniforme”
“uniforme”(cioè
(cioècostante)
costante)
nell’intervallo
nell’intervallo(0,1)
(0,1)eenulla
nullaaltrove.
altrove.La
Lavariabile
variabilecasuale
casualeyyèèdefinita
definita
come
comey=cos(x).
y=cos(x).IlIlvalor
valormedio
mediodidiyyèè
1
1
0
0
E[ y ] = ∫ cos(a ) p x (a ) da = ∫ cos(a) da = sin(1) = 0.84
14
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Proprietà del valor medio (2)
Dalla
Dallaproprietà
proprietàfondamentale
fondamentaledel
delvalor
valormedio
mediosisiottengono
ottengonoimmediatamente
immediatamenteleleseguenti
seguenti
proprietà,
proprietà,didiuso
usofrequentissimo:
frequentissimo:
IlIlvalor
x+ydidivariabili
variabilicasuali
casualièèlalasomma
sommadei
deivalori
valorimedi.
medi.
valormedio
mediodella
dellasomma
sommax+y
Se
Seaaeebbsono
sonocostanti
costantiE[ax+b]
E[ax+b]==aaE[x]
E[x]++b.
b.
Se
Sexxeeyysono
sonovariabili
variabilicasuali
casualiindipendenti
indipendentieef(x)
f(x)eeg(y)
g(y)sono
sonofunzioni
funzioniarbitrarie,
arbitrarie,
E[f(x)g(y)]
E[f(x)g(y)]==E[f(x)]
E[f(x)]E[g(y)].
E[g(y)].
In
Inparticolare,
particolare,se
sexxeeyysono
sonovariabili
variabilicasuali
casualiindipendenti
indipendentisisiha
haE[xy]
E[xy]==mmxxmmyy. .
Variabili
Variabilicasuali
casualixxeeyytali
taliche
chesia
sia E[xy]
E[xy]==mmxxmmyysono
sonodette
detteincorrelate.
incorrelate.
N.B.:
duevariabili
variabilicasuali
casualipossono
possonoessere
essereincorrelate
incorrelateanche
anchesenza
senzaessere
essereindipendenti.
indipendenti.
N.B.:due
Variabili
Variabilicasuali
casualiindipendenti
indipendentisono
sonoinvece
invecesempre
sempreincorrelate.
incorrelate.
15
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Valore quadratico medio e varianza
[
]
IlIlvalor
EE[x[x22],],detto
anche
potenza statistica
∞
valorquadratico
quadraticomedio
medio
detto
statisticaoomomento
momento(statistico)
(statistico)didi
2 anche potenza
2
2
(a ) ⋅ daApprossimativamente,
σ X = Ecasuale
( X − m Xxx) èè=definito
) ⋅ f Xsegue.
=
ordine
xcome
∫ (a − mcome
ordine2,
2,didiuna
unavariabile
variabile
casuale
definito
segue.
Approssimativamente,èèlala
−∞
media
didirisultati
mediaaritmetica
aritmeticadidiun
unnumero
numeromolto
moltoelevato
elevato
risultatididialtrettanti
altrettantiesperimenti:
esperimenti:
2
2
2
2
2
2
= E X − 2 ⋅ m X ⋅ E [ X ] + m X = E∞ X − 2 ⋅ m X ⋅ m X + m
=
E
X
−
m
X
X
N
[ ]
[ ]
[ ]
1
2
2
2
E [x ] = ∫ a p(a)da ≈ ∑ xi
N i =1
−∞
2
La
(dettaanche
anchemomento
momentocentrale
centraledidiordine
ordine2)
2)didiuna
unavariabile
variabilecasuale
casualexxèèilil
Lavarianza
varianzaσσxx2 (detta
valore
valorequadratico
quadraticomedio
mediodella
delladifferenza
differenzatra
traxxeeililsuo
suovalor
valormedio
mediommx
x
[
] [ ]
1
2
2
2
2
σ x = E ( x − mx ) = E x − mx ≈
N
N.B.:
N.B.:dimostrare
dimostrareche
che
[
] [ ]


x
−
x
∑


∑
i
i
N

i =1 
E ( x − mx ) 2 = E x 2 − mx
N
1
2
2
richiede
richiedeun
unpiccolo
piccolocalcolo.
calcolo.
16
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Deviazione standard
La
Laradice
radicequadrata
quadratadella
dellavarianza
varianzaèèdetta
dettadeviazione
deviazionestandard
standard(o
(oscarto
scartoquadratico
quadraticomedio)
medio)
della
variabile
casuale
x
della variabile casuale x
σ x = σ x2
La
Ladeviazione
deviazionestandard
standardèèuna
unamisura
misura
della
delladispersione,
dispersione,rispetto
rispettoalalvalor
valor
medio,
dei
valori
assunti
nei
vari
medio, dei valori assunti nei vari
esperimenti
esperimentidalla
dallavariabile
variabilecasuale
casualex.
x.
Più
Piùèèelevata
elevatalaladeviazione
deviazionestandard
standard
più
piùi irisultati
risultatisono
sonodispersi
dispersirispetto
rispettoalal
valor
valormedio
medioeelaladdp
ddpèè“larga”.
“larga”.
σx >σx >σx
3
17
2
1
0.5
px1 (a)
0.4
p x2 ( a )
0.3
0.2
px3 (a)
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
5
Densità di probabilità gaussiana
p (a )
1
2πσ x2
 (a − mx )2 

p(a) =
exp −
2

2
2
σ
2πσ x
x


1
0 .606
2πσ
2
x
0 .135
σX σX
2σ X
2σ X
2πσ x2
mX
P(mx − σ x < x ≤ mx + σ x ) =
 (a − mx )2 
 da ≈ 0.683
exp −
2
2
2σ x 
2π σ x

m x +σ x
∫σ
mx −
P(mx − 2σ x < x ≤ mx + 2σ x ) =
1
x
m x + 2σ x
∫σ
mx − 2
P(mx − 3σ x < x ≤ mx + 3σ x ) =
m x + 3σ x
∫σ
mx −3
18
x
x
 (a − mx )2 
 da ≈ 0.954
exp −
2

2
σ
2π σ x2
x


1
 (a − mx )2 
 da ≈ 0.997
exp −
2

2
σ
2π σ x2
x


1
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
a
Funzione Q e funzione errore complementare (erfc)
p (a )
B=
0 .606
∞
∫
mx + β
2πσ x2
σx σx
 β 
β  1



= Q  = erfc

σ x  2
 2σ x 
B
C=B
 (a − mx )2 
 da =
exp −
2
2
2σ x 
2πσ x

1
mX
β
t
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,60
19
Q(t)
5,000E-01
4,801E-01
4,602E-01
4,404E-01
4,207E-01
4,013E-01
3,821E-01
3,622E-01
3,446E-01
3,264E-01
3,085E-01
2,743E-01
t
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
β
Q(t)
2,119E-01
1,587E-01
1,151E-01
8,080E-02
3,806E-01
3,590E-02
2,280E-02
8,200E-03
2,600E-03
6,871E-04
1,591E-04
3,167E-05
a
s
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1,0
1,2
1,4
erfc(s)
1,000E+00
8,875E-01
7,730E-01
6,714E-01
5,716E-01
4,795E-01
3,961E-01
3,222E-01
2,579E-01
1,573E-01
9,700E-02
4,770E-02
s
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,3
3,7
4,0
5,0
erfc(s)
2,370E-02
1,090E-02
4,700E-03
1,900E-03
6,885E-04
2,360E-04
7,502E-05
2,209E-05
3,057E-06
1,671E-07
1,542E-08
1,537E-12
(
exp − t 2 / 2
per t > 3 Q (t ) ≈
2π t
)
( )
exp − s 2
per s > 2 erfc( s) ≈
πs
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Prove ripetute (1)
Esempio:
Esempio:NNlanci
lanci(indipendenti)
(indipendenti)didiuna
unamoneta
monetatruccata,
truccata,che
chedà
dàtesta
testacon
conprobabilità
probabilitàp.p.
Consideriamo
Consideriamolalavariabile
variabilecasuale
casualekk==numero
numerodiditeste
testetotali
totali(non
(nonciciinteressa
interessal’ordine).
l’ordine).
N
Si
Sipossono
possonoottenere
ottenerekkteste
testeininNNprove
proveinin  k  modi
modidistinti,
distinti,ciascuno
ciascunoavente
aventeprobabilità
probabilità
 
N k
k
N −k
N −k
p (1 − p )
(prodotto
(prodottodelle
delleprobabilità),
probabilità),eequindi
quindi P ( k )
p=0.3 N=10
p=0.3 N=100
=   p (1 − p )
k
..
p=0.3 N=1000
E’ evidente che all’aumentare di N la frequenza relativa si discosta sempre meno da p
(legge dei grandi numeri)
20
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Prove ripetute (2)
Varianza
Varianzadel
delnumero
numerokkdidi“successi”
“successi”ininNNprove
proveindipendenti:
indipendenti:se
seppèèlalaprobabilità
probabilitàdidi
successo
successonella
nellasingola
singolaprova
provasisipuò
puòdimostrare
dimostrareche
chelalavarianza
varianzadel
delnumero
numerodidisuccessi
successièè
σ k2 = N p (1 − p)
eequindi
è p (1 −
quindilalavarianza
varianzadella
dellafrequenza
frequenzarelativa
relativafkf=k/N
k=k/N è
tendente
tendenteaainfinito.
infinito.
Gli
Gliscarti
scartiquadratici
quadraticimedi
medisono
sonodati
datirispettivamente
rispettivamenteda
da
Esempio:
Esempio:pp==0.3.
0.3.
N=
p) / N
eetende
tendeaazero
zeroper
perNN
N p (1 − p)
10
10
100
100
1000
1000
N p (1 − p ) =
1.45
1.45
4.58
4.58
14.5
14.5
p (1 − p) / N =
0.145
0.145
0.458
0.458
0.0145
0.0145
ee
p (1 − p) / N . .
Come
Comesisivede
vedeloloscarto
scartoquadratico
quadraticomedio
mediodel
delnumero
numerodidisuccessi
successiaumenta
aumenta(ma
(mapiù
più
lentamente
lentamentedidiN),
N),mentre
mentreloloscarto
scartoquadratico
quadraticomedio
mediodella
dellafrequenza
frequenzarelativa
relativadiminuisce.
diminuisce.
evidente che
all’aumentare
diinN
la
frequenza
relativa
siprobabilità,
discosta sempre
meno da p
Si
come
sia
“misurare”
una
eseguendo
SiE’comprende
comprende
come
siapossibile
possibile
inpratica
pratica
“misurare”
una
probabilità,
eseguendo
(legge
grandi
numeri)
l’esperimento
dididei
volte
(secondo
lalaprecisione
l’esperimentoun
unnumero
numerosufficiente
sufficiente
volte
(secondo
precisionedesiderata).
desiderata).
21
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Somma di variabili casuali
Si possono dimostrare molte notevoli proprietà:
IlIlvalor
valormedio
mediodella
dellavariabile
variabilecasuale
casualez=x+y
z=x+yèèpari
parialla
allasomma
sommadei
deivalori
valorimedi.
medi.
Se
Sexxeeyysono
sonovariabili
variabilicasuali
casualiindipendenti,
indipendenti,lalavariabile
variabilecasuale
casualez=x+y
z=x+yha
hacome
comeddp
ddplala
convoluzione
convoluzionedelle
delledue
dueddp:
ddp:
p z (a ) = p x ( a ) ∗ p y ( a )
Se
Sexxeeyysono
sonovariabili
variabilicasuali
casualiindipendenti,
indipendenti,lalavariabile
variabilecasuale
casualez=x+y
z=x+yha
havarianza
varianzapari
pari
somma
delle
varianze:
alla
2
2
2
alla somma delle varianze:
σ z = σ x +σ y
La
Lasomma
sommadidiun
unnumero
numeroNNgrande
grandedidivariabili
variabilicasuali
casualiindipendenti
indipendentixxi iha
haddp
ddpprossima
prossimaalla
alla
gaussiana,
gaussiana,indipendentemente
indipendentementedalle
dallesingole
singoledensità!
densità!(teorema
(teoremalimite
limitecentrale)
centrale)
2


(
a
−
m
)
1
y

p y (a) = p x1 (a) ∗ p x2 (a) ∗ ... ∗ p xN (a) ≈
exp −
2


2
σ
2π σ y2
y


La
Laddp
ddppuò
puòessere
essereprossima
prossimaalla
allagaussiana
gaussianaanche
ancheper
perNNrelativamente
relativamentepiccolo
piccolo(N=5÷10).
(N=5÷10).
22
Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC