A.A. 2011/2012
Scienza delle Finanze
Esercitazione: Sistema Sanitario
Esercizio 1 - Sanità
Considerate una comunità composta da individui con differenti probabilità di ammalarsi:
•
•
individui di tipo H, che rappresentano il 55% della popolazione, con una probabilità di ammalarsi pari al 70%;
individui di tipo L, che rappresentano il 45% della popolazione, con una probabilità di ammalarsi pari al 30%.
In caso di malattia il danno è pari a 100 per entrambi i gruppi.
In un mercato perfettamente concorrenziale e in assenza di costi di amministrazione, si determinino i premi richiesti ai
due tipi di individui per unità di materia assicurata e si dica se gli individui scelgono di acquistare una copertura
completa o parziale nel caso in cui:
a) l’informazione sia perfetta;
b) l'impresa assicuratrice non riesca a discriminare tra i due tipi di individui (asimmetria informativa) ed offra ad
entrambi i gruppi lo stesso contratto con un premio tale da rendere i profitti complessivi nulli (in valore atteso). Si
discutano brevemente i problemi che sorgono in questa situazione.
Soluzione
a) In un mercato perfettamente concorrenziale, deve valere la condizione di profitti attesi nulli: E(P)=0. E’ possibile
mostrare che, con informazione perfetta (simmetrica), tale condizione implica che l’impresa richieda ad entrambi i
tipi di individui il pagamento di premi attuarialmente equi, cioè pari alla probabilità dell’evento negativo.
Indicando con N la numerosità della popolazione, con q il livello di copertura scelto, con pi e con πi rispettivamente
il premio pagato e la probabilità di ammalarsi per il tipo i-esimo:
E(P)= 0,55 N pH qH – 0,55 N πH qH + 0,45 N pL qL – 0,45N πL qL = 0
da cui segue:
pH = πH = 0,7 per gli individui H e pL = πL = 0,3 per gli individui L.
In questo caso entrambi i gruppi chiedono copertura completa:
q = d = 100.
b) Se l'informazione è asimmetrica, l'assicuratore non discrimina tra agenti H e L e può essere indotto ad offrire a tutti
un unico contratto. Se la popolazione è sufficientemente numerosa e in presenza di rischi indipendenti, il profitto
atteso può essere scritto come:
E(P)= Npq – 0,55 N πH q – 0,45N πL q
In questo caso, assumendo che tutti gli individui accettino di sottoscrivere il contratto, la condizione di profitti
attesi nulli impone la richiesta di un premio pari alla probabilità media di malattia per l’intera popolazione.
Pertanto, E(P)=0 se e solo se:
p = 0,55 πH + 0,45 πL = 0,55 x 0,7 + 0,45 x 0,3 = 0,52.
I problemi derivano dal fatto che questo premio è superiore alla probabilità di ammalarsi per gli individui di tipo L,
i quali quindi non si assicureranno. Questo implica che la qualità media degli assicurati diminuisce (fenomeno di
selezione avversa), le imprese aumentano i premi (per evitare profitti negativi), rimangono solo individui di tipo H
e il premio aumenta fino a raggiungere il valore per gli individui ad alto rischio (nel nostro caso 0,7).
Esercizio 2 - Sanità
Il paese X decide di iniziare a fornire i farmaci gratuitamente. La funzione di domanda della collettività stimata è la
seguente:
q = 10000 – 10 p
dove q indica la quantità di farmaci richiesta e p il prezzo medio di tali farmaci.
Il prezzo medio per farmaco è di 300.
a) Definire il concetto di azzardo morale. Come si applica alla situazione del paese X?
b) Calcolare la perdita di bilancio rispetto alla situazione di perfetta informazione nel caso si pongano problemi di
azzardo morale.
c) In seguito ad una attenta analisi, il governo di X si rende conto di non avere alcuna possibilità di controllare il
comportamento dei consumatori. Allo stesso tempo, però, per ragioni di finanza pubblica, la spesa farmaceutica a
carico dello stato non può in alcun caso eccedere il tetto di 1.800.000. Quali manovre potrebbe attuare al fine di
raggiungere questo livello di consumo farmaceutico?
Soluzione
a)
AZZARDO MORALE: poiché l’impresa di assicurazione non è in grado di controllare il comportamento degli
assicurati dopo la stipula del contratto, l’individuo può domandare più cure di quanto strettamente necessario,
oppure può influenzare la probabilità che si verifichi l’evento negativo.
Nel nostro caso la quantità di farmaci venduta in corrispondenza di un prezzo pari a 300 (quantità con perfetta
informazione) è:
q PI = 10000 – 10 p = 10000 – 10 (300) = 7.000.
Il problema di azzardo morale nasce dal fatto che nel paese X gli individui ricevono farmaci gratuitamente (quindi,
per i cittadini-consumatori, p = 0), mentre il prezzo effettivo è pagato dal governo. La quantità domandata (quantità
con moral hazard) sarà dunque pari a:
q MH = 10000 – 10 p = 10.000.
I pazienti fanno quindi ricorso a cure addizionali rispetto a quelle cui farebbero ricorso qualora non esistesse un sistema
farmaceutico pubblico e gratuito.
b) Nell’ipotesi di azzardo morale, la spesa farmaceutica per il governo del paese X è:
q MH
× p = 10000 x (300) = 3.000.000.
Nell’ipotesi di perfetta informazione si ha invece che:
q PI
× p = 7000 x (300) = 2.100.000.
La perdita di bilancio dovuta all’asimmetria informativa è pertanto di 900.000.
c) Al fine di disincentivare l’eccessivo consumo di farmaci, è prassi utilizzare sistemi di compartecipazione al
finanziamento delle spese sanitarie: il paese X introduce a tal fine i ticket.
Pertanto, il prezzo medio per farmaco, p = 300, è coperto per un ammontare fisso (x) dal cittadino-consumatore, e
per il restante ammontare (300 - x) dallo Stato.
Dal momento che il cittadino-consumatore paga x per ogni unità di farmaco, la domanda di farmaci sarà:
q = 10.000 - 10x.
Pertanto, la spesa farmaceutica complessiva a carico dello Stato è:
(10.000 – 10x) (300 – x)
Dato il vincolo di spesa che lo Stato deve rispettare, otteniamo:
(10.000 – 10x) (300 – x) = 1.800.000
che equivale a:
10x2 – 13.000x + 1.200.000 = 0
⇒ x = 100.
Il governo del paese X dovrebbe, pertanto, richiedere ai cittadini-consumatori di coprire 1/3 del prezzo medio dei
farmaci.
Esercizio 3 - Sanità
Si consideri una collettività costituita da 2 individui, uno giovane e uno anziano. Entrambi hanno un reddito pari a 30 e
subiscono un danno pari a 100 in caso di malattia. Il giovane ha una probabilità πG=0,2 di ammalarsi, mentre l’anziano
ha una probabilità πA=0,7. I due individui sono perfettamente distinguibili dalle compagnie assicurative.
a) Si determini il grado di copertura ottimale q* scelto da ciascun individuo in corrispondenza di un premio
b)
c)
attuarialmente equo.
Si calcoli il premio complessivo che ciascun individuo dovrebbe pagare per ottenere la copertura desiderata.
Quale problema si pone? Commentate, alla luce di questo risultato, l’intervento pubblico nell’organizzazione,
prevalentemente privata, del sistema sanitario degli Stati Uniti.
Soluzione
a) Siano per i = G, A:
pi = premio unitario
qi = risarcimento
d = danno
w i1 = reddito se non si verifica l’evento negativo = w – piqi
w i2 = reddito se si verifica l’evento negativo = w – d – piqi + qi
Ogni individuo massimizzerà la sua utilità attesa quindi il problema da risolvere è:
Max
E[U ( wi )] = π U (w i 2 ) (1
i
q
)+U (w i1−) π U (w i d q i = pπ iq i) (1
)U− (w i + p qi i) −
La condizione del primo ordine è:
i
∂ E[U ( wi )]
U ( w i1)
∂
i ∂ U (w 2 )
i
i
=
π
(1
p
)
(1
−
)
+i ( p− πi) 0
i
i
∂q
w2
∂
w1
∂
−
=
Ovvero:
π i U '( wi 2 )
pi
=
1 − π i U '( wi1 ) 1 p i
−
Poiché i premi sono attuariamente equi si avrà che
sarà:
p i = π i con i = G, A. Quindi la condizione del primo ordine
U '( wi1 ) = U '( w i 2 )
Il che si verifica solo quando
wi1 = wi 2 da cui risulta q i = d con i = G, A.
La copertura ottimale richiesta da individui avversi al rischio in corrispondenza di premi attuarialmente equi è
quindi completa:
qi* = d = 100
b) Il premio complessivo per il giovane sarà:
pGq = 0,2 × 100 = 20
e per l’anziano:
pAq = 0,7 × 100 = 70.
c)
L’esercizio mostra come un sistema sanitario di natura privata “fallisca” nel garantire una copertura sanitaria alla
cittadinanza nel suo complesso, dal momento che possono esistere persone bisognose di cure, ma non in grado di
pagare il premio previsto per vincoli di reddito (l’anziano ha un reddito di 30, ma dovrebbe pagare un premio di
70!). Si rende pertanto necessario l’intervento dello Stato per garantire la copertura a taluni segmenti della
popolazione. Questo è, ad esempio, ciò che succede negli USA dove è presente un sistema di assicurazioni sanitarie
+
−π
private ma lo Stato interviene a sostegno degli anziani e dei poveri mediante i programmi denominati MEDICARE
e MEDICAID.
Esercizio 4 – Sanità
1.
2.
3.
4.
La popolazione del paese X è composta per il 50% da individui (tipo A) che hanno una probabilità di ammalarsi pari al
20% e per il restante 50% da individui (tipo B) che hanno una probabilità di ammalarsi pari al 70%. Sia gli individui di
tipo A che gli individui di tipo B guadagnano, in condizioni normali, un reddito di 1000 che si riduce, in caso di
malattia, a 200. Gli individui hanno la possibilità di acquistare un’assicurazione.
a) Si ipotizzi che la compagnia assicuratrice sia in grado di distinguere perfettamente i due tipi A e B e offra loro
l’assicurazione dietro il pagamento di un premio attuarialmente equo. Si determini (distinguendo, se
necessario, tra gli individui):
il premio unitario;
la quantità di assicurazione acquistata e il premio complessivo;
il reddito degli individui al netto dei premi assicurativi;
il profitto atteso dell’impresa assicuratrice.
b) Si ipotizzi ora che l’impresa non sia in grado di distinguere i due tipi di individui e che offra a tutti un unico
contratto con un premio che le consenta di conseguire profitti attesi nulli.
5. A quanto ammonterà il premio unitario che l’impresa deciderà di applicare?
6. Chi beneficerà dell’assenza di perfetta informazione?
7. Si modificheranno le scelte assicurative delle due tipologie di individui?
8. Se sì, con quali conseguenze per il mercato assicurativo?
Soluzione
a)
Informazione perfetta
1. In caso di informazione perfetta il premio unitario attuarialmente equo per i due tipi di individui
corrisponde alle rispettive probabilità che si verifichi l’evento negativo:
pA = πA = 0,2
pB = πB = 0,7
2. In presenza di premi attuarialmente equi gli individui sceglieranno di acquistare una quantità di
assicurazione che consenta loro di avere copertura completa (q=d):
qA = qB = q = d = 1000 – 200 = 800
Il premio complessivo per A e per B sarà quindi rispettivamente:
pA q = 0,2 x 800 = 160
pB q = 0,7 x 800 = 560
3. Quando gli individui acquistano copertura completa (q=d), il reddito degli individui al netto dei premi
assicurativi è costante nei due stati del mondo (salute e malattia) ed è quindi pari a:
YA = 1000 – 0,2 x q = 1000 - 160 = 840
YB = 1000 – 0,7 x q =1000 - 560 = 440
4. Il profitto atteso dell’impresa assicuratrice sarà (la popolazione è equamente distribuita tra individui di
tipo A e di tipo B):
E(P) =0,5N (pA q - πA q + pB q – πB q) = 0
b) Asimmetria informativa
5. In caso di asimmetria informativa l’impresa assicuratrice non discrimina tra gli individui a basso e ad alto
rischio e può essere indotta ad offrire a tutti un unico contratto. Il premio unitario che verrà proposto
dall’impresa (che rende i profitti complessivi nulli in valore atteso) è pari alla probabilità media di
malattia per l’intera popolazione.
p= 0,2 x 0,5 + 0,7 x 0,5 = 0,1 + 0,35 = 0,45
6.
Le persone che hanno probabilità maggiore di ammalarsi (tipo B) possono sfruttare a loro vantaggio
l’assenza di perfetta informazione che pesa sull’impresa assicurativa. Infatti si troveranno a pagare un
premio unitario (0,45) inferiore alla loro probabilità di malattia (0,7).
7. Le scelte assicurative per i due gruppi di individui si modificheranno: infatti gli individui a più basso
rischio (tipo A) decideranno di non assicurarsi perché il premio medio (0,45) risulterà più elevato rispetto
alla probabilità che si verifichi l’evento negativo (0,2) (selezione avversa).
8.
La fuoriuscita dal mercato assicurativo degli individui a basso rischio comporterebbe una riduzione della
qualità media degli assicurati con la conseguenza che le imprese assicuratrici sarebbero costrette ad
aumentare i premi per evitare perdite, peggiorando ulteriormente il problema della selezione avversa.
