una - UNISA

ANALISI NUMERICA
Prof.ssa Beatrice Paternoster
studio 25 (Plesso di Fisciano)
tel: 089 963321
e-mail: [email protected]
Libro di testo:
• J.F.Epperson – Introduzione all’analisi numerica:
teoria, metodi algoritmi – McGraw-Hill
• G. Monegato, Fondamenti di Calcolo Numerico Ed. CLUT
• MATLAB User’s guide
Altri testi consigliati
• V.Comincioli, Analisi Numerica: metodi
modelli applicazioni, McGraw-Hill Italia
• G.Naldi, L.Pareschi, G.Russo, Introduzione
al Calcolo Scientifico: metodi e applicazioni
con Matlab, Mc-Graw-Hill
• A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri, Matematica
numerica, Springer
Obiettivo dell’analisi numerica
Trovare algoritmi che risolvono un problema
matematico
•
nel minimo tempo
•
con la massima accuratezza possibile
Definizione:
L’analisi numerica è l’arte di dare risposta
numerica ad un problema matematico mediante
calcolatore automatico digitale.
Perché arte?
Non c’è certezza sempre di qual è il modo migliore per
risolvere il problema.
b
Esempio:
f ( x) dx
∫
a
I due metodi comunemente usati sono:
• regola trapezoidale
• regola parabolica.
L’analisi numerica (scienza) ci fornisce due metodi diversi
e l’espressione dell’errore associato ad entrambi
f (ξ )
Errore della regola trapezoidale: − ( b − a ) 12 n
Errore della regola parabolica: − ( b − a ) f (ξ )
180 n
n+1 n.ro di punti in cui f viene valutata, ξ punto non
noto in [a,b].
Servono: analisi del problema, intuizione, esperienza,
conoscenza.
3
''
3
( iv )
5
4
L’analista numerico fornisce il software
numerico alla comunità scientifica, software che deve
essere affidabile, flessibile, portabile, etc.
Risposta numerica:
Data l’equazione algebrica
P(x)=x2+2bx+c=0,
b,c reali, b2 > c
dimostrare che ammette due radici reali.
Metodo non costruttivo (riduzione all’assurdo):
Supp. che non esistano soluzioni reali. Poiché P(x) è
continua, allora P(x) > 0 oppure P(x)<0 ∀ x.
Poiché P(-b)=b2-2b2+c=-b2+c < 0
P(|x|) > 0 per x suff. grande,
per il Teorema degli zeri l’ipotesi è stata contraddetta.
Metodo costruttivo:
x2 + 2bx+ c = (x + b)2 − b2 + c = 0
da cui
x = −b ± b − c
2
oppure
x=
(−b ± b − c)(−b m b − c)
2
(−b m b2 − c)
2
=
c
(−b m b2 − c)
Il secondo metodo fornisce anche procedure per il calcolo
effettivo (numerico) delle soluzioni; fornisce cioè
l’algoritmo.
Non sempre purtroppo la risposta numerica può
essere data in forma esplicita:
∫
1
0
1
dt = F (1 )
4
1+ t
F (x) =
∫
x
0
1
2
1
1
x2 +
dt =
log 2
4
1+ t
4 2
x −
2x + 1
+
2 x +1

arctg

2 
x

2 + x 
x
+ arctg
2 − x
ovvero la soluzione analitica può non essere numerica
Collocazione dell’analisi numerica nel
processo di matematizzazione di un problema
reale
Nella ricerca si parte da dati sperimentali, si costruiscono
teorie e si sviluppano modelli
Esempio:
Corpi in caduta libera
a) Specificare il problema
Un oggetto cade da un’altezza di 150m partendo da fermo.
Dopo quanto tempo toccherà il suolo?
Specificare il problema
b) Costruire il modello
Moto rettilineo uniformemente accelerato
Si trascura la resistenza dell’aria, il cambiamento di
accelerazione dovuto all’altezza, etc.
x=x0+v(t-t0)+1/2 a (t-t0) 2
a = costante = g
accelerazione di gravità
Induzione
Specificare il problema
Costruire il modello
c) Formulare il problema matematico
Il sistema di riferimento ha origine nel punto d’inizio del
moto, ed ha l’asse delle y rivolto verso l’alto.
L’equazione diventa
x=x0+v(t-t0)+1/2 a (t-t0) 2=-1/2 g t 2
ovvero 150 m.=-1/2 (9.8 m/s2) t2
Specificare il problema
Costruire il modello
Formulare il problema
matematico
d) Risolvere il problema matematico
Si risolve 150=-1/2*9.8 t2
t = ±
300
≈ ± 5 . 53
9 .8
Ci sono 2 radici reali e distinte:
t1 ≈ − 5 . 53 ,
t 2 ≈ + 5 .53
Specificare il problema
Costruire il modello
Formulare il problema
matematico
Risolvere il
problema matematico
e) Interpretare la soluzione
La soluzione negativa corrisponde ad un tempo precedente
alla caduta. Non ha significato fisico in questo problema
(potrebbe avere significato in altri problemi).
Specificare il problema
Conoscenza
Confrontare con
la realtà
Induzione
Modifica del
modello
Costruire il modello
Formulare il problema
matematico
Validazione
Interpretare la
soluzione
Deduzione
Risolvere il
problema matematico