Corso di Economia Politica
prof. S. Papa
Lezione 19: Il duopolio di
Cournot ed equilibrio di
Nash
Facoltà di Economia
Università di Roma La Sapienza
Forme di mercato
(oligopolio)
Il duopolio di Cournot
202
Le imprese della lezione precedente sono coinvolte in un gioco.
Esso si chiama “duopolio di Cournot”
Le due imprese cercano ciascuna di massimizzare il proprio
profitto scegliendo (senza coordinarsi) la quantità da produrre
Per avere un equilibrio (di Nash) le due quantità devono essere
ciascuna la risposta ottima alla quantità scelta dall’altra impresa.
Perciò le due quantità prodotte sono identificate dal punto di
incontro delle due curve di reazione.
Si può calcolare il risultato, che è:
yn = y1 = y2 = (a − c )/3
Segue che la quantità complessivamente prodotta è
y1 + y2 = 2yn = 2(a − c )/3 = ym (4/3) > ym
e che il prezzo di equilibrio è
pn = a − 2yn = (1/3)a + (2/3) c < pm
Corso di economia politica
La teoria dei giochi
e l’equilibro di Nash
Forme di mercato
(oligopolio)
203
La “teoria dei giochi” è quel ramo dell’economia che studia i
problemi caratterizzati da interazione strategica.
Distinzione importante
GIOCHI COOPERATIVI
GIOCHI NON COOPERATIVI
sono possibili accordi
vincolanti per i giocatori
accordi vincolanti
non sono possibili.
Le soluzioni dei giochi non cooperativi
si chiamano “equilibri di Nash”
Una coppia di scelte (una per giocatore) è un equilibrio di Nash
quando, data la scelta dell’altro, a nessuno dei due giocatori
conviene cambiare la propria scelta.
Nell’equilibrio di Nash la scelta di ciascun giocatore è la risposta
ottima alla scelta dell’altro giocatore.
Corso di economia politica
Il duopolio di COURNOT
Per calcolare questi risultati si parte dalla formula della curva di
reazione. Questa formula è:
y1 = (a - c)/2 - y2/2
Si pone y1 = y2 = y e si risolve l’equazione ottenendo appunto yn.
Per trovare il prezzo basta sostituire yn nella formula della curva di
domanda p = a - y.
Per calcolare il profitto che le imprese ottengono nell’equilibrio di
Cournot-Nash si deve applicare la formula
πn = pnyn − cyn =
= (pn − c)yn
Poi si sostituiscono i valori di pn e di yn. Il resto è algebra.
Controllare πn = (a − c)2/9 che inferiore all’accordo collusivo.
Forme di mercato
(oligopolio)
Conviene l’accordo?
205
Se le due imprese hanno l’alternativa tra la collusione e
l’equilibrio di Cournot-Nash, cosa conviene fare?
Per rispondere dobbiamo calcolare i profitti nelle due situazioni.
Il calcolo non è difficile, ma è un po’ noioso. Qui vengono
presentati solo i risultati assumendo che la domanda e i costi
siano quelli dell’esempio precedente.
Indichiamo con πa il profitto nel caso di accordo e con πn il
profitto nell’equilibrio di Cournot-Nash.
Abbiamo visto che πa = (a − c)2/8. Con un po’ di conti si ottiene
πn = (a − c)2/9; πn = πa(8/9) < πa.
Poniamo che si abbia a = 96 e c = 24; segue πa = 648 e πn = 576.
Il segno del risultato non dipende né dai numeri né dal modello:
il profitto dell’intesa è sempre maggiore del profitto di Cournot.
Sembra dunque che alle imprese convenga sempre stabilire
un accordo e realizzare un monopolio di fatto. O no?
Corso di economia politica
Forme di mercato
(oligopolio)
Difficoltà della collusione
206
L’accordo garantisce un maggior profitto (ciò non sorprende,
visto che equivale alla decisione di un monopolista).
Se è possibile un accordo vincolante (una fusione o un’intesa)
esso verrà preferito all’equilibrio di Cournot (Nash).
Se però un accordo vincolante (un gioco cooperativo) non è
possibile (per esempio, perché proibito dalla legge), non è detto
che la collusione (la terza strada) venga realizzata.
La collusione è un accordo non vincolante (un gioco non
cooperativo); non ci sono sanzioni per chi non la rispetta.
Può convenire non rispettarla? Il punto è che
la collusione non è un equilibrio di Nash.
Se una delle due imprese si impegna alla scelta collusiva, all’altra
conviene tradire il patto, scegliendo la risposta ottima a quella
scelta, che non è la scelta collusiva.
Corso di economia politica
Forme di mercato
(oligopolio)
Defezione
207
Vediamo perché la collusione non è un equilibrio di Nash.
Sappiamo che l’equilibrio di Cournot-Nash è il punto di incontro
delle due curve di reazione (il punto N).
Nel grafico l’accordo è il punto A (ricordare che ya = ym/2).
y2
Se però un’impresa si impegna a produrre ya, ald (che è la quantità
l’altra
conviene
produrre
y
1
R
corrispondente sulla curva di reazione).
d
y
m
2
y
Questa scelta viene chiamata defezione :
D
è la risposta ottima quando l’altra
2
N
y1d
impresa rispetta l’accordo.
yn
Chi defeziona ottiene un profitto
ya
D
2
A
R
maggiore, πd = πa(9/8); chi rispetta
1
l’accordo quando l’altra impresa
defeziona ottiene un profitto
y1
ya yn ym
0
minore, πl = πa(3/4).
Corso di economia politica
Forme di mercato
(oligopolio)
Il “dilemma del prigioniero”
208
Quando non è possibile un accordo vincolante, ciascuna impresa
ha di fronte due scelte possibili: (a) rispettare l’accordo collusivo
(anche se non vincolante) o (b) scegliere la risposta ottima.
Perciò ci sono quattro possibili risultati :
(1) Le due imprese scelgono entrambe a (accordo collusivo);
ottengono ciascuna πa (nell’esempio πa = 648);
(2) Le due imprese scelgono entrambe b (risposta ottima);
ottengono ciascuna πn (nell’esempio πn = 576);
(3) La prima impresa sceglie a (rispetta l’accordo) e la seconda b
(defezione e risposta ottima);
la prima ottiene πl < πn (π
πl = 486) la seconda πd > πa (π
πd = 729);
(4) La prima impresa sceglie b (defezione risposta ottima) e la
seconda a (rispetta l’accordo);
la prima ottiene πd > πa la seconda πl < πn;
Le imprese sono coinvolte nel “dilemma del prigioniero”.
Corso di economia politica
Forme di mercato
(oligopolio)
La soluzione del gioco
209
Il gioco può essere rappresentato con la “matrice dei profitti”:
colludere competere
colludere
648;
648 648 486; 729
competere
576 576
729; 486 576;
Dove si ha (729) πd > (648) πa > (576) πn > (486) πl.
Sappiamo risolvere il gioco: per ciascuna impresa la risposta
ottima alla scelta colludere è la scelta competere; e la risposta
ottima alla scelta competere è ancora la scelta competere.
La risposta ottima è la strategia dominante.
L’equilibrio di Nash è la doppia risposta ottima.
La collusione non ha successo perché il gioco è non-cooperativo.
Se il gioco fosse “ripetuto” molte volte e non solo one shot. Si
potrebbe arrivare a soluzioni di accordo (collussione).
Corso di economia politica
Forme di mercato
(oligopolio)
La soluzione del gioco
210
Il gioco può essere rappresentato con la “matrice dei profitti”:
a2
b2
a1
πa ; πa
πl ; πd *
b1
* πd ; πl
* πn ; πn *
Dove - come abbiamo visto - si ha πd > πa > πn > πl.
Sappiamo risolvere il gioco: per ciascuna impresa la risposta
ottima alla scelta a è la scelta b; e la risposta ottima alla scelta b è
ancora la scelta b (vedi gli asterischi sulla matrice).
La risposta ottima è la strategia dominante.
L’equilibrio di Nash è la doppia risposta ottima.
La collusione non ha successo (perché il gioco è non-cooperativo).
Potrebbe aver successo se il gioco fosse “ripetuto” molte volte.
Corso di economia politica
Forme di mercato
(oligopolio)
Dilemma del prigioniero
211
Il gioco può essere rappresentato con la “matrice dei anni di
galera”:
Tacere Parlare
Tacere
−1; -1
−9; 0
Parlare
0; -9
−6; −6
Dove si ha (0) πd > (-1) πa > (-6) πn > (-9) πl.
Sappiamo risolvere il gioco: per ciascuna individuo la risposta
ottima alla scelta tacere è la scelta parlare; e la risposta ottima alla
scelta parlare è ancora la scelta parlare.
La risposta ottima è la strategia dominante.
L’equilibrio di Nash è la doppia risposta ottima.
Tacere non ha successo perché il gioco è non-cooperativo.
La soluzione one shot è tacere anche perchè nella realtà si può
incorrere in ripercussioni (criminalità).
Corso di economia politica
Forme di mercato
(oligopolio)
Muovere per primi
212
Due imprese devono aprire ciascuna un supermercato. Possono
scegliere un quartiere “ricco” (a) che garantisce un profitto π =
100, o un quartiere “povero” (b) che garantisce un profitto π = 80.
Il profitto effettivo dipende dalla scelta dell’altra impresa: se
entrambe scelgono lo stesso quartiere devono dividere il profitto
a metà. La matrice dei profitti è:
a2
b2
Il calcolo con gli asterischi identifica
a1
50 ; 50 * 100 ; 80 *
due equilibri di Nash (conviene
scegliere quartieri diversi).
b1 * 80 ; 100 * 40 ; 40
A chi tocca il redditizio quartiere a?
Tocca a chi sceglie per primo. Se è la prima impresa, essa
sceglierà a1 e alla seconda non resta di meglio che scegliere b2.
Spesso, in oligopolio chi sceglie per primo ottiene profitti
maggiori (“vantaggio della prima mossa”).
Corso di economia politica
Forme di mercato
(oligopolio)
Duopolio di Bertrand
213
Consideriamo due imprese uguali in equilibrio di Nash-Cournot
con costi totali Ct1 = c⋅⋅y1 e Ct2 = c⋅⋅y2.
Che succede se una delle due imprese decide di
abbassare (appena) il prezzo mentre l’altra lo lascia fermo?
Dato che il prodotto è omogeneo chi abbassa il prezzo
toglie tutti i clienti all’altra impresa e serve l’intero mercato
(purché abbia capacità produttiva disponibile).
Questa strategia si chiama “taglio del prezzo” (undercutting).
Anche l’altra impresa dovrà fare la stessa cosa (e “rilanciare”).
La rincorsa dei tagli si fermerà quando i profitti si annullano,
ossia quando p = Cu = Cm = c
Un risultato uguale a quello della concorrenza perfetta.
Questo equilibrio (di Nash), cui si arriva quando le imprese si
fanno concorrenza nei prezzi, è detto equilibrio di Bertrand.
Corso di economia politica
Forme di mercato
(oligopolio)
Strategie di prezzo
214
L’undercutting è efficace solo se l’impresa è in grado di produrre
di più (capacità produttiva disponibile). Perciò può essere
conveniente, per entrambe le imprese, accordarsi per non averla.
Assumiamo imprese diverse: Ct1 = c 1⋅y1 e Ct2 = c 2⋅y2 (con c 1 < c 2).
In questo caso, se ha capacità produttiva disponibile, la prima
impresa può escludere l’altra impresa dal mercato:
basta far scendere il prezzo appena sotto c 2 (costo marginale 2)
La prima impresa serve tutto il mercato e ottiene il profitto:
π1 = (c 2 − c 1)y*
Non può, però, comportarsi come un monopolio, perché l’altra
impresa rientrerebbe (manca una barriera all’entrata).
Il prezzo, inferiore a quello praticato dal monopolista, che
scoraggia l’altra impresa dal rientrare si chiama “prezzo limite”.
Corso di economia politica
Forme di mercato
(oligopolio)
Mercati contendibili
215
(i) una sola (grande) impresa (detta incumbent);
(ii) assenza di barriere all’ingresso e all’uscita (sunk costs);
(iii) prezzo fisso nel breve periodo (a causa di menu cost).
DEFINIZIONE:
Un’impresa esterna al mercato, con capacità produttiva disponibile, può attuare la concorrenza “mordi e fuggi” (hit and run):
entra nel mercato, pratica l’undercutting (finché il prezzo dell’impresa incumbent è fisso), per poi abbandonare il mercato quando
l’incumbent adegua il prezzo.
Per evitare la concorrenza “mordi e fuggi” l’incumbent deve
fissare in anticipo un prezzo limite, pari al costo medio del
potenziale entrante: p = Cu = Cm = c.
Nei mercati contendibili, i prezzi sono più bassi che in
monopolio (sono vicini o uguali a quelli della concorrenza), le
quantità prodotte sono maggiori e i profitti più bassi.
Corso di economia politica
