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Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Appunti del Corso di
Costruzioni In Zona Sismica
Prof. Ing. Camillo Nuti
Università Degli Studi Roma Tre
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
RISPOSTA DINAMICA DELLE STRUTTURE .................................................................................... 4 1.1 L’Oscillatore semplice .......................................................................................................... 4 1.1.1 Soluzione dell’equazione di equilibrio ........................................................................... 6 1.2 Lo spettro di risposta........................................................................................................... 16 1.2.1 Spettri di risposta di accelerogrammi......................................................................... 20 1.2.2 Spettri di risposta ricavati a partire dalle caratteristiche di sismicità regionale ....... 22 1.2.3 Spettri di risposta risposta di norma............................................................................ 26 1.2.4 Confronto tra spettri normativi ed alcune proposte in lettratura ................................ 34 1.2.5 Testo della Ordinanza della Protezione Civile 3274 relativo alla definizione della
Azione Sismica ........................................................................................................................... 36 1.3 Oscillatore Semplice: Soluzione nel caso in cui il termine noto è una forza cosinusoidale
42 1.3.1 Valutazione del transitorio........................................................................................... 45 1.4 Oscillatore semplice: Risposta al moto del terreno ............................................................ 49 1.5 Oscillatore semplice: Valutazione della Risposta in Forma Numerica. ............................. 51 1.5.1 Calcolo della risposta dinamica al passo: Metodo di integrazione al passo
dell’equazione del moto ............................................................................................................. 51 1.5.2 Metodi espliciti: le differenze centrali ......................................................................... 51 1.5.3 Metodi impliciti: il metodo di Newmark ...................................................................... 55 1.5.4 Riferimenti bibliografici............................................................................................... 55 1.6 Oscillatore Semplice: Stima della risposta massima non lineare ....................................... 56 2 Strutture a Più Gradi di Libertà: Coordinate Generalizzate .................................................... 59 2.1 EQUAZIONI DEL MOTO E MATRICI DELLE MASSE E DELLE RIGIDEZZE .............. 60 2.2 SOLUZIONE CON APPLICAZIONE AD UN TELAIO PIANO ........................................ 61 3 Strutture a Più Gradi di Libertà: Analisi Modale...................................................................... 63 3.1 CALCOLO DELLE FREQUENZE E PERIODI PROPRI DEL SISTEMA ......................... 63 3.1.1 PROPRIETA' DI ORTONORMALITA' DEGLI AUTOVETTORI ................................ 72 3.1.2 CALCOLO ITERATIVO DEI MODI E FREQUENZE PROPRIE ............................... 74 3.2 CALCOLO DELLA RISPOSTA: METODO DELLA SOVRAPPOSIZIONE MODALE ...... 75 3.2.1 ESEMPIO: Calcolo della risposta di un telaio con lo spettro di risposta ................... 79 3.2.2 Criteri di sovrapposizione modale con l’uso dello spettro di risposta ........................ 80 3.3 TELAIO SHEAR-TYPE 2 PIANI ISOLATO ALLA BASE.................................................... 83 3.3.1 MATRICI DEL SISTEMA DI EQUAZIONI DEL MOTO ............................................ 83 3.3.2 CALCOLO DELLE FREQUENZE E PERIODI PROPRI DEL TELAIO .................... 84 3.3.3 CALCOLO DEGLI AUTOVALORI.............................................................................. 86 3.3.4 CALCOLO FATTORI DI PARTECIPAZIONE ............................................................ 89 3.3.5 CALCOLO DELLA MASSE ECCITATE ...................................................................... 89 3.3.6 CALCOLO DELLA RISPOSTA SISMICA : Metodo dello Spettro di Risposta............ 90 4 Le analisi di spinta ..................................................................................................................... 96 4.1 Caratteristiche dell’Oscillatore Equivalente ad una Struttura ........................................... 99 4.2 Valutazione della risposta massima in spostamento dell’oscillatore equivalente. ........... 101 4.2.1 Criterio di equivalenza tra struttura non lineare e struttura elasto viscosa. ............ 103 2
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5 3
Rappresentazione degli accelerogrammi in serie di fourier: lo spettro di potenza................. 110 5.1 Esercizio ............................................................................................................................ 113 Prof. Camiillo Nuti Diispense di Costruzioni
C
i Zona Sism
in
mica 2007
RIS
SPOSTA
A DINAM
MICA DE
ELLE ST
TRUTTU
URE
1.1
Oscillatore
e semplice
e
L’O
Una strutttura che laa cui una massa
m
può schematizza
arsi come concentrataa in un pun
nto è dettaa
“oscillatorre semplicee”. Segue da
d tale schhema che lo stato di deformazioone strutturrale è notoo
quando è noto
n
il motoo della masssa, unica fonte
fo
delle forze
f
di inerrzia che aggiscono sullla struttura.
Esempi di oscillatore semplice soono mostratti in Figura 1.
Figura 1 esempi
e
di strrutture schematizzabilli come un oscillatore
o
semplice e schema stru
utturale
Con riferim
mento alla figura
f
si ossserva che le
l masse deel ponte e del
d serbatoiio sono esseenzialmentee
concentratte in sommiità. Nel ponnte si osserrva che le travi
t
tampoone dell’imppalcato son
no ciascunaa
appoggiatee da un lato su un carrello
c
e dall’altro
d
su
u una cernniera, pertaanto il pontte in sensoo
longitudinaale può esseere schemattizzato con tanti oscilla
atori sempliici (se si asssume nullo l’attrito deii
carrelli) costituiti ciaascuno da una pila priva
p
di ma
assa (massaa trascurabbile) e dalla
a massa inn
sommità, somma
s
di quella della stampella e della travve tampone collegata aalla stampellla con unaa
cerniera.
4
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Le due strutture indicate in Figura 1 possono quindi essere schematizzate come una massa
sopportata da strutture elastiche di sostegno prive di massa. Nella figura si è indicato lo schema a
portale con trave infinitamente rigida. La rigidezza alla traslazione orizzontale è K (K/2 per
ciascun piedritto).
E’ possibile scrivere l’equazione di equilibrio alla traslazione della massa. Detta :
x; x&; &x& lo spostamento relativo della massa rispetto alla base e le sue derivate prima e seconda
rispetto al tempo (velocità ed accelerazione relativa) ed &y& la accelerazione della base rispetto ad
un sistema fisso, cioè l’accelerazione del terreno, la forza di inerzia Fi è data dal prodotto della
massa m per l’accelerazione assoluta &x& + &y& :
Fi = m ⋅ ( &x& + &y&)
La forza elastica di richiamo nella posizione di quiete: x=0 vale
Fee = k ⋅ x
Vi è poi una forza dissipativa, di tipo quindi non conservativo, che è comodo ai fini degli sviluppi
per la soluzione elastica in forma chiusa mettere nella forma di dissipazione viscosa:
Fd = d ⋅ x&
Infine può agire sulla massa una generica forza F.
Per l’equilibrio della massa si deve avere che ad ogni istante:
Fi + Fd + Fe = F
sostituendo si ottiene:
m ⋅ ( &x& + &y&) + d ⋅ x& + k ⋅ x = F
(1
Naturalmente nella espressione (1) la accelerazione del terreno &y& e la storia della forza
esterna F sono note, oltre ad essere note m, k, d, caratteristiche meccaniche della struttura,
pertanto si può portare a secondo membro i termini noti:
m ⋅ &x& + d ⋅ x& + k ⋅ x = F − m ⋅ &y& ( 2
i termini m ⋅ &x&; m ⋅ &y& hanno le dimensioni di una forza ma non hanno significato fisico, la loro
somma è la forza di inerzia. Tuttavia è consuetudine chiamare il secondo “forza di trascinamento”
della struttura.
5
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1.1.1 Soluzione dell’equazione di equilibrio
Risolvere l’equazione differenziale ( 2 vuol dire trovare la funzione x(t) che soddisfa l’eguaglianza.
La ( 2 è una equazione differenziale a coefficienti costanti. La soluzione si trova come somma
dell’integrale generale, che è la soluzione dell’equazione ( 2 con termine noto nullo, che
rappresenta l’equazione di equilibrio in assenza di moto del terreno e di forze esterne ed è detta
equazione omogenea associata, l’ integrale particolare che soddisfa il caso con il termine noto
assegnato, nel caso in questione F − m ⋅ &y& .
Si divida la ( 2 per la massa m, si ottiene l’equazione:
&&
x+
d
k
F
⋅ x& + ⋅ x = − &&
y
m
m
m
(3
si vede quindi che le tre grandezze m, d, k non intervengono nel l'equilibrio in maniera
indipendente tra loro, ma legate da un rapporto; si pone allora
k
d
d
(4
= ω 2 ; = 2νω ⇒ ν =
m
m
2ωm
ν è detto rapporto di smorzamento, (essendo il rapporto tra il coefficiente di smorzamento d ed il
prodotto 2ωm detto smorzamento critico) e vale per le strutture reali tra lo 0.5 ed il 5%,
quest’ultimo valore essendo quello tipico degli edifici.
Come si vedrà nel seguito, una struttura avente uno smorzamento pari al critico, e quindi ν=1,
caso che non si verifica per alcuna struttura dell'ingegneria civile, allontanata dalla sua posizione
di equilibrio, vi ritorna asintoticamente senza compiere alcuna oscillazione.
1.1.1.1 SOLUZIONE PER IL CASO DI TERMINE NOTO UGUALE A ZERO
(oscillazioni libere)
&x& + 2νω ⋅ x& + ω 2 ⋅ x = 0
(5
per ν = 0
L'integrale generale, che rappresenta la soluzione del problema, essendo il termine
noto nullo, è del tipo:
x = A cosωt + Bsinωt
6
(6
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in cui le costanti A e B devono essere determinate ponendo le condizioni ai limiti, in questo caso si
ha per t =0 x = x0 ; x& = x&0 (condizioni iniziali) :
x0 = A cos(ω 0) + Bsin(ω 0) ⇒ x0 = A
x&0 = −ωAsin(ω 0) + ωB cos(ω 0); ⇒ x&0 = ωB cos(ω 0) ⇒ B =
x&0
ω
sostituendo i valori trovati nell'integrale generale si ha:
x = x0 cos ωt +
x&
ω
sinωt
(7
L’espressione della risposta mostra che la storia degli spostamenti di una struttura priva di
smorzamento è periodica, essendo somma di due funzioni periodiche che assumono lo stesso valore
dopo per valori dell’argomento ωt che differiscono di un multiplo di 2π. Pertanto ragionando in
termini di tempo la risposta assume gli stessi valori quando:
ωt = 2π ⇒ t =
2π
ω
= 2π
m
=T
k
(8
Il valore T viene pertanto detto periodo proprio della struttura, ed è una grandezza che dipende
dalle caratteristiche meccaniche della stessa. Esso è il tempo che intercorre tra due oscillazioni
consecutive di massima ampiezza di una struttura nelle sue oscillazioni libere. Si noti che esso
aumenta con la massa e diminuisce con la rigidezza. I valori del periodo delle strutture civili
variano in genere tra qualche decimo di secondo ed al più qualche secondo. Ad esempio per gli
edifici a telaio vale la regola empirica: T=0.1N ove N è il numero dei piani, col che si capisce che
in Italia la gran parte degli edifici ha periodi compresi tra 0.1 e 1 secondo (1-10 piani). Vengono in
genere dette “rigide” le strutture con periodo inferiore a 0.2-0.3 secondi, “medie” tra 0.3 e 0.60.7 secondi flessibili al di sopra di 0.8-1 secondo. I terremoti in generale impegnano
particolarmente gli edifici con periodo compreso tra 0.1 e 0.6-0.8 secondi, cioè proprio il campo di
periodi propri dell’edilizia corrente italiana. Sono meno sensibili i grattacieli, che hanno periodi
spesso superiori ai 3 secondi ed i grandi ponti, si pensi ad esempio che il Golden Gate Bridge di S
Francisco ha il periodo proprio in senso trasversale di 18.2 secondi ed in senso verticale di 10.2
secondi.
7
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Per 0<ν <l, (le strutture reali hanno sempre ν >0, in genere ν non supera il 5-10%) la soluzione
è:
x = e −νωt [ A cos ω1t + B sin ω1t ] ;
x=e
−νωt
[ x0 cos ω1t +
x&
ω
sinω1t ] ;
(9
ω1 = ω 1 − ν 2
l'espressione tra parentesi è analoga a quella trovata per ν = 0 con la sola differenza la frequenza
ω è leggermente minore a causa dello smorzamento. Questa diminuzione della frequenza è
trascurabile per i valori di smorzamento tipici delle strutture civili: si tenga presente che se
ν = 0.20 ω1=0.98ω.
Si hanno pertanto oscillazioni di frequenza e quindi di periodo pressoché uguali a quelli precedenti, ma di ampiezze decrescenti per effetto del termine esponenziale negativo che contiene il
rapporto di smorzamento ν.
Analogamente a quanto fatto in precedenza si determinano le costanti A e B imponendo le
condizioni iniziali e si ottiene l’espressione ( 10:
x = e −νωt [ x0 cos ω1t +
x& 0 + νωx0
ω1
sinω1t ] ( 10
; ω1 = ω 1 − ν 2
x = e −νωt [ x0 cos ωt +
8
x& 0
ω
sinωt ]
;
( 11
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7.521
10
5
x( t , 0)
x( t , 0.05 )
x( t , 0.20 )
0
x1( t , 0.20 )
5
− 7.52
10
0
0.3
0.6
0.9
1.2
0
1.5
1.8
2.1
2.4
2.7
3
3
t
Figura 2 Funzioni di risposta x(t,ν), per diversi valori dello smorzamento. La funzione x(.) è
valutata con l’espressione approssimata ( 11, la funzione x1(.) con l’espressione esatta ( 10. I
valori adottati sono m=25.35 t, k=1000 kN/m. Spostamento iniziale x0 =3 m, velocità iniziale =40
m/sec. Si noti l’influenza di ν.
Il prodotto νωx0 è trascurabile rispetto a x& 0 , così come ω1 differisce poco da ω, pertanto dal punto
di vista pratico è possibile utilizzare l’espressione della risposta non smorzata moltiplicata per il
termine smorzante esponenziale, secondo l’espressione ( 11, come peraltro dimostrato dalla Figura
2.
Da questa espressione sembrerebbe che una struttura più rigida (ωgrande) a parità di
smorzamento ν, smorzi le oscillazioni più rapidamente; ma in realtà questo non avviene spesso
poiché non è esattamente valido che la viscosità sia direttamente proporzionale alla velocità, come
è stato assunto nello scrivere la equazione del moto.
ν=1
(smorzamento critico) manca il termine oscillatorio e si ha:
x = e −νωt [ x 0 (1 + ωt )]
( 12
è un caso che non presenta nessun interesse pratico.
Esaminiamo il caso avente condizioni iniziali : spostamento nullo e velocità assegnata.
9
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x0 = 0 ⇒ x0 = A = 0
x& 0 = ωB cos(ω 0) ⇒ B =
x& 0
ω
La legge del moto diviene quindi:
x = e −νωt [
x = e −νωt [
7
x& 0
ω1
x& 0
ω
sinω1t ]
sinωt ]
; ω1 = ω 1 − ν 2
( 13
( 14
;
7
5.25
3.5
1.75
x( t , 0.10 )
x1( t , 0.10 )
0
1.75
3.5
5.25
−7
7
0
0
0.25
0.5
0.75
1
t
1.25
1.5
1.75
2
2
Figura 3 Funzioni di risposta x(t,ν), nel caso di spostamento iniziale x0 =0, velocità iniziale =40
m/sec.. La funzione x(.) è valutata con l’espressione approssimata ( 13 la funzione x1(.) con
l’espressione esatta ( 14. I valori adottati sono m=25.35 t, k=1000 kN/m.
10
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Il problema fisico e lo studio di una vibrazione provocata da una forza del tipo F(t) applicata per
un tempo estremamente limitato. Si definisce impulso la seguente espressione:
I = lim
Δε → 0
11
t0 +ε
∫ F (t )dt
t0
( 15
;
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del moto Riscrivendo l'equazione
m&x& + k ⋅ x = F (t )
( 16
si possono integrare vari membri da t0 t0+Δε calcolarne il limite per Δε che tende a 0:
lim
Δε → 0
t0 +ε
t0 +ε
t0 +ε
t0
t0
t0
∫ m&x&dt + ∫ k ⋅ xdt = ∫ F (t )dt
t0 +ε
lim
Δε → 0
lim
Δε → 0
∫
t0
dx&
m dt +
dt
t0 +ε
t0 +ε
( 17
∫ k ⋅ xdt = ∫ F (t )dt
t0
t0
t0 +ε
t0 +ε
t0 +ε
t0
t0
t0
∫ mdx& + ∫ k ⋅ xdt = ∫ F (t )dt
SS
12
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Ottenendo, per Il termine noto, l'espressione dl una forza impulsi va.
Il primo termine, In cui si è espressa 1’accelerazione come derivata della velocità rispetto al
tempo, rappresenta, dopo la semplificazione, l’integrale di un differenziale di una funzione, quindi
la funzione stessa. Il secondo termine invece si può risolvere solo esplicitando la funzione x(t), ma
essendo lo intervallo infinitesimo possiamo approssimarla con una funzione lineare x(t)=at
Si ottiene allora:
m[ x& ]tt 00 + ε + k ⋅ a[
x 2 t0 +ε
]t = I
2 0
( 18
il primo termine è la differenza tra la velocità finale e quella iniziale moltiplicata per la massa, ma
essendo la velocità, la velocità iniziale è tuttavia nulla, pertanto essa rappresenta la velocità che ha
la massa su cui ha agito l'impulso, e quindi e la velocità del moto che ne deriva. Il secondo termine
al tendere dell’intervallo a zero, risulta essere un infinitesimo di ordine superiore e quindi
trascurabile; si ha quindi:
mx&0 = I ⇒ x&0 =
I
m
( 19
Sostituendo quindi la legge del moto derivante da una forza impulsiva
espressione:
x=
I 1 −νωt
e sinωt
mω
;
assume la seguente
( 20
chiamata "funzione di risposta a impulso e Indicata con il simbolo h(t).
Se l’impulso anziché all’istante t=0 agisce all’istante t=τ, allora lo spostamento x all’istante t
dovuto all’impulso dipende dal tempo intercorso Δt=t-τ, pertanto si ha
x(t ) =
13
I (τ ) 1 −νω ( t −τ )
e
sinω (t − τ )
m ω
;
( 21
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La generica storia di forze F(t), può essere pensata come successione di impulsi F(τ)dτ
6.718
10
1.232
1.5
1
5
0.5
F ( t)
F ( 1) ⋅ h( t , 1 , 0.05 )
F ( 2) ⋅ h( t , 2 , 0.05 )
0
0
F ( 3) ⋅ h( t , 3 , 0.05 )
− 1.617
0.5
5
0
0
1
2
3
4
5
6
t
1
6
− 1.053 1.5
0
0.9
1.8
2.7
Figura 4 Esempio di forza continua
ed effetto all’istante 4.5 di tre
impulsi per t=1,2,3 e loro somma (in
basso a destra)
1.5
3.6
4.5
t
0
4.5
1.5
1
0.5
ff( t )
0
0.5
1
− 1.5 1.5
0
0.9
1.8
2.7
t
0
3.6
4.5
4.5
La risposta al tempo t diviene quindi la sovrapposizione degli effetti di tutti gli impulsi che
precedono il tempo t, cioè:
t
x(t ) = ∫
0
F (τ ) 1 −νω (t −τ )
e
sinω (t − τ )dτ
m ω
( 22
;
Assumendo come F(τ) proprio il termine noto della equazione di equilibrio ( 2, e sostituendo nella (
22 si ottiene:
− ma(τ ) 1 −νω (t −τ )
e
sinω (t − τ )dτ
m ω
0
t
x(t ) = ∫
t
x(t ) = ∫ a(τ )
0
14
1
ω
e −νω (t −τ ) sinω (t − τ )dτ
( 23
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La espressione ( 23 è detta risposta ad un accelerogramma nel dominio del tempo o anche
“integrale di Duhamel”.
Volendo eseguire un calcolo approssimato, ma più efficiente dal punto di vista del tempo di calcolo,
si può osservare che è sufficiente tener conto degli impulsi che precedono l’istante t di calcolo di un
tempo multiplo del periodo di non oltre 10 volte, ad esempio per una struttura con T=0.5, è
sufficiente considerare un tempo precedente di non oltre 5 secondi.
15
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1.2
Lo spettro di risposta
Osservando la espressione ( 23 si nota come, dato un accelerogramma, la risposta dipenda
esclusivamente dai due parametri, ν ed ω. Pertanto due strutture aventi gli stessi valori di ν ed ω
hanno la stessa storia della risposta, ed in particolare la stessa risposta massima. In generale nelle
costruzioni civili non si è interessati all’intera storia della risposta ma ai valori massimi delle
sollecitazioni e degli spostamenti. Una volta noto lo spostamento massimo Xmax, la sollecitazione
massima vale:
Fmax = k ⋅ X max
( 24
E’ possibile così dimensionare la struttura se si vuole che resti in campo elastico. In alternativa,
noto Xmax, è possibile dimensionare la struttura perché sopporti lo spostamento Xmax.
Dal punto di vista del progettista è pertanto molto utile dato un accelerogramma disporre di un
diagramma dove in ascisse sono riportati i periodi propri T ed in ordinata il valore di Xmax. Si
possono costruire curve per diversi valori del rapporto di smorzamento ν.
Si osserva che ricavata lo spostamento massimo, e la relativa forza, è possibile chiedersi quale è la
accelerazione che produrrebbe una uguale forza di inerzia:
Fmax = k ⋅ X max = m ⋅ Sa
( 25
Invertendo la ( 23 si ottiene:
Sa =
k
( 26
⋅ X max ⇒ Sa = ω 2 ⋅ X ma
m
Se tutta l’energia di deformazione si trasformasse in energia cinetica, cosa che avverrebbe in
assenza di smorzamento, si avrebbe:
E=
1
1
( 27
2
2
⋅ k ⋅ X max
⋅ = ⋅ m ⋅ Svmax
⇒ Svmax = ω ⋅ X max
2
2
Dalla ( 23 e ( 23 si ottiene il legame tra Sa ed Sv:
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Sa = ω ⋅ Sv
( 28
EC8 Amax=1 (m/sec^2)
2,50E-01
Xmax(m)
2,00E-01
smorz=0
1,50E-01
smorz=0.05
1,00E-01
smorz=0.10
5,00E-02
0,00E+00
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
T(sec)
V (m/sec)
Ec8 Amax=1 (m/sec^2)
8,00E-01
6,00E-01
4,00E-01
2,00E-01
0,00E+00
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
T (sec)
17
smorz=0
smorz=5%
smorz=10%
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Sa (M/sec^2)
Ec8 Amax=1(m/sec^2)
8,00E+00
7,00E+00
6,00E+00
5,00E+00
smorz=0
4,00E+00
3,00E+00
2,00E+00
1,00E+00
0,00E+00
0,000
smorz=5%
smorz=10%
1,000
2,000
3,000
4,000
T(sec)
Figura 5 Spettri di risposta in spostamento, pseudovelocità e pseudoaccelerazione, per
diversi valore dello sporzamento. In basso spettro di risposta in scala trilogaritmica.
Ec8 Amax=100 (cm/sec^2)
1,00E+04
V (m/sec)
1,00E+03
smorz=0
1,00E+02
smorz=5%
smorz=10%
1,00E+01
0,100
1,00E+00
1,000
10,000
T (sec)
Figura 6 spettro di risposta in velocità in scala logaritmica.
18
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Sv ed Sa sono dette Pseudovelocità e Pseudoaccelerazione dell’oscillatore, non essendo
esattamente la velocità o l’accelerazione assoluta dello stesso. Si osserva in particolare che la
accelerazione assoluta deve tendere al valore della accelerazione del terreno per T che tende a
zero, cioè per strutture infinitamente rigide che traslano quindi con il terreno, inoltre la velocità
relativa deve tendere alla velocità del terreno quando la struttura è infinitamente flissibile, quando
cioè T tende all’infinito, poiché la massa in tal caso rimane ferma rispetto al sistema fisso mentre
il terreno si muove. Vi sono pertanto deifferenze tra pseudovelocità e velocità relativa della
struttura in corrispondenza dedi periodi lunghi, mentre la accelerazione assoluta differisce dalla
pseudoaccelerazione in prossimità di T=0.
Si osserva infine che, come detto,nel caso di struttura molto flessibile, la massa tende a rimanere
ferma, pertanto lo spostamento relativo è pari a quello assoluto del tereno U0, pertanto lo spettro
di risposta in spostamento deve tendere a U per T che tende all’infinito.
19
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1.2.1 Spettri di risposta di accelerogrammi
(a)
Spettri di risposta su roccia
5
San Rocco5 NS
San Rocco5 EW
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
7 eventi sismici
(14 accelerogrammi)
Tarc4 NS
Tarc4 EW
4
M=5.5-6.0
Robic3 NS
Robic3 EW
3
Gebze2 NS
Gebze2 EW
Hercegnovi2 NS
Hercegnovi2 EW
Robic4 NS
Robic4 EW
San Rocco3 NS
San Rocco3 EW
Media
2
1
0
EC8 - Sott. A
0
1
2
3
Periodo, T (s)
Gebze1 NS
Gebze1 EW
5
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
M>6.0
10 eventi sismici
(20 accelerogrammi)
Hercegnovi1 NS
Hercegnovi1 EW
4
Ulcjni1 NS
Ulcjni1 EW
Bagn1 NS
Bagn1 EW
Sturno1 NS
Sturno1 EW
S.G. La Molara NS
S. G. la Molara EW
Tolm2 NS
Tolm2 EW
3
2
1
0
0
1
2
Periodo, T (s)
3
Hercegnovi5 NS
Hercegnovi5 EW
San Rocco4 NS
San Rocco4 EW
Robic1 NS
Robic1 EW
Media
EC8 - Sott. A
Figura 7 spettro di risposta per accelerogrammi reali a confronto con il loro spettro medio
20
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
e lo spettro normativo su roccia per terremoti intensi (Tipo 1)
Gli spettri di risposta sopra illustrati si riferiscono ad accelerogrammi registrati su roccia
selezionati (vedi Rey et al. 2002)1 dallo European Strong Motion Database, con particolare
riferimento a quelli relativi ai terremoti del Friuli, Montenegro e Izmit. Gli accelerogrammi sono
stati normalizzati dividento le ordinate per il picco di accelerazione, pertanto l’ordinata dello
spettro di risposta al periodo proprio T=0 vale 1.
Una operazione che spesso viene effettuata per ricavare spettri di progetto è quella di fare la
statistica di spettri di risposta rappresentativi, con qualche criterio, della situazione di interesse.
Una analogia di minimo è quella delle caratteristiche di intensità epicentrale, e di situazione
geologica e geotecnica del sito ove si vuol valutare lo spettro.
Nelle figure sono mostrati anche gli spettri ottenuti mediando quelli relativi ai diversi
accelerogrammi. Si ottengono così forme più regolari di quelle relative ai singoli accelerogrammi.
Si noti come a intensità epicentrale maggiori (in magnitudo), riportati nella figura inferiore,
corrispondano accelerogrammi con spettri di risposta con la zona di massima amplificazione più
estesa. Questa situazione è rilevabile in modo pressoché sistematico. Pertanto è da attendersi che
gli spettri su roccia relativi a zone di pericolosità sismica inferiore, cioè quelle ove l’azione sismica
attesa è minore, dovrebbero avere una estensione della zona di massima amplificazione minore.
1
Rey J. , Faccioli E., Bommer J. (2002). Derivation of design soil coefficients (S) and response spectra shapes for eurocode 8 using the European
Strong Motion Database. Journal of Seismology, 547-555
21
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
1.2.2 Spettri di risposta ricavati a partire dalle caratteristiche di sismicità regionale
Dato l’ epicentro di un terremoto di nota intensità sono state messe a punto per via statistica
funzioni, dette leggi di attenuazione, che a partire dalle caratteristiche di intensità epicentrale,
danno, in base alla distanza del sito ove si vuole valutare lo spettro di risposta, il valore delle
ordinate spettrali medie. Con opportune operazioni di media si possono così calcolare, a partire
dalle caratteristiche di sismicità locale, spettri di risposta di sito, in genere su roccia, sempre su
terreno a superficie orizzontale, che tengono conto delle caratteristiche di sismicità del territorio
circostante.
A titolo di esempio si riportano i valori ricavati per alcune città Italiane [Nuti, Rasulo & Vanzi,
2005]2.
2
Nuti,C., Rasulo, A., Vanzi, I., (2005) “Proposta per la Valutazione della Classificazione Sismica del Territorio Italiano” Rapporto Tecnico N1/2005
Dipartimento di Strutture Università degli Studi RomaTre.
22
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
0,90
NutiRasuloVanzi
0,80
0,70
ServizioSismico
RW Romeo
Catania
CATANIA
CATANIA
Messina
MESSINA
MESSINA
Napoli
NAPOLI
NAPOLI
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
Messina, Zona 1°, Catania e Napoli, Zona 2°, Confronto tra spettri di risposta T=475 anni
ottenuti a partire dalla recente classificazione INGV, ottenuti con la classificazione GNDT
2001 dal SSN, Rivalutati da Sabetta Pugliese da [Nuti, Rasulo& Vanzi 2005]
23
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
0,45
NutiRasuloVanzi
ServizioSismico
RW Romeo
Firenze
FIRENZE
FIRENZE
Genova
GENOVA
GENOVA
Palermo
PALERMO
PALERMO
Roma
ROMA
ROMA
Trieste
TRIESTE
TRIESTE
0,10
Venezia
VENEZIA
VENEZIA
0,05
Verona
VERONA
VERONA
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
Confronto tra spettri di risposta con periodo medio di ritorno 475 anni ottenuti a partire dalla
recente classificazione INGV, ottenuti con la classificazione GNDT 2001 dal SSN, Rivalutati da
Sabetta Pugliese, da [Nuti, Rasulo& Vanzi 2005]
La tecnica più diffusa per la valutazione statistica a partire dai dati di sismicità del territorio è
quella messa a punto da Cornell nel 1969. Per un approfondimento si rimanda a testi più
specializzati.
Le forme spettrali così ottenute dipendono oltre che dalle leggi di attenuazione dalla definizione
delle caratteristiche della sismicità regionale. Si noti ad esempio che gli spettri ottenuti con la
recente classificazione dell’INGV 2004, sono più bassi di quelli ottenuti a partire dalla precedente
classificazione del GNDT 2001.
Si noti come le forme spettrali così ottenute sono anch’esse piuttosto regolari, e presentano una
certa analogia con quelle ottenute con operazioni di media di spettri di accelerogrammi naturali.
24
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
La cosa è d’altronde da attendersi in quanto le leggi di attenuazione sono ricavate per via statistica
dalle registrazione degli accelerogrammi naturali.
Se invece degli spettri con periodo medio di ritorno 475 anni si valutano quelli con periodo 72
anni, corrispondenti a probabilità di superamento del 50% in 5° anni, si possono ottenere forme
spettrali quali quelle della figura seguente:
0,14
Bari
0,12
Bologna
Catania
0,10
Firenze
Genova
0,08
Messina
Milano
0,06
Napoli
Palermo
0,04
Roma
Torino
Trieste
0,02
Venezia
Verona
0,00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
Spettri medi con periodo medio di ritorno 72 anni.
25
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
1.2.3 Spettri di risposta risposta di norma
Le normative nazionali ed internazionali definiscono in genere le forme spettrali in relazione alle
caratteristiche delle formazioni più superficiali del terreno. Ad esempio l’Eurocodice 8 fa
riferimento alle caratteristiche degli strati sino a 30 metri di profondità. Questa profondità non ha
un particolare valore scientifico, piuttosto rappresenta un valore sino al quale si spingono i
sondaggi che si effettuano per la valutazione delle caratteristiche geotecniche dei terreni di
fondazione quando si deve costruire un edificio. Il fondamento scientifico si basa sulla valutazione
che spesso a 30 metri di profondità gli strati di terreno divengono molto compatti per cui non ha
interesse pratico indagare le caratteristiche a profondità più grandi.
Qualora le caratteristiche del terreno siano di qualità scadente a profondità maggiori, è pertanto
opportuno fare studi specifici.
E’ tuttavia ormai riconosciuto che le forme spettrali attese in un sito specifico dipendono non solo
dalle caratteristiche degli strati superficiali, ma anche dalle caratteristiche alla sorgente sismica e
dai terreni attraversati. Pertanto si ritiene che sia quantomeno opportuno che le forme spettrali
vengano definite a livello regionale attraverso studi specifici che tengano conto di tutti i possibili
parametri, non ultimo la morfologia locale.
L’ Eurocodice 8 dà la seguente espressione per lo spettro elastico di progetto:
ξ: smorzamento spettrale
26
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Spettro elastico dell’Eurocodice 8
27
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Settri elastici per terremoti intensi: Tipo I
28
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Valo ri dei parametri nell’EC8, terremoti intensi: Tipo I
29
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Settri elastici per terremoti deboli: Tipo II
30
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Valo ri dei parametri nell’EC8, terremoti deboli: Tipo II
31
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
La proposta di annesso tecnico nazionale dell’EC8, di gennaio 2005, rporta i seguenti valori dei
parametri
Zona sismica
Categoria
S
TB
TC
TD
suolo
A
1,00
0,10
0,40
4,50
1-2
B
1,15
0,15
0,60
5,00
C-D-E
1,30
0,20
0,80
6,00
A
1,00
0,05
0,35
1,50
3, 4
B
1,20
0,10
0,45
1,50
C-D-E
1,35
0,15
0,60
2,00
Valori dei parametri dello spettro di risposta elastico della componente verticale di accelerazione
per lo SLU
Zona sismica
Categoria
S
TB
TC
TD
suolo
A
1,00
0,10
0,40
4,50
1-2
B
1,15
0,15
0,60
5,00
C-D-E
1,30
0,20
0,80
6,00
A
1,00
0,05
0,35
1,50
3, 4
B
1,20
0,10
0,45
1,50
C-D-E
1,35
0,15
0,60
2,00
Valori dei parametri dello spettro di risposta elastico delle componenti orizzontali di accelerazione
per lo SLD
Lo spettro di risposta relativo alla componente verticale è generalmente concentrato su frequenze
più elevate di quello per le componenti orizzontali.
L’Eurocodice 8 dà le seguenti espressioni:
I parametri sono dati nella seguente tabella:
32
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Nell’annesso tecnico nazionale si danno i gli stessi valori.
33
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
1.2.4 Confronto tra spettri normativi ed alcune proposte in lettratura
Confronti EC8 / Annex Italiano / OPCM 3274/Pitilakis
Terremoti Tipo 1
Sottosuolo Tipo B
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Sottosuolo Tipo A
5
A - EC8
A - Annex Naz.
A - OPCM
A - Pitilakis
4
3
(a)
2
1
0
0
1
2
3
5
B - EC8
B - Annex Naz.
B - OPCM
B1,B2 - Pitilakis
4
3
(b)
2
1
0
4
0
1
Periodo, T (s)
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
C - EC8
C1,C2 - Annex Naz.
B,C,E - OPCM
C2,C3 - Pitilakis
3
2
(c)
1
0
0
1
2
3
4
D - EC8
C3,C4 - Annex Naz.
D - OPCM
D1,D2 - Pitilakis
4
3
2
(d)
1
0
0
1
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
34
Sottosuolo Tipo E
E - EC8
C6 - Annex Naz.
B,C,E - OPCM
E - Pitilakis
2
(e)
1
0
0
1
2
Periodo, T (s)
2
Periodo, T (s)
5
3
4
5
Periodo, T (s)
4
3
Sottosuolo Tipo D
Sottosuolo Tipo C
5
4
2
Periodo, T (s)
3
4
3
4
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Confronti EC8 / Annex Italiano / OPCM 3274/Pitilakis
Terremoti Tipo 2
Sottosuolo Tipo B
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Sottosuolo Tipo A
5
A - EC8
A - Annex Naz.
A - OPCM
A - Pitilakis
4
3
(a)
2
1
0
0
1
2
3
6
B - EC8
B - Annex Naz.
B - OPCM
B1,B2 - Pitilakis
5
4
3
(b)
2
1
0
4
0
1
Periodo, T (s)
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
C - EC8
C1,C2 - Annex Naz.
B,C,E - OPCM
C2,C3 - Pitilakis
3
2
(c)
1
0
0
1
2
3
4
D - EC8
C3,C4 - Annex Naz.
D - OPCM
D1,D2 - Pitilakis
4
3
2
(d)
1
0
0
1
Accelerazione spettrale normalizzata, Se/ag
Sottosuolo Tipo E
7
6
5
4
3
(e)
2
1
0
1
2
Periodo, T (s)
2
Periodo, T (s)
8
0
4
5
Periodo, T (s)
35
3
Sottosuolo Tipo D
Sottosuolo Tipo C
5
4
2
Periodo, T (s)
3
4
3
4
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
1.2.5 Testo della Ordinanza della Protezione Civile 3274 relativo alla definizione della
Azione Sismica
Si riporta il testo dell’allegato tecnico alla Ordinanza di Protezione Civile 3274. Si tratta di una
formulazione simile a quella dell’EC8 e relativi Annessi tecnici nazionali. Per questi ultimi si veda
anche il sito Web: www.coordinatore.it.
36
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
37
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
38
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
39
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
40
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
41
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
1.3
Oscillatore Semplice: Soluzione nel caso in cui il termine noto è una forza
cosinusoidale
L'espressione d’’equilibrio della massa del sistema, in assenza di smorzamento, è la seguente:
m&x& + d ⋅ x& + k ⋅ x = F0 cos Ωt
&x& + 2νω ⋅ x& + ω 2 ⋅ x =
F0
cos Ωt
m
( 29
Ove Ω rappresenta la frequenza della eccitazione esterna. In questo caso la soluzione
dell’equazione differenziale è la somma dell 'integrale generale (uguale a quello trovato nel caso di
oscillazioni libere) e dell 'integrale particolare che varia nel tempo con la stessa frequenza
della eccitazione esterna indipendentemente dalla struttura:
x = e −νωt [ A cos ω1t + B sin ω1t ] + [ A1 cos Ωt + B sin Ωt1 ] ( 30
Nella espressione ( 23 il primo termine della addizione è l’integrale generale, esso all’aumentare
di t tende a zero, la legge del moto a regime, quindi, sarà rappresentata dal integrale particolare:
x (t ) = [ A1 cos Ωt + B1 sin Ωt1 ]
( 31
Basterà allora calcolarsi I valori delle costanti A1 e B1. Si deriva quindi due volte l'integrale
particplare ricavando le espressioni di della velocità e accelerazioni relative in funzione delle
costanti A1 e B1 incognite. Queste espressioni, sostituite ai vi valori nella equazione differenziale, ci
permettono di calcolare lare i valori di A1 e B1 che la soddisfano.
F0
ω 2 − Ω2
A1 =
m (ω 2 − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
F
2νωΩ
B1 = 0 2
m (ω − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
( 32
Sostituendo queste espressioni nell'integrale particolare si ha la soluzione:
42
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
F0
m
x(t ) =
1
(ω 2 − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
cos(Ωt − φ )
F
x(t ) = 0 M (ν ,ω , Ω) ⋅ cos(Ωt − φ )
m
1
M (ν ,ω , Ω) =
=
2
2 2
(ω − Ω ) + 4ν 2ωΩ
B
2νωΩ
φ = artg ( 1 ) = 2
A1
(ω − Ω 2 )
( 33
A12 + B12
Ove la fonzione M(ν,ω,Ω) è detta funzione di trasferimento, φ è l’angolo di sfasamento della
risposta.
Si vede, quindi, che l'ampiezza della risposta e direttamente proporzionale all’'intensità della
eccitazione ma dipende anche, tramite la funzione di trasferimento dalla frequenza dell
'eccitazione, da quella della struttura, dallo smorzamento.
Esplicitando la funzione M(.) si ha:
M (ν ,ω , Ω) =
β=
1
ω
1
2
(1 −
Ω
2
ω2
) + 4ν
2
2
Ω2
ω2
Ω2
ω
( 34
2
M (ν ,ω , Ω) =
μ (ν , β ) =
1
1
ω
(1 − β ) + 4ν β
2
2 2
2
2
=
1
ω2
⋅ μ (ν , β )
1
(1 − β 2 ) 2 + 4ν 2 β 2
sostituendo questa nuova funzione nell’espressione della risposta ( 33 si ottiene:
F0
m
F
x(t ) = 0
m
x(t ) =
43
⋅
⋅
1
ω2
⋅ μ (ν , β ) ⋅ cos(Ωt − φ ) =
m
⋅ μ (ν , β ) ⋅ cos(Ωt − φ ) =
k
( 35
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
x(t ) =
10
F0
⋅ μ (ν , β ) ⋅ cos(Ωt − φ ) = xst ⋅ μ (ν , β ) ⋅ cos(Ωt − φ )
k
10
7.5
μ ( 0.01 , β )
μ ( 0.05 , β )
μ ( 0.10 , β )
5
μ ( 0.20 , β )
2.5
0.124
0
0
0
0.5
1
1.5
β
2
2.5
3
3
Figura 7 Andamento del coefficiente di amplificazione μ(ν,β) per diversi valori dello
smorzamento ν.
Dalla terza delle ( 35 si può dare una interpretazione della risposta dinamica. Essa è data
essenzialmente dalla stessa espressione della risposta statica, rapporto tra forza e rigidezza k,
sfasata rispetto alla applicazione della forza di un tempo t=φ/Ω, ed amplificata di un fattore pari a
μ(ν,β) detto per questo "funzione di amplificazione dinamica".
La funzione di amplificazione dinamica dipende dallo smorzamento e dal rapporto tra la frequenza
eccitatrice e quella della struttura.
Se β=0 si ha il caso di forza statica (Ω=O) o di struttura infinitamente rigida (ω=∞). Il valore di
μ(ν,β=0) vale 1. Se β=∞, si ha il caso struttura molto flessibile con periodo proprio molto lungo
(ω=0) o di eccitazione ad alta frequenza (Ω=∞) (ω=∞). il valore di μ(ν,β=∞)=0. Se β=1, si ha il
(ω=Ω) cioè di frequenza propria uguale alla frequenza di eccitazione, il valore di
μ(ν,β=1)=1/(2ν), pertanto se lo smorzamento è piccolo il coefficiente di amplificazione diviene
molto grande. La situazione è detta di risonanza, ed al limite, dopo molte oscillazioni la struttura
può amplificare moltissimo l’effetto dell’azione.
44
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
1.3.1 Valutazione del transitorio
Se si vuole valutare il transitorio si deve risolvere l’equazione differenziale ( 23. L’integrale
particolare dell’equazione del moto è quello illustrato, si ricava d’altronde sostituendo il secondo
termine della soluzione generale, cioè la soluzione particolare nella equazione di equilibrio,
ricavando le espressioni di A e B sopra illustrate:
x = e −νωt [ A cosω1t + B sin ω1t ] + [ A1 cos Ωt + B1 sin Ωt1 ] ( 36
F0
ω 2 − Ω2
m (ω 2 − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
F
2νωΩ
B1 = 0 2
m (ω − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
A1 =
( 37
Derivando la espressione ( 23 si ottiene l’espressione della velocità, si possono così imporre le
condizioni iniziali e da queste ricavare le espressini di A e di B in funzione di A1, B1 e dello
spostamento e velocità iniziali:
x0 = [ A cosω1 0 + B sin ω1 0] + [ A1 cos Ω0 + B1 sin Ω01 ]
x&0 = −νωe −νωt [ A cos ω1t + B sin ω1t ] + e −νωt [− Aω1 sin ω1t + Bω1 cos ω1t ] + [− A1Ω sin Ωt + BΩ sin Ωt1 ]
x0 = A + A1
x&0 = −νω[ A cosω1 0] + Bω1 cosω1 0 + B1Ω cos Ω1 0] = −νωA + Bω1 + B1Ω
A = x0 − A1
x& νω
B Ω x& νω
BΩ
B= 0 +
A+ 1 = 0 +
( x0 − A1 ) + 1
ω1
45
ω1
ω1
ω1
ω1
ω1
( 38
( 39
( 40
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
0.184
0.2
0.1
x( t)
x1( t)
0
x2( t)
0.1
− 0.108 0.2
0
0.5
1
0
0.18
1.5
2
2.5
t
3
3
0.2
0.1
x( t)
x1( t)
0
x2( t)
0.1
− 0.129 0.2
0
0
0.5
1
1.5
t
2
2.5
3
3
Figura 8 Forzante cosinusoidale. In alto: risposta nel caso di periodo proprio T=0.127sec,
periodo della forzante Θ=2 sec, coeff. di smorzamento ν=0.05, ampiezza della forzante
F=100, massa 0.4 (la rigidezza è quindi pari a 1000).In basso: risposta nel caso di periodo
proprio T=0.28 sec e massa 2.0, gli altri parametri sono immutati.
x: risposta totale, x1: integrale generale, x2: risposta senza contributo del transitorio
Le espressioni ( 40 sono diverse da 0 anche nel caso in cui velocità e spostamento iniziale sono
nulli, pertanto il transitorio dà sempre luogo ad una alterazione della risposta, che tende ad
annullarsi con le oscillazioni. Ad esempio, in Figura 8 si nota che la risposta totale x(t), è diversa
inizialmente dalla sola risposta a regime x2(t), la differenza è data dal contributo del transitorio
x1(t).
Nella figura è ben evidente il fatto che l’applicazione della forzante già diversa da 0 dà luogo ad un
considerevole differenza nella fase iniziale tra forzante e risposta, differenza che tende a ridursi
dopo poche oscillazioni. L’effetto del transitorio è più modesto se viene applicata una forzante del
tipo Fsin(Ωt) che parte anch’essa dal valore nullo al tempo t=0.
Nel caso di forzante sinusoidale le costanti A1 e B1 divengono:
46
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
F0
ω 2 − Ω2
m (ω 2 − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
F
2νωΩ
A1 = − 0 2
m (ω − Ω 2 ) 2 + 4ν 2ωΩ
B1 =
( 41
Sono pertanto uguali alle espressioni della forzante cosinusoidale ma sono scambiate ed una, la
A1 con segno invertito, mentre le A e B dell’integrale generale si ottengono imponendo che la
soluzione completa soddisfi le condizioni iniziali, hanno pertanto le medesime espressioni ( 40, ove
A1 e B1 hanno le espressioni appena trovate.
47
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
0.103
0.2
0.1
x( t)
x1( t)
0
x2( t)
0.1
− 0.102 0.2
0
0
0.5
1
1.5
t
2
2.5
3
3
Figura 9 Forzante sinusoidale: risposta nel caso di periodo proprio T=0.28sec, periodo
della forzante Θ=2 sec, coeff. di smorzamento ν=0.05, ampiezza della forzante F=100,
massa 2 (la rigidezza è quindi pari a 1000) (tranne la forzante è il secondo caso della
Figura 8)
x: risposta totale, x1: integrale generale, x2: risposta senza contributo del transitorio
48
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
1.4 Oscillatore semplice: Risposta al moto del terreno
Se il moto del terreno è del tipo A(t)=a0 sin ωt, l’equazione di equilibrio è la stessa ( 29 nella quale
a termine noto è il termine -m a0 sin ωt, anziché la forzante F sin ωt. La risposta è quindi quella
appena vista ove al termine F si sostituisce -m a0. Il rapporto tra la accelerazione assoluta del
sistema e la accelerazione alla base, è detto tramittanza del sistema:
( &x&(t ) + a (t )) max
1 + (2νω / Ω) 2
=(
)1 / 2
( 42
a0
(1 − (ω / Ω) 2 ) 2 + 2ν (ω / Ω) 2
Questa espressione è la medesima che si ottiene nel caso di forzante sinusoidale tra forza totale di
risposta e forza agente:
(dω ⋅ x& + k ⋅ x) max
F0
La stessa relazione vale tra spostamento assoluto, somma di quello relativo e quello del terreno, e
spostamento del solo terreno. La trasmittanza ha pressoché lo stesso valore del coefficiente di
amplificazione, salvo per valori molto elevati dello smorzamento.
10
10
7.5
Tr ( 0.01 , Ω )
Tr ( 0.05 , Ω )
Tr ( 0.10 , Ω )
5
Tr ( 0.20 , Ω )
2.5
0.042
0
0
0
20
40
60
80
Ω
100
100
Figura 10. Andamento della trasmittanza in una struttura con frequenza propria w=10 per
diversi valori del coefficiente di smorzamento
Si noti che la risposta diviene quindi:
ma0
1
x(t ) =
cos(Ωt − φ )
2
2
m (ω − Ω ) 2 + 4ν 2ωΩ
x(t ) = a0 M (ν , ω , Ω) ⋅ cos(Ωt − φ )
49
( 43
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
1
M (ν ,ω , Ω) =
(ω − Ω ) + 4ν ωΩ
B
2νωΩ
φ = artg ( 1 ) = 2
A1
(ω − Ω 2 )
2
2 2
2
=
A12 + B12
La funzione M() è detta funzione di trasferimento, se si vuole la risposta in accelerazione la
funzione va derivata due volte rispetto al tempo, ottenendo quindi la funzione di trasferimento in
accelerazione relativa: Ω2M().
M (ν ,ω , Ω) =
β=
ω
1
2
(1 −
Ω2
Ω2
ω
ω2
) 2 + 4ν 2
2
Ω2
( 44
ω2
M (ν ,ω , Ω) =
μ (ν , β ) =
50
1
1
1
ω
(1 − β ) + 4ν β
2
2 2
1
(1 − β ) + 4ν 2 β 2
2 2
2
2
=
1
ω2
⋅ μ (ν , β )
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1.5
Oscillatore semplice: Valutazione della Risposta in Forma Numerica.
1.5.1 Calcolo della risposta dinamica al passo: Metodo di integrazione al passo
dell’equazione del moto
In genere, disponendo di un calcolatore, è conveniente integrare numericamente l’equazione di
equilibrio dinamico:
m&x&(t ) + dx& (t ) + kx (t ) = − ma (t )
(1
piuttosto che non risolvere l’integrale di Duhamel o la soluzione relativa alla sovrapposizione in
frequenza. Si tratta di discretizzare il tempo in intervalli di dimensione costante Δt, sufficientemente
piccoli e scrivere l’equazione dinamica non in forma differenziale ma in forma finita. La funzione
spostamento e le sue derivate sono calcolate in corrispondenza dei tempi ti, in cui è stato
discretizzato il fenomeno.
I metodi numerici rappresentano l’unica soluzione per il calcolo della risposta se la struttura entra
in campo non lineare. Peraltro stime della risposta non lineare possono essere fatte con metodi
approssimati basati su approssimazioni lineari della risposta.
Si illustrano nel seguito due metodi di integrazione numerica: il primo delle differenze centrali, nel
quale l’incognita di spostamento all’istante i+1, è espressa in funzione dello spostamento e delle
sue derivate (velocità ed accelerazione) agli istanti precedenti: i ed i-1, è detto per questo un
metodo esplicito; il secondo, chiamato metodo di Newmark, esprime lo spostamento all’istante i+1
in funzione degli spostamenti agli istanti i ed i-1, ma anche della accelerazione all’istante i+1, lo
stesso in cui viene calcolato lo spostamento, e che è anch’esso una incognita. Il metodo, almeno in
linea di principio, richiede di iterare a partire da un valore di tentativo della accelerazione
all’istante i+1, ed è per questo detto implicito.
1.5.2 Metodi espliciti: le differenze centrali
La velocità all’istante i può essere espresse come rapporto incrementale tra quelle agli istanti i+1
ed i-1:
x − xi −1
x& i = i +1
(2
2Δt
L’accelerazione si può ottenere dal rapporto tra l’incremento della velocità tra i+1 ed i , ed i ed i1:
51
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
x& i+ =
&x&i =
xi +1 − xi − xi − xi −1
; x& i =
Δt
Δt
xi +1 − 2 xi + xi −1
(Δt )2
(3
(4
Sostituendo la (3 e la (2 nella equazione di equilibrio dinamico (1 si ottiene:
x − 2 xi + xi −1
xi +1 − xi −1
m i +1
+
d
+ kxi = −ma(t i ) (5
2Δt
(Δt )2
Raccogliendo i termini con lo stesso indice e portando a destra dell’uguale i termini che dipendono
da i ed i-1 si ottiene:
⎡ m
⎡
⎡ m
d ⎤
d ⎤
2m ⎤
x
−
+
⎥ xi −1 − ⎢k −
⎢
⎥ xi +1 = −ma(t i ) − ⎢
(6
2
2
2 ⎥ i
t
t
2
2
Δ
Δ
(
)
(
)
(
)
t
t
Δ
t
Δ
Δ
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
La (6 è una equazione ricorrente, all’istante i+1 sono note tutte le grandezze relative agli istanti
precedenti, pertanto è possibile ricavare lo spostamento x relativo ad i+1.
La (6 può essere vista come la classica Kx=F, in cui la F è il secondo membro.
Si noti inoltre come nella (6 compaia il termine Kxi, che rappresenta la forza elastica all’istante i.
Qualora la struttura abbia comportamento non lineare l’espressione relativa alla forza di richiamo
è f(x), pertanto la (1 diviene :
m&x&(t ) + dx& (t ) + f ( x (t )) = − ma (t )
(7
e la (5 diviene:
⎡ m
⎡
⎡ m
d ⎤
d ⎤
2m ⎤
x
−
+
⎥ xi −1 − ⎢ f ( xi ) −
⎢
⎥ xi +1 = −ma(t i ) − ⎢
(8
2
2
2Δt ⎦
2Δt ⎦
(Δt )2 i ⎥⎦
⎣ (Δt )
⎣
⎣ (Δt )
Si deve osservare come anche la forza di richiamo non lineare sia nota in quanto è proprio quella
relativa al passo precedente. Nessuna differenza, nemmeno di complessità di calcolo, vi è in questo
caso nel passaggio da una analisi lineare ad una non lineare.
Si deve infine osservare che per il calcolo del primo passo t=Δt=i+1, non è possibile definire lo
spostamento all’istante i-1 da inserire nella (6 o nella (8.
Se si specializzano la (2 e la (4 per t=0, ricavando velocità ed accelerazione al tempo t=0,
ricavando dalla (2 la xi+1, e sostituendola nella (4, e ricavando da questa xi-1, si ottiene:
2
(9
xi −1 = xi − Δtx& i − (Δt ) &x&i /2
52
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
È chiaro che le grandezze all’istante t=0 sono un dato del problema, in generale sono nulle.
Vi sono due requisiti essenziali cui i metodi di integrazione al passo devono soddisfare: devono
essere “stabili”, e devono assicurare la “convergenza” alla soluzione esatta. Il primo requisito è
dovuto alla caratteristica che alcuni sistemi di integrazione numerica hanno di divergere
indefinitamente se il passo di integrazione non è sufficientemente piccolo rispetto al periodo
proprio della struttura. Più precisamente se si calcola la risposta dell’oscillatore semplice non
smorzato nel caso di oscillazioni libere il cui risultato esatto è: Acos ωt, nel caso del metodo delle
differenze centrali la risposta può risultare non oscillatoria ed anzi cresce indefinitamente se
Δt>T/π. Il metodo dà comunque luogo a risposte sinusoidali ma con periodi inferiori rispetto a
quello reale, questa tipo di errore, detto di convergenza, si riduce al diminuire del rapporto Δt/T
come si vede in figura.
0
(T'-T)/T
-0,05
0
0,1
0,2
0,3
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
dt/T
Metodo delle differenze centrali, scostamento tra periodo proprio calcolato ed effettivo per
oscillazioni libere non smorzate
In pratica nel caso sismico la necessità di rappresentare l’azione in modo accurato impone in
genere di scegliere un passo di integrazione non superiore a 0.02 secondi, mentre valori tipici
vanno da 0.005 a 0.01 secondi. Pertanto, nel caso di strutture civili, ad un grado di libertà, nelle
quali il periodo proprio è in genere superiore a 0.1 secondi, il rapporto Δt/T è inferiore a 10, il
metodo risulta pertanto stabile (Δt/T<1/π: condizione di stabilità) ed accurato (si veda la figura).
Se la struttura entra in campo plastico i due requisiti divengono più facili da soddisfare, in quanto
l’effetto globale è equivalente ad un allungamento del periodo.
In definitiva i passi da seguire nella programmazione del metodo delle differenze centrali sono i
seguenti:
passo iniziale: valutazione dell’accelerazione al tempo t=0 (eq.(1, eq.(9, (8:
(− dx& (t = 0) − kx(t = 0) − ma (t = 0))
&x&(t = 0) =
m
(10
53
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
x −1 = x0 − Δtx& 0 − (Δt )
2
&x&0
2
⎡ m
⎡
⎡ m
d ⎤
d ⎤
2m ⎤
x
−
+
⎥ x −1 − ⎢k −
⎢
⎥ x1 = −ma(t 0 ) − ⎢
2
2
2Δt ⎦
2Δt ⎦
(Δt )2 ⎥⎦ 0
⎣ (Δt )
⎣
⎣ (Δt )
A tutti i passi successivi (eq.(8):
⎡ m
⎡
⎡ m
d ⎤
d ⎤
2m ⎤
x
ma
t
x
−
k
−
x
(
)
=
−
−
−
+
⎢
⎥
⎢
⎢
⎥
(11
i
+
1
i
i
−
1
2
2
2Δt ⎦
2Δt ⎦
(Δt )2 ⎥⎦ i
⎣ (Δt )
⎣
⎣ (Δt )
Se si devono calcolare le altre grandezze di passo si utilizzano la (2 e la (4:
x − xi −1
x& i = i +1
2Δt
(12
xi +1 − 2 xi + xi −1
&x&i =
(Δt )2
54
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
1.5.3 Metodi impliciti: il metodo di Newmark
Si ipotizzi che si possa approssimare l’accelerazione di risposta (relativa) in ogni passo con una
accelerazione costante pari alla media delle accelerazioni di inizio (punto i) e fine passo (punto
i+1).
In tale ipotesi si possono ricavare le grandezze del moto lungo il passo ed a fine passo:
&x& + &x&i
&x&i = i +1
(13
2
&x&i +1 + &x&i
2
Δt 2
(&x&i +1 + &x&i )
= xi + x& i Δt +
4
x& i +1 = x& i + Δt
(14
xi +1
(15
La (14 può essere scritta come
x& i +1 = x& i + [(1 − 0.5)Δt ]&x&i + (0.5Δt ) &x&i +1
[
]
[
]
(16
(17
xi +1 = xi + x& i Δt + (0.5 − 0.25) Δt 2 &x&i + 0.25Δt 2 &x&i +1
Le espressioni (14a ed (14b possono essere generalizzate secondo le due espressioni seguenti
dovute a Newmark (1):
(18
x& i +1 = x& i + [(1 − α ) Δt ]&x&i + (αΔt ) &x&i +1
[
]
[
]
xi +1 = xi + x& i Δt + (0.5 − β ) Δt 2 &x&i + βΔt 2 &x&i +1
(19
Se i valori di α e β sono rispettivamente 0.5 e 0.25 le due espressioni coincidono con le (16 e (17.
Si trova immediatamente che se i valori di α e β sono rispettivamente 0.5 e 1/6, le due espressioni
coincidono con la soluzione relativa al caso in cui l’integrazione nel passo si esegua utilizzando
una variazione lineare della accelerazione relativa tra inizio e fine passo (secondo la ben nota
regola dei trapezi).
La (19 può essere utilizzata per ricavare lo spostamento di fine passo. La (18 per ricavare la
velocità di fine passo. Si deve utilizzare un criterio iterativo assegnando inizialmente un valore di
tentativo alla accelerazione. Se a fine passo, sostituendo i valori trovati nella equazione di
equilibrio dinamico (1 si ottiene un valore della accelerazione sufficientemente prossimo a quello
di tentativo, si può ritenere di aver raggiunto la convergenza, altrimenti si deve iterare sino a
convergenza.
1.5.4 Riferimenti bibliografici
Newmark,N.M., 1959, A Method of Computation for Structural Dynamics”, Journal of Engineering
Mechanics Division, ASCE 85
55
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
1.6
Oscillatore Semplice: Stima della risposta massima non lineare
E’ stato dimostrato che lo spostamento massimo di un oscillatore semplice elasto plastico soggetto
ad un accelerogramma, se il periodo proprio è elevato, è circa uguale a quello dell’oscillatore
indefinitamente elastico. Pertanto il taglio massimo nella struttura è pari al taglio elastico diviso
per la duttilità massima richiesta.
Se il periodo proprio è breve, la risposta in spostamento è tale da aver la stessa energia di
deformazione massima dell’oscillatore elastico indefinito. Detta Eel=1/2 Kxe2, detta Eep=1/2
Kxy2+1K (xu-xy)= K xuxy-1/2 Kxy2, uguagliando i due termini si ha:
xu=0.5(xe2/ xy+ xy)= 0.5(q2 xy+ xy)
esprimendo xu normalizzato rispetto ad xy si ha:
μ=xu/ xy = 0.5[(xe/ xy) 2+ 1)]= 0.5(q2 + 1)
q rappresenta il fattore di riduzione della forza: q=Fe/Fy
56
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
8.5
10
9
8
7
6
μ ( x)
5
4
3
2
1
1
0
1
1
1.5
2
2.5
3
x
3.5
4
4
duttilità richiesta se T con l’ipotesi di ugual Energia in funzione di x= xe/ xy=q
In genere se l’azione sismica è rappresentata dallo spettro di risposta elastico di progetto, ed il
periodo proprio si trova nella zona a velocità costante: T>Tc , si assume valida l’ipotesi di ugul
spostamento, al di sotto di tale periodo l’ipotesi di ugual energia è ragionevolmente cautelativa.
Detto q il rapporto tra forza di inerzia massima Fe se la struttura rimane in campo elastico e la
resistenza della struttura Fy , qualora il periodo della struttura T* sia inferiore a Tc si può utilizzare
l’espressione :
*
d max
d e*,max ⎡
T ⎤
= * ⎢1 + ( q* − 1) C* ⎥ ≥ d e*,max
q ⎣
T ⎦
per il calcolo della riposta massima in spostamento, nella espressione data de,max è lo spostamento
nel caso di risposta elastica.
57
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
d( q , 0.8⋅ Tc)
d( q , 0.7⋅ Tc)
d( q , 0.6⋅ Tc)
d( q , 0.4⋅ Tc)
q
58
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
2 Strutture a Più Gradi di Libertà: Coordinate Generalizzate
Si consideri il telaio a 2 piani in figura.
Si trascura la deformabilità assiale e per taglio, le travi sono infinitamente rigide
(Unità di misura: [F]=[kN], [L]=[m], [m]=[ton])
Caratteristiche geometriche
Dimensione pilastri:
Altezza di piano:
Lunghezza campata:
Numero di pilastri:
Interasse telai:
b ×h
hp
L
n
Momento d’inerzia dei pilastri:
Ip =
=6,75×10-4 m4
Rigidezza dei pilastri:
k pp
=9×103 kNm-1
Rigidezza di piano:
Caratteristiche meccaniche
Modulo elastico del cls:
Masse
Massa impalcato:
Massa sulla trave di piano:
Massa di piano:
kp=n×kpp
=18×103 kNm-1
E
=30000 MPa (=30000×103 kNm-2)
mi
mt=mi×in
m=mt×L
=0,70 ton m-2
=3,5 ton m-1
=21 ton
59
in
1 3
bh
12
EI
= 12 3p
hp
=300×300 mm2
=3,000 m
=6,000 m
=2
=5,000 m
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2.1
EQUAZIONI DEL MOTO E MATRICI DELLE MASSE E DELLE RIGIDEZZE
Il sistema di equazioni che governano il moto della struttura si possono ricavare utilizzando
differenti metodi :
1)
Equilibrio alla d’Alambert (scrittura diretta delle equazioni di equilibrio dinamico)
2)
Metodo energetico (Principio di Hamilton o della conservazione dell'energia totale del
sistema)
3)
Elementi finiti
Mentre il metodo 3) è utilizzato ampiamente nei programmi di calcolo perchè si presta ad un
elevato grado di automatizzazione, i primi due metodi sono il frutto del tradizionale approccio alla
dinamica Lagrangiana.
Con riferimento al telaio dell'esempio viene ora descritto il metodo 1).
Nella figura accanto sono illustrate le sollecitazioni di taglio ad ogni piano (verso ed ampiezza). Il
telaio è soggetto ad uno spostamento alla base xg. Effettuando l'equilibrio alla traslazione delle
masse di piano possiamo scrivere il sistema di equazioni seguenti, ognuna delle quali mostra come
la forza d'inerzia (proporzionale all'accelerazione assoluta della massa) equilibri la reazione
elastica (proporzionale alla rigidezza di piano kp e dipendente dallo spostamento relativo di
piano).
x1 + &&
xg ) − k p ( x2 − x1 ) + k p x1 = 0
⎧⎪m( &&
⎨
(1
x2 + &&
xg ) + k p ( x2 − x1 ) = 0
⎪⎩m( &&
che si può riscrivere mettendo a fattor comune le incognite x1 e x2 ossia gli spostamento relativi
piano (vedi figura).
60
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
⎧⎪ mx&&1 + 2k p x1 − k p x2 = − mx&&g
⎨
⎪⎩ mx&&2 − k p x1 + k p x2 = − mx&&g
Volendo scrivere le precedenti in forma compatta si può utilizzare la notazione matriciale:
x1 ⎫ ⎡ 2k p −k p ⎤ ⎧ x1 ⎫
⎡ m 0 ⎤ ⎧ &&
⎡ m 0 ⎤ ⎧1⎫
xg
⎬+⎢
⎨ ⎬ = −⎢
⎥
⎢ 0 m ⎥ ⎨ &&
⎥ ⎨ ⎬ &&
⎣
⎦ ⎩ x2 ⎭ ⎣ − k p k p ⎦ ⎩ x2 ⎭
⎣ 0 m ⎦ ⎩1⎭
MX&& + DX& + KX = − MI&&
xg
nella quale M è la matrice delle masse, K è la matrice delle rigidezze, I è il vettore di
trascinamento ed X è il vettore incognito degli spostamenti di piano. Il termine a secondo membro
rappresenta il vettore delle forze equivalenti al sisma.
2.2 SOLUZIONE CON APPLICAZIONE AD UN TELAIO PIANO
Nel caso dell'esempio le matrici delle masse e delle rigidezze assumono le espressioni:
⎡m 0 ⎤
⎡ 21 0 ⎤
M =⎢
M =⎢
matrice delle masse
⎥
⎥
⎣ 0 m⎦
⎣ 0 21⎦
⎡ 2k p
K =⎢
⎣ −k p
−k p ⎤
k p ⎥⎦
⎡ 3.6 ⋅ 104
K =⎢
4
⎣ −1.8 ⋅ 10
−1.8 ⋅ 104 ⎤
⎥
1.8 ⋅ 104 ⎦
matrice delle rigidezze
Se si ipotizza di conoscere una soluzione del tipo X=φ y(t), ove y(t) è uno scalare che viene detto la
coordinata generalizzata e serve a modulare il vettore φ, quest’ultimo dà la forma della
deformazione.
Ad esempio:
⎡ 0.115 ⎤
φ1 = ⎢
⎥
⎣0.186 ⎦
Spostamenti del primo e secondo piano
Per il principio dei lavori virtuali il lavoro delle forze interne ed esterne fatto in uno spostamento
virtuale deve essere nullo perché vi sia equilibrio.
Sostituendo a X l’espressione dello spostamento X=φ y e le sue derivate temporali, assunto proprio
δX=φ δy quale spostamento virtuale, premoltiplicando per φT i termini dell’equazione di equilibrio
si ottiene:
∂y ⋅ φ T Mφ &&
y + ∂y ⋅ φ T MI&&
xg + ∂y ⋅ φ T Dφ y& + ∂y ⋅ φ T Kφ y = 0
Dividendo per δy si ottiene:
φ T Mφ &&y + φ T MI&&
xg + φ T Dφ y& + φ T Kφ y = 0
61
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Che può riscriversi come:
φ T Mφ &&y + φ T Dφ y& + φ T Kφ y = −φ T MI&&xg
Da cui:
φ T Mφ &&y + φ T Dφ y& + φ T Kφ y = −φ T MI&&xg
Ponendo:
φ T Mφ = m
φ T Dφ = d
φ T Kφ = k
φ T MI = L
L’equazione di equilibrio si riscrive:
my&& + dy& + ky = − Lx&&g
m = massa generalizzata, d = smorzamento generalizzato, k = rigidezza generalizzata.
Dividendo per la massa generalizzata si ottiene:
&&
y + 2νω y& + ω 2 y = − px&&g
Ove p=L/m, è detto coefficiente di partecipazione.
L’equazione è quella di un oscillatore semplice soggetto ad una accelerazione amplificata p volte
rispetto a quella effettiva.
62
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
3 Strutture a Più Gradi di Libertà: Analisi Modale
3.1
CALCOLO DELLE FREQUENZE E PERIODI PROPRI DEL SISTEMA
Si consideri ora il caso nel quale sia assente la forzante esterna in genere denominato problema
delle OSCILLAZIONI LIBERE.
&& + KX = 0
MX
Si può ipotizzare una soluzione di tentativo del tipo
X := φ⋅ sinωt
Sostituendo la precedente nel sistema di equazioni si ottiene un nuovo sistema nel quale le
incognite sono il vettore delle ampiezze φ e la frequenza del moto ω, la determinazione della cui
soluzione è detta PROBLEMA AGLI AUTOVALORI
(K − ω2M )φ = 0
Eφ = 0
ossia in forma compatta
Il sistema così ottenuto è un sistema omogeneo che come ben noto dalla matematica ammette
soluzione (autosoluzione) se e soltanto se il determinante della matrice dei coefficienti possiede
determinante nullo. Dunque per calcolare le autosoluzioni del sistema occorre imporre la
condizione:
det[E] = 0
Nel caso del telaio in esame il problema agli autovalori si scrive semplicemente:
⎡⎛ 2kp −kp ⎞
2⎛ m 0 ⎞⎤ ⎛ φ11 ⎞
⎛0⎞
⎢⎜
⎟ −ω ⎜
⎟⎥ ⋅ ⎜ ⎟ := ⎜ ⎟
⎝ 0 m ⎠⎦ ⎝ φ12 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎣⎝ −kp kp ⎠
ossia
⎛ 2k − ω2m −k ⎞ ⎛ φ ⎞
p ⎟
11
⎛0⎞
⎜ p
⋅⎜
:= ⎜ ⎟
⎟
⎜
2⎟ φ
⎝0⎠
kp − ω ⎠ ⎝ 12 ⎠
⎝ −kp
Imponendo l'annullamento del determinante della matrice E si ottiene la seguente equazione
algebrica biquadratica nell'incognita ω
63
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
⎛ 2k − ω2m⎞ ⎛ k − ω2m⎞ − k 2 := 0
⎝ p
⎠⎝ p
⎠ p
2 4
2
2
m ω − 3mkp ω + kp := 0
le cui soluzioni sono date dalle espressioni seguenti
2 2
2 2
3mkp + ⎛⎝ 9m kp ⎞⎠ − 4m kp
2
ω :=
1
2
2m
⎛ 9m2 kp 2 ⎞ − 4m2 kp 2
⎝
⎠
3mkp −
2
ω2 :=
2
2m
I due valori ω1 e ω2 sono detti FREQUENZE PROPRIE del sistema
Calcolo coefficienti
Polinomio caratteristico ax2+bx+c=0:
2
a := m
b := −( 3⋅ kp ⋅ m)
c := kp
2
2
λ1 :=
−b − b − 4⋅ a⋅ c
2⋅ a
λ1 = 327.399
λ2 :=
−b +
2
b − 4⋅ a⋅ c
2⋅ a
3
λ2 = 2.244 × 10
FREQUENZE PROPRIE
PERIODI PROPRI
ω1 := λ1
ω1 = 18.094
T1 :=
2⋅ π
ω1
T1 = 0.347
ω2 := λ2
ω2 = 47.371
T2 :=
2⋅ π
ω2
T2 = 0.133
- Uso del problema agli autovalori generalizzato implementato in Mathcad
64
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Spesso i programmi di calcolo automatico sfruttano metodi numerici approssimati per la
valutazione della frequenze proprie
FQUAD := genvals ( K , M )
FQUAD =
⎛ 2.244 × 103 ⎞
⎜
⎟
⎝ 327.399 ⎠
Ω := FQUAD
−1
T := 2⋅ π⋅ Ω
⎛ 47.371⎞
Ω =⎜
⎟
⎝ 18.094⎠
(FREQUENZE PROPRIE)
⎛ 0.133 ⎞
T=⎜
⎟
⎝ 0.347 ⎠
(PERIODI PROPRI)
CALCOLO DEGLI AUTOVETTORI
65
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Poichè gli autovettori sono definiti a meno di una costante è possibile scegliere differenti condizioni
di normalizzazione
1 ) metodo della componente unitaria
Imponendo la condizione che almeno una componente di ciascun autovettore sia 1 e partizionando
la matrice del problema agli autovalori si ha
Ei⋅ φi := 0
problema agli autovalori
autovettore i-mo
⎛ φi1 ⎞
φi := ⎜
⎟
⎝ φi2 ⎠
Ei := K − λi⋅ M
matrice del problema agli autovalori
partizionamento della matrice del problema agli autovalori
⎛ ei1 Ei , 10 ⎞
Ei := ⎜
⎟
⎝ Ei , 01 Ei , 11 ⎠
se si pone ad esempio
φi1 := 1
dalla seconda equazione si ricava il valore di φ12
poichè gli autovalori hanno reso dipendenti le due equazioni la prima sarà automaticamente
soddisfatta. Nel caso di più di due gradi di libertà il termine Ei , 01 rappresenta la prima colonna
della matrice dei coefficienti moltiplicato per 1, primo valore dell'autovettore posto =1, esso fa si
che i termini noti del problema siano proprio i valori Ei , 01
passiamo al nostro esempio
Autovettore φ1
φ11 := 1
E1 := K − λ1⋅ M
E11 := E1
1, 1
E01 := E1
0, 1
−1
φ21 := −E11
⋅ E01
⎛ φ11 ⎞
⎟
⎝ φ21 ⎠
⎛ 1 ⎞
φ1a = ⎜
⎟
⎝ 1.618 ⎠
Autovettore φ2
φ1a := ⎜
φ12 := 1
66
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E2 := K − λ2⋅ M
E22 := E2
1, 1
E02 := E2
0, 1
−1
φ22 := −E22
⋅ E02
⎛ φ12 ⎞
⎟
⎝ φ22 ⎠
⎛ 1 ⎞
φ2a = ⎜
⎟
⎝ −0.618 ⎠
La forma generale prima ricavata può essere particolarizzata al caso attuale. Ad esempio con
riferimento al primo modo la prima equazione del moto si può scrivere:
φ2a := ⎜
67
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(2⋅ kp − λ1⋅ m)⋅ φ11 − kp ⋅ φ12 := 0
dalla quale si evince, che posto
φ11 := 1
φ12 :=
2⋅ kp − λ1⋅ m
kp
φ12 = 1.618
Analogamente per l'autovettore del secondo modo
2 ) metodo della normalizzazione della matrice delle masse
In tale caso si impongono le seguenti condizioni:
T
φi M ⋅ φi := 1
i := 1..
1..n
n=n° piani
Raccogliendo gli autovettori φi in un'unica matrice Φ detta matrice modale le precedenti possono
scriversi in maniera compatta
T
Φ M ⋅ Φ := I
dove la matrice I è la matrice unità
⎛1 0⎞
I := ⎜
⎟
⎝0 1⎠
Per il caso dell'esempio imponendo la precedente al problema agli autovalori prima definito si
ottengono le seguenti componenti del i-mo autovettore
kp
φi1 :=
2
m
(2kp − λ1⋅ m)2 + kp 2
2
1 − m⋅ φi1
φi2 :=
m
Calcoliamoci dunque le componenti dei singoli autovettori
Autovettore φ1
2
kp
φ11 :=
m
(2kp − λ1⋅ m)2 + kp 2
2
φ12 :=
1 − m⋅ φ11
⎛ φ11 ⎞
φ1 := ⎜
⎟
⎝ φ12 ⎠
68
m
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⎛ 0.115 ⎞
⎜
⎟
⎝ 0.186 ⎠
Autovettore φ2
φ1 =
2
kp
m
φ21 :=
(2kp − λ2⋅ m)2 + kp 2
2
φ22 := −
1 − m⋅ φ21
m
⎛ φ21 ⎞
⎟
⎝ φ22 ⎠
⎛ 0.186 ⎞
φ2 = ⎜
⎟
⎝ −0.115 ⎠
NB. Una maniera alternativa di imporre la normalizzazione rispetto alla matrice delle masse è
quella di utilizzare i vettori normalizzati col metodo della componente unitaria e poi sfruttare la
proprietà che gli autovettori sono definiti a meno di una costante per valutare i nuovi vettori. In
particolare ponendo le seguenti condizioni
φ2 := ⎜
φ1 := C1⋅ φ1a
φ2 := C2⋅ φ2a
T
φ1 ⋅ M ⋅ φ1 := 1
T
φ2 ⋅ M ⋅ φ2 := 1
(normalizzazione rispetto alla matrice delle masse)
dove i vettori
φ1a
φ2a
sono i vettori ricavati col metodo della componente unitaria
si ottengono le soluzioni per i coefficienti C1 e C2
C1 :=
1
T
φ1a ⋅ M ⋅ φ1a
C2 :=
1
T
φ2a ⋅ M ⋅ φ2a
I nuovi vettori φ1 e φ2 risultano ora normalizzati rispetto alla matrice della masse
Nel caso dell'esempio si ha:
C1 = 0.115
C2 = 0.186
69
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φ1 := C1⋅ φ1a
φ2 := C2⋅ φ2a
i :=
0
1
0
1
1
2
⎛ 0.115 ⎞
⎜
⎟
⎝ 0.186 ⎠
⎛ 0.186 ⎞
φ2 = ⎜
⎟
⎝ −0.115 ⎠
che sono esattamente i vettori precedentemente determinati imponendo direttamente la
normalizzazione rispetto alla matrice delle masse.
Naturalmente per valutare gli autovettori è possibile, come logico, utilizzare anche un comando
automatico come quello implementato in Matchad
Mathcad usa una normalizzazione differente dalle due esposte precedentemente
φ1 =
Φ := genvecs ( M , K)
⎛ 0.526 0.851 ⎞
Φ =⎜
⎟
⎝ 0.851 −0.526 ⎠
70
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2
i
1.5
1
0.1
0.15
0.2
φ1
2
i
1.5
1
0.2
0
0.2
φ2
I° modo di vibrare
II° modo di vibrare
T1 = 0.347
T2 = 0.133
NB : Come è usuale il primo modo di vibrare risulta lineare mentre il secondo risulta intrecciato
con valore negativo dello spostamento in sommità
71
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3.1.1 PROPRIETA' DI ORTONORMALITA' DEGLI AUTOVETTORI
A perscindere dal metodo di normalizzazione adottato si dimostra facilmente che gli autovettori
appena ricavati possiedono una importantissima proprietà detta di ortonormalità che si esprime
come segue
T
φi ⋅ M ⋅ φj := 0
se
i è diverso da j
T
φi ⋅ K⋅ φj := 0
se
i è diverso da j
Se poi si adottasse la normalizzazione degli autovettori rispetto alla matrice delle masse si
otterrebbero le condizioni aggiuntive seguenti
T
φi ⋅ M ⋅ φi := 1
2
T
φi ⋅ K⋅ φi := ωi
Ossia in forma compatta:
T
Φ ⋅ M ⋅ Φ := I
⎛1 0 0⎞
I := ⎜ 0 .. 0 ⎟
⎜
⎟
⎝0 0 1⎠
T
Φ ⋅ K⋅ Φ := Λ
⎛ω 2 0 0 ⎞
⎜ 1
⎟
⎜
Λ := 0 .. 0 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 ωn2 ⎟
⎝
⎠
Con le precedenti è possibile rendere le equazioni del sistema indipendenti tra loro (vedi calcolo
della risposta col metodo della sovrapposizione modale).
Nel caso dell'esempio la verifica dell'ortonormalità degli autovettori è immediata :
T
φ1 M ⋅ φ2 = 0
T
φ1 M ⋅ φ2 = 0
− 14
T
φ1 K⋅ φ2 = −2.842 × 10
− 13
T
φ2 K⋅ φ1 = 2.274 × 10
Calcolo a posteriori delle frequenze proprie del sistema
T
A := φ1 M ⋅ φ1
T
B := φ2 M ⋅ φ2
72
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T
C := φ1 K⋅ φ1
T
D := φ2 K⋅ φ2
C
ω1 :=
A
ω1 = 18.094
Frequenza I° Modo
ω2 :=
D
B
ω2 = 47.371
Frequenza II° Modo
73
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3.1.2 CALCOLO ITERATIVO DEI MODI E FREQUENZE PROPRIE
Si illustra un metodo iterativo per il calcolo di autovalori ed autovettori, utilizzabile con qualsiasi
programma statico, utile per il controllo dei risultati dell'analisi dinamica.
data l'espressione agli autovalori:
(K − ω2M )φ = 0
se si premoltiplica per
1 −1
K (K − ω 2 M )φ = 0
2
ω
si ottiene l'espressione:
1
( 2 I − K −1M )φ = 0
ω
che dà luogo alla forma iterativa:
1 1
φ = K −1Mφ 0
2
ω
φ n1 = K −1Mφ 0 ; φ n1 =
1
ω
2
φ1
o anche
ove con l'apice 0 ed 1 si indica iterazione 0 e iterazione 1. Cioò si assegna una forma di tentativo e
si ricava dall'espressione detta una forma successiva. Poiché la frequenza è incognita essa può
essere inclusa nel vettore φ che deve essere poi normalizzato. La normalizzazione si può fare a
posteriori osservando che il rapporto tra il valore effettivo di un autovettore in un punto e quello ed
2
il suo valore normalizzato è appunto ω . Pertanto eseguite un certo numero di iterazioni è possibile
calcolare il quadrato della frequenza come il valore prima dell'iterazione e dopo l'iterazione ma da
normalizzare:
1
φ n1 = φ 0
2
ω
da questa espressione si ha che il valore della frequenza si può ottenere come rapporto tra i valori
che l'autovettore alla iterazione precedente e quello successivo hanno in un punto preciso della
struttura. Da punto a punto tale rapporto varia, il valore esatto sarà compreso tra il massimo ed il
minimo dei rapporti trovati, ovvero, pesando i valori con la distribuzione delle masse:
φ n1′ M φ 0
ω2 =
φ n1′ M φ n1
il metodo converge rapidamente, ci si ferma quando a iterazioni successive i valori ottenuti sono
simili.
ad esempio nel caso in questione si ha, con l'assunzione di un autovettore iniziale unitario ai due
piani:
74
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⎛ 1. ⎞
⎟
⎝ 1. ⎠
φ0 := ⎜
(φn1) := K− 1⋅ M⋅ φ0
⎛ 2.333 × 10− 3 ⎞
⎟
φn 1 = ⎜
⎜
−3 ⎟
⎝ 3.5 × 10 ⎠
normalizzando a 1 la prima componente si ha:
φa1 :=
φn 1
φn 1
1
φ0 := φa1
−1
φn 1 := K
φn 1 =
⋅ M ⋅ φ0
⎛ 1.944 × 10− 3 ⎞
⎜
⎟
⎜
−3⎟
⎝ 3.111 × 10 ⎠
⎛ φn1T ⋅ M⋅ φ0 ⎞
⎟
ω1 := ⎜
⎜ φn T ⋅ M⋅ φn ⎟
1⎠
⎝ 1
0.5
ω1 = 18.096
1
T1 := 2⋅ π⋅
ω1
T1 = 0.347
se si vuol rendere il vettore normalizzato in modo ortonormale:
T
c := φn 1 ⋅ M ⋅ φn 1
φ1 :=
φ1 =
φn 1
0.5
c
⎛ 0.116 ⎞
⎜
⎟
⎝ 0.185 ⎠
T
φ1 ⋅ M ⋅ φ1 = 1
3.2 CALCOLO DELLA RISPOSTA: METODO DELLA SOVRAPPOSIZIONE MODALE
Equazioni modali e fattori di partecipazione
Una volta valutati i modi di vibrare e le frequenze proprie del sistema è possibile calcolare la
risposta sismica del nostro telaio. Spesso in fase progettuale si adotta quello che viene usualmente
denominato metodo della sovrapposizione modale.
L'idea base del metodo è legata alla proprietà di ortonormalità degli autovettori e alla
normalizzazione degli stessi rispetto alla matrice delle masse che rendono disaccopiate le equazioni
del moto. Infatti si ponga:
75
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
X := Φ ⋅ Y
dove Y è il vettore delle coordinate normali mentre X è il vettore degli spostamenti di piano e Φ è
la matrice modale
(
Φ := φ1 φ2 ....... φn
)
essendo n il numero dei gradi di libertà
Sostituendo le precedenti nelle equazioni del moto e premoltiplicando ambo i membri per il vettore
φi trasposto si ottiene un nuovo sistema in Y, composto da n equazioni disaccopiate, la cui generica
espressione è la seguente:
&& + Φ T KΦY = −Φ T MI&x&
Φ T MΦ Y
g
i := 1..
1..n
Con la normalizzazione dei modi rispetto alla matrice delle masse l'i-ma equazione diventa
&y&i + ωi 2 yi = − pi &x& g
ossia l'equazione di un generico oscillatore semplice di frequenza ωi soggetto ad una accelerazione
moltiplicata per il fattore pi. Quest'ultimo è detto fattore di partecipazione ed è definito come segue
T
p i := φi ⋅ M ⋅ I
e rappresenta il lavoro compiuto dalle forze sismiche
M⋅ I
nel modo
φi
E' allora chiaro che se pi è alto c'è un forte coinvolgimento del modo φi nel moto imposto dal
sisma. E' altrettanto chiaro che più il modo è intrecciato e più c'è la possibilità che il relativo
fattore di partecipazione sia piccolo.
Smorzamento Strutturale
E' usuale considerare il singolo oscillatore smorzato con fattore di smorzamento ξi. In tal caso
l'equazione diventa
&y& i + 2ξ i ωi + ωi2 y i = −p i &x& g
In genere il valore dello smorzamento modale viene determinato immaginando una matrice degli
smorzamenti C cosi' definita
C := a⋅ M + b ⋅ K
Smorzamento alla Rayleigh
I parametri a e b vengono definiti sulla base dei due modi più importanti:
T
T
T
T
T
T
φi ⋅ C⋅ φi := a⋅ φi ⋅ M ⋅ φi + b ⋅ φi ⋅ K⋅ φi
φj ⋅ C⋅ φj := a⋅ φj ⋅ M ⋅ φj + b ⋅ φj ⋅ K⋅ φj
Ponendo
T
φi ⋅ C⋅ φi := 2⋅ ξi⋅ ωi
76
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
si ottengono le espressioni dei coefficienti a e b
⎛ 2⋅ ωi⋅ ωj ⎞
a := 2⋅ ξi⋅ ⎜
⎟
⎝ ωi + ωj ⎠
b := ξi⋅
2
ωj + ωi
Massa eccitata
NB : la somma dei quadrati dei fattori di partecipazione è, per effetto delle ortonormalizzazione
degli autovettori, uguale alla massa totale del sistema:
p12+p22=mtot
Valutata la risposta del singolo oscillatore è suffciente tornare al vettore X per determinare la
risposta in coordinate lagrangiane. Lo spostamento di piano può essere espresso semplicemente
come somma dei contributi dei singoli modi (sovrapposizione modale)
n
x i = ∑ φiJ y J
J =1
dove n è il numero dei modi
In genere è possibile considerare nella sommatoria solo i modi di vibrare più significativi. A tale
scopo è utile definire la massa eccitata dal singolo modo:
2
εi :=
pi
mtot
essendo mtot la massa totale dell'edificio
Valori bassi sono indice di un modo poco eccitato e che contribiusce poco alla risposta ( valore
basso nel termine della sommatoria) . Dunque la massa eccitata è un mezzo per avere un'immediata
idea di quanti modi considerare per avere una risposta attendibile.
Nel caso dell'esempio si ha:
vettore delle incidenze per moto orizzontale, detto anche vettore di trascinamento:
⎛1⎞
I := ⎜ ⎟
⎝1⎠
Fattori di partecipazione
T
p 1 := φ1 M ⋅ I
p 1 = 6.315
Fattore di partecipazione I° Modo di Vibrare
T
p 2 := φ2 M ⋅ I
p 2 = 1.489
Fattore di partecipazione II° Modo di Vibrare
2
pT := p 1 + p 2
pT = 42.093
77
2
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2⋅ m = 42
si noti il basso valoredel secondo fattore di partecipazione sintomo del fatto che il secondo modo è
relativamente (al primo modo) poco attivato. A tale scopo è utilie anche il calcolo della massa
eccitata dei singoli modi di vibrare.
2
ε1 :=
p1
⋅ 100
2⋅ m
ε1 = 94.944
%
2
ε2 :=
p2
⋅ 100
2⋅ m
ε2 = 5.279
%
La risposta del singolo oscillatore può essere determinata in vari modi ad esempio
1 ) Calcolo della risposta istante per istante con l'Integrale di Duhamel
2 ) Calcolo della risposta massima col Metodo dello spettro di risposta
Metodo dell'Integrale di Duhamel
n
t
1 − ξ J ωJ ( t − τ )
x i = ∑ φ iJ ∫ − p J &x& g
e
sin ω J ( t − τ)dt
0
ωJ
J =1
Metodo dello Spettro di Risposta
Se in presenza di una accelerazione ag lo spettro di risposta in spostamento è pari
(
)
Sd Ω i , ξi
la risposta massima del singolo oscillatore modale sottopostoi ad un accelerazione pi*ag sarà
(
)
y imax := p i⋅ Sd Ω i , ξi
Passando ora in coordinate non normali il vettore degli spostamenti di piano può essere
determinato con un opportuna combinazione che in genere viene scelta come segue
Xmax := ΦYmax
dove il vettore Ymax racchiude i valori massimi delle risposte dei singoli oscillatori modali
Sicchè l'i-ma componente di X varrà
ximax :=
∑φij⋅yimax
Usualmente la scelta del numero di modi da considerare dipende dalla % di massa eccitata dei
singoli modi.
78
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
3.2.1 ESEMPIO: Calcolo della risposta di un telaio con lo spettro di risposta
Spettro di progetto nuova normativa: zona 1
agmax:= 0.35⋅ 9.81
agmax = 3.434
Caratteristiche dello spettro di risposta elastico (Categoria suolo A)
S := 1
TB := 0.15
TC := 0.40
TD := 2.0
η := 1
(Smorzamento 5%)
q := 4
(Fattore di Struttura)
Spettro di risposta elastico in accelerazione
agmax ⎡
T
Sa( T) :=
⋅ S⋅ ⎢1 +
⋅ ( η ⋅ 2.5 − 1)⎥⎤ if 0 ≤ T < TB
q
T
B
⎣
⎦
agmax
⋅ S⋅ η ⋅ 2.5 if TB ≤ T < TC
q
agmax
⎛ TC ⎞
⋅ S⋅ η ⋅ 2.5⋅ ⎜
⎟ if TC ≤ T < TD
q
⎝ T ⎠
agmax
⎛ TC⋅ TD ⎞
⋅ S⋅ η ⋅ 2.5⋅ ⎜
if TD ≤ T
q
2 ⎟
T
⎝
⎠
Sa( 0.4) = 2.146
Sa( 1) = 0.858
Spettro di risposta in spostamento
2
T ⎞
Sd( T) := ⎛⎜
⎟ ⋅ Sa( T)
⎝ 2⋅ π ⎠
Nel caso del telaio dell'esempio gli spettri in spostamento e accelerazione dei singoli oscillatori
modali varranno:
Sd1 := p 1⋅ Sd( T1)
Sd1 = 0.041
Spostamento massimo oscillatore modale 1
Sa1 := p 1
Sa( T1)
9.81
Sa1 = 1.381
Accelerazione massima oscillatore modale 1 (in g)
79
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Sd2 := p 2⋅ Sd( T2)
−3
Sd2 = 1.325 × 10
Spostamento massimo oscillatore modale 2
Sa2 := p 2
Sa( T2)
9.81
Sa2 = 0.303
Accelerazione massima oscillatore modale 2 (in g)
E dunque la risposta massima ai singoli piani varrà
Vettore degli spostamenti di piano
⎛ 0.041 ⎞
Y := ⎜
⎟
⎝ 0.001325⎠
⎛ 0.116 0.186 ⎞
Φ =⎜
⎟
⎝ 0.185 −0.115 ⎠
X := Φ ⋅ Y
⎛ 5.033 × 10− 3 ⎞
⎟
⎜
−3⎟
⎝ 7.507 × 10 ⎠
X=⎜
In modo formalmente equivalente si può scrivere:
u
⟨i⟩
:= Φ
⟨i⟩
⋅Y
i
1
Xmmax:=
∑
u
⟨n⟩
n =0
Ove con u(i) si sono indicati i vettori colonna dei contributi dei singoli modi.
3.2.2 Criteri di sovrapposizione modale con l’uso dello spettro di risposta
La formulazione sopra riportata è corretta se applicata alla risposta Y(t), è una stima per eccesso
della risposta, infatti i massimi delle due coordinate Y non sono contemporanei.
Si adotta usualmente uno dei due metodi di seguito indicati:
Dove con E è indicato il contributo di ciascun modo alla risposta.
il primo criterio si applica come riportato di seguito:
80
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
⎡ 1
(u⟨n⟩ )2⎥⎤
Xmax:= ⎢
⎢
⎥
⎣n = 0
⎦
⎛ 4.793 × 10− 3 ⎞
⎟
Xmax = ⎜
⎜
−3⎟
⎝ 7.661 × 10 ⎠
0.5
∑
Il secondo criterio di sovrapposizione modale è più preciso, tiene conto della correlazione tra i
modi, dovuta alla vicinanza delle frequenze ed allo smorzamento. La prima formulazione della
correlazione modale è dovuta a Rosemlueth ed Elourdy, così come la formula di combinazione. Qui
si mostra la formulazione suggerita da Der Kiureghian :
3
T
β :=
T
8⋅ ξ ⋅ ( 1 + β ) ⋅ β
2
1
ρ :=
0
⎡⎡ 1
(u⟨n⟩ )2⎤⎥ + ρ ⋅ uv⎤⎥
Xmax1:= ⎢⎢
⎢⎢
⎥
⎥
⎣⎣n = 0
⎦
⎦
−3
2
ρ = 8.856 × 10
(1 − β 2)2 + 4⋅ξ2⋅β ⋅(1 + β )2
⎛ 4.794 × 10− 3 ⎞
⎟
Xmax1 = ⎜
⎜
−3 ⎟
⎝ 7.66 × 10 ⎠
0.5
∑
Mettiamo a confronto i tre risultati ottenuti con i tre criteri di sovrapposizione modale:
⎛ 5.033 × 10− 3 ⎞
⎟
X=⎜
⎜
−3⎟
⎝ 7.507 × 10 ⎠
Xmax =
⎛ 4.793 × 10− 3 ⎞
⎜
⎟
⎜
−3⎟
⎝ 7.661 × 10 ⎠
⎛ 4.794 × 10− 3 ⎞
⎟
⎜
−3 ⎟
⎝ 7.66 × 10 ⎠
Xmax1 = ⎜
Si osseva come il primo criterio, eccessivamente cautelativo, dia risultati non particolarmente più
gravosi in questo caso. Esso rappresenta una stima per eccesso. Il secondo ed il terzo criterio
danno luogo a risultati pressoché coincidenti. Questo fatto è dovuto alla scarsa correlazione
modale. Infatti i periodi propri sono piuttosto lontani: 0.35 e 0.14 secondi. La correlazione è
sempre pressoché nulla al di sopra di una distanza di 0.1 secondi.
81
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
ρ ( β ) 0.5
0.4
0.3
0.2
−4
7.09×10
0.1
0
0
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
β
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2
Correlazione modale al variare del rapporto tra i periodi: β=T1/T2
82
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
3.3
TELAIO SHEAR-TYPE 2 PIANI ISOLATO ALLA BASE
PREDIMENSIONAMENTO SISTEMA DI ISOLAMENTO
periodo di progetto struttura isolata
Tiso := 2
Massa base isolamento
miso := m
miso = 21
Massa totale del sistema di isolamento e della sovrastruttura
mtot := 2⋅ m + miso
mtot = 63
Calcolo rigidezza della base isolata considerando la sovrastruttura rigida
2
kiso :=
4⋅ π
2
⋅ mtot
Tiso
kiso = 621.785
3.3.1 MATRICI DEL SISTEMA DI EQUAZIONI DEL MOTO
⎛m 0 0 ⎞
M := ⎜ 0 m 0 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 m⎠
⎛ 21 0 0 ⎞
M = ⎜ 0 21 0 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 21 ⎠
⎛ kp + kiso −kp 0 ⎞
⎜
⎟
2kp −kp ⎟
K := ⎜ −kp
⎜ 0
−kp kp ⎟⎠
⎝
83
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⎛ 1.862 × 104 −1.8 × 104
⎞
0
⎜
⎟
⎜
⎟
4
4
4
K = −1.8 × 10
3.6 × 10 −1.8 × 10 ⎟
⎜
⎜
4
4 ⎟
0
−1.8 × 10 1.8 × 10 ⎠
⎝
3.3.2 CALCOLO DELLE FREQUENZE E PERIODI PROPRI DEL TELAIO
- Uso del problema agli autovalori generalizzato implementato in Mathcad
FQUAD := genvals ( K , M )
⎛ 2.576 × 103 ⎞
⎜
⎟
FQUAD = ⎜ 872.073 ⎟
⎜
⎟
⎝ 9.682 ⎠
(FREQUENZE PROPRIE)
Ω := FQUAD
⎛ 50.759⎞
Ω = ⎜ 29.531⎟
⎜
⎟
⎝ 3.112 ⎠
−1
T := 2⋅ π⋅ Ω
⎛ 0.124 ⎞
T = ⎜ 0.213 ⎟
⎜
⎟
⎝ 2.019 ⎠
(PERIODI PROPRI)
Si noti come la prima frequenza sia prossima alla frequenza del sistema considerando la
sovrastruttura rigida e che la seconda frequenza sia relativamente più grande
ωiso :=
kiso
3m
ωiso = 3.142
ωbas :=
kiso
m
ωbas = 5.441
84
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Nel caso di azione sismica questo fatto risulta estremamente rilevante in quanto l'aumento del
periodo proprio della struttura porta la struttura verso zone dello spettro di progetto con ordinate
più basse, con conseguenti minori azioni sulla struttura.
85
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
3.3.3 CALCOLO DEGLI AUTOVALORI
1 ) metodo della componente unitaria
Imponendo la condizione che almeno una componente di ciascun autovettore sia 1 si ha:
Autovettore φ1
φ11 := 1
(
)2
E1 := K − Ω 2 , 0 ⋅ M
E11 := submatrix( E1 , 1 , 2 , 1 , 2)
E10 := submatrix( E1 , 1 , 2 , 0 , 0)
−1
φ21 := −E11
⋅ E10
⎛⎜ φ11 ⎞⎟
φ1a := ⎜ φ210 , 0 ⎟
⎜
⎟
⎜ φ21 ⎟
⎝ 1, 0 ⎠
⎛ 1 ⎞
φ1a = ⎜ 1.023 ⎟
⎜
⎟
⎝ 1.035 ⎠
Autovettore φ2
φ11 := 1
(
)2
E11 := submatrix( E1 , 1 , 2 , 1 , 2)
E10 := submatrix( E1 , 1 , 2 , 0 , 0)
E1 := K − Ω 1 , 0 ⋅ M
−1
φ21 := −E11
⋅ E10
⎛⎜ φ11 ⎞⎟
φ2a := ⎜ φ210 , 0 ⎟
⎜
⎟
⎜ φ21 ⎟
⎝ 1, 0 ⎠
⎛ 1 ⎞
φ2a = ⎜ 0.017 ⎟
⎜
⎟
⎝ −0.983 ⎠
Autovettore φ3
φ11 := 1
(
)2
E11 := submatrix( E1 , 1 , 2 , 1 , 2)
E10 := submatrix( E1 , 1 , 2 , 0 , 0)
E1 := K − Ω 0 , 0 ⋅ M
−1
φ21 := −E11
86
⋅ E10
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⎛⎜ φ11 ⎞⎟
φ3a := ⎜ φ210 , 0 ⎟
⎜
⎟
⎜ φ21 ⎟
⎝ 1, 0 ⎠
⎛ 1 ⎞
φ3a = ⎜ −1.971 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0.983 ⎠
2 ) metodo della normalizzazione della matrice delle masse
C1 :=
1
T
φ1a ⋅ M ⋅ φ1a
φ1 := C1⋅ φ1a
⎛ 0.124 ⎞
φ1 = ⎜ 0.126 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0.128 ⎠
C2 :=
1
T
φ2a ⋅ M ⋅ φ2a
φ2 := C2⋅ φ2a
⎛ 0.156 ⎞
⎜
⎟
φ2 = ⎜ 2.665 × 10− 3 ⎟
⎜
⎟
⎝ −0.153 ⎠
1
C3 :=
T
φ3a ⋅ M ⋅ φ3a
φ3 := C3⋅ φ3a
⎛ 0.09 ⎞
φ3 = ⎜ −0.178 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0.089 ⎠
i :=
0
87
1
0
1
1
2
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3
i
2
1
0.2
0
0.2
φ1
I° modo di vibrare
3
i
2
1
0.2
0
0.2
φ2
II° modo di vibrare
NB : Il primo modo è tale che la sovrastruttura praticamente si muova rigidamente sul basamento
isolato e che tutta la deformazione sia concentrata negli isolatori. Come si dimostrerà nel
successivo calcolo delle masse eccitate ad esso è associata la quasi totalità della massa eccitata e
dunque nella sovrastruttura giungono sollecitazioni assai ridotte rispetto al caso non isolato
3
i
2
1
0.2
0
φ3
88
0.2
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III° modo di vibrare
3.3.4 CALCOLO FATTORI DI PARTECIPAZIONE
vettore delle incidenze per moto orizzontale
⎛1⎞
I := ⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
⎝1⎠
vettore dei fattori di partecipazione
T
p 1 := φ1 M ⋅ I
p 1 = 7.936
T
p 2 := φ2 M ⋅ I
p 2 = 0.111
T
p 3 := φ3 M ⋅ I
p 3 = 0.022
si noti il basso valore del secondo indice di partecipazione sintomo del fatto che il secondo modo è
relativamente (al primo modo) poco attivato. A tale scopo è utilie anche il calcolo della massa
eccitata dal modo i-mo.
verifichiamo che la somma dei quadrati dei fattori di partecipazione sia la massa totale del sistema
isolato
2
2
2
pT := p 1 + p 2 + p 3
pT = 63
3.3.5 CALCOLO DELLA MASSE ECCITATE
per definizione la massa eccitata del modo i-mo è il rapporto tra il quadrato del fattore di
partecipazione e la massa totale del sistema
2
ε1 :=
p1
⋅ 100
3⋅ m
ε1 = 99.98
NB : la massa eccitata associata al primo modo di vibrare è la quasi titalità della massa eccitata
2
ε2 :=
p2
3⋅ m
ε2 = 0.02
⋅ 100
2
ε3 :=
p3
3⋅ m
⋅ 100
−4
ε3 = 7.523 × 10
89
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si noti come il primo modo rappresenti di fatto il 100% della massa eccitata, questo è abbastanza
tipico dei sistemi ben isolati
3.3.6 CALCOLO DELLA RISPOSTA SISMICA : Metodo dello Spettro di Risposta
Spettro di progetto nuova normativa: zona 1
agmax:= 0.35⋅ 9.81
agmax = 3.434
Caratteristiche dello spettro di risposta elastico (Categoria suolo A)
S := 1
TB := 0.15
TC := 0.40
TD := 2.0
η := 1
(Smorzamento 5%)
q := 1
(Fattore di Struttura: deve restare elastica)
Spettro di risposta elastico in accelerazione
agmax ⎡
T
Sa( T) :=
⋅ S⋅ ⎢1 +
⋅ ( η ⋅ 2.5 − 1)⎤⎥ if 0 ≤ T < TB
q
T
B
⎣
⎦
agmax
⋅ S⋅ η ⋅ 2.5 if TB ≤ T < TC
q
agmax
⎛ TC ⎞
⋅ S⋅ η ⋅ 2.5⋅ ⎜
⎟ if TC ≤ T < TD
q
⎝ T ⎠
agmax
⎛ TC⋅ TD ⎞
⋅ S⋅ η ⋅ 2.5⋅ ⎜
if TD ≤ T
q
2 ⎟
T
⎝
⎠
Spettro di risposta in spostamento
Sd( T) := ⎛⎜
2
⎞ ⋅ S ( T)
⎟ a
2
⋅
π
⎝ ⎠
Nel caso del telaio dell'esempio gli spettri in spostamento e accelerazione dei singoli oscillatori
modali varranno:
T
(
Sd1 := p 1⋅ Sd T
)
0, 0
Sd1 = 0.024
Spostamento massimo oscillatore modale 1
Sa1 := p 1
(
Sa T
)
0, 0
9.81
Sa1 = 6.216
Accelerazione massima oscillatore modale 1 (in g)
90
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
(
Sd2 := p 2⋅ Sd T
)
1, 0
−3
Sd2 = 1.092 × 10
Spostamento massimo oscillatore modale 2
(
Sa T
Sa2 := p 2
)
1, 0
9.81
Sa2 = 0.097
Accelerazione massima oscillatore modale 2 (in g)
(
Sd3 := p 3⋅ Sd T
)
2, 0
−3
Sd3 = 3.787 × 10
Spostamento massimo oscillatore modale 2
Sa3 := p 3
(
Sa T
)
2, 0
9.81
−3
Sa3 = 3.737 × 10
Accelerazione massima oscillatore modale 2 (in g)
E dunque la risposta massima ai singoli piani vale
Y := Sd1
0
Y := Sd2
1
Y := Sd2
2
⎛ φ10 φ20 φ30 ⎞
⎜
⎟
⎜
Φ := φ11 φ21 φ31 ⎟
⎜
⎟
⎜ φ1 φ2 φ3 ⎟
⎝ 2 2 2⎠
φ1 :=
0
⎛ 0.024 ⎞
⎜
−3⎟
Y = ⎜ 1.092 × 10 ⎟
⎜
−3⎟
⎝ 1.092 × 10 ⎠
0.156
0.09 ⎞
⎛ 0.124
⎜
⎟
Φ = ⎜ 0.126 2.665 × 10− 3 −0.178 ⎟
⎜
⎟
−0.153
0.089 ⎠
⎝ 0.128
Vettore degli spostamenti di piano
X := Φ ⋅ Y
91
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
⎛ 3.193 × 10− 3 ⎞
⎜
⎟
⎜
−
3
X = 2.802 × 10 ⎟
⎜
⎟
⎜ 2.957 × 10− 3 ⎟
⎝
⎠
In effetti in generale il sistema di isolamento dà luogo ad uno smorzamento: ξi, superiore al 5%. Se
si assume : ξi= 12%, che agisce sul solo modo, la risposta può valutarsi riducendo la risposta
spettrale moltiplicando i valori dello spettro di risposta, relativi ai modi interessati dalla
distorsione del sistema di isolamento, per la seguente espressione:
ξi := 12
η :=
10
5 + ξi
η = 0.767
Sd1 := η ⋅ p 1⋅ Sd T
Sd1 = 0.018
Sa1 := η ⋅ p 1
(
0, 0
(
0, 0
Sa T
)
)
9.81
Sa1 = 4.768
E dunque la risposta massima ai singoli piani, nel caso di smorzamento del sistema di isolamento
pari al 12% vale
Y := Sd1
0
Y := Sd2
1
Y := Sd2
2
⎛ 0.018 ⎞
⎜
−3⎟
Y = ⎜ 1.092 × 10 ⎟
⎜
−3⎟
⎝ 1.092 × 10 ⎠
0.156
0.09 ⎞
⎛ 0.124
⎜
⎟
Φ = ⎜ 0.126 2.665 × 10− 3 −0.178 ⎟
⎜
⎟
−0.153
0.089 ⎠
⎝ 0.128
Vettore degli spostamenti di piano con smorzamento dell'isolamento=12%
X := Φ ⋅ Y
⎛ 2.512 × 10− 3 ⎞
⎜
⎟
⎜
X = 2.104 × 10− 3 ⎟
⎜
⎟
⎜ 2.251 × 10− 3 ⎟
⎝
⎠
92
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Anche in questo caso valgono le considerazioni fatte per la sovrapposizione modale nel caso del
telaio convenzionale.
L’applicazione del metodo CQC (composizione quadratica completa) richiede l’uso della
espressione della correlazione relativa al caso di smorzamenti differenti ( si veda il file Mathcad
per i dettagli e le differenze di risultato.
L’espressione completa dovuta a Der Kiureghian è la seguente:
3
ρ 01 :=
8⋅ ( ξ⋅ ξ0)
(1 − β01 )
2
2
⋅ ( ξ0 + ξ⋅ β01) ⋅ β01
0.5
(
+ 4⋅ ( ξ⋅ ξ0) ⋅ β01⋅ 1 + β01
ρ 01 = 0.069
2
) + 4⋅(ξ0
2
2
)
2
−4
ρ 02 = 5.426 × 10
2
+ ξ ⋅ β01
Nella formula β01 è il rapporto tra la frequenza del primo e del secondo modo, ξ0 è lo
smorzamento del primo modo, dovuto essenzialmente agli isolatori, pari al 12%.
⎛ 2.413 × 10− 3 ⎞
⎜
⎟
⎜
−
3
Xmmax= 2.298 × 10 ⎟
⎜
⎟
⎜
−3⎟
⎝ 2.155 × 10 ⎠
⎛ 2.25 × 10− 3 ⎞
⎜
⎟
⎜
−
3
Xmax = 2.296 × 10 ⎟
⎜
⎟
⎜
−3⎟
⎝ 2.328 × 10 ⎠
⎛ 2.281 × 10− 3 ⎞
⎜
⎟
⎜
−
3
Xmax1 = 2.392 × 10 ⎟
⎜
⎟
⎜
−3⎟
⎝ 2.346 × 10 ⎠
Si veda come in questo caso la correlazione modale sia leggermente più influente per effetto dello
smorzamento del 12% del primo modo. L’andamento della correlazione modale ρ al cariare del
rapporto tra i periodi è riportato nella figura in basso. Nella successiva è riportata la variazione di
ρ se un modo ha smorzamento 5% al variare dello smorzamento dell’altro se il rapporto β tra le
frequenze modali vale 0.6 o il reciproco 1.67. Si vede che l’incremento dello smorzamento ha una
influenza sensibile. Nel caso dell’isolamento è possibile che i modi isolati abbiano frequenze simili
se non addirittura coincidenti. In tal caso il valore di ρ può essere elevato e la sovrapposizione di
tipo CQC diviene particolarmente valida se non indispensabile.
93
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
1
0.9
0.8
0.7
ρ (β )
0.6
ρ01( β )
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
β
Funzione di correlazione ρ al variare del rapporto β tra le frequenze modali: ρ- per
smorzamento costante nei due modi pari a 0.05, ρ0- per smorzamento pari l 5% in un modo
ed al 12% nell’altro.
0.2
0.15
ρ01( ξ0) 0.1
0.05
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
ξ0
Funzione di correlazione ρ per un rapporto β tra le frequenze modali pari a 0.6 :, ρ0 - per
smorzamento pari al 5% in un modo ed al 12% nell’altro
94
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1
0.88
ρ01( ξ0) 0.75
0.63
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
ξ0
Funzione di correlazione ρ per un rapporto β tra le frequenze modali pari a 1 : per
smorzamento pari l 12% in un modo ed variabile sino al 20% nell’altro
95
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
4 Le analisi di spinta
Se si usa il metodo delle coordinate generalizzate, assumendo che il vettore spostamento sia
descritto da una deformata φ, un vettore che dà lo spostamento della struttura relativo a ciascun
grado di libertà, modulato da uno scalare y(t), l’equazione di equilibrio di una struttura a più gradi
di libertà:
&& + KX = −MI&&
MX
xg
(1
Può essere riscritto come:
MΦ&&
y + KΦy& = −MI&&
xg
(2
Che premoltiplicando per la trasposta della deformazione dà luogo alla equazione (principio dei
lavori virtuali):
& y& = −ΦT MI&&
ΦT MΦ&&
y + ΦT KΦ
xg
(3
Si può riscrivere la (3 nella forma consueta:
m&y& + ky = L&x&g
(4
Si supponga di aver normalizzato ad 1 la deformata in corrispondenza di un grado di libertà di
piano. Con tale assunzione il valore di y coincide con lo spostamento del grado di libertà ove il
vettore di forma vale 1.
Dividendo per la massa generalizzata la (4 assume la usuale forma:
&y& + ω 2 y = p&x&g
(5
Dividendo per il coefficiente di partecipazione p si ottiene:
&y&
(6
y
+ ω 2 = &x&g
p
p
La (6 può essere vista come l’equazione di equilibrio di un oscillatore semplice la cui risposta è
data in termini di spostamento relativo: u=y/p.
(6
u&& + ω 2 u = &x&g
96
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Il termine L che nella (4 moltiplica l’accelerazione del terreno può essere visto come la massa m*
di un oscillatore semplice equivalente:
φ T MI = m* = L
Moltiplicando primo e secondo membro dell (6 per m* di ottiene:
&y&
y
m* + m*ω 2 = m* &x&g
p
p
(6’
Poiché:
ω2 =k/m.
sostituendo nella (6’ si ottiene:
&y&
k y
m* + m*
= m* &x&g
p
m p
m*
&y&
y
+ (kp) = m* &x&g
p
p
(6’’
(7
Il taglio alla base della struttura soggetta alle forze F=Kx =Kφy, è dato da:V= FT I= IT F. Se si
usano le forme modali vale la relazione:
(8
F = Kφy = ω 2 Mφy
Se si premoltiplica la (8 per il vettore IT di trascinamento orizzontale si ottiene, come appena visto,
il taglio alla base della struttura:
V ( y ) = I T F = I T Kφy = I T ω 2 Mφy = ω 2 I T Mφy = ω 2 Ly = k
L
⋅ y = k⋅ p⋅ y
m
(9
Pertanto sostituendo il risultato della (9 nella (7, si ottiene:
(10
V ( y)
m&y& +
= L&x&g
p
Sino a che il legame è lineare si ha che V è proporzionale a y, pertanto V(y)/p=V(y/p):
L
97
&y& V ( y )
V ( y)
y
+
= L&x&g ;
=V( )
p
p
p
p ;
(11
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
(12
&y&
y
+ V ( ) = L&x&g ;
p
p
La (12 può scriversi:
L
L ⋅ u&& + V (u ) = L&x&g ; u =
y
p
(13
Se il legame è lineare tra V ed y vale la (13. Essa rappresenta la equazione di equilibrio dinamico
dell’oscillatore equivalente alla struttura.
Quando l’oscillatore semplice si sposta di u, la struttura si sposta di y= p u.
La forza di richiamo ha il legame tra forza e spostamento della struttura. Pertanto la rigidezza k è
proprio quella della struttura. Tuttavia, la forza massima alla base dell’oscillatore equivalente non
lineare si ha quando l’oscillatore raggiunge uno spostamento u corrispondente a quello y di
snervamento della struttura diviso per p. Ne segue che la massima reazione V che si può avere
nell’oscillatore equivalente vale (Vy )/p pari al taglio massimo di snervamento alla base della
struttura diviso per p.
Se si normalizza a 1 l’autovettore in corrispondenza della copertura, la curva di spinta corrisponde
a quella in cui in ascissa è riportato lo spostamento di sommità (ove l’autovettore vale 1) ed in
ordinate il taglio alla base.
La massa è data dalla somma delle masse pesate ciascuna per il valore dell’autovettore al livello
della massa.
Il coefficiente di partecipazione p vale p= L/(φ’Mφ).
98
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
4.1
Caratteristiche dell’Oscillatore Equivalente ad una Struttura
V
Vy
yy
y
Figura 11- Legame elasto plastico perfetto e curva reale
Si consideri una struttura, che sottoposta ad un sistema di forze F distribuito in modo
proporzionale al prodotto delle masse per un vettore di forma, abbia un legame taglio alla base
spostamento in sommità elastico perfettamente plastico, quale quello bilatero di figura. Il il punto
yy rappresenta lo spostamento in sommità (se l’autovettore vale 1 in sommità, sennò è il punto dove
l’autovettore vale 1) cui corrisponde lo snervamento.
Il valore dy* corrisponde a yy /p, il valore Fy* corrisponde a Vy/p. La massa dell’oscillatore è la
somma delle masse pesate dall’ampiezza del modo in corrispondenza a ciascuna massa:
φ T MI = m * = L = ∑ mi ⋅ φi
99
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Il coefficiente di partecipazione p è dato naturalmente da:
φ ′MI
m*
= p=
φ ′Mφ
∑ miφi2
Curva ideale e.p.
Curva reale
Figura 12 legame dell’oscillatore equivalente, ripreso dalla Circolare esplicativa delle Norme
Italiane.
Le curve di spinta reali sono difficilmente elastiche perfettamente plastiche. In genere hanno un
andamento quale quello in Figura 12. Vi sono vari criteri per ottenere dalla curva non lineare
reale quella equivalente elastica perfettamente plastica.
La norma Italiana, nella circolare esplicativa, dà il criterio riportato in Figura 12. Detta Fbu la
resistenza massima del sistema strutturale reale ed Fbu*= Fbu/p la resistenza massima del sistema
equivalente, il tratto elastico si individua imponendone il passaggio per il punto in cui il taglio alla
base vale 0,6 Fbu, il punto di plasticizzazione (dy*; Fy), e quindi il valore Fy si individua imponendo
l’uguaglianza delle aree sottese dalla curva bilineare e dalla curva di capacità per lo spostamento
massimo du* corrispondente ad una riduzione di resistenza ≤ 0,15 Fbu*.
Si tratta naturalmente di un procedimento convenzionale, che pretenderebbe di dar luogo ad una
struttura che dà la stessa risposta in spostamento della struttura vera. In linea di massima la
rigidezza iniziale:
k*= Fy / dy*
è poco differente da quella elastica iniziale della struttura, ma comunque è minore. Il periodo così
determinato vale:
T*=2π(m*/k*)1/2
100
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
4.2
Valutazione della risposta massima in spostamento dell’oscillatore
equivalente.
Vi possono essere vari modi per valutare la risposta dell’oscillatore equivalente. Se si ha a
disposizione un accelerogramma si può valutare la risposta per integrazione al passo mediante
analisi non lineare dinamica. L’ipotesi di comportamento della struttura è elasto plastica.
In realtà le strutture difficilmente hanno un comportamente elastico perfettamente plastico,
pertanto la risposta va valutata con il “reale” modello non lineare ciclico della struttura. Esso
potrebbe, in linea di principio, essere ricavato con una analisi di spinta ciclica.
In generale si fa ricorso a modelli semplificati noti, quali appunto quello elasto plastico perfetto,
oppure incrudente (se dopo lo snervamento la retta relativa al legame ha inclinazione diversa da 0,
oppure un legame del tipo Tackeda, per strutture in cemento armato, o legami più complessi.
Un metodo semplificato per la stima della risposta non lineare, è quello di assumere che, se la
struttura è a comportamento perfettamente plastico, lo spostamento massimo sia lo stesso della
struttura elastica.
. Figura 13 Criterio di uguaglianza tra massima energia di deformazione
Fu
Eel=1/2Kxu2
Epl=1/2Kxup2-1/2K (xup- xu)2
xup=(xu2-+xy2)/ xy
Fy
x
101
xu
xup
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Questo criterio è valido per le strutture a periodo lungo. Per le strutture rigide in genere è più
approssimato il criterio di utilizzare l’uguaglianza dell’energia massima di deformazione tra
struttura elastica ed elasto plastica.
6
5
4
Xup/Xu
)
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xu/xy=Fu/Fy
Figura 14 legame tra spostamento massimo della struttura elasto plastica ed elastica col criterio
di uguale energia
Si tratta di capire quando una struttura è flessibile (a periodo lungo) o rigida (a periodo corto).
Fishinger [1999] ha suggerito di legare l’individuazione delle strutture a periodo corto o lungo dal
confronto con l’ordinata Tc dello spettro di risposta. È l’ordinata ove finisce la zona di massima
amplificazione della accelerazione (tratto costante dello spettro di progetto in accelerazione).
Se T>Tc la risposta elasto plastica è quindi uguale a quella elastica, pari cioè allo spettro elastico
in spostamento.
Se T<Tc la risposta è data dalla seguente espressione:
1
102
1
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Se il legame non è elastico perfettamente plastico, l’espressione sopra indicata perde di validità
sempre più al ridursi della dissipazione strutturale. Normalmente le strutture dissipoano meno
rispetto al legame alasto plastico. Un criterio per capire la differenza è quella di sovrapporre il
ciclo di isteresi della struttura a quello elasto plastico perfetto. Il rapporto tra le energie dissipate,
ciè tra le areee incluse nei cicli dà una misura della attendibilità delle espressioni sopra riportate.
Per ovviare a questo problema si possono utilizzare vari criteri. In alcuni casi sono state fatte
analisi di confronto tra strutture che dissipano meno rispetto a quella elastica, trovando dei
coefficienti di correzione (incremento) della risposta non lineare, che sono funzione del rapporto
delle energie dissipate.
Un criterio più fisico, è quello di trovare la struttura elasto viscosa equivalente a quella elasto
plastica. Si parte cioè dall’idea che se due strutture dissipano la stessa quantità di energia debbono
avere risposte dinamiche simili. Naturalmente questa ipotesi deve essere, ed in effetti, almeno sino
a valori non eccessivi della energia dissipata, essa dà risultati ragionevoli. Di questo problema
tratta un notevole filone di ricerca noto appunto con il nome di “linearizzazione equivalente”. E’
possibile cercare la struttura lineare equivalente ottimale per ottenere diverse grandezze di
risposta. Nel caso qui esaminato si cerca quella che dà la stessa risposta massima in spostamento.
Molti autori cercano invece la struttura che minimizza lo scarto quadratico medio tra la storia di
spostamento della struttura non lineare e quella della struttura elasto viscosa equivalente. Se ad
esempio si pesano maggiormente gli spostamenti massimi, i due obbiettivi tendono a coincidere.
4.2.1 Criterio di equivalenza tra struttura non lineare e struttura elasto viscosa.
La storia della risposta di unsistema soggetto ad una forza:
Eq. 1
È del tipo:
Eq. 2
Eq. 3
Tralasciando la fase φ l’andamento temporale dello spostamento e della velocità di risposta sono
dati nella Figura 15.
103
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Figura 15 esempio andamento dello spostamento e della velocità nel tempo per eccitazione
sinusoidale
La forza dissipativa viscosa è data da:
, la forza elastica da: ku(t), la forza totale
dalla somma delle due forze: 1
. I diagrammi forza spostamento e forza totale
spostamento sono indicati nella Figura 16 e nella Figura 17.
Figura 16 andamento della forza viscosa con Figura 17 andamento della forza totale con lo
lo spostamento
spostamento
Se si fa un esperimento si misura in genere una parte elastica che si somma alla parte viscosa già
vista, ottenendo la curva di destra (Figura 17). L’energia dissipata vale
2π / ω
ED =
2π / ω
∫ (cu& )u&dt = ∫ cu&
0
2π / ω
2
dt =
∫ c[ωu
cos(ωt − φ )] dt = cπωu 02
2
0
Eq. 4
0
0
poiché: c=2νωnm; m=k/(ωn) , lEq. 2’Eq. 4 diviene:
ED= 2νωn k/(ωn)2 πωu02 = 2πν(ω/ωn )π k u02 = [4πν(ω/ωn )] [(1/2)k u02];
2
104
Eq. 5
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Ed= 4πν(ω/ωn )] Eel ; ove Eel= [(1/2)k u02];
Eq. 6
Dalla Eq. 6 si ricava:
ν=[1/4π] (ωn/ ω ) Ed /Eel ;
Eq. 7
Dato un generico legame forza spostamento non lineare, si può, per un ciclo di assegnata ampiezza
ricavare i valori di rigidezza elastica secante K e dello smorzamento equivalente ν. La prima si
ottiene unendo l’origine con il punto della curva ciclica forza spostamento corrispondente allo
spostamento massimo, mentre lo smorzamento equivalente si ottiene con la Eq. 7.
K2
Q
K1
K
dy
d
Figura 18. Esempio di legame elasto plastico
Se è data una curva elasto plastica incrudente, quale quella in
Figura 18, se Q è l’intercetta della curva con l’asse delle ordinate, K1 la rigidezza elastica iniziale,
K2 la rigidezza del ramo plastico, d lo spostamento massimo, dy lo spostamento di snervamento, K
la rigidezza secante, l’energia dissipata può essere espressa nella forma
Ed= 4Q(d- dy)
Eq. 8
105
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Pertanto lo smorzamento si ottiene dalla espressione:
ν=[1/4π] (ωn/ ω ) Ed /Eel=ν=[1/4π] (ωn/ ω ) 4Q(d- dy)/ [(1/2)k d2]
Eq. 9
In genere si assume che il maggior contributo allo smorzamento complessivo è dato dalle frequenze
prossime alla frequenza propria della struttura, quando (ωn/ ω )=1, pertanto la Eq. 9 diviene:
ν=[1/4π] 4Q(d- dy)/ [(1/2)k d2];
Eq. 10
Nel caso elasto plastico Q=Fy, cioè l’intercetta è uguale alla forza di snervamento della struttura,
nonché alla resistenza massima, e la rigidezza secante vale: k= Fy /d, la Eq. 10 diviene:
ν=(2/π) (1- dy/ d)= (2/π) (1- 1/μ);
Eq. 11
0.6
0.5
0.4
ν ( μ ) 0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
μ
Figura 19 Smorzamento equivalente al crescere della duttilità in spostamento nelle strutture
elasto plastiche perfette
Si noti che lo smorzamento equivalente si addiziona allo smorzamento che comunque viene sempre
associato alla struttura in campo elastico, in genere assunto pari al 5%.
Quando la struttura ha un incrudimento positivo dopo lo snervamento, come indicato in
Figura 18,
k d=Q+k2d
da questa si ottiene l’espressione della rigidezza secante:
106
Eq. 12
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k=Q/ d +k2.
Eq. 13
Inoltre, sempre con riferimento alla
Figura 18, ed alla Eq. 10 si ha:
dy =Q/(k1-k2 ); Q= k1 dy -k2 dy
detto: a= Q/ (dyk2)
ν=(2/π)[a(μ-1)]/[( μ+a) μ]
Eq. 14
Eq. 15
Eq. 16
Quando la derivata rispetto alla duttilità μ della Eq. 16 è nulla, si ottiene il valore di μ per il quale
lo smorzamento è massimo:
107
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μ (νmax)=1+(1+a)0.5
νmax= (2a/π) (1/[2(1+a)1/2 +(2+a)]
Eq. 17
Eq. 18
Si vede pertanto che, mentre nel caso elasto plastico perfetto lo smorzamento aumenta sempre
all’aumentare della duttilità richiesta, nel caso di una struttura dotata di incrudimento lo
smorzamento aumenta sino ad un certo valore della duttilità, oltre la quale lo smorzamento
diminuisce.In realtà per le usuali struuture civili, il valore dell’incrudimento è in generale solo di
qualche percento. Se si utilizza l’Eq. 17 s ivede, che il valore della duttilità cui corrisponde lo
smorzamento massimo è molto grande, per valori di dell’icrudimento α=k2/k1 <0.02.
10
9
8
7
μνmax( α ) 6
5
4
3
2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
α
Figura 20 Duttilità a cui corrisponde lo smorzamento equivalente massimo al variare
dell’incrudimento
Si può pertanto concludere che sino a valori di incrudimento pari a 0.02 la dissipazione e quindi lo
smorzamento equivalente aumentano con l’ampiezza dell’escursione plastica, cioè con la massima
duttilità richiesta. Per valori di incrudimento maggiori, lo smorzamento cresce sino ad un certo
valore della duttilità per poi diminuire. In particolare occorre controllare con attenzione i casi con
incrudimento sinosuperiore a 0.1, valore per il quale la duttilità corrispondente allo smorzamento
massimo è pari a 4.16, con uno smorzamento massimo pari a 0.33.
108
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0.4
0.3
ν1( μ , 0.1) 0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
μ
Figura 21smorzamento equivalente alla struttura elasto plastica con incrudimento pari al 10%
109
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5 Rappresentazione degli accelerogrammi in serie di fourier: lo spettro
di potenza
Dato un accelerogramma, ad esempio Tolmezzo NS del 1976:
Accelerogramma del Friuli
Questo accelerogramma registrato ad intervalli di 0.01 secondi per un totale di 3728 punti, ha una
durata di 37, 28 secondi. Può essere approssimato con una funzione del tipo serie di Fourier:
n
n
0
1
f (t ) = ∑ An cos ω n t + Bn sin ω n t = A0 + ∑ An cos ω n t + Bn sin ω n t
essendo :
110
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
ωn =
2π
n
D
il primo termine della serie è nullo in una funzione a media nulla quale un accelerogramma.
Per esprimere l’accelerogramma in serie di fourier, occorre determinare il valore delle costanti An
e Bn. Esse vanno scelte in modo che minimizzino lo scarto tra la funzione da approssimare a(t),
l’accelerogramma, e la funzione approssimante f(t). Se il numero di termini che si utilizzano è pari
al numero di punti della funzione, lo scarto è evidentemente nullo, si potrebbe infatti scrivere un
sistema di n equazioni in n incognite, ma il beneficio che si ottiene con la nuova formulazione è
nullo.
Se il numero di termini che si considera è modesto, si può avere un beneficio reale, riducendo al
dimensione del problema da trattare.
In realtà, oggi non è tanto interessante questo aspetto, quante la comprensione di alcune alcune
caratteristiche del dell’accelerogramma che ci consentono di capire la fisica del problema.
Le costanti An e Bn si ottengono cercando i valori che minimizzano lo scarto quadratico medio tra
la a(t) e la funzione approssimante f(t):
D
1
S = ∫ ( a (t ) − f (t )) 2 dt
D0
derivado S rispetto ad An eBn si ottengono le seguenti espressioni:
D
An =
2
a (t ) cos ω n tdt
D ∫0
D
2
Bn = ∫ a (t ) sin ω n tdt
D0
il pregio della formulazione è che si può inizialmente scegliere un numero limitato di armoniche
approssimanti, valutare graficamente la differenza con la funzione da approssimare, e
successivamente aggiungere un certo numero di termini sino a che il risultato non sia
soddisfacente. Lo scarto diminuisce all’aumentare del numero di termini della serie.
L’espressione di Fourier può ssere riscritta nella forma:
111
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N
f (t ) = ∑ C n (cos ω n t − φ n )
0
Cn =
An + Bn
Bn
An
Poiché si dimostra che, se N=∞, detta W la potenza media dell’accelerogramma:
φ n = ar tan g
D
1
1 N
2
2
a
t
dt
=
Cn
(
)
∑
∫
2 1
D0
un criterio per decidere come arrestare il calcolo di nuove armoniche è che la differenza tra la
valutazione esatta della potenza e quella approssimata considerando un numero limitato di
armoniche, sia modesta:
W=
D
1
1 N
δ = ∫ a(t ) 2 dt − ∑ C n 2 ≤ ε
D0
2 1
112
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
5.1
Esercizio
Dato il terremoto del Friuli 1976 (Tolmezzo N-S)
Cliccando su QBasic si avvia il Basic. Si esegue quindi il programma ACC.
Il file accorciato a 16.64 secondi si trova su FR76C.TXT.
Si esegua il calcolo senza A0 con sole 10 armoniche. La maggiore è 2Π10/D= 62.8/16.64=3.774
Sullo schermo appaiono l’accelerogramma di input, gli spettri dei Cn, funzione del periodo o della
frequenza, il massimo valore f della funzione approssimante ed il massimo valore dello scarto
quadratico medio tra funzione approssimante e da approssimare ( cioè l’accelerogramma).
Si può quindi chiedere il calcolo della risposta all’accelerogramma. Viene prima calcolata la
funzione di trasferimento e quindi data la funzione di risposta.
113
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
Si riporta l’accelerogramma registrato a Tolmezzo (Friuli) nel 1976 in
direzione N-S
3728 0.01
1.030
0.242
0.694
3.565
6.524
8.010
6.942
3.628
0.746
-0.470
-1.502
-3.579
-5.915
-7.641
-9.198
-8.822
-4.200
1.570
5.500
8.715
10.109
9.087
8.304
6.543
1.956
-3.093
-7.597
-11.130
-12.400
-12.434
-10.938
-6.852
-2.057
3.275
9.037
11.900
11.359
9.094
5.900
2.958
-1.288
-7.449
-11.520
-14.012
-17.919
-21.512
-23.808
-22.719
-14.914
-4.067
7.137
18.596
23.726
22.734
23.027
19.992
9.692
-0.410
-8.458
-14.894
-15.228
-11.878
-10.072
-9.034
-7.446
-4.173
0.945
5.666
9.853
12.057
8.780
2.090
-3.385
-5.886
-8.094
-14.333
-17.551
-8.021
5.170
12.051
16.835
18.306
13.177
7.741
3.702
-1.142
-5.117
-8.831
-10.205
-6.252
-3.566
-5.923
-9.042
-9.814
-3.580
7.112
9.036
1.656
-7.907
-20.746
-29.110
-25.322
-22.783
-26.936
-24.444
-11.323
9.984
34.131
44.684
40.992
38.523
32.400
16.524
4.267
-4.304
-15.977
-20.198
-15.913
-13.580
-11.055
-7.588
-6.880
-5.316
-4.050
-5.700
-7.657
-10.471
-5.746
13.122
25.450
19.569
10.164
-2.084
-19.398
-23.693
-12.745
-7.488
-13.114
-14.012
-4.032
2.159
-4.796
-17.110
-29.267
-34.623
-26.801
-20.238
-20.662
-10.311
6.171
13.831
22.615
33.643
33.379
26.240
21.035
15.853
8.788
1.659
-0.346
2.381
2.615
1.216
3.411
12.389
26.478
30.348
20.839
15.484
10.354
-3.243
-8.574
-6.752
-13.007
-18.665
-21.996
-28.684
-24.700
-10.525
2.669
25.935
52.653
52.851
29.671
7.693
-8.452
-20.981
-22.691
-14.870
-18.084
-36.712
-36.930
-6.486
16.586
16.162
13.770
7.817
-11.997
-26.636
-24.559
-19.232
-16.271
-12.889
-9.267
0.204
15.200
23.309
25.766
32.235
37.385
37.654
37.457
31.756
20.122
10.557
-0.036
-10.285
-10.196
-5.922
-3.955
-0.579
-2.589
-9.057
-5.477
1.517
1.075
2.177
5.926
4.907
-2.608
-19.491
-30.711
-15.110
5.896
9.479
19.169
38.839
33.837
7.622
-7.080
-11.662
-21.028
-29.407
-31.409
-33.429
-37.394
-36.243
-24.691
-3.850
23.586
47.122
47.625
28.320
19.614
33.306
50.255
52.468
36.537
9.490
-16.238
-26.227
-10.483
13.911
17.059
7.956
9.447
10.907
10.270
22.897
31.555
21.204
13.649
12.321
0.649
-9.303
-4.353
-0.757
-8.296
-16.796
-19.743
-12.997
4.911
18.065
16.670
13.821
12.772
11.311
21.794
33.712
23.551
5.663
-3.674
-12.426
-15.624
-10.225
-10.178
-16.983
-25.309
-29.187
-22.220
-17.469
-18.149
-6.469
9.141
19.921
38.601
47.292
32.653
27.065
34.461
28.741
20.775
25.247
27.587
23.917
26.488
33.026
29.342
14.152
-4.661
-28.850
-53.540
-61.623
-52.552
-33.889
-10.199
-1.791
-16.050
-25.745
-17.516
-6.303
-3.168
-9.614
-22.274
-37.927
-57.761
-75.981
-81.981
-75.387
-65.537
-61.311
-60.733
-57.211
-53.898
-56.571
-65.164
-70.473
-59.406
-44.667
-49.367
-62.878
-73.808
-90.145 -100.937
-99.959 -102.932 -107.037 -107.930 -113.809 -116.545
-112.785 -103.972
-75.167
-39.153
-22.019
-7.475
16.143
37.407
66.002
101.114
121.493
131.876
134.961
115.187
88.189
77.751
69.324
51.187
39.890
40.172
42.913
56.004
85.658
111.202
114
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
115.654
18.892
-11.756
-79.201
327.202
-7.318
-167.418
-171.046
134.479
-28.979
-35.570
197.178
-84.703
-139.795
-58.654
-1.460
-31.081
-11.812
141.744
-141.979
-206.629
174.407
82.161
16.103
-64.624
76.894
-69.375
-192.698
-36.952
103.002
164.892
-23.568
37.208
-128.112
-73.202
-61.781
98.357
57.884
68.733
-35.553
-63.388
-87.706
48.786
70.633
68.833
-47.026
-56.353
-12.508
108.110
14.784
-70.195
115
108.825
18.151
-11.298
-26.897
284.853
-39.496
-185.474
-126.496
135.659
-31.415
1.236
230.309
-87.183
-121.091
-39.138
-6.641
-73.902
35.800
113.780
-153.161
-168.373
171.862
-26.230
14.881
-50.202
93.714
-63.570
-189.265
-22.785
117.865
141.695
-20.968
64.398
-148.863
-50.010
-39.249
84.527
47.980
68.965
-46.500
-84.779
-23.338
43.597
64.283
55.075
-56.243
-60.571
13.872
102.014
4.174
-66.056
99.651
15.435
-14.284
29.415
219.231
-78.712
-198.709
-80.096
125.172
-51.728
35.138
256.519
-62.896
-116.125
-2.349
15.557
-100.272
88.337
88.167
-169.602
-120.294
177.612
-57.095
20.445
-17.752
92.082
-72.129
-167.604
-1.140
124.246
108.386
-18.578
73.704
-163.340
-43.637
-2.217
72.955
45.986
59.851
-47.095
-121.369
20.484
52.716
58.347
36.466
-54.566
-61.913
32.284
89.897
-2.950
-63.224
83.068
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-26.414
96.002
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-218.224
-25.073
91.069
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60.900
248.027
-39.996
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13.899
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-109.410
117.774
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-47.679
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-43.857
22.950
19.380
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-94.143
-142.128
16.277
140.592
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-16.507
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-53.347
37.743
60.655
53.630
43.770
-41.343
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37.821
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55.963
19.536
-50.140
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46.783
74.697
-10.705
-62.577
61.953
4.653
-39.834
188.305
157.938
-143.519
-249.891
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-66.416
90.781
218.094
-48.888
-117.086
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60.594
-105.690
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-30.710
-164.690
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250.994
-30.578
4.813
55.268
24.410
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13.502
-25.915
23.144
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-61.082
69.137
56.174
59.113
31.930
-37.867
-181.445
55.766
73.754
55.944
10.964
-49.561
-63.539
66.258
57.702
-24.928
-61.063
46.849
-5.002
-56.093
272.754
120.535
-154.440
-271.794
69.700
-15.172
-76.329
119.302
158.424
-71.780
-114.642
5.590
61.090
-90.759
144.016
-73.801
-179.816
93.639
245.862
6.831
-25.309
77.173
-11.183
-138.752
-89.502
39.864
184.143
-3.381
-22.955
-0.568
-143.883
-55.403
87.685
66.343
59.988
11.848
-31.639
-182.133
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86.079
62.534
1.112
-49.816
-62.099
81.966
43.223
-40.266
-59.076
36.143
-11.033
-83.682
311.470
72.844
-153.364
-258.594
86.748
-36.666
-72.480
146.133
52.415
-101.606
-89.945
7.851
51.634
-64.246
150.367
-98.453
-205.140
128.199
216.527
39.647
-44.030
76.219
-42.362
-160.130
-67.980
58.511
201.364
-21.405
3.350
-40.451
-122.592
-52.387
100.853
74.713
64.717
-15.702
-34.398
-159.393
55.042
89.736
74.929
-15.080
-50.550
-51.120
91.611
32.711
-53.802
-55.068
25.003
-11.414
-101.188
325.965
28.269
-153.573
-217.361
112.313
-39.938
-57.848
172.977
-43.557
-136.068
-64.354
8.371
18.284
-38.512
154.964
-127.017
-220.481
159.785
177.345
31.681
-57.003
68.720
-65.451
-178.738
-50.338
78.800
193.676
-29.996
22.524
-90.285
-100.615
-61.440
106.787
69.328
68.486
-28.726
-49.713
-131.534
52.548
79.681
77.925
-31.739
-52.871
-34.966
102.518
24.399
-66.112
-49.736
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
-45.681
-37.506
-22.178
38.626
52.323
-14.981
28.824
9.619
-2.635
-14.358
-2.366
3.405
-42.714
1.811
-0.849
27.971
2.057
8.059
15.624
34.747
-2.307
-37.475
-24.815
-8.719
21.935
23.356
2.501
-39.698
-13.428
-8.509
-3.292
-4.042
-8.445
14.241
9.151
16.158
7.901
16.258
-2.825
1.356
-3.858
-29.352
8.300
3.570
3.829
2.074
-1.346
8.723
-20.338
-14.091
19.847
116
-42.705
-34.814
-18.962
36.810
51.470
-3.680
22.387
10.467
-7.571
-11.431
-1.476
-4.553
-41.893
13.278
-14.726
22.574
12.467
0.598
27.359
28.703
-9.543
-35.696
-17.635
-7.064
28.032
17.087
-4.145
-39.663
-12.614
-5.141
-8.804
-2.594
-4.770
17.243
11.539
16.823
7.575
11.585
-5.491
-0.135
-6.800
-29.943
15.334
4.772
-1.184
4.476
1.744
3.024
-23.775
-12.513
18.803
-43.446
-33.509
-13.744
31.012
44.354
5.750
16.686
8.839
-11.734
-8.842
-0.717
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-38.686
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-35.861
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33.360
11.134
-10.852
-34.337
-11.782
-1.507
-11.964
-2.605
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13.903
17.077
7.207
7.602
-8.085
-2.179
-8.855
-28.435
20.834
6.417
-5.867
6.801
6.101
-1.209
-26.610
-10.839
15.931
-48.541
-35.586
-5.492
26.285
28.932
17.326
13.299
7.043
-14.575
-6.499
2.527
-21.867
-35.785
34.065
-10.617
1.877
31.817
-11.666
44.695
25.797
-29.675
-38.473
-6.370
-0.251
37.321
7.074
-18.275
-26.557
-11.435
2.457
-12.248
-3.866
-0.612
19.235
16.395
16.648
6.831
5.516
-8.045
-3.341
-11.241
-24.827
21.776
8.252
-8.161
6.859
11.286
-5.373
-26.961
-6.245
10.696
-51.044
-38.350
3.916
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12.293
29.674
10.702
6.138
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-4.756
6.644
-28.159
-33.323
39.752
5.156
-4.867
26.670
-14.020
52.443
22.221
-33.711
-39.631
-5.859
3.323
40.056
5.973
-24.845
-19.713
-11.944
6.385
-11.580
-6.221
1.093
17.371
18.548
15.920
9.050
4.086
-5.377
-2.233
-15.286
-19.483
18.150
8.483
-7.303
4.934
15.291
-9.811
-25.154
1.548
4.590
-48.648
-36.263
16.086
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-2.910
36.731
8.534
4.318
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-4.947
9.833
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38.287
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-13.198
19.729
-11.878
54.670
19.617
-35.758
-37.783
-7.687
8.243
42.624
5.270
-28.776
-15.635
-12.360
8.752
-10.607
-9.560
4.667
13.736
19.284
14.242
13.237
3.042
-1.880
-0.646
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2.002
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9.034
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37.058
7.682
2.468
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11.772
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-22.113
24.749
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-21.277
16.761
-2.928
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15.498
-37.781
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-9.431
12.607
41.201
5.825
-31.863
-14.444
-12.122
7.564
-8.474
-11.335
7.167
10.257
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11.855
16.558
1.558
1.095
-0.373
-23.163
-7.176
7.345
8.972
-2.767
-1.336
16.578
-14.958
-18.379
14.882
-5.318
-41.168
-26.015
37.166
50.610
-23.046
33.787
8.071
0.927
-15.687
-4.786
9.921
-39.072
-10.273
9.306
31.088
-13.291
13.183
6.584
41.591
6.318
-38.454
-30.430
-9.479
16.460
32.665
6.356
-35.918
-14.146
-10.995
2.820
-6.050
-10.556
9.964
8.355
16.815
9.502
18.010
-0.675
2.127
-1.408
-26.653
0.612
3.765
7.858
-0.024
-2.795
13.966
-17.484
-15.913
18.800
-7.687
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
-9.022
-12.572
3.357
25.701
-2.914
-9.748
-5.056
-10.479
6.603
16.992
8.585
0.378
5.100
-13.756
-5.822
16.501
5.521
-22.037
14.505
2.990
-13.853
-10.294
-0.455
-5.475
11.979
18.490
-3.957
0.282
-5.084
-4.433
6.300
4.256
-14.040
-1.736
9.198
11.027
2.628
1.081
-7.262
-0.074
11.543
6.988
0.112
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-9.858
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-17.302
8.593
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5.041
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117
-11.036
-13.848
2.007
28.145
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-3.479
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-12.395
-4.198
16.951
0.090
-16.716
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1.284
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1.326
-12.036
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18.734
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13.618
7.535
-8.954
7.194
-10.242
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-5.622
-7.727
16.085
-0.494
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-0.761
-7.326
7.382
17.602
0.213
-1.450
-9.562
1.751
-3.438
5.451
-5.668
-6.507
13.349
8.610
-1.581
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0.053
2.756
-8.223
-18.520
-19.970
7.461
10.550
6.076
18.991
1.736
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
-0.212
-11.111
5.300
5.961
-7.241
2.349
-0.983
1.793
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14.070
1.514
-2.332
2.396
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13.022
1.513
-2.754
1.395
-12.838
3.001
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
4.777
5.556
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1.173
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-1.144
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2.497
2.988
-6.014
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
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0.298
2.343
-0.864
-1.324
-0.854
-0.120
-1.415
-1.937
-4.087
-0.102
1.600
1.573
0.903
2.461
-1.741
1.216
-1.193
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1.812
1.092
0.793
2.517
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-3.067
1.495
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-0.745
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2.471
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-1.422
1.942
0.870
-1.031
-2.103
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-2.645
0.026
1.220
-2.213
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1.899
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-3.150
1.734
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2.457
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-1.463
0.032
-0.532
-1.697
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1.582
1.494
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2.423
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1.606
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3.368
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0.006
1.795
-2.371
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3.811
-1.009
0.495
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2.006
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0.030
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1.737
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1.128
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1.336
-0.091
3.545
1.268
2.982
-4.820
0.228
0.992
-1.658
1.352
0.232
-0.683
2.821
-1.251
-3.151
-3.917
-0.038
3.976
-1.973
0.104
-3.476
1.957
3.505
1.476
0.962
-0.278
2.343
-0.878
0.206
-4.368
1.660
1.308
-1.741
0.701
0.692
-1.965
1.850
0.142
-1.435
2.641
-1.431
0.969
0.795
1.802
-0.072
-0.525
-0.685
0.014
-2.829
Prof. Camillo Nuti Dispense di Costruzioni in Zona Sismica 2007
-3.088
-3.434
2.806
1.134
-0.411
0.350
0.060
0.045
-0.564
-3.734
123
-3.140
-3.443
3.976
0.594
-0.853
0.801
0.569
-0.005
-0.643
-3.470
-3.466
-2.147
3.568
0.075
-1.231
0.605
1.073
-0.562
-0.832
-2.461
-3.322
-1.429
2.621
0.450
-1.892
1.070
-0.331
-0.143
-0.799
-1.542
-2.486
-1.119
2.475
0.610
-2.218
1.069
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2.378
-0.047
-2.129
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1.282
-2.792
1.616
1.709
-0.243
-2.020
0.185
-1.411
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-2.145
3.193
-2.894
1.824
1.233
-0.052
-1.138
0.442
-1.210
-0.478
-3.003
3.948