Indagine Sperimentale di Calibrazione del Metodo Combinato SonReb
Maurizio Lenzi (1), Danilo Versari (2) , Roberta Zambrini (3)
Premessa
Nell’ambito delle prove non distruttive utilizzabili per il controllo in opera del calcestruzzo trova
da tempo impiego il metodo combinato denominato SonReb. Con questo acronimo dei termini
“Sonic and Rebound” vengono identificate le caratteristiche salienti della tecnica di controllo in
esame, che come noto abbina alla misura della velocità di propagazione degli ultrasuoni la misura
dell’indice di rimbalzo sclerometrico.
L’interesse per questa metodologia combinata risiede nel fatto che essa presenta, rispetto ad altri
metodi di controllo non distruttivi o semidistruttivi, il vantaggio della semplicità e della rapidità
esecutiva che consentono di saggiare estese porzioni di struttura in tempi e con costi accettabili.
Inoltre si migliora significativamente attraverso le prove congiunte l’affidabilità delle singole
metodologie (ultrasonica e sclerometrica), viceversa meno attendibili se considerate separatamente.
Si riduce infatti con la doppia combinazione l’influenza sulla resistenza del calcestruzzo
dell’umidità interna e del grado di maturazione, avendo questi parametri fisici effetti opposti sulla
velocità di propagazione e sull’indice sclerometrico. Si riduce inoltre l’influenza rispetto al metodo
ultrasonico delle dimensioni degli inerti e del dosaggio e del tipo di cemento e l’influenza rispetto al
metodo sclerometrico delle disomogeneità tra gli strati superficiali e gli strati più profondi.
Dall’altro lato va tenuto ben presente che il metodo combinato fornisce valutazioni della resistenza
attuale del calcestruzzo necessariamente affette da incertezza, insita sia nella precisione delle
misure sia nell’aleatorietà dei parametri che concorrono a determinare la resistenza oggetto di stima.
Al fine pertanto verificare l’affidabilità del metodo SonReb e quindi di indagare l’influenza della
velocità di propagazione e della durezza superficiale è stata condotta un’indagine sperimentale volta
a determinare i parametri di correlazione tra le grandezze oggetto di misura sul campo e la
resistenza di un calcestruzzo confezionato con cementi ed aggregati di caratteristiche ricorrenti.
Nel seguito del testo si riportano i risultati ottenuti ed una proposta di correlazione tra i parametri
indipendenti e la resistenza del calcestruzzo che si aggiunge a quelle reperibili in letteratura.
Metodologia operativa
Allo scopo di indagare uno spettro sufficientemente ampio di resistenze variabili nel range da 25
MPa a 55 MPa sono stati previsti quattro diversi mix design del calcestruzzo contraddistinti da
valori del rapporto acqua/cemento pari a 0.7-0.6-0.5-0.4. Per ciascuna miscela si è poi provveduto a
confezionare diverse serie di cubetti aventi la canonica dimensione di 15 cm per lato. Su ciascuno di
questi provini sono state misurate nell’ordine la velocità di propagazione degli ultrasuoni mediando
i risultati delle misure in trasparenza di almeno tre impulsi, l’indice di rimbalzo fornito dalla battuta
dello sclerometro sul cubetto posizionato sotto la pressa in un numero minimo di nove punti di
misura e la resistenza a compressione misurata nel corso della successiva prova di schiacciamento.
Le misure sperimentali di velocità, durezza e resistenza sono state ripetute su tre serie di provini
aventi rispettivamente 14, 28 e 60 giorni di maturazione del getto. La taratura degli strumenti è stata
controllata prima e dopo le prove mediante la misura dell’indice di rimbalzo dello sclerometro posto
in verticale sull’incudine di taratura in acciaio e controllando le sonde acustiche con la misura della
velocità ultrasonica in un apposito cilindro avente velocità di propagazione nota.
(1) ACMAR - Ravenna, (2) COLABETON - Forlì, (3) ANFIBIA Srl - Ferrara
Le prove sono state eseguite presso il Laboratorio Tecnologico di Forlì della Soc. COLABETON,
impianto presso il quale sono state anche confezionate le miscele utilizzate nella sperimentazione in
oggetto che si inserisce nel novero delle Attività di Ricerca e Sviluppo promosse dall’ACMAR. Le
operazioni di misura inerenti l’indagine SonReb sono state eseguite dalla Soc. ANFIBIA Srl
utilizzando strumentazione certificata.
Mix Design del Calcestruzzo
Le miscele cementizie utilizzate per la preparazione dei provini sono state confezionate con
cemento Portland di miscela (CEM II) avente resistenza caratteristica di 42.5 MPa a presa rapida
(R), ottenuto per macinazione di clinker (A) con aggiunte di calcare (LL), ossia con cemento di tipo
CEM II-A/LL 42.5 R di impiego corrente. Gli inerti utilizzati sono di tipo frantumato e di natura
calcarea, hanno un diametro massimo nominale di 15 mm e presentano una curva granulometria
assortita composta da 3 classi granulometriche (pietrischetto, sabbia grossa e sabbia fine). La
consistenza del getto, misurata mediante abbassamento al cono di Abrams (UNI EN 12350-2) è
stata per tutte le miscele di classe S4 (slump compreso tra 16 e 21 cm). E’ stato inoltre utilizzato un
additivo superfluidificante dosato all’1.3% del peso di cemento. In Tab. I si riporta il riepilogo della
composizione delle miscele utilizzate.
Tab. I – Composizione delle miscele utilizzate nella sperimentazione
Miscela Cementizia
Composizione
per m3 di cls
1
2
3
Parametri di Progetto
CEM II-A/L 42.5 R CEM II-A/L 42.5 R CEM II-A/L 42.5 R
Cemento
Rapporto A/C
0.7
0.6
0.5
Consistenza
S4
S4
S4
Diametro max
15
15
15
3
Dosaggio [kg/m ]
Acqua
190
190
190
Cemento
270
315
380
Inerti
1855
1815
1760
Peso Miscela [kg/m3]
Peso specifico
2315
2320
2330
4
CEM II-A/L 42.5 R
0.4
S4
15
190
475
1675
2340
Valori di Riferimento della velocità ultrasonica e dell’ indice sclerometrico
Al fine di individuare il range di variazione delle grandezze oggetto di misura si riportano a titolo
orientativo in Tab. II i valori medi in genere utilizzati per esprimere un giudizio sulla qualità del
calcestruzzo in opera qualora si utilizzi, con i limiti interpretativi accennati, il metodo ultrasonico o
il metodo sclerometrico.
Tab.II - Giudizio sulla qualità del calcestruzzo in opera
Qualità del calcestruzzo
Velocità (m/sec)
Scadente
3000 < V < 3400
Discreta
3400 < V < 39000
Buona
3900 < V < 4500
Ottima
V > 4500
2
Indice di Rimbalzo
20 < I < 25
25 < I < 35
35 < I < 50
I > 50
sistema
ultrasonico
pacometro
sclerometro
Trasduttori
Fig. 1 - Sclerometro e strumentazione di misura delle velocità ultrasoniche
Fig. 2. a) Pressa per prove di schiacciamento e prova sclerometrica; b) prova ultrasonica
Strumentazione di Prova
Le misure delle grandezze di interesse per l’indagine sperimentale sono state eseguite utilizzando la
strumentazione di seguito descritta (fig.1 e fig. 2):
a) Sclerometro meccanico GEI Concrete con incudine di taratura in acciaio, martello tipo N,
energia di percussione di 2.207 J (0.225 Kg·m).
b) Sistema di misura della velocità di propagazione degli ultrasuoni composto da una unità di
acquisizione CMS HLF-P avente le seguenti caratteristiche:
- frequenza di acquisizione variabile fra 50 Khz e 1.25Mhz
- unità di amplificazione selezionabile fra low power, 20, 40 e 74 dB
- misura automatica e manuale del tempo di propagazione dell'onda di pressione
- visualizzazione su oscilloscopio del segnale registrato ( scansione 0,1ms )
- campionamento con tempo di acquisizione fino a 40ms, soppressore ed inibitore di segnali spuri;
- trasduttori piezoelettrici di vibrazione, trasmittente e ricevente accordati, frequenza di 55 Khz;
- gel accoppiante ad elevata viscosità ed impedenza acustica per ridurre l’attenuazione del segnale
nel passaggio fra sonda e corpo in esame.
c) Pressa MATEST per lo schiacciamento dei cubetti dotata di cella di carico con taratura sino a
3000 KN, carico max di prova di 2000 KN, velocità di applicazione del carico di 1.0 MPa/sec.
3
Correlazione e Regressione
Con il metodo SonReb si determina la resistenza del calcestruzzo combinando i dati sperimentali,
riportati per il caso di studio nell’Appendice A, mediante correlazioni del tipo:
R = Ro ⋅ ea V b I c
in cui:
R
Ro
V
I
a, b, c
=
=
=
=
=
resistenza attuale a compressione del calcestruzzo (MPa)
fattore di conversione delle unità di misura (Ro= 1 MPa⋅sec/m)
velocità di propagazione degli ultrasuoni (m/sec)
indice di rimbalzo misurato dallo sclerometro (-)
parametri di correlazione adimensionali da determinare con le misure sperimentali
La relazione precedente può essere trasformata, facendo uso della notazione logaritmica, nella
regressione lineare multipla:
Ln ( R ) = a + b ⋅ Ln (V ) + c ⋅ Ln ( I )
In questa trasformazione occorre peraltro tenere presente che nell’ipotesi che le resistenze R siano
variabili aleatorie (v.a.) normali indipendenti ed identicamente distribuite con eguale deviazione
standard, la stessa ipotesi non può essere estesa se non in via approssimata alla resistenza
logaritmica. Sussiste infatti tra l’errore medio σR della resistenza in scala naturale e l’errore medio
σ Ln(R) in scala logaritmica la relazione:
σ Ln( R) =
σR
R
L’errore standard logaritmico σLn(R) fornisce quindi in realtà il coefficiente di variazione σR/R della
resistenza in scala naturale ed assume pertanto un valore variabile con la stessa resistenza. Questa
circostanza suggerisce di utilizzare per l’individuazione dei parametri della regressione lineare il
metodo dei minimi quadrati pesati. Assunto a questo riguardo come peso noto da attribuire allo
scarto quadratico il termine:
2
w=R
valutato in base ad una stima della resistenza, la grandezza:
Z = w ⋅ Ln(R)
2
2
2
risulta essere una v.a. omoschedastica, ossia con varianza costante e pari a σ z = wσ Ln ( R ) = σ R .
A questa v.a. è quindi possibile applicare direttamente la tecnica di regressione lineare. Con questa
finalità si individua come errore della i-esima misura lo scarto ε zi = Z i − Z i tra il valore
Z i = wi ⋅ Ln( Ri ) ricavato con la resistenza Ri della prova a rottura ed il valore Z i = Z i (Vi , I i )
fornito dalle misure di velocità ultrasonica e di indice sclerometrico, utilizzando per entrambe come
2
peso noto il valore campionario wi = Ri .
4
Si conviene pertanto di definire come residuo della misura i-esima la grandezza:
ε zi = wi ⋅ Ln ( Ri ) − wi ⋅ [a + b ⋅ Ln (Vi ) + c ⋅ Ln ( I i ) ]
L’errore quadratico medio della regressione lineare si ricava a sua volta come somma degli n
residui elevati al quadrato ed assume pertanto l’espressione seguente:
1
ε =
n
2
n
∑ w ⋅ [Ln(R ) − (a + b ⋅ Ln(V ) + c ⋅ Ln( I ))]
2
i
i
i
i
i =1
I parametri incogniti a , b, c si determinano poi imponendo la condizione che essi rendano minino
l’errore quadratico medio o massima la sua verosimiglianza statistica, ottenendo in entrambi i casi i
medesimi risultati. La condizione di minimo si individua annullando le derivate della funzione ε2
rispetto ai parametri incogniti, ottenendo il sistema di equazioni:
n
n
n
i
i =1
n
∑ wi ⋅ Ln( Ri ) = a ⋅ ∑ wi + b ⋅ ∑ wi ⋅ Ln(Vi ) + c ⋅ ∑ wi ⋅ Ln( I i )
i =1
n
i =1
n
n
n
i =1
i =1
∑ wi ⋅ Ln( Ri ) ⋅ Ln(Vi ) = a ⋅ ∑ wi ⋅ Ln(Vi ) + b ⋅ ∑ wi ⋅ Ln 2 (Vi ) + c ⋅ ∑ wi ⋅ Ln( I i )Ln(Vi )
i =1
i =1
n
n
n
n
∑ w ⋅ Ln(R ) ⋅Ln( I ) = a ⋅ ∑ w ⋅ Ln(I ) + b ⋅ ∑ w ⋅ Ln(V ) Ln( I ) + c ⋅ ∑ w ⋅Ln
i
i =1
i
i
i
i
i
i =1
i
i
i =1
i
2
(I i )
i =1
risolvendo il quale si ricavano con i dati campionari i seguenti valori dei parametri di regressione:
a = −32.15
c = 1.747
b = 4.636
La curva di correlazione SonReb assume pertanto per il campione di dati esaminati l’espressione:
R = 7.876 ⋅ 10 −19 V 4.636 I 1.747
(MPa )
Riguardo il significato dei parametri di regressione si può dimostrare che a rappresenta un fattore di
scala mentre i parametri b e c coincidono con le variazioni percentuali di resistenza indotte da una
variazione percentuale unitaria delle grandezze oggetto di misura ad essi associate, risultando:
ΔR / R | I = c ⋅ ΔI / I
ΔR / R |V = b ⋅ ΔV / V
Così una variazione ΔV/V dell’1% nella misura della velocità si riflette in una variazione del 4.6%
della resistenza mentre una variazione ΔI/I dell’1% dell’indice di rimbalzo si traduce in una
variazione di resistenza dell’1.75%, indicando con ciò una maggiore sensibilità del risultato alla
precisione della misura della velocità che richiede pertanto più accuratezza. Per una variazione
congiunta di entrambe le misure si ricava, applicando la propagazione quadratica degli errori, una
variazione di resistenza:
ΔR = R ⋅
(b ⋅ ΔV / V )2 + (c ⋅ ΔI / I )2
5
CALIBRAZIONE PARAMETRI - METODO SONREB
DIAGRAMMA DELLE RESISTENZE A COMPRESSIONE
80
Resistenze sperimentali
70
Resistenza a compressione [MPa]
Curva Interpolante
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
PROVA [nr]
CALIBRAZIONE PARAMETRI - METODO SONREB
DIAGRAMMA DELLE RESISTENZE A COMPRESSIONE
65
60
Resistenze sperimentali
55
Resistenza a compressione [MPa]
Curva Interpolante
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
PROVA [nr]
Fig. 3 – Distribuzione delle resistenze campionarie ed interpolazione con il metodo Sonreb:
a) Regressione ottenuta con i singoli valori campionari di velocità e indice sclerometrico
b) Regressione con valori medi di velocità e indice sclerom. di lotti con rapporto A/C=cost.
Una stima dell’accuratezza effettiva conseguita nel caso di studio è fornita dal confronto riportato in
fig. 3a tra le resistenze sperimentali e quelle dedotte con il metodo Sonreb e che mostra come la
curva interpolante riproduca con buona fedeltà la curva sperimentale. La precisione poi migliora
significativamente qualora, impiegando ancora gli stessi valori dei parametri di regressione a, b, c
relativi all’intero campione di dati, si utilizzino come valori rappresentativi di un lotto con rapporto
A/C costante (e quindi di assegnata resistenza teorica) i valori medi delle misure di velocità e
dell’indice di rimbalzo afferenti a tale lotto (fig. 3b).
6
METODO SONREB - CURVE DI ISORESISTENZA
55.0
52.5
50.0
47.5
Indice di rimbalzo [-]
40
45.0
45
50
55
35
30
42.5
25
40.0
20
15
37.5
35.0
32.5
30.0
27.5
25.0
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
3800
3900
4000
4100
4200
4300
4400
4500
4600
4700
4800
4900
5000
Velocità [m/sec]
Fig. 4 – Metodo Combinato SonReb - Curve di isoresistenza
In fig. 4 si riporta inoltre l’abaco delle curve di isoresistenza dedotte con la correlazione ricavata in
precedenza e che fornisce indicazioni dirette sulla resistenza attuale del calcestruzzo in funzione
delle variabili indipendenti oggetto di misura.
Test statistico sui parametri campionari
Al fine di verificare che la procedura adottata non presenti errori di misura di natura sistematica è
stata eseguita un’analisi statistica dei residui per saggiare la natura aleatoria della dispersione dei
risultati, ossia dello scostamento dei valori campionari dalla curva di regressione.
Nell’ipotesi che le resistenze del calcestruzzo si distribuiscano con legge gaussiana, anche gli errori
di misura presentano una distribuzione normale ε~N(0,σR) con valore medio nullo e varianza σ R2
che può essere valutata sulla base delle resistenze campionare.
A tal riguardo si conviene di indicare nel seguito con Ri la resistenza i-esima sperimentale, con Rsi la
resistenza i-esima dedotta con il metodo SonReb e con g = n-k il numero di gradi di libertà, ossia il
numero n di misure campionarie della resistenza ridotto del numero k dei parametri statistici da
ricavare con tali misure. Ciò posto, la varianza campionaria:
sR2
∑
=
(
Ri − Rsi )2
i =1
n
n−k
7
METODO SONREB - CALIBRAZIONE PARAMETRI
GRAFICO DEI RESIDUI STANDARDIZZATI
3.0
2.0
Residuo Standardizzato
Serie2
1.0
0.0
-1.0
-2.0
-3.0
0
10
20
30
40
50
60
70
RESISTENZA A COMPRESSIONE [MPa]
Fig. 5 – Distribuzione dei residui standardizzati
valutata in base al rapporto tra la devianza campionaria ed il numero dei gradi di libertà si dimostra
2
2
2
essere uno stimatore corretto della varianza incognita σ R2 . Inoltre il rapporto (n − k ) s R / σ R = χ n −k
é una variabile aleatoria chi-quadrato con g = n – k gradi di libertà, essendo k-1=2 il rango delle
variabili indipendenti e k=3 il numero dei parametri della regressione. Ne consegue che la
distribuzione dei residui standardizzati, individuati dalla variabile:
t=
Ri − Rsi
sR
definita utilizzando la stima campionaria (sR) come misura della deviazione standard (σR), si
distribuisce al pari di una v.a. t-Student, anch’essa con g = n - k gradi di libertà. Peraltro la
numerosità del campione (n=24; g=21) comporta che tale distribuzione approssimi di fatto quella
normale, ragione per cui si può assumere in via conservativa che lo scarto:
ε = | 3s R |
rappresenti il limite entro il quale ricade il 99% degli errori di natura aleatoria. Nel caso di studio il
75% dei residui ricade all’interno dell’intervallo ±s, mentre tutti i valori sperimentali risultano
compresi entro i limiti ±2s , come mostrato in fig. 5 che riporta per l’insieme dei dati campionari la
nuvola di punti dello scarto standardizzato.
Si può quindi concludere che la natura degli errori osservati sia accidentale e che quindi i risultati
campionari siano da ritenersi tutti egualmente validi.
8
Inferenza statistica sulla risposta media della regressione
Risulta inoltre di interesse valutare l’intervallo fiduciario delle misure, ossia l’ampiezza
dell’intervallo che contiene con un determinato livello di probabilità (1-α) la resistenza valutata in
base alla curva di correlazione. L’incertezza sulla stima della resistenza si ricava assegnando un
livello di ingresso, ossia una coppia di valori (Vi e Ii), ed utilizzando per l’intervallo fiduciario la
relazione seguente:
ΔRi ≅ tα , g ⋅ cz ,i ⋅ sR
In tale relazione tα,g è il valore della v.a. t-Student con g gradi di libertà associato alla probabilità
1−α mentre czi è il coefficiente di varianza della risposta media fornita dalla regressione lineare per
la misura combinata i-esima. Tale coefficiente si ricava applicando i criteri di analisi statistica
riportati in dettaglio nell’Appendice B.
Per i 4 campionamenti della serie nr. 2 (campioni a 28 gg. di maturazione), considerando per
ciascuno di essi valori medi rappresentativi della velocità ultrasonica e dell’indice di rimbalzo, si
ricavano per l’intervallo fiduciario con un livello di confidenza 1-α=95% i valori riepilogati in
Tab. III (frattile α = 5%, g=21; t0.05,21 = 1.721).
Tab. III – Intervallo fiduciario delle media con probabilità (1-α)=95%
Sigla del
Vi
Ii
Ri
cz,i
sR
ΔR/R
ΔR
campione (m/sec) (-) (MPa)
(-)
(MPa) (%) (MPa)
A1
4138
39.8
26.6 0.281 4.07
7.4
2.0
B1
4314
41.7
39.3 0.272 4.07
4.8
1.9
C3
4377
46.7
47.5 0.313 4.07
4.6
2.2
D1
4527
46.7
59.9 0.359 4.07
4.2
2.5
Valore medio
5.2
2.2
Nel caso di studio l’intervallo fiduciario risulta dell’ordine di 2.0 MPa, corrispondente ad una
variazione percentuale media di circa il 5%.
Confronto con altre correlazioni
Considerata acquisita la correttezza operativa e plausibili i risultati ottenuti, si presenta in chiusura
il confronto tra le previsioni fornite dal modello elaborato con la presente sperimentazione e le
previsioni dedotte con altre correlazioni reperibili in letteratura e riepilogate in Tab. IV. Tale
confronto è stato eseguito assumendo come dati in ingresso per tutte le correlazioni i valori
sperimentali della velocità di propagazione e dell’indice sclerometrico. Il risultato comparativo è
riportato in fig. 6.
Come si può notare, rispetto ad altre correlazioni, quella ottenuta nel caso di studio fornisce valori
inferiori alle basse resistenze e maggiori a quelle più alte e prossime alle resistenze campionarie.
Questa circostanza rientra peraltro quantitativamente nel novero delle approssimazioni prevedibili
tenuto conto che ognuna delle correlazioni di letteratura presenta un suo specifico ambito di
applicazione, non sempre facilmente individuabile o specificato, riferendosi sovente a resistenze
cilindriche spesso ricavate dalla rottura di carote prelevate in situ.
9
Metodo SONREB - Confronto tra correlazioni
70
Resistenza a compressione [MPa]
60
50
40
30
Misure sperimentali
Lenzi-Versari-Zambrini
RILEM
20
Di Leo e Pascale
Masi
Tanigawa-Buba-Mori
10
Gasparik
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Campione [nr]
Fig. 6 – Confronto tra correlazioni di letteratura e valori sperimentali
Tab. IV – Correlazioni Metodo SonReb (Resistenze in MPa − Velocità in m/sec).
Correlazione
Autore
Lenzi, Versari, Zambrini (2010)
R = 7.876 ⋅ 10 −19 V 4.636 I 1.747
R = 7.695 ⋅ 10 −11V 2.60 I 1.40
R = 1.2 ⋅10−9V 2.446 I 1.058
7
R = 1.51 ⋅10− V 0.8084 I 1.8815
R = 8.06 ⋅10 −8V 1.85 I 1.246
R = 0.9 ⋅ I + 0.022 ⋅ V − 94
RILEM – NDT4 (1993)
Di Leo e Pascale (1994)
Masi (2005)
Gasparik (1992)
Tanigawa, Baba , Mori
Considerazioni Conclusive
Nella nota tecnica è stata presentata un indagine sperimentale volta a determinare i parametri di
correlazione del metodo SonReb per il controllo in opera di calcestruzzi di caratteristiche ricorrenti
confezionati con cemento CEM II-A/LL 42.5 R ed inerti calcarei a granulometria assortita e
diametro massimo nominale di 15 mm. Il campo di resistenze indagato, ottenuto variando il
rapporto acqua/cemento tra 0.7 e 0.4, spazia tra valori minimi normalmente riscontrabili per
strutture gettate in opera (25 MPa) sino a valori massimi usuali per strutture prefabbricate (55 MPa).
Il risultato saliente ottenuto con l’indagine sperimentale consiste nella deduzione di una curva di
correlazione che conferma con il confronto con le resistenze effettive la buona affidabilità del
metodo combinato. Lo studio illustrato trova poi una sua effettiva validazione anche con il
confronto della previsione dei risultati campionari effettuata utilizzando altre correlazioni reperibili
in letteratura.
Ravenna, 11/01/2010
10
Riferimenti Bibliografici
Metodo Sonreb
[01] Bocca, P., Cianfrone, F., Le prove non distruttive nelle costruzioni: una metodologia
combinata, L’Industria Italiana del Cemento, nr 6/83, pp. 429-436, Roma, 1983.
[02] Gasparik, J., Prove non distruttive in edilizia, Quaderno didattico, AIPND, Brescia, 1992.
[03] RILEM NDT 4 Recommendation for in situ concrete strength determination by non
destructive combined methods, Compendium of RILEM Technical Recommendations,
E&FN Spon, London, 1993.
[04] Di Leo, A., Pascale, G., Prove non distruttive nelle costruzioni in c.a., Il giornale delle
prove non distruttive, nr. 4., 1994.
[05] Caiaro, R., De Paola S., Poco. G., Indagini non distruttive per il controllo dei calcestruzzi di
media ed alta resistenza, Atti del 10° Con. AIPND, pp.360-371, Ravenna, 2003.
[06] Beconcini, M.L., Formichi, P., Resistenza del calcestruzzo, misure sclerometriche e di velocità
di propagazione: risultati di una campagna di indagini, Atti del 10° Con. AIPND, pp.372-80,
Ravenna, 2003.
[07] Masi, A., La stima della resistenza in situ mediante prove distruttive e non distruttive.
Il Giornale delle Prove non Distruttive, Monitoraggio e Diagnostica, nr. 1, pp.23-32, 2005.
[08] Giacchetti, R., Bufarini, S., D’Aria, V., Il controllo strutturale degli edifici in cemento armato
e muratura, Cap. 3, pp. 158-211, Ed. EPC Libri, Roma, 2005.
[09] Menditto, G., Indagini semidistruttive e non distruttive nell’ingegneria civile: disciplina
tecnica, applicativa e normativa, Cap. 12, pp. 375-385, Ed. Pitagora, Bologna, 2008.
[10] UNI EN 12504-2:2004, Prove sul calcestruzzo delle strutture – Prove non distruttive:
Determinazione dell’indice sclerometrico, UNI - Ente Italiano di Unificazione, Milano.
[11] UNI EN 12504-4:2005, Prove sul calcestruzzo delle strutture – Parte 4: Determinazione
della velocità di propagazione degli impulsi ultrasonici, UNI - Ente Italiano di Unificazione,
Milano.
Statistica
[01] Taylor, J. R., Introduzione all’analisi degli errori, Cap. 7-8, pp. 120-140, Ed. Zanichelli,
Bologna, 1986
[02] Frosini, B., Metodi Statistici, Cap. 10, pp. 265-310, Ed. Carrocci, Roma, 2001.
[03] Cicchitelli, G., Probabilità e Statistica, Cap. 10, pp. 409-448, Ed. Maggioli, 2001.
[04] Ross, M. Sheldon, Probabilità e Statistica, Cap. 9, pp. 349-406, Ed. Apogeo, Milano, 2008.
[05] Borra, S., Di Ciaccio, A., Statistica, Cap. 16-17, pp. 413-467, Ed. McGraw-Hill, Milano, 2008.
11
Appendice A: Risultati Sperimentali - Serie 2
(Campionamento a 28 gg di maturazione)
Campionamento A
Sigla
Provino
A1
A2
A3
A4
A5
A6
Rapporto
A/C
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
0.7
Valori medi
V
(m/sec)
4138
4322
3983
4117
4214
4055
4138
I
(-)
39.8
39.4
40.2
39.9
40.0
40.8
40.0
R
(MPa)
26.6
28.7
27.8
29.3
27.7
28.8
28.2
I
(-)
41.7
40.9
40.8
41.6
41.7
42.2
41.5
R
(MPa)
39.3
39.1
39.5
37.8
36.5
39.3
38.4
V
(m/sec)
4487
4484
4377
4343
4297
4314
I
(-)
42.3
46.9
46.7
44.1
46.3
47.2
R
(MPa)
49.5
48.3
47.5
47
49.5
48.8
4384
45.6
48.4
I
(-.)
46.7
47.4
47.7
49.0
45.7
48.0
47.4
R
(MPa)
59.9
59.7
61.3
56.4
58.5
56.3
58.7
Campionamento B
Sigla
Provino
B1
B2
B3
B4
B5
B6
Rapporto
A/C
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
0.6
Valori medi
V
(m/sec)
4314
4314
4308
4343
4361
4306
4324
Campionamento C
Sigla
Provino
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Rapporto
A/C
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Valori medi
Campionamento D
Sigla
Provino
D1
D2
D3
D4
D5
D6
Rapporto
A/C
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
Valori medi
V
(m/sec)
4527
4452
4486
4588
4559
4559
4529
12
13
Appendice B - Inferenza statistica sulla risposta media della regressione
Tra i parametri statistici di maggiore interesse che è possibile ricavare utilizzando i dati campionari
vi é l’intervallo fiduciario della resistenza, ossia l’intervallo che contiene al suo interno con una
assegnata probabilità (1-α) la resistenza fornita dalla regressione lineare in funzione della variabile:
Z = w ⋅ [a + b ⋅ Ln(V ) + c ⋅ Ln( I )]
Assunto, per le proprietà indicate nel testo, come stimatore della varianza della v.a. Z il valore
2
2
campionario sR , la varianza s z ,i della risposta media della regressione per la i-esima misura (Vi, Ii)
si deduce utilizzando la relazione:
s z2,i = c z2,i s R2
In essa
cz2,i rappresenta il coefficiente di varianza della risposta media avente l’espressione
seguente:
cz2,i = xi' [ X ' X ]−1 xi
⎡
nella quale xi = ⎣⎢ wi ,
wi ⋅ Ln (Vi ),
w i ⋅ Ln ( I i ) ⎤ è il vettore che raccoglie la misura i-esima
⎥⎦
'
'
ponderata, X è la matrice di dimensioni nx3 che raccoglie gli n vettori xi mentre X e xi indicano
le omologhe grandezze trasposte. Individuati in tal modo sia il valore atteso Z i = Z (Vi , I i ) sia la
2
varianza s z ,i della risposta media, la distribuzione della v.a. t-Student con g = n-k gradi di libertà:
tα , g =
Zi − Zi
s z ,i
fornisce l’intervallo fiduciario della resistenza, che assume la forma seguente:
ΔZ i = Z i − Z i = tα , g ⋅ cz ,i ⋅ sR
L’intervallo fiduciario ΔRi in scala naturale si ricava a sua volta tenendo presente la relazione duale
e considerando come peso medio dell’intervallo il valore w = Rs ,i dedotto utilizzando
per la resistenza a compressione il valore fornito dalla regressione lineare. Si ottiene in tal modo:
R = eZ /
2
w
ΔRi = Ri − Rsi = Rsi ⋅ (e ΔZ i / Rsi − 1)
L’espressione precedente si semplifica poi nei casi usuali in cui la variazione percentuale della
risposta media è in genere modesta (ΔZi/Rsi →0). In questo caso ricorrente l’intervallo fiduciario
delle resistenze in scala naturale si può assumere pari a:
ΔRi ≅ ΔZ i
14
