Scomposizione dei polinomi
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1 SCOMPOSIZIONE DEI POLIMONI La scomposizione dei polinomi in fattori, o fattorizzazione dei polinomi, significa esprimere un polinomio come prodotto di due o più fattori di grado inferiore. Questi fattori possono essere monomi o polinomi. Un polinomio che non si scompone si dice irriducibile. I metodi di scomposizione sono i seguenti: 1. Raccoglimento a fattore comune o raccoglimento totale Si calcola il MCD fra i monomi presenti nel polinomio e lo si mette in evidenza davanti ad una parentesi. Nella parentesi si inserisce il risultato della divisione di ciascun termine del polinomio per il MCD. Il polinomio può essere costituito da un numero qualsiasi di addendi. Es: 25x 4 5x 3 15x 2 75x 5x(5x 3 x 2 3x 15) Es: 12x 3 4x 2 16x 4x(3x 2 x 4) 2. Raccoglimento a fattore parziale o raccoglimento parziale Si mettono in evidenza numeri o lettere o entrambi che sono comuni ad alcuni degli addendi del polinomio. In questo primo passaggio si devono ottenere stesse parentesi, che andranno a loro volta messe in evidenza. Perché un polinomio possa essere scomposto con questo metodo bisogna che: - I segni siano compatibili, cioè tali da formare nelle parentesi stessi polinomi; - I suoi addendi siano 4 (si prendono a due a due), oppure 6 (si prendono a due a due oppure a tre a tre), oppure 9 (si prendono a tre a tre) ecc. Sono esclusi i numeri primi. Es: 2x 2 y x 2 xy 2( x y) x( x y) ( x y)(2 x) Es: x 3 5 x 2 2 x 8 Non può essere raccoglimento parziale perché con i coefficienti 1, 5,2,8 non si potranno ottenere stesse parentesi. Es: 5 x 5 y bx by Non può essere raccoglimento parziale perché con tre segni positivi e uno negativo non si potranno ottenere stesse parentesi. Es: 2x 2 bx b x2 b 2 b 2 bx 1 Es: 2 x 2 y 2 x 2 xy Non può essere raccoglimento parziale perché con cinque addendi non si potranno ottenere stesse parentesi. Prof. Rosa Anna Bruzzese La scomposizione dei polinomi 2 3. Differenza di quadrati I termini devono essere due quadrati, uno positivo e uno negativo. Es: 16 x 2 9 y 2 (4 x 3 y)(4 x 3 y) Es. 16 x 4 81y 4 (4 x 2 9 y 2 )(4 x 2 9 y 2 ) 2 x 3 y 2 x 3 y 4 x 2 9 y 2 4. Quadrato di binomio I termini devono essere tre, fra cui due quadrati positivi. Bisogna controllare il doppio prodotto. Es: x 2 y 2 a 2 2axy xy a perché 2axy è il doppio prodotto fra xy e a 2 Es: x 2 11x 28 Non è quadrato di binomio perché non corrisponde il doppio prodotto. Es: x 2 4 x 4 Non è quadrato di binomio perché un quadrato è negativo . 5. Quadrato di trinomio I termini devono essere sei, fra cui tre quadrati positivi. Bisogna controllare i doppi prodotti. Es: 25x 2 36 y 2 9 z 2 60 xy 30 xz 36 yz (5x 6 y 3z ) 2 Es: x 2 4 y 2 49 z 2 4 xy 14 xz 28 yz ( x 2 y 7 z ) 2 Nel polinomio il segno – compare solo in corrispondenza della y. 6. Cubo di binomio I termini devono essere quattro, fra cui due cubi. Bisogna controllare i tripli prodotti. Es: 27 x 3 1 27 x 2 9 x 3x 1 Notiamo infatti che 27 x 3 è il cubo 3x , 1 è il cubo di 1, 27x 2 è il triplo di 9 x 2 1 , 9x è il triplo di 3 x 12 . Es: 27 x 3 1 27 x 2 9 x Per essere cubo di binomio il termine 27x2dovrebbe essere negativo. 3 7. Somma o differenza di cubi I termini devono essere due. Si applicano le formule: (a3+b3)= (a+b)(a2-ab+b2) (a3-b3)= (a-b)(a2+ab+b2) In pratica la somma o differenza di cubi si scrive come prodotto fra un binomio e un trinomio. Il binomio è facile da individuare. Il trinomio si ricava dal binomio facendo quadrato, prodotto cambiato di segno, quadrato. Es: x 3 125 ( x 5)( x 2 5x 25) Es: x 3 1 ( x 1)( x 2 x 1) Es: 3 x 3 1 Non è differenza di cubi perché 3x3 non è un cubo. Prof. Rosa Anna Bruzzese La scomposizione dei polinomi 3 8. Trinomio notevole (di secondo grado) Primo tipo Il primo coefficiente è uguale ad 1, cioè il trinomio è del tipo x2+bx+c Si devono trovare due numeri la cui somma sia b e il cui prodotto sia c. Se i numeri trovati sono n1 ed n2 il polinomio si scompone come segue: x2+bx+c= (x+ n1)(x+ n2) Attenzione ai segni, che sono molto importanti per individuare la coppia richiesta (se esiste). Secondo tipo Il primo coefficiente è diverso da 1, cioè il trinomio è del tipo ax2+bx+c Si devono trovare due numeri la cui somma sia b e il cui prodotto sia ac. Se i numeri trovati sono n1 ed n2 il polinomio si scrive come segue: ax2+ n1x+ n2x+c , dopo di che si fa un raccoglimento parziale. Attenzione ai segni, che sono molto importanti per individuare la coppia richiesta (se esiste). Es: x 2 7 x 12 Il polinomio è del primo tipo. Se p=+12 e s= -7, vuol dire che i due numeri richiesti devono essere negativi. Le uniche coppie che danno come prodotto +12 sono: -1,-12; -2, -6; -3, -4. La coppia richiesta è -3, -4 perché la somma di questi numeri è -7.Si avrà: x 2 7 x 12 ( x 3)( x 4) Es: 2 x 2 5 x 3 Il polinomio è del secondo tipo. Se p=-6 e s=-5 vuol dire che i due numeri richiesti devono essere uno positivo e uno negativo. Dal momento che la somma è negativa, si deduce che sarà negativo il numero più grande. Le uniche coppie che danno come prodotto -6 sono: +1,-6; +2,-3. La coppia richiesta è +1, -6 perché la somma di questi numeri è -5. Si avrà: 2 x 2 5x 3 2 x 2 x 6 x 3 x2 x 1 22 x 1 2 x 1x 2 2 x 2 5x 4 Es: Dovremo cercare due numeri che soddisfano le condizioni s=-5 e p=+8. I numeri, entrambi negativi, possono essere tra le coppie: +1,+8; +2,+4. Nessuna di queste coppie dà come somma -5, per cui il polinomio non è scomponibile. Un trinomio notevole può anche essere di 4° grado, o di 6° grado ecc., ma tramite sostituzione deve essere sempre riconducibile ad uno di secondo grado. Es: 2 x 4 5 x 2 3 Ponendo x2=t otteniamo 2t 2 5t 3 = (2t+1)(t-2) Per cui 2 x 4 5 x 2 3 = (2x2+1)(x2-2) Prof. Rosa Anna Bruzzese La scomposizione dei polinomi 4 9. Regola di Ruffini Dato un polinomio P(x), se si riesce a trovare un numero n tale che P(n)=0 (teorema del resto), vuol dire che il polinomio P(x) è divisibile per il binomio x-n. Se il quoziente della divisione è Q(x), il polinomio si potrà scrivere: P(x)= (x-n)∙Q(x) Il numero n va ricercato tra i rapporti fra i divisori del termine noto e i divisori del coefficiente del primo termine. Es: 3x 3 2 x 2 3x 2 I divisori del termine noto sono ±1, ±2. I divisori del primo coefficiente sono ±1, ±3. Il numero n 1 2 va ricercato fra i seguenti: ±1, ± , ±2; ± . 3 3 Applicando il teorema del resto si troverà P(1)=0, e quindi il polinomio sarà divisibile per il binomio x-1. Facendo la divisione risulterà Q(x)= 3 x 2 5 x 2 , per cui potremo scrivere 3x 3 2 x 2 3x 2 = x 1 3x 2 5x 2 Ma il trinomio 3 x 2 5 x 2 è ancora scomponibile (con Ruffini oppure come trinomio notevole del secondo tipo). Scomponendo otteniamo: 3x 3 2 x 2 3x 2 = x 1 3x 2 5x 2 = x 1x 13x 2 Prof. Rosa Anna Bruzzese La scomposizione dei polinomi 5 RIEPILOGANDO I metodi visti sono: 1) Raccoglimento totale 2) Raccoglimento parziale 3) Differenza di quadrati 4) Quadrato di binomio 5) Quadrato di trinomio 6) Cubo di binomio 7) Somma o differenza di cubi 8) Trinomio notevole 9) Regola di Ruffini GUIDA PRATICA PER LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Quando si deve scomporre un polinomio in fattori, conviene successivamente: a) cercare se tutti i termini contengono uno stesso fattore da poter raccogliere; b) cercare se sia possibile un raccoglimento parziale; c) cercare di riconoscere dei prodotti notevoli; d) cercare di riconoscere il trinomio notevole; e) tentare una scomposizione mediante l’applicazione della regola di RUFFINI. Schema riassuntivo dei metodi di scomposizione secondo il numero n dei termini del polinomio. n 2 METODI POSSIBILI RACCOGLIMENTO TOTALE DIFFERENZA DI QUADRATI SOMMA O DIFFERENZA DI CUBI 3 RACCOGLIMENTO TOTALE QUADRATO DI BINOMIO TRINOMIO NITEVOLE 4 RACCOGLIMENTO TOTALE RACCOGLIMENTO PARZIALE CUBO DI BINOMIO 6 RACCOGLIMENTO TOTALE RACCOGLIMENTO PARZIALE QUADRATO DI TRINOMIO n 1 Prof. Rosa Anna Bruzzese REGOLA DI RUFFINI La scomposizione dei polinomi
