geometria euclidea

GEOMETRIA EUCLIDEA
PROF. VINCENZO LO PRESTI
CONCETTI GEOMETRICI
FONDAMENTALI
1
GEOMETRIA
Letteralmente geometria significa misura (metron) della
terra (geo).
Lo scopo principale della geometria è quello di studiare
e descrivere le forme che l’uomo riscontra nella natura.
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Prof. Vincenzo Lo Presti
GEOMETRIA
Nelle civiltà primitive la geometria aveva un carattere
empirico e veniva utilizzata per scopi esclusivamente di
ordine pratico:
•
Ricostruire i confini dei campi cancellati dalle
inondazioni dei fiumi;
•
Conoscere la capacità di un vaso;
•
Misurare il volume delle costruzioni.
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2
STORIA DELLA GEOMETRIA
Presso la civiltà Assiro-Babilonese la geometria cominciò ad
assumere un significato astratto indipendentemente dalla
sua funzione pratica.
Nella cultura della civiltà greca la geometria nel corso dei
secoli venne sottoposta ad un processo di astrazione per
opera di matematici e filosofi greci come Talete, Pitagora,
Eudosso.
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GEOMETRIA EUCLIDEA
Il processo di astrazione della geometria venne
profondamente influenzato da Euclide (III secolo a.c.)
che con la sua opera gli “Elementi”, articolata in ben 13
libri, espose in maniera sistematica e generalizzata tutte
le conoscenze di geometria.
Nasce quindi la geometria euclidea che per diversi secoli è
rimasta il più grande esempio di teoria matematica e di
costruzione strutturata delle mente umana.
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3
STRUTTURA DELLA GEOMETRIA
EUCLIDEA
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito
sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati
costruiti sui cateti
TRIANGOLO: un poligono di tre lati
POLIGONO: figura geometrica formata da una
poligonale e dalla parte finita di piano da essa delimitata
POLIGONALE: spezzata chiusa non intrecciata
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GEOMETRIA EUCLIDEA
SPEZZATA: due o più segmenti consecutivi
SEGMENTO: l’insieme dei punti di una retta compresi
tra due punti qualsiasi della retta stessa
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STRUTTURA DELLA GEOMETRIA
EUCLIDEA
CONCETTI
PRIMITIVI
POSTULATI
(Regole fondamentali)
(elementi di base)
Da cui si deducono
mediante
definizioni
NUOVI ENTI
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mediante
dimostrazioni
NUOVE PROPRIETA’
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ENTI PRIMITIVI DELLA
GEOMETRIA EUCLIDEA
Gli enti primitivi sono quei concetti immediati che si
suppongono accettati da tutti.
Gli enti primitivi della geometria euclidea sono:
PUNTO
RETTA
PIANO
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5
ENTI PRIMITIVI DELLA
GEOMETRIA EUCLIDEA
Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati
utilizzando la seguente simbologia:
PUNTI: con le lettere maiuscole dell’alfabeto
A
B
P
C
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ENTI PRIMITIVI DELLA
GEOMETRIA EUCLIDEA
Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati
utilizzando la seguente simbologia:
RETTE: con le lettere minuscole dell’alfabeto
r
a
s
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ENTI PRIMITIVI DELLA
GEOMETRIA EUCLIDEA
Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati
utilizzando la seguente simbologia:
PIANI: con le lettere minuscole dell’alfabeto greco


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POSTULATI
I postulati sono delle affermazioni che si devono accettare
a priori, cioè proprietà che si suppongono vere e che
pertanto non si dimostrano.
(Regole del gioco)
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POSTULATI DI APPARTENENZA
Primo Postulato – Per due punti distinti passa una sola retta
A
B
Secondo postulato – Su di una retta ci sono almeno due punti
A
B
Terzo postulato – Data una retta e un piano che la contiene
esiste un punto del piano che non appartiene alla retta
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POSTULATI DI APPARTENENZA DEL
PIANO
Postulato – Per tre punti non allineati passa un solo
piano.
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POSTULATI DI APPARTENENZA DEL
PIANO
Postulato – Se due punti di una retta appartengono a un
piano allora la retta giace interamente sul piano
r
B
A

P
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POSTULATI DI ORDINAMENTO
Postulato – La retta gode delle seguenti proprietà:
 la retta è un insieme ordinato di punti (si può fissare
sulla retta un verso di percorrenza tra i due possibili)
 non esiste un primo e un ultimo punto (la retta e
illimitata)
 fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto
(la retta e densa)
Q
A
P
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B
R
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PRIME DEFINIZIONI
FIGURA GEOMETRICA:
Si chiama figura geometrica un qualsiasi insieme di punti.
SPAZIO:
Si chiama spazio l’insieme di tutti i punti.
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DEFINIZIONI
Semiretta
Data una retta orientata su cui viene fissato un punto
P, si chiama semiretta l’insieme formato da P e da
tutti i punti che lo seguono o che lo precedono.
Origine
P
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DEFINIZIONI
Segmento
Data una retta orientata e due suoi punti A e B, si
chiama segmento l’insieme dei punti A e B e di quelli
che sono compresi tra essi.
Estremo
Estremo
B
A
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DEFINIZIONI
Segmenti consecutivi
Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un
estremo in comune.
B
A
C
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DEFINIZIONI
Segmenti adiacenti
Due segmenti si dicono adiacenti se oltre ad essere
consecutivi appartengono alla stessa retta
C
B
A
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DEFINIZIONI
Si chiama poligonale un insieme di segmenti consecutivi
Lati
C
E
B
D
Vertici
A
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POSTULATO DI PARTIZIONE
DEL PIANO
Postulato- Data una retta r su un piano , presi due punti
qualsiasi A e B del piano, se A e B appartengono alla stessa
regione il segmento AB non interseca la retta r, se A e B
appartengono a regioni diverse il segmento AB interseca la
retta r.
A’
B’
B
r
A
(Per passare da una parte all’altra si deve per forza
attraversare la retta che non può essere aggirata)

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DEFINIZIONI
Semipiano
Data una retta r su di un piano , si chiama semipiano
di origine r ciascuna delle due parti in cui il piano
viene diviso dalla retta r.
Origine o
frontiera

r
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13
DEFINIZIONI
Angolo
Date due semirette con l’origine in
comune si chiama angolo ciascuna delle
due parti in cui viene diviso il piano.
Lati
Angolo
Angolo
Vertice
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DEFINIZIONI
Modi per indicare un angolo
b
A
ab
V

AVB
B
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a

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DEFINIZIONI
Angoli consecutivi:
Quando hanno il vertice e un lato in
comune
c
b


V
a
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DEFINIZIONI
Angoli adiacenti
Quando sono consecutivi e i lati non
comuni appartengono alla stessa retta
b

c
V

a
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15
DEFINIZIONI
Angolo piatto
Quando i lati sono semirette opposte.
b

V
a
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DEFINIZIONI
Angolo giro
Quando i lati sono semirette sovrapposte
cioè coincidenti e l’angolo coincide con
l’intero piano.
V

b
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a
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16
DEFINIZIONI
Angolo nullo
Quando i lati sono semirette sovrapposte
cioè coincidenti e l’angolo comprende
soltanto i punti delle semirette.
V
=0
b
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a
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FIGURE GEOMETRICHE CONCAVE E CONVESSE
Una figura geometrica può essere:
• Convessa – quando il segmento che
unisce due punti qualsiasi della
figura appartiene per intero alla
stessa figura
convessa
•
Concava – quando esistono
almeno due punti tali che il
segmento che li unisce non
appartiene per intero alla figura
concava
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando
possono essere sovrapposte mediante un movimento
rigido.
F2
F1
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DEFINIZIONI
Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando
possono essere sovrapposte mediante un movimento
rigido.
F1 F2
V
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POSTULATO SULLA CONGRUENZA
La relazione di congruenza tra figure geometriche è una
relazione di equivalenza perchè gode delle proprietà:
-Riflessiva
– Ogni figura è congruente a se stessa;
-Simmetrica – Se F1F2 risulta anche F2F1
-Transitiva – Se F1F2 e F2F3 risulta anche F1F3
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POSTULATO DEL TRASPORTO DEI
SEGMENTI
Dato un segmento AB e una semiretta di origine O esiste ed
è unico il punto P sulla semiretta in modo che OPAB
B
A
O
P
OPAB
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POSTULATO DEL TRASPORTO DEGLI
ANGOLI
Dato un angolo ab e un fascio orientato di semirette con
origine nella semiretta c, esiste ed è unica la semiretta d tale
che cdab
b
d
c
a
cdab
O
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DEFINIZIONI
Lunghezza di un segmento
Si chiama lunghezza di un segmento la caratteristica
comune che hanno un insieme di segmenti congruenti
fra loro
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20
DEFINIZIONI
Ampiezza di un angolo
Si chiama ampiezza di un angolo la caratteristica comune
che hanno un insieme di angoli congruenti fra loro
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CONFRONTO TRA SEGMENTI
Il confronto tra due segmenti viene eseguito
sovrapponendoli l’uno sull’altro in modo da far
coincidere un estremo.
A
C
A
B
D
AB<CD
A
B
C
D
AB>CD
B
C
D
AB  CD
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SOMMA DI SEGMENTI
Dati due segmenti la loro somma è il segmento
che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro
A
D
C
B
BC
A
D
AB+CD=AD
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DIFFERENZA DI SEGMENTI
Dati due segmenti AB e CD con AB>CD la
differenza AB-CD è il segmento DB che si ottiene
sovrapponendo i due segmenti facendo coincidere
gli estremi A e C.
B
AC
D
B
A
C
AB-CD=DB
D
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22
MULTIPLO DI UN SEGMENTO
Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 si chiama
multiplo di AB secondo il numero n la somma di n
segmenti congruenti con AB.
A
B
A
BC
n=3
DE
F
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n.AB = AF
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SOTTOMULTIPLO DI UN SEGMENTO
Il seguente postulato (Eudosso-Archimede) ci assicura la
divisibilità di un segmento in un numero qualsiasi di
segmenti congruenti.
Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 esiste ed è
unico il sottomultiplo di AB rispetto al numero n
n=3
A
D
C
B
AC = AB/3
n=5
A
C
D
E
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F
B
AC = AB/5
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PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
Dato un segmento AB esiste ed è unico il punto che divide il
segmento in due parti congruenti. Questo punto prende il
nome di punto medio.
AMMB
Punto medio del segmento AB
M
A
B
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CONFRONTO TRA ANGOLI
f
d
b
h
e
g
a
c
Q
P
S
R
d
bh
b
b
b
f
a ac
O
O
ab<cd
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a ae
ab>ef
a ag
O
ab=gh
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SOMMA TRA ANGOLI
b
a
d
b
bc
P
d
a
O
c
Q
ad= ab+cd
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DIFFERENZA TRA ANGOLI
b
b
a
d
P
d
aac
O
c
Q
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db= ab-cd
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25
MULTIPLO DI UN ANGOLO
Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 si chiama
multiplo di ab secondo il numero n la somma di n angoli
congruenti con ab.
n=3
ad= 3 ab
b
c
d
b
a
P
a
O
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SOTTOMULTIPLO DI UN ANGOLO
Il seguente postulato (Eudosso-Archiemde) ci assicura la
divisibilità di un angolo in un numero qualsiasi di angoli
congruenti.
Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 esiste ed è
unico il sottomultiplo dell’angolo ab rispetto al numero n
b
n=3
n=5
b
c
P
ac= ab/3
c
P
a
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ac= ab/5
a
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BISETTRICE DI UN ANGOLO
Dato un angolo ab esiste ed è unica la semiretta che divide
l’angolo in due parti congruenti. Questa semiretta prende il
nome di bisettrice.
accb
b
c
O
Bisettrice dell’angolo ab
a
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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Si chiama angolo retto ciascuno dei due angoli in cui la
bisettrice divide l’angolo piatto.
c → bisettrice
b
O
Angolo retto
a
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27
DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Due angoli si dicono supplementari quando la loro
somma è un angolo piatto
d
d
b
bc
c
P
b
a
O
Se ab+cd = π gli angoli ab e cd si
dicono supplementari
a
Q
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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Due angoli si dicono complementari quando la loro
somma è un angolo retto
d
d
b
bc
c
P
b
O
Q
a
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a
Se ab+cd = π/2 gli angoli ab e cd si
dicono complementari
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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma
è un angolo giro
bc
Se ab+cd = 2π gli angoli
ab e cd si dicono
esplementari
ad
O
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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Un angolo si dice acuto se
è minore dell’angolo retto
Un angolo convesso si dice
ottuso se è maggiore
dell’angolo retto
b
π/2
Q
π/2
b
a
a
Se ab< π/2 ab è acuto
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Q
Se ab>π/2 ab è ottuso
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29