Introduzione alla cosmologia moderna e accelerazione dell`Universo

Liceo cantonale di Locarno
Introduzione alla cosmologia moderna
e
accelerazione dell’Universo
Lavoro di maturità −
Emile Garbani Nerini
Professore responsabile: Christian Ferrari
«Equipped with his five senses, man explores the universe around him and calls the adventure
Science.»
-Edwin Powell Hubble, May 1929-
Ringraziamenti
In particolare tengo a ringraziare il professor Christian Ferrari, il quale, nonostante l’impegnativo numero di allievi da seguire, è riuscito sempre a darmi i giusti spunti affinché io potessi far
evolvere il mio lavoro di maturità, cosa che mi ha permesso di cresce e migliorare soprattutto
nell’ambito del formalismo scientifico.
Ringrazio inoltre il mio compagno Alberto Pedrazzini che, grazie alla complementarietà dei temi
da noi due scelti, mi ha fornito importanti chiarimenti, soprattutto nelle parti dedicate allo studio
della radiazione.
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Abstract
In questo lavoro di maturità andrò inizialmente ad introdurre le scoperte essenziali che stanno
alla base di quella che oggi conosciamo come cosmologia moderna. I primi due capitoli saranno
strettamente introduttivi e prediligeranno infatti una descrizione principalmente qualitativa delle
scoperte fondamentali che hanno fatto evolvere le teorie cosmologiche. Sarà messo l’accento piuttosto sulle grandi persone, come Hubble e Leavitt, che con i loro metodi particolarmente empirici
sono riusciti a rivoluzionare completamente quella che era la visione dell’Universo fino ai primi
anni venti del secolo scorso; in pratica arriverò a mostrare come il Cosmo si stia espandendo,
non utilizzando più di quel tanto la matematica (che risulterà fondamentale come strumento di
lavoro nei capitoli successivi) ma “giocando” su un dualismo che vede confrontati la mente geniale
di Edwin Hubble e quelle vecchie teorie che ormai oggi risultano totalmente desuete. Si vedrà
come la prima andrà brillantemente ad estinguere le seconde. Inoltre nel primo capitolo verranno
presentati i fondamentali parametri di densità Ω, i quali risulteranno essenziali per risolvere e
concludere il problema sul tipo di evoluzione assunta dall’Universo.
Dal capitolo 3 in poi la descrizione qualitativa dei fenomeni verrà abbandonata pressoché totalmente. Andrò, come già accennato, a prediligere una rigorosa descrizione matematica, così da
poter ricavare, anche se in maniera non relativistica, le due fondamentali equazioni di Friedmann
che, assieme all’equazione che descrive l’evoluzione della densità (fluida) nell’Universo, saranno
impiegate per rispondere, nei casi particolari di radiation dominated e matter dominated Universe, all’interrogativo di base del lavoro, ossia, come è intuibile sia dal titolo che dalla considerazioni
fatte sinora,
«Qual’è l’evoluzione del nostro Cosmo?»
Faccio presente che la prima equazione di Friedmann è quell’equazione che si occupa di gestire la
funzione fattore di scala a(t), ossia quella funzione che si occupa di descrivere l’evoluzione delle
distanze tra i corpi nello spazio cosmico.
Tuttavia, per determinare le distanze poi gestite da a(t), in cosmologia è fondamentale conoscere
degli oggetti che possiedano una magnitudine assoluta M descrivibile da una precisa legge matematica: questi corpi celesti ben riconoscibili vengono chiamati candele standard. Ecco perché il
capitolo 4 sarà piuttosto un capitolo di astrofisica che di cosmologia, infatti andrò ad occuparmi
della precisa descrizione di sistemi binari di stelle, i quali stanno alla base di uno dei fenomeni
più potenti ed eclatanti mai misurati dall’uomo: le Supernove Ia.
Le conclusioni del quarto capitolo saranno poi fondamentali alle conclusioni del lavoro, infatti nel
capitolo 5, dopo vari passaggi matematici non scontati, andrò a dimostrare graficamente come le
Supernove Ia sono degli oggetti celesti essenziali al fine di rispondere alla domanda posta sopra in
corsivo. Si vedrà che queste stelle ormai defunte vanno a posizionarsi su un determinato grafico
(che ha una costruzione matematica piuttosto ingarbugliata) proprio lì dove c’è un’unica risposta possibile per spiegare un tale comportamento: il Cosmo si sta espandendo e lo fa sempre più
velocemente, si osserva una vera e propria accelerazione dell’Universo, ossia la funzione fattore
di scala a(t) all’aumentare di t non aumenta in maniera lineare ma bensì quadratica.
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Indice
Ringraziamenti
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Abstract
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1 Elementi e teorie di cosmologia moderna
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Costituenti dell’Universo . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 La materia barionica . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 La radiazione . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Un Universo omogeneo ed isotropo . . . . . . . . .
1.4 Geometrie dell’Universo . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Geometria piana . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Geometria sferica . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Geometria iperbolica . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Geometrie dell’Universo basate sulla densità
1.5 Evoluzioni dell’Universo . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Hubble e le osservazioni che cambiarono
2.1 La galassia e l’universo di Shapley . . .
2.2 Cosa è realmente una Cefeide? . . . . .
2.3 Hubble e la Cefeide in M31 Andromeda
2.4 Vesto Slipher ed il redshift . . . . . . . .
2.5 La legge di Hubble . . . . . . . . . . . .
2.6 Una prima importante conclusione . . .
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il modo di vedere
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3 Ricavare i parametri osservativi
3.1 Introduzione al capitolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 L’equazione di Friedmann: una legge per il fattore di scala
3.3 Come ricavare H0 ?[7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Il parametro Ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Due ulteriori equazioni fondamentali . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Equazione di un fluido . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Equazione di accelerazione . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Tre soluzioni possibili grazie alle equazioni ottenute . . . .
3.6.1 Un Universo dominato dalla materia . . . . . . . .
3.6.2 Un Universo dominato dalla radiazione . . . . . .
3.6.3 Cosmic mixture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Sul parametro q0 di decelerazione . . . . . . . . . . . . . .
3.8 La necessità di trovare nuove candele standard . . . . . .
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il cielo
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4 Studio di sistemi binari di stelle
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Energia potenziale in un sistema binario ristretto . .
4.3 Punti di Lagrange e lobi di Roche . . . . . . . . . . .
4.4 Flussi e dischi di accrescimento . . . . . . . . . . . .
4.5 Le Supernove Ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Generazione e funzionamento . . . . . . . . .
4.5.2 Curve di luce e SN Ia impiegate come candele
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standard
5 Deviazioni dalla legge di Hubble: la risposta odierna
5.1 Alcuni presupposti fondamentali . . . . . . . . . . . . .
5.2 La trascurabilità della radiazione . . . . . . . . . . . . .
5.3 Nucleosintesi, abbondanze e Ωm . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Elio-4, un elemento abbondante fin dal principio
5.3.2 La materia oscura . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 La costante cosmologica Λ . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Introdurre Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Modelli cosmologici con Λ . . . . . . . . . . . . .
5.5 Propagazione della luce e redshift . . . . . . . . . . . .
5.6 Un nuovo diagramma di Hubble . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Che cos’è l’energia oscura? . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Elenco delle figure
61
Bibliografia
63
Indice analitico
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viii
Capitolo 1
Elementi e teorie di cosmologia
moderna
1.1
Introduzione
Quando la scienza riuscì finalmente a liberarsi dalla stretta morsa della religione, che aveva
attanagliato l’Europa durante tutto il Medioevo, e perciò la teoria geocentrica era stata completamente confutata e rimossa dalle possibili spiegazioni a proposito della natura de nostro
Universo, si posero nuovi ed importanti interrogativi.
A partire da Newton numerosi scienziati sostenevano che l’Universo fosse eterno ed immutabile,
ossia senza fine ma nemmeno senza inizio. Questa considerazione era decisamente una spiegazione
sbrigativa di ciò che realmente potesse essere l’Universo e ovviamente non evitava che sorgessero
delle polemiche.
In seguito a delle incredibili osservazioni, Frederich Wihelm Herschel arrivò a dedurre che il nostro
Sole facesse parte di un agglomerato di stelle più o meno denso, che egli comunemente chiamò
galassia; essa assunse il nome proprio di Via Lattea, nome che per altro veniva già utilizzato
dagli antichi per definire la fascia più densa di stelle osservabile nel cielo.
Herschel, però, scoprì qualcosa che più avanti avrebbe radicalmente cambiato il punto di vista del
uomo sull’Universo. L’astronomo tedesco osservò in cielo numerose “nuvolette” che sembravano a
loro volta degli ulteriori agglomerati densi di stelle, che vennero genericamente chiamati nebulose
(da nebula, che in latino significa nuvola) e che vennero considerati (non da tutti fortunatamente)
come nubi di materia sospese aleatoriamente nello spazio.
Le osservazioni di Herschel crearono una spaccatura netta tra gli astronomi. Infatti una buona
parte di essi considerava quelle nebule sicuramente interne alla galassia (che per alcune di esse
era, ed è tutt’ora vero) e riteneva che il Cosmo si limitasse alla Via Lattea. Un’altra parte, quella
avversa, invece considerava che parte delle nebulose osservate da Herschel fossero galassie esterne
alla nostra; teoria che amplificava notevolmente la grandezza del Cosmo.
Come vedremo, nel corso del XX secolo, a partire dai lavori di Hubble nasce la cosmologia moderna; grazie alla quale si concepiscono numerose teorie che descrivono sempre in maniera più
accurata i fenomeni presenti nel Cosmo. In questo capitolo, strettamente introduttivo, si porrà
particolarmente attenzione su quello che concerne la struttura, la composizione e l’evoluzione su
ampia scala dell’Universo, mentre più avanti si entrerà nel dettaglio a partire dalle osservazioni
e conclusioni di Hubble, che risultano fondamentali per la maggior parte delle teorie che oggi si
ritengono valide.
1
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Capitolo 1. Elementi e teorie di cosmologia moderna
1.2
Costituenti dell’Universo
Una domanda che risulta ovvia e che chiunque potrebbe porre è certamente
«Di cosa è fatto l’Universo?»
Oggigiorno si è riusciti a formulare un’ipotesi abbastanza valida a proposito delle costituenti del
Cosmo; però risulta comunque difficile rispondere alla domanda posta, visto che al 95% della
costituzione conosciuta dell’Universo è stato affibbiato l’aggettivo oscura a causa della difficile
comprensione che abbiamo di questa “materia”. Infatti osservando la Figura 1.1 si può notare
come l’Energia e la Materia oscura siano preponderanti nell’Universo visto su ampia scala, mentre
la Materia barionica1 e la radiazione (che non compare in quanto priva di massa) costituiscano
una parte assai più infima.
Figura 1.1: Grafico a torta che rappresenta in percentuale le costituenti dell’universo [15].
1.2.1
La materia barionica
Circa 1µs dopo il Big Bang e ad una temperatura di 1013 K si parla di Era degli Adroni , ossia
quando quark ed antiquark cominciarono ad unirsi e formare appunto degli adroni: particelle
massicce che annoverano tra loro i mesoni e i barioni con le rispettive antiparticelle.
Ora la nostra attenzione deve porsi particolarmente sui barioni, perché protoni e neutroni (particelle subatomiche che costituiscono il nucleo degli atomi) appartengono a questa particolare
famiglia.
Un protone è un barione costituito da due quark up, un quark down e dei gluoni (vedi Figura
1.2), i quali sono definiti come quanti dell’interazione forte e si occupano di “legare” tra loro i tre
quark considerati. Un protone è caratterizzato di una carica elettrica +1.
Un neutrone (vedi sempre Figura 1.2), invece, è un barione costituito da un quark up e due quark
down e sempre da un certo numero di gluoni che si occupano dell’interazione forte. La carica
elettrica di questo barione è apparentemente 0.
Va posta l’attenzione anche su un particolare mesone: il pione (π), formato da un quark ed un
antiquark. Infatti esso è il mediatore dell’interazione nucleare forte, ossia è responsabile del legame che può generarsi tra protoni e neutroni affinché essi costituiscano il nucleo (la parte più
massiccia) di un atomo.
100 s dopo il Big Bang, un intervallo di tempo considerevole rapportato a 1µs, si entra nell’Era
1
Ossia quella materia generatasi durante l’Era degli Adroni, vedi 1.2.1.
EmileGN
1.3. Un Universo omogeneo ed isotropo
3
della Nucleosintesi. Le continue collisioni tra protoni e neutroni si resero responsabili della produzione dei primi nuclei di elio e di deuterio (idrogeno pesante), e in circa 2-3 minuti si produssero
circa il 98% dei nuclei di elio ancora oggi esistenti.
Per vedere i primi veri e propri atomi bisognerà però attendere 300 000 anni, quando la temperatura dell’Universo si aggirava attorno ai 3000 K. Protoni e nuclei atomici incominciarono ad
attirare e a trattenere elettroni formando così, appunto, i primi atomi, che erano di idrogeno,
elio e litio. Questa formazione atomica è stata fondamentale affinché la radiazione (vedi 1.2.2)
si liberasse nello Spazio. Infatti gli elettroni legati agli atomi smisero di interferire con i fotoni
e questo distacco permise agli ultimi di propagarsi liberamente nell’Universo sotto forma di radiazione rendendo il Cosmo trasparente e non più opaco. Questi primi fotoni liberi sono tutt’ora
rilevabili come radiazione cosmica di fondo a microonde.
Figura 1.2: Struttura interna di un protone (a destra) ed un neutrone (a sinistra). Le piccole “molle”
rappresentano le particelle quantistiche dette gluoni [16].
1.2.2
La radiazione
Noi come essere umani siamo in grado di percepire l’Universo a livello visivo grazie alla radiazione
elettromagnetica, che tra le sue infinite lunghezze d’onda comprende lo spettro del visibile.
La radiazione, da un punto di vista quantistico può essere descritta come un sistema fisico vero e
proprio costituito da singole particelle, dei quanti, conosciuti come fotoni ed indicati dal simbolo
γ.
Normalmente i fotoni si propagano nello spazio alla velocità della luce e poiché privi di massa la
loro energia totale deriva esclusivamente dalla loro energia cinetica in relazione alla loro frequenza
ν, come si può vedere dalla seguente relazione
E = hν,
(1.1)
dove h è la costante di Planck.
Come già visto nella sezione 1.2.1 i fotoni posso interagire con barioni ed elettroni; ad esempio
un fotone molto energetico è in grado di spingere via un elettrone dalla sua orbita attorno al
nucleo atomico nel processo che è meglio conosciuto come ionizzazione. È importante notare che
maggiore è l’energia associata ad un fotone maggiori sono gli effetti (a volte devastanti) sulle
altre particelle; basti pensare ai raggi γ che dalla relazione (1.1) risultano essere i più energetici
all’interno della radiazione elettromagnetica e che sono pure i più nocivi e pericolosi per le specie
viventi.
1.3
Un Universo omogeneo ed isotropo
Assumendo che l’Universo su ampia scala sia estremamente uniforme (liscio) risulta quindi indispensabile, affinché le leggi fisiche impiegate valgano sempre ed ovunque, postulare che il Cosmo
sia omogeneo ed isotropo.
EmileGN
4
Capitolo 1. Elementi e teorie di cosmologia moderna
Figura 1.3: La temperatura della CMB (compresa tra 2,725 K e 2,729 K) misurata dal satellite COBE
mostra chiaramente come la radiazione cosmica sia isotropa. Le anisotropie delle ordine del
millikelvin sono date dal movimento locale del Sistema Solare, e se esse vengono sottratte
dall’effetto complessivo si misurano delle anisotropie dell’ordine del microkelvin.[20]
Con omogeneità s’intende il fatto che l’Universo sia identico in qualsiasi punto lo si analizzi (ne
consegue che non si può concepire un Universo limitato), mentre con isotropia s’intende che in
qualsiasi direzione lo si guardi esso sia identico.
La radiazione cosmica di fondo [3] (o Cosmic Microwave Background Radiation, CMB-R),
ossia la radiazione che giunge direttamente dal Big Bang, è una prova fondamentale, assieme
alla distribuzione angolare delle galassie del fatto che l’Universo si isotropo. Infatti, dalla sua
scoperta nel 1965 da parte di Arno Penzias e Robert Wilson, la CMB è subito apparsa isotropa
con localmente delle minime variazioni dell’ordine dei millesimi di Kelvin, vedi Figura 1.3.
L’omogeneità dell’Universo è confermata dai risultati mostrati dall’esperimento 2dF Galaxy Redshift Survey (Two-degree-Field Galaxy Redshift Survey), (vedi Figura 1.4), il quale ci mostra che
la distribuzione delle galassie su ampia scala (distanze nell’ordine delle centinaia di megaparsec
) è del tutto omogenea. Bisogna notare che una condizione non implica forzatamente l’altra (e
Figura 1.4: Ecco mostrata, grazie al 2dF Galaxy Redshift Survey ,, la distribuzione omogenea delle
galassie.[30]
EmileGN
1.4. Geometrie dell’Universo
5
quindi va posta parecchia attenzione se si vogliono postulare nuove teorie), Andrew Liddle [1]
ad esempio pone il problema nel seguente modo: «A Universe with an uniform magnetic field is
homogeneous, as all points are the same, but it fails to be isotropic because directions along the
field lines can be distinguished from those perpendicular to them.» Ossia: un Universo dotato di
un campo magnetico uniforme è omogeneo, visto che tutti i punti del campo sono gli stessi, ma
lo stesso Universo non potrà essere isotropo perché si potranno differenziare le direzioni lungo le
linee del campo con quelle ad esse perpendicolari.
1.4
Geometrie dell’Universo
Le condizioni di isotropia ed omogeneità mostrano come l’Universo possa assumere esclusivamente tre geometrie, che dipendono da alcuni parametri che verranno successivamente approfonditi.
Ora ci si interesseremo in particolare del parametro k di curvatura. Questa costante stabilisce
quale possa essere la geometria (vedi Figura 1.5) su ampia scala dell’Universo e può assumere
esclusivamente tre valori discreti: 1, 0 o −1, da qui le uniche tre possibilità di geometria per il
Cosmo.
Durante questo lavoro si mostrerà quale geometria è prediletta oggigiorno e si combina al meglio
con le teorie proposte e conosciute.
Figura 1.5: Possibili geometrie dell’Universo a dipendenza del valore del parametro di curvatura [17].
1.4.1
Geometria piana
La geometria piana è quella geometria basata sulla geometria Euclidea, costruita sui 5 assiomi
di Euclide. A noi interesserà particolarmente cosa succede al quinto assioma euclideo nelle altre
diverse geometrie possibili. L’assioma in questione è quello che Euclide postula nel seguente
modo:
«Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela alla retta data.»
Come conseguenza si ottiene:
• La somma degli angoli interni ad un triangolo è 180◦ (come si vede nel triangolo rosso della
Figura 1.5).
• La circonferenza di un cerchio di raggio r è 2πr.
Se l’Universo avesse questa geometria sarebbe infinito in estensione e privo di qualsiasi limite,
anche perché se dovesse avere dei confini andrebbe chiaramente a violare il principio per cui lo
Spazio appare identico in qualsiasi direzione lo si osservi.
EmileGN
6
Capitolo 1. Elementi e teorie di cosmologia moderna
1.4.2
Geometria sferica
Il modello più semplice di geometria non Euclidea da noi conosciuto è la geometria sferica, che
è quella geometria fondamentale per navigare sulla Terra.
Ora bisogna interrogarsi sul fatto se la geometria sferica rispetti le due proprietà fondamentali
dell’Universo per far sì che possa essere ritenuta come un modello valido. Osservando una sfera
risulta abbastanza ovvio notare che essa rimanga una sfera da qualsiasi punto di vista la si osservi
e quindi l’isotropia è confermata. A differenza della geometria piana, però, una superficie sferica
è di per sé finita e limitata, tutti sappiamo che la sua area è 4πr2 , quindi apparentemente un
Universo a geometria sferica non è omogeneo. In realtà, volendo limitarci alla superficie (e quindi
ad un’analisi 2D) sferica ci si accorge anche abbastanza facilmente che una sfera come oggetto
non possiede un vero e proprio bordo e quindi neppure un limite, ossia essa è un oggetto infinito
nella sua finitezza.
Impiegando una geometria sferica il quinto assioma cambia e possiamo affermare che per un punto
esterno ad una retta non passa nessuna parallela (si considerano come rette i cerchi massimi) e
quindi si ottiene:
• La somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180◦ (il triangolo può avere
tre angoli da 90◦ !).
• La circonferenza di un cerchio è minore di 2πr.
Adesso bisogna ricordarsi che l’Universo è definito in tre dimensioni, quindi il concetto fondamentale da assimilare è che si impiega la superficie sferica per ragionare esclusivamente tramite
analogia, visto che, sfortunatamente, noi come essere umani non siamo in grado di concepire la
curvatura delle tre dimensioni.
Allora, in sintesi, un Universo a geometria sferica ha una dimensione finita ma nessun bordo (o
limite), ogni suo punto è identico, non valgono i principi della geometria Euclidea e viene definito
come un Universo chiuso.
1.4.3
Geometria iperbolica
L’ultimo valore di k, quello negativo, fa corrispondere la geometria dello Spazio ad una geometria
iperbolica, che è generalmente meno conosciuta dia quella piana, ovviamente, ma anche di quella
sferica.
La geometria iperbolica è normalmente associata ad una superficie di una sella, come ben si può
vedere nella Figura1.5 ed è contraddistinta dal fatto che l’isotropia è difficilmente intuibile, ma
di fatto è presente; mentre l’omogeneità invece è coerente con il fatto che non è possibile porre
alcun limite.
A livello concettuale il comportamento della geometria iperbolica si oppone a quello della geometria sferica, infatti in questo caso per il quinto assioma si ha che per un punto esterno ad una
retta si hanno almeno due parallele2 e allora si può concludere che:
• La somma degli angoli interni di un triangolo inferiore a 180◦ .
• La circonferenza di un cerchio è maggiore di 2πr.
Visto che, a differenza della geometria sferica, anche qui le linee parallele non si incontrano mai
si ha l’estensione infinita dell’Universo a geometria iperbolica, e quindi pure l’isotropia.
In questo caso si parla di Universo aperto.
2
Per la geometria iperbolica le “rette” sono le geodetiche, cioè le curve di minima lunghezza che congiungono
due punti.
EmileGN
1.4. Geometrie dell’Universo
1.4.4
7
Geometrie dell’Universo basate sulla densità
Come vedremo anche nella sezione dedicata alle evoluzioni dell’Universo, le densità ρ delle costituenti del Cosmo definiscono dei parametri fondamentali nell’analisi cosmologica. Per questo
è possibile descrivere le possibili geometrie spaziali su ampia scala interessandoci esclusivamente
a questi parametri, che sono definiti nel seguente modo:
• il parametro legato alla densità della materia
Ωm =
ρm (t0 )
,
ρcr
(1.2)
• il parametro legato alla densità della radiazione
Ωr =
ρr (t0 )
.
ρcr
(1.3)
dove ρcr è la densità critica, definita da
ρcr =
3H02
≈ 10−27 kg/m3 ,
8πG
(1.4)
in cui H0 è la costante di Hubble, G è la costante universale di gravitazione e t0 è il tempo al
momento della misurazione (tipicamente il tempo odierno).
Inoltre bisogna ricordare l’esistenza di un ulteriore termine: il termine di curvatura, che serve a
completare l’equazione
Ωm + Ωr + Ωc = 1.
(1.5)
A questo punto allora si assume che il parametro Ω dello spazio dipende da
Ω = Ωm + Ωr
(1.6)
poiché Ωc ∼ −k; quindi in termini di densità si hanno due tre casi (analogamente al discorso
fatto in termini di parametro di curvatura):
• Geometria sferica, a curvatura positiva se
ρ > ρcr ↔ Ω > 1,
• Geometria iperbolica, a curvatura negativa se
ρ < ρcr ↔ Ω < 1,
• Geometria nulla, a curvatura piana (euclidea) se
ρ = ρcr ↔ Ω = 1;
dove, dall’equazione (1.6), si sa che
ρ = ρm + ρr .
(1.7)
È di considerevole importanza ricordare che è stata tralasciata la rilevanza apportata dal vuoto, poiché di esso parleremo solo a seguito dell’introduzione della costante cosmologia Λ e del
parametro associato ΩΛ .
EmileGN
8
Capitolo 1. Elementi e teorie di cosmologia moderna
1.5
Evoluzioni dell’Universo
Convincendoci che l’inizio fondamentale del Cosmo, e quindi di tutto ciò che esiste oggi, sia stato
il Big Bang, di cui parlerò più approfonditamente in seguito, rimangono aperti tutti i questi a
proposito del destino (del futuro) che spetta al nostro Universo.
Oggigiorno le possibili evoluzioni che dovrà seguire lo Spazio sono sempre ed inevitabilmente
collegate all’andamento di un parametro cosmologico fondamentale: il fattore di scala.
Il fattore di scala, che sarà anch’esso approfondito quando parlerò della legge che lo riguarda, è
impiegato per descrivere in che modo variano le scale spaziali dell’Universo nel tempo e viene
generalmente indicato con a(t).
Per capire i possibili percorsi che può seguire l’evoluzione del Cosmo è interessante notare come
il parametro di curvatura sia fondamentale (in maniera del tutto analoga ai parametri di densità)
per stabilire il futuro andamento del fattore di scala, come possiamo vedere dalla Figura 1.6.
Con k ≤ 0 il destino del Cosmo è il cosiddetto Big Chill, ossia un tale distanziamento di tutti
k<0
k=0
a
k>0
Tempo
Figura 1.6: Il grafico mostra tre differenti tipi di evoluzione dell’Universo in base al fattore di scala in
funzione del tempo, a sua volta condizionato dal parametro k di curvatura.
gli oggetti dello Spazio (intesi come super ammassi di galassie) e un tale abbassamento della
temperatura da causare la totale cessazione di tutte le possibili interazioni tra i corpi. In questo
scenario l’Universo rimarrebbe un “qualcosa” di gelido e privo di qualsiasi tipo d’interazione.
Invece nel caso k > 0 si parla di Big Crunch: lo scenario in cui la gravitazione domina. In
questo caso la forza gravitazionale degli oggetti più massicci (tipicamente dei buchi neri dotati
di grandissima massa) andrebbe a contrastare qualsiasi tipo di spinta all’espansione (solitamente interpretata come Energia oscura3 ) e attirerebbe tutta la materia in un unico singolo punto
dell’Universo generando un’unica e definitiva singolarità.
Come già solamente accennato, la densità è altrettanto, se non più, importante del parametro
di curvatura (di per sé quest’ultimo dipende dai parametri di densità) per stabilire la possibile
evoluzione che seguirà lo Spazio. Tuttavia i mezzi a nostra disposizione finora sono ancora del
tutto insufficienti per un’analisi in questa direzione, la quale viene rimandata al capitolo 3.
3
Il discorso inerente l’Energia oscura sarà essenziale successivamente.
EmileGN
Capitolo 2
Hubble e le osservazioni che
cambiarono il modo di vedere il cielo
2.1
La galassia e l’universo di Shapley
Per Harlow Shapley [24] la nostra galassia, la Via Lattea, coincideva precisamente con l’Universo
stesso. Egli inoltre riteneva le nebulose meno luminose, e perciò probabilmente più lontane, come
degli ammassi di gas sospesi sui confini della sua galassia-universo.
Shapley ritenendo universale la relazione periodo-luminosità (2.1) per la misurazione della magnitudine assoluta delle Cefeidi (particolari stelle variabili impiegate come candele standard, vedi
la Figura 2.1 e la sezione 2.2), riteneva di poter facilmente calcolare la distanza degli ammassi
globulari da lui osservati.
La relazione P-L, ricavata da Henrietta Leavitt [22] ad inizio del 1900 si presenta come
M = −1,43 − 2,81 · log P
(2.1)
dove P è il periodo della cefeide e M è la magnitudine assoluta della stella.
Come detto, in seguito a queste considerazioni, Shapley riteneva di poter ottenere precisamente
Magnitudine apparente
P
3, 8
ω Cephei
4, 1
Tempo (giorni)
Figura 2.1: Il grafico rappresenta l’andamento della magnitudine apparente in funzione del tempo dell’ipotetica ω Cephei, permette di capire che le cefeidi sono stelle a magnitudine apparente
variabile, caratterizzate da un periodo solitamente misurato in giorni.
la distanza degli ammassi che contenevano le cefeidi sfruttando la relazione
m − M = 5 log d − 5,
(2.2)
dove m è la magnitudine apparente e d è l’effettiva distanza della stella (espressa in pc) e (m−M )
è detto modulo della distanza.
9
10
Capitolo 2. Hubble e le osservazioni che cambiarono il modo di vedere il cielo
A questo punto Shapley, utilizzando i risultati da lui ottenuti a proposito delle distanze e sfruttando le misurazioni spettroscopiche effettuate grazie all’effetto Doppler sui super ammassi globulari1 , riuscì a definire, grosso modo, le orbite di decine di ammassi di stelle e la geometria del
suo supposto Universo.
Da tutte queste considerazioni Shapley ricavò un quadro generale che lo convinse fermamente e
che è riassumibile in quattro fondamentali punti:
1. Il sistema degli ammassi globulari si estendeva per almeno 3 · 105 al.
2. Le orbite calcolate risultavano sostanzialmente concentriche, e dovevano essere centrate in
un punto del piano galattico posto nella direzione del Sagittario.
3. Il punto sopraccitato doveva essere considerato come l’effettivo centro dinamico della galassia.
4. Il Sole era discosto da quel centro galattico di almeno 6 · 104 al.
Anche noi oggi possiamo sottoscrivere parte delle conclusioni tratte da Shapley, non senza aver
prima corretto le distanze. Infatti lo scienziato sovrastimava le grandezze considerate di circa
un fattore 2, imputabile all’imprecisa calibrazione della relazione P-L, che non è effettivamente
assoluta come Shapley credeva.
2.2
Cosa è realmente una Cefeide?
In questa sezione, che viene inclusa per avere una certa completezza scientifica, si mostrerà a
grandi linee che cosa è effettivamente una Cefeide.
Le Cefeidi, assieme alle RR Lyrae e alle W Virgins, formano una famiglia di stelle che vengono
dette variabili appunto per il loro caratteristico “comportamento”, che le vede cambiare di luminosità in maniera periodica e regolare. Esse, come si può vedere dalla Figura 2.2, sul diagramma
HR appartengono alla suddetta «Instability Strip». Nello specifico quando si parla di Cefeide
ci si riferisce ad una stella gigante gialla, solitamente giovane, e di popolazione I avente una
massa non eccessiva e che pulsa in maniera regolare. La stella, avente raggio R, espandendosi e
contraendosi varia di luminosità L poiché avviene una variazione di superficie 4πR2 , la quale,
dalla Legge di Stefan-Boltzmann (dove σ è la costante di Stefan-Boltzman)
L = 4πR2 σT 4 ,
(2.3)
ha un effetto direttamente proporzionale sul valore dell’intensità luminosa e della temperatura
T della stella.
Il perché del ciclo periodico delle variabili va proprio ricercato nel HR, infatti una stella con le
caratteristiche sopra elencate, tipiche di una Cefeide, quando nel corso della sua vita attraversa
la fascia di instabilità si è constatato che gli strati più esterni dell’atmosfera stellare iniziano ad
essere instabili (“particolarmente agitati”). Questa instabilità innesca una perturbazione che si
diffonde a tutto il corpo della stella e fa sì che cominci il processo di pulsazione. Bisogna notare,
però, che nonostante la perturbazione la pulsazione può avere luogo esclusivamente se negli strati
più esterni vi è una certa abbondanza di ioni He+ , i quali a seguito dell’iniziale instabilità sentono
gli effetti delle variazioni di temperatura e pressione e cominciano dei processi di ionizzazione e
ricombinazione.
Ora, questi ultimi fenomeni portano alla generazione di una piccola parte di He2+ , che è per
1
Gli ammassi globulari sono aggregazioni sferiche e compatte di stelle evolute, che popolano l’alone della
Galassia.
EmileGN
2.3. Hubble e la Cefeide in M31 Andromeda
11
Figura 2.2: Diagramma HR che evidenzia la fascia di instabilità alla quale appartengono le Cefeidi [29].
sua natura molto più opaco alla radiazione e quindi per questo la stella trattiene parte della
radiazione in uscita causando una aumento proporzionale della temperatura e della superficie;
entrambi parametri dell’equazione (2.3) e quindi entrambi influenti sulla luminosità.
L’atmosfera stellare espansa, dopo un certo intervallo di tempo (circa la metà del periodo totale
di pulsazione) inizia a raffreddarsi e con questo l’He2+ si ricombina in He+ , rendendo così la stella
nuovamente più trasparente alla radiazione e quindi meno luminosa. La continua instabilità fa sì
che questo processo si ripeta per svariati milioni di anni; fin quando la stella non passerà ad un
ulteriore stadio evolutivo della sua vita (si veda il diagramma HR).
2.3
Hubble e la Cefeide in M31 Andromeda
Il modello dell’Universo secondo Shapley rimase valido finché, nel 1923, un giovane astronomo
di 34 anni che rispondeva al nome di Edwin Hubble [21] stravolse tutto ed entrò ufficialmente a
far parte della Storia.
Shapley aveva dato una spiegazione troppo semplicistica, atta a favorire esclusivamente la sua
teoria, a proposito di tutti gli ammassi globulari osservabili dalla Terra. Questo atteggiamento,
però, gli si ritorse contro e infatti fu proprio grazie a una di queste nebulose, più precisamente
la spirale M31 osservabile nella costellazione di Andromeda, che Hubble riuscì a trarre delle conclusioni sorprendenti nello studio del Cosmo.
Nella notte tra il 5 e il 6 ottobre 1923, Hubble osservò in M31 una stella variabile che non
poteva essere altro che una Cefeide. Ne ricavò il periodo, che era circa di 31 giorni e quindi grazie
alla P-L (2.1) anche la magnitudine assoluta
M = −1,43 − 2,81 · log(31) = −5,62.
Conoscendo la magnitudine apparente, che si fissava attorno ad un valore medio di 16, 6, riuscì
facilmente a trovare la distanza della variabile in M31, e quindi anche una buona approssimazione
della distanza della galassia stessa (che Hubble considerava inizialmente un ammasso qualsiasi).
Tramite la relazione (2.2) si ottiene
EmileGN
12
Capitolo 2. Hubble e le osservazioni che cambiarono il modo di vedere il cielo
16,6 − (−5,62) = 5 log d − 5 ⇔ 27,22 = 5 log d ⇔ 5,444 = log d ⇔ d = 277 911,32 pc
e sapendo che 1 pc = 3,26 al = 3,08 · 1013 km si esprime
d = 277 911,32 pc 3,26 al pc−1 = 906 186,52 al.
Questo risultato distrusse completamente la teoria di Shapley, che poneva la nostra galassia come
l’intero Universo e con un diametro di circa 300 000 al e che, come sappiamo, era pure sovrastimato. L’ammasso osservabile in Andromeda chiamato M31 non era un semplice ammasso globulare,
ma bensì un’altra galassia completamente esterna alla nostra.
Oggi sappiamo che pure Hubble fu tratto in inganno dall’apparente universalità della P-L, infatti secondo gli odierni sistemi di misurazione (e grazie ad Hubble, il telescopio) si ritiene che la
Galassia di Andromeda sia a circa 2 milioni di anni luce di distanza della Via Lattea, risultato
che comunque dà ragione ed Hubble e torto a Shapley.
2.4
Vesto Slipher ed il redshift
Per introdurre i lavori di Slipher definiamo un concetto importante: il redshif t, solitamente
notato z, è il parametro che esprime la variazione relativa della lunghezza d’onda della luce
emessa da un corpo celeste nello spazio in moto relativo rispetto all’osservatore. Si ha
z=
λ − λ0
λ0
(2.4)
dove λ0 è la lunghezza d’onda propria emanata dalla galassia (o dalla stella) considerata, mentre
λ è la frequenza percepita dall’osservatore; in questo caso la Terra.
Il parametro z è inoltre impiegato per determinare la componente radiale (ossia in direzione della
Terra) vr della velocità spaziale di un oggetto celeste tramite la relazione
vr = cz.
(2.5)
Vesto Slipher fece delle scoperte fondamentali appunto a proposito del redshif t, ossia la tendenza al rosso nello spettro di emissione di un corpo celeste nell’Universo. Infatti, avendo appurato
che le galassie sono degli oggetti con un moto ed una rotazione propri (Slipher inizialmente si
occupava dello studio di quest’ultimo fenomeno), se il rosso dello spettro viene interpretato come
risultato di un presunto effetto Doppler (presunto poiché in realtà si vedrà che il moto è dello
Spazio e non di un oggetto nel Cosmo) l’unica conclusione ovvia è che queste galassie si stanno
allontanando dalla Via Lattea.
Questo perché sapendo che il colore rosso presenta la maggiore lunghezza d’onda dello spettro
visibile. Quindi sapendo che la frequenza rivelata dallo spettro di assorbimento non è quella effettiva rilasciata dalla galassia ma bensì quella osservabile in seguito all’apparente effetto Doppler,
diventa appunto ovvio dedurre che la galassia osservata si sta allontanando dal nostro punto di
osservazione (per semplificazione a livello visivo si veda Figura 2.3). Quando invece il parametro z (2.4) assume un valore negativo, Slipher, ma non solo, parla di blueshif t, ossia di uno
spostamento tendente al blu sullo spettro di emissione della galassia, che sta a rappresentare
l’avvicinamento della stessa. Nella Figura 2.4 possiamo comprendere meglio ciò che si intende
con variazione di lunghezza d’onda nello spettro di emissione di una galassia o di una stella.
Un’incredibile pazienza ed un’abilità tecnica fuori dal comune permisero a Slipher di ottenere redshif ts che presentavano valori z = 0,006 dai quali lo scienziato poteva constatare, tramite
(2.5)
EmileGN
2.5. La legge di Hubble
13
R
O
ν0
S
ν
~vs
Figura 2.3: Schematizzazione dell’effetto Doppler nel caso in cui la sorgente si avvicina all’osservatore
ad una velocità ~vs costante.
Figura 2.4: Variazioni di lunghezza d’onda nello spettro di emissione di un dato corpo possono essere
interpretate a dipendenza della posizione delle bande scure.
vr = c · 0,006 = 1800 km/s,
che quegli oggetti così veloci non potevano certamente appartenere alla Via Lattea, dove le
velocità massime osservabili erano dell’ordine dei 100 km/s. Questo risultato dava ulteriormente
ragione ad Hubble, il quale intuì, studiando i risultati di Slipher, che inoltre esisteva un’apparente
relazione tra la distanza e la velocità delle galassie osservate, ed è proprio di questo che si andrà
a trattare nella successiva sezione.
2.5
La legge di Hubble
Con il progresso tecnologico vennero prodotti spettrografi in grado di percepire redshif t che
indicavano velocità dai 3000 km/s ai 20 000 km/s, nettamente più elevate che quelle rilevate da
Slipher. Hubble dal canto suo, accorgendosi dei limiti che mostrava la P-L, si ingegnava nella
ricerca di un nuovo modo per determinare le distanze di galassie molto più lontane di M31,
poiché la maggior parte tra esse erano effettivamente così distanti che era del tutto impossibile
riconoscere una cefeide al loro interno. Per spingersi là dove nessuno aveva ancora provato,
Hubble finì per assumere come candela standard la luminosità totale dell’intera galassia presa
in considerazione o, ancora più performante come scelta, quando l’oggetto celeste considerato
apparteneva ad un gruppo denso di galassie la candela standard diventava la luminosità media
delle dieci galassie più luminose.
Così facendo nel 1929 Hubble disponeva della velocità di 46 galassie e della distanza di 24 tra
esse, informazioni sufficienti per dar conferma alle sue intuizioni a seguito dei lavori di Slipher.
Infatti appariva netta la relazione velocità-distanza, che Hubble tradusse graficamente in quello
che qui è la Figura 2.5. Il carattere lineare del diagramma permise ad Hubble di formulare in
assoluta certezza la tanto ricercata relazione di proporzionalità diretta tra velocità e distanza;
relazione che è ancora oggi impiegata e che appare nel seguente modo
v = H0 d
(2.6)
EmileGN
14
Capitolo 2. Hubble e le osservazioni che cambiarono il modo di vedere il cielo
4, 0
log(v)
3, 0
13
15
11
Magnitudine apparente
Figura 2.5: Questo grafico è la fedele riproduzione di uno dei tre grafici (il secondo) fondamentali che
compaiono nel The Realm of the Nebulae [8], il volume del 1936 in cui Hubble cercava di
spiegare al grande pubblico i frutti delle sue ricerche. Si può ben intuire la relazione lineare
tra la velocità (qui espressa in scala logaritmica) e la distanza (in questo caso espressa
tramite la magnitudine e quindi in scala logaritmica).
e viene generalmente chiamata legge di Hubble.
H0 è la costante di Hubble, che dal valore di 550 km· s−1 · Mpc−1 attribuitogli dal suo inventore
e/o scopritore è stata via via ridimensionata nel tempo grazie alle osservazioni sempre più precise,
ed oggi il suo valore, riscontrabile sulle tavole dei formulari [10], è dato da
H0 ≈ (74,2 ± 3,6) km · s−1 · Mpc−1 .
2.6
(2.7)
Una prima importante conclusione
Le costatazioni e le osservazioni fatte in questo capitolo sono state di fondamentale importanza
per avere una nuova visione generale del Cosmo.
Il percorso fatto finora ci permette di capire che l’Universo è in continua evoluzione, sia a livello di
descrizione teorica (attraverso la storia), sia nel vero e proprio senso del termine. Infatti i lavori
di Hubble mettono in chiara evidenza come l’Universo sia in espansione, poiché, come già
detto, il moto delle galassie non è da intendere come il moto di un oggetto nello spazio, bensì il
moto dello spazio stesso. Un’analogia molto semplice è quella con un panettone, immaginandoci
le galassie come le uvette e l’impasto come l’Universo; al lievitare della pasta aumenta la distanza
tra i canditi.
EmileGN
Capitolo 3
Ricavare i parametri osservativi
3.1
Introduzione al capitolo
Per usare un’espressione abbastanza evocativa si può dire che in questo capitolo cominceremo a
fare sul serio; nel senso in cui verrà abbandonata la fase descrittiva e si prediligerà quella scientifica, dove la matematica costituisce il principale linguaggio per analizzare e ricavare conclusioni
da osservazioni empiriche come possono essere quelle legate all’Universo.
Fondamentale per tutto ciò che si farà durante questo capitolo e pure fino alla fine di questo
lavoro sarà la sezione dedicata all’equazione di Friedmann, ossia di quell’equazione che si
occupa di gestire l’andamento nel tempo del fattore di scala, che come abbiamo già ribadito è
indispensabile per stabilire l’evoluzione che seguirà il Cosmo.
3.2
L’equazione di Friedmann: una legge per il fattore di scala
Siano A e B due galassie che vengono da noi assimiliate come due punti di una sistema di
coordinate. La loro distanza ad un tempo iniziale t0 è
−−→
AB(t0 ) = ~x,
(3.1)
mentre per un dato istante t la distanza tra i punti A e B può essere espressa come
−−→
AB(t) = ~r = a(t)~x,
(3.2)
dove a(t)è la funzione fattore di scala; ossia quella funzione che governa la proporzione tra le
distanze degli oggetti dell’Universo (si veda Figura 3.1).
L’equazione che descrive l’andamento di a(t), come già preannunciato, è l’equazione di Friedmann, la quale è generalmente scritta nel seguente modo:
ȧ(t)2 −
8πG
ρ(t)a(t)2 = −k,
3
ma noi la vedremmo più spessa scritta così:
2
8πG
k
ȧ
ρ − 2;
=
3
a
a
(3.3)
(3.4)
dove ρ(t) = ρm (t) + ρr (t) + ρΛ (t), k è il parametro di curvatura e G è la costante di gravitazione
universale.
Come ricavare però quest’equazione? Friedmann impiegò gli strumenti della relatività generale
15
16
Capitolo 3. Ricavare i parametri osservativi
t0
t
A
A
−−→
AB(t0 ) = ~x
B
−−→
AB(t) = ~r = a(t)~x
B
Figura 3.1: Ecco una rappresentazione molto schematica e in una dimensione dell’influenza del fattore
di scala sulle distanze tra gli oggetti nell’Universo.
ma noi, purtroppo, non disponiamo degli stessi per lavorare in quella direzione. Tuttavia, fortunatamente c’è la possibilità di ricavare l’equazione di Friedmann, o almeno una che le assomigli
formalmente, in un’ottica completamente newtoniana.
Sulla Terra ci si potrebbe interrogare se un sasso lanciato verso l’alto possa avere una velocità
abbastanza alta per poter “scappar via” dall’attrazione gravitazionale terrestre. La velocità del
sasso k~vs k è maggiore alla velocità di fuga k~vfuga k (ossia di quella velocità necessaria per evadere
il campo gravitazionale terrestre) se l’energia totale
Etot = E cin + E pot
(3.5)
ha un valore positivo. In simboli
vs > vfuga ⇔ Etot > 0.
L’energia cinetica è data da
E cin =
mv 2
;
2
(3.6)
mentre quella potenziale è espressa come
E pot = −Gm
M
,
R
(3.7)
dove R e M sono il raggio e la massa della Terra.
Queste considerazioni valgono per la sfera terrestre. Immaginiamo ora di prendere una regione
sferica dell’Universo avente raggio R, perfettamente omogenea ed isotropa e con densità media
attestata su un dato valore ρ.
Consideriamo, viste le importanti conclusioni del capitolo 2, che l’intera regione considerata si
stia espandendo secondo la legge di Hubble, che qui scriviamo
~v = H0~r,
(3.8)
dove k~rk è la distanza radiale tra gli oggetti.
Analogamente al sasso per la Terra ci sarà una galassia sul bordo della sezione sferica considerata, che noi assimileremo tranquillamente, viste le incredibili distanze, ad un punto materiale
nello spazio. Questa galassia, ragionando in costante analogia, si allontanerà o meno dal centro
della sfera d’Universo in questione? Calcoliamone l’energia totale.
EmileGN
3.2. L’equazione di Friedmann: una legge per il fattore di scala
17
Per comodità porremo la massa del nostro PM/galassia come una massa unitaria, così da poter
esprimere la sua energia cinetica come
k~v k2
H 2 · R2
=
,
2
2
dove H è il parametro di Hubble (vedi sezione 3.4) che è espresso pure come
E cin =
H(t) =
ȧ(t)
.
a(t)
(3.9)
(3.10)
Ora possiamo porre che per l’istante t in cui avviene la nostra analisi valga a(t) = R e quindi
possiamo esprimere
ȧ2 (t)
E cin =
.
(3.11)
2
A questo punto dobbiamo esprimere l’energia potenziale gravitazionale per un PM di massa
unitaria, che equivale a
M
(3.12)
E pot = −G
R
e che, esprimendo la massa M della regione d’Universo considerata come il prodotto della densità
di ρ per il volume di una sfera e ricordando che a(t) = R, diventa
−G4πa2 ρ
.
3
Possiamo quindi esprimere l’energia totale come
E pot =
(3.13)
Etot = E cin + E pot .
(3.14)
Sapendo (vedi equazione (3.3)) che l’equazione di Friedmann ricavata tramite la relatività generale può essere scritta come
8πG
ρ(t)a2 (t) − k,
ȧ2 (t) =
3
giriamo i termini dell’equazione (3.14) come segue:
E cin = Etot − E pot .
(3.15)
Una volta esplicitata, l’equazione (3.15), diventa un’equazione della forma
ȧ2 (t)
4πGρ(t) 2
=
a (t) + Etot ,
2
3
la quale una volta risolta equivale a
(3.16)
8πGρ(t) 2
a (t) + 2Etot .
(3.17)
3
Possiamo anche sostituire il termine legato all’energia totale al fine di ottenere un’equazione
identica alla (3.4). Sappiamo che per la sezione dai noi trattata di Universo non ci sono processi
dissipativi e che la forza gravitazionale è conservata (quindi E mec = cost). Con queste premesse
nulla ci impedisce di uguagliare l’energia totale del sistema ad una certa costante, che nel nostro
caso scegliamo (scelta obbligata) come
ȧ2 (t) =
2Etot = −k.
(3.18)
A volte l’equazione viene espressa anche come
2Etot
,
(3.19)
m
ma la massa o la si sceglie unitaria, o la si semplifica nell’equazione (3.17) e quindi non costituisce
un problema.
−k =
EmileGN
18
Capitolo 3. Ricavare i parametri osservativi
3.3
Come ricavare H0 ?[7]
Al termine del secondo capitolo abbiamo associato alla costante H0 un valore abbastanza preciso
(2.7). Tuttavia questo dato non deve essere considerato come una certezza dogmatica, poiché, in
realtà, al fine di misurare l’effettivo valore della costante di Hubble sono stati effettuati svariati
esperimenti che hanno generato un considerevole numero di risultati più o meno vicini che vanno
a costituire uno spettro di valori non indifferente. Come detto sono stati impiegati vari metodi
per il calcolo di H0 , è quindi d’obbligo citare almeno gli esperimenti più significativi:
• L’esperimento Boomerang (Netterfield 2001) ha consentito per la prima volta di ottenere
un’immagine nitida del CMB, cosa che ha permesso di misurare la costante di Hubble ed
associarle un valore di H0 = 65 ± 8 km s−1 Mpc−1 ;
• Gli studi dei team di Perlmutter e Riess (di cui parleremo ancora nei capitoli 4 e 5) sulle
osservazioni delle Supernove Ia tramite l’Hubble Space Telescope hanno attestato un valore
della costante di cui ci stiamo interessando a H0 = 73 ± 2,4 km s−1 Mpc−1 ;
• Da ultimo, ma non meno importante, ricordiamo il valore H0 = 67,3 ± 1,2 km s−1 Mpc−1
ottenuto dalla missione Planck Collaboration (2013) che ha studiato le varie anisotropie
del CMB in tutte le direzioni (a differenza di Boomerang) impiegando il satellite Planck
dell’ESA.
Ora che sappiamo che il range di valori assunti da H0 è di una certa corposità diventa necessario
stabilire quali siano i dati che risultano essere più compatibili e dunque diventa anche importante
escludere tutti quei valori che evidentemente sono decisamente o troppo alti, o troppo bassi.
Il metodo migliore per risolvere questo tipo di problema è quello della statistica mediana,
secondo il quale la grandezza di una costante fisica dipende dalla mediana di un certo numero di
dati. Va ricordato sistema statistico mediano si basa due presupposti fondamentali:
• i dati devono essere tra loro indipendenti,
• non ci devono essere errori sistematici complessivi.
Supponiamo dunque che i valori di H0 (osservabili nella Figura 3.2) rispettino queste condizioni,
essi andranno allora a costituire un insieme di N misure che sarà ordinato dal valore più basso
a quello più alto, ed ogni suo dato verrà indicato con Di , dove i = 1, ..., N . Allora, ragionando
statisticamente, la probabilità che la mediana da noi cercata si trovi nell’intervallo [Di ; Di+1 ]
sarà data da
2−N N !
P =
,
(3.20)
i!(N − 1)!
dove D0 = −∞ e DN +1 = ∞. Avendo definito la probabilità dell’evento “La mediana si trova
nell’intervallo [Di ; Di+1 ]” come nell’equazione (3.20), possiamo esprimere i limiti di confidenza
C` come
N
−j
X
C` = 100
Pk .
(3.21)
k=j
I limiti di confidenza sono introdotti poiché ad una misurazione è sempre associato un errore.
In genere si tiene conto che la probabilità di ottenere nuovamente il valore della misura sia
distribuita come una gaussiana con valore centrale la misura stessa e con deviazione standard
pari all’errore sulla misura. Poiché la distribuzione dei valori delle osservazioni è gaussiana allora
prendendo l’area tra due valori qualsiasi si ottiene la probabilità che ripetendo la misura si possa
ottenere un valore all’interno di questo intervallo (tra −∞ e ∞ la probabilità equivale a 1, perché
la gaussiana è da considerarsi normalizzata). Per capire meglio il tutto rifacciamoci alla Figura
EmileGN
3.3. Come ricavare H0 ?[7]
19
Figura 3.2: Ecco presentato il considerevole spettro di valori che H0 ha assunto dal 1996 sino al 2008.[7]
f (x)
χ − 2σ
χ
χ−σ
χ+σ
χ + 2σ
x
Figura 3.3: Questa curva gaussiana è fondamentale affinché sia chiaro il concetto di limite di confidenza.
Anche se il grafico non dà questa impressione, la curva parte da −∞ e copre un intervallo
fino ∞.
3.3, la curva rappresentata in questa figura è una funzione f tale che f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ R ed è da
considerarsi una gaussiana normalizzata, ossia
Z ∞
f (x)dx = 1.
(3.22)
−∞
Fisicamente possiamo quindi dedurre che un’area sotto questa curva è associabile alla probabilità
che rifacendo una certa misura il risultato ottenuto sia ancora compreso nell’intervallo del quale,
tramite l’integrazione, si è calcolata l’area. Dunque ammettiamo che l’area definita nell’intervallo
[χ − σ; χ + σ] abbia un valore casuale (arbitrario) di
Z χ+σ
f (x)dx = 0,68,
(3.23)
χ−σ
allora, sempre arbitrariamente, possiamo notare
Z χ+2σ
f (x)dx = 0,95.
(3.24)
χ−2σ
EmileGN
20
Capitolo 3. Ricavare i parametri osservativi
Esperienza
Quantità di dati
Mediana
95%
Tutti i dati
553
68
67 ∼ 69
Metodi classici
Supernove Ia
Altri
Sunyaev-Zel’dovich
B Tully-Fisher
IR Tully-Fisher
Fluttuazioni Superficiali di Brillanza
Tully-Fisher
CMB fit
I, R Tully-Fisher
111
92
83
46
23
19
18
18
16
9
79
64
68
60,5
60
82
65
72,5
69,5
74
68 ∼ 72
60 ∼ 65
60 ∼ 71
57 ∼ 66
56 ∼ 72
65 ∼ 90
71 ∼ 82
68 ∼ 74
59 ∼ 72
Tabella 3.1: Tabella dei valori della costante di Hubble calcolata con la mediana per diversi esperimenti.
Il limite di confidenza al 95% è mostrato solo per i metodi che hanno più di 10 misure, poiché
per gruppi più piccoli esso non ha valore statistico rilevante.
Quindi se si dice che il limite di confidenza è al 95%, avremo una probabilità di ottenere nuovamente un valore tra χ − 2σ e χ + 2σ del 95%. Va notato, anche se apparentemente scontato, che
al cambiare della probabilità si osserva pure il cambiamento dell’intervallo considerato.
Tuttavia il valore di 0,95 non è stato scelto completamente a caso, infatti esso rappresenta il
limite di confidenza che sui ben 553 dati inerenti i valori di H0 viene ricavato con (3.21). Questo
ci permette di redigere una tabella (Tabella 3.1) con i valori più significativi della costante di
Hubble ricavati al seguito delle varie esperienze.
3.4
Il parametro Ω0
Già nella sotto sezione 1.4.4 abbiamo introdotto i parametri legati alle densità dei vari costituenti del Cosmo pur non avendo ancora parlat di utili e particolari nozioni citate successivamente
nel lavoro. In questo paragrafo non ci occuperemo di ricavare Ω0 che non è nient’altro che il
parametro legato alla densità di tutto l’Universo al tempo odierno. Ci occuperemo piuttosto di
ricavare alcuni interessanti risultanti utilizzando quello che è ormai diventato un utile e potente
strumento: l’equazione di Friedmann.
Innanzitutto è necessario, al fine di semplificare i calcoli ed alleggerire la notazione, introdurre il
parametro H(t) di Hubble , di cui abbiamo solamente accennato precedentemente.
Per ricavare H bisogna, abbastanza intuitivamente, tornare alla legge di Hubble espressa nella
sua forma più generale,
~v = H0~r.
(3.25)
Dalla meccanica di Newton sappiamo che la velocità è la derivata della posizione, ossia vale
~v =
d~r
;
dt
(3.26)
quindi sapendo che la velocità avrà pure la medesima direzione di ~r ricaviamo
d~r
k~r˙ k
= ~r˙ =
~r
dt
k~rk
(3.27)
EmileGN
3.4. Il parametro Ω0
21
e da quanto detto all’inizio del capitolo possiamo dedurre che
~v =
k~r˙ k
ȧ
~r = ~r.
k~rk
a
(3.28)
Allora la formula più generale della legge di Hubble è
ȧ
~v = ~r
a
(3.29)
da cui si definisce il parametro H (ovviamente variabile nel tempo) come nell’equazione (3.10),
ossia
H=
ȧ
.
a
Abbiamo visto (equazione (3.4)) che l’equazione di Friedmann si può scrivere nella forma
2
8πG
k
ȧ
=
ρ− 2
3
a
a
ma avendo definito il parametro di Hubble come nell’equazione (3.10) otteniamo
H2 =
8πG
k
ρ− 2
3
a
(3.30)
Ritornando al parametro Ω di densità sappiamo che per un dato valore di H (nel nostro caso
H = H0 ), come già visto, affinché l’Universo risulti piatto e valga così la geometria Euclidea
esiste il valore di densità critica definito (si veda equazione (1.4)) da
ρcr =
3H02
.
8πG
Tuttavia questo valore non è forzatamente l’effettivo valore della densità dell’Universo, visto che
l’Universo non deve essere forzatamente piatto, per questo già nell’introduzione abbiamo definito
gli svariati parametri di densità nella forma
Ω=
ρ
.
ρcr
(3.31)
Come per la costante di Hubble e il suo parametro, la funzione Ω dipende dal tempo poiché è a
sua volta costruita con due ulteriori funzioni anch’esse dipendenti dal tempo, ρ(t) e ρcr (t). Per
questo possiamo semplicemente affermare che
Ω0 = Ω(t0 ).
(3.32)
Dall’equazione (3.31) si ricava banalmente
ρ = Ωρcr ,
(3.33)
questo però ci permette di inserire il parametro di densità nell’equazione di Friedmann, ottenendo
H2 =
k
8πG
ρcr Ω − 2 ,
3
a
(3.34)
H2 =
8πG 3H 2
k
Ω− 2
3 8πG
a
(3.35)
che diventa
EmileGN
22
Capitolo 3. Ricavare i parametri osservativi
e risolvendo si ha
k
.
a2
Rigirando i termini di quest’ultima equazione si ottiene
che diventa
H 2 = H 2Ω −
(3.36)
k
= H 2Ω − H 2
a2
(3.37)
k
a2 H 2
=Ω−1
(3.38)
e in questo modo abbiamo raggruppato in un’unica equazione tre parametri cosmologici fondamentali, e, soprattutto abbiamo trovato come mettere in relazione la geometria k dell’Universo
con i suoi “contenuti” (espressi da Ω). Tuttavia non si è parlato ancora dell’importanza del Vuoto
e non è stata introdotta la costante cosmologica di Einstein (si veda la sezione 5.4) ed inoltre al termine di questo capitolo verrà introdotto un ulteriore parametro fondamentale, ossia il
parametro q0 decelerazione (vedi sezione 3.7).
3.5
3.5.1
Due ulteriori equazioni fondamentali
Equazione di un fluido
Uno dei tanti parametri fondamentali che compaiono nell’equazione di Friedmann è la densità ρ
dell’Universo, che abbiamo già scritto come ρ(t) poiché è una funzione che dipende dal tempo.
In questa sottosezione (non meno importante di altre sezioni) ci interesseremo di ricavare un’equazione che analogamente a quella di Friedmann per a(t), descriva l’evoluzione di ρ(t).
Il primo principio della termodinamica è generalmente espresso da
dE = δQ + δW.
(3.39)
Le grandezze di processo che compaiono nell’equazione (calore e lavoro) possono essere scritte
come δQ = T dS e δW = −pdV . Quindi l’equazione (3.39) diventa
dE = T dS − pdV.
(3.40)
Allora il primo principio della termodinamica è esprimibile nella forma
dE + pdV = T dS
(3.41)
se applicato ad un certo volume V in espansione che pure in questo caso riteniamo sferico ed
avente raggio R = a.
Sfruttando la relazione
E = mc2
(3.42)
possiamo trovare che l’energia totale associata al volume V di una data sezione sferica del Cosmo
è
4π 3 2
a ρc .
E=
(3.43)
|3 {z }
m=V ρ
Consideriamo la variazione di energia in un intervallo di tempo molto piccolo dt, si ottiene
dE
d 4π
3
2
(3.44)
=
[a(t)] ρ(t)c
dt
dt 3
da 4π 3 dρ(t) 2
= 4πa2 (t)ρ(t)
+
a
c
(3.45)
dt
3
dt
EmileGN
3.5. Due ulteriori equazioni fondamentali
23
che alleggerendo la notazione diventa
dE
4πa3 2
= 4πa2 ρȧ +
ρ̇c
dt
3
(3.46)
dove la notazione con il punto sta ad indicare le derivate temporali.
Per un intervallo dt di tempo la variazione di volume sarà
dV
d 4π
3
=
[a(t)]
dt
dt 3
da
= 4πa2 .
dt
(3.47)
(3.48)
Assumendo che l’espansione si reversibile, ossia non avviene nessuna produzione di entropia, e
consideriamo il nostro sistema come isolato, allora dS = 0.
Inserendo i risultati ottenuti all’interno dell’equazione (3.41) si ha
4πa2 ρc2 ȧ +
4π 3 2
a ρ̇c + p4πa2 ȧ = 0.
3
Riarrangiamo e semplifichiamo i termini procedendo con la messa in evidenza,
a3
4π a2 ρc2 ȧ + ρ̇c2 + pȧ = 0
3
dunque
allora
(3.49)
(3.50)
a
a2 ρȧc2 + ρ̇c2 + pȧ = 0
3
(3.51)
3ρȧc2 + aρ̇c2 + 3pȧ
=0
3
(3.52)
3ρȧc2 3pȧ
+ 2 + aρ̇ = 0,
c2
c
(3.53)
3ρȧc2 + 3pȧ
+ aρ̇ = 0
c2
(3.54)
quindi
da cui
e per concludere si ottiene
p
(3.55)
aρ̇ + 3ȧ ρ + 2 = 0.
c
Questa appena ricavata è effettivamente l’equazione di un fluido che però generalmente è scritta
nella forma
p
ȧ ρ + 2 = 0.
ρ̇ + 3
(3.56)
c
a
3.5.2
Equazione di accelerazione
Le due importanti equazioni ricavate finora, quella di Friedmann e quella di un fluido, ci permetteranno di ricavare un’ulteriore equazione fondamentale; appunto l’equazione di accelerazione.
Essa, una volta stabilita la funzione a(t), descrive l’eventuale andamento accelerato della funzione fattore di scala.
Tramite il calcolo differenziale l’equazione di Friedmann (comprendente i termine c2 ) diventa
2
8πG
ȧ aä − ȧ2
2kc2 ȧ
=
ρ̇
+
.
a a2
3
a3
(3.57)
EmileGN
24
Capitolo 3. Ricavare i parametri osservativi
Sfruttando i risultati dell’equazione di un fluido possiamo sostituire ρ̇ affinché si ottenga
p
ä
ȧ
= −4πG ρ + 2 + kc2 .
−
(3.58)
c
a
a
A questo punto, riutilizzando ciò che ci dice Friedmann ricaviamo finalmente l’equazione di
accelerazione espressa come
ä
4πG
3p
(3.59)
=−
ρ+ 2 ,
a
3
c
la quale viene anche chiamata seconda equazione di Friedmann.
3.6
Tre soluzioni possibili grazie alle equazioni ottenute
Nella sezione 1.5 ci siamo posti la fondamentale domanda a proposito di come si evolverà il fattore
di scala per il nostro Universo. Ora, i risultati ottenuti nelle sezioni precedenti ci permetteranno
di esprime tre possibili soluzioni nel caso in cui il Cosmo sia piatto (k = 0)
• dominato dalla materia;
• dominato dalla radiazione;
• un miscela di entrambe le costituenti.
Tuttavia si noti molto bene che si è tralasciato il caso in cui l’Universo è dominato dal vuoto;
infatti si parlerà di questa particolare situazione nel prossimo capitolo.
Prima di cominciare ad analizzare le tre situazioni proposte, però, bisogna ricordare l’importanza
dell’equazione di stato
p ≡ p(ρ)
(3.60)
la quale, per una data densità, ci permette subito di ottenere la pressione esercitata da un dato
costituente cosmico.
3.6.1
Un Universo dominato dalla materia
Un Universo completamente omogeneo ed isotropo implica la totale inesistenza di “confini” o,
usando dei termini legati alla termodinamica, pareti. Questo, dalla definizione di pressione (la
misurazione di una forza su di una data superficie) porta a dedurre che in un “matter dominated
Universe” valga
p = 0.
(3.61)
Inserendo p = 0 nell’equazione di un fluido ricaviamo
ȧ
ρ̇ + 3 ρ = 0
a
(3.62)
che, senza dover passare per il calcolo integrale è esprimibile nella forma
1 d ρ(t)[a(t)]3 = 0,
3
a dt
il che ci permette di semplificare il termine
(3.63)
1
al fine di ottenere
a3
d ρ(t)[a(t)]3 = 0.
dt
(3.64)
EmileGN
3.6. Tre soluzioni possibili grazie alle equazioni ottenute
25
Quest’ultima considerazione ci fa constatare che
ρ(t)[a(t)]3 = cost,
(3.65)
da cui possiamo dedurre
1
.
(3.66)
a3
A questo punto è lecito chiedersi cosa sia la costante dell’equazione (da cui si ricava la (3.66))
ρ∝
ρa3 = cost;
(3.67)
visto che sia ρ(t) che a(t) dipendono dal tempo, la costante cercata avrà sicuramente un valore
associato ad un istante fissato.
Ricordando che stiamo lavorando in uno spazio euclideo, ossia in un Universo per cui vale k = 0,
possiamo dunque riscrivere l’equazione di Friedmann come
2
8πGρ
ȧ
=
;
(3.68)
3
a
in questa precisa forma siamo liberi di moltiplicare a(t) per una qualsiasi costante nota senza
cambiare formalmente l’equazione. Questo fatto ci dà la libertà di dare un valore numerico preciso
ad a(t) per il tempo odierno t0 , tipicamente in cosmologia ci sceglie
a(t0 ) = 1,
(3.69)
così da far coincidere il sistema di coordinate comoventi ~r = a~x con il sistema ~x del presente.
Allora possiamo finalmente definire la costante dell’equazione (3.67) come
ρa3 = ρ0 ,
ossia la densità dell’Universo oggi.
Possiamo quindi esprimere per un Universo dominato dalla materia
ρ0
ρ(t) = 3 .
a
Sostituendo questo risultato nell’equazione di Friedmann otteniamo
2
8πG ρ0
ȧ
=
,
3 a3
a
(3.70)
(3.71)
(3.72)
che diventa
8πGρ0 1
.
(3.73)
3 a
Come già visto nella seconda sezione di questo capitolo e ribadito costantemente in seguito,
sappiamo che a è una funzione dipendente dal tempo, allora una sua possibile espressione è
data1
q
t
a(t) =
;
(3.74)
t0
quindi è permesso scrivere la proporzionalità
ȧ2 =
a(t) ∝ tq .
(3.75)
Questa interessante relazione ci permette di risolvere l’equazione (3.73) in maniera del tutto
lineare, utilizzando la sostituzione in (3.74) ed evitando così di passare per l’integrazione e il
calcolo differenziale.
Con sostituzione s’intende che dalla parte sinistra dell’equazione (3.73) si ricava
1
Questo escamotage matematico, noto con il nome tedesco di ansatz, consiste nello studiare una possibile
soluzione di un’equazione e verificare se il risultato è confacente alle ipotesi. Nel nostro caso la soluzione è valida
fino a quando non bisognerà tener conto dell’importanza fornita dal vuoto (discorso affrontato nel quinto capitolo).
EmileGN
26
Capitolo 3. Ricavare i parametri osservativi
a(t) ∝ t2q−2 ,
mentre dalla parte destra e dall’equazione (3.75) si ottiene
a(t) ∝
1
t−q
.
Visto ci troviamo al tempo presente t0 , vale a(t0 ) = 1 e allora l’equazione (3.74) può essere
espressa come
t2q−2
t−q
3q−2
⇔1=t
1=
⇔ ln(1) = ln(t3q−2 )
⇔ 0 = 3q − 2
da cui otteniamo
2
q= .
(3.76)
3
Allora per un Universo dominato dalla materia la funzione fattore di scala viene espressa come
a(t) =
t
t0
2/3
.
(3.77)
Graficamente si ottiene la funzione rappresentata sul grafico della Figura 3.4. Con il risultaa(t)
1
T
t
αs
1s
Figura 3.4: La figura mostra bene che in un Universo “Matter dominated” l’espansione continua all’infinito ma con un tasso sempre meno incidente, si veda la parte dedicata ad H(t). Il punto
T (1, 1) è d’importanza fondamentale perché ci fa capire che per a(t0 ) = 1 vale pure t0 = 1.
to appena ottenuto possiamo pure esprimere, per completezza, l’evoluzione ρ(t) della densità
dell’Universo in funzione del tempo, ossia
ρ(t) =
ρ0
=
3
a (t)
ρ0
ρ0 t20
=
.
t 2
t2
(3.78)
t0
Come già accennato nella didascalia della Figura 3.4 ora ci interesseremo all’evoluzione del
parametro di Hubble, H(t). In questo caso si ottiene
ȧ
2
H≡ =
a
3
t −1/3
t0
.
t 2/3
t0
(3.79)
EmileGN
3.6. Tre soluzioni possibili grazie alle equazioni ottenute
6
27
H(t)
5
4
3
2
1
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 3.5: Il grafico mostra bene come il parametro H(t) che regola l’intensità dell’espansione tende
asintoticamente a zero e quindi possiamo assumere che per un tempo infinito l’espansione
dell’Universo è nulla.
Semplificando abbiamo
1/3 2/3
2 t0 t0
.
(3.80)
3 t1/3 t2/3
Ricordando che il punto T nel grafico della Figura 3.4 ci dice che a(t0 ) = a(1) = 1, possiamo
allora scrivere
2
H(t) = .
(3.81)
3t
Questo risultato ci dice che un Universo dominato dalla materia si espanderà per sempre, ma la
sua espansione sarà infinitamente lenta quando esso sarà infinitamente “vecchio”. Matematicamente infatti si ha
2
lim H(t) = lim
= 0.
(3.82)
t→∞
t→∞ 3t
Infatti a livello grafico la figura Figura 3.5 fa ben capire quello che si intende nell’equazione 3.82.
H(t) =
3.6.2
Un Universo dominato dalla radiazione
Per la radiazione l’equazione di stato è
p=
ρc2
3
(3.83)
dove ρ è la densità totale dell’Universo.
Quindi possiamo procedere analogamente al caso in cui è la materia a dominare, ma in questo
caso inseriamo il risultato dell’equazione 3.83 nell’equazione del fluido, ottenendo così
ȧ
ρ̇ + 4 ρ = 0.
a
(3.84)
In maniera del tutto analoga al caso della materia possiamo scrivere
1 d 4 =0
ρ(t)[a(t)]
a4 dt
(3.85)
da cui, dopo avere eliminato il termine a4 , si può ancora notare che
ρ(t)[a(t)]4 = cost.
(3.86)
EmileGN
28
Capitolo 3. Ricavare i parametri osservativi
Esiste quindi una proporzionalità analoga a quella per un “matter dominated Universe”, ossia
ρ∝
1
.
a4
(3.87)
Assumendo che la costante dell’equazione (3.86) sia sempre ρ0 (non esistono motivi per pensare
che possa essere altro) si ottiene
ρ0
ρ(t) = 4 .
(3.88)
a (t)
Questo risultato i permette di scrivere
ȧ2 =
8πGρ0 1
,
3 a2
(3.89)
da cui, sempre assumendo che valga la soluzione
q
t
a(t) =
,
t0
ricaviamo per il tempo generale (parte sinistra dell’equazione)
a(t) ∝ t2q−2
e per il tempo odierno
a(t) ∝
1
t−2q
.
(3.90)
(3.91)
Allora ricordando che per il tempo presente t0 vale a(t0 ) = 1 si ottiene l’equazione
1=
t2q−2
.
t−2q
(3.92)
Risolvendola otteniamo
t−2q = t2q−2
⇔ ln(t−2q ) = ln(t2q−2 )
⇔ −2q = 2q − 2
⇔ 2 = 4q,
da cui otteniamo
1
q= .
(3.93)
2
Allora per un Universo dominato dalla radiazione otteniamo, per la funzione fattore di scala, il
risultato
1/2
t
a(t) =
;
(3.94)
t0
che, come facilmente si può intuire, a livello grafico appare sotto forma di funzione radice, come
mostrato nella Figura 3.6 Mentre, basta inserirvi i valori ottenuti, l’equazione che regola la densità del Cosmo in funzione del tempo rimane del tutto invariata rispetto alla (3.78).
Dall’equazione (3.94) possiamo ricavare il parametro di Hubble per un Universo dominato dalla
radiazione procedendo come già fatto. Data la definizione
H(t) ≡
ȧ(t)
,
a(t)
EmileGN
3.6. Tre soluzioni possibili grazie alle equazioni ottenute
29
a(t)
5
4
3
2
T1
1
t
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−1
Figura 3.6: Il grafico per un “radiation dominated Universe” mostra come anche per la radiazione, dopo
un’iniziale forte espansione, il Cosmo tenda ad ingrandirsi all’infinito ma con un tasso sempre
meno incidente (si veda anche qui discorso a proposito di H(t)). Il punto T1 sta pure qui ad
indicare la valenza a(t0 ) = 1 = a(1).
è necessario ricavare ȧ(t), in questo caso dato da
1/2
t
da
d
1 t −1/2
=
=
.
dt
dt t0
2 t0
Allora
H(t) =
ossia
1
2
t −1/2
t0
,
t 1/2
t0
(3.95)
(3.96)
1/2 1/2
H(t) =
1 t0 t0
.
2 t1/2 t1/2
(3.97)
Ricordando che t0 = 1 si ottiene
1
2t
che a livello grafico è espresso come nella Figura 3.7
H(t) =
3.6.3
(3.98)
Cosmic mixture
Il titolo inglese di questa sottosezione va a sostituire il “miscela cosmica” che bisognerebbe esprimere in italiano e che, personalmente, trovo poco gradevole. Infatti una situazione logicamente
più ovvia è quella che vede l’Universo come una “soluzione” sia di radiazione che di materia.
Visto che per entrambe le costituenti abbiamo ottenuto due proporzionalità tra la densità ρ dell’Universo e la funzione fattore di scala possiamo scrivere la densità dell’Universo che è dominato
dalla radiazione ρrad e quella del Cosmo dominato dalla materia ρmat come
1
1
e ρmat ∝ 3 .
4
a
a
Visto che (per quel che si sa) l’Universo è appunto unico, è lecito pensare che se esso è costituito
esclusivamente da materia e radiazione valga
ρrad ∝
ρ = ρrad + ρmat .
(3.99)
EmileGN
30
Capitolo 3. Ricavare i parametri osservativi
6
H(t)
5
4
3
2
1
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 3.7: Anche in questo caso H(t) tende asintoticamente a zero e quindi per un tempo infinito
l’espansione risulterà ancora nulla.
A questo punto, avendo fatto queste considerazioni, si procede analizzando separatamente i due
elementi.
Per il primo caso, in cui è la radiazione a dominare, sappiamo che vale
a(t) ∝ t1/2 .
e che allora
1
1
1
e ρmat ∝ 3 ∝ 3/2 .
2
t
a
t
Nel secondo caso, dove è la materia a dominare la scena, per il fattore di scala vale
ρrad ∝
(3.100)
a(t) ∝ t2/3 ,
da cui possiamo concludere che
log ρ
ρmat ∝
1
1
1
e ρrad ∝ 4 ∝ 8/3 .
2
t
a
t
(3.101)
radiazione
materia
log(t)
Figura 3.8: In questa schematizzazione si può notare come in Universo misto di materia e radiazione
la prominenza di quest’ultima non possa durare in eterno, perché come abbiamo visto le
funzioni che descrivono la densità della radiazione in funzione del tempo decrescono sempre
più in fretta di quelle legate alla materia.
EmileGN
3.7. Sul parametro q0 di decelerazione
31
Aver trattato prima il caso in cui è la radiazione a dominare non è stata una scelta del
tutto casuale, infatti come si può notare nella Figura 3.8 anche quando si parla di “radiation
dominated Universe” in realtà la radiazione prevale sulla materia solo per un dato intervallo
di tempo, poiché tutte le funzioni che descrivono l’evoluzione della densità della radiazione (in
funzione del tempo) decrescono sempre più velocemente di quelle che descrivono l’evoluzione
della densità della materia.
3.7
Sul parametro q0 di decelerazione
Visto che la legge di Hubble ci ha mostrato come prima fondamentale conclusione che l’Universo
si sta espandendo, è legittimo chiedersi come avvenga questa espansione, poiché come sappiamo
H dipende dal tempo e quindi è sensato pensare che il tasso di espansione non sia sempre costante. Il parametro q0 si occupa appunto di descrivere il comportamento del tasso a cui siamo
interessati.
Per ricavare in maniera generale q0 possiamo esprimere il fattore di scala come la sviluppo di
Taylor di secondo ordine (approssimazione quadratica) della funzione a(t), che è espressa come
1
a(t) = a(t0 ) + ȧ(t0 )[t − t0 ] + ä(t0 )[t − t0 ]2 + ...
2
(3.102)
dove i tre puntini stanno a rappresentare un’eventuale approssimazione del terzo ordine.
Ora procediamo con dividere il tutto per a(t0 ), affinché il coefficiente di [t−t0 ] diventi il parametro
di Hubble al tempo odierno, ossi la costante H0
a(t)
1 ä(t0 )
= 1 + H0 [t − t0 ] +
[t − t0 ]2 + ...
a(t0 )
2 a(t0 )
(3.103)
Vito che l’approssimazione è quadratica (e ricordando le basi della meccanica newtoniana), il
termine
1 ä(t0 )
2 a(t )
0
è inevitabilmente legato al comportamento di a(t) nei confronti dell’accelerazione, e per questo
si pone
1 ä(t0 )
q0
= − H02
(3.104)
2 a(t0 )
2
per ottenere
a(t)
q0
= 1 + H0 [t − t0 ] − H02 [t − t0 ]2 + ...
a(t0 )
2
(3.105)
Questo risultato ci permette di scrivere
q0 = −
ä(t0 ) 1
a(t0 )ä(t0 )
=− 2
2
a(t0 ) H0
ȧ (t0 )
(3.106)
Il risultato più interessante, però, lo si ottiene inserendo q0 da 3.106 nell’equazione di accelerazione
3.59 e ricordando che
ρc =
3H02
8πG
EmileGN
32
Capitolo 3. Ricavare i parametri osservativi
è possibile trovare
q0 =
3
4πG
ρ0
3
8πGρc
(3.107)
q0 =
ρ0
2ρc
(3.108)
q0 =
Ω0
.
2
(3.109)
che è equivalente a
e che ci fa ottenere
3.8
La necessità di trovare nuove candele standard
Nel capitolo 2 abbiamo già visto l’importanza fondamentale di riconoscere nell’Universo degli
oggetti luminosi che possano fungere da candele standard e quindi essere in un certo senso degli
effettivi parametri osservativi. Con candela standard s’intende un oggetto per il quale è possibile
determinare la sua magnitudine assoluta, al fine di poterne ricavare la distanza.
Le cefeidi della Leavitt risultano non essere più utili in questo ruolo quando le distanze iniziano ad
essere nell’ordine delle centinaia di migliaia di Megaparsec, quindi per potere estendere l’utilizzo
di tutti i parametri ricavati in questo capitolo si presenta un effettiva necessità di nuovi indicatori
di distanza.
La risposta a questa necessità è stata trovata alla fine degli anni ’90, in seguito agli studi sulle
supernove di tipo Ia (vedi rappresentazione in Figura 3.9). Sarà proprio di questo che parleremo
nel prossimo capitolo.
Figura 3.9: L’immagine di copertina [19] è la rappresentazione artistica del processo d’innesco di distruzione di un sistema binario di stelle, un processo che porta il sistema allo stadio di SN
Ia.
EmileGN
Capitolo 4
Studio di sistemi binari di stelle
4.1
Introduzione
In tutto l’Universo almeno la metà delle “stelle” visibili sono in realtà sistemi multipli composti
da due o più corpi celesti che orbitano attorno al comune centro di massa. Generalmente, nella
maggior parte dei casi, in questi sistemi le stelle sono abbastanza lontane per nascere, evolversi e
morire in maniera del tutto indipendente, senza che gli effetti prodotti dall’una possano causare
reazioni evidenti nell’altra.
Tuttavia, nei sistemi composti da stelle più ravvicinate, ossia dove la distanza tra le due non
supera la lunghezza del diametro della maggiore, sono osservabili fenomeni di deformazione e di
trasferimento di massa da parte di una stella all’altra causati da forti interazioni gravitazionali.
In questo capitolo ci occuperemo di studiare nel dettaglio i motivi che portano queste stelle a
deformarsi e cominciare a traferire massa; questo ci permetterà così di capire meglio il funzionamento delle Supernove Ia che andremo pure ad analizzare nel dettaglio al fine di denotare
l’importanza fondamentale delle loro curve di luce.
4.2
Energia potenziale in un sistema binario ristretto
Sia Σ il sistema binario ristretto formato da due stelle aventi massa M1 rispettivamente M2 ed
avente centro di massa in C.
Sul piano x, y possiamo rappresentare il sistema (vedi Figura 4.1) con il centro di massa coincidente con l’origine e, graficamente (dalla medesima figura appena citata), riusciamo a ricavare
la velocità angolare ω di M1 e M2 , espressa come
ω = v1 /r1 = v2 /r2 .
(4.1)
Visto che il sistema di riferimento è in rotazione, possiamo osservare che su di un punto m
qualsiasi nell’orbita del sistema vengano a formarsi delle forze apparenti generate appunto dal
movimento rotativo del sistema. Queste forze vengono generalmente chiamate forze inerziali e
la più comune e più utile da studiare tra loro è la forza centrifuga, che nel nostro punto m è
caratterizzata dal vettore
~r
F~c = mω 2 r
.
(4.2)
k~rk
Tuttavia analizzare un sistema binario tramite le forze che lo reggono può risultare complicato, è infatti prediletta la via dell’analisi tramite l’energia potenziale. L’energia potenziale
gravitazionale è data da
Mm
pot
Egr
= −G
(4.3)
r
33
34
Capitolo 4. Studio di sistemi binari di stelle
y
m
s1
M1
s2
r
M2
r2
r1 θ
C
x
a
Figura 4.1: Ecco rappresentati i punti fondamentali che costituiscono un sistema di riferimento in
rotazione di un sistema binario ristretto.
ma visto che, come già detto, ci troviamo in un sistema di riferimento di coordinate in rotazione
è necessario tener conto anche di una fittizia energia potenziale centrifuga .
Sappiamo che, nel caso di una forza conservativa, la variazione energia potenziale è espressa da
Z
pot
∆E
= − F~ · d~x
(4.4)
e quindi l’energia potenziale associata alla forza centrifuga sarà data da
Z rf
∆E pot = −
Fc · dr
(4.5)
ri
che diventa
∆E
pot
=−
Z
rf
ri
1
mω 2 rdr = − mω 2 r2 ,
2
(4.6)
dove r2 = rf2 − ri2 .
Possiamo tranquillamente porre E pot = 0 per r = 0, così da esprimere
1
E pot = − mω 2 r2 .
2
(4.7)
Come è possibile dedurre facilmente dalla Figura 4.1 si ha
r1 + r2 = a
(4.8)
M1 r1 = M2 r2 .
(4.9)
e, dal teorema del centro di massa,
Quindi, ragruppando le equazioni (4.3) e (4.7), otteniamo che per un PM di massa m nell’orbita
del sistema Σ l’effettiva energia potenziale E pot è
1
M1 m M 2 m
pot
E
= −G
− mω 2 r2 .
(4.10)
+
2
s1
s2
Sapendo che l’effettivo potenziale gravitazionale Φ è dato da
Φ=
E pot
,
m
(4.11)
nel nostro caso otteniamo che
Φ=G
M1 M2
+
s1
s2
1
− ω2 r2 .
2
(4.12)
EmileGN
4.3. Punti di Lagrange e lobi di Roche
35
Volendo utilizzare un sistema di coordinate polari (r, θ) dobbiamo esprimere s1 , s2 e ω in funzione
dei parametri d’interesse.1
Guardando sempre la Figura 4.1, ed utilizzando il teorema del coseno (sui triangoli 4M1 mC e
4CmM2 ) esprimiamo s1 e s2 come
s21 = r1 + r2 + 2r1 r cos θ
(4.13)
s22 = r22 + r2 − 2r2 r cos θ.
(4.14)
e
A questo punto ci interessa esprimere ω 2 (r, θ) per appunto ottenere l’equazione (4.12) espressa
unicamente in funzione di (r, θ).
Dalle leggi della fisica sappiamo che esiste una relazione tra velocità angolare ω e periodo orbitale
T , la quale viene espressa come
4π 2
(4.15)
ω2 = 2 .
T
La Terza legge di Keplero ci dice che
T2
=K
(4.16)
a3
con
4π 2
K=
.
(4.17)
G(M + m)
Nel nostro caso M = M1 e m = M2 , quindi uguagliando le equazioni (4.16) e (4.17) si ottiene
4π 2
T2
=
,
a3
G(M1 + M2 )
(4.18)
che, cercando almeno un termine che appare nell’equazione (4.15), diventa
G
(M1 + M2 )
4π 2
=
.
a3
T2
Allora
ω2 =
G(M1 + M2 )
a3
dove a = r1 + r2 e quindi a3 = (r1 + r2 )3 .
Otteniamo allora che l’effettivo potenziale gravitazionale sarà
M1
M2
1
(M1 + M2 ) 2
p
p
+
Φ=−
− mG
r
2
2
2
2
2
(r1 + r2 )3
r1 + r + 2r1 cos θ
r2 + r − 2r2 r cos θ
(4.19)
(4.20)
(4.21)
dove tutti i parametri, esclusi r e θ, sono costanti e misurati.
4.3
Punti di Lagrange e lobi di Roche
L’equazione (4.21), che ci permette di determinare il potenziale gravitazionale in tutti i punti
considerati del sistema in funzione dei parametri r e θ, può essere rappresentata graficamente
(Figura 4.2) per ottenere, in corrispondenza di quelli che sono dei massimi della superficie generata dalla funzione a due variabili Φ, i cosiddetti punti di Lagrange che come vedremo hanno
un ruolo fondamentale per regolare il precario stato di equilibrio del sistema binario considerato.
Per una superficie Φ in R2 i punti M di massimo, escludendo eventuali punti di sella, sono
1
Le masse M1 e M2 sono considerate come delle costanti.
EmileGN
36
Capitolo 4. Studio di sistemi binari di stelle
Figura 4.2: La funzione Φ se rappresentata graficamente genera una superficie sulla quale possiamo
definire 5 punti di massimo detti punti di Lagrange L1 , L2 , L3 , L4 e L5 .
contraddistinti da
~
∇Φ(M
)=0
(4.22)
~
~
~
∇Φ(P
1 ) = ∇Φ(P2 ) = ... = ∇Φ(Pn ).
(4.23)
e quindi volendo riportare la situazione sul piano otterremmo, nel nostro caso, 5 “punti di livello”
che contraddistinguono le zone della funzione Φ in cui vale la condizione dell’equazione (4.22).
Così come per i punti di massimo sappiamo che per una superficie Φ si possono definire delle
curve di livello per tutti i punti P1 , P2 , ..., Pn per i quali vale
Nel nostro caso è utile definire delle curve di livello per la superficie Φ (più i 5 punti di Lagrange
noti) al fine di ottenere una figura come la Figura 4.3, nella quale sono rappresentati i lobi di
Roche, ossia due specifiche curve di livello che dipendono dalla massa delle stelle e che assumo
una caratteristica forma ad infinito (∞).
Praticamente i lobi di Roche definiscono per ogni stella che compone il sistema (nel nostro caso
due) un “dominio” gravitazionale, ossia una regione all’interno della quale la stella può deformarsi
e/o spostarsi senza andare ad influenzare in maniera percettibile la sua stella compagna, dunque
una qualsiasi particella all’interno del lobo di una delle due stelle considerate subirà prevalentemente l’influenza gravitazionale della stella che genera il sopraccitato lobo.
Per il punto L1 sappiamo che
~
∇Φ(L
1) = 0
(4.24)
Γ1 ∩ Γ2 = L1 .
(4.25)
e quindi possiamo dire che L1 (anche guardando la Figura 4.2) è un punto di massimo tra i
pozzi di potenziale gravitazionale che vengono generati in corrispondenza delle due stelle sulla
superficie Φ considerata.
Adesso definiamo Γ1 e Γ2 come le curve che descrivono i lobi di Roche delle stelle aventi
rispettivamente massa M1 e M2 ; dal grafico notiamo subito che
Allora possiamo dire che una particella che si trova esattamente in L1 sarà in perfetto equilibrio
poiché subirà la medesima intensità di forza attrattiva ma in due direzioni opposte. Questo ci
EmileGN
4.4. Flussi e dischi di accrescimento
37
Figura 4.3: Questa figura rappresenta, in grigio, quelli che sono i lobi di Roche per un sistema binario
avente M1 > M2 . Il fatto che l’intersezione dei lobi coincida con il punto L1 è di fondamentale
importanza poiché, come vederemo, il citato punto è determinate nell’innesco dei processi
di trasferimento di materia. [18]
suggerisce una conclusione fondamentale: il trasferimento di massa tra la stella M1 e la stella M2
avviene quando una delle due stelle supera con il suo raggio R la distanza tra il suo centro C e
il punto L1 , ossia quando
−−→
R > kL1 Ck.
(4.26)
4.4
Flussi e dischi di accrescimento
In questa sezione andremo a considerare ed analizzare il trasferimento di massa da uno all’altro
lobo di Roche in maniera decisamente più quantitativa. Per questo approfondiremo diversi concetti fondamentali riguardanti la precisa descrizione dei flussi di materia all’interno di un sistema
binario.
Visto che il trasferimento di massa è effettuato ad uno stato gassoso della materia, inizieremo la nostra analisi con l’equazione che meglio descrive la dinamica dei gas, ossia l’equazione
dei gas di Eulero.
Sia ~v il campo vettoriale definito da ~v (~x, t)2 , allora l’equazione dei gas di Eulero appare come
%
∂~v
~ v = ∇p
~ + f~,
+ %(~v · ∇)~
∂t
(4.27)
dove % è la densità del gas, p è il campo scalare di pressione e f~ è la densità della forza, che è
definita da
f~ = %~a.
(4.28)
In un sistema in moto circolare come quello da noi studiato possiamo esprimere l’equazione
(4.27) non più come dipendente dal campo di pressione p ma da un campo (sempre scalare) di
2
Questo fatto implica che viene studiata la velocità di un fluido in un dato punto dello spazio ad un dato
istante.
EmileGN
38
Capitolo 4. Studio di sistemi binari di stelle
potenziale gravitazionale Φ, ossia
∂~v
~ v = −∇Φ
~ + ~a
+ (~v · ∇)~
∂t
(4.29)
dove l’accelerazione ~a è quella che agisce su i gas che vengono trasferiti. Nel nostro caso ~a è
uguale a
~a = ~acor + ~agrad ,
(4.30)
dove ~acor è l’accelerazione generata dalla forza apparente (inerziale) di Coriolis che si genera on
la rotazione e che vale
F~cor = −2m(~
ω ∧ ~v ),
(4.31)
dove ω
~ è la velocità angolare di cui abbiamo già espresso precedentemente l’intensità.
Dalla Seconda Legge di Newton sappiamo che vale F~ = m~a, quindi otteniamo
~acor = −2(~
ω ∧ ~v ).
(4.32)
Il parametro ~agrad sta invece a rappresentare quell’accelerazione che viene generata dalla forza
di gradiente . Essa in generale è una forza che viene a formarsi in presenza di una differenza di
pressione attraverso una determinata superficie, nel nostro caso gassosa.
A livello matematico bisogna considerare il volume di un fluido con una densità %, un altezza dr
e una superficie dS. Allora è possibile esprimere la massa m del fluido all’interno di questo dato
volume come
m = % · dr · dS.
(4.33)
Ricordandoci che la pressione è definita come una data forza su una data superficie, possiamo
allora esprimere l’intensità della forza di gradiente per una data differenza di pressione dp come
Fgrad = dp · dS.
(4.34)
Sfruttando ancora la Seconda Legge e l’equazione (4.33) possiamo pure scrivere Fgrad come
Fgrad = m · agrad = % · dr · dS · agrad .
(4.35)
Eguagliamo queste due espressioni per la forza di gradiente
dp · dS = % · dr · dS · agrad .
(4.36)
È di fondamentale importanza ricordare che siamo in un sistema di riferimento in rotazione e
che quindi, visto che la forza di gradiente è da considerarsi non come una forza apparente ma
una forza reale, il segno di agrad va invertito. Otteniamo così che
agrad = −
1 dp
,
% dr
(4.37)
e considerando un campo di pressione P qualsiasi la relazione appare i forma vettoriale come
1~
~agrad = − ∇p.
%
(4.38)
Dunque possiamo finalmente esprimere ~a come
1~
~a = −2(~
ω ∧ ~v ) − ∇p,
%
(4.39)
EmileGN
4.5. Le Supernove Ia
39
ed ottenere quindi l’equazione (4.27) nella forma
∂~v
1~
~ − 2(~
+ (div~v )~v = −∇Φ
ω ∧ ~v ) − ∇p,
∂t
%
(4.40)
~
div~v = ~v · ∇.
(4.41)
dove
L’evoluzione di ~v rispetto a ~x è costante, allora otteniamo
div~v = 0.
(4.42)
Ora analizzeremo cosa succede all’equazione (4.40) se si osserva la situazione nel punto L1 . In
questo punto di Lagrange sappiamo che vale
~
∇Φ(L
1) = 0
e possiamo considerare che al momento dell’inizio del trasferimento esso giaccia su un isobara
(di gas) che esprime la pressione generata dalla stella sulla sua superficie esterna. Siccome la
pressione della stella p(r) sottosta alla proporzionalità
1
p(r) ∝ ,
r
(4.43)
dove r è la distanza dal nucleo stellare, p decresce all’aumentare dalla distanza dal nucleo
possiamo affermare che in superficie troveremo un minimo di pressione mp per cui vale
~
∇p(m
p) = 0
(4.44)
ed allora all’inizio del trasferimento in L1 varrà
~
∇p(L
1 ) = 0.
Questi risultati, assieme a quello dell’equazione (4.42), ci permettono di scrivere la (4.40) come
∂v
= −2(w
~ ∧ ~v ).
∂t
(4.45)
Dunque possiamo dedurre che dal momento in cui una stella andrà a riempire il suo lobo di
Roche il suo gas subirà esclusivamente l’accelerazione di Coriolis e la forza ad essa associata.
Come osservabile anche sulla Terra (generazione di correnti marine ed uragani) la forza apparente
di Coriolis genera dei movimenti di massa tipicamente rotatori, questo allora ci fa dedurre che
il gas della stella che oltrepasserà il limite L1 andrà, muovendosi in rotazione a causa appunto
della forza di Coriolis, a generare un disco di accrescimento attorno alla stella compagna che
costituisce il sistema binario considerato. Questo flusso, come vedremo, è alla base del definitivo
innesco dei processi che portano il sistema ad uno stadio di Supernova Ia.
4.5
4.5.1
Le Supernove Ia
Generazione e funzionamento
Come già precedentemente annunciato, un caso particolare di sistema binario ristretto di stelle
porta alla formazione di quelle che vengono chiamate Supernove Ia.
La nostra situazione di interesse è quella che vede coinvolto un sistema binario costituito da una
nana bianca (che è già passata dalla sequenza principale del diagramma HR) ed una stella che
possiamo considerare in un stadio evolutivo meno avanzato rispetto alla sua compagna.
EmileGN
40
Capitolo 4. Studio di sistemi binari di stelle
Figura 4.4: La figura mostra in maniera schematica ma completa i processi che portano una stella di
un sistema binario ristretto allo stadio di Supernova Ia [23].
Ad un certo punto anche quest’ultima stella avanzerà sul diagramma HR, diventando così una
gigante (o supergigante) rossa, in questo stadio essa andrà sicuramente a colmare il suo lobo di
Roche oltrepassando così il limite costituto dal punto L1 ed innescando i processi di trasferimento di materia verso la sua compagna, i quali, come abbiamo appena visto, porteranno pure alla
formazione di un disco di accrescimento attorno alla nana bianca.
Le nane bianche sono costituite essenzialmente di nuclei di carbonio ed ossigeno e sono generalmente contraddistinte da una temperatura superficiale ed una pressione interna elevatissime.
È importante notare che la pressione è generata dalla degenerazione degli elettroni e non dalla
temperatura del plasma.
In un sistema binario il disco di accrescimento che viene a generarsi attorno alla nana bianca fa
sì che la massa e la densità della stella aumentino, in maniera sempre più consistente. Quando
la massa stellare è sempre più vicina a limite di Chandrasekhar, che ricordiamo vale
MCh = 1,44M ,
(4.46)
la densità dei nuclei all’interno della stella diviene così elevata da far innescare i processi di
fusione nucleare del carbonio e dell’ossigeno. Tuttavia la degenerazione degli elettroni impedisce
alla stella di sopperire a questo aumento di energia essendo impossibilitata (a causa del “bagno”
di elettroni degeneri ) ad aumentare la propria superficie e/o volume così da poter far diminuire
la temperatura. Dunque questo blocco imposto dagli elettroni causa un rapidissimo (e drastico)
aumento della temperatura, che a sua volta genera, in meno di un secondo, reazioni che coinvolgono l’intero corpo stellare fino alla terribile e potentissima deflagrazione (come mostra la Figura
4.4).
La distruzione della nana bianca porta ad una liberazione nell’ambiente circostante all’intera
massa stellare di ferro e calcio con alcuni residui di carbonio ed ossigeno.
EmileGN
4.5. Le Supernove Ia
41
Figura 4.5: A sinistra è mostrata la curva di luce di un campione di Supernove Ia: si notano vari andamenti molto regolari: al diminuire della luminosità anche la durata del fenomeno diminuisce.
Questa dipendenza è facilmente parametrizzabile e permette di ottenere una stima precisa
della luminosità dal periodo ricavato dalla curva di luce. Una volta che si tiene conto di
questo, correggendo la luminosità in base al periodo (nonché correggendo, per estinzione,
l’interferenza generata dalla galassia ospite), si ottengono andamenti della luminosità dal
tempo validi per tutti gli oggetti di questa categoria e riportati nel pannello a destra.
4.5.2
Curve di luce e SN Ia impiegate come candele standard
La luminosità di queste particolari Supernove è precisamente definita e fa sì che le SN Ia possano
essere utilizzate come eccellenti indicatori di distanza, questo è dovuto al fatto che una massa
costante di gas (1, 44 M ) viene processata a livello nucleare e genera quindi la stessa quantità
di energia, che come intuibile dalla relazione di Stefan-Boltzmann (equazione 2.3) è direttamente
proporzionale alla luminosità.
La costanza dell’intensità luminosa di queste supernove è stato un criterio fondamentale per far sì
che esse siano state scelte come indicatori cosmologici di distanza, delle nuove candele standard .
Infatti come mostra la Figura 4.5 le SN Ia sono contraddistinte sempre da delle medesime curve
di luce, con delle minime differenze causate dall’interferenza generata dalla galassia nella quale
esse si trovano e dalla variazione luminosa generata da differenti periodi orbitali (a sinistra
nella sopraccitata figura); differenze che, però, possono essere corrette, eliminando il “disturbo”
generato dalla galassia, al fine di ottenere delle curve che nel tempo si comportano sempre nello
stesso identico modo (parte destra della figura).
La curva di destra (sempre nella 4.5) è un curva-tipo caratterizzata da un valore massimo della
luminosità (espresso sotto forma di magnitudine) ben determinato [9], che corrisponde a
H0
MIa, max ' −18,96 ± 0,06 + 5
,
(4.47)
75Kms−1 Mpc−1
il quale, ricordandosi che più la magnitudine è bassa più la luminosità è forte, è decisamente
alto (ricordiamoci che le Cefeidi della Leavitt e di Hubble oscillavano tra valori di magnitudine
compresi tra un minimo luminoso di 4,5 e un massimo di 3,5-3,8).
Inoltre le SN Ia risultano essere anche molto vantaggiose per almeno altri due motivi che andremo
ora ad elencare, infatti esse sono
a) come già ribadito prima, estremamente luminose (oltre ad avere una luminosità ben cifrata),
quasi quanto un’intera galassia;
b) puntiformi, il che rende la loro fotometria (osservazione e misurazione) facile anche quando
le immagini sono confuse e/o sfocate;
c) rapidamente variabili (come ben si vede dalle loro curve di luce), il che le rende abbastanza
facilmente identificabili tra milioni di miliardi di altre stelle che compaiono in fotografie di
campi estesi dell’Universo.
EmileGN
42
Capitolo 4. Studio di sistemi binari di stelle
Infatti, in generale, le strategie osservative per la loro identificazione prevedono di osservare ampi
campi di cielo in più bande ottiche con telescopi sensibili su una grande area, e ripetere le osservazioni con scadenza periodica (ad es. alcune settimane), quindi le Supernove sono identificate
confrontando (ossia differenziando) immagini prese a tempi diversi: “immagini differenza” nella
stessa banda producono un chiaro segnale nella posizione in cui sia nel frattempo comparsa una
Supernova. Si noti che nei campi di cielo investigati possono facilmente trovarsi molte migliaia,
o varie decine di migliaia di galassie, cosicché, anche se la probabilità dell’esplosione di una Supernova per galassia è bassa (alcuni eventi per secolo al più), quella nell’immagine complessiva
è relativamente elevata.
Tutto ciò dà alle Supernove Ia una caratteristica fondamentale: esse sono indicatori di distanza per un Universo incredibilmente lontano e questo fa sì che siano anche indicatori
all’interno di un Universo incredibilmente giovane rispetto ai giorni nostri, dunque sono di fondamentale importanza per comprendere qual’è l’effettiva evoluzione del Cosmo; domanda centrale
di questo lavoro e che troverà finalmente una risposta nel prossimo ed ultimo capitolo.
EmileGN
Capitolo 5
Deviazioni dalla legge di Hubble: la
risposta odierna
«Some say the world will end in fire;
Some say in ice...»
-Robert Frost, Fire and Ice, 1920-
5.1
Alcuni presupposti fondamentali
Per capire al meglio in contenuti di questo ultimo e decisivo capitolo è necessario porre alcune
fondamentali premesse che verranno poi elaborate nel dettaglio in seguito.
La nuova ed assoluta protagonista per questo capitolo (ma non solo) sarà la Costante Cosmologica, già introdotta da Einstein ma poi da lui stesso abbandonata; sostenuta, al fine di garantire un
Universo in espansione, solo da Georges Lemaître [25]. Essa andrà a costituire da sola un nuovo
termine all’interno delle due equazioni di Friedmann e tramite queste verrà legata al parametro
della densità del vuoto universale, che, non a caso, è espresso come ΩΛ .
Come sappiamo e come vedremo ancora più dettagliatamente, quest’ultimo parametro sarà fondamentale per rivelarci a quale tipo di espansione è soggetto il Cosmo, ma come anche sappiamo
bisogna anche ricavare Ωm ed Ωr . Tuttavia, già nella prossima sezione, dimostreremo come in
realtà l’apporto fornito dalla radiazione è del tutto trascurabile poiché dell’ordine di 10−5 . Mentre nella seconda sezione andremo a scoprire quale è l’importanza da attribuire alla materia, con
particolare interesse sul discorso inerente la nucleosintesi primordiale e le abbondanze da essa
generate (non si parlerà nel dettaglio di materia oscura).
Per completare l’analisi di questo lavoro andremo a dare una definizione relativistica e rigorosa
del redshift, visto che tramite esso potremo decifrare la velocità di recessione di oggetti molto
lontani sia nello spazio che nel tempo: ossia, nel nostro caso, le Supernove Ia.
5.2
La trascurabilità della radiazione
Dalla teoria del corpo nero, ossia di quel radiatore ideale che all’equilibrio assorbe ed emette
qualsiasi tipo di radiazione elettromagnetica da cui viene colpito, senza lasciar alcuna riflessione
di energia, è possibile descrivere la densità di energia ε (cioè l’energia per unità di volume) in un
intervallo di frequenza dν come
ε(ν)dν =
ν 3 dν
8πh
,
3
c exp(hν/kB T ) − 1
43
(5.1)
44
Capitolo 5. Deviazioni dalla legge di Hubble: la risposta odierna
dove h è la costante di Planck e kB è la costante di Boltzmann.
Dunque per ottenere l’effettiva densità dell’energia dei fotoni (o densità energetica della radiazione) è necessario integrare l’equazione (5.1) come segue: inizialmente poniamo
x=α
ν
T
e in seguito, sfruttando le proprietà degli integrali otteniamo
4 T4 Z ∞
8πkB
x3 dx
εr =
.
3
3
h c
ex − 1
0
(5.2)
(5.3)
Quest’ultima equazione ci permette di scrivere
εr =
dove ~ =
h
2π ,
4
π 2 kB
T 4,
15~3 c3
(5.4)
da cui, ponendo
4
π 2 kB
4σ
=
(5.5)
3
15~ c3
c
dove σ è la costante di Stefan-Boltzman, si ottiene la formula per la densità energetica della
radiazione espressa nella sua forma più semplice, ossia
α=
εr = αT 4 .
(5.6)
La temperatura di quest’ultima equazione è quella del CMB, poiché la radiazione cosmica di
fondo è un corpo nero perfetto a
T = 2,725 K.
(5.7)
Allora l’effettivo valore dell’equazione (5.6) sarà dato da
εr =
dove
Dunque
4σ
(2,725 K)4 ,
c
(5.8)
4 · 5,67 · 10−8 Wm−2 K−4
4σ
≈
= 7, 56 · 10−16 Jm−3 K−4 .
c
3 · 108 ms−1
(5.9)
εr = 7,56 · 10−16 Jm−3 K−4 · (2,725 K)4 ≈ 4,16 · 10−14 Jm−3 .
(5.10)
Visto che, dalla teoria della relatività, massa ed energia non sono che componenti di un’unica
grandezza fisica conservata (la massa-energia appunto), possiamo ricavare la densità della radiazione nella sua forma canonica dividendo il risultato dell’equazione (5.10) per c2 1 , otteniamo
dunque
4,16 · 10−14 Jm−3
ρr =
≈ 1,387 · 10−30 kg/m3 .
(5.11)
3 · 1016 m2 s−2
Allora ricaviamo Ωr come
Ωr =
ρr ∼ 1,387 · 10−30 kg/m3 ∼
=
= 4,75 · 10−5 ,
ρcr
9, 31 · 10−27 kg/m3
(5.12)
dimostrando così come la radiazione abbia un’influenza del tutto trascurabile su quelli che
possono essere gli eventuali comportamenti dell’Universo in espansione.
1
Calcolo che deriva dalla ben nota relazione E = mc2 .
EmileGN
5.3. Nucleosintesi, abbondanze e Ωm
45
Nucleosintesi, abbondanze e Ωm
5.3
L’abbondanza di elementi che costituiscono l’Universo oltre che avvalorare la tesi che all’origine
del Cosmo ci sia un Big Bang caldo, questo poiché la fusione nucleare stellare, nonostante sia
ovviamente un fenomeno molto diffuso nell’Universo, non ha potuto generare tutta la quantità
di deuterio (2 H = D), He3 , Li e He2 che è presente oggi; ci permette di ricavare l’importanza
della materia visibile (barionica) che oggi compone l’Universo.
Le abbondanze degli elementi sopraccitati sono probabilmente quelle già presenti nel gas primordiale dal quale si sono poi generate le prime stelle, dunque è alquanto probabile che i nuclei
di questi elementi leggeri abbiano trovato la loro origine nel processo chiamato nucleosintesi
primordiale.
Per dimostrare ciò, nella prossima sottosezione andremo ad analizzare il caso specifico del elio-4
(4 He), scelto come esempio vista la sua particolare stabilità atomica.
5.3.1
Elio-4, un elemento abbondante fin dal principio
Come abbiamo accennato sia quando si parlava di Cefeidi che di Supernove Ia, ma anche per una
comune base di conoscenza scientifica, sappiamo che i processi di fusione nucleare dell’idrogeno
che avvengono all’interno dei nuclei stellari hanno come conseguenza la produzione di notevoli
quantità di 4 He. Tuttavia, come già visto nell’introduzione di questa sezione, l’abbondanza di H4
osservabile oggi non è spiegabile unicamente con la “produzione stellare” ma necessita di un’ulteriore origine.
Assumendo che le particelle subatomiche essenziali alla generazione di nuclei di idrogeno (H)
ed elio-4 (4 He) siano protoni (p) e neutroni (n) è necessario notare almeno tre considerazioni
fondamentali:
• i protoni sono più leggeri dei neutroni, infatti, partendo dalla relazione fondamentale E =
mc2 si osserva che
mp c2 = 938,3 MeV,
(5.13)
mentre
mn c2 = 939,6 MeV;
(5.14)
• i neutroni liberi non sono particelle stabili, infatti essi decadono in protoni a seguito di un
tempo di dimezzamento t1/2 dalla durata considerevolmente lunga: t1/2,n = 614 s;
• esistono degli isotopi atomici molto stabili, come l’elio-4, dove i neutroni legati nel suo
nucleo non decadono con il tempo.
Inoltre, in un Universo con temperature dell’ordine di 1010 K come quello che viene generato da
un Big Bang caldo, si possono trovare protoni e neutroni ad alta energia ed in equilibrio termico
tra loro. Queste particelle libere, come anticipato, ad un dato istante si fondono fino a formare
nuclei di elementi leggeri.
A questo punto possiamo iniziare la nostra analisi al tempo precedente la formazione dei primi
nuclei, ma al momento in cui protoni e neutroni possono essere già considerate come particele non
relativistiche. Quando queste condizioni sono generalmente soddisfatte, le particelle subatomiche
sono in effettivo equilibrio termico e soddisfano la distribuzione di Maxwell-Boltzmann, dalla
quale il numero di densità delle particelle N (ossia il numero di particele in un dato volume) è
dato da
mc2
3/2
N ∝ m exp −
.
(5.15)
kB T
EmileGN
46
Capitolo 5. Deviazioni dalla legge di Hubble: la risposta odierna
Allora la densità relativa tra neutroni e protoni prima dei processi di formazione di nuclei leggeri
è
mn 3/2
Nn
(m − mp )c2
,
(5.16)
=
exp − n
mp
Np
kB T
il termine
mn
mp
3/2
'1
(5.17)
e quindi, dopo aver constatato che per questo ordine di temperature
kb T ' 0,8 MeV,
otteniamo che prima della formazione di nuclei di elio-4 vale
1,3 MeV
Nn
1
' exp −
' .
0,8 Mev
Np
5
(5.18)
(5.19)
La produzione di elementi leggeri avviene a seguito di una serie di reazioni a catena che sono
caratterizzate da una certa complessità. Tuttavia esiste un forma abbreviata di queste reazioni
che impiegheremo al fine di dare un visione di insieme di ciò che avviene; si ha la reazione di
base
p + n −→ D
(5.20)
dalla quale si generano
D + p −→3 He
(5.21)
D + D −→4 He,
(5.22)
e
dove D e He stanno a rappresentare i nuclei di deuterio e quelli di elio.
Visto che i risultati forniti del CMB ci mostrano come la temperatura del Cosmo sia calata
all’aumentare del tempo, si può esprimere per il tempo iniziale della nucleosintesi si abbia una
temperatura che sia proporzionale ad un energia di 0, 1MeV. Tuttavia l’intervallo di tempo
necessario affinché si osservi la comparsa dei primi nuclei di elio-4 è sufficientemente grande
affinché parte dei neutroni decada non andando più a legarsi con i protoni. La funzione che lega
con una migliore approssimazione la temperatura dell’Universo al tempo è generalmente data da
1/2
kB T
1
'
(5.23)
2[MeV]
t
allora sapendo che per la nucleosintesi kB T ' 0,1MeV otteniamo che la primordiale formazione
di nuclei leggeri avviene, approssimativamente, a
1s
' 400s = tnuc .
(0,1MeV/2MeV)2
(5.24)
Il decadimento dei neutroni fa si che avvenga un calo delle particelle in funzione del tempo di un
fattore
− ln(2)t
exp
t1/2,n
e quindi, con t = t1/2,n = 614s, otteniamo che a seguito del processo di nucleosintesi, entro il
quale non è trascurabile il decadimento dei neutroni, la densità relativa tra neutroni è data da
Nn
1
1
ln(2)400s
' exp −
' .
(5.25)
Np
5
8
614s
EmileGN
5.3. Nucleosintesi, abbondanze e Ωm
47
Figura 5.1: L’abbondanza relativa (rispetto all’idrogeno) degli elementi leggeri generati dalla nucleosintesi dipende dalla densità della materia (relativa al numero di fotoni) e dalla densità
barionica assoluta Ωb h2 (dove h = 0,72 è un’altra espressione della costante di Hubble).
I risultati della missione WMAP (linea rossa verticale) ci danno un’idea di quella che è
l’effettiva densità della materia barionica e l’importanza del valore Ωb ad essa associato.
Bisogna precisare che la nostra analisi si concentra particolarmente sui nuclei di elio-4 poiché
essi, oltre ad essere particolarmente stabili, sono quelli prodotti in maggiore abbondanza (come
mostra la Figura 5.1) assieme ai nuclei d’idrogeno, che ricordiamo sono costituiti esclusivamente
da un protone mentre quelli di 4 He sono composti da due neutroni e due protoni.
A questo punto possiamo trovare un buon risultato per il valore relativo dell’abbondanza di
elio-4, espresso come frazione di massa e non di numero di densità, partendo appunto dalla
considerazione sul numero di neutroni che costituiscono il nucleo di un atomo di He. Infatti,
visto che per ogni nucleo di He abbiamo due neutroni, il numero di densità di particelle di elio-4
sarà
1
NHe = Nn
(5.26)
2
ed allora la percentuale di massa di 4 He (ricordando che il suo nucleo pesa circa come 4 protoni),
espressa da Y4 , è data da
Y4 ≡
2Nn
2
2
=
= ≈ 0,22.
Nn + Np
1 + Np /Nn
9
(5.27)
Quest’ultimo risultato ci indica chiaramente che il 22% della materia dell’Universo è nella forma
di elio-4 e che quasi la totalità di questo elemento è stata prodotta con la nucleosintesi.
La teoria del Big Bang caldo, tramite la quale abbiamo ricavato l’importanza dell’elio-4, è
EmileGN
48
Capitolo 5. Deviazioni dalla legge di Hubble: la risposta odierna
diventata quasi inconfutabile poiché riscontra un’incredibile affinità con i risultati ottenuti al
seguito delle osservazioni e delle esperienze eseguite. Nella Figura 5.1 possiamo notare come
come i risultati della missione WMAP vadano a definire una precisa linea verticale su quello
che è l’effettivo valore della densità della materia barionica, ossia quella materia (come visto nel
capitolo 1) formatasi a seguito della bariogenesi (o nucleosintesi), associabile al parametro Ωb .
Dalle osservazioni risulta che
0,016 < Ωb h2 < 0,024
(5.28)
e quindi considerando un valore medio all’interno di questo intervallo otteniamo
Ωb ' 0,039,
(5.29)
da dove possiamo concludere che se il Cosmo fosse realmente piatto come ipotizzato (ossia Ω = 1)
l’importanza, o meglio, il contributo energetico della materia visibile sarebbe quasi ininfluente
per determinare l’evoluzione che segue l’Universo.
5.3.2
La materia oscura
Come accennato nell’introduzione di questa sezione non andremo ad analizzare nei dettagli la
materia oscura, poiché di essa conosciamo poco e poiché a noi servirà unicamente conoscere il
suo contributo a Ωm al fine di stabilire il valore di questo parametro.
L’esistenza della materia oscura è stata ipotizzata al seguito di alcune osservazioni le quali hanno
messo in evidenza effetti di lente gravitazionale, ossia si è osservato che la luce emanata dalle
galassie viene curvata di più di quello che ci si potrebbe aspettare se l’unica materia esistente
fosse quella visibile. Cosa sia realmente questa materia dotata di massa e che interagisce gravitazionalmente con la radiazione non è ancora dato a sapersi.
Oggigiorno esistono dei “canditati” validi per spiegare, o almeno intuire, cosa possa essere la
materia oscura. Essi sono chiamati MACHOs (MAssive Compact Halo Object) e sono da considerarsi come degli oggetti con massa non troppo diversa da quella stellare ma con costituiti da
materia non barionica. La loro vera natura, però, è ancora misteriosa e non esiste nessun modello
che possa spiegarne il comportamento.
Gli studi e le osservazioni sui MACHOs e i risultati già ottenuti sulle abbondanze attribuiscono
alla materia un valore
Ωm ' 0,3,
(5.30)
che ogni caso ci rende attenti al fatto che se l’Universo fosse piatto, non sarebbe sicuramente
dominato dalla materia. Questo ci conduce all’introduzione di un nuovo parametro, che tenga in
considerazione quello che non c’è: il vuoto.
5.4
5.4.1
La costante cosmologica Λ
Introdurre Λ
Il primo a parlare di costante cosmologica fu Albert Einstein, il quale credendo che l’Universo
fosse statico trovò necessario introdurre un parametro che bloccasse qualsiasi tipo di spinta (sia
all’espansione che alla compressione), visto che la sua stessa teoria della relatività non permetteva al Cosmo di essere immobile. Tuttavia dopo aver cambiato le due equazioni di Friedmann,
introducendo un termine extra che vedremo fra poco, Einstein definì l’introduzione della costante
cosmologica come “the greatest blunder of my life” (l’errore più grande della mia vita) poiché a
seguito delle scoperte di Hubble era ovvio che l’Universo non potesse essere statico.
La costante Λ appare nella prima equazione di Friedmann come un termine supplementare, dato
da
8πG
Λ
k
H2 =
ρ− 2 + .
(5.31)
3
a
3
EmileGN
5.4. La costante cosmologica Λ
49
Inizialmente Λ poteva assumere valori positivi e/o negativi, anche se il caso positivo era considerato come più probabile. Infatti partendo dall’equazione (5.31), l’equazione d’accelerazione (o
seconda equazione di Friedmann) è data da
ä
4πG
Λ
3p
=−
(5.32)
ρ+ 2 +
a
3
3
c
e ci fa notare che una costante cosmologica positiva dà un contributo positivo a ä e quindi una
forza repulsiva (spinta all’espansione).
Come abbiamo già visto a partire dal primo capitolo i parametri Ωi , dove i = m, r, si definiscono
come
ρi
Ωi =
,
(5.33)
ρcr
dove, come ben sappiamo, ρcr è la densità critica. Nel 1934, Lemaître [25] ha supposto ed appurato
che Λ poteva e può tutt’ora essere considerato come il contributo della densità di energia legato
al vuoto e quindi far sì che anche per il vuoto si possa esprimere una data densità, definita da
ρΛ =
Λ
.
8πG
Allora rifacendoci direttamente all’equazione (5.33) ma introducendo Λ otteniamo
−1
Λ
3H 2
ΩΛ =
8πG 8πG
(5.34)
(5.35)
che equivale a
Λ 8πG
Λ
=
.
(5.36)
2
8πG 3H
3H 2
Di conseguenza notiamo che sebbene Λ sia costante ΩΛ non lo è, poiché come abbiamo già visto
H dipende dal tempo.
Ora procederemo analogamente rispetto alle operazioni che ci hanno portato all’equazione (3.38).
Sapendo, dalla (5.31), che
ΩΛ =
H2 =
8πG
k
Λ
ρ− 2 +
3
a
3
di cui conosciamo ρ, infatti
ρ = Ωρcr = Ω
3H 3
,
8πG
(5.37)
e Λ, poiché dall’equazione (5.36) si deduce che
Λ = ΩΛ 3H 2 ;
(5.38)
possiamo quindi scrivere l’equazione di Friedmann ((5.31)) come
H2 =
8πG 3H 2
k
ΩΛ 3H 2
Ω
− 2+
.
3
8πG a
3
(5.39)
Semplificando i termini di quest’ultima uguaglianza otteniamo
H 2 = ΩH 2 −
ed a questo punto giriamo i termini
al fine di avere
k
a2
k
+ ΩΛ H 2
a2
(5.40)
e H 2 , mettendo poi in evidenza quest’ultimo parametro
k
= H 2 (Ω − ΩΛ − 1),
a2
(5.41)
EmileGN
50
Capitolo 5. Deviazioni dalla legge di Hubble: la risposta odierna
ossia
k
.
(5.42)
H 2 a2
Da questa considerazione si nota, o meglio, si deduce una relazione fondamentale già vista nel
primo capitolo, che però andremo ad interpretare i una maniera leggermente diversa: consideriamo Ω = Ωm e l’apporto della radiazione trascurabile (abbiamo infatti visto Ωr ∼ 10−5 ), possiamo
cosi presupporre, partendo dall’equazione (5.42) che per un Universo piatto, con k = 0, valga
Ω + ΩΛ − 1 =
Ωm + ΩΛ = 1
(5.43)
e viceversa, ossia se la condizione soprastante è valida, il Cosmo è piatto. Questo risultato è
fondamentale poiché una volta ricavati i due parametri Ωm e ΩΛ potremmo, ovviamente, stabilire
se il nostro Universo è effettivamente piatto e quale tipo di espansione esso stia seguendo, come
già ribadito più volte e come mostrato più nel dettaglio nella successiva sottosezione.
5.4.2
Modelli cosmologici con Λ
L’introduzione, o meglio, la reintroduzione della costante cosmologica ha obbligato gli scienziati
a rivedere alcune questioni a proposito dei possibili comportamenti dell’Universo in espansione. Ad esempio si è notato che se ΩΛ > 1 si osserverebbe uno scenario privo di Big Bang, che
all’eventuale aumento dell’importanza di Λ vedrebbe il Cosmo diventare sempre una migliore
approssimazione di quell’Universo statico ipotizzato e poi abbandonato da Einstein.
Finora per descrivere i modelli evolutivi dell’Universo ci siamo affidati esclusivamente al fattore
di scala, tuttavia, come accennato appena sopra, il ritorno in auge della costante Λ e del parametro annesso ha permesso ai cosmologi di individuare nuovi tipi di evoluzione (o comunque di
rielaborare quelli vecchi) e di sintetizzare il tutto su un grafico ΩΛ (Ωm ) il quale viene chiamato
diagramma fondamentale della cosmologia moderna, che qui è rappresentato nella Figura
5.2 e nel quale i vari modelli evolutivi del Cosmo dipendono esclusivamente dal valore di ΩΛ e
Ωm .
Inoltre introducendo la costante Λ è necessario modificare l’equazione che descrive il parametro
q0 di decelerazione. Come abbiamo visto esso in generale è descritto da
q0 = −
ä 1
.
a H2
(5.44)
Sapendo che, dopo aver introdotto la costante cosmologica, l’equazione di accelerazione (5.32)
diventa
ä
4πG
Λ
3p
=−
ρ+ 2 +
a
3
3
c
e che l’isotropia impone un Universo senza pareti (p = 0) e quindi
3p
= 0,
c2
otteniamo
4πG Λ
q0 =
−
3
3
Dalla definizione di densità critica sappiamo che
q0 =
1
.
H2
(5.46)
ρcr 8πG
3
(5.47)
4πGρ
3
Λ
−
.
3 ρcr 8πG ρcr 8πG
(5.48)
H2 =
e allora si ha
(5.45)
EmileGN
5.5. Propagazione della luce e redshift
51
3
Nessun
Big Bang
2
e
zion
e
ion
raz
e
l
e
c
ΩΛ
ra
cele
Ac
1
De
rpetua
Espansione pe
Collasso
0
A
o
u s to
r
pe
hi
C
−1
0
1
Ωm
2
3
Figura 5.2: I differenti modelli di evoluzione dell’Universo possono tutti essere ritrovati in questo grafico. Tutto è basato sul rapporto tra l’importanza della materia, e quella della costante
cosmologica, qui rappresentata da ΩΛ .
dove, vista la trascurabilità della radiazione
3
Ωm
4πGρ
=
.
3 ρcr 8πG
2
(5.49)
Dunque, sfruttando (5.47),
Ωm
Λ
−
2
3H 2
e quindi, impiegando l’equazione (5.36), si ricava (ponendo ΩΛ = ΩΛ,0 ) che
q0 =
q0 =
5.5
Ωm
− ΩΛ .
2
(5.50)
(5.51)
Propagazione della luce e redshift
Nella sezione 2.4, dedicata a Vesto Slipher, abbiamo presentato il redshift in maniera intuitiva e
completamente descrittiva, al fine di comprendere facilmente i discorsi inerenti Hubble e le sue
scoperte. In questo paragrafo invece ricaveremo z seguendo una precisa e rigorosa interpretazione
relativistica.
In relatività generale la metrica dello spazio-tempo, ds, è definita da quella che viene chiamata
metrica di Friedmann-Robertson-Walker (o semplicemente FRW) ed appare come
dr2
2
2
2
2
2
2
ds = −c dt + a (t)
(5.52)
+ r (dθ + sin θdφ) .
1 − kr2
Siccome il fenomeno del redshift è legato alla propagazione della luce e visto che in relatività per
due eventi legati da un raggio di luce (in questo caso l’evento che avviene al tempo di emissione
EmileGN
52
Capitolo 5. Deviazioni dalla legge di Hubble: la risposta odierna
te e quello di ricezione tr ) vale
ds = 0
(5.53)
possiamo affermare che un fascio luminoso non percorre nessuna distanza all’interno spaziotemporale. Per semplicità possiamo considerare che il raggio di luce in questione si propaghi
radialmente da r = 0 a r = r0 facendo sì che non ci siano variazioni angolari, ossia
dθ = dφ = 0.
(5.54)
Questa osservazione è di considerevole importanza poiché ci permette di semplificare parecchio
l’equazione (5.52). Infatti otteniamo, tramite (5.54) e con ds = 0, che
dr2
2 2
2
,
(5.55)
0 = −c dt + a (t)
1 − kr2
ossia
c2 dt2
dr2
=
a2 (t)
1 − kr2
e che equivale a
(5.56)
cdt
dr
.
(5.57)
=√
a(t)
1 − kr2
A questo punto, per ricavare il tempo totale che serve al raggio per raggiungere r = r0 partendo
da r = 02 , possiamo semplicemente integrare quest’ultima equazione, ottenendo così
Z tr
Z r0
cdt
dr
√
=
.
(5.58)
1 − kr2
te a(t)
0
Ora consideriamo un ulteriore raggio emesso dopo un intervallo infinitesimale di tempo dte rispetto a te , che, considerando trascurabile il movimento delle galassie, verrà rilevato dopo un
intervallo (delle medesime proporzioni) dtr rispetto a tr (come mostra la Figura 5.3). Otteniamo
allora un’equazione (5.58) espressa come
Z tr +dtr
Z r0
cdt
dr
√
=
.
(5.59)
1 − kr2
te +dte a(t)
0
Visto che i termini a destra delle equazioni 5.58 e 5.59 sono identici, otteniamo l’uguaglianza
Z tr
Z tr +dtr
cdt
cdt
=
.
(5.60)
te a(t)
te +dte a(t)
Ricordandoci che gli integrali sono associabili a delle aree sotto un curva possiamo dedurre dalle
ultime tre equazioni e dalla Figura 5.3 che
A + Ae = A + Ar ⇒ Ae = Ar .
Sfruttando sempre la definizione di integrale abbiamo
Z te +dte
Z tr +dtr
cdt
cdt
Ae =
e Ar =
a(t)
a(t)
te
tr
(5.61)
(5.62)
e quindi
Z
te +dte
te
2
cdt
=
a(t)
Z
tr +dtr
tr
cdt
.
a(t)
(5.63)
Ossia si va a cercare quale sia l’intervallo tra il tempo di emissione te e quello di ricezione tr
EmileGN
5.6. Un nuovo diagramma di Hubble
53
c
a(t)
Ae
te dte
A
Ar
tr dtr
t
c
mostra come il redshift possa essere dedotto, o meglio come si
a(t)
possano dedurre gli intervalli sui quali bisogna integrare (5.57) al fine di proseguire con i
calcoli che portano ad ottenere z.
Figura 5.3: Un semplice grafico
Visto ce le fasce (sempre dalla Figura 5.3) aventi aree Ae e Ar sono da considerarsi infinitamente
strette, possiamo approssimarle a dei rettangoli di larghezza dte rispettivamente dtr e dunque
ridurre gli integrali della (5.63) a semplice espressioni base per altezza. Si ottiene
c
c
Ae =
dte e Ar =
dtr ,
(5.64)
a(te )
a(tr )
da cui ricaviamo
c
dte
dtr
c
dte =
dtr ⇔
=
.
(5.65)
a(te )
a(tr )
a(te )
a(tr )
Ora consideriamo che i due raggi finora non siano effettivamente due raggi diversi ma bensì due
lunghezze diverse della medesima onda. Siccome la lunghezza d’onda è proporzionale al tempo
tra una cresta e l’altra, ossia possiamo scrivere
λ ∝ dt ∝ a(t)
(5.66)
λr
a(tr )
=
λe
a(te )
(5.67)
e questo ci permette di scrivere
da dove, ricordandoci di come z è espresso nel capitolo 2 (equazione 2.4), ed identificando il
tempo tr = t0 , otteniamo
a(t0 )
≡ 1 + z.
(5.68)
a(te )
5.6
Un nuovo diagramma di Hubble
Al termine del secondo capitolo abbiamo espresso un diagramma di Hubble nella forma v(m),
con la velocità espressa in scala logaritmica e dove m, la magnitudine apparente delle galassie
osservate dallo scienziato, sta a rappresentare la distanza alla quale vengono posizionati, rispetto
alla terra, i corpi celesti considerati.
L’obbiettivo di questa sezione è quello di costruire un nuovo diagramma che mostra il comportamento del Cosmo rispetto all’espansione (ossia si verificherà se essa è accelerata o rallentata),
che includa anche l’analisi per un Universo molto lontano, sia nello spazio che nel tempo; cosa
che Hubble non poté dimostrare a causa di ovvie carenze tecnologiche.
Prima di elaborare il nuovo diagramma di Hubble però occorre discutere tre casi, partendo dalla
relazione distanza- magnitudine apparente e quella velocità di regressione-redshift, che andremo
ora ad elencare:
EmileGN
54
Capitolo 5. Deviazioni dalla legge di Hubble: la risposta odierna
• Caso 1: se l’espansione nel passato (o in un Universo molto lontano) fosse identica a quella
odierna, per una distanza d fissata la velocità di recessione vr sarebbe la stessa;
• Caso 2: se l’espansione nel passato fosse stata più rapida, per una distanza d fissata
la velocità di recessione vr sarebbe maggiore e quindi si osserverebbe una decelerazione
dell’Universo;
• Caso 3: se l’espansione nel passato fosse stata più lenta, per una distanza d fissata la velocità di recessione vr sarebbe minore e quindi si osserverebbe un’accelerazione dell’Universo.
Tuttavia misurare le distanze nell’Universo non è mai risultato così semplice, poiché esse sono
strettamente legate alla luminosità degli oggetti che si stanno osservando.
Nel 1995 Saul Perlmutter ed Ariel Goobar [9] introducono il concetto e, soprattutto, la derivazione
matematica di quella che viene chiamata distanza luminosa, indicata da DL ed essenziale per
determinare la magnitudine bolometrica (o apparente) mb , che come sappiamo sta alla base della
costruzione dei diagrammi di Hubble. La grande, ed essenziale scoperta dei due scienziati è stata
quella di esprimere la funzione DL come una funzione a tre variabili data da
DL = DL (z, Ωm , ΩΛ )
(5.69)
cosi da far dipendere la magnitudine mb , da loro espressa come3
mb = M + 5 log[DL (z, Ωm , ΩΛ )] + K + 25
(5.70)
esclusivamente dai parametri di densità, dal redshift (che è misurato), dalla magnitudine assoluta
dell’oggetto (il quale, non a caso, sarà una Supernova Ia) e dalla costante di correzione K, la
quale viene ricavata dai possibili errori generati con la fotometria degli oggetti considerati visto
che i fotoni vengono emanati e ricevuti a lunghezze d’onda diverse.
L’espressione matematica e rigorosa di DL è data da
Z z
p
(1 + z)
0 2
0
0
0
1/2
0
p S
|κ|
[(1 + z ) (1 + Ωm z ) − z (2 + z )ΩΛ ] dz
DL (z, Ωm , ΩΛ ) =
(5.71)
H0 |κ|
0
dove per Ωm + ΩΛ < 1 abbiamo S(x) = sin(x) e κ = 1 − Ωm − ΩΛ , per Ωm + ΩΛ > 1 si ha
S(x) = sinh(x) e κ come per il primo caso; infine quando Ωm + ΩΛ = 1 otteniamo S(x) = x e
κ = 1.
Siccome per l’ipotesi che abbiamo più volte formulato, ossia quella che prevede un Universo
piatto, vale l’ultima condizione, possiamo esprimere l’equazione 5.71 come
Z
(1 + z) z
dz 0
p
DL (z, Ωm , ΩΛ ) =
.
(5.72)
H0
Ωm (1 + z 0 )3 + ΩΛ
0
Questo è da considerarsi l’ultimo importante risultato, dopo i parametri Ω ed il redshift, al fine
di tracciare un nuovo fondamentale diagramma di Hubble che dipenda non più solamente
dalla velocità di recessione la quale, come abbiamo visto, è valida solamente per distanze relativamente piccole rispetto alla grandezza del Cosmo, ma bensì si ha un grafico valido anche
se applicato per un passato molto remoto o ad una distanza molto grande. Infatti inserendo i
risultati della (5.72) nell’equazione 5.70 otteniamo un grafico mb (z) dove i vari andamenti sono
determinati pure da dei valori fissati di Ωm e ΩΛ , come bene mostra la Figura 5.4.
L’essere arrivati a questo nuovo grafico ci fa notare come per le grandi distanze nell’Universo
si possano osservare delle deviazioni della legge di Hubble, le quali vengono esplicitate più
chiaramente nella Figura 5.5, ma come interpretarle?
EmileGN
5.6. Un nuovo diagramma di Hubble
55
magnitudine apparente mb
24
22
20
(Ωm ; ΩΛ ) = (0; 1)
18
(Ωm ; ΩΛ ) = (0, 5; 0, 5)
(Ωm ; ΩΛ ) = (1; 0)
16
14
0, 0
(Ωm ; ΩΛ ) = (1, 5; 0, 50)
0, 2
0, 4
0, 6
0, 8
1, 0
redshift z
Modulo della distanza
Figura 5.4: Innanzitutto notiamo che questo grafico, rispetto al diagramma di Hubble “originale”, presenta la velocità di recessione sotto forma di redshift alle ascisse e non alle ordinate, così
come pure la distanza, espressa come magnitudine apparente, è passata dall’asse orizzontale
a quello verticale. Il fatto che il grafico esista per valori di redshift così alti (fino a 1 ma
anche oltre) mostra bene il fatto di come esso possa essere usato per oggetti con una grande
velocità di recessione e quindi molto distanti.
Tuttavia non possiamo vedere questo nuovo diagramma di Hubble come un’analogia diretta
con il suo predecessore, poiché il grafico è condizionato con una certa importanza sia da Ωm
che da ΩΛ .
standard
deviazione
Velocità di recessione
Figura 5.5: Questo grafico, seppur qualitativo, è molto utile per comprendere il significato di una deviazione dalla legge di Hubble. Infatti possiamo notare che per velocità di recessioni alte
(dunque redshift elevati), la distanza non aumenta più in maniera lineare. Questo significherebbe che l’espansione dell’Universo nel passato fosse più lenta di quella odierna (la
velocità di recessione alta sta a significare un passato distante) e quindi si è osserverebbe
un’accelerazione del tasso di espansione del Cosmo.
A rispondere a questa domanda hanno pensato le Supernove Ia. Infatti, come spiegato nel capitolo 4, esse vengono considerate indicatori di distanza per un Universo molto remoto e, a seguito
dei lavori dei gruppi Supernova Cosmology Project (condotto da Saul Perlmutter), High-Z Supernovae Search Team (condotto da Brian Schmidt, vincitore con Perlmutter ed Adam Riess del
3
Questa considerazione è importante perché differenzia la magnitudine che era in grado di ricavare Hubble
tramite (2.2) da quella ricavata da Perlmutter ed il suo team.
EmileGN
56
Capitolo 5. Deviazioni dalla legge di Hubble: la risposta odierna
Figura 5.6: La gran parte delle Supernove osservate e descritte va, nel limite dell’errore sperimentale, a
posizionarsi su una linea descritta da due valori determinati dei parametri di densità; ossia
Ωm ' 0,28 e ΩΛ ' 0,72.
Premio Nobel per la fisica nel 2011) e il Calan/Tololo Supernova Survey (che è un osservatorio),
si è potuto constatare che esse vanno ad occupare una fascia ben precisa sul nuovo diagramma di
Hubble; questo poiché esse sono candele standard, avente magnitudine assoluta ben determinata,
H0
MIa, max ' −18,96 ± 0,06 + 5
75 Km s−1 Mpc−1
e quindi, a seguito di osservazioni fotometriche precise per ricavarne il redshift, sono abbastanza
facilmente tracciabili sul grafico ricavato poc’anzi. La posizione delle Supernove Ia studiate dai
gruppi appena citati è qui rappresentata nella Figura 5.6 e va a descrivere una linea, nel limite
dell’errore sperimentale, caratterizzata dai valori
Ωm ' 0,28 e ΩΛ ' 0,72.
(5.73)
Ed ecco che finalmente possiamo stabilire quale sia la concreta evoluzione dell’Universo oggi.
Inserendo i valori espressi qui sopra nell’equazione (5.51), che sono in pieno accordo con i risultati
della (5.30), otteniamo
0,28
q0 =
− 0,72 = −0,58.
(5.74)
2
Un parametro di decelerazione negativo sta a rappresentare, ovviamente, un’accelerazione; allora, forti anche della considerazione fatta alla fine del secondo capitolo, possiamo concludere che
l’Universo oggi si sta espandendo e questa espansione avviene in maniera accelerata.
Inoltre i valori risultanti dallo studio delle Supernove Ia che appaiono in (5.73) confermano i
risultati dell’equazione (5.43) e quindi confermano anche il fatto che l’Universo abbia una curvatura nulla, con k = 0, rafforzando così tutti i risultati costruiti sull’ipotesi che il Cosmo sia
piatto.
Dunque diventa interessante esprimere la funzione fattore di scala per un Universo che stia seguendo il tipo di espansione alla quale siamo giunti come conclusione, ossia accelerata, al fine
EmileGN
5.6. Un nuovo diagramma di Hubble
57
Figura 5.7: Il grafico mostra bene come all’aumento del valore della costante di Hubble (quindi per
velocità di regressione e distanze sempre più grandi, sia nello spazio che nel tempo) il valore
della funzione fattore di scala (regolata dal suo valore odierno a0 ) aumenti con un’incidenza
quadratica e non più lineare.
di intuire anche quale sarà il comportamento in futuro del Cosmo e per notare quanto questa
accelerazione sarà incidente. Ovviamente il discorso è principalmente qualitativo poiché noi non
disponiamo nemmeno dei dati del futuro prossimo, è quindi impensabile prevedere come sia
il comportamento dell’Universo per un futuro molto più remoto; tuttavia la Figura5.7 mostra
appunto qualitativamente quale sia il probabile comportamento di a(t) per distanze, sia nello
spazio, sia nel tempo, sempre più elevate, che graficamente (per comodità matematica) sono
regolate dall’evoluzione temporale della costante di Hubble H0 , o semplicemente da H(t).
Inoltre è considerevole notare che nel limite di distanze relativamente piccole, il “nuovo” grafico
di a(t) dia sempre e comunque ragione alla geniale intuizione di Hubble; infatti in questo limite
il Cosmo si espande in maniera del tutto lineare, come riscontrato dallo scienziato statunitense.
Possiamo anche affermare, come mostra la Figura 5.8 che oltre alle osservazioni delle Supernove
Ia anche i risultati ottenuti dal CMB e dalla correlazione spaziale tra le galassie (“Baryon Acoustic Oscillations”, BAO) confermino un tipo di espansione che avviene in maniera accelerata.
È ora lecito chiedersi cosa possa generare questa spinta all’accelerazione, che è di considerevole portata poiché in grado di contrastare (su larga scala, ossia a livello di superammassi di
galassie) tutti gli effetti di attrazione generati dai campi gravitazionali di oggetti dotati di grandissima massa, come ad esempio i buchi neri supermassici che possiamo trovare al centro di
varie galassie con diametri decisamente superiori a quello della Via Lattea. Abbiamo parlato del
parametro ΩΛ come parametro di densità legato al vuoto, ma esso è da considerarsi anche il
parametro legato all’energia oscura e visto che ora (equazione 5.73) abbiamo notato come il
valore di quest’ultimo parametro sia quello preponderante possiamo considerare causa di questa
espansione accelerata proprio l’energia oscura, la quale è definita tale a causa della sua natura, tutt’oggi assai misteriosa. Sarà nella prossima, ed ultima, sezione che andremo a cercare di
presentare quel poco che si sa e che si può dire sulla “Dark Energy”.
EmileGN
58
Capitolo 5. Deviazioni dalla legge di Hubble: la risposta odierna
Figura 5.8: Il grafico, ovviamente tratto dal diagramma fondamentale della cosmologia, mostra che
l’“intersezione” dei risultati dati dalle SN Ia, dalla CMB e dalla BAO si situa in punto del
diagramma coincidente con le coordinate ΩΛ ' 0,7 e Ωm ' 0,3, le quali sono appunto quelle
che fanno valere q0 < 0.
5.7
Che cos’è l’energia oscura?
Questa domanda è ancora ben lungi dal trovare una risposta. Come abbiamo già anticipato l’energia oscura è la causa dell’espansione accelerata ma questa ovviamente non è una spiegazione
esaustiva della faccenda; purtroppo si hanno solo ipotesi sulla sua vera natura e nessuna sembra
essere più convincente rispetto alle altre.
I risultati forniti dalle Supernove Ia confermano quello che molti scienziati hanno negato per
anni, ossia che l’Universo è dominato dal vuoto o appunto da questa strana forma di energia,
che è definita oscura poiché presenta unicamente dell’interazione di tipo gravitazionale
escludendo qualsiasi altro tipo interazione esistente.
Una spiegazione che si può ritenere più interessante di altre è quella che vede una descrizione
quantistica dell’energia oscura (o del vuoto). Infatti la teoria dei quanti, che descrive al meglio i
vari processi che coinvolgono le particelle più piccole esistenti (e da noi misurabili), propone due
fonti interessanti che generano questa energia cosi misteriosa:4 le fluttuazioni quantistiche
e la rottura spontanea di simmetria, che però presentano una formulazione sia fisica che
matematica particolarmente arzigogolata e che quindi non andremo ad analizzare nel dettaglio.
Nella fisica quanto-relativistica il vuoto non è effettivamente vuoto, anzi, viene considerato pieno
di varie fluttuazioni quantiche per essere in accordo con il principio di indeterminazione di Heisenberg. Una grossolana stima dell’effettiva importanza dell’energia oscura “generata” da questo
4
È da notare che, considerando l’Universo in espansione accelerata, la densità del vuoto non può variare nel
tempo, altrimenti si riscontrerebbe un rallentamento dell’espansione. Quindi per rimanere costante nel tempo
l’energia oscura deve in un qualche modo violare il principio per il quale l’energia è conservata e, sempre in un
modo a noi totalmente ignoto, essa è in grado di prodursi.
EmileGN
5.7. Che cos’è l’energia oscura?
59
vuoto quantistico può essere espressa utilizzando la costante della gravitazione universale G e la
costante di Planck ~ le quali, tramite anche la proporzionalità con la velocità della luce c, danno
la massa di Planck MP definita da [27]
r
~c
MP =
= 1,220 09 · 1019 GeV/c2 ,
(5.75)
G
che, se divisa per il cubo della lunghezza di Planck [28]
r
~G
3
`P =
= (1,616 25 · 1035 m)3
c3
(5.76)
dà una vaga approssimazione della densità del vuoto (o l’importanza dell’energia oscura) ρΛ
espressa come
MP
ρΛ ' 3 ∼ 10118 GeV/cm3 .
(5.77)
`P
Tuttavia quest’ultimo risultato diverge di un fattore 10122 dal effettivo valore della densità dell’Universo, la quale, visto che il Cosmo è piatto, ha in realtà il valore critico associato a ρc che è
dell’ordine di 0,5 · 10−5 GeV/cm3 . Quindi anche la descrizione quantistica dell’energia del vuoto,
si parla di quintessenza, per ora presenta ancora numerose falle ed è molto probabilmente una
semplice e grossolana approssimazione di ciò che realmente è l’energia oscura, sempre che essa
sia effettivamente reale.
Per concludere tengo a far notare che le teorie presentate ed elaborate in questo mio lavoro
di maturità rimangono tutt’ora appunto delle teorie e quindi non escludono la possibilità che,
forse, fisicamente e matematicamente la vera soluzione sia costruire una nuova e rivoluzionaria
teoria della gravitazione. Questo perché, magari, ma il condizionale è d’obbligo, visti i sensazionali risultati ricavati dallo studio delle SN Ia, la teoria della Relatività di Einstein sembrerebbe
avere dei limiti quando lo studio del Cosmo si concentra su quella che è l’espansione accelerata
osservabile oggi.
EmileGN
Elenco delle figure
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Costituenti dell’Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Struttura interna di un protone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La temperatura della CMBR misurata dal satellite COBE . . . . . . . . . . . . .
L’esperimento 2dF Galaxy Redshift Survey mostra la distribuzione angolare delle
galassie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Possibili geometrie dell’Universo in base a k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tre differenti tipi di evoluzione del Cosmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Andamento della magnitudine apparente
Diagramma Hertzsprung-Russell . . . .
Schematizzazione dell’effetto Doppler . .
Red and blueshift . . . . . . . . . . . . .
Diagramma di Hubble . . . . . . . . . .
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9
11
13
13
14
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Influenza del fattore di scala sulle distanze . . . . . . . . . . . . . . . .
Valori della costante di Hubble dal 1996 al 2008 . . . . . . . . . . . . .
Gaussiana dimostrativa per il concetto di limite di confidenza . . . . .
Espansione in un “matter dominated Universe” . . . . . . . . . . . . .
Parametro H per un Universo dominato dalla materia . . . . . . . . .
Espansione per un “radiation dominated Universe” . . . . . . . . . . .
Il parametro H per un Universo dominato dalla radiazione . . . . . . .
Schematizzazione in caso di “Cosmic Mixture” . . . . . . . . . . . . . .
Rappresentazione artistica del processo che conduce alle Supernove Ia
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16
19
19
26
27
29
30
30
32
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Punti fondamentali di un sistema binario
Superficie Φ e punti di Lagrange . . . .
Rappresentazione dei lobi di Roche . . .
Descrizione visiva di una Supernova Ia .
Curve di luce delle Supernove Ia . . . .
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34
36
37
40
41
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Abbondanze dei vari elementi leggeri generatisi durante la nucleosintesi
Diagramma fondamentale della cosmologia moderna . . . . . . . . . .
Variazioni infinitesimali di tempo per ricavare il redshift . . . . . . . .
Il nuovo diagramma di Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Il nuovo diagramma di Hubble: versione semplificata . . . . . . . . . .
Le Supernove Ia descrivono le deviazioni dalla legge di Hubble . . . . .
La funzione fattore di scala per un Universo accelerato . . . . . . . . .
L’espansione accelerata è confermata anche dalla CMBR e dalla BAO
61
di un Cefeide
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ristretto
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primoridale
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. . . . . .
. . . . . .
2
3
4
4
5
8
47
51
53
55
55
56
57
58
Bibliografia
[1] Andrew Liddle, An Introduction to modern Cosmology, Wiley (2003)
[2] Corrado Lamberti, Capire l’Universo, Springer (2011)
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Matematiche, Fisiche e Naturali (2012/2013) Corso di Laurea in Fisica e Astrofisica (2013)
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[15] http://astronomia.comze.com/universo.jpg
[16] http://www.specchioquotidiano.com/wp-content/uploads/2012/07/3.jpg
[17] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/98/End_of_universe.jpg
[18] http://eagle.phys.utk.edu/guidry/astro411/lectures/lecture_ch13.pdf
[19] Immagine di copertina: http://it.wikipedia.org/wiki/File:Supernova_Companion_
Star.jpg
63
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[21] http://it.wikipedia.org/wiki/Edwin_Hubble
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[23] http://www.pha.jhu.edu/~bfalck/SeminarPres.html
[24] http://en.wikipedia.org/wiki/Harlow_Shapley
[25] http://it.wikipedia.org/wiki/Georges_Lemaître
[26] http://it.wikipedia.org/wiki/Variabile_Cefeide
[27] http://it.wikipedia.org/wiki/Massa_di_Planck
[28] http://it.wikipedia.org/wiki/Lunghezza_di_Planck
[29] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c7/
HR-diag-instability-strip.svg/700px-HR-diag-instability-strip.svg.png
[30] http://www.nmsr.org/2df.gif
Tutti i siti web sono stati verificati il 19 marzo 2014.
Indice analitico
2dF Galaxy Redshift Survey, 4
Abbondanze relative, 49
Accelerazione
di Coriolis, 41
di gradiente, 40
Albert Einstein, 50
Ansatz, 26
Ariel Goobar, 56
Assiomi di Euclide, 5
Il V assioma, 5
BAO, 58
Blueshift, 12
Elettroni degeneri, 42
Elio-4, 47
Energia
oscura, 60
potenziale, 35
centrifuga, 36
Equazione
dei gas di Eulero, 39
di accelerazione, 24
di Friedmann, 15
di un fluido, 22
Espansione accelerata, 58
Flussi di gas, 39
Fluttuazioni quantistiche, 60
Calan/Tololo Supernova Survey Observatory,
Forza
57
centrifuga, 35
Candela standard, 32
di Coriolis, 40
Cefeide, 10
di gradiente, 40
Corpo nero, 45
inerziale, 35
Cosmic
Microwave Background Radiation, 4
Geometria, 5
mixture, 30
Euclidea, 5
Costante
iperbolica, 6
cosmologica, Λ, 50
piana, 5
di Boltzmann, 46
sferica, 6
di gravitazione universale, 7
Georges Lemaître, 45
di Hubble, 14
Harlow Shapley, 9
di Planck, 46
Henrietta Leavitt, 9
Curve di luce, 43
High-Z Supernovae Search, 57
Diagramma
Legge
di Hubble, 13
di Hubble, 13
nuovo, 55
di Stefan-Boltzmann, 10
fondamentale della cosmologia, 52
terza di Keplero, 37
Hertzsprung-Russell, 10
Lente gravitazionale, 50
Disco di accrescimento, 41
Limite di Chandrasekhar, 42
Distanza luminosa, 56
Lobi di Roche, 38
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann, 47
Lunghezza di Planck, 60
Edwin Hubble, 11
M31 Andromeda, 11
Effeto Doppler, 13
65
66
INDICE ANALITICO
MACHOs, 50
Magnitudine
apparente, 9
assoluta, 9
delle Supernove Ia, 43
Massa di Planck, 60
Materia, 2
barionica, 2
oscura, 50
Metrica FRW, 53
Radiazione, 3
cosmica di fondo, 4
Redshift, 12
relativistico, 53
Relazione
periodo luminosità, 9
Saul Perlmutter, 56
Stelle variabili, 10
Supernova Cosmology Project, 57
Supernove Ia, 41
Nucleosintesi primordiale, 47
Parametro
Ω0 , 20
Ωb , 50
Ωm , 7, 50
Ωr , 7
ΩΛ , 51
di curvatura, 5
di decelerazione q0 , 31
di Hubble, 20
Potenziale gravitazionale, 37
Principio
primo della termodinamica, 22
Punti di Lagrange, 38
Temperatura del CMB, 46
Trasferimento di massa, 39
Universo
di Shapley, 9
dominato dalla materia, 24
dominato dalla radiazione, 28
isotropo, 3
omogeneo, 3
piatto, 52
Velocità
angolare, 35
Vesto Slipher, 12