Spazi vettoriali Definizione Un insieme non vuoto V `e uno spazio

Spazi vettoriali
Spazi vettoriali
Definizione
Un insieme non vuoto V è uno spazio vettoriale sul campo K se:
(SV1)
esiste un’operazione binaria + definita su V che renda (V , +) un
gruppo abeliano;
(SV2)
esiste un’applicazione (prodotto esterno)
K × V −→ V
,
(k, ~v ) 7−→ k~v
~ ∈ V:
tale che per ogni a, b ∈ K e per ogni ~v , w
a)
b)
c)
d)
(a + b)~
v = a~
v + b~
v;
~ ) = a~
~;
a(~
v +w
v + aw
(ab)~
v = a(b~
v );
1~
v =~
v.
Esempio. Verificare che R3 (R) è uno spazio vettoriale (somma
componente per componente, moltiplicazione per scalare su ogni
componente).
Spazi vettoriali
Spazi vettoriali
Definizione
Un insieme non vuoto V è uno spazio vettoriale sul campo K se:
(SV1)
esiste un’operazione binaria + definita su V che renda (V , +) un
gruppo abeliano;
(SV2)
esiste un’applicazione (prodotto esterno)
K × V −→ V
,
(k, ~v ) 7−→ k~v
~ ∈ V:
tale che per ogni a, b ∈ K e per ogni ~v , w
a)
b)
c)
d)
(a + b)~
v = a~
v + b~
v;
~ ) = a~
~;
a(~
v +w
v + aw
(ab)~
v = a(b~
v );
1~
v =~
v.
Esempio. Verificare che R3 (R) è uno spazio vettoriale (somma
componente per componente, moltiplicazione per scalare su ogni
componente).
Spazi vettoriali
Esercizio 1.
a) Dire se V = {x ∈ R : x > 0}, con operazioni
V × V −→ V
R×V
+ :
, · :
(x, y ) 7−→ xy
(α, x)
−→
7−→
V
xα
è uno spazio vettoriale su R.
b) Dire se R2 , con somma
R2 × R2
−→
+ :
((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) 7−→
R2
(x1 , y1 + y2 )
e prodotto esterno quello canonico, è uno spazio vettoriale su R.
Spazi vettoriali
Esercizio 1.
a) Dire se V = {x ∈ R : x > 0}, con operazioni
V × V −→ V
R×V
+ :
, · :
(x, y ) 7−→ xy
(α, x)
−→
7−→
V
xα
è uno spazio vettoriale su R.
b) Dire se R2 , con somma
R2 × R2
−→
+ :
((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) 7−→
R2
(x1 , y1 + y2 )
e prodotto esterno quello canonico, è uno spazio vettoriale su R.