4La teoria del consumo4p - Dipartimento di Matematica

La teoria del consumo
La funzione di domanda
individuale e l’identità di
Slutsky.
Mario Sportelli
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Bari
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La funzione individuale di domanda.
Sia xi ( p, m ) la funzione
individuale di domanda
del bene i.
ƒ L’evidenza empirica
mostra che, normalmente:
∂xi Δxi
=
<0
Δpi Δpi
Osservazione: Questo risultato è
coerente con la teoria della
scelta razionale dell’agente,
perché il consumo di un bene
che diviene più costoso tende
a ridursi.
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La funzione individuale di domanda.
Sia xi ( p, m ) la funzione
individuale di domanda del
bene i.
ƒ Talvolta accade che:
∂xi Δxi
=
>0
∂pi Δpi
Osservazione: Questo risultato non
sembra coerente con la teoria
della scelta razionale
dell’agente. Il consumo di un
bene che diviene più costoso
tende a crescere!!
Il primo a osservare questa anomalia fu uno
statistico scozzese: R. Giffen (18371910).
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Il principio d’invarianza del potere d’acquisto.
Questo principio fu enunciato intorno alla metà degli anni ’30
del 900 da un economista britannico J. R. Hicks (1904-1989) e
da uno statistico-matematico russo E. Slutsky (1880-1948):
“Data una scelta ottima, quando varia il prezzo di un bene,
variano simultaneamente il MRS e il potere d’acquisto della
disponibilità monetaria. Si generano, pertanto, due effetti sulla
domanda: l’effetto sostituzione e l’effetto reddito”.
¾ Invarianza del potere d’acquisto secondo Hicks: Il potere
d’acquisto della disponibilità monetaria (m) resta invariato se, al
variare dei prezzi, m è compensato in modo da lasciare invariato
il benessere.
¾ Invarianza del potere d’acquisto secondo Slutsky: Il potere
d’acquisto della disponibilità monetaria (m) resta invariato se, al
variare dei prezzi, m è compensato in modo da lasciare ancora
appena accessibile la scelta ottima iniziale.
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L’approccio di Hicks.
ƒ Supponiamo di aver determinato
una scelta ottima in R2+ :
x* = ( x1* ( p1 , p2 , m ), x2* ( p1 , p2 , m ) )
ƒ Sostituendo x* nella funzione di
utilità , otteniamo l’indice di
utilità
u = u(x )
*
*
ƒ Supponiamo che, in un momento
successivo, il prezzo p1
diminuisca, divenendo
p1′ < p1
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L’approccio di Hicks.
ƒ Il reddito compensato m’ secondo
Hicks deve essere tale che:
p1′ < p1
u* = u ( x1 ( p1′, p2 , m′), x2* ( p1′, p2 , m′) )
m′ < m
dove l’unica incognita è proprio
m’.
Il vincolo di bilancio relativo a
m’ è, quindi:
m′ p1′ s
x =
−
x1
p2 p2
s
2
Effetto sostituzione
Δ x1 = x − x
s
s
1
*
1
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L’approccio di Hicks.
Osserviamo che m’ < m. Ciò accade
perché la riduzione del prezzo ha
aumentato il potere d’acquisto della
disponibilità monetaria e, quindi, se
il potere d’acquisto non deve
variare, necessariamente dovremo
sottrarre al consumatore un
ammontare di moneta pari a
Δm = m’- m < 0.
9 Δm si definisce variazione
compensativa del reddito.
9 Δm è una variazione virtuale
utilizzata solo per calcolare l’effetto
sostituzione.
A partire dalla scelta xs,
supponiamo di restituire al
consumatore l’ammontare di
moneta che prima gli abbiamo
sottratto.
Il nuovo vincolo di bilancio
diviene:
m′ + Δm = m = p1′x1 + p2 x2
ossia,
x2 =
m p1′
−
x1
p2 p2
dove, l’intercetta è identica a
quella del vincolo di bilancio
iniziale ed il coefficiente
angolare identico a quello del
vincolo di bilancio relativo a m’.
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L’approccio di Hicks.
Sul vincolo di bilancio
m p1′
−
x2 =
x1
p2 p2
sarà collocata la scelta finale
del consumatore x** che
include le quantità
(x
**
1
( p1′, p2 , m), x2** ( p1′, p2 , m) )
Effetto reddito
Δ n x1 = x1** − x1s
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L’approccio di Hicks.
Il passaggio dalla scelta xs a x**
dipende esclusivamente dalla
variazione Δm e, pertanto,
conoscendo la natura del bene,
potremo prevedere con certezza
se la quantità x1 aumenterà o
diminuirà.
La quantità domandata
aumenterà se x1 è un bene
normale; diminuirà se x1 è un
bene inferiore.
Se x1 è un bene inferiore, la sua
riduzione potrebbe essere
talmente grande da condurre la
scelta finale x** a sinistra di x*.
Δ n x1 > 0 bene normale
Δ n x1 < 0 bene inferiore
9
Caso in cui x1 è un bene di Giffen.
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Caso in cui x1 è un bene inferiore
ordinario.
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Caso in cui x1 è un bene normale.
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Effetti sostituzione e reddito:
l’aumento del prezzo
m′ > m
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L’approccio di Slutsky
Supponiamo che p1′ < p1
Pertanto,
m′ = p1′x1* + p2 x2*
Segue che
Δm = m′ − m = x1* ( p1′ − p1 ) = x1*Δp1
Vincolo di bilancio relativo a m’:
m′ p1′
x2 =
−
x1
p2 p2
Vincolo di bilancio effettivo dopo la
variazione di p1:
m p1′
x2 =
x1
−
p2 p2
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L’identità di Slutsky
9 L’effetto sostituzione e l’effetto reddito operano congiuntamente e
simultaneamente. La compensazione della disponibilità monetaria è un
artifizio che consente di separare i due effetti.
La variazione totale della domanda di un bene al variare del suo prezzo
può, pertanto, scriversi:
Δxi = Δ xi + Δ xi
s
9 Se
pi′ < pi risulta:
da cui deduciamo,
n
n
⎧
Δ
⎪ xi > 0 bene normale
s
Δ xi > 0 e ⎨ n
⎪⎩ Δ xi < 0 bene inferiore
Δxi > 0 bene normale (Δ n xi rafforza Δ s xi )
Δxi > 0 bene inferiore ordinario
Δxi < 0 bene inferiore di Giffen
(Δ x
(Δ x
n
i
n
i
)
> Δx )
< Δ s xi
s
i
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L’identità di Slutsky
9 Se
pi′ > pi risulta:
n
⎧
Δ
⎪ xi < 0 bene normale
s
Δ xi < 0 e ⎨ n
⎪⎩ Δ xi > 0 bene inferiore
da cui deduciamo,
Δxi < 0 bene normale (Δ n xi rafforza Δ s xi )
Δxi < 0 bene inferiore ordinario
Δxi > 0 bene inferiore di Giffen
(
(Δ x
)
> Δx )
Δ n xi < Δ s xi
n
i
s
i
9 L’uguaglianza Δxi = Δ s xi + Δ n xi è nota come identità di Slutsky .
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La legge di domanda.
¾ Proposizione (legge di domanda): Se la domanda
di un bene cresce al crescere del reddito, allora la
domanda diminuirà all’aumentare del prezzo.
Dim.: Se, quando cresce il reddito, cresce la
domanda, il bene è normale. Quando il bene è
normale, l’effetto reddito rafforza sempre l’effetto
sostituzione (Δsxi e Δnxi hanno lo stesso segno e,
pertanto, non c’è ambiguità sul segno di Δxi) .
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