STATISTICA INFERENZIALE

STATISTICA
INFERENZIALE
Premessa importante: si ipotizza che il comportamento della popolazione rispetto ad
una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica di
probabilità pX (x | θ) o di densità fX (x | θ) di cui non si conosce θ. Non si conosco i dati
relativi a tutta la popolazione, ma solo quelli relativi ad un campione rappresentativo di n
unità: X1 = x1 , . . . , Xn = xn . Attraverso la conoscenza del campione si cerca di
stimare o di verificare la validità di alcune congetture per θ. Quindi l’inferenza è un
processo attraverso il quale dal campione si deducono informazioni sulla popolazione ed
è necessario valutare la qualità e la veridicità di tali informazioni.
Statistica, CLEM – p. 1/88
Problema inferenziale (1)
Un’azienda produce dei bulloni di ferro. Durante la produzione, capita che dei bulloni
prodotti siano difettosi e quindi vanno eliminati. L’azienda, per capire la qualità del suo
processo produttivo, vuole conoscere la proporzione p di prodotti difettosi in un mese.
L’azienda inoltre valuta che il processo produttivo è buono se tale proporzione in un
mese è p < 15%
Problema inferenziale:
stimare un valore per p
stimare un intervallo di valori per p
valutare se il processo produttivo è buono o necessita di interventi per migliorie
Statistica, CLEM – p. 2/88
Interpretazione del problema inferenziale (1)
C’è una variabile casuale binaria X = numero di pezzi difettosi in un mese (1:
difettoso; 0: non difettoso)
per conoscere la vera proporzione p di pezzi difettosi, basterrebbe osservare
tutta la POPOLAZIONE = tutti i pezzi prodotti in un mese classificandoli come 1
(difettosi) o 0 (non difettosi) e si calcola la proporzione, cioè il PARAMETRO p
della popolazione
per vari motivi, non si può osservare tutta la popolazione, ma un CAMPIONE
(x1 , . . . , xn ) di n bulloni prodotti in un mese
Dato il campione, si cerca di conoscere la popolazione:
STIMA PUNTUALE: stimare un valore per p
INTERVALLI DI CONFIDENZA: stimare un intervallo di valori per p
TEST DI IPOTESI: verificare che p < 0.15 per sincerarsi che il processo
produttivo è buono
Statistica, CLEM – p. 3/88
Problema inferenziale (2)
Consideriamo gli iscritti al primo anno del CLEM. Siamo interessati a conoscere l’altezza
media dei maschi µM e l’altezza media delle femmine µF . Inoltre vogliamo verificare
che in media i maschi sono più alti delle femmine.
Problema inferenziale:
stimare due valori per µF e µM
stimare due intervalli di valori per µF e µM
verificare l’ipotesi che i maschi sono in media più alti delle femmine
Statistica, CLEM – p. 4/88
Interpretazione del problema inferenziale (2)
Ci sono due variabili casuali continue M = altezza dei maschi e F = altezza delle
femmine
per conoscere le vere altezze medie µF e µM , basterrebbe osservare la
POPOLAZIONE dei MASCHI = altezza di tutti i maschi iscritti al primo anno e la
POPOLAZIONE delle FEMMINE = altezza di tutte le femmine iscritte al primo
anno. Facendo le medie dei dati osservati, si ottengono i PARAMETRI µ F e µM
delle due popolazioni
per vari motivi, non si possono osservare entrambe le popolazioni, ma due
CAMPIONI (m1 , . . . , mn ) e (f1 , . . . , fm ) rispettivamente di n e m dimensioni
Dati i due campioni, si cerca di conoscere i parametri di entrambe le popolazioni:
STIMA PUNTUALE: stimare due valori per µM e µF
INTERVALLI DI CONFIDENZA: stimare due intervalli di valori per µ M e µF
TEST DI IPOTESI: verificare che µM − µF > 0 per attestare che effettivamente i
maschi in media sono più altri delle femmine
Statistica, CLEM – p. 5/88
Perché il campione
Le indagini svolte sull’intera popolazione sono dette censuarie poiché svolte attraverso
dei CENSIMENTI. Ma spesso può convenire osservare solo un sottoinsieme della
popolazione, cioé un CAMPIONE
costi elevati di un censimento
tempi lunghi di un censimento
la popolazione può essere infinita
Statistica, CLEM – p. 6/88
Campione probabilistico
Un campione (X1 , . . . , Xn ) è probabilistico quando è nota la probabilità di ogni singola
unità di entrare a far parte del campione
PRIMA dell’estrazione delle n unità il campione
(X1 , . . . , Xn )
è una variabile casuale perché non sappiamo esattamente le unità che faranno
parte del campione
DOPO l’estrazione delle n unità il campione (x1 , . . . , xn ) contiente delle
osservazioni e non è più una variabile casuale
(X1 = x1 , . . . , Xn = xn )
Statistica, CLEM – p. 7/88
Campionamento casuale semplice
Un CAMPIONE (X1 , . . . , Xn ) è detto CASUALE SEMPLICE quando ogni unità della
popolazione ha la stessa probabilità di entrare a far parte del campione. Consideriamo
due tecniche di campionamento
estrazione con reinserimento
estrazione senza reinserimento
Nel primo caso si ha un campione casuale semplice perché ogni unità mantiene la
stessa probabilità di entrare a far parte del campione. Nel secondo caso non si ha un
campione casuale semplice perché, a seguito di ogni estrazione, varia la probabilità
delle singole unità di entrare a far parte del campione.
Le differenze fra le due tecniche sono minime quando si hanno popolazioni molto grandi.
In generale consideriamo sempre CCS (campioni casuali semplici) ottenuti con
estrazione con reinserimento
estrazione senza reinserimento in grandi popolazioni
Statistica, CLEM – p. 8/88
Struttura probabilistica del CCS
Data una popolazione per una variabile casuale X con distribuzione di probabilità
pX (x), un CCS, PRIMA dell’estrazione, è una successione di variabili casuali
X1 , . . . , X i , . . . , X n ,
i = 1, . . . , n
X1 , . . . , Xn sono i.i.d.
ogni Xi ha la stessa distribuzione di probabilità della popolazione p Xi (xi )
per l’indipendenza, la distribuzione di probabilità del campione è
pX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) =
n
Y
pXi (xi )
i=1
DOPO l’estrazione, il campione non è più una variabile casuale, ma una
successione di osservazioni con cui fare inferenza sulla popolazione
x1 , . . . , x i , . . . , x n ,
i = 1, . . . , n
Statistica, CLEM – p. 9/88
Come fare inferenza
Supponiamo di considerare una variabile casuale X= altezza ed ipotizziamo
X ∼ N (µ, σ 2 ).
effettuiamo un CCS {X1 , . . . , Xn }
osserviamo n unità {x1 , . . . , xn }
Cerchiamo un criterio per utilizzare i dati del CAMPIONE per fare inferenza sui
PARAMETRI media µ e varianza σ 2 della POPOLAZIONE
⇓
Cerchiamo degli indicatori sintetici da calcolare nel campione che possono darci
informazioni sui parametri
⇓
STATISTICHE CAMPIONARIE
Statistica, CLEM – p. 10/88
Statistica campionaria
Una statistica campionaria T (X1 , . . . , Xn ) è una funzione che dipende solo dai dati del
campione e non da variabili incognite. Dato un CCS {X 1 , . . . , Xn }
1 P2
la media campionaria: X = n
i=1 Xi
1 Pn
2
la varianza campionaria: S 2 = n−1
i=1 (Xi − X) oppure
1 Pn
2
S̃ = n i=1 (Xi − X)2
la mediana campionaria
semisomma dei valori estremi: (Xmax − Xmin )/2
...
Struttura probabilistica della statistica campionaria
PRIMA dell’estrazione del campione T (X1 , . . . , Xn ) è una variabile casuale
ottenuta come combinazioni di variabili casuali Xi la cui funzione di distribuzione
è quella della popolazione
DOPO l’estrazione del campione, T (x1 , . . . , xn ) = t non è una variabile casuale,
ma è il valore t che la statistica campionaria assume nel campione estratto.
Statistica, CLEM – p. 11/88
Stimatore di un parametro
Lo stimatore è una statistica campionaria T (X1 , . . . , Xn ) che viene utilizzata per
stimare (dedurre informazioni) il parametro della popolazione.
Esempio. Sia X ∼ Be(p). Sia {x1 , . . . , xn } un CCS osservato del tipo {1, 0, 0 . . . , 1}.
Si vuole trovare uno stimatore per p, parametro che rappresenta la proporzione di
successi nella popolazione. Un possibile stimatore è la statistica campionaria
n
1X
p̂ =
xi
n i=1
Esempio. Sia X ∼ N (0, σ 2 ). Sia {x1 , . . . , xn } un CCS osservato. Si vuole trovare uno
stimatore per σ 2 , parametro che rappresenta la variabilità nella popolazione. Possibili
stimatori sono
n
1X
(xi − 0)2 ,
S̃ =
n i=1
2
n
1 X
S =
(xi − 0)2 ,
n − 1 i=1
2
T = (Xmax − Xmin )/2
Statistica, CLEM – p. 12/88
Come si sceglie lo stimatore?
si devono studiare le proprietà degli stimatori e scegliere quello con le proprietà
più desiderabili
per conoscere le proprietà degli stimatori è necessario conoscere la loro struttura
probabilistica, cioè la loro distribuzione di probabilità
dato che è nota la distribuzione di probabilità della popolazione, si può dedurre
anche la distribuzione di probabilità di una statistica campionaria, poiché questa
è funzione del CCS {X1 , . . . , Xn } composto di var. casuali i.i.d.
Alcune proprietà di uno stimatore
correttezza
efficienza
consistenza
Statistica, CLEM – p. 13/88
Correttezza di uno stimatore (1)
Sia X una variabile casuale con distribuzione di probabilità p X (x | θ) con parametro θ.
Sia T una funzione del campione {X1 , . . . , Xn } usata come stimatore di θ. Se pT (t | θ)
è la distribuzione di probabilità dello stimatore T , questo è corretto o non distorto se
E(T ) = θ
Esempio. Sia T = X la media campionaria usata come stimatore di θ. Se T è corretto,
significa che in media riproduce il valore di θ:
si estraggono m = 1000 campioni {x1 , . . . , xn }
in ogni campione si calcola la media campionaria x1 , . . . , xm
la media di tutte le medie è uguale a θ
m
1 X
xj = θ
m j=1
Statistica, CLEM – p. 14/88
Correttezza di uno stimatore (2)
4
T1
T2
densità
theta = 1.6
3 T 1 è corretto
T 2 non è corretto
2
1
0
1
1.2
1.4
1.6
T
1.8
2
2.2
Statistica, CLEM – p. 15/88
Efficienza di uno stimatore (1)
Sia X una variabile casuale con distribuzione di probabilità p X (x | θ) con parametro θ.
Siano T1 e T2 due possibili stimatori di θ. Se pT1 (t1 | θ) pT2 (t2 | θ) sono le distribuzioni
di probabilità dei due stimatori, T1 è più efficiente di T2
V(T1 ) < V(T2 )
Esempio. Siano T1 = X la media campionaria e T2 = M e la mediana campionaria,
due stimatori di θ. X è più efficiente di M e se è meno variabile:
si estraggono m = 1000 campioni {x1 , . . . , xn }
in ogni campione si calcolano i due stimatori x1 , . . . , xm , me1 , . . . , mem
2 e σ 2 per entrambe le successioni di stimatori
si calcolano la varianze σT
T2
1
la media campionaria è più efficiente delle mediana campionaria se
2
2
σT
<
σ
T
1
2
N.B. L’efficienza di uno stimatore è definita in termini relativi (rispetto ad altri stimatori) e
non in termini assoluti.
Statistica, CLEM – p. 16/88
Efficienza di uno stimatore (2)
8
densità
6
T1
VAR(T1) < VAR(T2)
4
2
0
1
T2
1.2
1.4
1.6
T
1.8
2
2.2
Statistica, CLEM – p. 17/88
Errore quadratico medio (1)
L’errore quandratico medio di uno stimatore T di un parametro θ considera
congiuntamente sia l’efficienza sia la distorsione dello stimatore
M SE(T ) = E(T − θ)2 = V(T ) + D(T )2
dove D(T ) = E(T ) − θ. Se uno stimatore è corretto, D(T ) = 0, quindi l’errore
quadratico medio coincide con la varianza
M SE(T ) = V(T ),
per stimatori non distorti
Siano T1 e T2 due possibili stimatori di θ. Lo stimatore T1 è migliore di T2 se
M SE(T1 ) < M SE(T2 )
Se T1 e T2 sono due stimatori corretti di θ, si ritorna alla definizione di efficienza, per cui
lo stimatore T1 è migliore di T2 se
V(T1 ) < V(T2 )
Statistica, CLEM – p. 18/88
Errore quadratico medio (2)
Anche se T1 è distorto, è comunque migliore di T2 perché ha una maggiore efficienza.
8
T1
densità
theta = 1.60
E(T1) = 1.70
E(T2) = 1.60
6 V(T1) < V(T2)
MSE(T1) < MSE(T2)
4
2
T2
0
1
1.2
1.4
1.6
T
1.8
2
2.2
Statistica, CLEM – p. 19/88
Consistenza (1)
La consistenza è una proprietà asintotica, nel senso che vale per campioni molto grandi,
cioè quando n → ∞.
Indichiamo con Tn lo stimatore calcolato su campioni di dimensioni n. Uno stimatore T n
di un parametro θ è consistente quando
lim P (| Tn − θ |< ) = 1,
n→∞
è un numero piccolissimo positivo
Questo significa che quando il campione è molto grande
tende ad 1 la probabilità che la stima Tn = t cade in un intervallo molto piccolo
del parametro θ
la stima Tn = t ottenuta attraverso uno stimatore consistente è molto vicina al
valore vero del parametro θ.
Statistica, CLEM – p. 20/88
Consistenza (2)
40
35
30
densità
25
theta = 1.60
n = 50
n = 100
n = 200
20
15
10
5
0
1.3
1.4
1.5
1.6
T
1.7
1.8
1.9
2
Statistica, CLEM – p. 21/88
La distribuzione degli stimatori
Dato uno stimatore Tn , per conoscere le sue proprietà è necessario conoscere la sua
distribuzione di probabilità.
Studiamo la distribuzione di probabilità e le proprietà dei seguenti stimatori
1 Pn
X= n
i=1 Xi
1 Pn
2
S 2 = n−1
i=1 (Xi − X)
1 Pn
2
S̃ 2 = n
i=1 (Xi − X)
P
p̂ = n
i=1 Xi , quando X è una variabile binaria discreta (0, 1)
Statistica, CLEM – p. 22/88
La distrib. della media campionaria X (1)
Sia X una variabile casuale con E(X) = µ e V(X) = σ 2 e sia {X1 , . . . , Xn } un CCS
con variabili i.i.d.
Consideriamo la variabile casuale media campionaria
n
1X
X=
Xi
n i=1
dato che il campione CS è costituito di variabili i.i.d.
nµ
1 Pn
E(X) = n
E(X
)
=
= µ: X è uno stimatore CORRETTO di µ
i
i=1
n
Pn
nσ 2
σ2
V(X) = n12
V(X
)
=
=
i
i=1
n
n2
N.B. Notare che la media campionaria X ha una variabilità inferiore alla variabile X
σ2
V(X) =
n
<
V(X) = σ 2
Statistica, CLEM – p. 23/88
La distrib. della media campionaria X (2)
Se X una variabile casuale normale, X ∼ N (µ, σ 2 ) e se {X1 , . . . , Xn } è un
CCS, la media campionaria
n
1X
X=
Xi
n i=1
è una combinazione di variabili casuali i.i.d. Per le proprietà della normale
X ∼ N (µ, σ 2 /n)
Se X è variabile casuale qualsiasi con E(X) = µ e V(X) = σ 2 , la media
campionaria è sempre una combinazione di variabili i.i.d., ma potremmo non
conoscere la distribuzione esatta di X
⇓
ma se il campione è abbastanza grande, per il TLC (teorema del limite centrale),
la distribuzione di X si approssima con una distribuzione normale
X → N (µ, σ 2 /n)
Statistica, CLEM – p. 24/88
La media campionaria per una pop. normale
20
T = media campionaria
18
16
14
densità
12
T = N(1.60, 0.2/10)
10
X = N(1.60, 0.2)
8
6
4
X
2
0
1
1.5
2
2.5
Statistica, CLEM – p. 25/88
La distribuzione della stat. campionaria S̃ 2
Sia X una variabile casuale normale N (µ, σ 2 ) e sia {X1 , . . . , Xn } un CCS con variabili
i.i.d.. Consideriamo la statistica campionaria
n
1X
S̃ =
(Xi − X)2
n i=1
2
dato che il campione CS è costituito da variabili i.i.d., si dimostra che
nS̃ 2
∼ χ2(n−1) ,
2
σ
N.B. solo se X ∼ N
da cui si può facilmente verificare che S̃ 2 è uno stimatore DISTORTO di σ 2
nS̃ 2
E( 2 ) = n − 1,
σ
E(S̃ 2 ) =
n−1 2
σ < σ2
n
Quindi lo stimatore distorto S̃ 2 tende a sottostimare σ 2 .
Statistica, CLEM – p. 26/88
La distribuzione della stat. campionaria S 2
Sia X una variabile casuale normale N (µ, σ 2 ) e sia {X1 , . . . , Xn } un CCS con variabili
i.i.d.. Consideriamo la statistica campionaria
n
1 X
S =
(Xi − X)2
n − 1 i=1
2
dato che il campione CS è costituito da variabili i.i.d., si dimostra che
(n − 1)S 2
2
∼
χ
(n−1) ,
σ2
N.B. solo se X ∼ N
da cui si può facilmente verificare che S 2 è uno stimatore CORRETTO di σ 2
(n − 1)S 2
E(
) = n − 1,
σ2
E(S 2 ) =
n−1 2
σ = σ2
n−1
Quindi si predilige S 2 come stimatore della varianza σ 2 .
Statistica, CLEM – p. 27/88
La distrib. di (n − 1)S 2 /σ 2 per pop. normali
Distribuzione della varianza campionaria
0.12
0.1
chi−quadrato
n−1 gradi di libertà
densità
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
5
10
15
20
25
30
Statistica, CLEM – p. 28/88
La distrib. della proporzione campionaria p̂
Sia X una variabile casuale binaria X ∼ Be(p) con E(X) = p e V(X) = p(1 − p) e sia
{X1 , . . . , Xn } un CCS con variabili i.i.d.
Consideriamo la variabile casuale p̂ = proporzione campionaria di successo
n
1X
p̂ =
Xi
n i=1
dato che il campione CS è fatto variabili i.i.d. Xi ∼ Be(p),
p̂ ∼ Bin(n, p)
Pn
E(p̂) =
1
n
V(p̂) =
1
n2
np
E(X
)
=
= p: p̂ è uno stimatore CORRETTO di p
i
i=1
n
Pn
np(1−p)
p(1−p)
=
2
i=1 V(Xi ) =
n
n
N.B. Se il campione è molto grande, per il TLC p̂ si approssima con una normale
p̂ → N (p,
p(1 − p)
)
n
Statistica, CLEM – p. 29/88
La distrib. approssimata di p̂ per vari n
Densità approssimata della proporzione camp.
160 p = 0.4
p(1−p) = 0.24
140 n = 100
densità
120
N(0.4, 0.24/100)
n = 50
N(0.4, 0.24/50)
n = 30
N(0.4, 0.24/30)
100
80
60
40
20
0
0.35
0.4
Statistica, CLEM – p. 30/88
Stima puntuale
Sia X distribuita con una legge di probabilità pX (x | θ) o funzione di densità fX (x | θ).
Sia T (X) uno stimatore di θ e {X1 , . . . , Xn } un CCS. Una volta estratto il campione
X1 = x1 , . . . , X n = xn
la stima puntuale è il valore assunto dallo stimatore nel campione
T (x1 , . . . , xn ) = t
Si assume t come stima per θ.
L’accuratezza della stima puntuale dipende dall’errore standard della stima
SE(T ) =
p
V(T )
Statistica, CLEM – p. 31/88
Stima puntuale della media
Sia X ∼ N (µ, σ 2 ). Supponiamo che σ 2 sia noto e l’unico parametro è µ. Una volta
estratto il campione
X1 = x1 , . . . , X n = xn
la stima puntuale è
n
1X
x=
xi
n i=1
e l’accuratezza della stima di µ è
σ
SE(x) = √
n
dato che V(X) =
σ2
n
Statistica, CLEM – p. 32/88
Stima puntuale di una proporzione
Sia X ∼ Be(p) di parametro p. Una volta estratto il campione
X1 = x1 , . . . , X n = xn
la stima puntuale di p è
e l’accuratezza della stima è
n
1X
pb =
xi
n i=1
SE(b
p) =
dato che V(b
p) =
p(1−p)
n
r
pb(1 − pb)
n
Statistica, CLEM – p. 33/88
Stima per intervallo (1)
A volte, piuttosto che stimare il parametro con un unico valore (stima puntuale), si
preferisce stimare un intervallo di valori plausibili per il parametro: un intervallo di
confidenza (o fiduciario).
La stima per intervallo si basa su:
uno stimatore T per il parametro θ
la distribuzione di probabilità pT (t | θ) dello stimatore T
un livello di confidenza α = una probabilità che indica l’affidabilità della stima
un intervallo di confidenza: un insieme di valori per θ
Statistica, CLEM – p. 34/88
Stima per intervallo (2)
Sia X una variabile casuale per la popolazione con parametro θ non noto. Sia T uno
stimatore corretto di θ, E(T ) = θ, e {X1 , . . . , Xn } un CCS.
PRIMA dell’estrazione del campione, T è una variabile casuale che consideriamo
standardizzata e per la quale possiamo definire un intervallo (a, b) tale che
P (a ≤
T −θ
≤ b) = 1 − α,
SE(T )
con α abbastanza piccolo
P (T − a × SE(T ) ≤ θ ≤ T + b × SE(T )) = P (a0 ≤ θ ≤ b0 ) = 1 − α
Gli estremi dell’intervallo (a0 , b0 ) dipendono da T e sono anche loro variabili casuali.
α = P [θ ∈
/ (a0 , b0 )],
1 − α = P [θ ∈ (a0 , b0 )]
α = probabilità di estrarre un certo campione in cui T = t da cui deriva un intervallo
[t − a × SE(t), t + b × SE(T )] che non contiene il parametro θ, quindi produce una
stima per intervallo errata
Statistica, CLEM – p. 35/88
Intervallo di confidenza
PRIMA dell’estrazione del campione,
P (T − v ≤ θ ≤ T + k) = 1 − α,
v = a × SE(T ),
k = b × SE(T )
(T − v, T + k) è un intervallo i cui estremi sono variabili casuali
1 − α = probabilità si estrarre un certo campione in cui T = t da cui deriva una
stima per intervallo intervallo (t − v, t + k) che contiene il parametro θ.
DOPO l’estrazione del campione CS {x1 , . . . , xn }
(t − v, t + k) è l’intervallo di confidenza i cui estremi sono valori certi, non più
variabili casuali
per un α molto piccolo {0.10, 0.05, 0.01}, abbiamo che la probabilità a priori di
estrarre un campione che genera un intervallo che non contiene θ è bassissma,
perciò ’confidiamo’ nel fatto che
θ ∈ (t − v, t + k)
Statistica, CLEM – p. 36/88
Intervallo di confidenza (2)
Consideriamo una variabile casuale X ∼ N (µ, 1) con varianza nota. Sia {X 1 , . . . , Xn }
un CCS e sia T ∼ N (µ, 1/n) lo stimatore media campionaria per il parametro µ. Se
α = 0.05 = 5%,
p
p
T −µ
P (a ≤ p
≤ b) = P (T − a × 1/n ≤ µ ≤ T + b × 1/n) = 0.95 = 95%
1/n
In pratica, supponiamo di estrarre 1000 campioni:
950 di questi campioni generano una stima T = t tale che la stima per intervallo
è corretta
p
p
θ ∈ (t − a × 1/n, t + b × 1/n)
50 di questi campioni generano una stima T = t tale che la stima per intervallo è
errata
p
p
θ∈
/ (t − a × 1/n, t + b × 1/n)
Statistica, CLEM – p. 37/88
Come si scelgono a e b?
Consideriamo α = 0.10
T −µ
P (a ≤ p
≤ b) = P (a ≤ Z ≤ b) = 90%
1/n
Ci sono tantissimi intervalli (a, b) che soddisfano quella condizione
P (−2.05 ≤ Z ≤ 1.41) = P (−1.48 ≤ Z ≤ 1.88) = P (−1.64 ≤ Z ≤ 1.64) = 90%
L’intervallo di confidenza ’migliore’ di solito è quello simmetrico, cioè quello per cui la
probabilità α = 10% si divide a metà
P (−1.64 ≤ Z ≤ 1.64) = 90%
P (Z ≤ −1.64) = α/2 = 5%,
P (Z <≥ −1.64) = α/2 = 5%
Statistica, CLEM – p. 38/88
Alcuni intervalli per α = 0.10
Quello in rosso è l’intervallo simmetrico (−1.64, 1.64)
Int. Confidenza, alpha = 10%
0.4
IC = (−2.05, 1,41)
alpha = 2% + 8%
0.35 alpha = 5%+ 5%
0.3
IC = (−1.64, 1,64)
alpha = 7% + 3%
IC = (−1.48, 1,88)
densità
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−4
−3
−2
−1
0
Z
1
2
3
4
Statistica, CLEM – p. 39/88
Intervallo di confidenza simmetrico
Consideriamo una variabile casuale X ∼ N (µ, 1) con varianza nota. Sia {X 1 , . . . , Xn }
un CCS e sia T ∼ N (µ, 1/n) lo stimatore media campionaria per il parametro µ.
L’intervallo di confidenza simmetrico si ottiene
P (−zα/2
p
p
T −µ
≤ p
≤ zα/2 ) = P (T − zα/2 × 1/n ≤ µ ≤ T + zα/2 × 1/n) = 1 − α
1/n
Se α = 0.05, z0.025 = 1.96 e −z0.025 = −1.96. L’intervallo di confidenza casuale è
(T − 1.96 ×
poiché
p
p
1/n, T + 1.96 × 1/n)
T −µ
P (−1.96 ≤ p
≤ 1.96) = 1 − 5% = 95%
1/n
Una volta estratto un campione {x1 , . . . , xn } in cui T = t, la stima per intervallo del
parametro µ è data dall’intervallo di confidenza
µ ∈ (t − 1.96 ×
p
1/n, t + 1.96 ×
p
1/n)
Statistica, CLEM – p. 40/88
Alcuni valori zα/2 per una normale standard
0.4
0.4
0.35
Normale Standard
0.35
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
0.2
90%
0.15
0.1
0.05
0.05
5%
5%
−2
−1.64
−1
95%
0.15
0.1
0
−3
Normale Standard
0
1
2
0
−3
3
1.64
2.5%
2.5%
−2
−1
0
−1.96
1
2
3
1.96
0.4
Normale Standard
0.35
0.3
0.25
0.2
99%
0.15
0.1
0.05
0.5%
0.5%
0
−3
−2
−2.57
−1
0
1
2
3
2.57
Statistica, CLEM – p. 41/88
IC per la media µ in caso di varianza nota
IC per µ di pop. normale con varianza nota
Sia X ∼ N (µ, σ 2 ) con varianza σ 2 nota
Sia X ∼ N (µ, σ 2 /n) lo stimatore per il parametro µ
Sia {x1 , . . . , xn } un CCS estratto in cui X = x
L’intervallo di confidenza simmetrico è
√
√
(x − 1.64 × σ/ n, x + 1.64 × σ/ n), per α = 10%
√
√
(x − 1.96 × σ/ n, x + 1.96 × σ/ n), per α = 5%
√
√
(x − 2.57 × σ/ n, x + 2.57 × σ/ n), per α = 1%
IC per µ di pop. non normale con varianza nota e grandi campioni
Gli stessi intervalli si possono usare per ottenere IC asintotici per il parametro
E(X) = µ anche per variabili casuali X NON NORMALI, ma solo nel caso di
GRANDI CAMPIONI (n abbastanza grande). Poiché, per il teorema del limite
centrale
n
1X
X=
Xi si approssima con N (µ, σ 2 /n) per n grande
n i=1
Statistica, CLEM – p. 42/88
Stima giusta o errata?
IC rossi sono stime errate di µ generate da campioni in cui t = x è poco probabile
2
Stime per intervallo corrette ed errate
T
1.8
1.6
t = 0.90
1.4
t = 2.10
1.2
1
t = 1.40
0.8
0.6
t = 1.80
0.4
0.2
0
0.5
1
1.5
mu = 1.60
2
2.5
Statistica, CLEM – p. 43/88
IC per la media µ con varianza non nota (1)
IC per µ di pop. normale con varianza non nota
Sia X ∼ N (µ, σ 2 ) con varianza σ 2 non nota
1 Pn
2
2
usiamo S 2 = n−1
i=1 (Xi − X) come stimatore di σ
Sia X lo stimatore per il parametro µ, se X ∼ N , si dimostra che
X −µ
√ ∼ tn−1 ,
S/ n
t − Student con n − 1 g.l.
Sia {x1 , . . . , xn } un CCS estratto in cui X = x e S 2 = s2
L’intervallo di confidenza simmetrico è
√
(x − t(n−1),α/2 × s/ n, x + t(n−1),α/2
√
× s/ n)
√
√
(x − 1.83 × s n, x + 1.83 × s/ n), per α = 10% e n = 10
√
√
(x − 2.26 × s/ n, x + 2.26 × s/ n), per α = 5% e n = 10
√
√
(x − 3.25 × s/ n, x + 3.25 × s/ n), per α = 1% e n = 10
Statistica, CLEM – p. 44/88
IC per la media µ con varianza non nota (2)
IC per µ di pop. non normale con varianza non nota e grandi campioni
Nel caso di grandi campioni, sia che X sia normale sia che X sia non normale,
per il teorema del limite centrale
X −µ
√
S/ n
si approssima con N (0, 1)
L’intervallo di confidenza asintotico e simmetrico per µ è quindi
√
√
(x − zα/2 × s/ n, x + zα/2 × s/ n)
Ad esempio, con n = 10 con α = 5%, IC per µ è
√
√
(x − 1.96 × s/ n, x + 1.96 × s/ n)
Statistica, CLEM – p. 45/88
IC per la proporzione p in grandi campioni
Sia X ∼ Be(p) una variabile binaria (0, 1) e sia {X1 , . . . , Xn } un CCS
1 Pn
Sia pb = n
i=1 Xi lo stimatore per il parametro p. Per il teorema del limite
centrale
pb − p
q
si approssima con N (0, 1)
p
b(1−b
p)
n
Sia {x1 , . . . , xn } un GRANDE CAMPIONE estratto in cui si calcola pb
L’intervallo di confidenza asintotico e simmetrico è
(b
p − zα/2 ×
(b
p − 1.64 ×
(b
p − 1.96 ×
(b
p − 2.57 ×
q
p
b(1−b
p)
,
n
q
p
b(1−b
p)
,
n
q
p
b(1−b
p)
,
n
r
pb(1 − pb)
, pb + zα/2 ×
n
pb + 1.64 ×
pb + 1.96 ×
pb + 2.57 ×
r
pb(1 − pb)
)
n
q
p
b(1−b
p)
),
n
per α = 10%
q
p
b(1−b
p)
),
n
per α = 1%
q
p
b(1−b
p)
),
n
per α = 5%
Statistica, CLEM – p. 46/88
IC per la varianza σ 2 in pop. normali (1)
IC per σ 2 di pop. normale con µ non nota
Sia X ∼ N (µ, σ 2 ) con µ non nota
1 Pn
2
2
usiamo S 2 = n−1
i=1 (Xi − X) come stimatore di σ . Si ha che
(n − 1)S 2
2
∼
χ
n−1 ,
σ2
chi-quadrato con n − 1 g.l.
per un certo α
P [χ2(n−1),1−α/2
(n − 1)S 2
≤
≤ χ2(n−1),α/2 ] = 1 − α
2
σ
P [(n − 1)S 2 /χ2(n−1),α/2 ≤ σ 2 ≤ (n − 1)S 2 /χ2(n−1),1−α/2 ] = 1 − α
Sia {x1 , . . . , xn } un CCS estratto in cui S 2 = s2
L’intervallo di confidenza simmetrico è
[(n − 1)s2 /χ2(n−1),α/2 , (n − 1)s2 /χ2(n−1),1−α/2 ]
Statistica, CLEM – p. 47/88
IC per la varianza σ 2 in pop. normali (2)
(9s2 /16.92, 9s2 /3.33), per α = 10% e n = 10
(9s2 /19.02, 9s2 /2.70), per α = 5% e n = 10
(9s2 /23.59, 9s2 /1.73), per α = 1% e n = 10
IC per σ 2 di pop. normale con µ nota
Se X ∼ N (µ, σ 2 ) dove µ è nota, la differenza è che
(n − 1)S 2
2
∼
χ
n,
σ2
chi-quadrato con n g.l.
quindi, per un certo valore s2 ed un certo α, IC simmetrico per σ 2 è
[(n − 1)s2 /χ2n,α/2 , (n − 1)s2 /χ2n,1−α/2 ]
Statistica, CLEM – p. 48/88
Quantili χ29,α/2 e χ29,1−α/2
Chi−quadro con 9 gradi di libertà
0.12
IC 90%
0.1
IC 95%
IC 99%
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
5
10
15
20
25
30
Statistica, CLEM – p. 49/88
IC per µX − µY : pop. normali, var. note
2 ) e Y ∼ N (µ , σ 2 ), con X⊥
IC per µX − µY con X ∼ N (µX , σX
⊥Y
Y
Y
2 e σ 2 note
Siano le varianze σX
Y
2 /n) e Y ∼ N (µ , σ 2 /m) gli stimatori di µ
Siano X ∼ N (µX , σX
Y
X e µY
Y
Siano {x1 , . . . , xn } e {y1 , . . . , ym } due CCS indipendenti in cui X = x e Y = y
Per l’indipendenza si ha che
(X − Y ) − (µX − µY )
q 2
∼ N (0, 1)
2
σX
σY
+ m
n
L’intervallo di confidenza simmetrico è
q 2
q 2
2
σX
σY
σX
[(x − y) − 1.64 ×
+
,
(x
−
y)
+
1.64
×
+
n
m
n
q 2
q 2
2
σX
σY
σX
[(x − y) − 1.96 ×
+
,
(x
−
y)
+
1.96
×
+
n
m
n
q 2
q 2
2
σX
σY
σX
[(x − y) − 2.57 ×
+
,
(x
−
y)
+
2.57
×
+
n
m
n
2
σY
m
], per α = 10%
2
σY
m
], per α = 5%
2
σY
m
], per α = 1%
Statistica, CLEM – p. 50/88
IC per µX − µY : pop. normali, var. non note
2 ) e Y ∼ N (µ , σ 2 ), con X⊥
IC per µX − µY con X ∼ N (µX , σX
⊥Y
Y
Y
2 = σ 2 (omoschedasticità)
Siano le varianze non note ma uguali σ 2 = σX
Y
Assumiamo come stimatore per la varianza comune
Sp2
2 + (m − 1)S 2
(n − 1)SX
Y
=
n+m−2
2 /n) e Y ∼ N (µ , σ 2 /m) gli stimatori di µ
Siano X ∼ N (µX , σX
Y
X e µY
Y
Siano {x1 , . . . , xn } e {y1 , . . . , ym } due CCS indipendenti in cui X = x e Y = y
Se X ed Y sono normali ed indipendenti si ha che
(X − Y ) − (µX − µY )
q
∼ tk ,
1
1
2
Sp ( n + m )
k =n+m−2
L’intervallo di confidenza simmetrico è
[(x − y) − tk,α/2 ×
r
1
1
s2p ( + ), (x − y) + tk,α/2 ×
n
m
r
s2p (
1
1
+ )]
n
m
Statistica, CLEM – p. 51/88
IC per µX − µY per grandi campioni (1)
IC per µX − µY per popolazioni non normali con varianze note e grandi campioni
Anche se X ed Y sono NON NORMALI, ma INDIPENDENTI, per costruire
intervalli di confidenza per il parametro µX − µY si può comunque utilizzare la
distribuzione Normale, ma solo nel caso di GRANDI CAMPIONI, poiché, per il
teorema del limite centrale
(X − Y ) − (µX − µY )
q 2
2
σX
σY
+ m
n
si approssima con N (0, 1) per n ed m grandi
L’intervallo di confidenza asintotico e simmetrico è
[(x − y) − zα/2 ×
s
2
σX
n
+
2
σY
m
, (x − y) + zα/2 ×
s
2
σX
n
+
2
σY
m
]
Statistica, CLEM – p. 52/88
IC per µX − µY per grandi campioni (2)
IC per µX − µY per popolazioni non normali con varianze non note e grandi campioni
2 ed S 2 come stimatori corretti per σ 2 e σ 2
Consideriamo SX
Y
X
Y
Anche se X ed Y sono NON NORMALI, ma INDIPENDENTI, per costruire
intervalli di confidenza per il parametro µX − µY si può comunque utilizzare la
distribuzione Normale, ma solo nel caso di GRANDI CAMPIONI, poiché, per il
teorema del limite centrale
(X − Y ) − (µX − µY )
q 2
2
SX
SY
+ m
n
si approssima con N (0, 1) per n ed m grandi
L’intervallo di confidenza asintotico e simmetrico è
[(x − y) − zα/2 ×
s
s2X
n
+
s2Y
m
, (x − y) + zα/2 ×
s
s2X
n
+
s2Y
m
]
Statistica, CLEM – p. 53/88
Decisioni in condizioni di incertezza
Un’azienda che produce pezzi di ricambio per auto ha acquistato un nuovo macchinario
per realizzare tali pezzi in una lega più leggera di alluminio. Vuole testare e valutare il
nuovo processo produttivo sulla base dei pezzi prodotti. Valuta che
in media i pezzi dovrebbero pesare µ = 1.5 kg
se i pezzi pesano in media più o meno di 1.5 kg, il processo produttivo va
fermato e revisionato.
La decisione si basa su un campione scelto casualmente di n = 50 pezzi prodotti: come
si fa a prendere una decisione?
1. si osserva il peso dei 16 pezzi x1 , . . . , x16 , si calcola la media e, se x 6= 1.5,
allora si decide di fermare il processo produttivo
2. dato che non si conosce l’intera popolazione, la decisione deve tenere conto
dell’incertezza dovuta alla stima campionaria: x può essere diverso da 1.5 nel
campione, ma la media nella popolazione µ potrebbe comunque essere 1.5
3. per decidere se fermare o no la produzione sulla base del campione, è
necessario definire una regola che tiene conto dell’errore campionario x − µ
Statistica, CLEM – p. 54/88
Verifica di ipotesi
Sia X un certo fenomeno casuale oggetto di interesse (peso dei pezzi prodotti) di cui si
conosce la famiglia di distribuzione di probabilità pX (x | θ) o fX (x | θ), ma non si
conosce il valore del parametro θ.
Si vuole verificare una certa ipotesi su θ sulla base di un campione di osservaioni. La
verifica di ipotesi si basa su:
uno stimatore T per θ
la distribuzione fT (t | θ) dello stimatore T
l’ipotesi nulla H0 : θ = θ0
l’ipotesi alternativa H1
semplice: H1 : θ = θ1
unidirezionale: H1 : θ > θ0 o H1 : θ < θ0
bi-direzionale: H1 : θ 6= θ0
una regola per prendere una decisione sulla base del campione estratto:
accettare H0 o rifiutare H0
la probabilità α di commettere un errore nel prendere una decisione: rifiutare H 0
anche se è vera.
Statistica, CLEM – p. 55/88
Sistema di ipotesi
L’ipotesi nulla H0 : θ = θ0 esprime ciò che ci interessa verificare. Nell’esempio
precedente:
H0 : µ = 15
L’ipotesi alternativa H1 smentisce l’ipotesi nulla ed indica altri possibili valori per
θ diversi da θ0 . Nell’esempio precedente:
H1 : µ = 30 o H1 : µ > 15 o H1 < 15 o H1 6= 15
Esempio:
Sia X = il peso dei pezzi prodotti e sia x1 , . . . , x16 un campione di 50 pezzi osservati.
Assumiamo che X ∼ N (µ, 4) con µ non nota. Prendiamo X come stimatore di µ:
X ∼ N (µ, 4/16)
Dato che nel campione osservato x = 14, serve una REGOLA per decidere se
accettare H0 : µ = 15 e non fermare il processo produttivo
rifiutare H0 poiché µ 6= 15 e fermare il processo produttivo
Statistica, CLEM – p. 56/88
Regola decisionale (1)
Sia Ω lo spazio campionario, cioè l’insieme di tutti i possibili campioni x 1 , . . . , xn
che si possono estrarre
La regola va definita sullo spazio Ω il quale viene diviso in due parti disgiunte ed
esaustive, Ω = A ∪ R, A ∩ R = ∅
A: l’insieme dei campioni per cui si accetta H0
R: l’insieme dei campioni per cui si rifiuta H0
Consideriamo il sistema di ipotesi
H0 : θ = θ0 , H1 : θ 6= θ0 .
e lo stimatore T di θ che in ogni campione x1 , . . . , xn assume un certo valore t. La
regola dovrebbe essere definita in modo tale che
per ogni campione contenuto in A, t deve essere abbastanza vicino a θ 0
per ogni campione contenuto in R, t deve essere abbastanza diverso da θ 0
Statistica, CLEM – p. 57/88
Regola decisionale (2)
La regola deve essere definita in modo tale che campioni che producono stime T = t per
il parametro θ molto vicine (diverse) a θ0 portano ad accettare (rifiutare) l’ipotesi nulla H0
⇓
Si considera la distribuzione di probabilità fT (t | θ0 ) dello stimatore T quando è
vera H0
sulla base di fT (t | θ0 ), la regola definisce
A: zona di accettazione, cioè i valori di T per cui si accetta H 0
R: zona di rifiuto o zona critica, cioè i valori di T per cui si rifiuta H 0
se H0 è vera, A è un insieme di valori di T molto probabili secondo la funzione
fT (t | θ0 )
se H0 è vera, R è un insieme di valori di T poco probabili secondo la funzione
fT (t | θ0 )
Statistica, CLEM – p. 58/88
Zona R di rifiuto e zona di A accettazione
Sia X ∼ N (µ, 4) e X ∼ N (µ, 4/16) lo stimatore di µ. Vogliamo verificare l’ipotesi
H0 : µ = 15, contro H1 : µ 6= 15
1.6
Distribuzione della media camp. sotto l’ipotesi nulla
1.4
1.2
densità
1
0.8
0.6
0.4
R
R
A
0.2
0
13
13.5
14
14.5
15
15.5
media campionaria
16
16.5
17
A: insieme di molto probabili e R: insieme di poco probabili se è vera H0
Statistica, CLEM – p. 59/88
Livello di significatività α e valori critici
Il livello di significatività α è una probabilità da cui derivano i valori critici x α/2 che
delimitano la zona di rifiuto (zona critica) R e di accettazione A
Distribuzione della media camp. sotto H0
1.6
H0
1.4
alpha = 10%
14.5 = valore critico
1.2 15.5 = valore critico
densità
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
13
13.5
5%
90%
R
A
14
14.5
15
15.5
media campionaria
5%
R
16
16.5
17
xα/2 = (14.5, 15.5)
R : (−∞, 14.5) ∪ (15.5, +∞) ⇒ P (X ∈ R) = 0.10 = α: prob. di rifiutare H0
A : (14.5, 15.5) ⇒ P (X ∈ A) = 0.90 = 1 − α: prob. di accettare H0
Statistica, CLEM – p. 60/88
Errori di I e II tipo
R : (−∞, 14.5) ∪ (15.5, +∞),
A : (14.5, 15.5)
Se estraggo un campione x1 , . . . , x16 in cui = 14.8, ACCETTO H0 perché
x ∈ A. Se
se H0 è vera prendo una decisione corretta
se H0 è falsa prendo una decisione errata
Se estraggo un campione x1 , . . . , x16 in cui x = 15.9, RIFIUTO H0 perché
x ∈ R. Se
se H0 è vera prendo una decisione errata
se H0 è falsa prendo una decisione corretta
Nel prendere queste decisioni si possono commettere due errori:
ERRORE di I tipo: rifiuto H0 ma è vera
ERRORE di II tipo: accetto H0 ma è falsa
Statistica, CLEM – p. 61/88
Errore di I tipo
Se estraggo un campione con x = 15.9 o con x = 13.9, questi valori sotto H 0 sono poco
plausibili, mentre sono più plausibili sotto H1 : RIFIUTO H0
1.6
Distribuzione della media camp. sotto H0 e H1
H0
H1
H1
1.4
1.2
densità
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
13
13.5
R
A
R
14
14.5
15
15.5
media campionaria
16
16.5
17
se H0 è falsa ho preso una giusta decisione
se H0 è vera ho commesso un ERRORE DI I TIPO
Statistica, CLEM – p. 62/88
Errore di II tipo
Se estraggo un campione con x = 14.8, questo valore sotto H 0 è molto plausibile,
mentre è poco plausibile sotto H1 : ACCETTO H0
1.6
Distribuzione della media camp. sotto H0 e H1
H0
H1
H1
1.4
1.2
densità
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
13
13.5
R
A
R
14
14.5
15
15.5
media campionaria
16
16.5
17
se H0 è falsa ho commesso un ERRORE DI II TIPO
se H0 è vera ho preso una giusta decisione
Statistica, CLEM – p. 63/88
Test unidirezionale semplice (1)
Verifica di ipotesi unidirezionale semplice con α = 10%
H0 : µ = 15 H1 : µ = 15.6
Il valore critico è xα = 15.3 e la zona di rifiuto o critica è x > 15.3
1.6
H1
H0
1.4
alpha = 10%
1.2
densità
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
14
R
A
14.5
15
15.3
15.5
16
Statistica, CLEM – p. 64/88
Test unidirezionale semplice (2)
Verifica di ipotesi unidirezionale semplice con α = 5%
H0 : µ = 15 H1 : µ = 14.3
Il valore critico è xα = 14.5 e la zona di rifiuto o critica è x < 14.5
1.6
H1
H0
1.4
alpha = 5%
1.2
densità
1
0.8
0.6
0.4
R
A
0.2
0
14
14.5
15
15.5
16
Statistica, CLEM – p. 65/88
Probabilità dell’ errore di I e II tipo
PRIMA di estrarre il campione posso calcolare la probabilità di decisioni errate.
P (Errore I tipo) = P (X ∈ R | H0 è vera) = α
P (Errore II tipo) = P (X ∈ A | H0 è falsa) = P (X ∈ A | H1 è vera) = β
PRIMA di estrarre il campione posso calcolare la probabilità di decisioni corrette
P (X ∈ A | H0 è vera) = 1 − α
P (X ∈ R | H1 è vera) = 1 − β: potenza del test
DOPO l’estrazione del campione, si ha un valore preciso X = x per il quale si confida
nella decisione presa
ACCETTO H0 se x ∈ A o
RIFIUTO H0 se x ∈ R
sulla base della zona di rifiuto o critica stabilita secondo un livello di significatività α
Statistica, CLEM – p. 66/88
H0 : µ = 15 H1 : µ = 15.6
xα = 15.3
1.6
1.4
H0
alpha = 10%
H1
beta = 32%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
A
0.2
0
13.5
14
R
14.5
15
15.3
15.5
16
P (X ∈ R | H0 ) = P (X > 15.3 | µ = 15) = α = 0.10: prob. errore I tipo
P (X ∈ A | H1 ) = P (X < 15.3 | µ = 15.6) = β = 0.32: prob. errore II tipo
P (X ∈ A | H0 ) = P (X < 15.3 | µ = 15) = 1 − α = 0.90:
P (X ∈ R | H1 ) = P (X > 15.3 | µ = 15.6) = 1 − β = 0.78: potenza del test
Statistica, CLEM – p. 67/88
Test unidirezionale composto (1)
Verifica di ipotesi unidirezionale semplice con α = 5%
H0 : µ = 15 H1 : µ > 15 (l’ipotesi H1 non è semplice, è definita per ogni µ > 15)
Il valore critico è xα = 15.3 e la zona di rifiuto o critica è x > 15.3
1.6
H1
H0
1.4
alpha = 10%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
R
A
0.2
0
14
15
15.3
16
17
Statistica, CLEM – p. 68/88
Test unidirezionale composto (2)
Verifica di ipotesi unidirezionale semplice con α = 5%
H0 : µ = 15 H1 : µ < 15 (l’ipotesi H1 non è semplice, è definita per ogni µ < 15)
Il valore critico è xα = 14.5 e la zona di rifiuto o critica è x < 14.5
1.6
H0
H1
1.4
alpha = 5%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
R
A
0.2
0
13
14
14.5
15
16
Statistica, CLEM – p. 69/88
H0 : µ = 15 H1 : µ = µ1 < 15
1.6
H0
H1
1.4
alpha = 5%
1.2
1
0.8
0.6
0.4
R
A
0.2
0
13
14
14.5
15
16
P (X ∈ R | H0 ) = P (X < 14.5 | µ = 15) = α = 0.5: prob. errore I tipo
P (X ∈ A | H1 ) = P (X > 14.5 | µ1 ) = β(µ1 ): prob. errore II tipo
P (X ∈ A | H0 ) = P (X > 14.5 | µ = 15) = 1 − α = 0.95:
P (X ∈ R | H1 ) = P (X < 14.5 | µ1 ) = 1 − β(µ1 ): potenza del test
Statistica, CLEM – p. 70/88
Test bi-direzionale
Verifica di ipotesi bi-direzionale con α = 10%,
H0 : µ = 15 H1 : µ 6= 15 (l’ipotesi H1 non è semplice, è definita per ogni µ 6= 15)
Abbiamo due valori critici che si ottengono convenzionalmente usando α/2:
xα/2 = (14.5, 15.5) e la zona di rifiuto o critica è x < 14.5 ∪ x > 15.5
Test bi−direzionale con alpha = 10%
1.6
H1
H1
H0
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
R
A
R
0.2
0
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
16.5
17
Statistica, CLEM – p. 71/88
H0 : µ = 15 H1 : µ = µ1 6= 15
Test bi−direzionale con alpha = 10%
1.6
H1
H1
H0
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
R
A
R
0.2
0
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
16.5
17
P (X ∈ R | H0 ) = P (X > 15.5 ∪ X < 14.5 | µ = 15) = α = 0.10: prob. errore I tipo
P (X ∈ A | H1 ) = P (14.5 < X < 15.5 | µ1 ) = β(µ1 ): prob. errore II tipo
P (X ∈ A | H0 ) = P (14.5 < X < 15.5 | µ = 15) = 1 − α = 0.90
P (X ∈ R | H1 ) = P (X > 15.5 ∪ X < 14.5 | µ1 ) = 1 − β(µ1 ): potenza del test
Statistica, CLEM – p. 72/88
Considerazioni sulla verifica di ipotesi (1)
Data una variabile casuale X con distribuzione di probabilità f X (x | θ), attraverso un
test statistico si vuole verificare una certa ipotesi sul parametro θ. Il test di ipotesi di
basa su
un’ipotesi nulla H0 ed un’ipotesi alternativa H1 che sono fra loro incompatibili
uno stimatore T di θ, detto anche statistica test che ha una certa distribuzione di
probabilità fT (t | θ)
un livello di significatività α che, sulla base della distribuzione di probabilità
fT (t | θ0 ) sotto H0 definisce:
dei valori critici tα oppure tα/2
una zona critica R di rifiuto e una zona di accettazione A per verificare
l’ipotesi H0
dato un campione CS x1 , . . . , xn in cui T = t
se t ∈ A, si accetta H0
se t ∈ R si rifiuta H0
Statistica, CLEM – p. 73/88
Considerazioni sulla verifica di ipotesi (2)
La regola decisionale del test che porta ad accettare/rifiutare l’ipotesi nulla, dipende solo
dal livello di significatività α
dalla distribuzione fT (t | θ0 ) sotto H0
L’ipotesi alternativa H1 consente
di valutare l’errore di II tipo β e la potenza del test 1 − β
di capire la direzione del test (unidirezionale o bi-direzionale)
Si possono commettere due errori, le cui probabilità PRIMA di estrarre il campione sono:
P (T ∈ R | H0 ) = α: prob. errore di I tipo
P (T ∈ A | H1 ) = β: prob. errore di II tipo
DOPO l’estrazione del campione, dato il valore della statistica test T = t, si valuta se
accettare H0 : il test non è significativo al livelllo α
rifiutare H0 : il test è significativo al livello α
N.B. Al variare di α, varia la regione critica R e con lo stesso campione si possono
prendere decisioni diverse
Statistica, CLEM – p. 74/88
H0 : µ = 15 H1 : µ = 15.6
Dato un campione CS in cui x = 15.4,
il test è significativo (rifiuto H0 ) al livello α = 10%
il test è non significativo (accetto H0 ) al livello α = 1%
1.6
H0
alpha = 10%
1.4 valore critico = 15.64
beta = 53%
1.2
alpha = 1%
1 valore critico = 15.6
beta = 87%
0.8
H1
0.6
0.4
0.2
0
13
14
15
15.64 16 16.16
17
Statistica, CLEM – p. 75/88
Test per la media µ con varianza nota (1)
Test per H0 : µ = µ0 in pop. normale con varianza nota
Sia X ∼ N (µ, σ 2 ) con varianza σ 2 nota
Sia X ∼ N (µ, σ 2 /n) la statistica test per µ e α il livello di significatività del test
Sia {x1 , . . . , xn } in cui X = x Il valore standardizato di x sotto H0 è
z=
Media campionaria, N(5,4)
0.2
0.18
x − µ0
√ ,
σ/ n
P(T > 5.5)= 0.4
P(T > 3.3) = 0.80
Media campionaria standardizzata, N(0,1)
0.4
0.35
z = (5.5 − 5)/2) = 0.25
P(Z > 0.25)= = 0.4
z = (3−3 − 5)/2) = − 0.85
P(Z > − 0.85)= = 0.80
0.16
0.3
0.14
0.12
0.25
0.1
0.2
0.08
0.15
0.06
0.1
0.04
0.05
0.02
0
0
1
2
3
3.3
4
5
6
5.5
7
8
9
10
0
−3
−2
−1
−0.85
0
1
2
3
0.25
Statistica, CLEM – p. 76/88
Test per la media µ con varianza nota (2)
H0 : µ = 5 H 1 : µ > 5
Per α = 5%, i valori critici sono zα sulla N (0, 1),
√
xα = µ0 + zα σ/ n = 5 + 1.64 ∗ 2 = 8.3 sulla N (5, 2)
Media camp. standardizzata, N(0,1) e Media campionaria, N(5,4)
0.4
alpha = 5%
N(0,1)
0.35
valore critico: 1.64
R: z > 1.64
0.3
N(5,4)
0.25
valore critico: 8.3
R: t > 8.3 = 1.64*2 + 5
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−3 −2 −1
0
1 2 3
1.64
4
5
6
7
8 9 10
8.3
Statistica, CLEM – p. 77/88
Test per la media µ con varianza nota (3)
se H1 : µ = µ1 > µ0 , o H1 : µ ≥ µ0 , il valore critico per un certo α è
zα :A = (−∞, zα ), R = (zα , +∞)
rifiuto H0 se z > zα
se H1 : µ = µ1 < µ0 , o H1 : µ ≤ µ0 , il valore critico per un certo α è
−zα :A = (zα , +∞), R = (−∞, −zα )
rifiuto H0 se z < −zα
se H1 : µ 6= µ0 , i valori critici per un certo α sono ±zα/2 :
A = (−zα/2 , zα/2 ), R = (−∞, −zα/2 ) ∪ (zα/2 , +∞)
rifiuto H0 se z < −zα/2 o z > zα/2
Test per µ di pop. non normale con varianza nota e grandi campioni
Per il TLC si può usare lo stesso test asintotico per la verifica di ipotesi del
parametro E(X) = µ anche per variabili NON NORMALI in GRANDI CAMPIONI.
Statistica, CLEM – p. 78/88
Alcuni valori critici zα
Test unidirezionali
0.4
Test inidirezionale a sinistra
0.4
alpha = 10%
0.35
0.35
alpha = 5%
alpha = 1%
0.3
0.3
0.25
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
−3
−2
−1
−2.32 −1.64 −1.28
0
1
Test unidirezionale a destra
2
3
0
−3
alpha = 10%
alpha = 5%
alpha = 1%
−2
−1
0
1
2
3
1.28 1.64 2.32
Statistica, CLEM – p. 79/88
Alcuni valori critici zα/2
Test bi-direzionali
0.4
Test bi−direzionali
alpha = 10%
0.35
alpha = 5%
alpha = 1%
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−3
−2
−1
−1.64
−2.57 −1.96
0
1
2
3
1.96
2.57
1.64
Statistica, CLEM – p. 80/88
Test per la media µ con varianza non nota (1)
Test per H0 : µ = µ0 in pop. normale con varianza non nota
Sia X ∼ N (µ, σ 2 ) con varianza σ 2 non nota
con S 2 come stimatore di σ 2 e X come stimatore di µ, sotto H0
t=
X − µ0
√ ∼ tn−1 ,
S/ n
t − Student con n − 1 g.l.
Dato un campione CS in cui X = x, per un certo α fissato
se H1 : µ = µ1 > µ0 , o H1 : µ ≥ µ0 ,
rifiuto H0 se t > tα
se H1 : µ = µ1 < µ0 , o H1 : µ ≤ µ0 ,
rifiuto H0 se t < −tα
se H1 : µ 6= µ0 ,
rifiuto H0 se t < −tα/2 o t > tα/2
Statistica, CLEM – p. 81/88
Test per la media µ con varianza non nota (2)
Test per µ di pop. non normale con varianza non nota e grandi campioni
Nel caso di grandi campioni, sia che X sia normale sia che X sia non normale,
per il TLC, sotto H0
z=
X − µ0
√
S/ n
si approssima con N (0, 1)
Il test asintotico per µ si può fare utilizzando la distribuzione normale. Per un certo α
se H1 : µ = µ1 > µ0 , o H1 : µ ≥ µ0 ,
rifiuto H0 se z > zα
se H1 : µ = µ1 < µ0 , o H1 : µ ≤ µ0 ,
rifiuto H0 se z < −zα
se H1 : µ 6= µ0 ,
rifiuto H0 se z < −zα/2 o z > zα/2
Statistica, CLEM – p. 82/88
Test per la proporzione p in grandi campioni
Sia X ∼ Be(p) una variabile binaria (0, 1) e sia {X1 , . . . , Xn } un CCS
1 Pn
Sia pb = n
i=1 Xi lo stimatore per il parametro p. Per il TLC, sotto H 0 : p = p0
z= q
pb − p0
p0 (1−p0 )
n
si approssima con N (0, 1)
Sia {x1 , . . . , xn } un GRANDE CAMPIONE estratto in cui si calcola pb e z
Il test asintotico per un certo α fissato è
se H1 : p = p1 > p0 , o H1 : p ≥ p0 ,
rifiuto H0 se z > zα
se H1 : p = p1 < p0 , o H1 : p ≤ p0 ,
rifiuto H0 se z < −zα
se H1 : p 6= p0 ,
rifiuto H0 se z < −zα/2 o z > zα/2
Statistica, CLEM – p. 83/88
Test per µX − µY : pop. normali, var. note
2 ) e Y ∼ N (µ , σ 2 ), con X⊥
Test per H0 : µX − µY = 0 con X ∼ N (µX , σX
⊥Y
Y
Y
2 e σ 2 note
Siano le varianze σX
Y
2 /n) e Y ∼ N (µ , σ 2 /m) gli stimatori di µ
Siano X ∼ N (µX , σX
Y
X e µY
Y
Siano {x1 , . . . , xn } e {y1 , . . . , ym } due CCS indipendenti in cui X = x e Y = y
Per l’indipendenza si ha che, sotto H0
z= q
Il test per un certo α fissato è
se H1 : µX − µY > 0,
se H1 : µX − µY < 0,
X −Y
2
σX
n
+
2
σY
m
∼ N (0, 1)
rifiuto H0 se z > zα
rifiuto H0 se z < −zα
se H1 : µX − µY 6= 0,
rifiuto H0 se z < −zα/2 o z > zα/2
Statistica, CLEM – p. 84/88
Test per µX − µY : pop. normali, var. non note
2 ) e Y ∼ N (µ , σ 2 ), con X⊥
Test per H0 : µX − µY = 0 con X ∼ N (µX , σX
⊥Y
Y
Y
2 = σ 2 (omoschedasticità)
Siano le varianze non note ma uguali σ 2 = σX
Y
Assumiamo come stimatore per la varianza comune
Sp2
2 + (m − 1)S 2
(n − 1)SX
Y
=
n+m−2
2 /n) e Y ∼ N (µ , σ 2 /m) gli stimatori di µ
Siano X ∼ N (µX , σX
Y
X e µY
Y
Siano {x1 , . . . , xn } e {y1 , . . . , ym } due CCS indipendenti in cui X = x e Y = y
Se X ed Y sono normali ed indipendenti si ha che, sotto H 0
t= q
X −Y
1
Sp2 ( n
+
1
)
m
∼ tk ,
k =n+m−2
Statistica, CLEM – p. 85/88
Test per µX − µY : pop. normali, var. non note
Il test per un certo α fissato è
se H1 : µX − µY > 0,
se H1 : µX − µY < 0,
rifiuto H0 se t > tα
rifiuto H0 se t < −tα
se H1 : µX − µY 6= 0,
rifiuto H0 se t < −tα/2 o t > tα/2
Statistica, CLEM – p. 86/88
Test per µX − µY per grandi campioni (1)
Test per H0 : µX − µY = 0 per popolazioni non normali con varianze note e grandi campioni
Anche se X ed Y sono NON NORMALI, ma INDIPENDENTI, per costruire
intervalli di confidenza per il parametro µX − µY si può utilizzare la distribuzione
Normale, perché per il TLC, nel caso di GRANDI CAMPIONI, sotto H 0
z= q
X −Y
2
σX
n
+
2
σY
m
si approssima con N (0, 1) per n ed m grandi
Il test per un certo α fissato è
se H1 : µX − µY > 0,
se H1 : µX − µY < 0,
rifiuto H0 se z > zα
rifiuto H0 se z < −zα
se H1 : µX − µY 6= 0,
rifiuto H0 se z < −zα/2 o z > zα/2
Statistica, CLEM – p. 87/88
Test per µX − µY per grandi campioni (2)
Test per H0 : µX − µY = 0 per popolazioni non normali con varianze non note e grandi campioni
2 ed S 2 come stimatori corretti per σ 2 e σ 2
Consideriamo SX
Y
X
Y
Anche se X ed Y sono NON NORMALI, ma INDIPENDENTI, il test asintotico
per µX − µY si può fare usando la distribuzione Normale, perché per il TLC, nel
caso di GRANDI CAMPIONI, sotto H0
z= q
X −Y
2
SX
n
+
2
SY
m
si approssima con N (0, 1) per n ed m grandi
Il test asintotico per un certo α fissato è
se H1 : µX − µY > 0,
se H1 : µX − µY < 0,
rifiuto H0 se z > zα
rifiuto H0 se z < −zα
se H1 : µX − µY 6= 0,
rifiuto H0 se z < −zα/2 o z > zα/2
Statistica, CLEM – p. 88/88