AC6 – Misure della massa delle stelle
• Stelle doppie e relative misure di parallasse. Ancora il satellite
Hypparcos
• Doppie fotometriche
• Doppie eclissanti e misure fotometriche di massa
• Relazione empirica massa luminosità
Parallasse e
massa delle
stelle
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Le stelle doppie sono circa il 50% delle stelle
Due stelle appartenenti ad un sistema vicino di
stelle doppie hanno un moto ellittico attorno al
baricentro del sistema.
Siano a1 e a2 i semiassi maggiori delle due orbite
ellittiche ed a = a1 + a2 il semiasse maggiore totale.
Sullo sfondo delle stelle lontane si apprezza un
moto di “parallasse” delle due stelle. In figura e’
indicato il moto apparente della stella vicina detta a
centauri. L’effetto e’ dell’ordine di qualche secondo
di radiante.
Si misura direttamente il periodo T di rotazione che
verifica la terza legge di Keplero la quale afferma
che la somma delle masse delle due stelle ( M1 +
M2) per T2 e’ uguale al cubo del semiasse maggiore
a
(M1 + M2) T2 = a3
La relazione e’ valida se le masse sono misurate in
masse solari, il periodo in anni e il semiasse
maggiore in AU.
Vale la relazione M1 a1 = M2 a2
Se si riesce a risalire da considerazioni geometriche
ai valori di a1 e a2 si ricava la massa delle due stelle
Binarie spettroscopiche
Dal momento che le due stelle possiedono diversa velocità, se si muovono con velocità abbastanza
elevate da consentire una misura di effetto Doppler non oscurata dal broadening termico, è possibile
misurare la velocità delle due stelle in punti diversi dell’orbita.
La velocità misurata è la somma della velocità di ogni stella relativamente al baricentro e della velocità
del baricentro.
Le stelle che con buona approssimazione si muovono su un’orbita circolare che per di più giace sul piano
individuato dall’osservatore e dalle due stelle ( inclinazione di 90° dell’orbita ) sono ben riconoscibili
perché la curva che fornisce l’andamento della velocità in funzione del tempo è sinusoidale.
Tra le masse (M1,M2), i raggi delle orbite relativi al baricentro (a1,a2), e le velocità relative al baricentro
(v1,v2) valgono le relazioni
2 π a1 = v1 T ; 2 π a2 = v2 T
M1/M2 = a2/a1 = v2/v1
oltre alla relazione (M1 + M2) T2 = a3
La misura di v1 , v2 e T permette di risalire ai valori
di M1 ed M2.
Le situazioni con orbite ellittiche e inclinazioni non
prossime a 90° sono più complesse e difficili ma
chiaramente riconoscibili perché l’andamento non
è sinusoidale.
La figura accanto da un’idea di che cosa può
avvenire quando l’inclinazione è prossima a 90°
ma l’orbita è ellittica ( pag 241 )
Binarie eclissanti
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Per determinare la
massa delle stelle di un
sistema binario,
oltreche’ al metodo
della parallasse visuale
e delle binarie
spettroscopiche, si
ricorre ad alcuni altri
metodi tra cui lo studio
delle stelle binarie
eclissanti e delle loro
variazioni di luminosità
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Si consideri una situazione semplice in cui due stelle completamente eclissanti ruotano su un’orbita
circolare inclinata di 90° e di raggio a con periodo P. Le orbite circolari sono caratterizzate da una
identica distanza temporale tra l’eclisse primaria e la secondaria
Con riferimento ai simboli della figura precedente e indicando con r1 ed r2(< r1) i raggi delle due stelle:
r1 = v τ ; r1+ 2 r2 = v T ; T / τ = 1 + 2 r2 / r1
Quando la stella più grande eclissa la più piccola si misura la sua temperatura superficiale e perciò, se è
una stella della sequenza principale, è nota la sua luminosità assoluta e, di conseguenza si può risalire al
suo raggio r1. Dalla misura della luminosità globale e della luminosità quando la stella più piccola passa
davanti alla maggiore, si può ricavare la luminosità assoluta della stella più piccola e perciò il suo raggio.
Mettendo in relazione la durata dell’eclisse con il periodo del moto si ricava a1 + a2 .
Il caso più interessante è quello in cui la stella è anche spettroscopica. In tal caso infatti si riesce a
risalire a tutti i parametri, compresa la distanza, anche nei casi in cui l’inclinazione dell’orbita è diversa
da 90° e l’orbita è eccentrica.
Esempio di
andamento
della
luminosità
per due
stelle
eclissanti
Da tutte le misure di cui si è appena parlato si ricava una fondamentale
relazione massa luminosita’ per le stelle della sequenza principale
Combinando il
diagramma di
Hertzsprung
Russell con il
diagramma
precedente si
ottiene, per le
stelle della
sequenza
principale il
grafico riportato
a fianco
Esercizi
1) Due binarie si muovono in un’orbita circolare con inclinazione 0°. Il periodo è di 40 anni. La
massima separazione angolare è 5”. La parallasse del sistema 0.3”. Si determini la somma delle
masse delle due stelle.
2) Due stelle simili al sole costituiscono un sistema binario che si muove di moto apparente
circolare con un periodo di 12 ore.
A quale distanza orbitano le due stelle? Quale è la loro velocità?
3) Un sistema binario è costituito da due stelle che si muovono su un’orbita circolare con velocità
di 10 e 20 km/s e con un periodo di 12 anni. Si trovi la massa delle due stelle.
4) Le due stelle di una binaria spettroscopica eclissante hanno una velocità relativa di 200km/s, un
periodo di 2 giorni e 22 ore, una durata di eclisse complessiva di 18 ore e di eclisse totale di 4 ore.
Il periodo tra le due eclissi è identico. Quali sono i raggi delle due stelle?
5) Relativamente all’esercizio precedente, assumendo un valore ragionevole per la temperatura
delle due stelle, si stimi il broadening termico delle righe di idrogeno nel visibile e si stimi un
valore della incertezza della misura della velocità relativa delle due stelle.
6) Le due stelle di un sistema binario eclissante con inclinazione vicina a 90° hanno una
temperatura superficiale di 11000 e di 8000 K rispettivamente. Quanto vale la luminosità delle due
stelle? Quanto vale il loro raggio? Quanto vale la luminosità del sistema a) quando le due stelle
non si eclissano, b) quando quella più grande e più calda eclissa l’altra, c) quando quella più
piccola e più fredda passa davanti all’altra. Chi degli ultimi due valori costituisce il minimo
primario e il minimo secondario?
7) Sirio A ha una temperatura superficiale di 10000 K, un raggio di 1.8 raggi solari e una
magnitudo bolometrica 1.4. Sirio B ha una magnitudo bolometrica 11.5 e un raggio pari a un
centesimo di raggio solare. Quanto vale la temperatura di Sirio B? Se l’inclinazione della loro
orbita è 90°, quale è la situazione al minimo primario?
