INFORMATICA settembre- 2014 Docente Salvatore Mosaico Algoritmo:Determinare quale percentuale rimane di una certa quantità se nel tempo subisce aumenti/decrementi percentuali. Partiamo da un semplice problema Un negozio aumenta il prezzo di di un cappotto del 10% L’anno successivo aumenta ancora il prezzo dello stesso cappotto del 5% Quando e’ variato il cappotto in percentuale rispetto al valore che aveva all’inizio? Soluzione : spesso a questi tipi di problema ci si chiede “ma quanto costava il cappotto?” ossia non capiamo come mai si parla di percentuale senza specificare di che cosa. Come sempre ricordiamo che % = 1 100 ossia e’ un semplice operatore matematico % *% = 1 1 1 * = % 100 100 100 100 % = 100 =1 100 Tante persone rispondono 10%+5% = 15% ma naturalmente non e’ così Vediamo come si può procedere: inizialmente il cappotto costa 100% (valore iniziale) l’aumento del 10% è sul valore iniziale :10% di 100% ossia 10%*100% = 10/100*100% = 10% dunque se aumenta del 10% costa 100%+10% *100%= 110% l’aumento successivo del 5% è sul nuovo valore: 5% di 110% ossia 5%*110% = 5/100*110% = 5,5% dunque se aumenta del 5% costa 110%+5,5%= 115,5% costava 100% adesso costa 115% 115,5%-100% = +15,5% dunque togliendo 100% faccio il confronto col valore iniziale se il nuovo valore è < 100% verrà negativo. 1 INFORMATICA settembre- 2014 Docente Salvatore Mosaico Quello che abbiamo fatto si può riassumere così: ad ogni aumento/sconto mi domando : cosa diventa in percentuale il nuovo prezzo valore iniziale: 100% se aumenta del 10% ho 110% (100+10)% del valore precedente 100% = 110%*100% se aumenta del 5 % ho 105% (100+5)% del valore ottenuto 105%*110% = 105/100*110%=115,5% a questo punto tolgo 100% 115,5%-100% = +15,5% Nulla cambia se invece di un aumento ho una diminuzione o due aumenti o due diminuzioni Un negozio aumenta il prezzo di un cappotto del 10% L’anno successivo diminuisce il prezzo d un cappotto del 5% Quando e’ variato il cappotto in percentuale rispetto al valore che aveva all’inizio? Valore iniziale: 100% se aumenta del 10% ho 110% (100+10)% del valore precedente 100% = 110%*100% se diminuisce del 5 % ho 95% (100-5)% del valore ottenuto 95%*110% = 95/100*110%=104,5% a questo punto tolgo 100% 104,5%-100% = +4,5% Nulla cambio se inverto le operazioni Un negozio aumenta il prezzo di un cappotto diminuisce del 5% L’anno successivo il prezzo d un cappotto aumenta del 10% Quando e’ variato il cappotto in percentuale rispetto al valore che aveva all’inizio? valore iniziale: 100% se diminuisce del 5 % ho 95% (100-5)% del valore iniziale 95%*100% = 95/100*100%=95% se aumenta del 10% ho 110% (100+10)% del valore precedente 90% = 110%*95% = 104,5% a questo punto tolgo 100% 104,5%-100% = +4,5% 2 INFORMATICA settembre- 2014 Docente Salvatore Mosaico Il procedimento non cambia se il prezzo diminuisce 2 volte Un negozio aumenta il prezzo di un cappotto diminuisce del 5% L’anno successivo il prezzo dello stesso cappotto diminuisce del 10% Quando e’ variato il cappotto in percentuale rispetto al valore che aveva all’inizio? se diminuisce del 5 % ho 95% (100-5)% del valore iniziale 95%*100% = 95/100*100%=95% se diminuisce del 10% ho 90% (100-10)% del valore precedente 95% = 90%*95% = 85,5% a questo punto tolgo 100% 85,5%-100% = -14,5% in generale la variazione finale dopo aumento a (a > 0 ) o diminuzione b (b < 0) è data dalla formula 100 + a 100 + b * * .... − 1 100 100 In informatica occorre , quando si può , si deve dare una soluzione adatta per il computer Nel caso di una doppia variazione l’algoritmo risolutivo è f ( a, b ) = 100 + a 100 + b * −1 100 100 In questo caso abbiamo definito una funzione matematica . 3 INFORMATICA settembre- 2014 Docente Salvatore Mosaico formalizziamo il caso di 2 aumenti/decrementi percentuali a e b 100 + a 100 + b (100 + a )( 100 + b ) − 10000 * −1 = 100 100 10000 = = 10000 100 + 100 b + 100 a + ab − 10000 10000 b + 100 10000 a + ab = = (moltiplico per 100 per trasformare in percentuale) = 100 b + 100 100 a + ab % Possiamo anche scriverla = ( a + b )% + ab 100 % dove si vede più chiaramente che oltre a sommare algebricamente i 2 valori c’e il contributo positivo (se anno lo stesso segno) o negativo (se hanno segno diverso) abbiamo cosi formalizzato il problema ossia abbiamo la formula risolutiva per la doppia variazione percentuale esempio un se un prezzo aumenta del 10% e successivamente del 4% la variazione finale si ottiene sostituendo nella formula a=10 e b = 4 = 100 * 10 + 100 * 4 + 10 * 4 % = 14 , 4 % 100 4 = INFORMATICA settembre- 2014 Docente Salvatore Mosaico Vediamo in Excel dando al risultato il valore percentuale (moltiplica per 100 e mette il simbolo %) 5 INFORMATICA settembre- 2014 Docente Salvatore Mosaico Esplorando questa espressione sono giunto ad una scoperta molto carina (almeno non l’ho mai letta da nessuna parte) N.B Un interessante caso particolare si ha quando le 2 variazioni sono una opposta all’altra ossia b = -a esempio un prezzo sale del 10% e poi scende del 10% Sostituiamo nella formula b=-a otteniamo 2 = 100(−a) + 100a + a(−a) −a %= % 100 100 se ad una variazione a segue un’altra uguale e contraria la variazione finale sempre negativa e vale − a2 % 100 esempio un prezzo sale del 30% e poi diminuisce del 30% la variazione finale è − a2 30 2 900 = %=− %=− % = −9 % 100 100 100 Secondo INVALSI questo e’ il problema più ostico per gli studenti Invece possiamo risolvere addirittura col calcolo mentale veloce +7 % seguito da -7% da una variazione totale di -49/100%= -0,49% Mi piacerebbe che un giorno a questa domanda che sembra così difficile si rispondesse “applico la formula di Mosaico”….. 6 INFORMATICA settembre- 2014 Docente Salvatore Mosaico Vediamo in Excel dando al risultato il valore percentuale (moltiplica per 100 e mette il simbolo %) 7