Lezione 1 - Algoritmi + strutture dati =
programmi
Corso — Programmazione
Programmazione e progettazione — Strutture dati e
sottoprogrammi
Marco Anisetti
e-mail: [email protected]
web: http://homes.di.unimi.it/anisetti/
Scrivere programmi
• Descrivere cioè algoritmi con un linguaggio per cui
l'esecutore è il calcolatore.
• Se si parte dal problema da risolvere serve l'abilità di
descrivere la soluzione pensando in termini di algoritmi
(Algorithmic Thinking)
• Per scrivere un programma abbiamo bisogno di
Descrivere i dati
Definire le istruzioni che operano sui dati (istruzioni date
dall'algoritmo e codificate in un linguaggio)
• Flusso
Partenza dai dati iniziali
Algoritmo (dati + istruzioni)
Otteniamo dei dati finali (soluzione alla nostra istanza di
problema)
Algorithmic Thinking(1)
• Un programmatore deve sviluppare l'abilità di capire,
eseguire, valutare e creare algoritmi
• Capire ed eseguire: Attitudine a seguire sequenze precise
di istruzioni senza perdere la pazienza e con estrema
diligenza e perseveranza. A volte è veramente tedioso
seguire step-by-step un algoritmo complesso, ma non
bisogna arrendersi
• Valutare: Determinare se un algoritmo risolve il problema
per cui è nato
• Creare Dato un problema trovare una soluzione
algoritmica al problema
• Tutto questo deve essere fatto sapendo quel è l'esecutore
• Gli algoritmi trattati nel corso sono quelli eseguibili da un
calcolatore
Algorithmic Thinking(2)
• Problem-solver vs Programmer
• Disaccoppiare il linguaggio di programmazione
dall'algoritmo
• Uno strumento agevole per farlo è come abbiamo già
intuito il flow chart
• I flow chart introducono un certo carico di lavoro dovuto al
disegno e alla difficoltà della modifica se non si utilizzano
strumenti elettronici
• Se fosse possibile programmare usando i flow chart
servirebbe uno strumento che li converta nel relativo
codice macchina per permetterne l'esecuzione
Descrivere i dati
• Per il momento non ci siamo preoccupati se non in
maniera superficiale della descrizione dei dati
• Abbiamo parlato genericamente di variabili e del fatto che
occupino una locazione di memoria di dimensione
dipendente dal tipo
• Abbiamo visto che il tipo determina le istruzioni che
possono essere eseguite su di esso
• I dati di un problema devono essere descritti con lo stesso
rigore e precisione con la quale si determina l'algoritmo
per risolvere un problema
• I dati possono essere semplici o strutturati ed organizzati
in dati complessi
Algoritmi + strutture dati = programmi
• Nel momento in cui si passa da algoritmo a programma le
strutture dati devono essere esplicitate
• I problemi affrontati sono talmente semplici che bastano
variabili semplici assimilabili a incognite matematiche
• Sembra che l'algoritmo dipenda soprattutto dal set di
istruzioni che lo compongono
• In realtà conta moltissimo anche la struttura dati su cui
agisce
• Lo stesso problema si può risolvere con algoritmi differenti
Lo stesso algoritmo può avere delle incarnazioni differenti
se la struttura su cui si appoggia è differente
Una struttura dati adeguata può aiutare a risolvere il
problema e a scrivere il programma relativo, più
agevolmente (embrione della programmazione ad oggetti)
Istruzioni e strutture dati(1)
• Un programma per funzionare deve essere caricato in
memoria e da li può essere eseguito dall'elaboratore
• Questo ci suggerisce che anche le istruzioni di un
programma risiederanno in memoria assieme alle
strutture dati dello stesso programma
• Per le competenze che abbiamo raggiunto fino ad ora
possiamo dire che la memoria allocata per il programma
in esecuzione viene divisa tra codice e dati
• In realtà esistono differenti strategie per la gestione della
memoria
• Un programma in esecuzione (processo) potrebbe aver un
bisogno crescente di memoria dati (dati dinamici)
• Il segmento dati deve poter crescere, il segmento codice
non cresce
Segmentazione della memoria(1)
• E' importante per un programmatore comprendere cosa
succede al programma che scrive nel momento in cui
viene eseguito
• Per prima cosa quando viene eseguito il programma è
stato trasformato in un codice macchina direttamente
interpretabile dall'elaboratore
• In generale i riferimenti ad indirizzi di memoria locali al
processo (variabili) sono espressi in forma relativa
(dipende dal traduttore usato per passare al linguaggio
macchina)
• La gestione della memoria e del caricamento del
programma in memoria è a carico del Sistema Operativo
(definisce l'indirizzo di base)
Approfondimenti nel corso di Sistemi Operativi
Segmentazione della memoria(2)
• Per le nostre competenze attuali possiamo dire:
• Segmento codice: Contiene il codice del programma (ed
in alcuni casi le costanti). Normalmente viene condiviso
fra tutti i processi che eseguono lo stesso programma.
Viene marcato in sola lettura per evitare sovrascritture
accidentali (o maliziose)
• Il segmento dei dati: Contiene le variabili (a volte
diviso in due parti, variabili inizializzate e non inizializzate)
Lezione 2 - Tipi da dato elementare
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Modificatori di tipo Costante
• Costante è intuitivamente un valore che non cambia per il
lasso di tempo in cui viene usato
• Costante è differente da letterale
• Un letterale è un carattere che viene inserito in una
espressione
Esempio x + 5 x variabile 5 letterale
• Una costante in programmazione è un modificatore di tipo
che indica che una variabile non potrà mai cambiare valore
Variabili e costanti
• Sia variabili che costanti potrebbero in alcuni linguaggi di
programmazione richiedere una loro 00 dichiarazione00
• Se esiste l'obbligo della dichiarazione questa permette di
definire sia variabili che costanti e deve necessariamente
indicarne un tipo (almeno per le variabili)
• La dichiarazione deve avvenire prima dell'utilizzo della
variabile o costante
• La costante deve essere solitamente inizializzata con il
suo valore nel momento che viene dichiarata
• A volte come nel caso del Pascal la costante non richiede il
tipo perchè è immediatamente deducibile dalla sua
inizializzazione
Tipi di dato
• In generale un linguaggio di programmazione permette il
trattamento di diversi tipi di dato
• Un tipo di dato è determinato dal range di valori che può
assumere un oggetto di quel tipo e da delle operazioni che
si possono effettuare su tale tipo
• I tipi più comunemente presenti nei linguaggi di
programmazione sono catalogabili in tipi semplici, tipi
strutturati e tipi puntatore
Tipi di dato semplice(1)
I tipi semplici solitamente annoverano:
• Numeri interi: indica il campo dei numeri interi,
ovviamente ristretto dai valori MAXINT e MININT. Gli
operatori definiti sono solitamente quelli di +, -, *, div e
mod
• Numeri reali: I numeri reali formano un continuo, mentre
nei calcolatori il tipo reale può contenere un numero finito
di valori ciascuno per rappresentare un intervallo del
continuo. Questa approssimazione implica un errore che è
campo d'indagine per il calcolo numerico. I processi che
utilizzano il tipo reale sono detti numerici.
Tipi di dato semplice(2)
• Carattere: indica il campo finito ed ordinato di simboli
(caratteri). Richiede una standardizzazione per associare
un codice ad un carattere es ASCII. Esistono i codici sia
dei caratteri di stampa che dei caratteri di controllo (es.
carriage return, line feed)
• Booleani: assumono due valori logici True o False, sono
definiti degli operatori come AND OR NOT ecc. Tutti gli
operatori di relazione solitamente ritornano un valore
booleano. Di solito vengono descritte delle tabelle di
verità per valutare i risultati degli operatori. Le
espressioni basate su booleani e operatori possono essere
valutate con tecniche short-circuit
Tipi di dato: numeri reali(1)
• Virgola fissa, si stabiliscono a priori le cifre per la parte
decimale e per quella intera
• Virgola mobile, rappresentazione matematica
esponenziale dei numeri mediante mantissa m ed
esponente e: x = m ∗ Be , dove B è la base della
rappresentazione è può essere 10, 16 o 2 a seconda
dell'elaboratore (standard IEEE 754)
• La precisione di una aritmetica in virgola mobile può
essere definita come ovvero il più piccolo numero
positivo tale che 1 6= (1 + ) (se precisione di n cifre
decimali = 10−n ), ed è fonte di errori che un
programmatore deve considerare
Tipi di dato: numeri reali(2)
• Alcune proprietà delle operazioni vengono meno proprio
per questa imprecisione
[ESEMPIO associatività]
Consideriamo un'aritmetica a 4 cifre, x = 9. 900, y = 1. 000,
z = −0. 999
(x + y) + z = 10. 90 + (−0. 999) = 9. 910
x + (y + z) = 9. 900 + 0. 001 = 9. 901
Approssimazione nei reali: esempio(1)
• Soluzione di una equazione di secondo grado (problema
della cancellazione)
ax 2 + bx + c = 0
• Si risolve matematicamente come noto con
d ← sqrt((b ∗ b) − 4 ∗ a ∗ c)
x2 ← −(b + d)/(2 ∗ a); x1 ← (d − b)/(2 ∗ a)
• Con una aritmetica a 4 cifre e con i seguenti numeri
a = 1. 000 ,b = −200. 0, c = 1. 000 si avrebbe:
d = sqrt(40000 − 4. 000) = 200. 0
x1 = 400. 0/2. 000 = 200. 0
x2 = 0. 000/2. 000 = 0
• Ma le soluzioni corrette alla quarta cifra sono x1 = 200. 0 e
x2 = 0. 005
• Non sempre si possono applicare metodi risolutivi della
matematica quando si ha a che fare calcolatori numerici
Approssimazione nei reali: esempio(2)
• Si può superare questo limite in questo caso usando un
algoritmo differente che sfrutta la relazione x1 ∗ x2 = c/a
• Quindi si può calcolare una soluzione (con valore
maggiore) e poi applicare questa relazione per ricavare
l'altra
[esempio]
d ← sqrt((b ∗ b) − 4 ∗ a ∗ c)
if b ≥ 0 then x1 = −(b + d)/(2 ∗ a)
else x1 = (d − b)/(2 ∗ a)
endif
x2 = c/(x1 ∗ a)
end
Tipi puntatore
• Puntatore o riferimento: si riferisce all'indirizzo di
memoria dove una determinato oggetto (di un tipo
conosciuto) risiede. Vengono usati per questioni di
efficienza e per gestire tipi dinamici che possono crescere
o decrescere a run-time
• Di solito il controllo del tipo è molto stringente sui
puntatori per evitare che essi vengano interpretati come
altri tipi.
• Le operazioni che si fanno sui puntatori sono di solito
allocazione, riferimento, assegnamento, controllo di
uguaglianza, deallocazione
• Esempio: se x contiene l'indirizzo di una variabile intera
y, allora si dice che x punta alla variabile intera y e si
indica con un operatore di riferimento a seconda del
linguaggio (∗x linguaggio C)
Ricapitolando
• L'associazione tra operatori e tipi viene definita nei
manuali dei linguaggi
• In questa fase ci interessano considerazioni più generiche
• Rappresentazione dei dati in forma interpretabile dalla
macchina
• I tipi semplici fittano in una locazione della macchina
• I tipi strutturati derivano dai tipi base e sfruttano
sequenze contigue di locazioni della macchina
• La rappresentazione di tipi che formano un continuo come
i reali è discretizzata introducendo delle approssimazioni
• Tipi puntatore contengono indirizzi di memoria e si
riferiscono sempre ad un tipo semplice o strutturato
• Costanti sono un modificatore di tipo
• La tipizzazione aiuta il programmatore nella codifica
Lezione 3 - Flow Chart con RAPTOR
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Flow chart con RAPTOR
• Si tratta di un ambiente grafico che permette il disegno
dei flow chart e la loro esecuzione automatica
• Si seguono le regole per la definizione del flow chart già
viste
• Esistono dei formalismi aggiuntivi per determinare dei
blocchi che eseguono i seguenti compiti:
Input: un trapezio con una freccia entrante
Output: un trapezio con una freccia uscente
Call: un trapezio con una doppia freccia uscente,
determina la chiamata di una funzionalità di libreria
• E' possibile rappresentare tutti i costrutti basilari della
programmazione strutturata
Flow chart con RAPTOR
RAPTOR: le variabili(1)
• Le variabili hanno un ruolo importante in ogni tipo di
programma
• RAPTOR gestisce le variabili in modo che queste siano
non specificate fino a che non vengono assegnate
• RAPTOR non prevede una fase dichiarativa per le variabili
• Una variabile si vede cambiare o settare il proprio valore
in tre modi:
Un valore inserito da una istruzione di input
Il valore assegnato relativamente al calcolo di una
equazione
Valore di ritorno ottenuto da una chiamata a una
funzionalità di libreria o chiamata a procedura
• Una variabile è identificata dal suo nome (identificatore)
che serve seguire delle regole semplici come
l'impossibilità che inizi per un numero, che contenga spazi
o caratteri non strettamente alfanumerici
RAPTOR: le variabili(2)
• Alloca virtualmente la memoria per la variabile indicata
del relativo identificatore nel momento in cui la trova per
la prima volta.
• La variabile esiste fino al termine del programma
• Quando la variabile viene creata allora si determina anche
il tipo
• Esistono solamente due tipi base in RAPTOR il tipo numero
e il tipo testuale
• Le variabili non possono cambiare tipo durante
l'esecuzione del programma
Le costanti
• Sono degli identificatori che si rifanno ad una zona di
memoria che non è modificabile dopo che è stato definito
il suo contenuto la prima volta
• In RAPTOR esistono delle costanti di sistema definite per
facilitare il calcolo di espressioni matematiche es pi = π ed
e
• In generale un linguaggio di programmazione permette di
definire delle costanti che rimangono tali per la durata del
programma
RAPTOR: Statements o istruzioni(1)
• Trattandosi di flow chart i tipi di istruzioni sono codificati
nel costrutto grafico utilizzato
• In RAPTOR esistono costrutti per istruzioni di tipo: Input,
Assignment, Call, and Output
• Input Statement: Permette di specificare un testo da
usare come prompt e il nome della variabile dove verrà
salvato l'input
• Assignment Statement: Generalmente serve per
effettuare un calcolo e salvare il risultato in una variabile.
In generale la parte destra potrebbe contenere
espressioni di varia complessità
Le espressioni matematiche(1)
• Definite utilizzando un linguaggio e una notazione
(prefissa, infissa, postfissa)
• E' composta da operatori e operandi
• Gli operandi possono essere delle costanti (numeri) delle
funzioni (es funzioni matematiche predefinite) o delle
variabili
• RAPTOR adotta la notazione infissa e quindi le normali
regole di precedenza tra operatori
• Nel dettaglio le precedenze in Raptor sono:
1.
2.
3.
4.
5.
Le funzioni
Ogni cosa nelle parentesi
Esponenziali
Moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra
Somme e sottrazioni da sinistra a destra
Le espressioni matematiche(2)
• Ogni linguaggio di programmazione definisce delle
funzioni aggiuntive agli operatori matematici elementari
come ad esempio operatori per il calcolo del modulo della
divisione (mod) della radice quadrata (sqrt) del valore
assoluto (abs) ecc.
• Tali possono richiedere una rappresentazione in termini di
funzione con la notazione < nome funzione > (< parametri
funzione >)
• Le espressioni matematiche sono espressioni che
coinvolgono oggetti di tipo numerico
• In generale un linguaggio potrebbe permettere
espressioni che contengano oggetti di altro tipo
Le espressioni generiche
• Una espressione è una combinazione di oggetti che
avviene attraverso degli operatori che sono definiti per
quegli oggetti
• In RAPTOR esistono solo due tipi di dati i numeri e il testo
• Esiste un operatore che è definito sul testo che è
l'operatore ``+'' che permette di concatenare testo
• Tale operatore è definito anche per la coppia < numero >
< testo > ed agisce convertendo il numero in testo (senza
assegnare questa conversione) e concatenando.
Altri esempi di operatori ridefiniti sono il * tra < numero > < stringa > in python
(ripete la stringa per < numero > di volte)
Ricapitolando
• RAPTOR permette di programmare usando i costrutti dei
flow chart
• Come tutti i linguaggi di programmazione ha delle
caratteristiche associate alla gestione di variabili e tipi
• La forma grafica identifica la tipologia di istruzione
• L'istruzione scritta all'interno della forma è pilotata
• Le espressioni matematiche vengono gestite in modo
classico
• Alcuni operatori hanno delle specificità tipo l'operatore
``+''
Lezione 4 - Utilizzo di RAPTOR
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Ricapitolando
• Abbiamo visto come si può usare RAPTOR per scrivere uno
dei programmi visti fino ad ora a lezione
• RAPTOR permette di valutare un flow chart in modo
automatico
• Ha delle limitazioni dovute a delle semplificazioni
• Aiuta a pensare in termini di algoritmo ed evidenzia il
controllo di flusso
Lezione 5 - Relazioni di ricorrenza e tipi di
dato strutturato (parte I)
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Programmi basati su relazioni di
ricorrenza(1)
• La ricorrenza prende spunto dal concetto matematico di
induzione
• La ricorrenza può avere due forme nella programmazione,
le ripetizioni (ciclo) e la ricorsione
• Vedremo prevalentemente programmi che si basano su
ripetizioni semplici nella forma pre-condizionata while
cond do I
• Le ripetizioni hanno senso se terminano ovvero se I
modifica almeno una variabile che compare in cond
rendendola non più soddisfatta
• Il ciclo sopra può diventare logicamente il seguente: V←
v0 ; while p(V) do V ← f(V)
• Dove p è un predicato (booleano) e f una funzione
• All'inizio della ripetizione V deve avere un valore ben
determinato V0
Programmi basati su relazioni di
ricorrenza(2)
• Esempio: Calcolo fattoriale f (n) = 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ · · · ∗ n = n! (n ≥ 0)
• E' calcolabile usando una relazione di ricorrenza
• f (n) = n ∗ f (n − 1) per n > 0
• Avendo come condizione iniziale f (0) = 1
Tipi di dato strutturato: array(1)
• Vettori o array: struttura che contiene dati omogenei
(dello stesso tipo), aventi uno stesso identificatore.
L'accesso agli elementi del vettore avviene attraverso indici
che definiscono le posizioni nel vettore (accesso diretto)
Si tratta di una struttura sequenziale (memorizzata in una
struttura di memoria contigua)
Si tratta di una struttura statica, ovvero la sua dimensione
deve essere definita a priori e non può essere modificata
durante l'esecuzione del programma
Sequenzialità e staticità sono legati chiaramente da come
viene allocato lo spazio per un vettore in memoria
Tipi di dato strutturato: array(2)
• La gestione di un array avviene tramite tre diverse
informazioni: L'indirizzo di base IB dato dalla variabile
definita come array stessa, il numero di elementi N, la
dimensione del singolo elemento D
• Queste informazioni assieme al fatto che si tratta di una
struttura dati contigua permette l'accesso diretto tipico
degli array
• Esempio: se volessi accedere all'elemento J di un array
allora dovrei recuperare il dato che si trova in
IB + D ∗ (J − 1)
• Può avvenire o meno il controllo dello sforamento della
dimensione dell'array
• Generalmente non sono accettati array di dimensione
dinamica non nota in fase di compilazione
Tipi di dato strutturato: array(3)
• Inizializzazione e caricamento sono due fasi simili in cui un
vettore viene riempito dei dati che servono al programma
• L'inizializzazione avviene solitamente in fase di
dichiarazione, si tratta del primo caricamento di dati nel
vettore
• Il caricamento è una operazione che prevede l'inserzione
di dati in un vettore in modo completo (simile
all'inizializzazione) o parziale
• Solitamente la notazione per l'array prevede l'uso delle
parentesi [] per racchiudere l'indice o la dimensione se si
sta valutando la fase dichiarativa
Array in RAPTOR
• RAPTOR non prevedendo la fase dichiarativa considera un
array ogni identificatore seguito da ``[< numero >]''
• Nel momento in cui viene utilizzato per la prima volta ad
esempio il vettore v[n], raptor provvede ad inserire anche
i valori per v[(n − 1). . 1] ovvero alloca lo spazio per gli
elementi del vettore inferiori a n
Caricamento di un array
• Il caricamento dei dati in un array avviene attraverso un
ciclo che ad ogni iterazione inserisce un valore e sposta
l'indice al prossimo elemento
Utilità di un array
• Gli array sono utilizzati spesso in associazione a cicli
• Sono indispensabili per risolvere problemi in cui abbiamo
aggregazioni di dati da elaborare scandendoli in vario
modo
• Permettono di aggregare variabili dello stesso tipo e che si
possono correlare tra loro distinguendole in base ad indici
• Esistono diverse operazioni che ha senso studiare sugli
array e che possono tornare utili per la scrittura di un
programma
Array: esempio
• Dato un array V di 10 elementi contenente interi,
restituire a video un array A con gli elementi invertiti
(ultimo al primo posto etc)
• Analisi: La richiesta equivale a scorrere il vettore in senso
opposto dall'ultimo elemento al primo dato che devo solo
stamparli a video
[Pseudcodice]
integer v[10]={2,3,6,1,8,3,9,2,5,9}
i← 10
while (i>0) do
stampa(a[i])
i← i-1
endwhile
Matrici
• Le matrici sono degli array multidimensionali
• Dal punto di vista degli array visti fino ad ora si tratta di
vettori che hanno come elementi altri vettori
• Per individuare un elemento di una matrice sono necessari
due indici
• Solitamente il primo indice identifica le righe mentre il
secondo le colonne
• In RAPTOR come in Pascal una matrice è definita come
M[i,j] con i e j indici per righe e colonne
Matrici: esempio
• Scrivere il programma che data una matrice ritorna gli
elementi della diagonale principale
• Analisi: gli elementi richiesti sono quelli che stanno nelle
posizioni dove i due indici sono uguali
[Pseudcodice]
integer v[10,10]
i← 1
j← 1
while (i<=10 and j<=10) do
stampa(v[i,j])
i← i+1
j← j+1
endwhile
• Si può scrivere in maniera più compatta?
Tipi di dato strutturato: record(1)
• La natura dei dati di un problema può essere troppo
complessa per essere descritta con variabili semplici o
array
• Ad esempio una transazione bancaria racchiudono conto
corrente, tipo di operazione ed importo
• Volendo con 3 variabili semplici si potrebbe risolvere il
problema senza però che esse riferiscano espressamente
alla stessa transazione
• Non si tratta di descrivere un oggetto ma di trovare un
modo più opportuno per descrivere una classe di oggetti
con caratteristiche comuni (attributi)
• Esempio attributi di un'auto possono essere Marca, Tipo,
Colore, Numero di telaio. Essi sono comuni alla classe
Automobile, ogni automobile è caratterizzata da dei
precisi valori per questi attributi
Tipi di dato strutturato: record(2)
• Un Record è una struttura dati complessa che cattura
questo concetto. E' composto da un insieme finito di
elementi (campi) di qualsiasi tipo che sono però
logicamente connessi
• I campi corrispondono agli attributi: ogni campo contiene
un valore per un attributo
• Ogni record è individuato dal suo identificatore, mentre
ogni suo campo è individuato dall'identificatore del record
e dall' identificatore del campo stesso
• Si può vedere analogamente all'array come un rettangolo
suddiviso ma in blocchi che possono essere anche di
dimensioni differenti, con gli attributi al posto degli indici
e i campi sotto gli attributi fuori dal rettangolo
Record: esempio
• Consideriamo un array di strutture di tipo anagrafico
comprendenti nome e cognome. Scrivere un programma
che dato in ingresso il cognome trova tutti i nomi relativi e
li stampa a video assieme al cognome
[Pseudcodice]
type anagrafica = record
nome:stringa
cognome:stringa
end
anagrafica an [10]
i← 1
leggi(nom)
while (i<=10) do
if (an[i].nome==nom) then stampa (nom, an[i].cognome)
i← i+1
endwhile
Controlli sui tipi
• I tipi associati a delle variabili si estendono alle
espressioni (type system del linguaggio)
Operatori aritmetici
Overload: significati differenti a seconda del contesto
Coercion: promozioni automatiche a tipi differenti per
risolvere conflitti
Polimorfismo: una funzione polimorfica ha un tipo
parametrico o generico
• A seconda del linguaggio il tipo di una variabile può essere
fisso o meno
Valore dinamico ma tipo fisso (binding statico)
Tipo associato run-time (binding dinamico)
• Equivalenza tra tipi
• Controllo statico o dinamico
Errore sul tipo avviene quando una funzione (operatore) si
aspetta un tipo come argomento e ne trova un altro
Controlli sul codice prima che venga tradotto
Controlli sui tipi run-time (controllo sforamento indici di un
array)
Dati strutturati in memoria
• Vediamo un esempio di come dovrebbero essere allocate
le variabili strutturate in memoria
Ricapitolando
• L'importanza di poter derivare delle relazioni di ricorrenza
• Relazione tra tipo di dato strutturato array e i cicli
Cicli che scorrono indici, alcuni linguaggi hanno definito un
costrutto ad hoc (compatto) per questo genere di cicli (es
for)
• Operazioni base di ricerca merge e ordinamento su array
• Definizione di array multidimensionali (matrici)
• Definizione di tipo strutturato record
• Controlli sui tipi
• Occupazione di memoria
Lezione 6 - Sottoprogrammi
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Sottoprogrammi e astrazione
• Il concetto di astrazione è un elemento fondamentale per
risolvere i problemi
• E' assodato che il cervello umano non riesce a
parallelizzare il pensiero in modo indefinito
• La soluzione di un problema passa quindi
obbligatoriamente da delle astrazioni che limitano il
numero di problemi che vengono gestiti
contemporaneamente dal nostro cervello (sottoproblemi).
• Questo approccio è alla base della progettazione Top Down
e dell'organizzazione procedurale dei programmi
• L'astrazione procedurale equivale al raggruppamento di
più problemi dettagliati in un unico macro-problema
• Un esempio analogo all'approccio modulare
Esempio: calcolo delle radici(1)
Calcolo delle soluzioni reali di ax 2 + bx + c = 0
Prima approssimazione della soluzione, approccio modulare
Esempio: calcolo delle radici(2)
Versione più dettagliano il modulo del calcolo delle radici
Sottoprogrammi
• Nella risoluzione dei problemi e nella stesura dei
programmi si possono presentare i seguenti casi:
Ripetere identicamente più volte la stessa sequenza di
istruzioni
Ripetere la stessa sequenza di istruzioni su variabili che
possono avere valori o identificatori diversi da quelli assunti
la volta precedente
Copiare o inserire in un programma un altro programma
già realizzato
Utilizzare un programma di libreria
• Un termine generico per definire il raggruppamento
procedurale è quello di sottoprogramma
• A tale raggruppamento viene assegnato un nome univoco
per il programma chiamato
identificatore del sottoprogramma
• Alcuni termini più specifici derivano da come questo
sottoprogramma si relaziona con il programma principale
Sottoprogrammi: classificazione
• Macro: un insieme di istruzioni al quale viene assegnato
un nome. Il nome della macro viene rimpiazzato
dall'insieme delle istruzioni relative prima di passare il
sorgente al traduttore che lo codifica in un linguaggio
comprensibile alla macchina (sottoprogramma improprio)
• Procedura: un insieme di istruzioni alle quale viene dato
un nome e che definiscono un' unità di esecuzione a sé
stante. Una procedura comunica con il programma che
l'ha chiamata attraverso dei parametri passati tra ``()''
dopo il suo nome, generalmente una procedura non
restituisce un valore di output (terminologia ALGOL)
• Funzione: una procedura che restituisce uno o più valori
in output. Simile alle funzioni matematiche da cui prende
il nome
Struttura a livelli
• I sottoproblemi risolti da un sottoprogramma generico
possono a loro volta essere suddivisi in
sotto-sottoproblemi
• Si arriva ad una gerarchia a livelli dove vengono riassunte
le relazioni tra sottoprogrammi e dove la radice comune è
costituita dal programma principale detto Main
[Sottoprogramma]
Un problema di tipo procedurale caratterizzato da un
algoritmo A che opera su dati D per produrre risultati R si può
partizionare in n sottoproblemi procedurali a differenti livelli
ove l'i-esimo è caratterizzato da un algoritmo Ai che opera su
dati Di ⊂ (D0 + R0 + · · · + Ri−1 ) con D0 ∈ D e R0 insieme vuoto
Procedura e funzioni in pseudocodice(1)
• Consideriamo il seguente pseudocodice
[Procedurale]
[Sequenziale]
t ← r mod q;
r ← q;
q← t;
Procedure P
begin
t ← r mod q;
r ← q;
q← t;
end
• Da notare l'uso esplicito della definizione del blocco che
appartiene alla procedura tramite keyword begin end
(altri linguaggi usano le {})
• I blocchi begin end possono essere usati anche in
associazione ad altri costrutti in dipendenza dal linguaggio
Procedura e funzioni in pseudocodice(2)
• La procedura è individuata da una intestazione (P) e da
un corpo (racchiuso tra begin end)
• L'intestazione contiene l'identificativo della procedura (P)
ed eventuali parametri
• E' evidente che P è una procedura, se fosse una funzione
andrebbe indicato cosa torna e ci dovrebbe essere una
istruzione nel corpo che indica il valore da ritornare
(possiamo chiamarla return(<cosa>)) oppure si
assegna il valore al nome della funzione
• Altre cose fondamentali da indicare sono i tipi dei
parametri passati e dell'eventuale output
Esempio: Function F(x:real):real begin f ←
x*x+sqrt(x);end
Ci indica come si deve chiamare che prende in ingresso un
reale e ritorna un reale
Nel suo corpo vediamo che viene usata una funziona
matematica predefinita dal linguaggio che è sqrt(< var >)
Passaggio di parametri
• Passaggio per valore: Viene passata una copia del valore
della variabile utilizzata al momento della chiamata.
• Passaggio per indirizzo o riferimento: Viene passato un
riferimento alla variabile del chiamante, che quindi non
viene duplicata nel sottoprogramma ma può essere usata
e modificata dal chiamato agendo sulla variabile del
chiamante.
• Output di una funzione: Si tratta di un valore che viene
ritornato esplicitamente dal sottoprogramma (che in
questo caso è in sostanza una funzione).
• La definizione formale di funzione prevederebbe il ritorno
di un solo parametro, tale regola è man mano scomparsa
nella programmazione odierna
• I parametri vengono definiti nel momento in cui la
procedura viene creata (parametri formali) e devono
essere inclusi nel momento in cui la procedura viene
chiamata (parametri attuali)
Importanza dei sottoprogrammi
• Fornisce uno strumento potente per scomporre il
problema in sottoproblemi più gestibili
• Non serve solo per abbreviare il lavoro di codifica ma in
modo essenziale per articolare, suddividere e strutturare
un programma in componenti fra loro coerenti
• La struttura è determinante per la comprensibilità del
programma
L' abbiamo visto a livello di costrutti
Concetto analogo se ci spostiamo a livello di programma
• Migliora la leggibilità e la verificabilità del codice
• L'estrazione di una parte di programma in un
sottoprogramma permette di mettere in risalto le variabili
da essa influenzate e di porre in risalto le condizioni da
soddisfare per l'ottenimento del risultato intermedio
• Mettono in evidenza i campi di influenza delle variabili
contenute
Concetto di scope
• Un qualsiasi oggetto (variabile, costante, procedura,
funzione) che è significativo soltanto in una determinata
parte di un programma è detto locale
• Al contrario se è sempre significativo è detto globale
• Le procedure e le funzioni costituiscono degli
ambiti di esecuzione separati dal resto del programma e
che dialogano con esso tramite l'interfaccia definita dalla
loro intestazione (o attraverso delle variabili globali)
• Le macro non sono un abito di esecuzione
• Per questo motivo non definiscono un ambito locale
• Gli oggetti dichiarati all'interno del corpo di una procedura
o funzione sono locali a quella
• Località o globalità è genericamente detta visibilità
• Si dice scope di una variabile il suo ambito di visibilità
• Anche blocchi begin end possono definire uno scope
Funzione: esempio(1)
• Esempio di due funzioni con passaggi di parametri
differenti
[Passaggio per indirizzo]
[Passaggio per valore]
procedure swap(var x,y: integer)
integer z
procedure swap(x,y: integer)
begin
integer z
z=x;x=y;y=z;
begin
end
z=x;x=y;y=z;
a=10;
end
b=5;
a=10;
swap(a,b);
b=5;
swap(a,b);
Funzione: esempio(2)
• Consideriamo al chiamata della swap di prima con i
parametri passati per riferimento
• Cosa succede se la chiamata fosse swap(i,A[i])?
• Se i=2 e A[i] =99 allora il corpo che eseguirebbe
z=x;x=y;y=z; esegue:
z=2; i=99; A[2]=z;
Call and return(1)
• Essendo ambiti di esecuzione separati le procedure o
funzioni vengono effettivamente chiamate dal programma
che ne fa uso e questa operazione scatena una serie di
eventi
• Come cosa fondamentale un salto all'esecuzione di codice
della procedura/funzione, la sospensione dell'esecuzione
del chiamante e il relativa salto indietro quando termina
Call and return(2)
• Esiste una struttura di supporto per memorizzare
l'indirizzo di ritorno dopo la chiamata, i parametri passati
e utilizzati da procedure o funzioni
• Tale struttura è un segmento di memoria del processo
chiamata stack
• E' una struttura dati astratta che agisce come una pila
LIFO (Last In First Out)
• Per primo viene inserito l'indirizzo di ritorno (l'indirizzo
dell'istruzione successiva alla chiamata)
• In seguito i parametri
• Poi le eventuali dichiarazioni locali alla procedura o
funzione
Memoria del processo
• Con la gestione dei sottoprogrammi la struttura della
memoria si arricchisce di un segmento stack
Record di attivazione(1)
• La visibilità della procedura o funzione è determinata dallo
stack
• L'insieme di oggetti che vengono caricati nello stack ad
ogni chiamata si chiama record di attivazione
• Ogni esecuzione di sottoprogramma ha il suo record di
attivazione
• Anche il programma principale main ha un record di
attivazione nello stack
Record di attivazione(2)
[Esempio in linguaggio C]
void Prima(int a){
int b;
}
void Seconda(float c){
}
int main(){
int num=100;
Prima(10);
Seconda(num);
}
Record di attivazione(3)
Risoluzione macro
Macro espansione a compile time
Controllo dei parametri attraverso un
metodo grafico(1)
• Serve per permettere agli studenti alle prime armi di
controllare i valori delle variabili passate e la loro validità
• Ad ogni variabile viene associato ad un rettangolo che
rappresenta l'area di memoria nella quale viene scritto il
valore della variabile. L'identificatore della variabile viene
scritto all'esterno.
• Bisogna tener presente i seguenti casi:
• Variabili ridichiarate: ad ogni ridichiarazione si
costruisce un rettangolo dove l'identificatore è quello della
variabile ridichiarata con a pedice il nome del
sottoprogramma dove avviene la ridichiarazione. Il
rettangolo si cancella quando si esce dal sottoprogramma
Controllo dei parametri attraverso un
metodo grafico(2)
• Parametro trasmesso per valore: all'atto della
chiamata si crea un nuovo rettangolo con identificatore
uguale al nome del parametro formale e valore uguale al
valore del parametro attuale corrispondente. Al rientro il
parametro viene cancellato
• Parametro passato per indirizzo o riferimento:
quando avviene la chiamata il rettangolo esiste già, serve
solo indicare esternamente l'identificatore del parametro
formale che corrisponde all'attuale già esistente. In
questo caso l'area di memoria risulta avere due nomi.
L'identificatore del parametro formale viene cancellato
all'uscita dal sottoprogramma
Controllo dei parametri attraverso un
metodo grafico(3)
Lezione 7 - Chiamate a sottoprogrammi
con RAPTOR
Corso — Programmazione
Programmazione e progettazione — Strutture dati e
sottoprogrammi
Marco Anisetti
e-mail: [email protected]
web: http://homes.di.unimi.it/anisetti/
RAPTOR: Statements(2)
• Procedure call Statement: Una procedura è un insieme di
istruzioni che servono per eseguire un compito al quale
insieme viene affidato un nome. Tale nome serve per
richiamare la procedura. La chiamata di una procedura
sospende l'esecuzione del programma per preoccuparsi
dell'esecuzione della procedura, che una volta terminata
restituisce il controllo al programma. Le procedure
possono avere associati dei parametri che vengono
passati come ingressi al codice che esegue la procedura
• Si tratta di chiamate a funzionalità di libreria interne a
RAPTOR. Alcune di queste funzioni permettono di aprire
finestre grafiche, disegnare linee ecc
• Output Statement: Scrive in output sulla finestra
MasterConsole quanto indicato nello statement
RAPTOR: commenti
• Come per ogni linguaggio di programmazione è possibile
inserire dei commenti per spiegare le scelte
implementative
• In Raptor per inserire un commento basta cliccare sul
tasto destro sopra un elemento del flow chart e scegliere
l'opzione comment
• Intestazione del programma: Commenti su chi ha
scritto il programma quando e una descrizione generale di
cosa fa (commento al simbolo start)
• Descrizione delle sezione: Commenti alle sezioni più
significative del programma, servono per far comprendere
la struttura del programma stesso
• Descrizione logica: Commenti a istruzioni
particolarmente significative e di non semplice lettura
RAPTOR: Strutture di controllo(1)
• Sono le tipiche strutture di controllo del flow chart, ovvero
selezione ed iterazione
• Selection Control: Serve per definire delle selezioni
basati su una decisione. La decisione avviene nel
momento in cui si valuta la condizione
• La valutazione della condizione equivale alla valutazione di
un predicato booleano e segue tutte le regole dell'algebra
di Bool. Essendo in sostanza analoga alla valutazione di
una espressione ha rilevanza l'ordine con il quale viene
valutata. Le espressioni matematiche vengono valutate
con le precedenze già descritte mentre per il resto:
1.
2.
3.
4.
5.
Operatori (=! = / =<<=>>=) da sinistra a destra
Operatore not da sinistra a destra
Operatore and da sinistra a destra
Operatore xor da sinistra a destra
Operatore or da sinistra a destra
RAPTOR: Strutture di controllo(2)
• Loop control: Rappresenta ogni tipo di costrutto iterativo
tramite una selezione ed un ritorno del ciclo (ellisse con
loop). E' possibile definire sia cicli post-condizionati che
pre-condizionati
• Per costruire cicli pre o post condizionati serve aggiungere
prima o dopo la selezione gli statement richiesti.
• E' possibile aggiungere sia prima che dopo la condizione
ottenendo cicli misti (equivalente di goto)
• La selezione deve essere impostata in logica booleana in
modo da seguire i cammini predefiniti che non sono
modificabili
Procedure call in RAPTOR
• In RAPTOR la procedure call può essere utilizzata per
implementare macro procedure o funzioni
• Esistono numerose procedure di sistema per il disegno,
tra queste alcune sono delle procedure tipo (Open Graph
Window (X Size, Y Size)) altre delle macro tipo (Close
Graph Window), ad altre per l'interfaccia con l'utente
• Alcune procedure sono definite bloccanti, in quanto
includono delle istruzioni che attendono il verificarsi di un
determinato evento
• Esistono delle funzioni di interfaccia tipo (GetMouseX ) che
ritornano dei valori al chiamante ( x ← GetMouseX )
RAPTOR: subcharts e procedure
• In RAPTOR il termine procedure comprende
sottoprogrammi che siano comparabili a procedure e
funzioni dato che il passaggio di parametri è concesso così
come il ritorno di valori
• Per il momento abbiamo visto la chiamata a delle
procedure di libreria presenti in RAPTOR
• In seguito proveremo a definirne di nostre partendo con la
definizione di subcharts
• I subcharts sono dei diagrammi di flusso che vengono
richiamati dal diagramma di flusso principale (chiamato
main) per essere eseguiti
• I subcharts equivalgono alle macro, non avendo parametri
di ingresso e non ritornando nulla
RAPTOR: subcharts(1)
• Per creare un subchart occorre cliccare con il tasto destro
del mouse sulla tab del flow chart main
• Tra le voci appare Add subchart
• Nel dialog box viene richiesto il nome del subcharts. Tale
nome deve essere ovviamente univoco all'interno del
programma
• I subcharts condividono lo stesso scope delle variabili del
flow chart main, ed è proprio per questo motivo che
equivalgono a delle macro
RAPTOR prevede diversi livelli di profilo per i programmatori che lo utilizzano. Se
si passa al livello intermedio, nello stesso menu apparirà anche l'opzione ``Add
procedure''
Subcharts: esempio
RAPTOR: subcharts(2)
• I subcharts sono molto utili per dividere il programma in
sottoprogrammi che possono essere richiamati più volte
• Come le macro hanno il vantaggio di evitare il duplicarsi di
codice
• Nell'esempio di prima il subcharts viene richiamato 4 volte
separatamente
• Lo stesso programma scritto senza subcharts sarebbe più
difficile da leggere debuggare e sviluppare
RAPTOR: procedure(1)
• Nell'esempio del Draw Bulls Eye si può notare che ogni
chiamata viene preceduta da degli assegnamenti per le
variabili x e y che vengono poi usati dal subchart
richiamato in seguito
• Questo è tipico dell'uso dei subchart e delle macro in
genere per generare comportamenti differenti a partire
della stessa base di codice
• L'equivalente si potrebbe ottenere passando x e y ad una
procedura che esegue la macro Draw Bulls Eye
• In Raptor è possibile definire delle procedure in maniera
molto simile ai subcharts scegliendo l'opzione add
procedure nel menu di tasto destro sul tab main
• La procedura è molto più flessibile perchè è possibile
chiamarla con differenti valori iniziali ad ogni chiamata
senza dover settare le variabili prima della chiamata
RAPTOR: procedure(2)
• Questa flessibilità si ottiene attraverso il passaggio di
parametri
• I parametri sono delle variabili che prendono valore nel
momento della chiamata (parametri di ingresso) oppure
cambiano valore nel momento che la procedura termina
(parametri di uscita)
• Quando si definisce una procedura in Raptor si indicano se
i parametri sono da considerarsi di ingresso o di uscita o
sia di ingresso che di uscita
Passaggio di parametri in RAPTOR
• Parametri di ingresso (input): i valori vengono
inizializzati nel momento della chiamata e i valori dei
parametri attuali vengono passati ai formali (passaggio
per valore)
• Parametri di uscita (output): il loro valore viene
ricopiato nella relativa variabile del programma chiamante
(copy-out della call-by-value-result)
• Parametri di ingresso e uscita (input/output):
vengono trattati come parametri di input all'ingresso e
output all'uscita della procedura (simile al passaggio per
riferimento o al call-by-value-result)
• I parametri vengono definiti nel momento in cui si crea
una procedura ma possono anche essere modificati a
posteriori con il click del tasto destro sulla tab della
procedura
Procedure: esempio
RAPTOR: scope delle variabili
• La procedure di RAPTOR esattamente come tutte le
procedure in generale hanno un loro spazio di
dichiarazione delle variabili che vivono fino a quando la
procedura non termina
• Le variabili usate in una procedure di RAPTOR non sono
visibili al di fuori della procedura stessa
• In RAPTOR le variabili definite (utilizzate) in una
procedure o nel flow chart main hanno visibilità solo in
quella procedura o nel main a meno che non vengano
passate esplicitamente come parametri
• Non esistono variabili globali
Riassumento
• Variabili:
Esistono solo due tipi semplici, numero e stringa
Le variabili non vengono dichiarate esplicitamente ma
implicitamente quando vengono usate in un assegnamento
Ogni variabile ha una sua visibilità che equivale al flow
chart nella quale è usata (il subchart ha la visibilità del flow
chart da cui è chiamato)
• Sottoprogrammi: macro (subchart), procedure e
funzioni (procedure)
Le procedure possono ricevere parametri
Hanno una ambito di definizione delle variabili disgiunto dal
flow chart chiamante
L'unico punto di contatto sono i parametri che vengono
passati o ritornati
I parametri possono essere definiti come di input di output
o di input/output
Lezione 8 - Ricorsività
Corso — Programmazione
Programmazione e progettazione — Strutture dati e
sottoprogrammi
Marco Anisetti
e-mail: [email protected]
web: http://homes.di.unimi.it/anisetti/
Università degli Studi di Milano — Dipartimento di informatica
Ricorsività
• Un oggetto ricorsivo è definito totalmente o parzialmente
in base a se stesso
• Il concetto di ricorsione nella programmazione è
strettamente collegato a quello di induzione o ricorrenza
in matematica. Molti concetti matematici sono definiti in
modo induttivo o tramite ricorrenze. L'esempio canonico
di un concetto matematico definito in modo induttivo è
quello di numero naturale
Base: 0 è un numero naturale;
Passo: se n è un numero naturale, allora anche il
successore di n, S(n) (cioè n + 1), è un numero naturale
Ricorsività: esempi
• Fattoriale: n! è definito come n ∗ (n − 1)!
• M.C.D.(A,B): se A > B M.C.D.(B,A), se B = 0 A, se A > B
M.C.D.(B,A MOD B)
• Numero di Fibonacci di un numero naturale n è: F (n) se
n = 0 0, se n = 1 1, se n > 1 F (n − 1) + F (n − 2)
Ricorsività: divide et impera
• La ricorsione sta alla base di una tecnica molto potente di
programmazione, chiamata divide et impera
• Essa consiste nello scomporre (divide) un problema in
sotto problemi dello stesso tipo, più semplici da risolvere
(impera). Questa tecnica è la chiave per la progettazione
di molti algoritmi importanti, ed è un ingrediente
fondamentale della programmazione dinamica
• Virtualmente tutti i linguaggi di programmazione in uso al
giorno d'oggi permettono la specificazione diretta di
funzioni e procedure ricorsive, utilizzando lo stack per
tener traccia delle loro chiamate annidate
• Si può dimostrare che ogni sottoprogramma ricorsivo può
essere trasformato in un sottoprogramma iterativo
mediante l'utilizzo esplicito di uno stack
Nucleo della ricorsività
• Il potere della ricorsività sta nella possibilità di definire un
insieme anche infinito di oggetti con un numero finito di
comandi
• Si usano algoritmi ricorsivi quando il problema da
risolvere, la funzione da valutare o la struttura dati da
usare sono intrinsecamente ricorsivi
• Un linguaggio permette la ricorsione se permette ad un
sottoprogramma di richiamare se stesso
• Un sottoprogramma ricorsivo S può essere espresso come
una combinazione C di istruzioni Ii non contenenti
riferimenti a S e una chiamata ad S S = C[Ii,S]
• Se il sottoprogramma S contiene un riferimento esplicito a
se stesso allora si parla di ricorsività diretta
• Se il sottoprogramma S contiene un riferimento ad una
procedura Q che contiene il riferimento a S allora si parla
di ricorsività indiretta
Ricorsività: problemi(1)
• Un sottoprogramma ricorsivo crea dei problemi legati alla
terminazione e alla instanziazione
• Il problema della terminazione è comune a tutti gli
algoritmi, nel caso della ricorsione il caso terminale
quando raggiunto fa concludere la procedura o funzione
senza ulteriori chiamate ricorsive
• Nel caso del fattoriale il caso terminale è 0! = 1
• La chiamata ricorsiva viene generalmente fatta precedere
dalla condizione di terminazione B
1. B è vera finchè il caso terminale non è stato raggiunto
allora: S if B then C[Ii,S] oppure S C[Ii, if B thenS]
2. B è falsa finchè il caso terminale non è stato raggiunto
allora: S if B then nothing else C[Ii,S] oppure S = C[Ii, if B
then nothing else S]
Ricorsività: problemi(2)
• Quando si chiama un sottoprogramma vengono allocate le
aree di memoria per variabili costanti locali e parametri
passati (record di attivazione)
• Questa area di memoria viene deallocata nel momento
del'uscita dal sottoprogramma
• Nel caso della ricorsione dato che il sottoprogramma si
richiama ricorsivamente prima di uscire allora ne esistono
più istanze analoghe in memoria (solitamente stessi
identificatori ma valori potenzialmente diversi) un record
di attivazione per chiamata
• Questo conflitto si risolve considerando come attiva solo
l'ultima instanza allocata (scope)
• Esiste anche un problema di spazio in memoria per
garantire la sopravvivenza della ricorsione
Record di attivazione: ricorsione(1)
[Esempio in linguaggio C]
void Prima(int a){
int b;
Prima(a-1); }
void Seconda(float c){
}
int main(){
int num=100;
Prima(10);
Seconda(num);
}
Record di attivazione: ricorsione(2)
[Nota] Cosa succede se un parametro è passato per indirizzo?
Iterazione e ricorsione
Calcolo del fattoriale con tecnica iterativa e ricorsiva
[Fattoriale iterativo]
int fattoriale (int n) {
int i, f;
f = 1;
for (i = 1; i <= n; i++) {
f = f * i;
} return f;
}
[Ricorsiva]
int fattoriale (int n) {
if (n == 0) return 1;
else return (n * fattoriale(n - 1));
}
Ricorsione multipla
• Si ha ricorsione multipla quando un’attivazione di funzione
causa più di una attivazione ricorsiva della stessa funzione
• n-esimo numero di Fibonacci
[Fibonacci ricorsivo]
int F(n){
if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if (n>1) return F(n-2) + F(n-1);
}
Ricorsione e intrattabilità
• Un es. di problema intrattabile: la Torre di Hanoi
Torre di Hanoi
• Tre paletti e un certo numero di dischi di grandezza
decrescente
• Il gioco inizia con tutti i dischi incolonnati su un paletto in
ordine decrescente, in modo da formare un cono.
• Lo scopo del gioco e' portare tutti dischi sull'ultimo
paletto, potendo spostare solo un disco alla volta e
potendo mettere un disco solo su un altro disco piu'
grande, mai su uno piu' piccolo.
• il numero minimo di mosse necessarie per completare il
gioco è 2n − 1, dove n è il numero di dischi.
• Di conseguenza, secondo la leggenda, i monaci di Hanoi
dovrebbero effettuare almeno
18.446.744.073.709.551.615 mosse prima che il mondo
finisca (una mossa al secondo 585 miliardi di anni),
essendo n =64
Torre di Hanoi e ricorsione(1)
• Problema caratterizzato dalla sua intrattabilità
• Soluzione naturale ricorsiva: consideriamo i paletti da
sinistra verso destra come P1 , P2 e P3 e i dischi da 1 il più
piccolo a n il più grande
Sposta i primi n − 1 dischi da P1 a P2 usando P3 come
appoggio
Sposta il disco n da P1 a P3
Sposta n − 1 dischi da P2 a P3
Torre di Hanoi e ricorsione(2)
• Considero il numero di dischi n il numero del palo sorgente
s il numero del palo destinazione d e il palo di appoggio a
• Partendo da un certo numero di dischi e scegliendo
sorgente e destinazione possiamo scrivere la seguente
funzione ricorsiva
[Hanoi ricorsivo]
void hanoi(n, s, d, a) {
if (n == 1)
muoviDisco(s, d);
else {
hanoi(n-1, s, a, d);
muoviDisco(s, d);
hanoi(n-1, a, d, s);
}
}
Iterazione o ricorsione
• Come facciamo ad accorgerci se una ricorsione è corretta
o ben definita?
• Se ad ogni volta che applico la ricorsione sono
significativamente più vicino al caso base
• Si dice che a definizione non è circolare ma converge
• Solitamente le soluzioni ricorsive sono più eleganti, sono
più vicine alla definizione del problema
• Non è detto che siano più efficienti
• L'utilizzo di algoritmi ricorsivi costituisce l'opzione più
naturale ed intuitiva per operare su strutture definite in
modo ricorsivo (esempio alberi)
Lezione 9 - Programmazione strutturata
con RAPTOR
Corso — Programmazione
Programmazione e progettazione — Strutture dati e
sottoprogrammi
Marco Anisetti
e-mail: [email protected]
web: http://homes.di.unimi.it/anisetti/
