Cinematica del punto materiale
Punto materiale
Velocità e accelerazione
Moto rettilineo uniforme
Moto naturalmente accelerato
Moto parabolico
Moto armonico
Antonio Pierro
Per consigli, suggerimenti, eventuali errori o altro potete scrivere una email a antonio.pierro[at]gmail.com
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Punto materiale
In Fisica, si definisce punto materiale un corpo privo di
dimensioni, o le cui dimensioni sono trascurabili rispetto a
quelle della regione di spazio in cui può muoversi e degli altri
oggetti con cui può interagire.
Esempio: se si vuole studiare il moto della Luna rispetto alla
Terra, sia la Luna che la Terra possono essere approssimate a
punti materiali, dato che le loro dimensioni sono molto più
piccole rispetto alla loro distanza.
Velocità 1/2
Consideriamo un punto mobile P sopra una
qualsiasi linea.
Se P si muove sulla curva al variare del
tempo t, allora s ^ sarà funzione di t e si
scriverà:
s ^ = s (t)
^
Se dopo un intervallo di tempo Δt, cioè all'istante t + Δt, il
punto mobile si troverà in Q, lo spazio percorso a quell'istante
sarà:
^
u t)
= s (t +
u t)
s (t +
Osserviamo dunque che all'incremento Δt della variabile
tempo corrisponde, per lo spazio, l'incremento:
u s^
^
^
− s (t)
che rappresenta lo spazio percorso da P nel tempo u t
Velocità 2/2
Si definisce velocità media del punto mobile:
u s^
ut
^
s (t +
=
u t)
^
− s (t)
ut
Facciamo tendere a zero l'incremento Δt del tempo:
^
s (t +
lim
u tµ
u t)
^
− s (t)
ut
0
Si definisce velocità istantanea la derivata dello spazio rispetto
al tempo:
^
v =
lim
u tµ
0
u s^
ut
ds
=
dt
^
′
= s
^
Accelerazione 1/2
La velocità istantanea è una funzione del tempo t e quindi
nell'intervallo u t di tempo subirà la variazione:
u v^
= v(v +
^
u t)
− v (t)
^
u v^
v(t +
^
u t)
− v (t)
Si definisce accelerazione media del punto materiale:
ut
=
^
ut
Si definisce accelerazione istantanea la derivata della velocità
rispetto al tempo:
^
a =
lim
u tµ
0
u v^
ut
dv
=
dt
^
′
= v
^
Accelerazione 2/2
L'accelerazione istantanea è la derivata della velocità rispetto
al tempo e quindi è la derivata seconda dello spazio percorso
rispetto al tempo.
^
a (t) =
^
dv (t)
dt
d
ds
=
dt
dt
^
d
2
^
s (t)
=
dt
2
^
″
= s (t)
Moto rettilineo uniforme 1/2
Un corpo si muove di moto rettilineo e uniforme se mantiene
una velocità costante in modulo, direzione e verso.
Legge oraria del moto rettilineo e uniforme:
^
ds
v =
dt
t0 = 0
^
õ
^
^
d s = v dt
µ
^
õ s−s
0
s
õ
∫
t
^
ds =
s0
= v^ 1 t õ
^s = µs
0
∫
^
v dt
t0
+ v
^1
t
Moto rettilineo uniforme 2/2
Moto rettilineo uniformemente accelerato
1/2
Un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato
se mantiene una accelerazione costante in modulo, direzione e
verso.
Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato:
a^ =
ds
^
dt
∫
dv
^
dt
µ
= v0
v
õ dv^ = a^ dt õ
+ a^ t õ
s
t
^
s ds =
s0
∫
µ
^
ds = v
0
dv ^ =
v0
^
∫
dt + a tdt
µ
v 0 dt +
0
∫
t
0
∫
^
0
õ
^
+ a t
0
õ
t
a tdt
µ
^
^
a dt õ v = v
^
µ
µ
s = s0 + v 0 t +
1
^
at
2
2
Moto rettilineo uniformemente accelerato
2/2
Moto parabolico
Il moto parabolico è un tipo di moto bidimensionale esprimibile
attraverso la combinazione di due moti rettilinei simultanei e
indipendenti:
moto rettilineo uniforme
moto uniformemente accelerato.
Si dimostra che la traiettoria del moto parabolico rappresenta
una parabola.
Traiettoria del moto parabolico
Si supponga che un corpo sia lanciato con velocità iniziale v0 e
con un angolo rispetto all'asse x orizzontale.
Il vettore velocità può essere scomposto lungo le due
componenti x e y:
µv
0
= v0 cos(
^
)i + v0 sen(
)j
^
Le leggi orarie dei moti lungo gli assi x e y sono:
1
x(t) = v0 cos(
),
y(t) = v0 sin(
)t −
gt
2
2
Esplicitando il parametro t dalla legge oraria x(t) e sostituendo
in y(t) si ottiene una parabola con concavità rivolta verso il
basso:
y = x
1
g
tang
−
2
2
2v cos (
0
)
1
x
2
Animazione del moto parabolico
Moto circolare
Il moto circolare è il moto di un punto
materiale lungo una circonferenza.
Lo spostamento lineare del punto sulla
circonferenza dR^ sarà legato allo
spostamento angolare d :
^
dR = d
^ × R^
La velocità angolare è definita come la derivata, rispetto al
tempo, del vettore spostamento angolare:
1
^
d
=
^
rad
[
dt
]
s
õ
^
^
dR
v(t) =
=
dt
1
^
^
× R
Moto circolare uniforme
Un corpo si muove di moto circolare uniforme se mantiene una
velocità angolare costante in modulo, direzione e verso.
1
∫
^
d
=
= costante
dt
d
0
^
^
õ
d
^
=
1
^1
dt
t
=
∫
1
o
^1
dt
õ
=
0
+
1
1
t
Moto circolare uniformemente accelerato
Un corpo si muove di moto circolare uniformemente
accelerato se mantiene un' accelerazione angolare in modulo,
direzione e verso costante.
^
1
=
^
= cost
dt
^ (t) = ^ 1
+ 1 t
Integrando l'equazione differenziale 1
1
(t) =
(t) =
0
+
1
1
0
0
1
1
t +
2
1
t
2
dt
:
Moto armonico - funzione periodica
In Matematica una funzione si dice
periodica se assume valori che si ripetono
esattamente a intervalli regolari.
f : A− > B periodica di periodo T
x #
A : f (x) = f (x + T )
¶
Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche di
periodo 2( .
Moto Armonico 1/2
Si definisce moto armonico il moto di un punto materiale la cui
legge oraria è una funzione periodica del tipo:
x(t) = Asen(1 t +
:0 )
dove A è l'ampiezza dell'oscillazione, :0 è la fase iniziale e 1 è
la pulsazione
Per un moto armonico così definito si dimostra che il periodo è:
T =
2(
1
Moto Armonico 2/2
La velocità e l'accelerazione sono rispettivamente la derivata
prima e seconda della legge oraria, ovvero:
dx(t)
v(t) =
=
1
Acos(1 t +
:);
dt
dv(t)
d(t) =
dt
= −1
2
Asin(1 t +
:);
Rappresentazione grafica del moto
armonico 1/2
Rappresentazione grafica del moto
armonico 2/2
